KOMPUTERGRAFIKAI ALAPOK

Átírás

1 Scharcz Tbor KOMPUTERGRAFIKAI ALAPOK Dgtáls Flmtechka szakráú toábbképzés szak részére

2 Tartalom Beezetés Leképezések és etítő modellek Homogé koordáták Cetráls etítés Párhuzamos etítés Cetráls etítés Párhuzamos etítés I. Vetítés redszer II. Vetítés redszer III. Vetítés redszer IV. Vetítés redszer V. Vetítés redszer B-sple görbe előállítása Felületek Bleársa súlozott Coos-foltok Bkubkusa súlozott Coos-foltok Gordo felület Tezor-szorzat felületek Bezer felület Bezer felület mátrx-reprezetácó Iterpoláló Bezer felület

3 Beezetés Jele egzet Dgtáls Flmtechka szakráú toábbképzés szak részére készült. Bár a egzet címe KOMPUTERGRAFIKAI ALAPOK, tartalmát tekte mégsem beezető ellegű smeretekről lesz szó. Iformatka alapképzése (Bsc) túlutott hallgatók általába taultak már Számítógép grafkát. Jele kurzus a beezető taaago túlmutat, feltételezé, hog a kurzus hallgató a megkíát grafka smeretekkel már redelkezek. A Debrece Egetem formatka alapképzésébe szerepel a Beezetés a számítógép grafkába című kötelező tárg. Eek aagát tektük kdulásak. 3

4 2 Leképezések és etítő modellek Ha raszteres képpé koertála a 3D-s tárgakat meg akaruk eleíte a motor képerőé, akkor ezeket a 3D-s modelltérből eg 2D-s ézetre kell leképez. Ezért a számítógépes grafkába kemelt eletőségű traszformácók a etítések. Vetítések eezzük azokat a dmezóeszteséggel áró pot-traszformácókat, amelekél a képpot és a ek megfelelő tárgpot eg egeese helezkedk el. A tárg- és képpotoko áthaladó egeest etítősugárak eezzük. A etítés eredmée a etület, am a képsíko képződk. Az eges tárgpotok képe a etítősugarak döféspota a képsíkkal. A etítés két alaptípusa a párhuzamos és a középpotos etítés. Párhuzamos etítésről beszélük, ha a etítősugarak egmással párhuzamosak. Ha eze kíül a etítősugarak még merőlegesek s a képsíkra, akkor merőleges a etítés, egébkét pedg a ferde etítés eleezést haszáluk. Középpotos etítés eseté a etítősugarak mdegke áthalad a etítés középpoto, a cetrumo. Perspektkus hatás elsősorba a tárg és a cetrum és a pot táolságától függ. Ha ez a táolság mde határo túl ő, a középpotos etítés párhuzamos etítésbe meg át. A etítőmodellek mmáls feladata, hog megfelelő paraméterek alapá traszformácók egmásutáá keresztül lehetőség ílo a 3D-s lágkoordáta-redszerbel obektumok potat a képsíkra leképez. 2. Homogé koordáták A traszformácók egséges kezelése matt úgeezett homogé koordátákat ezetük be. A 3 dmezós proektí teret a alós 4 dmezós ektortérbe ágazzuk be, a proektí tér potaak reprezetálása a zérus ektortól külöböző 4 dmezós ektortér ektoraak eg-eg osztáláal törték. Eg osztálba tartozak a leársa függő ektorok, ag másképp az egmással aráos számégesek ugaazt a potot reprezetálák. Ezeket a koordátákat eezzük homogé koordátákak. Ha a pot egedk koordátáa em zérus, akkor a pot 3 E -ak s pota, egébkét a potot égtele táol potak eezzük. A égesbe léő potok homogé koordátát megkapuk, ha a egedk 4

5 x koordátáal elosztuk a pot első három koordátáát: =, ahol x4 0. A x síkbel homogé koordátákat hasolóa értelmezzük, a potokat és az egeeseket alós számhármasok eg-eg osztáláal ellemezzük Cetráls etítés. A legegszerűbb eg paraméteres modell esetébe a lág és a razkoordátaredszer em álk szét. A képsík lege a lágkoordáta-redszer {x,} koordátasíka, a etítés cetrum pedg a z tegel poztí felé helezkedk el (. ábra). A leképezés egetle mátrxszal leírható. A megfelelő hasoló s s háromszögekből: x = x ; = ; s z s z P (x,,z ) P (x,,0) x x z x s C z. ábra Uga ez homogé koordátákkal mátrx-reprezetácóba: s x x x x s z s = = z = 0 z s z z s s 5

6 2.3 Párhuzamos etítés. A képsík a cetráls esethez hasolóa az{x,} koordátasík. Lege a etítés ráa a ektorral megada. Ekkor: P = P + λ alapá x = x + λ, = + λ, z = z + λ = 0,amből x z z z z λ = x = x, = x z z z x 0 0 z x x x z x z z = 0 0 = 0 z z z Cetráls etítés 2. Helezzük el a etítés cetrumot a lágkoordáta-redszer kezdőpotába. A képsík lege a lágkoordáta-redszer {x,} koordátasíkáal párhuzamos, attól d táolságra, azaz a képsík egelete lege z=d. A képsíko értelmezett koordátaredszer a lágkoordáta redszer tegelel párhuzamosa A megfelelő hasoló háromszögekből leolasható (2. ábra): P (x,,d) x d = = ; x z d d x = x ; = ; z = d z z P(x,,z ) x C z x x Képsík d z 2. ábra 6

7 Homogé koordátás alak mátrx-reprezetácóba: d x x x x z d = = z = z z z z d d d 2.5 Párhuzamos etítés 2. A képsík elhelezése ugaaz, mt a 2. típusú cetráls etítésél. A etítés rá smét a ektorral adott. A kép az orgót a etítedő pottal összekötő egeesek és a képsíkak a metszésekét áll elő. P = P + λ alapá x = x + λ, = + λ, z = z + λ = d,amből x z d z x λ = x = x + ( d z), = + ( d z), z = d z z z d z 0 d x x z + z x z 0 d d z = = z z z z + z d d x x x Ha d értékét ulláak álasztuk, azaz a képsík az {x,} koordátasík, természetese sszakapuk a 2.3-as esetet. 2.6 I. Vetítés redszer A kamera-koordátaredszert a lág-koordátaredszer 3 paraméterrel leírható mozgatásáal hozzuk létre. A kamera-redszer kezdőpotát gömb koordátákkal aduk meg. A kamera-redszer z tegele a lágkoordátaredszer kezdőpotába mutat. 7

8 Képsík Képsík 4. ábra 3. ábra A kamera-koordátaredszer meghatározó paraméteret a 3. ábrá látuk. A kamera-koordátaredszer kezdőpotáak koordátá: O µ cosθ sφ = µ sθ sφ µ cosφ. Eltolás O -be 0 0 µ cosθ sφ 0 0 µ sθ sφ T = 0 0 µ cosφ A megfelelő koordáta-traszformácó lépése és a szükséges koordáta- traszformácók mátrxa: π 2. Forgatás z tegel körül θ szöggel az óramutató ár rásáak megfelelő 2 rába. Íg az ú x tegel merőleges lesz a z-t és az ú kezdőpotot tartalmazó síkra). 8

9 T 2 sθ cosθ 0 0 cosθ sθ 0 0 = A koordátaredszer forgatása π φ szöggel az óramutató árásáal elletétes rába az ú x tegel körül 4. Oretácó áltás cosφ sφ 0 Τ 3 = 0 sφ cosφ µ Τ 4 = A teles összetett traszformácó: T T T T T sθ cosθ 0 0 cosφ cosθ cosφ sθ sφ 0 sφ cosθ sφ sθ cosφ µ e = = Ezek utá alkalmazhatuk a 2.4 cetráls etítést ag a 2.5 párhuzamos etítést. A leképezés síka merőleges z -re és a ézőpottól d táolságra helezkedk el. Cetráls etítés esetébe egetle mátrxba sűríte az eredmé: sθ cosθ cosφ cosθ cosφ sθ sφ 0 T = T e = sφ cosθ sφ sθ cosφ µ sφ cosθ sφ sθ cosφ µ d d d d d 9

10 2.7 II. Vetítés redszer Adott a C pot, ez lesz a kamera-koordátaredszer kezdőpota és az F pot, eze pot defála a kamera-rát, azaz a kamera-redszer z tegele fog a CF rába mutat. Jelöle ( a, b, c) a CF ráú egség hosszúságú ektort. Első lépéskét elforgatuk a redszert a lágkoordáta redszer z tegele körül úg, hog az x tegel forgatotta fedésbe kerülö a ektor {x,} síkra eső merőleges etületéel. A forgatás ( a, b, c) szögéek koszusza és szusza egszerűe számolható a megfelelő derékszögű háromszögekből. Fgelembe ée, hog a + b + c =. adódk: s( α) = b b = a + b c cos( α) = a a = a + b c A megfelelő forgatás mátrx: 5. ábra a b c c b a T 0 0 = 2 2 c c A köetkező lépésbe tegel körül forgatuk megfelelő β szöggel az óramutató árásáal megegező rába. Íg az ú z tegel párhuzamos lesz az adott ráal. A β szög szusza és koszusza az ábra alapá, fgelembe ée, hog =: 0

11 2 s( β ) c, cos( β ) = = c A koordáta traszformácó mátrxa: 2 c 0 c T 2 = 2 c 0 c Oretácót áltuk, hog redszerük bal-sodrású lege: T 3 = Bztosítuk, hog a kamera forgatható lege az ú z tegel körül. Jelöle θ a forgatás szögét, ekkor az ehhez tartozó mátrx: cos( φ) s( φ) 0 0 s( φ) cos( φ) 0 0 T 4 = Végül eltoluk a redszert a kamera-redszer C kezdőpotába. Ehhez azoba meg kell határozuk C koordátát az ú bázsra oatkozóa. Jelöle c, c2, c3 a C pot eredet koordátát. A traszformácós mátrx: T = T4 T3 T2 T. Az ú előállítás: C e = TC, és mel koordáta-traszformácóról a szó, eek --szerese lesz az eltolás ektor. A T és -C e -hoz tartozó eltolást leíró mátrxok szorzatakét kapuk a etítés traszformácó mátrxát. Az eredmé a mellékletbe megtalálható.

12 2.8 III. Vetítés redszer Léegébe megegezk a II. etítés redszerrel. Adott a kamerakoordátaredszer kezdőpota, C. A etítés rát a II. redszertől eltérőe eg N egségektorral aduk meg. Ezzel lesz párhuzamos a etítés redszer tegele. A leképezés síka merőleges N-re, cetráls etítés esetébe pl. a 2.4 bel szokásos elredezés szert. Megaduk még eg felfelé mutató rát a V egségektorral, amel merőleges N-re. Ezt a merőlegességet bztosíta kell alkalmas felhaszáló terfésze keresztül. Eek eg lehetséges móda, hog a felhaszáló megad eg körülbelül V -el elölt felfelé rát, amből a redszer számola k a téleges V ektort: V = V - (V N)N. A kamera-redszer harmadk ektora U = N V. Léegébe tehát eg egszerű koordátatraszformácót leíró mátrx az eredmé: z T e U x U U z U xcx U C U zcz V V V V C V C V C x z x x z z = N x N N z N xcx N C N zcz IV. Vetítés redszer Kdulás redszerük a kamera-koordátaredszer lesz. A etítés cetrum eze redszer orgóa. Az orgótól d táolságra a z tegelre merőleges a képsík, am egbe a közel ágósík s. Megaduk eg táol ágósíkot, mel az orgótól f táolságra a, szté a z -re merőleges. Adott toábbá eg 2h oldalhosszúságú égzet a képsíko, a 6. ábrá látható módo szmmetrkusa elheleze, középpota a z tegelre esk. Eze égzet cetrumból törtéő etítő gúláából az elülső és hátsó határoló síkok kágak eg csoka gúlát. A céluk az, hog több lépésbe ola traszformácó-sorozatot aduk meg, melek eredméeképpe a etítés gúla eg specáls hasábbá traszformálódk. A cetráls etület számítása helett a kép a potok z koordátáak elhagásáal keletkezk, a etítősugarak pedg a z tegellel leszek párhuzamosak. Eze traszformácó eletős hatékoság-öelő eszköz akár a Z-pufffer, akár a sugárköető algortmusok teré. 2

13 6. ábra Első lépéskét beezetük eg skálázás traszformácót, mel a 2h oldalú égzetet 2d oldalú égzetbe sz. Ezt köet eg z ráú d faktorú zsugorítás, a képsíkot a z= síkba sz. A két traszformácó egütt: h T = h d

14 Eltolás köetkezk z meté, a gúla csúcspota (0,0,-), a képsík pedg az {x,} koordátasík lesz T 2 = A etítősugarakat párhozamossá traszformáluk, a gúla égzet alapú hasábbá traszformálódk. Fgelük meg, hog s=- mellett csakem a 2.2 bel cetráls etítés mátrxát haszáluk, a külöbség csak a 3. sorba a, csupa ulla helett a harmadk oszlopba -es áll T 3 = Utolsó lépéskét a táol ágósíkot hozzuk egség táolságra a képsíktól, a skálázás faktor f f d : T 4 = f f d Végül az eredmé: 4

15 0 0 0 h h T = T4 T3 T2 T = f f 0 0 ( f d) d f d d A T traszformácót hattata a ágás ge leegszerűsödk, a ágás határok az alábbak leszek: x 0 z 5

16 2.0 V. Vetítés redszer Hasoló a IV. redszerhez. A külöbség a kdulásba a. A képsík em egezk meg az elülső határoló síkkal, de ugaúg helezkedk el, mt a IV.-es redszerbe. Az ábra elöléseek megfelelőe a képsík, elülső határoló sík, alamt a hátsó határoló sík orgótól ett táolsága redre d,,f. Adott toábbá a képsíko eg a koordátategelekkel párhuzamos oldalú téglalap, melet a balalsó és obb felső csúcsa határoz meg, az ( xm, m, d) és ( xmax, max, d) koordátákkal. A megadott paraméterek alapá a ormalzált etítés traszformácó mátrxa az alább: T 2 xmax + xm 0 0 xmax xm ( xmax xm ) d 2 + max m 0 0 max m ( max m ) d = f f 0 0 ( f ) d ( f ) d d A részletes számítások a mellékletbe találhatóak. 6

17 3 B-sple görbe előállítása Legeek t és t + skalárok úg, hog t,,,..., t+ t R = Az alább rekurzí függét ormalzált b-sple bázs ag alap függéek eezzük: N ( t) = 0 t t < t + egébkét t t t t N ( t) = N ( t) + N ( t) k k + k k + t+ k t t+ k t+ k Az N ( t) tehát eg legfelebb k--ed fokú polom. Az előforduló 0 háadost 0-0 ak tektük. Lege adott a P 0, P,..., P.potsorozat, azaz + pot. ( ) ( ), P görbét k-ad redű (k--ed fokú) b-sple k A Q t = N t tk t t+ = 0 görbéek eezzük. Tétel: k ( ) = 0,ha [, ] N t t t t + k k Tétel: N ( t) 0, t Tétel: = 0 k N ( t), k 7

18 4 Felületek 4. Bleársa súlozott Coos-foltok Adott 4, egmást párokét metsző térgörbe, melekek smerük a skalárektoros előállítását. Ezek a görbék legeek: 2 2 [ ] [ ] a ( u), a ( u), u 0, és b ( ), b ( ), 0, Ezek eg térbel égszöget alkotak, amelre lleszte akaruk az r ( u, ) felületet, ahol u, [ 0,]. A felületet úg kell meghatároz, hog a határoko potosa a határoló görbéket ada ssza. Vags: r r ( u ) ( u ) ( ) ( ),0 = a ( u), = a ( u) r 0, = b ( ) r, = b ( ) 2 2 A coos-foltot 3 felületből állítuk elő. Ebből kettő az a ésa 2, alamt a b és b 2 által meghatározott oalfelület, a harmadk pedg eg eregfelület. Voalfelületek leírása: Adott a( u) és a 2( u) térgörbe, melek ugaazo az terallumo kell hog legeek defála, ez általába: u [ 0,], de tetszőleges [a,b] terallum s lehet. A két görbe adott u értékekhez tartozó potat kötük össze, azaz a paraméteroalak egees szakaszok. A két térgörbe által kfeszített [ ] I ( u, ), ahol u, 0, felület egeesekből áll és gaz rá, hog a A felület az a ( u ) és ( ) 2 u ( ) ( ) I ( u,0) = a u, és I ( u,) = a u a a 2 a térgörbék leárs terpolácóa, melek egelete: 8

19 A felület az a ( u ) és a ( ) 2 u ( ) ( ) I ( u, ) = ( ) a u + a u a 2, egmással szembe fekő két görbét terpolála, de a másk két határoló görbé b ( ), b ( ) 2 - lá em halad át.a b ( ), b ( ) 2 által meghatározott oalfelület hasolóképpe állítható elő. Eek egelete: ( ) ( ) I ( u, ) = ( u) b + ub b 2 A ég görbe metszéspota ég potot határozak meg a térbe, melek meghatározak eg eregfelületet, a ktérő egeesek aff potsora megfelelő elemeek összekötése által. A ég metszéspot bleárs terpolácóa: I ab r(0, 0) r(0,) ( u, ) = [ u u] (,0) (,) r r A coos-foltot a 3 felületből úg kapuk meg, hog a két oalfelület összegéből kouk a eregfelületet: ( ) r u, = I ( u, ) + I ( u, ) I ( u, ) a b ab 9

20 Azaz: r(0, ) r(0, 0) r(0,) r( u, ) = [ u u] + [ ( u,0) ( u,) ] [ u u] (, ) r r (,0) (,) r r r Ha a leárs súlfüggéek helett tetszőleges súlfüggéeket alkalmazuk, melekre f( u) + f2( u) és g( ) + g2( ) telesedk, akkor az bleársa súlozott Coos-folt általáos alakát kapuk: r(0, ) g( ) r(0,0) r(0,) g( ) r( u, ) = [ f( u) f2( u) ] [ ( u,0) ( u,) ] [ f( u) f2( u) ] (, ) + r r g2( ) (,0) (,) g2( ) r r r 4.2 Bkubkusa súlozott Coos-foltok Adott 4, egmást párokét metsző térgörbe, alamt ezek meté az a ( u), a ( u) alamt b ( ), b ( ) értő-szalagok. Meghatározadó ola 2 u 2u r( u, ) felület, amelekek az adott görbék a határoló görbé, és ezek meté a másk rához tartozó derálta a megadott értőszalagok leszek. Azaz ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u ( ) ( ) ( ) r u,0 = a ( u) r u,0 = a ( u) r u, = a ( u) r u, = a ( u) 2 2 r 0, = b ( ) r 0, = b ( ) u r, = b ( ) r, = b ( ) 2 u 2u A bleárs Coos-foltba szereplő oalfelületek helett harmadredű felületeket haszáluk, a görbe-terpolácóál szereplő két pot és két értő által meghatározott Hermte í segítségéel. Az íhez tartozó M H mátrx: M H = Ez alapá: 20

21 [ ] C ( u, ) = a ( u) a ( u) a ( u) a ( u) MV, a 2 2 b( ) 2( ) ( u, ) b T C b = UM b u ( ) b2u ( ) Mátrxos elöléssel a harmadredű Hermte-felület: T T C ( u, ) = U M G M V, ahol u H H r(0,0) r(0,) r (0,0) r (0,) r(,0) r(,) r (,0) r (,) G= ru (0,0) ru (0,) ru (0,0) ru (0,0) ru (,0) ru (,) ru (,0) ru (0,0) Végül a felület előállítása: r( u, ) = C ( u, ) + C ( u, ) C ( u, ) a b ab 4.3 Gordo felület a u ( = 0,,2,... m) és a b ( = 0,,2,... ) görbeseregek alamt Adottak az ( ) ( ) a 0 0 u, u,..., u és,,..., skalárok. A görbék egmást redre párokét metszk az ( u, ) paraméterpárhoz tartozó potokba. m Ola felületet kíáuk meghatároz, melek u és ráú paraméteroala redre a megadott görbék, azaz ( ) ( ) r u, = b ( ) és r u, = a ( u) A megoldás: a Coos-foltál haszált ötlet alapá eg terpoláló felületet llesztük a ráú paraméteroalakra, ehhez hozzáaduk eg az u ráú paraméteroalakra llesztett felületet, mad kouk belőlük a paraméteroalak metszéspotara lleszkedő felületet. Lege L ( u ) = és L ( u ) = 0, ha 2

22 b ( ) = = =0 =0 r u, b ( )L ( u) r ( u, )L ( u) alamt Végül a Gordo felület előállítása: m m m a ( ) = = =0 =0 r u, a ( u)l ( ) r ( u, )L ( u) m ab ( ) = r =0 =0 r u, ( u, )L ( u)l ( ) m m ( u, ) = ( u, ) + ( u, ) ( u, ) r r r r a b ab Az eredet megoldásba Gordo a oalfelületek általáosítása képe Lagrageterpolácót haszált, melet az alább egelőség defál: = 0, = 0, ( u u ) L ( u) = ( u) ( u u ) Természetese más terpolácós módszer s szóba öhet, például Hermte-féle. 22

23 4.4 Tezor-szorzat felületek 4.4. Bezer felület Eg (,m) redű Bezer felületetet (+) x (m+) kotrollpottal (kotroll háló) aduk meg. A felületet előállító 2 áltozós ektor-skalár függé az alább: m = 0 = 0 m ( ) ( ) [ ] r( u, ) = B u B P, u, 0,, A képletbe szereplő Berste polomok defícóa: B ( u) = u ( u) Általába tezor-szorzat felületről beszélük, ha a Berste-polomok helett más bázs-függét haszáluk, pl. Lagrage, B-sple, racoáls B-sple alapfüggéeket. Az s megegedett, hog a külöböző ráú paraméteroalakhoz külöböző fata alap-függéek tartozzaak Bezer felület mátrx-reprezetácó Az -ed fokú Berste polomok az -ed fokú polomok teréek eg bázsát alkoták. Eze tér természetes bázsa és a polomok bázsa között kapcsolat (bázs traszformácó) mátrxa lege M. Ekkor t t. B0 ( t) B ( t)... B ( t) = M.. Bzoítható, hog ekkor az M mátrx, elemére fe áll: 23

24 , ( ) m = A felület előállítása a bkubkus felületekhez hasolóa törték. Eg (,m) redű Bezer felület T T r( u, ) = U N G M V, ahol U,V eletk a megfelelő -ed llete m-ed fokú polom-tér természetes bázsat oszlopektorba redezette, N és M pedg a megfelelő x-es llete mxm-es kadratkus traszformácós mátrxokat Iterpoláló Bezer felület Lege ada (+) x (m+) kotrollpot, melet elölö P,, alamt a hozzáuk tartozó ( u, ),( = 0,,..., ; = 0,,..., m) paraméterek. Keressük azt a, B kotrollhálót, melhez tartozó r( u, ) Bezer-felület lleszkedk az adott potokra, azaz: m m k l ( ) ( ), k, l = 0 = 0 r( u, ) = B u B B = P, k = 0,,... ; l = 0,,... m Vezessük be az alább elöléseket: 24

25 P0,0 P0,0... P0, m B0,0 B0,0... B0, m P P... P B B... B,0,, m,0,, m.... P =, B = P,0 P,... P, m B,0 B,... B, m B0 ( u0) B ( u0)... B ( u0) B0 ( u) B ( u)... B ( u).. U =,.... B0 ( u) B ( u)... B ( u) m m m B0 ( 0 ) B0 ( )... B0 ( m ) m m m B ( 0) B ( )... B ( m ).. V =.... m m m Bm ( 0) Bm ( )... Bm ( m ) A elölésekek megfelelőe a köetkező egeletredszert kapuk a B, smeretleekre éze: P = UBV,amből B = U PV