3D-s számítógépes geometria

Átírás

1 3D-s számítógépes geometria 2. Háromszöghálók Dr. Várady Tamás BME, Villamosmérnöki és Informatikai Kar Irányítástechnika és Informatika Tanszék 3D-s számítógépes geometria 1

2 Tartalom Háromszöghálók bevezetés 2D: Voronoi-diagram és Delaunay-háromszögelés, egyszerű algoritmusok Háromszöghálók 3D-ben További háromszögelő algoritmusok Számítógépes reprezentáció Hasznos könyvtárak Bevezetés 2

3 Tesszelláció általánosan 1 Lineáris struktúrák létrehozása csúcsok egyenes élek gráfja felületek tesszellációja síklapok tömör testek tesszellációja térbeli primitív testek Háromszöghálók - bevezetés 3

4 Háromszöghálók 2 Alkalmazások számítógépes grafika, számítógépes játékok, animáció, virtuális valóság numerikus számítások, komplex egyenletrendszerek szimuláció, véges-elemes eljárások általában orvosi és mérnöki alkalmazások nincs szükség folytonos reprezentációra folytonos reprezentáció nem használható Előnyök egységes adatstruktúra hatékony algoritmusok hardver támogatás stb. Háromszöghálók - bevezetés 4

5 Háromszöghálók 3 lokálisan körlap topológia (2-manifold) nem önmetsző, nem átlapoló folytonos és orientálható egyenletes és sima Háromszöghálók - bevezetés 5

6 Háromszögháló algoritmusok 4 Pontfelhők Háromszöghálók Tömör testek Felületek Görbehálózatok Input: 2D-s és 3D-s pontfelhők pontfelhők + élek és él-hurkok háromszögkitöltés háromszögháló egyszerűsítés, újraháromszögelés, szépítés törött vonalas élek és megvágott (trimmelt) felületlapok Háromszöghálók - bevezetés 6

7 Háromszöghálók jellemzése 5 Izotrópia: egyenletes élhosszak és egyenletes szögek Mértékek: legkisebb szög a körülírt kör és a belső érintőkör sugarának aránya a leghosszabb oldal és a magasság aránya a legrövidebb oldal és a körülírható kör sugarának aránya min( a, b, c) r maximális, ha a=b=c, 3 a b c r Háromszöghálók - bevezetés 7

8 2D: tesszellációs algoritmusok 1 Delaunay háromszögháló (DT) a körülírható körökben nincs más pont egyértelmű, ha nincsenek körnégyszögek egyenletes háromszögeloszlás maximalizálja a legkisebb szöget minimalizálja a legnagyobb körülírható kör sugarát minimalizálja a beírható körök sugarainak összegét Belső pont vizsgálat P-O < r (?) A P O B C 2D algoritmusok 8

9 2D: tesszellációs algoritmusok 2 Voronoi diagram (VD) tartományokra bontás természetes módon: q q q V_cella : V_él ij : V_csúcs i q-p ijk q-p : i i = q-p i < q-p, j i q-p = j j q-p = j q-p k Duális gráfok: Voronoi diagram Delaunay-háromszögháló D_csúcs( p ) V_cella D_háromszög( p D_él( p i p j i ) V_él i p j p ij k i ) V_csúcs ijk 2D algoritmusok 9

10 2D Delaunay: élcsere algoritmus Négy 2D-s algoritmus: Élcsere (Delaunay) Inkrementális (Delaunay) Oszd meg és uralkodj (Delaunay) Söprő egyenes (Voronoi) Élcsere algoritmus input: tetszőleges háromszögelés konvex négyszögek vizsgálata ha szükséges, lokális élcsere (edge flipping) az eljárás mindig terminál O(n 2 ) lépés 180-α α 1 α Körnégyszög kritérium szemben levő szögek összege: 180 első eset: α 1 +(180-α) > 180 rossz átló második eset: α+(180-α 1 ) < 180 jó átló összekötés - mindig a nagyobb szögpár 180-α α α 2D algoritmusok 10

11 2D Delaunay: inkrementális algoritmus Bowyer-Watson algoritmusa 1. óriás-háromszög az összes pont körül 2. pontok hozzáadása egyesével 3. körülírható körök meghatározása, amelyek tartalmazzák p i -t 4. ezen háromszögek törlése 5. a megmaradt poligon és a p i pont háromszögelése 6. óriás-háromszög törlése O(n 2 ) lépés, átlagosan 3n 2D algoritmusok 11

12 2D Voronoi: söprővonal algoritmus 1 Fortune algoritmusa Söprő egyenes - balról jobbra Baloldal: félkész Voronoi diagram mozgó hullámfront (beach line): parabola ívek sorozata parabolaív pontok egyenlő távolságra egy p i ponttól (D_csúcs) és a söprő egyenestől Voronoi él: szomszédos parabolaívek metszéspontjainak sorozata Két esemény: Csúcs-esemény új V_él Kör-esemény új V_csúcs n log n lépésszám 2D algoritmusok 12

13 2D Voronoi: söprővonal algoritmus 2 Csúcs-esemény új D_csúcs befűzése új V_cella (parabola tágul) új V_él (él szélesedik) Kör-esemény parabola eltűnik, a V_cella elkészült új V_csúcs befűzése új V_él (növekszik) 2D algoritmusok 13

14 Önálló feladatok** Oszd meg és uralkodj algoritmus Delaunay háromszöghálók előállításához Szemináriumi előadás és prototípus implementáció 2D algoritmusok 14

15 2D Delaunay: Oszd meg és uralkodj algoritmus Cignoni et al. algoritmusa Pontok rekurzív kettéosztása koordináták szerint 2 vagy 3 pontos csoportok (szakaszok és egyenesek) Csoportok összekötése felfele haladva a gráfon Alapvonal behúzása Iteráció, amíg vannak jelöltek: Kétoldali jelöltek meghatározása Megfelelő jelölt kiválasztása Új vonal behúzása n log n lépésszám 2D algoritmusok 15

16 3D háromszögelés 1 Kiterjesztés görbült felületekre (Kós 99) távolság: legrövidebb felületi görbeszakasz hossza általánosított Voronoi cellák és Delaunay háromszögek Általánosított szögkritérium görbült négyszögekre ha β + δ < α + γ BD összekötés 3D háromszögelés 16

17 3D háromszögelés 2 Gyakorlati elvárások: általános topológia: nyitott vagy zárt felületek, lyukak zajos, nagyon egyenlőtlen eloszlású pontok nem projektálható, nem orientálható ponthalmazok 3D háromszögelés 17

18 3D háromszögelés 3 Előfeldolgozás octree lokális normálvektor becslés szomszédsági gráf Lokális Delaunay-háromszögelés pontonként a normál síkban A és C összekötése (?) a négyszög szabály szerint: AB j CB j+1 szükség esetén B j vagy B j+1 törlése lokális háromszöglegyező előállítása Összeépítés 3D-ben inkonzisztens háromszögek esetén: szavazás előfordulás szerint 1, 2, 3 v=1 v=2 v=3 3D háromszögelés 18

19 3D háromszögelés 4 -példák 3D háromszögelés 19

20 Háromszögelés kényszerekkel Input: ponthalmaz + rögzített élek és élhurkok Ouput: háromszögháló: legkisebb szög α 0, leghosszabb él l 0 (opcionális) Iteratív eljárás kezdeti Delaunay-szerű háromszögelés új határpontok beszúrása rossz háromszögek belső pontok beszúrása, lokális korrekció További algoritmusok 20

21 Vágott (trimmelt) lapok háromszögelése Szabadformájú felületek: [u,v] parametrikus tartomány Analitikus felületdarabok: létezik parametrikus reprezentáció Algoritmus: [u,v] tartomány felosztása háromszögekre (szabályos háló) 3D élek közelítése törtvonallal élek visszavetítése [u,v]-be félbevágott háromszögek újraháromszögelése leképzés 2D 3D 3D háromszögháló szépítése További algoritmusok 21

22 Implicit felületek háromszögelése 1 Implicit felületek parametrizáció általában nincs: F(x,y,z)=0 CT, MR mérések voxel reprezentáció, cél: α konstans izofelület előállítása Háromszögelés sétáló kockák (marching cubes) A skalár mező kiértékelhető a sarokpontokban Sétáló négyzetek - 2D-s konfigurációk: Adaptív finomítás célszerű További algoritmusok 22

23 Implicit felületek háromszögelése 2 3D ekvivalens konfigurációk 3D példa További algoritmusok 23

24 Számítógépes reprezentáció 1 Minimális információ pontkoordináták, háromszögélek Cél: hatékony műveletek nagy háromszöghálókra lekérdezések átstruktúráló operációk (pl. csúcsbeszúrás, élkitörlés) Topológiai lekérdezések adott egy csúcs, él vagy lap - keressük a szomszédos csúcsokat, éleket, lapokat Geometriai lekérdezések koordináták, szögek, élhosszak környező pontok (adott sugáron belül) lokális normális- és görbületbecslés Általános struktúra n-oldalú lapok külső és belső hurkok (lyukak) Számítógépes reprezentáció 24

25 Fél-él (half-edge) adatstruktúra 2 Irányított élpárok a lapok körül Orientált felületek anyag (ha van) a baloldalon lyuk hurkok - fordított irányítás Csúcs adat: egy (tetszőleges) kiinduló fél-él koordináták és egyéb információk (normális stb.) Fél-él adat: kezdőpont pár ( twin, mindig létezik) lap (a háló szélén kitöltetlen) előző és/vagy következő fél-él Lap adat: egy (tetszőleges) fél-él a külső hurokból és egy-egy minden belső lyukból Számítógépes reprezentáció 25

26 Ingyenes C++ könyvtárak OpenMesh ( fél-él adatstruktúra általános- és háromszöghálókra hatékony lightweight könyvtár CGAL ( Computational Geometry Algorithms Library rengeteg algoritmus 2D-ben és 3D-ben háromszögelés, lyukkitöltés, háló egyszerűsítés, háló finomítás, középtengelyek előállítása, Minkowski összeg, rekurzív felosztásos felületek, simítás, deformáció stb. könnyen bővíthető adatszerkezetek kapcsolat más könyvtárakhoz (Boost, GMP, BLAS, LAPACK, SciLab, Qt stb.) wrapper Pythonhoz Háromszögelő könyvtárak 26

27 OpenMesh: példa 1 Mesh = TriMesh/PolyMesh + Kernel + Traits Kernel: a belső tárolás módja (pl. ArrayKernel) Traits: az osztály testreszabása koordináták, pontok stb. típusai plusz információk hozzárendelése az összetevőkhöz struct MyTraits : public OpenMesh::DefaultTraits { VertexTraits { double area; }; }; typedef TriMesh_ArrayKernelT<MyTraits> MyMesh; Háromszögelő könyvtárak 27

28 OpenMesh: példa 2 Iterátorok - csúcsok, (fél-)élek és lapok Cirkulátorok - környező elemek VertexFaceIter: csúcs körüli lapok cirkulátora Példa: csúcs körüli lapok összterülete for(mymesh::vertexiter vi = mesh.vertices_begin(); vi!= mesh.vertices_end(); ++vi) { vi->area = 0; for(mymesh::vertexfaceiter fi = mesh.vf_iter(vi.handle()); fi; ++fi) vi->area += fi->area(); } Háromszögelő könyvtárak 28

29 A következő előadás tartalma háromszöghálók egyszerűsítése csúcspontok klaszterezése inkrementális eljárások progresszív hálók egyenletes mintavételezés és újrahálózás progresszív hálók normál vektorok és görbületek numerikus becslése háromszöghálók simítása 3D-s számítógépes geometria 29

30 Kiegészítés: a Voronoi söprővonal algoritmus adatstruktúrái Voronoi csúcsok és élek: half-edge struktúra Események: prioritásos sor az x-koordináta alapján Hullámfront: kiegyensúlyozott bináris fa (y-rendezett) Levelek: ívet definiáló csúcs és mutató a kör-eseményekre Belső gráfcsúcsok (ívek / Voronoi élek találkozása): a definiáló csúcspár és mutató a megfelelő élre p 1 p 1 p 1, p 2 p 2 p 2, p 3 p 2 p 3 p 3 (egy adott y-koordinátához tartozó ív könnyen visszakereshető) 2D algoritmusok 30