KARSZTFEJLŐDÉS XVI. Szombathely, pp A MISKOLCI EGYETEMI KÚT MÉRT PARAMÉTEREINEK ELEMZÉSE MODERN GEOMATEMATIKAI MÓDSZEREKKEL

Átírás

1 KARSZTFEJLŐDÉS XVI. Szombathely, A MISKOLCI EGYETEMI KÚT MÉRT PARAMÉTEREINEK ELEMZÉSE MODERN GEOMATEMATIKAI MÓDSZEREKKEL DARABOS ENIKŐ-SZŰCS PÉTER Mskolc Egyetem, Műszak Földtudomány Kar, Környezetgazdálkodás Intézet, 3515, Mskolc, Egyetemváros darabosenko@gmal.com, hgszucs@un-mskolc.hu Abstract: Nowadays, the hscal and the hydrochemcal arameters used nvestgatons ncreasngly mortant n the karst research. We can understand the karstc water resources wth ths arameters, etc. the change of the conductvty and the temerature wth tme can gve us nformatons from the rate between the stored and the ran water. In ths aer we nvestgate the correlaton among the data wth statstc methods n the Mskolc Egyetem well durng 1 year term, whch based on the water level, temerature and conductvty values. At frst, we make the regresson tests wth the most oular techncs, then we use the ACE algorthm. The largest advantage of the ACE algorthm that do not need any rory functon relatonsh among the studed varbles, furthermore the functon transformatons deend on only the measured values. We would lke to defne the temerature and conductvty values n the Mskolc Egyetem well are how correct to modelng the karstc areas. Bevezető A Bükk-térség Észak-Magyarországon található, térkéen való elhelyezkedését az 1. ábrán láthatjuk. Maga a Bükk-hegység döntő mértékben hdeg karsztvzet tartalmaz, de mvel a karsztos kőzete közvetlen kacsolatban vannak a törmelékes kőzetekkel, eltemetett karsztos kőzetekkel, ezért a Bükk-térségben egységes hdeg-meleg karsztrendszerről lehet beszéln. Ennek a kacsolatnak a maxmáls fgyelembevétele a karsztvíz mnőségének és mennységének, vízszntjének megóvásakor rendkívül nagy jelentőséggel bír. (LÉNÁRT 006) A Bükkben megfgyelhető Észak-Dél rányú reedésrendszerek matt a hegységben a ksebb egységként kezelhető területek kacsolata Kelet-Nyugat rányban sokkal egyértelműbb és szorosabb, mnt Észak-Dél rányban. (LÉNÁRT 010) Jelenleg a legjelentősebb hdegvíz kvétel a mskolc-taolca hdeg vízmű kútból történk, am egy Kelet-Nyugat csaásvonalon helyezkedk el a mskolc Egyetem kúthoz kéest. Egyrészt ez ndokolja az Egyetem kút vszonyanak jobb megsmerését, másrészt edg ennek a kútnak a vze 47

2 bztosítja az egyetem kollégumok számára szükséges meleg vzet, valamnt a későbbek során az Egyetem kút talán nagyobb szereet s kahat az új Kemény Dénes Sortuszoda vízellátásában, ugyans jelenleg ez a vízmű hálózatáról történk. A dolgozat célja 1. ábra: A Bükk-hegység elhelyezkedése Fgure 1: The locaton of the Bükk Mountan Egy terület megsmerése érdekében manaság a különféle modellezés módszerek egyre nkább előtérbe kerülnek. Tudn kell azonban, hogy a karsztos tározók modellezése a ma nag sem megoldott, rengeteg kérdés, és még több hbalehetőség, bzonytalanság merül fel ezzel kacsolatban. Mndezek mellett a Mskolc karsztvízbázs jelenleg az ország egyk legnagyobb területleg s összefüggő sérülékeny vízbázsa. Mnt tudjuk, a karsztosodott víztartókra kettős áramlás rendszer jellemző, a karszt érzékenységét legnagyobb mértékben a kőzet hdrogeológa jellemző határozzák meg, jelen esetben a felszín alatt vízrendszer a kőzettest törésrendszeréhez kacsolódk, ezért éldául a terület modellezése esetén a kezdet bztosnak htt araméterek egy felszín alatt nagyobb reedés matt könnyen megdőlhetnek. (MADARÁSZ et al. 005) 48

3 Amennyben tehát karsztos területeket szeretnénk modellezn, mndenkéen sztochasztkus modellt kell alkalmaznunk, am statsztka alaon kezel a hdrodnamka és transzort folyamatokat. (KOVÁCS- SZANYI 005) Az előbbek alaján s beláthatjuk, hogy a karsztok matematka kezelhetősége gen bonyolult, a mskolc sérülékeny vízbázst azonban mndenkéen bztonságban szeretnénk tudn. Láthatjuk tehát, hogy mnden olyan vzsgálat előnyünkre válhat, am a karsztrendszer ontosabb megsmerését szolgálja, jelen esetben tehát azt tűztük k célul, hogy a mskolc Egyetem kútban mért vezetőkéesség és hőmérséklet értékek korrelácóját vzsgáljuk a vízszntekkel annak érdekében, hogy választ kajunk arra kérdésre, hogy egy karsztos modell éítése esetében mekkora szereet játszhatnak a modell ontosításában ezek a araméterek. Módszer A karsztos területek kutatása során egyre nkább előtérbe kerülnek a fzka és hdrokéma araméterek segítségével történő vzsgálatok. Ezek a vszonylag könnyen mérhető araméterek betekntést engednek a karsztos vízbázsokba, l. a vezetőkéesség és a víz hőmérséklet dőbel változása nformácókat nyújthat az utánótlódás vszonyokról, a tárolt víz és az esővíz arányáról. Jelen vzsgálatank során a mskolc Egyetem kút 1 éves, vízsznt, hőmérséklet és vezetőkéesség dősorát alaul véve vzsgáljuk az adatok között összefüggéseket különböző statsztka módszerekkel, és róbálunk az adatok között mnél magasabb fokú kacsolatot kmutatn, annak érdekében, hogy egy később karsztos modelléítés során a rendelkezése álló mérés adatokat valód szereüknek megfelelően tudjuk beéíten a rendszerbe. A regresszós vzsgálatokat kezdetben a mndenk által jól smert technkákkal végezzük, majd a ma földtudomány kutatás elvárásokat legnkább kelégítő ACE algortmust alkalmazzuk. A Breman és Fredman által 1985-ben kdolgozott ACE ( Alternatng Condtonal Exectaton ) algortmus adatácója, módosítása és alkalmazása különböző tíusú hdrogeológa és vízbányászat többváltozós regresszós roblémák megoldására alkalmas. (SZŰCS 006) A fludumbányászat regresszós vzsgálatok során a modellezés szakemberek megróbálják leírn egy vagy több ún. független modell változó (jelen esetben a hőmérséklet és a vezetőkéesség) függő változóra (jelen esetben a vízszntre) kfejtett hatását. A földtudomány adatok 49

4 feldolgozása során gyakran róbáljuk meghatározn a különböző tíusú adatok között fennálló lehetséges kacsolatokat. A hdrogeológában vagy egyéb földtudomány területeken a hagyományos többváltozós regresszós vzsgálatok (MOSTELLER-TUKEY 1977, KITANIDIS 1997, LEE 1999) során azonban szükséges valamlyen meghatározott tíusú függvénykacsolatot feltételeznünk a vzsgált változók között. A vzsgált araméterek között fennálló komlex, és sokszor jósolhatatlan jellegű kacsolatok matt sokszor gen nehéz a megfelelő tíusú függvénykacsolatot megadn a függő és független változók esetében. A hdrogeológa araméterek értéktartományának nagy változékonysága esetében éldául a rutnszerűen alkalmazott hagyományos többváltozós regresszós eljárások gyakran nem reáls eredményeket rodukálnak (KOVÁCS-SZACSURI-SZŰCS-LÉNÁRT-CSISZÁR HORÁNYINÉ 006). A következőkben először bemutatásra kerül a hagyományos többváltozós lneárs regresszós algortmus, a legksebb négyzetes algortmus és a leggyakorbb értékek elvén alauló módszer (STEINER 1991, 1997). Ezután sor kerül az ACE nem-araméteres regresszós eljárás elmélet hátterének a bemutatására. Többváltozós lneárs regresszós vzsgálatok Többváltozós lneárs regresszót gen gyakran alkalmazunk különböző tíusú földtudomány és fludumbányászat mérés adatok feldolgozása és értékelése során. A többváltozós lneárs regresszó esetében megróbáljuk a vzsgált függő változó értékét kettő vagy több független változó lneárs kombnácójának segítségével közelíten. A többváltozós lneárs kegyenlítés általános alakja a következő lesz, ha darab különböző tíusú független változó (X 1, X,., X ) segítségével közelítjük a függő változó (Y) értékét: Y = 1 = b + b X 0 + ε (1) ahol b 0, b 1,, b az regresszós koeffcensek, míg ε jelen esetben a kegyenlítés hbát jellemz. Az (1) egyenlet tehát azt mondja a felhasználó számára, hogy a vzsgált Y függő változó az X 1, X,., X független változók és egy véletlen jellegű hba komonens (ε ) lneárs kombnácójaként írható fel. Ez a feltételezett lneárs araméter kacsolat abban az esetben lehet skeres, ha a feltételezett modell kacsolat a 50

5 valóságban s helyénvaló. A legksebb négyzetes (L normára éülő) regresszós analízs esetében (LEE 1999) az eltérések vagy rezduálok négyzetének összegét mnmalzáljuk a b 0, b 1,, b regresszós koeffcensek meghatározása, lletve kszámítása során. SZUCS et al. (006) bemutatta, hogy még abban az esetben s, ha a feltételezett lneárs függvénykacsolat helyes, az alkalmazott norma jellege alavetően meghatározza a regresszós vzsgálat hatékonyságát és ontosságát (TOTH-BODI-SZUCS-CIVAN 005). Mnt ahogy korábban s említettük, a földtudományok területén a mért adatok eloszlása nagyon sokféle tíusú lehet, és majdnem mnden esetben kell keső adatokra s számítanunk. Azaz, az L -norma alkalmazása hdrogeológa és vízbányászat regresszós vzsgálatokban sok szemontból s hátrányos következményekkel járhat. Ezért a robusztusnak és rezsztensnek teknthető L 1 -norma használata bzonyos esetekben előnyösebb lehet (HUBER 1981). A már korábban részletesen smertetett leggyakorbb értékek elvére éülő P- norma (STEINER 1991, 1997) azonban még az L 1 -normánál s robusztusabb és rezsztensebb. Így a P-norma alkalmazása hdrogeológa és fludumbányászat lneárs többváltozós regresszós vzsgálatokban több szemont alaján s javasolható. Számos korább alkalmazása a P-normára éülő araméteres regresszós vzsgálatoknak (FERENCZY et al., 1990; SZUCS-CIVAN 1996, SZUCS 00, SZUCS-RITTER 00, SZUCS et al. 006) bzonyította az MFV módszer előnyet a hagyományos, legksebb négyzetes módszerre éülő eljárásokkal szemben. Természetesen az s tény, ha a vzsgált változók között kacsolat jellege nem smert, vagy nem írható le ontosan, akkor a lneárs, de egyéb bármlyen függvénykacsolatot feltételező többváltozós regresszós vzsgálat gen félrevezető eredményre vezethet, még ha a robusztus és rezsztens leggyakorbb értéken alauló eltérésrendszert mnmalzáljuk. Ezért van szükség a hdrogeológa és vízbányászat modell vzsgálatok során olyan ún. nem-araméteres eljárások alkalmazására, mnt az ACE algortmus. Az ACE algortmus alkalmazásának elmélet háttere A vzsgált változók nem-lneárs transzformácója bevett gyakorlatnak teknthető a különböző tíusú regresszós roblémák megoldása során. Tesszük ezt elsősorban két fő ok matt. Egyrészt célunk a hba szórásának stablzácója, másrészt a hbaeloszlás normalzácóját lehet így elérn. Ezektől még egy átfogóbb cél érhető el az ACE algortmus alkalmazásának segítségével. Az ACE algortmus olyan transzformácót alkalmaz az egyes 51

6 vzsgált változók tekntetében, hogy a lehető legjobb kegyenlítést érjük el az analízsbe bevont változók között. Az ACE algortmus matematka alajat Breman és Fredman dolgozta k a Stanford Egyetemen. Az eljárás elmélet háttere az alábbakban megsmerhető. Tovább részletek az eljárással kacsolatban megtalálhatók BREIMAN-FRIEDMAN (1985) eredet munkájában. Legyenek Y, X 1, X,, X véletlen változók, ahol Y legyen az ún. válasz vagy függő változó, míg X 1, X,, X edg az ún. független vagy becslő változók. A nevezett változók tekntetében jelöljenek a θ (Y ), φ 1 1), φ ) φ ( ),, X kfejezések tetszőleges zérus helyaraméterű függvény transzformácókat. Ezek után a regresszós analízs során a függő változó transzformáltját (azzal a feltétellel, hogy E[ θ ( Y )] = 1 ) a független váltózók transzformáltjanak összegével közelítjük. Ebben az esetben a regresszó hbája a következőkéen írható fel: e ( θ, φ 1, φ,..., φ ) = E θ ( Y ) φ ) = 1. () ahol Y: a függő változó (jelen esetben a vízsznt lesz) X: a független változók (jelen esetben a hőmérséklet és a vezetőkéesség) e: hbatényező θ : az Y függő változóra vonatkozó transzformácó φ : az X független változókra vonatkozó transzformácók E: várható érték θ (Y ) : az Y függő változó transzformáltja φ ) : az X független változók transzformáltja, mely jelölések a tovább egyenletekre s érvényesek. φ ) φ ) θ (Y ) transzformáltakra vonatkozó e hba A,, és mnmalzácót egy secáls, egy függvényre vonatkozó mnmalzácós sorozaton keresztül érhetjük el az alább két egyenlet alkalmazásával. φ ) = E θ ( Y ) φ j j ) X j (3) 5

7 θ ( Y ) = E φ ) Y / E φ = 1 = 1 ) Y (4) A (3) és (4) egyenletekben ún. feltételes elvárásokat megvalósító matematka oerátorok s szereelnek az terácós mnmalzálás rocedúra során. Innen adódk az ACE eljárás neve, mvel az Alternatng Condtonal Exectatons kfejezés változó feltételes matematka elvárást jelent. A mnmalzácós terácós eljárás végeredményeként kaott végső φ 1 1), φ ) φ ( ),, X és θ (Y ) függvénytranszformáltak becslése az otmáls, legjobb regresszót bztosító ( ) φ 1 X 1, ( ) φ X φ ( ) X,, és θ (Y ) transzformáltaknak. Vagys a transzformált araméterek terében a függő és független változók között kacsolat a következő egyszerű alakot vesz fel: θ ( Y ) = φ = 1 ) + e (5) ahol e az ACE regresszós közelítés (zérus helyaraméterű eloszlással jellemezhető) hbáját fejez k. Az ACE eljárással elérhető mnmáls regresszós hba tehát e, míg a többváltozós korrelácós koeffcens ρ, és értéke a regresszó hbájával a következő kacsolatban áll: e = 1 ρ. Az említett, egyes változókra vonatkozó ACE transzformácók usztán az adatokban rejlő nformácókon alaulnak, s nem szükséges semmlyen a ror feltevés a vzsgált változók között kacsolatokat lletően. Ez azt jelent, hogy az ACE algortmus egy gen hatékony eszközt jelenthet a legkülönbözőbb tíusú földtudomány adatok feldolgozására és elemzésére. Az alább egyenlet segítségével állítható elő a függő változó számított, lletve az ACE algortmus alaján becsült értéke darab független változó segítségével. Y re P 1 = θ φ = 1 ) (6) 53

8 A gyakorlatban, amkor az ACE algortmust egy véges adathalmazon (n mnden egyes változó esetében a megfgyelések száma) valósítjuk meg, a numerkus megoldás során egy adatsmító szűrőt alkalmazunk a (4) és (5) egyenletekkel megadott feltételes elvárások helyett. FRIEDMAN- STUETZLE (198) defnált egy szabadon elérhető, szeudo Fortran nyelven megírt, hatékony adatsmító szubrutnt az ACE algortmus számára. Ennek az algortmusnak a neve suer smoother, és tökéletesen használható az ACE algortmus fentebb leírt transzformácó során (BREIMAN- FRIEDMAN 1985). Egy komlett, az ACE regresszót egy véges adatrendszeren megvalósító szubrutn letölthető a következő honlaról: htt://lb.stat.cmu.edu/general/ace. Ez a rogram kód magában foglalja a fentebb nevezett adatsmító algortmust s. Ezek után egy tényleges regresszós roblémára megírt főrogram segítségével az ACE algortmus nagyon könnyen és hatékonyan megvalósítható. A számításokat úgy végeztük, hogy függő változónak mndg a vízszntet, a hozzá tartozó független változóknak edg a vezetőkéesség és a hőmérséklet értékeket választottuk. Először megvzsgáltuk külön-külön az adott araméterek kacsolatát a vízsznttel, ennek függvényében döntöttük el, hogy melyk tényező legyen az 1. és melyk a. független változó. Elvégeztük a regresszós vzsgálatokat, majd a függvények segítségével előállítottuk a számított vízsznt adatokat úgy, hogy azokat kzárólag csak a mért hőmérséklet és a vezetőkéesség adataból számítottuk, ennek megfelelően szemléltetjük az eredményeket s, vagys mnden vzsgálat módszernél az eredetleg mért és a különböző algortmusokkal a vezetőkéességből és a hőmérsékletekből - számított vízsznteket adjuk meg. Eredmények Kezdetben többváltozós lneárs regresszós analízst alkalmaztunk az adatok vzsgálatára. A módszerrel valamely mért X és Y tulajdonságok között törvényszerűséget fejezzük k. E törvényszerűség létezését lneárs esetben a korrelácós együttható (R ) mutatja. A regresszó egészen sarkosan fogalmazva, az a kegyenlítő görbe, amely a mért X és Y értékeket a legnagyobb valószínűséggel kacsolja össze. (GEIGER 007) A hagyományos regresszós számítások eredménye láthatóak a. ábrán. A módszerrel kaott, számításokhoz használt kélet a következő: y = 0,764 * T + ( 0,173) * C + 131,81, ahol 54

9 T - a vízhőmérséklet, C - a vezetőkéesség. Ha a regresszós kacsolat a 3 araméter között szoros lenne, akkor az értékeknek közel egy egyenesre kellene esnük, ezzel szemben láthatjuk, hogy a korrelácós együttható gen alacsony, 0,33, az adatok szórása: б=0, ábra: A mért vízszntek a hagyományos regresszóval számított vízsznt függvényében Fgure : Measured water levels n the functon of the tradtonal regresson calculated water levels Másodk esetben az MFV (leggyakorbb érték) módszert alkalmaztuk, az ezzel nyert eredmények szórása: б=0,994577, a görbe egyenlete: y = 0,1594 * T 0,83441* C + 131, ábra: A leggyakorbb érték módszerével számított vízszntek és a mért vízszntek kacsolata Fgure 3: The connecton between the calculated water levels wth the most common value method and the measured water levels 55

10 A 3. ábrán látható, hogy ezzel a módszerrel sem skerült szoros kacsolatot elérn, a regresszós együttható 0,38, szntén gen alacsony érték, továbbá mndkét esetben gen messze esnek az eredmények a lneárs elhelyezkedéstől. Belátható azonban, hogy egy karsztos modell számítás esetében még ezek az alacsony értékek s ndokolják, hogy mnt mellék vagy ontosító aramétereket szereelhessenek a modellben. Mndezek után az ACE algortmus segítségével elkészítettük a változók otmáls transzformáltjat, melyből láthatjuk, hogy most sem lneárs a ontok elhelyezkedése, vszont jobban elnyújtott, kssé jobb az lleszkedés (4. ábra). A vzsgált változók nem-lneárs transzformácója bevett gyakorlatnak teknthető a különböző tíusú regresszós roblémák megoldása során. Tesszük ezt elsősorban két fő ok matt. Egyrészt célunk a hba szórásának stablzácója, másrészt a hbaeloszlás normalzácóját lehet így elérn. Ezektől még egy átfogóbb cél érhető el az ACE algortmus alkalmazásának segítségével. Az ACE algortmus olyan transzformácót alkalmaz az egyes vzsgált változók tekntetében, hogy a lehető legjobb kegyenlítést érjük el az analízsbe bevont változók között. (SZŰCS 009) 4. ábra: Az összetartozó értékárok az otmáls transzformácót bztosító ACE algortmus alkalmazása után Fgure 4: The matchng ars after usng the ACE algorthm, whch ensure the otmal transformaton A 4. ábrán láthatjuk, hogy az otmáls transzformácó segítségével az értékek között korrelácós együttható 0,658-ra nőtt, am még mndg alacsonynak számít, de az előző módszerekhez kéest jelentős (kétszeres!) javulást jelent. 56

11 5. ábra: A mért hőmérséklet és az ACE algortmussal transzformált értékek kacsolata Fgure 5: Connecton of measured temerature and values of transformaton by ACE algorthm 6. ábra: A mért vezetőkéesség és az ACE algortmussal transzformált értékek kacsolata Fgure 6: Connecton of conductvty and values of transformaton by ACE algorthm 57

12 7. ábra: A függő változó (vízsznt) és az ACE algortmussal transzformált értékek kacsolata Fgure 7: Connecton of deendent varable (water level) and values of transformaton by ACE algorthm Az 5. ábrán a hőmérséklet transzformált értékenek függvényében láthatóak a mért hőmérséklet értékek, míg a 6. ábrán a vezetőkéesség transzformált értékenek függvényében láthatjuk a mért vezetőkéesség értékeket, míg a 7. ábrán a vízszntek és transzformáltjak teknthetők meg. Ezen ábrák alaján érthetjük meg gazán az ACE algortmus legnagyobb előnyét, mégedg azt, hogy az egyes változók automatkus transzformácójával a legjobb regresszós kacsolatot kahatjuk a váltózók között fennálló kacsolatok előzetes sejtése nélkül. Az ACE algortmus elmélete olyan, hogy ha az eljárás nem talál semmlyen otmáls transzformácót, akkor abban az esetben az ACE a független változók lneárs kombnácójaként fogja közelíten a függő változót. Következtetések Mndezek alaján azt a következtetést vonhatjuk le, hogy az ACE algortmus, nagy hatékonyságú és magas hatásfokú nem-araméteres regresszós eljárás könnyen alkalmazható a vzsgált változók elemzésére és a rendelkezésre álló adatokból ezzel a módszerrel tudjuk a khozható legjobb összefüggéseket rodukáln. 58

13 Látható azonban, hogy az ACE algortmus segítségével sem olyan erős a kacsolat a vezetőkéesség, a hőmérséklet és a vízsznt adatok között, hogy önmagukban ezek alaján vízsznteket számítan lehessen, vszont az ACE algortmussal elért 0,65-ös korrelácó már erősen ndokolja, hogy mnt ontosító aramétereket bevonjuk a számításokba a vezetőkéesség és a hőmérséklet adatokat s (a csaadék adatok mellé). A korrelácós vzsgálatok esetében a hba forrása, amely alavetően elrontja a korrelácót az, hogy természetesen ugyanahhoz a vízsznthez alavetően több hőmérséklet vagy vezetőkéesség érték s tartozhat, vagys az adatokat nem foszthatjuk meg az dőbelségüktől, ll. a földtan környezettől. Célunkat vagys hogy választ kajunk arra a kérdésre, hogy mnt modell araméter érdemes-e fgyelembe venn a hőmérséklet és a vezetőkéesség értéket megkatuk a választ, mégedg azt, hogy gen. Fgyelembe kell venn továbbá, hogy a vzsgált kút termálvzet szolgáltat, vszonylag nagy, közel 300 m-es mélységből. Úgy gondoljuk (és a későbbek során gazoln s szeretnénk), hogy ezen araméterek összefüggése egy felszín közel hdeg karsztforrás esetében sokkal erősebbek lehetnek. Köszönetnylvánítás "A tanulmány a TÁMOP-4..1.B-10//KONV jelű rojekt részeként az Új Magyarország Fejlesztés Terv keretében az Euróa Unó támogatásával, az Euróa Szocáls Ala társfnanszírozásával valósul meg." IRODALOM BREIMAN L.-FRIEDMAN J.H. (1985): Estmatng otmal transformatons for multle regresson and correlaton (wth dscusson). - Journal of Amercan Statstcal Assocaton, 80, (Setember) FERENCZY L.-KORMOS L.-SZUCS P. (1990): A new statstcal method n well log nterretaton, - Paer O, n 13th Euroean Formaton Evaluaton Symosum Transactons: Soc. Prof. Well Log Analysts, Budaest Chater, GEIGER J. (007): Geomatematka. - JATEPress Kadó, Szeged HUBER, P.J. (1981): Robust statstcs. - Wley, New York, NY, 308. KOVÁCS B.-SZANYI J. (005): Hdrodnamka és transzortmodellezés - (Processng MODFLOW és Surfer for Wndows környezetben) II Mskolc 59

14 KOVÁCS, G.-SZACSURI, P.-SZŰCS, L.-LÉNÁRT L.-G. CSISZÁR HORÁNYINÉ (006): Determnaton of hydrogeologc rotecton area of the cold and warm karstc regme of Mskolc-Taolca usng numercal methods A Kárát-medence Ásványvze III. Nemzetköz Tudományos Konferenca, Csíkszereda, 006. júlus 8-9., Konferenca Kadvány, KITANIDIS P.K. (1997): Introducton to geostatstcs: Alcatons to hydrogeology. - Cambrdge Unversty Press, 49. LEE, T- C. (1999): Aled Mathematcs n Hydrogeology. - Lews Publshers and CRC Press LLC, ISBN LÉNÁRT L. (006): A Bükk-térség karsztvízotencálja a hosszú távú hasznosíthatóságának környezetvédelm feladata. - Észak-magyarország Stratéga Füzetek. III. évf.. sz. Mskolc, LÉNÁRT L. (010): The Interacton of Cold and Warm Karst Systems n the Bükk Regon. - Proceedngs of the 1th Knowbrdge Conference on Renewables, Mskolc, , WOLFBAUER J.-STIBITZ M.-MADARÁSZ T.-SZABO I. (005): Qualty assurance n feld remedaton; - Project Num.: Hungaran-Austran S&T Cooeraton Proj. A-9/00 Perod (WTZ Ungarn/ÖAD); 1-5; Leoben MOSTELLER F.-TUKEY J.W. (1977): Data Analyss and Regresson. - Addson-Wesley, STEINER, F. (Edtor 1991), The Most Frequent Value. Introducton to a Modern Conceton Statstcs. - Akadéma Kadó, Budaest, Hungary, 314. STEINER, F. (ed. 1997): Otmum methods n statstcs. - Akadéma Kadó, Budaest SZUCS, P.-CIVAN, F.-VIRAG, M. (006): Alcablty of the most frequent value method n groundwater modelng. - Hydrogeology Journal, 14: Srnger-Verlag, DOI /s HORNE, R. N.-SZUCS, P. (007): Inferrng Well-toWell Connectvty Usng Nonarametrc Regresson on Well Hstores. - PROCEEDINGS, Thrty-Second Worksho on Geothermal Engneerng, Stanford Unversty, Stanford, Calforna, January -4, SPG-TR-183, HORNE, R. N.-SZUCS, P. (009): Alcablty of the ACE Algorthm for Multle Regresson n Hydrogeology. - DOI: /s z COMPUTATIONAL GEOSCIENCES : (13) Srnger TOTH, J.-BODI, T.-SZUCS, P.-CIVAN, F. (005): Determnng Relatve Permeablty from Unsteady-State Radal Flud Dslacements SPE Annual Techncal Conference and Exhbton held n Dallas, Texas, USA, 9-1 October 005. SPE 94994,