A mestergerendás fafödémekről

Átírás

1 A estergerendás aödéekről A népi építészetben gyakran alkalazzák azt a ödészerkezeti egoldást hogy a keresztirányú a gerendatartókat egy vagy több hosszirányú tartóval az úgy - nevezett estergerendával táasztják alá. ábra. orrás: [ ]. ábra orrás: [ ]. ábra

2 A. ábrán egy olyan szerkezeti egoldást látunk ahol a iókgerendákat tartó ester - gerendát ég oszloppal is alátáasztották. Innen az is kiderül hogy az ilyen egol - dásokat a is alkalazzák. Sőt többet is ondhatunk: ne csak a a - de a é és a vasbeton építészetben is gyakran találkozhatunk hasonló szerkezeti kialakításokkal. orrás: [ ] 3. ábra A 3. ábrán egy pórödéet szelélhetünk estergerendával. Utóbbi egtáasztására itt ne oszlopot hane a alba épített díszesen kialakított kő táaszt alkalaztak. 4. ábra orrás: [ ]

3 3 A 4. ábrán ne egyásra hane egyás ellé helyezett eleekkel készített ai tartórács - jellegű ödészerkezeti egoldást szelélhetünk. Az ábrán a hagyoá - nyos bélcsapos és a korszerű acél szerelvényes kötési egoldásokat is szeléltették. A lényeg azért nagyjából változatlan: a iókgerendás estergerendás oszlopos kia - lakítás egaradt. De iért is vezettük elő ezt a téát? Azért ert itt is egy kisebb hiányt vélünk ele - dezni a estergerendás a tartószerkezetek erőtani száításával kapcsolatban. Most tehát erről ogunk elélkedni; először is a statikai odell egválasztásáról. Az.. 3. ábra szerinti szerkezeti egoldásoknál vélhetően a csavarás és a nyí - rás szerepe elhanyagolható a hajlításhoz képest az elozdulásokat tekintve a szerke - zet űködése során. Ennek egelelően egy olyan típuseladatot vezetünk elő elyet az egyásra helyezett gerendák esetében a odellválasztást tekintve szinte agá - tól értetődőnek vehetünk. A szuperpozíció elvét valaint szietria - egontoláso - kat alkalazva viszonylag könnyen jutunk aödéek erőtani vizsgálatára is használ - ható közelítő jellegű gerendarács - száítási ódhoz. Most jöjjön a intaeladat és annak egoldása! Ennek során táaszkodunk a [ 3 ] unkában található anyagra is. A eladat Most tekintsük az 5. ábrát! 5. ábra

4 4 Itt a iókgerendák és a estergerendák egyáshoz viszonyított helyzetét szelél - hetjük az elrendezés anyagi ivoltát is érzékeltetve. Továbbá azt hogy pl. egy pallózaton / deszkázaton keresztül az egész szerkezetet egy adott p intenzitású elület entén egyenletesen egoszló üggőleges erőrendszer terheli. Most térjünk át a 6. ábrára! 6. ábra Itt ár a statikai száításhoz használt egyszerűsített vázlatrajzot láthatjuk. Feltüntettük rajta hogy ~ a terhelés és a szerkezet szietriája iatt a belső reakcióerők is szietrikus elrendezésűek azaz: 3 = és 4 = ; ~ egy iókgerenda egy a x l éretű terhelt elületdarab Q terhét hordja q intenzitású egyenletesen egoszló terhelés orájában. Ennek nagysága: Q p a l q = = = p a l l q = p a. ( ) Ennyi előkészítés után a eladat konkrét kitűzése az alábbi.

5 5 Adott: p a l L;. Keresett: a axiális hajlítónyoatékok helye és nagysága azaz: x ax M ax és y ax M ax. A egoldás A tartórács belsőleg statikailag határozatlan szerkezet. A legnagyobb hajlítónyoaté - kokra vonatkozó száításokat csak azután tudjuk elvégezni hogy isertté váltak a gerendákat terhelő i ( i = ) belső erő - nagyságok. Minthogy két iseretlenünk van két eltételi egyenletet kell elállítani elyekből e belső erők eghatározhatók. Mint az a Szilárdságtanból isert ilyenkor alakváltozási egyenleteket szokás elírni. Jelen esetben azt a eltétel - rendszert állítjuk el hogy az egyással érintkező iók - és estergerenda behajlásai a találkozási keresztetszetben egegyeznek; képlettel: wi = wi ( i = ). ( ) A közvetlen eladat tehát a behajlások értékének elírása. ( ) - ben ár elhasználtuk ~ a terhelés és a szerkezeti elrendezés szietriájából szárazó w w = w = w 4 3 összeüggéseket valaint az alábbiakban alkalazzuk ~ a szuperpozíció elvét aely eltételezi a szerkezet rugalas tartoányban aradását és persze az idevágó járulék - képletek iseretét. A iókgerendák behajlásának eghatározása az és pontokban: q w = w w q 5 q l 5 q l l w = w = 384 ( EI) ( EI) 3 l w = 48 ( EI) ( / ) q l l w = 384 ( EI) 48 ( EI) ; ( 3 )

6 6 teljesen hasonlóan: q l l w = 384 ( EI) 48. ( 4 ) Most eg kell határoznunk a estergerenda behajlásait az és keresztetszetében. A szuperpozícióval: w = w + w ( 5 / ) és w = w + w ( 6 / ). A olytatáshoz tekintsük a 7. ábrát is! orrása: [ 4 ] 7. ábra Itt egy szietrikusan terhelt kéttáaszú tartó behajlás - üggvényeit is egtaláljuk elyekre indjárt szükségünk is lesz. Most nézzük a 8. ábrát! Itt részleteztük a estergerenda jelű keresztetszete lehajlásának száítását a 7. ábrán egadott összeüggések alapján. Eszerint: a a w = ( 3 a L 3 a a ) = ( 3 a L 4 a ) = a a = ( 3 L 4 a ) = 3 ( a + b ) 4 a = a = ( 3 b a )

7 7 a = ( 3 ). 6 w b a 8. ábra ( 5 / ) Folytatva: a a w = ( 3 a L 3 a a ) = 3 a ( a + b ) 3 a a = EI EI ( ) a ( a b a ) = 3 ( ) a w = ( 3 a b a ). ( 5 / 3 ) Most ( 5 / ) ( 5 / ) és ( 5 / 3 ) - al: a a w = ( 3 b a ) + ( 3 a b a ). ( 5 )

8 8 Az ( 5 ) képlet egegyezik [ 3 ] - beli egelelőjével. Ezután áttérünk ( 6 / ) kiszáítására. Ehhez tekintsük a 9. ábrát is! 9. ábra Eszerint: a a w = ( 3 a L 3 a a ) = 3 a ( a + b ) 3 a a = a ( a b a ) = 3 a w = ( 3 a b a ). ( 6 / ) Folytatva:

9 9 a a w = ( 3 a L 3 a a ) = ( 3 a L 4 a ) = a a = ( 3 L 4 a ) = 3 ( a + b ) 4 a = a = ( 3 b a ) 6 a ( ) w = b a 3. ( 6 / 3 ) Most ( 6 / ) ( 6 / ) ( 6 / 3 ) - al a estergerenda behajlása a keresztetszetben: a a w = ( 3 a b a ) + ( 3 b a ). ( 6 ) A ( 6 ) képlet azonos átalakítások után egegyezik [ 3 ] - beli egelelőjével. Ugyanis a ( 6 / ) előtti összeüggésből: a a ( 3 a L 3 a a ) = 3 a ( a + b ) 3 a a = EI EI ( ) ( ) a 3 = ( 3 a a + 3 a b 3 a a ) = ( 3 a a + 3 a a b 3 a a a ) = ( 3 a a b 3 a a 3 a a a a a ) = + + = = ( 3 a a b a ) ( a 3 a a 3 a a a ) 6 ( ) ( ) 3 3 = a a b a + a a + + = a ( 3 a ) ( ) ( ) 3 L 3 a a = a 3 a b a + a a ahogyan állítottuk.

10 0 Most térjünk vissza az érintkezési erők eghatározásához! A ( ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) és ( 6 ) képletekkel: w = w q l l a a = ( 3 b a ) + ( 3 a b a ) ( EI) ( 7 ) ajd w = w q l l a a = ( 3 a b a ) + ( 3 b a ) ( 8 ) Most érvényesítjük ( 7 ) és ( 8 ) - ban hogy L a = 5 L a = 5 4 L b = 5 3 L b =. 5 ( 9 ) Ekkor azt kapjuk hogy 5 q l l L 7 L = ( EI) 48 ( EI) EI 5 EI ( ) ( ) 5 q l l 7 L 8 L = ( EI) 48 ( EI) EI 5 EI ( ) ( ) vagy

11 q l l L 7 L = ( EI) 48 ( EI) 750 EI 750 EI ( ) ( ) q l l 7 L 8 L = ( EI) 48 ( EI) 750 EI 750 EI ( ) ( ). endezve: q l l L 7 L = ( EI) 48 ( EI) ( ) EI q l 7 L l 8 L = + + ; 384 ( EI) ( EI) 750 ( EI ) ( 0 ) ost újabb jelöléseket vezetünk be: 3 3 l L α = L β = l 8 L γ = q l δ =. 384 ( EI) ( ) Most ( 0 ) és ( ) szerint: α + β = δ β + γ = δ. ( ) Ezt az egyenletrendszert a Craer - szabállyal oldjuk eg; eszerint: δ β D D δ γ δ γ δ β γ β α β α γ β α γ β = = = = δ β γ

12 γ β = δ. α γ β ( 3 ) Hasonlóképpen: α D D δ β δ α δ δ β α β α β α γ β α γ β = = = = δ β γ α β = δ. α γ β ( 4 ) A ( 3 ) és ( 4 ) képletekkel és közvetlenül száítható. Minthogy ár iserjük a tartórács gerendáinak terheléseit nekiláthatunk a hajlítás szepontjából veszélyes keresztetszetek és a bennük ható hajlítónyoatékok eg - határozásának. Kezdjük a estergerendával ld. 0. ábra! 0. ábra

13 3 Itt a tartó nyíróerő - ábráját utatjuk elyről leolvasható hogy V( x ) = 0 a tartó középső ötödében. A hajlítónyoaték axiua: M ax = M ( x = a) ; ( 5 ) eszerint: M = + a a = a + a = ( ) ax L = a ( + ) = ( + ) 5 a xax 3 a L M ax = ( + ). ( 6 ) 5 Ez egegyezik a [ 3 ] - beli eredénnyel. Folytassuk a iókgerendákkal ld.. ábra! A nyíróerő - ábra egyenletéből az első szakaszon:. ábra

14 4 A V ( y0 ) = A q y0 = 0 y0 =. ( 7 ) q Itt lehet a hajlítónyoatéki üggvénynek szélső értéke. Ezután egy üggőleges vetületi egyenlettel: q l i A + i q l = 0 A = i =. ( 8 ) A hajlítónyoatéki üggvénnyel az első szakaszon: q M ( y0 ) = A y ; 0 y0 ( 9 ) ost ( 7 ) ( 8 ) és ( 9 ) - cel: A q A A q l i = = = = = ( q l q l i + i ) = 8 q M ax A q q q q q l i l i = q tehát a axiális hajlítónyoaték nagysága: M q l l = q ( 0 ) i i ax. Majd a axiális hajlítónyoaték helyére ( 7 ) és ( 8 ) - cal: A l y = i 0 q = q tehát y0 = yax iatt: y l i l ax = <. q ( )

15 5 A ( 0 ) és ( ) képletekből kiolvasható hogy a legnagyobb hajlítónyoaték ne a iókgerendák közepén ébred és nagysága se egyenlő az l l q l q l i l q l M y = = A = = 8 ( ) q l i l = 8 4 értékkel. Itt ne egyezünk a [ 3 ] - beli eredénnyel! Ott ugyanis azt írják ha jól értjük hogy a axiális hajlítónyoaték a táaszköz elében ébred és a ( ) szerinti értékű. Ez durva! Ezzel kitűzött eladatainkat elvégeztük. Megjegyzések: M. A vizsgálatok során elhanyagoltuk az érintkező gerendák keresztetszeti gyen - gítéseit. M. Bár a választott erőtani odell egyszerűnek tűnik azért eléggé hatékony lehet ha a hajóépítésben is alkalazzák [ 3 ]. M3. Az 5. ábrával kapcsolatban egelítjük hogy a szokásos hajlítási elélet egyik követelényének nevezetesen hogy a gerendák hossza a agassági éretének leg - alább 0 - szerese legyen ne elel eg inden részletében. Ha a valóságban is ez a helyzet vagyis a zöök agerendák esete állna elő akkor az itteni statikai odellt ki kellene egészíteni a nyírási alakváltozások igyelebe vételével. M4. A ( 7 ) és a ( 8 ) egyenletek jobb oldalának igyeles szeügyre vétele során eltűnhet az ait a Szilárdságtan tankönyveiben is egtalálható Maxwell - éle elcserélhetőségi tétel ejez ki [ 5 ]; ld. ábra. e PQ = e QP. ábra; orrása: [ 6 ]

16 6 M5. A 7. ábrán található lehajlás - üggvényeket egy korábbi dolgozatunkban elynek cíe: Egy kéttáaszú tartó lehajlásáról i is levezettük. M6. Az érintkező keresztetszetek behajlásai pl. a ( 3 ) és ( 4 ) képletekkel határozhatók eg és iseretében. M7. A él iókgerendára vonatkozó hajlítónyoatéki ábrát szeléltetjük a 3. ábrán. 0.5 M ( y ) (x)=/*x*(-x) (x)=0.4*x (x)=/*x*(-x)-0.4*x Színezés r(t)=/cos(t) y ábra Adatok: q = kn / l = = 08 kn. A első ( lila ) parabola a q egoszló terhelés az alatta utó (zöld ) egyenes az koncentrált erő él nyoatéki ábra - része. Az alsó ( piros ) görbe a különbségük tehát a tényleges él nyoatéki ábra leutását utatja. Jól látszik hogy axiuát ne a hossz elében hane sokkal előbb veszi el e üggvény. Szászerűen: y ax = 06 M ax = 08 kn. Ezek az eredények adódnak a ( 0 ) ( ) képletekkel is. Ne ellékes hogy nagyságának elvételekor igyelebe vettük a ( 3 ) ( 4 ) kép - letekből és a w > 0 eltételből is adódó 0 < < 5/8 ql korlátozást. M8. Figyelere éltó a ( ) inhoogén lineáris egyenletrendszer eglepően egyszerű szabályos szerkezete. Vegyük észre hogy ( ) és ( 3 ) - al dolgozva:

17 l 8 L 7 L l L γ β = + = + = α 48 ( EI) 750 EI 750 EI EI ( ) ( ) ( ) γ β = α ( 3 ) ezzel pedig: γ β α = δ = δ. α γ β α γ β ( 4 ) Idevéve ég ( 4 ) - et is összeoglalva: α = δ α γ β α β = δ. α γ β ( 5 ) Innen könnyen kiolvasható hogy > ( 6 ) hiszen ( ) szerint β > 0. Majd az M7. egjegyzés végén írt korlátozással is: < < < q l ( 7 ) ( 6 ) azonban ( 3 ) és ( 4 ) szerint azt is jelenti hogy w < w ( 8 ). A 6. ábrát ( 6 ) igyelebe vételével rajzoltuk eg. M9. Az 5. ábra elülnézeti képe első pillantásra egtévesztőnek tűnhet ai a gerendák agassági elrendezését illeti. Erről az elöl - és oldalnézeti képek inorálnak kielégítően. M0. Az a kisebb hiány ait a estergerendás aödéek erőtani száításával kapcsolatban eledezni véltünk az az hogy ég ne találkoztunk ilyennel a hozzáérhető szakirodaloban. Most ár ilyen is van

18 8 Források: [ ] &tb=isch&tbo=u&source=univ&ei=kyojudwzj6en4asvig4dw&ved=0ceeqsaq4cg&biw =36&bih=644#igrc=tkNhjBZWsAtwkM%3A%3BgOiALtNwkDtCjM%3Bhttp%53A%5F% 5Fvalyog.uw.hu%5Fg05.jpg%3Bhttp%53A%5F%5Fwww.eletkozosseg.net%5Findex.php%53Foption%53Dco_content%56view%53Darticle%56id% 53D63%53Avalyoghazak-epitese-szerkezetek%56catid%53D37%53Ahazotthon%56Iteid%53D%3B448%3B336 [ ] [ 3 ] V. N. Lazarjev ~ N. B. Junoseva: Projektirovanije konsztrukcij szudovogo korpusza i osznovü procsnoszti szudov Szudosztrojenije Leningrad 989. [ 4 ] Stephen P. Tioshenko ~ Jaes M. Gere: Mechanics o Materials Van Nostrand einhold Copany New York 97. [ 5 ] Muttnyánszky Ádá: Szilárdságtan Műszaki Könyvkiadó Budapest 98. [ 6 ] Lőrincz György: Microsot PowerPoint Előadások 5. pptx Tartók statikája I. 5. előadás Széchenyi István Egyete Műszaki Tudoányi Kar Szerkezetépítési Tanszék Sződliget 03. ájus. Összeállította: Galgóczi Gyula érnöktanár