Rugalmas megtámasztású merev test támaszreakcióinak meghatározása II. rész

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Rugalmas megtámasztású merev test támaszreakcióinak meghatározása II. rész"

Adrián Szőke
5 évvel ezelőtt
Látták:

1 Rugalas egtáasztású erev test táaszreakióiak eghatározása rész Bevezetés A ele részbe eg ola feladatot vetük fel és olduk eg, ael az részbe vizsgált feladat általáosításáak tekithető Aíg ott a táasztó rugók eg egees eté helezkedtek el, addig itt eg sík eté helezzük el azokat A rugók a erev testet aak sík ( alsó ) felületé táaszták eg A külső erők e sík lapra erőleges hatásvoalúak A test terheletle állapotába a rugók is terheletleek, és a terhelés alatt ide rugó dolgozik A rugók eltérő erevségűek lehetek Feladatuk a terhelés hatására elozduló erev testet egtáasztó rugókba ébredő reakióerők eghatározása oktáaszú test reakióerőiek eghatározása Ehhez tekitsük az 1 ábrát is! tt azt ábrázoltuk, hog az F k aktív erő az ( k, k ) potba, az R reakióerő pedig az (, ) potba űködik a testre, ahol k = 1,,, = 1,,, 1 ábra Az 1 ábrá az erőket pozitív ílérteleel tütettük fel A továbbiakba ide erőadat: előeles skalár - eiség, azaz ide erőt a saát előelével kell figelebe vei a száítások sorá Ezt egtehetük, ivel párhuzaos erőredszerről va szó Az F k külső / aktív erőredszert redukáluk az O kezdőpotba! Eek eredée: F F k ( 1 ) k1 M F ( ),k k k k1 M F ( 3 ),k k k k1

2 Most redukáluk az R reakió - erőredszert ugaoda! Eek eredée: R R ( 4 ) 1 M R ( 5 ), 1 M R ( 6 ), 1 A teles erőredszer egesúli feltételei: F R ( 7 ) M M ( 8 ),k,k, M M ( 9 ), Most alkalazzuk a rugalas ágazási feltételt! R f, ( 1 ) ahol : a -edik rugó erevsége, f : a -edik rugó z - iráú elozdulása Most ( 4 ), ( 7 ), ( 1 ) - zel: ie 1 F f, ( 11 ) 1 F f Ezutá ( 5 ), ( 8 ) - al: M,k R, ie 1 M R ide betéve ( 1 ) - et:,k 1 tehát: M f f,,k 1 1,k 1 M f ( 1 ) Mad ( 6 ) és ( 9 ) - el:

ábra A ábra szerit a kezdetbe az ( ) síkba fekvő táasztófelület elozdul: eltolódik és elfordul Eg P (, )

3 3 M R ie:,k 1 M R ide betéve ( 1 ) - et:,k 1 tehát M f f,,k 1 1,k 1 M f ( 13 ) Most íruk fel a rugókkal éritkező síklap elozdulásáak egeletét az ( ) derékszögű koordiáta - redszerbe! Ehhez tekitsük a ábrát is! ábra A ábra szerit a kezdetbe az ( ) síkba fekvő táasztófelület elozdul: eltolódik és elfordul Eg P (, ) pot kis elozdulása: f f f f ( f1 ) P sét az ábra alapá: f tg ( f ) f tg ( f3 ) végül ( f1 ), ( f ), ( f3 ) - al:

4 4 f P f (, ) f ( 14 ) A ferde sík és az ( ) sík etszésvoalára feáll, hog f = ( f4 ) Ez az egees ( egbeesik vag párhuzaos az eredő forgástegellel ) egelete, elek alaka: f ( f5 ) redezve: f ( f6 ) tovább alakítva: f f 1 ( f7 ) végül: 1 f f ( f8 ) Utóbbit összevetve az egees 1 ( f9 ) u v tegeletszetes egeletével ld: [ 1 ]!, azt kapuk, hog f f u, v = ( f1 ) Az ( u,v ) értékpár birtokába az egees egrazolható 3ábra 3 ábra

5 5 Most ( 14 ) és ( f6 ) - tal: f (, ) f, tehát f (, ) = ( 15 ) Most a - edik rugó középpotáak (, ) koordiátáival a rugó elozdulása: f f, ( 16 ) Most ( 11 ) és ( 16 ) - tal: F f 1 1 = tehát F Ezutá ( 1 ) és ( 16 ) - tal: ( 17 ) M f,k tehát M,k ( 18 ) Mad ( 13 ) és ( 16 ) - tal: M f,k tehát M,k ( 19 )

6 6 Most ú elöléseket vezetük be: ( ) Ezek a eiségek a rugókép, azaz a rugókak a leezt határoló síkido eté való eloszlásáak a ellezői Íruk át egesúli egeleteiket eze úabb elölésekkel! ( 17 ) és ( ) szerit: F ( 1 ) Mad ( 18 ) és ( ) - szal: M,k ( ) Ezutá ( 19 ) és ( ) - szal: M,k ( 3 ) A ( 14 ) egeletbe háro eghatározadó paraéter f,, szerepel Meghatározásukra a ( 1 ), ( ), ( 3 ) egesúli egeletek szolgálak A ( 1 ) egelet segítségével előállítuk f kifeezését Redezve: F F F ( 4 ) Most ( 4 ) és ( f6 ) összehasolításából: F f ( 5 ) Aak érdekébe, hog a φ és φ szögelfordulásokat kiszáíthassuk, az előbbihez hasolóa kiküszöbölük - t és - t a ( ) és ( 3 ) egeletekből ( ) - ből: M,k ( 6 ) ost ( 4 ) és ( 6 ) - tal: F M,k F,

7 7 ad ebből M,k F ( 7 ) sét ú elöléseket vezetük be: M,k M,k F ( 8 ) ( 9 ) ezek utá ( 7 ), ( 8 ) és ( 9 ) - el: M,k ( 3 ) ( 3 ) - ból: M,k ( 31 ) ost ( 5 ) és ( 31 ) - gel: F M,k F, ad ebből M,k F ( 3 ) Bevezetve az ( 33 ) M,k M,k F és az ( 34 ) elöléseket, a ( 9 ), ( 3 ), ( 33 ) és ( 34 ) képletekkel kapuk, hog M,k ( 35 )

8 8 Gűtsük össze a ( 3 ) és a ( 35 ) egeleteket! M,k ( E ) M,k Az ( E ) egeletredszer egoldására a Craer - szabált alkalazzuk: M,k M M M,k,k,k kéelesebb alakba: M M,k,k ( 36 ) Foltatva:,k,k,k,k M M M M kéelesebb alakba: M M,k,k ( 37 ) Most íruk fel az f (, ) függvé végleges alakát! A ( 14 ), ( 5 ) képletekkel: F f (, ) f tehát F F f (, ) ( 38 )

9 9 Bevezetve az ', ' ( 39 ) rövidítő elöléseket, ( 38 ) és ( 39 ) - el: F f (, ) ' ' f ( ', ') ( 4 ) Hozzuk a ( 4 ) képletet a szakirodaloba ld [ ]! is egtalálható, köebbe áttekithető és haszálható alakra! A ( 36 ), ( 37 ), ( 4 ) képletekkel: F M,k M,k M,k M,k f ( ', ') ' ' ( 41 ) átalakításokkal: F 1 M,k M,k 1 M,k M,k f ( ', ') ' ' 1 1 F 1,k,k,k,k f ( ', ') ' ' bevezetve a 1 k 1 1 M M M M rövidítő elölést ( aszietria - téező ), ( 4 ) és ( 43 ) - al: F M,k M,k f ( ', ') k ' ' ' ' Bevezetve az * ' ' * ' ' ( 4 ) ( 43 ) ( 44 ) ( 45 ) rövidítő elöléseket, ( 44 ) és ( 45 ) szerit: F M M,k,k f (*, *) k * * ( 46 )

10 1 Ha az aktív erőredszer eredőe M k ( M,k M,k ) oatékú erőerőpár, akkor F =, íg ( 46 ) - ból: M,k M,k f (*, *) k * * ( 46 / 1 ) A rugókat táasztó sík felület elozdulása a - edik rugó helé: F M M,k,k f f ( *, *) k * *, ahol ( 39 ) és ( 45 ) szerit * ' ' * ' ' ( 47 ) ( 48 ) Végül ( 1 ) és ( 47 ) - tel a reakióerők képlete: F M M,k,k R f k * *, tehát F M M,k,k R k * * ( 49 ) Ezzel a kitűzött feladatot egoldottuk Megegzések: M1 A téa irát érdeklődők haszoal forgathaták a [ 3 ] űvet is M Eredéeik erőse elékeztetek a geredák halítás - eléletébe kapottakra ld [ ]! Ez e a véletle űve ld alább! M3 A fetiekbe bevezetett rövidítő elölések éhol sak az egszerűbb írást szolgálák pl: ( ), ( 43 ), ( 45 ), helekét azoba többek is eél: traszforáiós képletek pl: ( 8), ( 9 ), ( 33 ), ( 34 ), ( 39 ) Mideesetre afelé utatak, hog a tetszőlegese választott kiidulási koordiáta - redszerbe adódó képletek boolultsága léegese sökkethető a koordiáta -

11 11 redszer alkalas egváltoztatásával, azaz a koordiáták és az igébevételi kopoesek traszforáióával Ez eletőse egköítheti az eredéek alkalazását, főkét a kézi száítások esetébe M4 A képletek levezetését erőse részleteztük Eek egik oka az, hog a agar elvű szilárdságtai szakirodaloba ez e igazá kapott kellő publiitást Mert eg dolog az, hog spóroluk a teredeleel, az viszot ár eg ásik dolog, hog ezedékek voltak / vaak baba az ile típusú probléák gakorlati egoldása sorá A ásik ok pedig az, hog az azoos átalakítások sorá kapott külöböző képletalakok felírása segítheti a szakirodaloba található képletekkel való összehasolítást M5 A ( 14 ) képlet alapá odható, hog a feti száítás léeges ozzaata eg f (, ) = a + b + ) alakú, sík szeriti elozdulás - eloszlás felvétele Mithog a hagoáos szilárdságtai eléletek szité eg ) alakú falagos úlás-, illetve szigafeszültség - eloszlással dolgozak, ezért e igazá eglepő az ottaiakhoz egszólalásig hasoló képletek egeleése itt is M6 Az 1 ábrá eg leez alakú testet razoltuk, az egszerűség kedvéért Köe belátható, hog a rugózó táaszokra táaszkodó erev test rugókkal éritkező síkidoáak alaka, ezzel egütt pedig a rugók eloszlása / kiosztása telese tetszőleges lehet Mit ahog például a külpotosa húzott / oott töör geredák egfelelő szilárdságtai eléletébe is a gereda keresztetszetéek alaka tetszőleges lehet rodaloegzék: [ 1 ] N Broste ~ K A zeegaev: Mateatikai zsebköv Műszaki Kövkiadó, Budapest, több kiadásba [ ] Red F Obrazov: ztroitelaa ehaika letatelüh apparátov Masiosztroeie, Moszkva, 1986 [ 3 ] Erwi Pawelka: 1 Übuge aus der Mehaik priger - Verlag, Wie, 1948 ződliget, 9 auár 5 Összeállította: Galgózi Gula éröktaár

Hasonló dokumentumok

Rugalmas megtámasztású merev test támaszreakcióinak meghatározása I. rész

Rugalmas megtámasztású merev test támaszreakcióinak meghatározása I. rész Rugalas egtáasztású erev test táaszreakióinak eghatározása I. rész Bevezetés A következő, több dolgozatban beutatott vizsgálataink tárgya a statikai / szilárdságtani szakirodalo egyik kedvene. Ugyanis