Ciklikusan változó igényűkészletezési modell megoldása dinamikus programozással

Átírás

1 Cklkusan változó gényűkészletezés modell megoldása dnamkus programozással Cklkusan változó gényűkészletezés modell megoldása dnamkus programozással DR BENKŐJÁNOS egyetem tanár SZIE 200 Gödöllő Páter K u Tel: (28) e-mal: BENKOMGTI@MGKGAUHU A készletek jelenlétét a gazdaságban fzka és gazdaság kényszerek ndokolják Bármennyre s szeretnénk a készletek jelenleg smeretenk szernt a termelés és ellátás folyamatokból nem küszöbölhetők k legfeljebb csökkenthetők lletve mnmalzálhatók A készletek optmáls nagyságának a meghatározásával foglalkozó tudomány a készletezés elmélet amely általában matematka modellek felhasználásával segít a döntéshozókat A modellek egyk nagy csoportját az un perodkus készletfgyelésűmodellek képezk amelyek alkalmasak előre becsülhető de cklusonként változó gények leírására A tanulmány egy lyen modell általános korlátozó feltételek (peródusonként maxmáls gyártás maxmáls készlet a feltöltés után mnmáls készlet a peródus végén stb) mellett megoldására tesz javaslatot Az anyag- és készletgazdálkodás feladata a termelés ütemének megfelelőanyagszükséglet folyamatos kelégítése A termelés program és az anyagnormák smeretében egy adott dőszak anyagszükséglete pontosan tervezhető továbbá smertek a termeléshez szükséges anyagok beszerezés forrása s Ennek ellenére az anyagellátásban problémák jelentkezhetnek amelyek egyrészt a termelés program nem tervezett változásara és bzonytalanságara másrészt a külsőbeszállítóknál mutatkozó előre nem kalkulálható eseményekre vezethetők vssza A készletek jelenlétét a gazdaságban tehát fzka és gazdaság kényszerek ndokolják és bármennyre s szeretnénk a készletek jelenleg smeretenk szernt a termelés és elosztás folyamatokból nem küszöbölhetők k legfeljebb csökkenthetők lletve mnmalzálhatók A készletek optmáls nagyságának a meghatározásával foglalkozó tudomány a készletezés elmélet amely általában matematka modellekre támaszkodva segít a döntéshozókat A készletezés elmélet célja megtaláln az egyensúlyt az ésszerűbztonság és az elfogadható költség között Az első klasszkusnak teknthetőkészletgazdálkodás modellt amely optmáls rendelés tételnagyság (EOQ) modellje néven vált smerté már 95-ben publkálták [3] Az optmáls rendelés tételnagyság számítására alkalmas modell lletve formula alkalmazhatóságának eredet feltétele gen szgorúak és a gyakorlatban rtkán teljesülnek ennek ellenére egyszerűségének köszönhetően a ma napg a leggyakrabban emlegetett és használt modell Széleskörű felhasználásának nemcsak az a magyarázata hogy matematkalag kevésbé képzett szakemberek számára s elérhető hanem az s hogy a megoldás nem túlzottan érzékeny a bemenőparaméterek pontosságára Az eredetből továbbfejlesztett modellek alkotják a folyamatos készletfgyelésűmodelleket [] Ezek képesek fgyelembe venn a hányt a véges feltöltés kapactást a darabonként rendelés költség tételnagyságtól való függését stb de továbbra s feltételezk hogy a felhasználás vagy fogyás ráta mnden cklusban állandó A folyamatos készletfgyelésűmodellek elsősorban a nagy tételszámokat közel egyenletes ütemben gyártó cégeknél alkalmazhatók a kndulás feltételek megsértése nélkül Ezek a feltételek a szezonáls ngadozásokat mutató kereskedelemben vagy a megrendelések változását követőtermelésben azonban nem teljesülnek Ilyenkor ha nem akarunk túl nagy hbát elkövetn kénytelenek vagyunk bonyolultabb nagyobb felkészültséget feltételezőés több munkát génylőmodelleket alkalmazn Ezek egyk nagy csoportját az un perodkus készletfgyelésű modellek képezk amelyek alkalmasak előre becsülhető cklusonként (peródusonként) vál-

2 2 Gép LV évf 2004/3 8- p tozó gények leírására Az elsőlyen modellt Wagner és Wthn 958-ban publkálták [6] akk a megoldásra a dnamkus programozást használták fel Az algortmust később maga Wthn fejlesztette tovább [4] Az 50-es évek végén és a 60-as évek elején a számítástechnka vszonylagos fejletlensége arra késztette a matematkusokat és a kutatókat hogy mnél ksebb memóra és számításgényűalgortmusokat fejlesszenek k Ez a törekvés vsszaköszön a Wagner-Wthn algortmusban s amelyben az alkotók az eredmények pontosságának rovására egyszerűsítették a számításokat pontosabban olyan a korlátokat és a költségfüggvényt fogalmazták meg amelyek jelentős számításgény csökkenést eredményeztek [] Az elmúlt évek a számítástechnka fejlődésével am többek között a számítások sebességének növekedésében s megnylvánult az akadályok megszűntek és lehetőség nyílt arra hogy a korábbaknál pontosabb a valóságot jobban tükrözőmodelleket alkossunk E tanulmány s a Wagner-Wthn modell továbbfejlesztésével lletve a fejlesztett modell megoldásával foglalkozk Az új modellben az előrelépést az jelent hogy abban a gyakorlat által jogosan gényelt alsó és felsőkorlátok írhatók elő továbbá az eredethez képest a költségfüggvényben készlet fogalma s közelebb áll a valósághoz A korlátozó feltételek következők: peródusonként beszerzés vagy gyártás és a feltöltés után készlet nem léphetnek át adott határokat a peródusok végén a készlet pedg nem csökkenhet az előírt sznt alá Tekntsük először modellben fgyelembevett költségelemeket Legyen K a peródusok (=2 n)) elején jelentkező a rendelés vagy a gyártás ndításakor felmerülőállandó költség amt rendelés vagy beállítás költségnek nevezünk A darabonként beszerzés vagy gyártás költség (c ) általában állandó de az új modellben peródusonként változhat esetleg a rendelés tételnagyság függvénye s lehet A darabonként készlettartás költség (h ) ugyancsak lehet állandó peródusonként változó és a készletnagyság függvénye Készlettartás költséggel arányos készletnek az eredet modellben a vzsgált peródus végén megmaradó mennységet tekntették A fejlesztett változatban lneárs változást feltételezve a peródus elején és végén mérhetőmennységek átlagával azonosítjuk a készletet am lehet tetszőleges vagy korlátozott nagyságú A készlet mnmumának a korlátozása a gyakorlatban általában bztonság megfontolásokra vezethetővssza és egy olyan mnmáls sznt (s) előírását jelent am alá a készlet soha nem csökkenhet A készlet felsőhatárat az egy peródus alatt beszerezhetővagy gyártható mennység (Z) vagy a rendelkezésre álló raktárkapactás (S) determnálja Értelemszerűen az -edk peródus végén megmaradó mennység (készlet) az (+)-edk peródus belépőkészlete Feltételezzük hogy a belépőkészlet az elsőperódus elején smert nagyságú az n-edk peródus végén pedg a készlet 0-ra csökken A modellben a fogyás ráta (egységny dőre esőkészletváltozás) helyett a készletváltozást az -edk az peródus szükségletével r (=2n) jellemezzük A vázolt készletezés probléma megoldásának célja meghatározn az egyes peródusok elején rendelendővagy gyártandó mennységet [z (=2n)] úgy hogy a teljes költséget mnmalzáljuk A megoldáshoz célszerűen a dnamkus programozást fogjuk használjuk amelynek változó a készletezéssel összefüggésben a következők Az -edk fázst az -edk peródussal azonosítjuk az állapotok pedg feleljenek meg az -edk peródusba belépőlehetséges készleteknek amt x (=2n) -vel jelölünk Az x készlet az elsőperódus elején smert nagyságú és az utolsó peródus vagys a tervezés horzont végén nulla azaz x n+ =0 A döntés változó legyen a -edk peródus elején megrendelt vagy gyártott mennység (z ) A szükséglet az -edk dőszakban pedg legyen r

3 Cklkusan változó gényűkészletezés modell megoldása dnamkus programozással 3 Az -edk dőszakban felmerülőköltség B (x z ) így a belépőkészlet (x ) és a gyártott mennység (z ) függvénye Amnt azt előre jeleztük a költségek közül az állandó rendelés vagy beállítás (K) a darabszámmal arányos c beszerzés vagy gyártás és a h készlettartás költséget vesszük fgyelembe A készlet az -edk peródusban a feltöltés után készlet x+z és a peródus végén megmaradó készlet x + =x +z r átlaga azaz x 2 amt felhasználva az -edk peródus költsége: K c ( z ) z h ( x / 2) ha a z 0 B ( x z ) h( x / 2) ha a z 0 A B (x z ) költségfüggvényben a c darab- és a h készlettartás költség peródusonként változhat sőt az sem szükséges hogy B (x z ) lneárs függvény legyen Például a gyakorlatban nagyon gyakran előfordul hogy nagyobb tételszám rendelésekor kedvezményeket kapunk azaz a darabonként ár (c ) a rendelés tételnagyság (z ) függvénye A probléma természetéből fakadóan a lehetséges korlátozások a következők: a peródusonként beszerzés vagy gyártás maxmalzált Z z a készlet a gyártás vagy feltöltés után maxmalzált S x a hányt nem engedjük meg x 0 a készlet a peródus végén mnmalzált s x Mvel z -t választottuk döntés változónak a korlátozó feltételeket az alábbak szernt rendezzük: z Z z S x z x x s / 2 Készlet S s Maxmáls készlet a feltöltés után r r 2 z z z 2=Z 3 r 3 x x 2 x Kezdõ készlet Maxmáls rendelés v gyártás Mnmáls készlet a peródus végén ábra Egy három peródusos modell Peródus Az utolsó feltételt alakítsuk át az ábrából felírható x x

4 4 Gép LV évf 2004/3 8- p egyenlettel amelyből az x Ezt helyettesítve az utolsó feltételbe és rendezve az A feltételeket összevonva: x r z s z s mn{ Z ( x s )( S )} max{ r } Jelentse C (x z ) a készletezés alpoltkák teljes költségét az -edk peródus elejétől az n-edk peródus végég amelyek értelemszerűen a belépőkészlet és a gyártott mennység függvénye és x belépőkészlet esetén jelölje C * ( x ) a C (x z ) halmaz mnmáls értékét A korlátozó feltételeket fgyelembe véve a legjobb készletezés alpoltkák a C ( x ) * mn z mn{ Z ( x r s )( S )} z max{ r } { C ( x z )} mn z mn{ Z ( x r s )( S )} z max{ r } { B ( x z ) C * rekurzív formulával számíthatók mnden = 2 n peródusban ahol a C n nulla és az táblázat x + =x +z Peródus () Beszerzés ár (c ) [ezer Ft/t] Szükséglet (r ) [t] Készlettartás költség (h ) [ezer Ft/t] A feladat megoldásának tovább feltétele: n nz * ( x )} defnícó szernt azaz az összes beszerezett vagy gyártott mennység és az elsőperódusba belépőkészlet öszszege nem lehet kevesebb mnt az összes szükséglet Az elsőperódus szükséglete pedg nem lehet nagyobb mnta az elsőperódusba belépőkészlet és a peródusonként maxmálsan beszerezhetővagy gyárható mennység összege: r Z x A tervezés horzont végén az x n+ =0 csak akkor teljesül ha az s r n azaz a mnmáls készlet nem lehet nagyobb az utolsó peródus gényénél A leírt algortmus alapján készített számítógép program bemutatásához tekntsük a következő példát A program adatbevtel képernyőjét a 2 ábra mutatja

5 Cklkusan változó gényűkészletezés modell megoldása dnamkus programozással 5 2 ábra Az nput adatok és az eredményekkel 0 mnmáls készletszntnél 3 ábra Az nput adatok és az eredményekkel t-ás mnmáls készletszntnél Egy vállalat anyagellátás osztályának az éves termelés program megvalósítása érdekében kéthavonta az táblázatban megadott mennységben (r ) kell a gyártáshoz szükséges alapanyagokat bztosítana A beszerzés ár (c ) peródusonként változó és a raktárkapactás korlá-

6 6 Gép LV évf 2004/3 8- p tozott S=9 t Az elsőperódusba belépőkészlet x=2 t A rendelés költség K=2 ezer Ft/rendelés a fajlagos készlettartás költség mnden peródusban egyenlő h= ezer Ft/t Határozzuk meg az optmáls készletezés poltkát Kérdés az egyes peródusokban mekkora mennységeket (z ) rendeljünk ha a mnmáls készletet nem korlátozzuk majd vzsgáljuk meg hogy mlyen költségnövekedéssel jár ha a mnmáls készletet t-ra növeljük A program futásának eredménye (a peródusok belépőkészlete (x ) a peródusokban beszerzett mennységek (z) és a feltöltés után készletek (x+z)) nulla mnmáls készletszntnél a 2 ábrán t-ás mnmáls készletszntnél pedg a 3 ábrán láthatók Az elsőesetben az összes beszerzés és készletezés költség 3955 ezer Ft am a mnmáls készletsznt növelésekor 445 ezer Ft-ra növekszk azaz az t-ás mnmáls készletsznt okozta költségnövekedés 9 ezer Ft A mnmáls készlet bztonságot jelent de mndenk előtt smert hogy a nagyobb bztonság több pénzbe kerül A megoldásból s kderül hogy a mnmáls készletsznt előírása azaz az s>0 készletezés poltka költségnövekedést eredményez Az újrarendelés pontot az utánpótlás dősmeretében ezért úgy kell meghatározn hogy az új szállítmányok akkor érkezzenek meg amkor a készletsznt nullára csökken SUMMARY Reasons for presence of nventory (stock of goods) are physcal and economcal constrants n busness However we would lke accordng to our present knowledge nventory can not be elmnated from producton and dstrbuton of goods at most we can reduce and mnmze t The name of the scence that deals wth determnaton of the optmal lot sze s nventory theory Inventory theory formulates mathematcal models to help decson makers One groups of nventory models s called perodc revew that allows to vary the requred amounts from perod to perod Ths study deals wth such a model n that maxmum quantty produced or ordered for perod maxmum nventory after chargng and mnmum nventory at the end of perod are gven and takes also a suggeston for the soluton IRODALOM BenkőJ: Logsztka tervezés Dnaszta Kadó Budapest Chkán A (szerk): Készletezés modellek Közgazdaság és Jog Könyvkadó Budapest Harrs F: Operatons and Cost AWShaw Co Chcago 95 4 Hadley G-Wthn T M: Analyss of Inventory Systems Prentce-Hall Tersne R J: Prncples of Inventory and Materals Management North-Holland Amsterdam Wagner H M-Wthn T M: Dynamc Verson of the Economc Lot Sze Model Management Scence old Publkálva: Gép LV évf 2004/3 8- p