STATISZTIKAI MÓDSZEREK

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "STATISZTIKAI MÓDSZEREK"

Átírás

1 HAJTMAN BÉLA STATISZTIKAI MÓDSZEREK Egetem egzet Pázmá Péter Katolkus Egetem, Bölcsészettudomá Kar Plscsaba, 0.

2

3 Bevezetés Az első félévbe (Bostatsztka) a statsztka alapat smertük meg. Természetese ez sem törtéhetett meg aélkül, hog legalább éhá statsztka módszert el e saátítottuk vola. Azok a statsztka próbák azoba, amelek az első félév aagba szerepeltek, md szerves része egeg kteredt, általáosa haszálható módszercsaládak; ezekről a módszercsaládokról lesz szó a ele tatárgba. A tatárg céla em az, hog boolult számításokat saátítsuk el; erre valók a számítógépek. A módszerek működésmódát mteg azok lelkét szereték megsmer, hog tuduk, mre valók, mkor alkalmazhatók, és m mdet árulak el az elemzett adatokról. (Legalább ola léeges azt s tuduk persze, hog mre em valók az eges módszerek, mle körülméek között em alkalmazhatók, és m az, am em olvasható k az eredméekből holott gakra úg tűk, hog ge.) Mdez persze em meg aélkül, hog az eges elárásokat egszerű esetekbe, kokrét példák kapcsá k e próbálák. Ez pedg bzo számolással, sokszor em s ola egszerű számolással ár. A számolás, amre kételeek vaguk, csak segédeszköz tehát az aag megértéséhez. (De élkülözhetetle segédeszköz!) M az mégs, am a tatárgból megmarad, amt a számítógépek korába tuda kell a pszchológusak, amt magáak kell csála tehát amt sem a gép, sem az esetleg avval egütt bérelt matematkus el em végez? Léegébe két dolog. Az egk az adatok elemzésére haszált módszer kválasztása, a másk a kapott eredméek értelmezése. Modhaták, hog a kválasztás a matematkus dolga. (De hol va a matematkus, ak azt a sok pszchológust meg orvost, meg szocológust, meg még k mdekt kszolgála?) Az, hog mle módszert kell választa, elsősorba az adatok természetétől függ. Ezt pedg k tudhatá obba, mt maga a pszchológus, ak azokat az adatokat gűtötte (mérte, megfgelte)? Rögtö az s látszk, hog már óval korábba, az adatgűtés (kísérlet, megfgelés, búvárkodás vag akárm) megkezdése előtt megelek a statsztka: ola adatokat kell gűte, amelek alkalmasak leszek a kértékelésre, amelek arra adak választ, amre a kutató (adott esetbe a pszchológus) választ vár. Ezt úg szoktuk kfeez, hog a kísérlettervezés s a statsztka muka része em zárva k ezzel a több, em kísérlet vzsgálatot. Az eredméek értelmezése pedg egértelműe a pszchológusra marad. A számítógép ad valam összefoglaló táblázatot, meg legtöbbször eg csomó p-értéket, de még a mukába segítő matematkus s (ha uga va le) legfelebb at tesz hozzá mdehhez, hog ez tt szgfkás, amaz pedg em. * De hog mdez szakmalag mt elet, mebe gazola a kísérlet feltevést, azt csak az tudhata, ak azt a kísérletet tervezte és végrehatotta. ** Már ez a Bevezetés s ízelítőt adott a köv stílusából: sok vastag- és dőltbetű, záróelek, godolatelek, sőt lábegzetek. Mdez egetle célt szolgál: az írott szövegek az élőbeszédhez való közelítését. Csak azt taácsolhatom az olvasóak: haszála k ezeket a köítéseket! Mert valóba köítésekről va szó: ha erőtelese hagsúlozzuk a dőltbetűvel kemelt szavakat vag modatrészeket, ha megálluk a godolatelekél, ha beépítük a szövegbe, egdeűvé teszszük a szöveghez tartozó lábegzeteket (amk csak azért kerültek alulra, hog a godolatmeet folamatosságát meg e szakítsák) szóval ha élük ezzel a sok felkíált segítséggel, akkor köebbe megértük mdazt, amt ez a köv közvetíte próbál. Mtha csak eg előadást hallgaták vag talá még aál s obba, hsze akkor álluk meg, amkor akaruk, ott lapozuk vssza, ahol ekük tetszk. * És még ez sem bztos, hog heles! Hsze a szgfkaca sztét m maguk választuk meg (lásd az első félév aagot); hoa tudhatá azt szegé matematkus, hog m ezúttal há százalékot választottuk? ** Egszerűség kedvéért gakra moduk kísérletet vzsgálat helett, mert ott ílk legtöbb alkalom a körülméek szabad megválasztására. Mdaz azoba, amt állítuk, egszerűbb esetekbe (pl. megfgelés) s érvées. 3

4 A egzet két hosszabb részre tagozódk; Az első rész a végleges, két félév aagot tartalmazó kövbe ez lesz a egedk rész a varacaaalízs; eek alcíme ez lehete: Mle elemzést végzük, ha ormáls eloszlású adatak vaak. A másodk elevezését tektve ötödk részbe a ragsorolásos módszerek kerültek, amt íg s körülírhatuk: Mle elárást kell követük akkor, ha foltoos, de em ormáls eloszlású adatak vaak. A félév aagához tartozak még a megállapítható (em számszerű) adatok elemzésére szolgáló módszerek, valamt a statsztka többváltozós módszereek rövd smertetése. Az előbb a félév első előadása szerepel; szorosa kapcsolódk ugas a dchotóm változókak az első félév végé elkezdett tárgalásához, aak szerves foltatása, általáosítása. Az utóbb a félévet záró téma. Ez kább csak ktektés, a gakorlatba legkább haszálatos módszerek felsorolása, általáos smertetése. Ezek egke sem szerepel ebbe a egzetbe. A egzet olvasása (taulása) feltételez az első féléves, Bostatsztka tatárg smeretét: az abba szereplő fogalmakat tt már mde magarázat ( magarázkodás ) élkül haszáluk, és em smételük át azokat a módszereket sem, amelek ott már szerepeltek. Az említett tárg aaga léegébe megegezk az (általam írt) A bometra alapa című orvosegetem egzetbe megtalálható tudvalókkal. Ez ól haszálható addg s, amíg az első féléves tatárg saát egzete meg em elek. (Ez lesz a végleges taköv első, másodk és harmadk része.) Végül éhá forma megegzés. A kövbe leszek ola bekezdések, * melek előtt el áll. Ezek vag kegészítő megegzések, vag mélebb összefüggésekre rámutató általáosítások, esetleg a tárghoz csak lazá kapcsolódó eszmefuttatások, leggakrabba azoba levezetések. Ez utóbbakat megtaul em kell, em s arra valók. Meggőződésem azoba, hog agba segít a módszerek megértését, összekapcsolásukat más, első látásra léegese külöböző elárásokkal, ha áttaulmáozzuk, végggodoluk ezeket a levezetéseket. Még obb, ha maguk próbáluk meg elvégez eg-eg levezetést, képletátalakítást. Csak a végeredméek kell megegeze a kövbe találhatóval: eg átalakítást számtala külöböző úto el lehet végez. Ak smer eg formula származtatásáak módát, egk képletek a máskba való átalakulását, aak sokkal kevesebbet kell megtaula. A beszélgetős stílusak elletmoda látszk, hog a képletek éppe úg, mt eg komol matematka kövbe meg vaak számozva. Eek a számozásak azoba egetle céla a hvatkozások köebbé tétele: em kell mdg magarázkod, hog mről, mek a képletéről va szó (vag amre még godol s rossz: em kell a már megsmert képleteket mde alkalommal megsmétel): elég egetle számmal utal ráuk. Mdamellett a képleteket em kell megtaul. A kövhöz kapcsolódk az a képletegzék, amelet az óráko, a dolgozatok írásakor, sőt a vzsgá s haszálhatak. A egzék az első féléves tatárg képletet s tartalmazza, de hsze azok ava részére úgs szükségük lesz ebbe a félévbe s, a témák szoros kapcsolódása matt. A köv eltérőe a hasoló kövek többségétől em tartalmaz statsztka táblázatokat. Ezeket ugacsak külö füzetbe kapa meg mdek, ak a tárgat hallgata, abból vzsgázk vag ak csak magáúto szerete ezzel a tatárggal megsmerked. A táblázatok és a képletegzék tehát mteg a köv mellékletét képezk; eek megfelelőe törték a ráuk való hvatkozás s. * Ha eg-eg le elkülöített, ehezebb rész hosszabb lee, a elet dőkét ha em s mde bekezdés előtt megsmételük. 4

5 TARTALOMJEGYZÉK A köv részet egszámegű elölés mutata, a kétszámegű címek az eges feezetek, a három számegűek a szakaszok (vag feezetrészek), a ég számeggel megkülöböztetettek az eges potok megelölése. A köebb táékozódás érdekébe a kövbe található utalások s haszálák ezeket az elevezéseket. 4 Varacaaalízs 7 4. Normáls eloszlású adatok 7 4. Az egszempotos varacaaalízs Több függetle mta összehasolítása Jelölések és előkészítő számítások A varaca felbotása és Cochra tétele A leárs függetleség A égzetösszeg felbotása A szabadságfokok meghatározása Cochra tétele A varacaaalízs befeezése A varacaaalízs feltétele 4..6 Traszformácók alkalmazása A varacaaalízs és a kétmtás t-próba vszoa A emleárs korrelácós egüttható A mták regresszós függése a szempottól Varacaaalízs és leárs regresszó A égzetösszeg felbotása A szabadságfokok meghatározása A varacaaalízs befeezése Varacák összevoása A leartás elleőrzése Példa regresszós varacaaalízsre A varacaaalízs táblázata Radomzált blokkok Blokkok kalakítása Szocáls kerpárok Radomzálás A égzetösszeg felbotása A szabadságfokok meghatározása A varacaaalízs befeezése Radomzált blokk és egmtás t-próba Többszempotos varacaaalízs A varacaaalízs addtvtás feltétele A varacaaalízs külöféle modelle A égzetösszeg felbotása Kísérlet elredezések A kétszempotos varacaaalízs Jelölések és képletek Példa kétszempotos varacaaalízsre Többszörös összehasolítás A Boferro-módszer Néhá többszörös összehasolítás elárás Scheffé módszere Statsztka próba és kofdecatervallum Leárs kotrasztok Scheffé kofdecatervalluma valame kotrasztra A módszer előe és hátráa 80 5

6 5 Ragsorolásos elárások Ragsorolás és ragszámok Két csoport összehasolítása Ragsorolás és kapcsolt ragok Átlag és szórás Az egformák matt korrekcók Függetle mták összehasolítása A Ma Whte-próba A próba feladata és elevezése A táblázat haszálata Nag mták vzsgálata A Kruskal Walls-próba Jelölések és képletek Példák Kruskal Walls-próbára Az egforma adatok matt korrekcó A Kruskal Walls- és a Ma Whte-próba vszoa Összetartozó mták összehasolítása A Fredma-próba Radomzált blokkok elemzése ragszámokkal Ks mták esete A Fredma-próba és az előelpróba vszoa 5.3. A Wlcoo-próba Összetartozó mtaelemek külöbségeek ragsorolása Példa a Wlcoo-próbára Nag mták vzsgálata Kapcsolt ragok előfordulása Ragkorrelácós módszerek A Spearma-féle ragkorrelácós egüttható Az adatok ragsorolása Az r S egüttható kszámításáak móda Példák a Spearma-féle ragkorrelácós egüttható számolására A Spearma-féle ragkorrelácós egüttható szgfkacáa A Kedall-féle ragkorrelácós egüttható Az egüttható képlete A számolás elvégzéséek célszerű móda Grafkus elárás az egüttható kszámítására A táblázatos módszer A Kedall-féle ragkorrelácós egüttható szgfkacáa Melket számítsuk k a két egüttható közül? Az egetértés egüttható Az egetértés egüttható haszálatát gélő feladatok A W egetértés egüttható kszámításáak móda Ragsorokból álló mták A közvetle ragsorolás előe A közvetle ragsorolás ehézsége A páros összehasolítások módszere A W egetértés egüttható szgfkacáa A kapcsolt ragok matt módosítás Az egetértés egüttható és a ragkorrelácó vszoa A mátr fogalma A korrelácós mátr A ragsorolásos próbák előe és hátráa 78 6

7 N e g e d k rész Varacaaalízs 4. Normáls eloszlású adatok A ormáls eloszlás elmélet eloszlás; az adatok ormáls eloszlása azt elet, hog azok ormáls eloszlású változóból valók. Nem köű (kevés adat eseté pedg egszerűe lehetetle) elleőrz, hog ez íg va-e, mégs gakra alkalmazuk ola módszert, amelek alkalmazás feltétele az adatok ormáls eloszlása; ez törték a varacaaalízs esetébe s. Vaak statsztka módszerek (próbák), amelek alkalmasak az ú. ormaltás elleőrzésére; eg let m s megsmertük a 3. részbe. Ám a ormaltásba akkor sem bízhatuk gazá, ha az elleőrzés em cáfola azt. Jól tuduk, hog a próbák főkét a ullhpotézs (tt: az eloszlás ormaltása) elvetése eseté megbízhatók: a ullhpotézs megtartása em feltétleül elet aak gaz voltát. (A másodk fata hba redszert smeretle, és általába agobb s az általuk választott első fata hbáál.) A ormáls eloszlással már a köv első feezetébe megsmerkedtük (l. az.. szakaszt), és később s sokat találkoztuk vele. A másodk részbe tárgalt statsztka elárások szte md felhaszálták azt a feltételt, * hog adatak legeek ormáls eloszlásúak. Valóba ola gakor lee a ormáls eloszlás, hog érdemes egész módszercsaládokat erre a feltételre építe? Mdeekelőtt szögezzük le, hog a ormáls eloszlás potosa soha em valósulhat meg a gakorlatba vzsgált változók közt. Sok esetbe például elméletleg kzárt, hog eg adat egatív lege; márpedg a ormáls eloszlás a teles számegeese míusz végtele és plusz végtele közt értelmezett elmélet eloszlás. Mvel azoba ag része a várható érték körül, vszolag rövd tervallumba tömörül, ** a változók korlátozott teredelme, pl. poztív volta em akadála aak, hog azok közelítőe ormáls eloszlásúak legeek; ez pedg elég arra, hog a ormáls eloszlásra kdolgozott statsztka módszereket alkalmaz lehesse. Külööse gakor ez a foltoos eloszlások közt; le eloszlásból származk mde mérés adat. Mvel a köv első két része csupá eekkel foglalkozott, vszolag köű volt elfogad a ormaltás (valóába ago s szgorú) feltételét. Aál s kább, mert a ormaltástól lvávalóa eltérő esetekbe gakra találtuk ola traszformácót (l. az... potot), amel ormalzálta az adatokat, azaz ola eloszláshoz vezetett, amel már közelítőe ormáls volt. Ezeket a traszformácókat legtöbbször em találgatással kellett megkeres; elmélet megfotolások támaszták alá, hog pl. a tömegmérés eredmée esetébe végzett logartmus-, vag az dőadatoko végzett recproktraszformácó mért eredméez ormáls eloszlást. A köv harmadk részébe azoba bevezettük a dszkrét változókat (és a belőlük származó dszkrét adatokat); ezért va arra szükség, hog ezt a kérdést smét elővegük. Elsősorba a számokkal ellemzett adatokkal kell foglalkozuk, hsze ezek hasolítaak legobba a korábba vzsgált mérés adatokhoz. Godoluk például a övedelemre (moduk az emberek hav övedelmére, haza valutákba, fortba). Ez bztosa em foltoos, *** még akkor sem, ha fort potossággal határozzuk meg, de a gakorlatba algha beszélek másról, * A feltétel (ebbe az összefüggésbe) azt elet, hog akkor lehet a szóba forgó elárást alkalmaz, ha az adatok megfelelek azokak a követelméekek, ameleket feltételek címe felsoroluk. Ebből s látszk, mere heltele felcserél az dege szavakat kerüledő a hpotézs szót a feltétellel! ** Mderről részletese volt szó korábba. Tuduk hog az eloszlás ag része eg ég szórás tervallumo belül helezkedk el, a várható érték körül hat szórás hosszúságú tervallum (+3 pedg gakorlatlag az egész eloszlást tartalmazza. *** Am azt eleteé, hog két övedelem közt mde közbülső érték előfordulhat. 7

8 mt 00 Ft-ra kerekített értékekről. De még lekor s ago hasolít a övedelem eloszlása eg foltoos eloszláshoz! Az értékek közt külöbségek összehasolítva az eloszlás teredelmével ola kcsk, mtha foltoos lee az eloszlás. A gakorlatba sok le változóval találkozuk. Doháosok esetébe a apota elszívott cgaretták száma, eg telefoközpotba adott dő alatt befutott hívások száma (stb.) md hasoló tuladoságúak. De em mde számszerűe ellemzett dszkrét változó le! Az skola végzettség például, amelet az elvégzett osztálok számával szokás megad, algha tekthető foltoos változóak, még kevésbé (akármle aglelkűe elfogadott közelítésel) ormáls eloszlásúak. A em számokkal haem például szavakkal, modatokkal ellemzett dszkrét változókak látszólag semm közük em lehet a ormáls eloszláshoz. Magukak a változókak em s, de a belőlük vett mtákhoz tartozó gakorságokak már ge! Olara. hog már haszáltuk s le közelítést, amkor a gakorságokat, ha azok elég agok voltak, * ormáls eloszlásúak tektettük; eze alapult a kotgecatáblázatokból számolt valame -próba. Most azoba em le, elmélet megfotolásoko alapuló ormaltásról va szó. Ahhoz, hog eg mta esetébe t-próbát, vag ebbe a részbe varacaaalízst alkalmazzuk, a mta adataak szemre s elfogadható ormaltását követelük meg. Ez pedg a mérés (azaz foltoos változóból származó) adatok és ola dszkrét adatok esetébe valósul meg, amle pl. az előbb említett övedelem -példa: amkor az adatok közt külöbségek ola kcsk, hog az eloszlás szte foltoos. ** Akárcsak maguk a mérés adatok! És ezeke a foltooshoz hasoló dszkrét adatoko szükség eseté ugaúg elvégezhetük azokat a traszformácókat, amelek előállíták a ormaltást, ha eredetleg kétség fért hozzá. A ormaltás feltételét tehát eléggé lazá kezelük. Ha az adatoko em észlelhető feltűő ferdeség (aszmmetra), akkor el szoktuk fogad azt a feltételezést, hog azok ormáls eloszlásúak. Erre bztat egrészt a tapasztalat, másrészt az az elméletleg gazolt állítás, hog a ormáls eloszlás valóba ge gakor a természetbe. (Tehát ez a ormáls állapot.) A varacaaalízs külöféle típusat smerük meg a következőkbe. Az a feltétel, hog az adatok ormáls eloszlásúak legeek, valameél szerepel (ha ezt esetleg em s modaák külö). Az eges elárások tovább feltételet mad a módszerek tárgalása sorá említük meg. 4. Az egszempotos varacaaalízs 4.. Több függetle mta összehasolítása Gakra szerepel több mta eg vzsgálatba: többféle kezelést hasolítuk össze (általába va eg kezeletle csoport s; ezt hívák kotrollak), külöböző körülméek közt vzsgáluk ugaazt a eleséget, vag külöböző (pl. eltérő életkorú) csoportokat ézük (ezek hovatartozás szert külöbözek). *** Amt lekor tud szereték, az az, hog ezek a csoportok (kezelések, körülméek) külöbözek-e. A kezelés hatásosságát éppe ez a külöbözőség elet. A dolgok hátterére vlágít rá, ha a hovatartozás szert megkülöböztetett csoportok (férfak és ők, falusak és városak, fatalok és öregek stb.) értéke eltér. A eleségek (pl. a lelk eleségek) természetére voatkozó formácót erhetük abból, ha azok eltérőe vselkedek külöféle körülméek közt (pl. appal vag északa, zaba vag csedbe, külöböző szíek eseté stb.). * Emlékszük még, mle ehe volt ez a követelmé? ** Ne feletsük, hog a gakorlatba mde adat dszkrét! Ha mérük valamt, akármle potossággal tesszük azt, az eredmét kerekítük; az adatok tehát dszkrét értékek, bármere foltosos s az a változó, amelek értéket mérük. *** Nem céluk eze a hele a külöböző kísérlet felépítések tárgalása vag akár csak felsorolása; külö kötetek, az egeteme külö tatárgak foglalkozak ezzel a témával. Az említett lehetőségek pusztá példák, és egáltalá em törekedtük telességre, de még potosságra sem. Itt csak a kapott adatok statsztka kértékelését tartuk szem előtt. 8

9 Valóába mket az adatok agsága érdekel. A gógszer fölemel vag csökket a mért változó pl. véromás értékét, a férfak magasabbak a őkél, a szorogás fokozódk az északa órákba stb. Vszot az adatok agságát legobba az őket képvselő átlag ellemz; a varacaaalízs éppe ezért az átlagok egformaságát vag külöbözőségét vzsgála. Ez elet a mták egformaságát vag külöbözőségét. Fotos, hog külöbséget tegük a vzsgált változó és a mtákat megkülöböztető specfkácó közt. Ez utóbb a fet példák esetébe a kezelés, a körülmé, a hovatartozás (mt pl. az életkor). Aak elleére, hog ez rtká mérhető (az életkor esete eg le rtka kvétel), célszerű ezt s változóak evez. (A megállapítható változó s változó!) Ezt a változót foguk -szel elöl, és a (mket tuladoképpe érdeklő) vzsgált változót (pl. a véromást, testmagasságot, valamle lelk eleség mérőszámát) -al. Mt a címbe s olvasható: ezekek a mtákak függetleekek kell leök. Ez egész egszerűe azt elet, hog az egkbe szereplő adatok semmle befolással e legeek a másk mta adatara. (Ha tehát az egk mta adatat megváltoztatuk, attól a másk mta adata e változzaak.) Legegszerűbb, legtermészetesebb formáa az le függetle mtákak, ha azokba más személek szerepelek: egetle ola személ se lege, ak két vag több mtába szerepel (például úg, hog két kezelést s kpróbáluk ugaazo a személe és mdkét adatot fölhaszáluk). Több mtát kell tehát összehasolítauk, és ezt egszerre akaruk elvégez. De mért egszerre? Mért em ó, ha kveszük két mtát, összehasolítuk őket, * aztá veszük úra kettőt, összehasolítuk azokat s, addg foltatva ezt, míg mde összehasolítás meg em törtét? ** Azért em, mert mde összehasolítás eg-eg statsztka próbát elet. Mde próbavégzés közbe vállaluk bzoos kockázatot: aak kockázatát, hog elvetük az (egébkét gaz) ullhpotézst. Ez a kockázat redszert 5%; korábba kább (első fata) hbáak hívtuk. Ezek az alkalmakét vállalt kockázatok pedg összegűlek úg szokták szép tudomáosa moda, hog kumulálódak, am a végé azt eredméez, hog ha külöbséget találuk a mták közt, eek az állításak a htelessége ugacsak kcs: a (kumulálódott) első fata hba moduk 40% lesz. Nem csoda, ha le ag hba le magas szgfkacaszt! mellett egforma mták közt s gakra találuk külöbséget. Az eges próbavégzések hbá em adódak egszerűe össze, de ez gege vgasz ebbe az esetbe. Ha összeadódáak, akkor már 0 összehasolítás 0 kétmtás t-próba utá a (tévese kapott) külöbség hbáa 00% lee! (Ne feletsük el: azt ézzük, hog mkor kapuk külöbséget abba az esetbe, ha cs külöbség vags ha gaz a ullhpotézs. Első fata hbát csaks lekor lehet elkövet.) Még függetle összehasolítások eseté scs egszerű összeadódás, de ha valame párt megézzük, az összehasolítások em leszek függetleek. Ha (például) azt kaptuk, hog az A mta agobb B-él (ez az átlagok külöbségét elet) és a C mta agobb A-ál, ebből már (szte bztosa) következk, hog C B-él s agobb. (A szórások és elemszámok külöbözősége *** matt em telese bztos ez az állítás.) A mdeesetre gaz, hog bzoos összehasolítások eredmée a többekéből már következk. Hog köebb lege megérte, mért heltele a párokét próbavégzés az egszerre törtéő dötés helett, megpróbáluk szemléletes magarázatot ad az előbb, ago s teoretkus dokolás helett. Va több függetle mták, amelek közt semm külöbség cs hsze ugaabból a változóból vettük őket. Hoga lehetséges ez? Hát például úg, hog külöböző (góg)szerek hatá- * Erre smerük s elárást a másodk részből: a kétmtás t-próbát. (Normáls eloszlású, függetle mtákról va szó!) ** A statsztka elemeek megsmerése sorá már találkozott le feladattal az olvasó. Íg k tuda számíta, hog há összehasolítás lehetséges. Például 0 mta eseté 45; emde? *** A szórások egformaságát egébkét külö feltételbe foguk kköt, akárcsak a t-próbáál. 9

10 sát kíváuk vzsgál valamle változóra, de a csoportok egke sem kapta meg a szert, mert az evvel megbízott személ egszerűe em adta be. (Persze m ezt em tuduk.) Ilekor s lesz a véletle hatása következtébe ém külöbség a csoportátlagok közt. Ha elég sok csoportuk va, (szte) bztos, hog a legksebb és a legagobb átlag szgfkása külöbözk. (Próbálák k!) Ha em lee íg, az arra mutata, hog a véletle em működhetett szabado. Elfogaduk tehát, hog egetle próbával kell döteük, egszer szabad csak kockázatot, első fata hbát vállaluk. Ezt az egszerre dötést egetle F-próba végz el és am lehetővé tesz a próbát, az a címbe említett egszempotos varacaaalízs. Melőtt bemutaták képletbe és példá a módszert, beszélük rövde arról, hog mt elet az egszempotos kfeezés. Nlvá azért hívák íg, mert va két- (és több)szempotos varacaaalízs s. De mt evezük szempotak? Azt a változót (-et), amel megkülöböztet a mtákat: a kezelést, a körülméeket, a hovatartozást. (Ez utóbb emcsak a már említett életkor lehet, haem a em, a származás, a szocáls státus, az skola végzettség és sok mde más.) Az egszempotos pedg azt elet, hog egetle le specfkáló változó va. Jól megvlágíta ezt eg egszerű példa. Va ég csoportuk, amelek hovatartozás szert külöbözek: fatal ők, fatal férfak, dős ők, dős férfak. Itt két megkülöböztető változó va: a kor és a em. Ha ezt fgelme kívül hagva egszerűe összehasolítaák a ég csoportot, eheze vag sehog sem tudák megállapíta, hog az (esetleg) talált külöbséget m okozza: a vzsgált személek kora? Vag az, hog a férfak és ők közt külöbség va? Netá mdkettő? Eek eldötésére kétszempotos varacaaalízsre lee szükség. Egelőre azoba még az egszempotost sem smerük, ezért haguk tt ezt a példát. Csak at egzük meg, hog ezt a ég csoportot em heles eg sorba ír; ha égzet alakba redezzük el őket úg, hog a fölső sorba kerülö az első és a harmadk mta, aláuk a másodk és a egedk, akkor a sorok eltérése mutata a emek külöbségét, az oszlopoké pedg az életkor okozta külöbségeket. Erre később még vsszatérük. Egelőre azoba eg sorba redezzük mtákat, hsze egetle szempot külöböztet meg őket: külöböző gógszerek (akárhá lehet!) vag eg gógszer külöböző dózsa. Az olvasóra bízom, hog a körülméek és a hovatartozás esetére s képzele magáak példát, ahol egetle sorba lehet rak a mtákat, hsze egetle szempot (egetle változó) külöböztet meg őket. Ikább e az előbb példával próbálkozzék, mert ott mde szempotak csak két értéke va: fatal és öreg, férf és ő; erre az esetre pedg alkalmazható a kétmtás t-próba s. (Hbát azoba íg sem követ el, hsze a több függetle csoport em elet azt, hog kettőél több; a varacaaalízs két mta összehasolítására s alkalmas.) 4.. Jelölések és előkészítő számítások Az adatok elölésére legtöbbször az betűt haszáluk, de semm ehézséget em elet, ha ezúttal -al elölük azokat. (Később vsszatérük a megszokottabb -hez.) Emlékeztetük, hog ezt a kssé redhagó elölést a mtákat megkülöböztető másk változó a szempot matt vezettük be: -szel ugas amazt elöltük. Az eges mtaelemeket a változó (alsó) dee, külöböztet meg egmástól; ez és (a mta elemszáma) közt változk. Csakhog tt em eg, haem több mta va! Ezért szükség va eg másodk dere (), amelk azt mutata meg, hog háadk mtáról va szó. Az adatok általáos elölése ; íg például 3 a harmadk mta másodk elemét elet. Nem lesz azoba ó az elölés sem, hsze az eges mtákba eltérő lehet az elemszám. Ezért ezt s deszel látuk el:,,, általába : e már tuduk, hog háadk mta elemszámáról va szó. Még eg elölésre szükség va, hog az adatokat táblázatba foglalhassuk: h foga elöl a mták számát. A mtákat valahog el kell evez. A gakorlatba redszert az alkalmazott kezelés, a körülmé, a hovatartozás ada a evet; vags a szempot az változó értéke. Egelőre az ABC agbetűvel szmbolzáluk őket. Az áttekthetőség érdekébe foglaluk táblázatba a modottakat (4.. táblázat). 0

11 4.. táblázat: Az egszempotos varacaaalízs elölése A B... Z h h 3h... h h Elemszám: Összeg: T T T T h T h N T Átlag : h Az adatok égzetösszege: h Korrekcós tag: T T T T Th h T Négzetösszeg: h Varaca: s s s s s h Szórás: s s s s s h Az adatoszlopok egelőtle hosszúsága a mták eltérő elemszámát szmbolzála. A 4.. táblázat alsó részébe az előkészítő számolások szerepelek. Ezekbe cs semm ú (a szórások kszámításáról va szó), egedül az összegre vezettük be ú elölést: (4.) T. A szórásszámítások részletere szükségük lesz később, ezért tütettük fel valamet. Az eges lépések eve és kszámítás képlete egarát szerepel a táblázatba kvéve az utolsó három lépést. Bár ezek s ól smertek, bztoság kedvéért megaduk őket: (4.) T, vags a fölötte levő két szám külöbsége.

12 (4.3) s, s s. Egelőre hggük el (mad később lát s foguk), hog ezekek a részeredméekek az összege ó lesz valamre; az utolsó oszlop ezeket tartalmazza. Ezért kár lett vola külö táblázatot készíte később. Mdössze öt sorba készítettük el az összeget. (Sor rába összegezük; ez -re voatkozó összegezést elet. Föl s tütetttük ezt, a szumma el alatt. A kettős szumma azt elet, hog mdkét változó valame értékére el kell végez az összegezést.) A több összeg azért házk, mert em haszáluk föl később; egébkét az átlagok vag a szórások összegéek cs s értelme, cs semmle megfogalmazható tartalma. A több összegek azoba va! A másodk, a táblázatba -es számmal elölt összeg például a teles mta, vags az összes adat összege. (Mtha ömleszteék őket.) Hasolóképp értelmezhető a képletek alapá a másk ég összeg s. Az utolsó oszlopba látható bekarkázott számok pusztá kéelm célokat szolgálak: magarázat közbe, amkor a varacaaalízs képletet vezetük be és értelmezzük, ehézkes lee folto a boolult képleteket vag a szté em egszerű szöveget ( az összes adat égzetösszege és ez még az egszerűbbek közül való) déz. Ezért ezekkel a számokkal utaluk ráuk. Melőtt a varacaaalízsbe belekezdeék, lássuk eg példát. Természetese a példá s csak az előkészítő számításokat tuduk egelőre elvégez, de az olvasó, külööse a képletek vlágába áratlaabb olvasó ól tesz, ha saát maga s véggszámola ezeket, és egeztet eredméet a kövbe találhatókkal. A megértés elleőrzéséek legbztosabb móda a kövbe található számpéldák öálló megoldása; máskor s élük ezzel a lehetőséggel. A számpélda ezúttal kvételese valód : egetem hallgatók (gógszerészek) laboratórum méréseből vettük őket. A részletekre, a példa szövegére tt cs szükségük, de a tsztesség úg kíváa, hog rövde smertessük az adatok eletését. Valamle szárított gógövé törmelékéből kellett a hallgatókak kvouk a bee levő glkozdot. Az adatok ( ) azt mutaták, hog a teles glkozdmeség há százalékát skerült a hallgatókak kvouk a övéből. Az eges mtákat a gógövétörmelék fomsága külöböztet meg: a mták eve a övédarabok mérete (az ú. szemcseméret) cetméterbe. * Ez lesz a később változó. A kérdés tehát valam olasm, hog a kvoható glkozdmeség függ-e vao a övé szemcseméretétől. Az eddgek alapá az a megfogalmazás lee természetesebb, hog külöbözk-e a kvoható glkozdmeség eltérő méretű övétörmelék eseté? A fet szóhaszálat azoba, amel a szemcseméret és a glkozdmeség közt összefüggést emel k, emcsak a szöveget tesz egszerűbbé, haem rávlágít a statsztka módszer ele esetbe a varacaaalízs kapcsolatára más (tt korrelácós és regresszós) elárásokkal. Érdemes él ezekkel a elv fogalmazás eszközökkel: köebbe érthetők, sőt maguktól értetődők leszek a statsztka ola retett összefüggése, ameleket csak boolult matematka módszerekkel lehete egébkét kmutat. Ezekre az adatokra tehát varacaaalízst foguk alkalmaz. Ez s mutata, hog a feltételek telesülése voatkozásába em vaguk valam kéesek. Hsze a százalékok, ezek a emcsak alulról **, haem fölülről s szgorúa behatárolt adatok em követhetek ormáls eloszlást! Mvel azoba adatak valahol a skála közepé helezkedek el, ez a behatárolás em ért őket számottevőe. Másrészt a mérések eredméét regeteg, egmástól léegébe függetle téező * Voltaképp a szétválogatáshoz haszált szta mérete az, amt smerük. Ez kább csak eg fomság fokot ad meg, em gaz méretet. ** Legtöbb mérés adat poztív, tehát alulról mdg be va határolva.

13 befolásola. Íg hát abba bízuk, hog eloszlásuk mégscsak (közelítőe) ormáls lesz. (Ezt ígér ekük a cetráls határeloszlástétel.) Lássuk ezutá a példát! (4.. táblázat.) A számoláshoz és a elölésekhez cs semm hozzáfűz valók; mdezt megtettük az. táblázattal kapcsolatba. Egetle sorral egészült k a. táblázat (az elsőhöz vszoítva): ebbe V-t, a varácós egütthatót adtuk meg. Bztoság kedvéért eek s megsmételük tt a ele esetre alkalmazott képletét: s (4.4) V 00. Megegezzük, hog kszámítása em tartozk szorosa a varacaaalízshez; általába cs s rá szükség. De valóába az átlagra és a szórásra scs szükség (vags: em haszáluk fel őket a varacaaalízs végzésekor), mégs llk őket kszámíta. (Mták megsmeréséhez szükségük va ráuk.) 4.. táblázat: Példa egszempotos varacaaalízsre 0,08 0,5 0,6 0,475 0,8 64, 73,9 44,6 70,0 36,8 58, 63,8 4,6 3,3 60,3 54, 39,6 56,7 7,6 48,6 59,4 54,0 43,6 8,0 37,9,8 46, 39,4 3,8 6, 6,3 3,0, T 347,7 53, 85,9 6,9 8, 3,7 57,95 50,6 47,65 36,5 5,6 T 3,49 349,39 435,3 883,4 346,6 6080,03 049,5 8,9 363, ,935 38, ,9 064,75 679,468 77,995 44,475 80, ,90 s,855 69,867 45,599 88,495 45,7 s 4,590 3,033,066 9,407 6,7 V 5,8 5,75 5,3 6,0 6,3 3

14 4..3 A varaca felbotása és Cochra tétele A varaca eg égzetösszeg és eg f szabadságfok háadosa; a szabadságfok a égzetöszszeg leársa függetle tagaak számával egelő. Ez mdg ksebb a égzetösszeg tagaak számáál; hog mevel ksebb, azt a tagok közt feálló leárs összefüggések száma határozza meg. Ezekkel a fogalmakkal találkoztuk már, azt s tuduk, hog egetle mta varacáa eseté a éppe tagból áll (ahol a mta elemszáma), a szabadságfok pedg eél eggel ksebb, tehát ( ). Mégs álluk meg tt eg pllaatra, és vzsgáluk meg a kérdést kcst általáosabba A leárs függetleség Leárs a matematka kfeezésekbe elsőfokút elet. A lea (= egees) egelete első fokú tagokból áll; e a év. Azért fotos az elevezésbe a leárs elző hagsúlozása, mert a égzetösszeg másodfokú tagokból áll; a függetleséget (lletve az összefüggést) em a tagok, haem azok égzetgöke közt keressük. A leárs függetleség csak a leárs összefüggéssel egütt, aak segítségével értelmezhető. Lássuk tehát először, m s az a leárs összefüggés. A z, z,, z meségek közt akkor áll fö leárs összefüggés, ha skerül talál ola c, c,, c egütthatókat, amelek em valamee ullák, * és amelekre telesül (4.5) c 0. z Ha le va, akkor az egk z (eg ola, amelkek em ulla az egütthatóa) kfeezhető a több segítségével: a többt átvsszük a túloldalra, és az egütthatóval osztuk. Il módo az egk z-t a többek leárs kombácóával feeztük k. A z meségek téleges száma tehát em, haem -gel kevesebb. Ha még eg összefüggést találuk, az egész elárást megsmételük és már csak ( ) z meségük va; amt az eredet, darab z-vel k tudtuk feez, azt ( )-vel s k tuduk. És íg tovább: ahá leárs összefüggést találuk, aval csökke a z meségek száma. Az elhagottakat a megmaradtakkal azok leárs kombácóval feezzük k. Am végül s megmarad, azokat leársa függetleekek evezzük. Arra természetese vgázuk kell, hog az összefüggések s függetleek legeek: e következzék egk a máskból. Ezt kább számpéldá mutatom meg. Találtuk eg leárs összefüggést: z + 3z + z 3 = 0. (Moduk, hog a több c ulla. De az s lehet, hog összese három z va.) Akkor em állhatuk elő a következővel, mt úabb összefüggéssel: 4z + 6z + z 3 = 0. Pedg gaz ez s! De em függetle amattól, hsze úg kaptuk, hog az elsőt -vel véggszoroztuk. (Akármle számmal szorzuk, em ú összefüggést kapuk, haem az előbb közvetle következméét.) Ugaíg em ú leárs összefüggés, ha két már számításba vett összefüggés összegét vag külöbségét próbáluk meg elsüt, mt úabb összefüggést a z meségek közt. Ezt már em ola köű belát, mt az előzőt, de hggük el: íg va. Nem kell túlságosa belemerülük a kérdésbe, elég, ha értük, mről va szó. ** Közbe kétszer s haszáltuk magarázat élkül a leárs kombácó kfeezést: eges z-ket a többek leárs kombácóával feeztük k. Ez tehát ugaola, egütthatókkal képzett elsőfokú összeg, mt (4.5), csak éppe em kell ullával egelőek lee. * Ha mde c ulla, akkor a következő sorba (képletbe) megfogalmazott állítás lvávalóa gaz. A matematka az let trváls összefüggések evez, és természetese em számíta a leárs összefüggések közé. ** Ha etá egszer le összefüggéseket kell keresük, e félük, hog olaokat találuk fölír, amelek em függetleek. Hacsak em szádékosa tesz valak (például szorzással vag két összefüggés kombácóával), akkor em foga elkövet ezt a hbát. Érdekes, de gaz: egmásból következő összefüggéseket véletleül em ír föl az ember. 4

15 Térük most rá a égzetösszegekre. A legegszerűbb, a legtöbbet szereplő az, amelet egetle mta varacááak számítása sorá kapuk: (4.6) ( ). Ezúttal a szokásosabb elölést haszáltuk helett. Azt tuduk, hog eek szabadságfoka ( ). De m az az egetle leárs összefüggés, amel ezt a csökkeést okozza? És egáltalá: mk azok a (korábba z-vel elölt) tagok, amelek közt az összefüggést keres kell? Mvel leárs összefüggésről va szó, lvá em a kfeezés (égzetes) taga kelleek, haem azok égzetgöke (potosabba: a égzetre emelés előtt kfeezések): ( ). A keresett leárs összefüggés s ól smert: ( ) 0. A korább godolatmeetbe llesztve ez azt elet, hog valame c egüttható -gel egelő. A varacaaalízs első lépésbe a égzetösszeget bota mad fel tagokra. Feladatuk lesz e tagok szabadságfokát meghatároz. Ehhez a köztük feálló leárs összefüggéseket kell észreveük (és fölíruk), de eél egszerűbbe s elárhatuk: szemléletese belátuk, hog mle összefüggések vaak a tagok közt (aélkül, hog fölírák őket), és ezért mevel csökke a tagszámhoz képest a szabadságfok. * A égzetösszeg felbotása A varaca kompoesekre botása mdg, íg a varacaaalízsbe s úg törték, hog a számlálóba álló égzetösszeget és a evezőbe álló szabadságfokot botuk fel összegekre (akár többtagúakra s), mad ezekből külö-külö számoluk varacát. Az eredet varaca a kompoesekek em összege, haem súlozott átlaga lesz, a evezőkkel (szabadságfokokkal) mt súlokkal számolva. Mdezt egébkét tuduk már a korábbakból. A felbotás akkor haszos, ha az eges kompoesekek eletése va, ha képvselek valamt. A varacaaalízs céla éppe az, hog le kompoeseket állítso elő. Az egszempotos varacaaalízs mdössze két kompoesre bota a varacát. Az első a mták közt külöbségeket ellemz (ezt k s -tel elölük), a másodk a mtáko belül, elképzelésük szert pusztá a véletletől függő eltéréseket; eek elölése s. A felbotadó, a teles mta az ömlesztett adatok külöbözőségét ellemző varaca ele s t. Az deek az eges varacák ellegzetességéek kezdőbetűére utalak, íg köe megegezhetők. Mt modtuk, a teles varaca a mták közt és a mtá belül varaca súlozott átlaga ezzel azoba em sokra megük. Sokkal haszosabb számukra az az összefüggés, amel szert a teles mtához tartozó égzetösszeg,, a másk két égzetösszeg összege: (4.7). t k b Ez fog hozzásegíte ahhoz, hog az úabb égzetösszegek képletét előállítsuk. t A mták közt eltéréseket úg ellemezhetük legobba, ha helzetüket az átlagukkal aduk meg; a mták átlaga közt külöbség mértéke az ezekből számított varaca és égzetösszeg megfelelő mértékszám lesz a mták közt külöbségek mérésére. A mtá belül eltéréseket a saát átlaguktól mért égzetes eltérések összege () ellemz a legobba; ezeket kell valahog kombál, hog egetle mérőszámot kapuk a h mta közös ellemzésére. A megfelelő formulákat eg levezetés szolgáltata. Egetle ú elölésre va (degleese) szükségük, a teles mta átlagára: b * Még egszerűbb az, ha egszerűe megtauluk, hog melk égzetösszegek me a szabadságfoka. 5

16 (4.8). N És most lássuk a levezetést! * (4.9) t ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) b k 0. A trükk mdössze a volt, hog mde taghoz hozzáadtuk és levotuk a mtaátlagot (ezzel semmt em változtatva). A két tagot uga fordított sorredbe kaptuk meg, de modavalóuk a mták saát átlagatól való eltérések égzetösszege, lletve az eges mtaátlagok közt eltérések égzetösszege potosa ugaaz, mt amt előre elhatároztuk. De mért lesz ulla a kétszeres szorzat? Erről még szóluk kell éhá szót. Itt haszáluk k azt, hog éppe az átlagokat vttük be, a tőlük való eltéréseket vzsgáltuk. Tuduk, hog az átlagtól való eltérések összege ulla; ezért tűt el a kétszeres szorzat. De lássuk a kérdést részletesebbe s! Mvel az egk téezőbe em szerepel, az kostas az szert összegezés szempotából. Ezért kemelük a szumma el elé: ( )( ) ( ) ( ) A szert összegezés mde tagába eg ullával egelő összeg áll (az eges mták saát átlagaktól való eltéréséek összege). Eg ola (h tagú) összegük va tehát, amelek mde taga ulla; az le összeg m lehete más, mt ulla? A kapott kfeezések egelőre uga csak -os, em kötelező aagrészbe kaptuk meg őket potosa mutaták, hog mről va szó (a mtáko belül, lletve a mták közt égzetösszegről), de számolásuk ge kéelmetle, hosszadalmas. ** Ezért átalakítuk őket úg, ahog egetle mta varacáa esetébe s tettük. Ismét levezetés következk (4.0) b ( ). Nemcsak hallatlaul egszerű képletet kaptuk, haem már meg s va ez az érték! A két táblázatba potosa ezt elöltük -tel. A másk formula már em lesz le egszerű, de számolásra sokkal alkalmasabb a korább, defáló képletél. Előbb kemelük az -t em tartalmazó téezőket vags mdet! az szert szummából, azutá elkészítük az ott maradó kostas szert összegét: (4.) ( ) ( ), k végül elvégezzük a égzetre emelést, és összevouk az egforma tagokat: * A levezetések em arra valók, hog bárk megtaula őket! Végggodolásuk azoba segít a fogalmak megértésébe, és támpotot ad a számítások célszerű elvégzéséhez s. Mdeképp érdemes legalább egszer alaposa végggodol őket, de még obb, ha megpróbáluk maguk előállíta a végeredmét. Nem ba, sőt egeese ó, ha az eges lépések eltérek a kövbe találhatóktól. ** Nemcsak ekük: a számítógépek s! Az uga megbrkózk az le dőgées feladatokkal s, de akkor s gaz, hog célszerűtle ezeket a képleteket haszál. Erről a köv első részébe már sokszor volt szó. 6

17 (4.) k T ( T N ). T N T T N T N Mvel csak szert összegezés szerepel és telese eltűt az de, elhagtuk az összegezés változót a szumma el alól. (Ha félreértést em okozhat, máskor s ezt foguk te.) Ez a formula s köe kfeezhető a táblázat utolsó oszlopába álló, óelőre kszámított összegekkel. (L. a 4.. táblázatot!) Az első tag egszerűe -gel egelő, és a másodk sem géel sok számolást: égzetét kell osztauk -gel. M szükségük volt akkor -ra, kérdezheté az olvasó. Közvetle szükségük cs, de eg le összetett számításál em árt az elleőrzés. Ezért aálatos kszámíta függetleül az eddg számításoktól t -t s, és megéz, hog egelő-e k és b összegével. A teles mta t égzetösszegét szté em a defáló formula alapá számoluk (ez megtalálható (4.9) eleé, a 6. lapo), haem átalakítuk potosa úg, ahog korábba tettük. Csak a végeredmét íruk föl: T t. Itt szerepel, és persze smét és. N k, b és t (defáló és számolásra alkalmas) képletet megsmételük; hog az s köe megtalála őket, ak etá átugorta vola a -os részeket: (4.3) k T ( ) (4.4) b ( ) (4.5) t ( ) N Az első formulából lehet megérte, hog mt feez k, mt képvsel az llető égzetösszeg, a másodk formula a számolásra alkalmas, arra aálott forma. Remélhetőleg em okoz zavart, hog az adatok összegét a 4.. táblázattól és a levezetésektől eltérő módo elöltük; íg talá obba hasolítaak a képletek a leíró statsztkába megszokott formulákhoz. N A szabadságfokok meghatározása Lássuk a égzetösszegeket egekét. A (4.) képletből látszk, hog k külöböző tagaak száma em N, haem h; szabadságfoka ezért legfelebb h lehet. A tagok közt azoba va eg összefüggés, amt arról köű észreve, hog mdegkbe szerepel, a teles mta átlaga. A szabadságfok tehát: (4.6) f k h. 7

18 Ez a godolatmeet felszíes, potatla volt. Ám legtöbbször elég e, hog a szabadságfokot meghatározzuk, vag legalábbs feldézzük, eszükbe uttassuk, hog me s lehet a korábba már meghatározott szabadságfok. A heles módszer az lett vola, hog megkeressük (és felíruk) azokat a leárs összefüggéseket, amelek a k égzetösszeg taga közt feállak. Ha elfogaduk, hog az N tagú összeg h tagúra zsugorodott, köű dolguk va. Igaz ugas, hog T ( ) T N 0. (Itt em haszáltuk fel mást, N mt az átlagok defáló formulát és a szumma elre voatkozó, már számtalaszor alkalmazott három számolás szabált.) A fet formula az pot szóhaszálatával azt elet, hog c = választással kapuk a megfelelő leárs összefüggést. Többet akárhog próbálkozuk s em skerül talál. Elagoltuk azoba eg lépést. Bármere szemléletes s az N tagú összeg h tagúvá törtéő átalakulása, em llk a szabadságfok leárs összefüggések segítségével törtéő defícóába. Járuk ez egszer eek s a végére de többet gazá em tesszük meg: eléggé egértelmű, hog az egforma tagok em lehetek leársa függetleek. És most lássuk a beígért formulákat! Az első mtához ( = ) tartozó (egforma) tag közül az elsőhöz redelük az, a másodkhoz a egütthatót (c =, c = ); az összes több c egüttható ulla. Mvel ezek a tagok egformák, külöbségük lvá ulla; ez tehát eg leárs összefüggés. A másodk összefüggést úg kapuk, hog az első tagot smét egütthatóval vesszük, ezúttal azoba a harmadkak aduk a egütthatót (míg a femaradó N egüttható ulla). Ezt éppe ( )-szer tuduk megcsál; több ugaekkora tag cs. Ezutá ola leárs összefüggéseket íruk föl, amelek a másodk mtához tartozó tagok egformaságát haszálák k: az elsőhöz, redre a többhez egütthatót redelve, most ( ) leárs összefüggést kapuk. (Az összes több egüttható persze most s ulla.) Végül s ( ) ( )... ( h ) N h egmástól függetle, a feltételekek megfelelő leárs összefüggést találuk, ha md a h mtá, a égzetösszeg md az N tagá véggmetük. A kapott összefüggések számát le kell vouk a tagszámból: N ( N h) h, és ebből ö le még, a levezetés eleé felírt leárs összefüggés matt. A szabadságfok tehát h, ahog azt korábba szemléletese s kaptuk. A b égzetösszeg szabadságfoka, mt a képletből szte azoal leolvasható: (4.7) N h, f b hsze N taga közt a h összefüggést (a h mtaátlagot) első pllatásra fölfedezhetük. Semmvel sem ehezebb azoba a h darab leárs összefüggés fölírása. Aduk az első mtához tartozó tagok mdegkéek egütthatót, és redelük a több mtát képvselő tagokhoz ullát. Az eredmé (az átlag közsmert defícóa matt) ulla, tehát leárs összefüggést találtuk: ( ) 0. Ugaezt megsmételük redre valame mtával: azok elemeek saát átlaguktól vett eltérésösszege szté ulla. A összefüggést találtuk tehát, ahá mta va (vags h-t); ezt kell a tagszámból levo, hog a szabadságfokot megkapuk. A t égzetösszeg szabadságfoka természetese (4.8) f t N, 8

19 ezt talá említe sem kell. Nemcsak a tagok közt egetle összefüggés mutata ezt, haem az a korább smeret, hog a mta átlagtól való eltérés-égzetösszegéek a szabadságfoka eggel ksebb az elemszámál. A teles mta pedg egszerűe eg mta és t az átlag körül eltérések égzetösszege. A formula em sethet azt, hog ezt a mtát ksebb mtákra tagolva írtuk fel! Cochra tétele Ha megézzük az előző potba kapott eredméeket, köű észreve, hog f k f f. Ugaez az összefüggés volt érvées a égzetösszegekre s ( k b t ), am azt elet, hog valóba varacaaalízs törtét: a számlálót s, a evezőt s egmásak megfelelő összegekre botottuk. Idézzük csak föl, mt s képvselek a varaca kompoese! A mtá belül varaca, csupá a véletle hatását, az egformák közt eltéréseket mér, vags kább ellemz. * Elképzelésük modellük szert az eg mtá belül adatok közt semm külöbség cs; a köztük levő eltéréseket semm más em okozhata, mt a változó valószíűség természete, a véletle okozta törvészerű! gadozás. Más a helzet a mták közt varaca, az átlagokból számolt s k esetébe. Eek agsága két téezőtől s függ: egrészt az átlagok és eze keresztül az eges mták egmás közt eltéréset tükröz, másrészt a (változó törvészerűségeből fakadó) véletle gadozást. Nullhpotézsük ** értelmébe azoba az első ullával egelő. Ha tehát gaz a ullhpotézs, a két varacakompoes ugaakkora, háadosuk éppe, potosabba: körül gadozk a varacák háadosáak eloszlására érvées F-eloszlás szabála szert.. De vao érvées-e az F-eloszlás ebbe az esetbe s? Két függetle, ormáls eloszlású mta varacááak háadosára érvées volt. (Emlékeztetőül: ormáls eloszlású adatok eseté léegébe -eloszlású, két le eloszlás háadosa pedg F-eloszlást követ. A szabadságfokokkal való osztásra azért volt szükség, hog a külöböző -eloszlásokat egségesítsük : osztás utá a számlálóba s, a evezőbe s lesz a várható érték.) Itt azoba kssé más a helzet. t kétségkívül -eloszlású de m a helzet kompoesevel, b -vel és k -val? Mderre a Cochra-tétel ad választ, amel emcsak a kompoesek -eloszlását, haem függetleségüket s kmoda (bztosítva ezzel az F-eloszlás érvéességét), sőt módot ad a ó és rossz felbotások megkülöböztetésére s. Nugodta modhatuk tehát, hog a varacaaalízs Cochra tételé alapszk. *** Cochra tételéek érdekessége, hog egszerre három állítást fogalmaz meg, és bebzoíta, hog ezek kölcsööse következek egmásból. Ha tehát bármelkről meg tuduk állapíta, hog gaz, akkor gaz a másk kettő s. De mk s ezek az állítások? Kduluk eg (véletletől függő) meségből, amelkről tuduk, hog -eloszlású, f szabadságfokkal. Ezt a -t felbotuk két összeadadóra: = +. Ezek szabadságfoka leársa függetle tagak száma f, lletve f. A következő három állítás egszerre telesül, vags ha az egk gaz, gaz a másk kettő s: b t s b * Az gadozást a szórás mér; aak égzete, a varaca alkalmas uga az gadozás ellemzésére, de em lehet mérőszám: fzka dmezóa, agságrede em egezk meg az adatokéval. ** Erről uga eddg még em volt szó, de magától értetődő a dolog. Említettük (4.. szakasz), hog a mták közt külöbségre, a mták eltérésére vaguk kívácsak. A ullhpotézs m más lehete, mt hog ezek a mták egformák? *** Igazságtala lee, ha em említeék meg Sr Roald Fsher evét, ak a XX. század első felébe élt és működött. Ő volt a statsztka törtéetéek talá legzseálsabb alaka, ő találta k a varacaaalízst, és számos más, a ma apg haszálatos statsztka módszert. 9

20 ) és -eloszlásúak; ) és függetleek; 3) f = f + f. Első látásra algha érezzük e tétel eletőségét. Az állításokét talá ge: ha a kompoesek egmástól függetleek és -eloszlásúak, akkor az s -ek háadosára érvées az F-eloszlás, és vzsgálható a korábba említett ullhpotézs. De vao hoga határozhatuk meg a mekél alaposabb statsztka tudás brtokába s a kompoesek eloszlását? Vag hoga gőződhetük meg azok függetleségéről? Mdez fölöslegessé válk, ha gébe vesszük a tétel segítségét. A három fölsorolt állítás kölcsööse következk egmásból; ha tehát egket gazoluk, a másk kettő s gaz. Márpedg a szabadságfokokra voatkozó (harmadk) állítás gazolása gazá köű: két egész szám összegéről kell gazol azt, hog egelő eg harmadk számmal. Egetle teedők tehát, hog a kompoesek szabadságfokát meghatározzuk. Ez sem mdg egszerű; már a legegszerűbb, egszempotos varacaaalízs eseté s okozott ém fetörést (lásd az előző potot!) de mdeesetre óval egszerűbb, mt akár az eloszlás, akár a függetleség vzsgálata. Egszempotos varacaaalízs eseté em ehéz belát a kompoesek függetleségét sem. Változtassuk meg képzeletbe az adatokat úg, hog vag csak s, vag csak változzék, a másk marado változatla. (M más eleteé a függetleséget, mt hog egmástól függetleül reagálak bzoos változtatásokra?) Először áruk el úg, hog mde mtába változtassuk meg az adatokat, tetszés szert övelve vag csökketve az eges mták szórását, csak arra ügelük, hog azok átlaga e változzék. (Ez gazá egszerű: amevel eltoltuk eg átlagál agobb adatot, ugaavel kell eltoluk eg ksebbet s, csak épp ellekező rába.) Ezzel lvá b megváltoztattuk s -et, de megváltoztatott adatok egáltalá em. sk -et em: utóbbba csak az átlagok szerepelek, az mét Most áruk el úg, hog az eges mtákat toluk el, átlagakkal egütt ügelve arra, hog a mtáko belül vszook változatlaok maradaak. Köe belátható, hog ezzel s k alaposa megváltozk. (Akár azt s megtehetük, hog mde mtát egformává változtatuk: mdegkek az átlaga lege ugaakkora a módosítás utá; ebbe az esetbe a mták közt varaca értéke ulla lesz.) Mdeközbe azoba em változk értéke, hsze b az eges mtákba számolt égzetösszegek összege; azok pedg a mták specáls mozgatása sorá változatlaok maradak. (Emlékezzük vssza, hog a szórást kéelm okokból úg számoltuk, hog valame adatból levotuk eg tetszőleges számot; tt s éppe ez törtét.) Ezzel a függetleség gazolását be s feeztük. A Cochra-tételt úg fogalmaztuk meg, hog két összeadadóra botottuk a meséget. A tétel smételt alkalmazása azoba alátámaszta a többtéezős, sok kompoeses fölbotásoko ugvó varacaaalízseket s. Egelőre azoba még az egszempotos varacaaalízst sem feeztük be! b s k s b 4..4 A varacaaalízs befeezése Mde késze áll az egszempotos varacaaalízs ullhpotézséek vzsgálatára. Eg-eg osztást kell csak végezük, hog meghatározzuk az s k és sb varacákat: 0

Regresszió és korreláció

Regresszió és korreláció Regresszó és korrelácó regresso: vsszatérés, hátrálás; vsszafordulás correlato: vszo, összefüggés, kölcsöösség KAD 01.11.1 1 (vsszatérés, hátrálás; vsszafordulás) Regresszó és korrelácó Gakorlat megközelítés

Részletesebben

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai Tárcsák számítása A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusa A tartószerkezeteket geometra méretek alapjá osztálozzuk Az eddg taulmáakba szereplı rúdszerkezetek rúdjara az a jellemzı hog a hosszuk

Részletesebben

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai 05..04. szórások vizsgálata z F-próba Hogya foguk hozzá? Nullhipotézis: a két szórás azoos, az eltérés véletle (mitavétel). ullhipotézishez tartozik egy ú. F-eloszlás. Szabadsági fokok: számláló: - evező:

Részletesebben

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása Tuzso Zoltá A turm-módszer és alalmazása zámtala szélsérté probléma megoldása, vag egeltleség bzoítása ago gara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölder-féle egeltleség, derválta

Részletesebben

? közgazdasági statisztika

? közgazdasági statisztika Valószíűségszámítás és a statsztka Valószíűség számítás Matematka statsztka Alkalmazott statsztka? közgazdaság statsztka épesség statsztka orvos statsztka Stb. Példa: vércsoportok Az eloszlás A AB B Elem

Részletesebben

I. Valószínűségelméleti és matematikai statisztikai alapok

I. Valószínűségelméleti és matematikai statisztikai alapok I. Valószíűségelmélet és matematka statsztka alapok. A szükséges valószíűségelmélet és matematka statsztka alapsmeretek összefoglalása Az alkalmazott statsztka módszerek tárgalása, amel e kötet célja,

Részletesebben

Ismérvek közötti kapcsolatok szorosságának vizsgálata. 1. Egy kis ismétlés: mérési skálák (Hunyadi-Vita: Statisztika I. 25-26. o)

Ismérvek közötti kapcsolatok szorosságának vizsgálata. 1. Egy kis ismétlés: mérési skálák (Hunyadi-Vita: Statisztika I. 25-26. o) Ismérvek között kapcsolatok szorosságáak vzsgálata 1. Egy ks smétlés: mérés skálák (Huyad-Vta: Statsztka I. 5-6. o) A külöböző smérveket, eltérő mérés sztekkel (skálákkal) ellemezhetük. a. évleges (omáls)

Részletesebben

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011 MÉRÉSTECHNIKA DR. HUBA ANTAL c. eg. taár BME Mechatroka, Optka és Gépészet Iformatka Taszék 0 Rövde a tárgprogramról Előadások tematkája: Metrológa és műszertechka alapok Mérés adatok kértékelése Időbe

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Életta Aatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos dötéseket hoz! Mkor jó egy dötés? Meyre helyes egy dötés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test hőmérséklet

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése 3 4 Tartalomegyzék. BEVEZETÉS 5. A MÉRÉS 8. A mérés mt folyamat, fogalmak 8. Fotosabb mérés- és műszertechka fogalmak 4.3 Mérés hbák 8.3. Mérés hbák csoportosítása eredetük szert 8.3. A hbák megeleítés

Részletesebben

Sztochasztikus tartalékolás és a tartalék függése a kifutási háromszög időperiódusától

Sztochasztikus tartalékolás és a tartalék függése a kifutási háromszög időperiódusától Sztochasztkus tartalékolás és a tartalék függése a kfutás háromszög dőperódusától Faluköz Tamás Vtéz Ildkó Ibola Kozules: r. Arató Mklós ELTETTK Budapest IBNR kfutás háromszög IBNR: curred but ot reported

Részletesebben

Statisztika. Eloszlásjellemzők

Statisztika. Eloszlásjellemzők Statsztka Eloszlásjellemzők Statsztka adatok elemzése A sokaság jellemzése középértékekkel A sokaság jellemzéséek szempotja A sokaság jellemzéséek szempotja: A sokaság tpkus értékéek meghatározása. Az

Részletesebben

(1) Milyen esetben beszélünk tartós nyugalomról? Abban az esetben, ha a (vizsgált) test a helyzetét hosszabb időn át nem változtatja meg.

(1) Milyen esetben beszélünk tartós nyugalomról? Abban az esetben, ha a (vizsgált) test a helyzetét hosszabb időn át nem változtatja meg. SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MECHNIK - STTIK LKLMZTT MECHNIK TNSZÉK Elmélet kérdések és válaszok egetem alapképzésbe (Sc képzésbe) résztvevő mérökhallgatók számára () Mle esetbe beszélük tartós ugalomról?

Részletesebben

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/)

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/) 3. Sztereó kamera Kató Zoltá Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika taszék SZTE (http://www.if.u-szeged.hu/~kato/teachig/) Sztereó kamerák Az emberi látást utáozza 3 Sztereó kamera pár Két, ugaazo 3D látvát

Részletesebben

s n s x A m és az átlag Standard hiba A m becslése Információ tartalom Átlag Konfidencia intervallum Pont becslés Intervallum becslés

s n s x A m és az átlag Standard hiba A m becslése Információ tartalom Átlag Konfidencia intervallum Pont becslés Intervallum becslés A m és az átlag Standard hba Mnta átlag 1 170 Az átlagok szntén ngadoznak a m körül. s x s n Az átlagok átlagos eltérése a m- től! 168 A m konfdenca ntervalluma. 3 166 4 173 x s x ~ 68% ~68% annak a valószínűsége,

Részletesebben

1. Operáció kutatás matematikát matematikai statisztika és számítástechnika. legjobb megoldás optimum operációkutatás definíciója :

1. Operáció kutatás matematikát matematikai statisztika és számítástechnika. legjobb megoldás optimum operációkutatás definíciója : 1. Operácó kutatás Az operácó kutatás 1940 ó ta smeretes. Bár a techka felő dés, a termelés folamatok szervezése már korábba s géelte a matematka eszkö zö k felhaszálását, - amelekbe fellelhető k az operácó

Részletesebben

Matematikai statisztika

Matematikai statisztika Matematka statsztka 8. elıadás http://www.math.elte.hu/~arato/matstat0.htm Kétmtás eset: függetle mták + + + = + ) ( ) ( ) ( Y Y X X Y X m m m t m Ha smert a szórás: (X elemő, σ szórású, Y m elemő, σ szórású),

Részletesebben

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága Azoos évleges értékű, htelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérés bzoytalasága Zeleka Zoltá* Több mérés feladatál alkalmazak súlyokat. Sokszor ezek em egyekét, haem külöböző társításba kombácókba

Részletesebben

REGIONÁLIS ELEMZÉSI MÓDSZEREK. c. készülő egyetemi tankönyvből, szerkesztő: Nemes Nagy József várható megjelenés 2004., ELTE Eötvös Kiadó

REGIONÁLIS ELEMZÉSI MÓDSZEREK. c. készülő egyetemi tankönyvből, szerkesztő: Nemes Nagy József várható megjelenés 2004., ELTE Eötvös Kiadó Kézrat részletek a REGIONÁLIS ELEMZÉSI MÓDSZEREK c. készülő egetem takövből, szerkesztő: Nemes Nag Józse várható megjeleés 004., ELTE Eötvös Kadó 5 TERÜLETI EGYENLŐTLENSÉGEK 5. Fogalm keretek Az egelőtleség

Részletesebben

Változók közötti kapcsolatok vizsgálata

Változók közötti kapcsolatok vizsgálata ) Eseméek függetlesége: p(ab) p(a) p(b) ) Koelácó: vö. az tutív tatalommal Változók között kapcsolatok vzsgálata Akko poztív, ha és átlagosa ugaaa az áa té el a saját váható étékétől, egatív ha elletétes

Részletesebben

EGY FÁZISÚ TÖBBKOMPONENS RENDSZEREK: AZ ELEGYEK KÉPZDÉSE

EGY FÁZISÚ TÖBBKOMPONENS RENDSZEREK: AZ ELEGYEK KÉPZDÉSE EG FÁZISÚ ÖBBOMPONENS RENDSZERE: AZ ELEGE ÉPZDÉSE AZ ELEGÉPZDÉS ERMODINAMIÁJA: GÁZO Általáos megfotolások ülöböz kéma mség komoesek keveredésekor változás törték a molekulárs kölcsöhatásokba és a molekulák

Részletesebben

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei Eukldes tér, metrkus tér, ormált tér, magasabb dmeós terek vektoraak söge, eek követkemée Metrkus tér Defícó. A H halmat metrkus térek eveük, ha va ola, metrkáak eveett m: H H R {0} függvé, amelre a követkeők

Részletesebben

A heteroszkedaszticitásról egyszerûbben

A heteroszkedaszticitásról egyszerûbben Mûhely Huyad László kaddátus, egyetem taár, a Statsztka Szemle főszerkesztője A heteroszkedasztctásról egyszerûbbe E-mal: laszlo.huyad@ksh.hu A heteroszkedasztctás az ökoometra modellezés egyk kulcsfogalma,

Részletesebben

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya II RÉZ 2 EJEZE 2 Az együttműködő vllamoseerga-redszer teljesítméy-egyesúlya 2 A frekveca és a hatásos teljesítméy között összefüggés A fogyasztó alredszerbe a fogyasztók hatásos wattos teljesítméyt lletve

Részletesebben

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 202.03.0. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

Statisztikai hipotézisvizsgálatok

Statisztikai hipotézisvizsgálatok Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy

Részletesebben

A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI

A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI Az Eötvös Lórád Tudomáyegyetem Természettudomáy Kará a Fzka Kéma Taszék évek óta kéma-szakos taárhallgatókak matematka bevezetõ elõadásokat tart. Az elõadások célja az,

Részletesebben

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0 Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Élettan Anatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos döntéseket hoz! Mkor jó egy döntés? Mennyre helyes egy döntés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test

Részletesebben

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása.

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása. A Secretary problem. Optmáls választás megtalálása. A Szdbád problémáa va egy szté lasszusa tethető talá természetesebb vszot ehezebb változata. Ez a övetező Secretary problem -a evezett érdés: Egy állásra

Részletesebben

VARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA)

VARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA) VARIANCIAANAÍZIS (szóráselemzés, ANOVA) Varancaanalízs. Varancaanalízs (szóráselemzés, ANOVA) Adott: egy vagy több tetszőleges skálájú független változó és egy legalább ntervallum skálájú függő változó.

Részletesebben

20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek!

20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek! SPEC 2009-2010. II. félév Statsztka II HÁZI dolgozat Név:... Neptun kód: 20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek! 1. példa Egy üzemben tejport csomagolnak zacskókba,

Részletesebben

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematka tanár hallgatók számára Szta formula Előadó: Hajnal Péter 2015. 1. Bevezető példák 1. Feladat. Hány olyan sorbaállítása van a a, b, c, d, e} halmaznak, amelyben

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 A pályázat címe: Rugalmas-képlékey tartószerkezetek topológa optmalzálásáak éháy külöleges feladata (Részletes jeletés) Az

Részletesebben

Miért pont úgy kombinálja kétfokozatú legkisebb négyzetek módszere (2SLS) az instrumentumokat, ahogy?

Miért pont úgy kombinálja kétfokozatú legkisebb négyzetek módszere (2SLS) az instrumentumokat, ahogy? Mért pot úgy kombálja kétfokozatú legksebb égyzetek módszere (2SLS az strumetumokat, ahogy? Kézrat A Huyad László 60. születésapjára készülő köyvbe Kézd Gábor 2004. júlus A Budapest Corvus Egyetem rövd

Részletesebben

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása HIPOTÉZIS VIZSGÁLAT A hipotézis feltételezés egy vagy több populációról. (pl. egy gyógyszer az esetek 90%-ában hatásos; egy kezelés jelentősen megnöveli a rákos betegek túlélését). A hipotézis vizsgálat

Részletesebben

Nemlineáris függvények illesztésének néhány kérdése

Nemlineáris függvények illesztésének néhány kérdése Mûhel Tóth Zoltán docens, Károl Róbert Főskola E-mal: zol@karolrobert.hu Nemlneárs függvének llesztésének néhán kérdése A nemlneárs regresszós és trendfüggvének llesztésekor számos esetben alkalmazzuk

Részletesebben

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET ε ε hullámegelet: Mérökizikus szak, Optika modul, III. évolam /. élév, Optika I. tárg GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 6. AJÁNLOTT SZAKIRODALOM: ELMÉLETI ALAPOK Maxwell egeletek E(

Részletesebben

1. előadás: Bevezetés. Irodalom. Számonkérés. A valószínűségszámítás és a statisztika tárgya. Cél

1. előadás: Bevezetés. Irodalom. Számonkérés. A valószínűségszámítás és a statisztika tárgya. Cél Valószíűségszámítás és statsztka előadás fo. BSC/B-C szakosokak 1. előadás szeptember 13. 1. előadás: Bevezetés Irodalom, követelméyek A félév célja Valószíűségszámítás tárgya Törtéet Alapfogalmak Valószíűségek

Részletesebben

Algebrai egész kifejezések (polinomok)

Algebrai egész kifejezések (polinomok) Algebrai egész kifejezések (polinomok) Betűk használata a matematikában Feladat Mekkora a 107m 68m oldalhosszúságú téglalap alakú focipála kerülete, területe? a = 107 m b = 68 m Terület T = a b = 107m

Részletesebben

Ha n darab standard normális eloszlású változót négyzetesen összegzünk, akkor kapjuk a χ 2 - eloszlást: N

Ha n darab standard normális eloszlású változót négyzetesen összegzünk, akkor kapjuk a χ 2 - eloszlást: N Krály Zoltá: Statsztka II. Bevezetés A paraméteres eljárások alkalmazásához, a célváltozóra ézve szgorú feltételek szükségesek (folytoosság, ormaltás, szóráshomogetás), ekkor a hpotézseket egy-egy paraméterre

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

Arrhenius-paraméterek becslése közvetett és közvetlen mérések alapján

Arrhenius-paraméterek becslése közvetett és közvetlen mérések alapján Tudomáyos Dákkör Dolgozat SZABÓ BOTOND Arrheus-paraméterek becslése közvetett és közvetle mérések alapá Turáy Tamás. Zsély Istvá Gyula Kéma Itézet Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáy Kar Budapest,

Részletesebben

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825. Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (

Részletesebben

4 2 lapultsági együttható =

4 2 lapultsági együttható = Leíró statsztka Egy kísérlet végeztével általában tetemes mennységű adat szokott összegyűln. Állandó probléma, hogy mt s kezdjünk - lletve mt tudunk kezden az adatokkal. A statsztka ebben segít mnket.

Részletesebben

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat Kísérlettervezés - biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert u-próba Feltétel: egy ormális eloszlású sokaság σ variaciájáak számszerű értéke ismert. Hipotézis: a sokaság µ várható értéke

Részletesebben

A matematikai statisztika elemei

A matematikai statisztika elemei A matematikai statisztika elemei Mikó Teréz, dr. Szalkai Istvá szalkai@almos.ui-pao.hu Pao Egyetem, Veszprém 2014. március 23. 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés................................

Részletesebben

Gyakorló feladatok a Kísérletek tervezése és értékelése c. tárgyból Lineáris regresszió, ismétlés nélküli mérések

Gyakorló feladatok a Kísérletek tervezése és értékelése c. tárgyból Lineáris regresszió, ismétlés nélküli mérések Gakorló feladatok a Kísérletek tervezése és értékelése c. tárgból Lneárs regresszó, smétlés nélkül mérések 1. példa Az alább táblázat eg kalbrácós egenes felvételekor mért adatokat tartalmazza: x 1.8 3

Részletesebben

Tulajdonságok. Teljes eseményrendszer. Valószínőségi változók függetlensége. Példák, szimulációk

Tulajdonságok. Teljes eseményrendszer. Valószínőségi változók függetlensége. Példák, szimulációk Valószíőségszámítás és statsztka elıadás fo. BSC/B-C szakosokak 3. elıadás Szeptember 26 p 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 A bomáls és a hpergeom. elo. összehasolítása 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 k Hp.geom

Részletesebben

NEMPARAMÉTERES ELJÁRÁSOK

NEMPARAMÉTERES ELJÁRÁSOK Kály Zoltá: Statsztka II. NEMPARAMÉTERES ELJÁRÁSOK Az eddgek soá találkoztuk má olya eláásokkal, melyek a változók középétékét vzsgálták: egymtás-, páos-, függetle mtás t-póba, egy- és többszempotos vaaca

Részletesebben

VASBETON ÉPÜLETEK MEREVÍTÉSE

VASBETON ÉPÜLETEK MEREVÍTÉSE BUDAPET MŰZAK É GAZDAÁGTUDOMÁY EGYETEM Építőmérök Kar Hdak és zerkezetek Taszéke VABETO ÉPÜLETEK MEREVÍTÉE Oktatás segédlet v. Összeállította: Dr. Bód stvá - Dr. Farkas György Dr. Kors Kálmá Budapest,.

Részletesebben

Járattípusok. Kapcsolatok szerint: Sugaras, ingajárat: Vonaljárat: Körjárat:

Járattípusok. Kapcsolatok szerint: Sugaras, ingajárat: Vonaljárat: Körjárat: JÁRATTERVEZÉS Kapcsolatok szert: Sugaras, gaárat: Járattípusok Voalárat: Körárat: Targocás árattervezés egyszerű modelle Feltételek: az ayagáram determsztkus, a beszállítás és kszállítás dőpot em kötött

Részletesebben

Adatfeldolgozás, adatértékelés. Dr. Szűcs Péter, Dr. Madarász Tamás Miskolci Egyetem, Hidrogeológiai Mérnökgeológiai Tanszék

Adatfeldolgozás, adatértékelés. Dr. Szűcs Péter, Dr. Madarász Tamás Miskolci Egyetem, Hidrogeológiai Mérnökgeológiai Tanszék Adatfeldolgozás, adatértékelés Dr. Szűcs Péter, Dr. Madarász Tamás Mskolc Egyetem, Hdrogeológa Mérökgeológa Taszék A vzsgált köryezet elemek, lletve a felszí alatt közeg megsmerése céljából számtala külöböző

Részletesebben

Regresszió. Fő cél: jóslás Történhet:

Regresszió. Fő cél: jóslás Történhet: Fő cél: jóslás Történhet: Regresszó 1 változó több változó segítségével Lépések: Létezk-e valamlyen kapcsolat a 2 változó között? Kapcsolat természetének leírása (mat. egy.) A regresszós egyenlet alapján

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből Kidolgozott feladatok a emparaméteres statisztika témaköréből A tájékozódást mideféle szíkódok segítik. A feladatok eredeti szövege zöld, a megoldások fekete, a figyelmeztető, magyarázó elemek piros szíűek.

Részletesebben

Bevezetés a hipotézis vizsgálatba. Hipotézisvizsgálatok. Próbák leírása. Kétoldali és egyoldali hipotézisek. Illeszkedésvizsgálatok

Bevezetés a hipotézis vizsgálatba. Hipotézisvizsgálatok. Próbák leírása. Kétoldali és egyoldali hipotézisek. Illeszkedésvizsgálatok Bevezetés a hpotézs vzsgálatba Lásd előadás ayagát. Kétoldal és egyoldal hpotézsek Hpotézsvzsgálatok Ebbe a ejezetbe egyajta határozókulcsot szereték ad a hpotézsvzsgálatba haszált próbákhoz. Először dötsük

Részletesebben

Példák 2. Teljes eseményrendszer. Tulajdonságok. Példák diszkrét valószínőségi változókra

Példák 2. Teljes eseményrendszer. Tulajdonságok. Példák diszkrét valószínőségi változókra Valószíőségszámítás és statsztka elıadás fo. BSC/B-C szakosokak 3. elıadás Szeptember 28 dszkrét valószíőség változókra X(ω)=c mde ω-ra. Elevezés: elfajult eloszlás. P(X=c)=1. X akkor 1, ha egy adott,

Részletesebben

Széki Hírek A Magyarszékért Egyesület kiadványa

Széki Hírek A Magyarszékért Egyesület kiadványa Szék Hírek A Magyarszékért Egyesület kadáya X. éfolyam, 1. szám Karácsoy a árakozással tel szeretet üepe December 17-é fatalok adtak hagerseyt a templomba. K kegyetleül süöltött a hdeg szél, míg be melegséggel

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011 MÉRÉSTECHNIKA DR. HUBA ANTAL c. egy. taár BME Mechatroka, Optka és Gépészet Iformatka Taszék 0 Rövde a tárgyprogramról Előadások tematkája: Metrológa és műszertechka alapok Mérés adatok kértékelése Időbe

Részletesebben

Laboratóriumi mérések

Laboratóriumi mérések Laboratórum mérések. Bevezetı Bármlye mérés ayt jelet, mt meghatároz, háyszor va meg a méredı meységbe egy másk, a méredıvel egyemő, ökéyese egységek választott meység. Egy mérés eredméyét tehát két adat

Részletesebben

Valószínűségszámítás. Ketskeméty László

Valószínűségszámítás. Ketskeméty László Valószíűségszámítás Ketskeméty László Budapest, 996 Tartalomjegyzék I. fejezet VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 3. Kombatorka alapfogalmak 4 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok 6. A valószíűségszámítás alapfogalma

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

az eredő átmegy a közös ponton.

az eredő átmegy a közös ponton. M Műszaki Mechanikai Tanszék STTIK dr. Uj József c. egetemi tanár g közös ponton támadó koncentrált erők (centrális erőrendszer) Két erő eredője: = +, Több erő eredője: = + ++...+ n, az eredő átmeg a közös

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

Szoldatics József, Dunakeszi

Szoldatics József, Dunakeszi Kstérség tehetséggodozás Rekurzív soroztok Szoldtcs József, Dukesz Npjkb egyre több verseye jelek meg rekurzív sorozt. Ezek megoldásához d ötleteket ez z elődás, A feldtok csoportosítv vk megoldás módszerek

Részletesebben

Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Függetleségvizsgálat Virág Katali Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Függetleség Függetleség Két változó függetle, ha az egyik változó megfigyelése a másik változóra ézve em szolgáltat iformációt; azaz

Részletesebben

Kényszereknek alávetett rendszerek

Kényszereknek alávetett rendszerek Kéyszerekek alávetett redszerek A koordátákak és sebességekek előírt egyeleteket kell kelégítee a mozgás olyamá. (Ezeket a eltételeket, egyeleteket s ayag kölcsöhatások bztosítják, de ezek a kölcsöhatások

Részletesebben

A felhasznált térfogalmak: lineáris tér (vektortér), normált tér, Banach tér, euklideszi-tér, Hilbert tér. legjobban közelítõ elem, azaz v u

A felhasznált térfogalmak: lineáris tér (vektortér), normált tér, Banach tér, euklideszi-tér, Hilbert tér. legjobban közelítõ elem, azaz v u Approxmácó Bevezetés A felhaszált térfogalmak: leárs tér (vektortér) ormált tér Baach tér eukldesz-tér Hlbert tér V ormált tér T V T kompakt halmaz Ekkor v V u ~ T legjobba közelítõ elem azaz v u ~ f {

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

SÚRLÓDÁSMENTES KÖZEG NUMERIKUS ÁRAMLÁSTANI MODELLEZÉSE ÉS ÉRVÉNYESÍTÉSE ÖSSZEFOGLALÁS

SÚRLÓDÁSMENTES KÖZEG NUMERIKUS ÁRAMLÁSTANI MODELLEZÉSE ÉS ÉRVÉNYESÍTÉSE ÖSSZEFOGLALÁS eress Árád Galla Tbor ohács József SÚÓDÁSMENTES KÖZEG NMEIKS ÁAMÁSTANI MODEEZÉSE ÉS ÉÉNYESÍTÉSE ÖSSZEFOGAÁS A ublkácó céla eg dmezós az összeomható áramlás modellezésére alkalmas ks számítógé kaactásgéel

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

KTK. Dr. Herman Sándor Dr. Rédey Katalin. Statisztika I. PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEM. Közgazdaságtudományi Kar. Alapítva: 1970

KTK. Dr. Herman Sándor Dr. Rédey Katalin. Statisztika I. PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEM. Közgazdaságtudományi Kar. Alapítva: 1970 Dr. Herma Sádor Dr. Rédey Katal Statsztka I. PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEM KTK Közgazdaságtudomáy Kar Alapítva: 97 Mde jog fetartva. Jele köyvet vagy aak részletet a szerző egedélye élkül bármlye formába vagy

Részletesebben

Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat

Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat Szűcs Mónika SZTE ÁOK-TTIK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09 Orvosi

Részletesebben

Statisztikai. Statisztika Sportszervező BSc képzés NBG GI866G4. Statisztika fogalma. Statisztikai alapfogalmak. Statisztika fogalma

Statisztikai. Statisztika Sportszervező BSc képzés NBG GI866G4. Statisztika fogalma. Statisztikai alapfogalmak. Statisztika fogalma Statsztka Sportszervező BSc képzés NBG GI866G4 010-011-es taév II félév Statsztka alapfogalmak Oktató: Dr Csáfor Hajalka főskola doces Vállalkozás-gazdaságta Tsz E-mal: hcsafor@ektfhu Statsztka alapfogalmak

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

Biostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October

Biostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October Biostatisztika VIII Mátyus László 19 October 2010 1 Ha σ nem ismert A gyakorlatban ritkán ismerjük σ-t. Ha kiszámítjuk s-t a minta alapján, akkor becsülhetjük σ-t. Ez további bizonytalanságot okoz a becslésben.

Részletesebben

Több valószínűségi változó együttes eloszlása, korreláció

Több valószínűségi változó együttes eloszlása, korreláció Tartalomjegzék Előszó... 6 I. Valószínűségelméleti és matematikai statisztikai alapok... 8 1. A szükséges valószínűségelméleti és matematikai statisztikai alapismeretek összefoglalása... 8 1.1. Alapfogalmak...

Részletesebben

Az alkalmazott matematika tantárgy oktatásának sokszínűsége és módszertanának modernizálása az MSc képzésében

Az alkalmazott matematika tantárgy oktatásának sokszínűsége és módszertanának modernizálása az MSc képzésében DIMENZIÓK 35 Matematikai Közlemének III. kötet, 5 doi:.3/dim.5.5 Az alkalmazott matematika tantárg oktatásának sokszínűsége és módszertanának modernizálása az MSc képzésében Horváth-Szováti Erika NME EMK

Részletesebben

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 15. Nemparaméteres próbák Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date: November

Részletesebben

Termékdifferenciálás és piaci. Termékdifferenciálás és piaci erő. Termékdifferenciálás és piaci. Termékdifferenciálás. Modern piacelmélet

Termékdifferenciálás és piaci. Termékdifferenciálás és piaci erő. Termékdifferenciálás és piaci. Termékdifferenciálás. Modern piacelmélet Moder acelmélet Moder acelmélet Termékdfferecálá ELTE TáTK Közgazdaágtudomáy Tazék Sele Adre ELTE TáTK Közgazdaágtudomáy Tazék Kézítette: Hd Jáo A taayag a Gazdaág Vereyhvatal Vereykultúra Közota é a Tudá-Ökoóma

Részletesebben

Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA)

Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA) Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA) Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date:

Részletesebben

Alkalmazzuk az egyváltozós esetben a legkisebb négyzetek módszerét. Legyen a mérések száma n, y (n 0). n 2

Alkalmazzuk az egyváltozós esetben a legkisebb négyzetek módszerét. Legyen a mérések száma n, y (n 0). n 2 . elődás 5 Alklmzzuk z egváltozós esetbe legksebb égzetek módszerét. Lege mérések szám ( ). F ( ( ) )! ( ( ) )!?? A két krtérum ekvvles egmássl hsze h z F üggvéek z prmétervektor hele mmum v kkor hele

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

AZ OPTIMÁLIS MINTANAGYSÁG A KAPCSOLÓDÓ KÖLTSÉGEK ÉS BEVÉTELEK RELÁCIÓJÁBAN

AZ OPTIMÁLIS MINTANAGYSÁG A KAPCSOLÓDÓ KÖLTSÉGEK ÉS BEVÉTELEK RELÁCIÓJÁBAN AZ OPTIMÁLIS MINTANAGYSÁG A KAPCSOLÓDÓ KÖLTSÉGEK ÉS BEVÉTELEK RELÁCIÓJÁBAN Molár László Ph.D. hallgató Mskolc Egyetem, Gazdaságelmélet Itézet 1. A MINTANAGYSÁG MEGHATÁROZÁSA EGYSZERŐ VÉLETLEN (EV) MINTA

Részletesebben

STATISZTIKA II. kötet

STATISZTIKA II. kötet Szeged Tudomáyegyetem Gazdaságtudomáy Kar Petres Tbor Tóth László STATISZTIKA II. kötet Szerzők: Dr. Petres Tbor, PhD egyetem doces Statsztka és Demográfa Taszék Tóth László PhD-hallgató Gazdaságtudomáy

Részletesebben

ÖKONOMETRIA. Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó. Szakmai felelős: Elek Péter június

ÖKONOMETRIA. Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó. Szakmai felelős: Elek Péter június ÖKONOMETRIA Készült a TÁMOP-4..-08//A/KMR-009-004pálázat projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudomán Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudomán Tanszék az MTA Közgazdaságtudomán Intézet

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

FELADATOK MÉRÉSELMÉLET tárgykörben. 1. Egy műszer osztálypontossága 2.5, a végkitérése 300 V. Mekkora a mérés abszolút hibája?

FELADATOK MÉRÉSELMÉLET tárgykörben. 1. Egy műszer osztálypontossága 2.5, a végkitérése 300 V. Mekkora a mérés abszolút hibája? FELADATOK MÉÉSELMÉLET tárgykörbe. Egy műszer osztálypotosság., végktérése 3 V. Mekkor mérés bszolút hbáj? H Op v / %,*3/ 7, V. A fet műszer V-ot mér. Mekkor mérés reltív hbáj? H h v % 6,% h 3. Egy mérés

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben