Megáll a józan ész! ( vagy csak az ész? ) Ágotai László (Kisújszállás)

Átírás

1 Megáll a józan ész! ( vagy csak az ész? ) Ágotai László (Kisújszállás) A foglalkozáson olyan bizonyításokkal, okoskodásokkal foglalkozunk, amelyekből kapott eredmények a józan eszünknek és az eddigi matematikai ismereteinknek homlokegyenest ellentmondanak. sak néhány példa ízelítőül: Megmutatjuk, hogy minden szám: egyenlő a saját kétszeresével, nagyobb önmagánál, illetve, hogy bármely két szám egyenlő.( Tehát például 1 = -1 (???)) Megeshet, hogy 1 =, és hogy 5 13 = 8? Lehet, hogy 45 0 = 60 0? ( Ha igen, akkor viszont a 3 = 4 egyenlőség is igaz!!!) ebizonyítjuk, hogy: ármely háromszög egyenlő szárú, illetve van olyan háromszög, amely belső szögeinek összege nagyobb nál. Egy derékszög nagyobb önmagánál. Egy trapéz két párhuzamos oldala hosszának összege 0. (Mit szólna ezekhez a szegény jó öreg Euklides?) Lehet az, hogy: Egy összeg értéke függ a tagok csoportosításától? Egy szakasz hossza egyszerre egyenlő -vel és -vel? Egy pont területe egyenlő egy kör területével? Vagy a fenti állítások mégsem igazak, csak mi okoskodtunk hibásan, vagy elhamarkodott következtetéseket vontunk le? Valószínű, ez utóbbi igaz, a felsoroltak kivétel nélkül úgynevezett matematikai paradoxonok. Ezek világába kalauzol el a közösen eltöltött 90 perc. 1

2 1.) ármely szám egyenlő a saját kétszeresével. Legyen a = b / a a = ab / - b a b = ab- b ( a + b )( a b ) = b( a b ) / : (a b) a + b = b, amiből a = b miatt b = b, ami az állítás volt..) ármely két különböző szám egyenlő. a.) Első bizonyítás: Legyen a,b és c pozitív és a = b + c, ekkor nyilván a > b a = b + c / ( a b ) a ab = ab + ac b bc / ac a ab ac = ab b bc a ( a b c ) = b ( a b c ) / : ( a b c ) a = b, holott a > b volt. b.) Második bizonyítás: Legyen a,b R és a + b = c / ( a b ) a b = ac bc / +b ac + c a - ac+ c = b bc + b ( a c ) = ( b c ) / a c = b c / + c a = b, ami az állítás volt. a b c. Ekkor 3.) Minden természetes szám egyenlő a rákövetkezőjével. Legyen n N + tetszőleges! ( n 1) n n 1 / (n+1 ) n 1 ( n 1) n / n( n +1 ) n 1 ( n 1) n 1 nn 1 n nn 1 / 4 n 1 n 1 ( n 1) n 1 n 1 n n n n 1 n 1 n 1 n / n 1 n 1 1 n 1 n / n n 1 n

3 4.) ármely szám nagyobb önmagánál. Legyen a,b > 0 olyan, hogy a > b / b ab > b / a ab a > b a a( b a ) > ( b a)( b + a ) / : ( b a ) a > b + a Mivel b pozitív volt, így a nagyobb bármely, nála nagyobb b + a számnál. 5.) 8 1 > > / log(1/) 3 log(1/) > log(1/) log(1/) 3 > log(1/) (1/) 3 > (1/) 1 1 > ) 1 = Ismert trigonometrikus azonosság, hogy cos Ezért cos x 3/ 1 sin x 3/ 3 Ebből cos x 1 sin x 3/ cos Ezt négyzetre emelve 3 x 3 x 1 sin / +3 3 / 1 sin x 3 3 cos x 3 1 sin x 3/ 3 Legyen most x =, ekkor cos = -1 és sin = 0, így ( ) = ( 1 3/ + 3 ), azaz = 4, tehát = 4, azaz 1 =. x 3

4 Geometriai problémák 7.) Van olyan háromszög, melynek belső szögösszege nagyobb nál. Legyen k 1 és k két egyenlő sugarú, egymást metsző kör. Húzzuk meg az A metszéspontból kiinduló A és A átmérőiket. Ekkor a Thales-tétel miatt AM = AN = De ekkor az AMN háromszög szögösszegére AMN + ANM + NAM = NAM > adódik. A k 1 K 1 Azaz van olyan háromszög, melynek belső szögösszege nagyobb nál. Sőt! Egy egyenesre ( ) két különböző pontjában ( M és N ) emelt merőlegesek metszik egymást! K M N k 8.) 8 = b.) ábra a.) ábra Az a.) ábrán lévő 8 x 8 as négyzetet az ábra szerint átdarabolhatjuk a b.) ábrán lévő téglalappá. Ezért területük egyenlő, azaz 8 =

5 9.) ármely háromszög egyenlő szárú. 1.izonyítás. (trigonometrikus bizonyítás): E / b b a a / D Az A háromszög A és oldalait hosszabbítsuk meg D = vel és E = A val az ábrán látható módon. Ekkor a külsőszög-tétel miatt EA = AE = D = D = /. Az AD és AE háromszögekben írjuk fel a sinustételt: sin A A sin / / és A c sin sin Ezekből, azaz sin sin, sin sin amiből, tehát =, ezért a háromszög egyenlő szárú. sin A A sin.izonyítás ( elemi geometriai bizonyítás): D Legyen G a szög szögfelezőjének és az A oldal felező merőlegesének a metszéspontja. ( tételezzük most fel. hogy G a háromszög belsejében van! ) ocsássunk G ből merőlegeseket a háromszög A és oldalaira, ezek talppontjai legyenek D és F. Ekkor a GD és a GF háromszögek egybevágók, mivel szögeik páronként egyenlők és G oldaluk közös. Ezért DG = GF. Kössük most össze G-t A-val és -vel. Ekkor nyilván AG = G. De GD = GF is teljesült, így a GDA és GF háromszögek is egybevágók. A GD és GF háromszögek egybevágóságából D = F (*) míg a GDA és GF háromszögek egybevágóságából DA = F (**) (*)-ot és (**)-ot összeadva D + DA = D + F, azaz A =, tehát háromszögünk egyenlő szárú. ( ráadásul ezt az okoskodást pld. az A szög szögfelezőjére megismételve A = A adódna, tehát a háromszög azaz bármely háromszög szabályos lenne! ) Nyilván, nem biztos, hogy G a háromszög belsejében van, a további lehetőségeket az alábbi ábrák veszik számba. G A E F 5

6 A fenti okoskodás azonban ezekben az esetekben is helytálló. F A D G D A F G D F A G 10.) Egy derékszög egyenlő egy tompaszöggel ( Azaz a derékszög nagyobb önmagánál ) Húzzunk -ből egy -vel egyenlő E szakaszt, és szerkesszük meg A és DE felezőmerőlegeseit! D Ekkor AD = = E, mert E-t úgy szerkesztettük, PA = P és PD = PE, mert P a felezőmerőlegesek metszéspontja, ezért az APD és EP háromszögek egybevágók. Mivel egybevágó háromszögek megfelelő szögei G egyenlők, így DAP = EP De DAP = és EP = , ezért A 90 0 = DAP = EP = P Tehát 90 0 = ( > 90 0 ) E 6

7 11.) 45 0 = 60 0, azaz 3 = 4. Szerkesszünk az A szabályos háromszög A oldalára befelé egy AD egyenlőszárú derékszögű háromszöget, és vegyük fel a oldalon azt az D E E pontot, amelyre E = D. Az AD szakasz felezőpontja legyen F, az EF F egyenes A egyenessel való metszéspontja G. A GD és GE szakaszok felezőmerőlegeseinek metszéspontja K. G A Mivel KA = KD = KE, és D = E, a KD és KE háromszögek egybevágók. Emiatt KD = KE. K De ekkor KD KA = KE KA is igaz kell, hogy legyen. Azonban KD KA = AD = 45 0, míg KE KA = A = tehát 45 0 = 60 0, melyet 15 tel osztva 3 = 4 adódik! 1.) Két különböző hosszúságú szakasz egyenlő. Tekintsük az A háromszöget és legyen PQ A. Ekkor A PQ, hiszen szögeik páronként egyenlők. Emiatt A PQ A P, amiből P Q A P A PQ ( A PQ ) A A P A P PQ A A PQ PQ A + A P PQ ; A A PQ A P A A PQ A P PQ PQ mindkét oldalon kiemelve A A A P A PQ PQA P PQ A : A P A PQ kapjuk, hogy A = PQ. 7

8 13.) Egy szakasz egyenlő egy nála kisebb szakasszal. Mielőtt a feladathoz hozzáfognánk, értelmezzük egy kicsit a cosinustételt: Írjuk fel a cosinustételt az hegyesszögre: a b c bccos. A b cos mennyiség geometriai jelentéssel bír, nevezetesen egyenlő a b = A oldal A oldalra eső TA merőleges vetületének a hosszával. Ezért kimondhatjuk a következő tételt: a b c T A Tétel: A háromszögben bármely, hegyesszöggel szemben lévő oldal négyzete egyenlő a másik két oldal négyzetének összegéből kivonva ezek közül az egyik oldal és a másik előzőre eső merőleges vetületének kétszeres szorzatát. Most a feladat: Tekintsünk egy olyan A háromszöget, amelyben az A hegyesszög, és >! Ekkor nyilván A < A kell, hogy legyen. Vegyük fel a D pontot úgy, hogy AD = legyen. Ekkor A AD, mert szögeik páronként egyenlők, ezért területeik aránya t A. t D AD Másrészt E a két háromszög közös magassága, így t A A. t AD AD A D E A Ezekből. Ennek mindkét oldalát szorozva D tel és osztva A vel kapjuk, hogy D AD D. A AD Alkalmazzuk most az előző tételt -re és D -re: A A A AE A AD AD AE. A AD A A Innen A AE AD AE A AD A A A A AD A A AD AD A, amiből (*) A AD A AD és innen a számlálók egyenlősége miatt a nevezők is egyenlők, azaz A = AD. + AE ; ( A + AD ) Ezért az A szakasz hossza egyenlő az általa valódi részként tartalmazott, tehát tőle rövidebb AD szakasz hosszával! 8

9 14.) Egy trapéz alapjainak az összege 0 val egyenlő. Hosszabbítsuk meg az A alapot EA = c- vel és a D alapot F = a-val az ábra szerint! Húzzuk meg továbbá az A átlót, valamint az EF és D szakaszokat! Legyen AG = z, GK = y és K = x! Ekkor AK DK, mert szögeik páronként egyenlők, ezért D K c x, azaz. A KA a y z Ugyanígy az EAG és FG háromszögek hason- AE AG c z lósága miatt, tehát. F G a y x Innen c x z, azaz a y z y z x z. y z y x A a A a A a Használjuk fel, hogy ha, akkor. b b b c x z x z c Ezért 1, azaz 1, tehát c a, a y z y x z x a azaz a c 0, tehát az AD trapéz alapjainak összege 0! z y G D c a F x K E c A a 15.) Egy pont ugyanakkora, mint egy vonal?! Húzzuk meg az AD négyzet D átlóját, illetve körül az A negyedkörívet! Húzzunk a négyzet belsejében bárhol egy -vel párhuzamos HE szakaszt! Az FH háromszög derékszögű, így H F HF. (*) De HE = és = F miatt HE = F, valamint H = HG, ezért (*) ból HG HE HF HG HE HF, azaz T kék kör = T körgyűrű. Ha most HE t elkezdjük mozgatni felé, akkor a kék körből a pont lesz, a körgyűrűből viszont középpontú, HE= sugarú kör! Mivel viszont az előbbiek szerint a kék körnek HE bármely helyzetében ugyanakkora a területe, mint a körgyűrűnek, így azt kapjuk, hogy egyetlen pont ugyanakkora területű, mint egy kör! ( Ráadásul a körgyűrűből a sugarú kör kerülete lesz, a kék körből viszont egy pont!) Vagy mégsem? D E F G A H 9

10 A határgörbék görbék határértéke, a határgörbék hossza Def: Határgörbének nevezzük az olyan görbéket, amelyek sokszögek végtelen sorozatainak, mint alakzatok sorozatának a határértékei. 1.Példa: Egy körbe írt szabályos sokszögek végtelen sorozatának határgörbéje az adott kör. n = 4 n = 8 n = 16 n = 3 Tudjuk, hogy a szabályos sokszögek egyben húrsokszögek és így a köré írt kör középpontjából n db. egyenlőszárú háromszöggé darabolhatók át, amelyek szárszöge alapjainak összege megegyezik az n - szög K n területével. n és amely háromszögek n Könnyen bizonyítható, hogy lim K n = R = K kör, ugyanis ha R a kör sugara, akkor a sinustételből a n R sin, ahol a n a körbe írt szabályos n-szög oldala, azaz a sokszög kerülete n sin n sin n kn n R sin R R, ahol n és n 0 n n n n, ha n. n sin x Ezért felhasználva a x 1 határértéket: k R x 0 n n Ebben az esetben tehát teljesül, hogy a határgörbe (ív)hossza megegyezik a görbék (ív)hosszainak határértékével. Ez azonban legalábbis látszólag nem mindig van így. 10

11 1.) Feladat: L 1 L L 3 Tekintsük az egységnyi befogójú derékszögű háromszöget. Írjunk ebbe egy törött vonalat a bal alsó csúcstól kezdve, mégpedig: felfelé haladjunk 1/4 egységet, utána jobbra 1/ et, majd felfelé is 1/ -et, jobbra ismét 1/ -et végül felfelé 1/4 -et. Ezt a töröttvonalat jelöljük L 1 gyel. A következő lépésben kétszerezzük meg a lépések számát, a kapott töröttvonal legyen L, majd újra kétszerezve a lépések számát L 3 stb. Folytassuk az eljárást a végtelenségig. Az ábrák szerint a törött vonalak határgörbéje a háromszög átfogója, amelynek. Ezek szerint a törött vonalak hosszának határértéke. Másrészt: a lépcső piros és a zöld vonalainak összege bármely lépcső esetén a háromszög befogói hosszának összegével, azaz -vel egyenlő. Így a határgörbe hossza. Most mi az igazság? 11

12 .) Feladat: Szerkesszünk egy A átmérőjű kört, legyen ez a görbe G 1. Szerkesszük meg most azt a görbét, amely két, egyenként A/ átmérőjű körből áll, és tekintsük ezt egyetlen, 8-as alakú görbének, ahol a bejárást az ábra mutatja. Legyen ez a görbe G. A c, ábrán lévő görbe legyen G 3, a d, ábrán lévő G 4 és így tovább. Folytassuk ezt a végtelenségig, minden lépésben kétszerezve a körök számát. Így egy olyan görbesorozathoz jutunk, amelynek határgörbéje az A szakasz, amelynek hossza A, hiszen minden esetben A-ból elmegyünk -be és onnan vissza A-ba. Ezek szerint a határgörbe hossza, tehát a görbék hosszának határértéke A. Igaz ez? Másfelől: r 1 = d 1 r = d k 1 = r 1 = d 1 és k = r = d Ezért k 1 + k = d 1 + d = ( d 1 + d 1 ) Tehát az előző feladatban: lim G i lim k A i i Akkor most menyi is a határgörbe ívhossza? 1

13 3. Feladat: Írjunk egy R sugarú körbe négyzetet, és ennek oldalaira kifelé szerkesszünk félköröket! ( a.) ábra ) Legyen a négy félkör alkotta görbe G 1. Szerkesszünk most a körbe egy szabályos nyolcszöget, ugyancsak írjunk félköröket az oldalaira. Legyen a nyolc félkör alkotta görbe G. Folytassuk a végtelenségig a sokszögek oldalszámának kétszerezését, kapjuk a G 3, G 4 stb.. végtelen görbesorozatot. Ennek a görbesorozatnak a határgörbéje végtelen kicsi sugarú félkörökből áll, nem is tudjuk megkülönböztetni az eredeti R sugarú körtől. Ezek szerint a határgörbe hossza R. Vagy mégsem? 13

14 1.) A hópehelygörbe: Patológikus görbék Van-e olyan görbe, amelynek hossza végtelen, de mégis véges területet határol? G 1 G G 3 G 5 Azt hogy ennek a görbeseregnek minden tagja véges területet határol, könnyen beláthatjuk, hiszen egyek görbe sem lép ki az eredeti háromszög köré írt köréből, tehát bármelyik görbe által határolt terület kisebb a köré írt kör területénél. A görbék kerülete: A G 1 kerülete 3 egység. Ezt az első lépésben 1-gyel növeltük, hiszen minden oldalon 1/3-dal nőtt a törött vonal hossza, így G hossza 3 +1 ( = 4 ). A harmadik lépésben ezt megint 1/3 ával növeltük, így G 3 kerülete: /3, G 4 é , stb, tehát a határgörbe hossz a n... nyilván ( + ) hez tartó végtelen sor összege. 14

15 .) Van-e olyan görbe, amelyik teljesen kitölt egy síkidomot? ( Waclav Sierpinski, lengyel ) Nem könnyen, de bizonyítható, hogy a sokszögsorozat határgörbéje a négyzet minden pontján áthalad, ezért teljesen kitölti a négyzetet. 15

16 Görbék önmagukkal való metszéspontjáról Definícó: Tekintsünk egy g görbét. Ha ennek valamely pontja körüli bármilyen kicsi sugarú kör a görbét egy helyen metszi, úgy az a pont végpont.( P ) két helyen metszi, akkor az egy belső vagy általános pont. ( Q ) három vagy több helyen metszi, akkor önmagával való metszéspont. ( R vagy S ) 3.) Van-e olyan görbe, amelyik önmagát minden pontjában metszi? ( Sierpinski, ) A kapott görbe minden pontja kivéve az eredeti háromszög csúcsait metszéspont az előbbi értelemben. 16