Gráfelméleti megközelítés rendszerek strukturális modellezésére (A holográfia elv kiterjesztése általános rendszerekre) Bevezetés

Átírás

1

2 D é n e s T a m á s matematkus e-mal: tdenest@freemal.hu Gráfelmélet megközelítés rendszerek strukturáls modellezésére (A holográfa elv kteresztése általános rendszerekre) Bevezetés Jelen dolgozatom céla, hogy megmutassam az alakfelsmerés problémakör kteresztését általános rendszerekre. Azaz általános rendszerek sturktúráának megsmerését alakfelsmerés problémára vsszavezetn. Ehhez megadom a rendszerek általános leképezését matematka (gráfelmélet) modellre. E struktúráls modellezés fzka (kép, hang, stb.) eszközökkel s megvalósítható, megfelelő technka felszereltség esetén, amely lehetőség érdekes perspektívát gér például a társadalm elenségek (rendszerek) megsmerésének segédeszközeként. Az előbbekben elzett matematka modell egyben általánosított (nemcsak fzka elenségekre alkalmazható) modelle az optka elenségekre megfogalmazott holográfa elvnek. 1. Az egységes vonatkoztatás rendszer szükségessége Az általunk vzsgált elenségek (rendszerek) a valóság, mnt totaltás bzonyos megközelítés szempontok szernt kragadott (elkülönített) része (lásd DT Csepel Műszak szemle). Ebből következk, hogy ugyanaz az obektum vzsgálat célanktól függően más-más megközelítés szempontok szernt vzsgálható. Ezeket a vzsgálat szempontokat tekntük adott esetben az obektumok ellemzésére (leírására) alkalmas megfgyelés eszköznek, melyeket változóknak nevezünk. Az egyes változók természetesen különböző obektumok esetén különböző értékeket vehetnek fel, melyeket kódértékeknek fogunk nevezn, amely kódértékek a természetes számok halmazának egy-egy eleméhez rendelhetők Defnícó Legyen X={x 1, x 2,..., x n } adott változók egy halmaza, melyek kódhalmaza (kódértéke) rendre a K 1, K 2,...,K n halmazok és legyen (1.1) E = K 1 K 2... K n ahol x a Descartes-szorzást elöl. Ekkor az e = (a 1 a 2...a n ) elem n-est az X változó halmaz egy realzácóának nevezzük, ha e E, azaz (1.2) a1 K1, a2 K 2,..., a n K n

3 Dénes T.: Gráfelmélet megközelítés rendszerek strukturáls modellezésére (A holográfa elv kteresztése általános rendszerekre) Defnícó Az S = (X, E, R) hármast rendszernek nevezzük, ha X: a rendszert defnáló változók halmaza E: a rendszert alkotó obektumok halmaza, melyekhez az X változó halmaz egy-egy realzácóa rendelhető, azaz (1.3) e E! f E R: az E halmazon értelmezett relácók halmaza, azaz az obektumok között vszonyok, vagys a rendszer defnáló relácónak halmaza (1.4) r R r E E Megegyezzük, hogy a rendszert defnáló három halmaz számosságára nem tettünk kkötést, azonban a konkrét ember megsmerés, azaz az emprkus vzsgálatok esetén természetesen ezek a halmazok végesek. A rendszerek emprkus vzsgálata tehát a valóságos rendszer egy leszűkített, közelítő modellén történk. Ezen a modell-rendszeren végezhetünk méréseket, amelyből adatokat nyerünk, amely adatok analízse és szntézse ad lehetőséget a modellrendszer strukturáls leírására. Ilyen strukturáls leírások sorozatával közelíthető a valóságos rendszer megsmerése. Ennek az smeretelmélet ktérőnek gen lényeges szerepe van a továbbak kfetésében, így az 1.ábrán felvázoluk e transzformácók folyamatát (részletesebben lásd DT II.Computer Conf.) Valóságos Modell A modell rendszert Adatok Rendszer Rendszer defnáló változók analízse, (Jelenség) (véges) mérése szntézse (empírkus adatok) 5. Adatok struktúráls leírása 1. ábra Tuduk, hogy a modell-rendszert általában több egymástól gen eltérő típusú változó defnála. (Ezek két nagy csoportát képezk a mennység és mnőség változók.) A megsmerés folyamat 5.lépéséhez tehát deáls esetben olyan eszközök brtoklása szükséges, melyek a 4.lépésben az adatok többváltozós (egymástól eltérő típusú változók esetén s alkalmazható) elemzésére alkalmasak.

4 Dénes T.: Gráfelmélet megközelítés rendszerek strukturáls modellezésére (A holográfa elv kteresztése általános rendszerekre) 4 Természetesen a több, különböző típusú változó együttes kezelése mnden esetben valamlyen közös vonatkoztatás rendszer szükségességét vet fel, hszen az egyes változók a rendszer egyes metszetet (egy-egy szempont szernt vzsgálat) tárák fel. Az e problémakör (többváltozós elemzés) megoldására kdolgozott elmélet és módszertan eredmények általában a matematka statsztka körébe tartoznak és közös ellemzőük, hogy a vonatkoztatás rendszert a változókkal való transzformácókkal (skálatranszformácók, standardzálás, stb.) vélk megoldan. Mvel azonban így általában nem utunk egységes vonatkoztatás rendszerhez (hszen a változók között például rtkán van olyan, amelyre az összes több vonatkoztatható), így a rendszer sturkturáls elemzésénél számos gen nehéz probléma merül fel, amelyek a modell-rendszer strukturáának adekvált leírását meggátolák. (lásd pl. [1], [3], [5], [6], [7]). Mnt az a elen dolgozat 3. pontában kderül, a rendszer strukturáls elemzéséhez szükséges egységes vonatkoztatás rendszert merőben más úton könnyebb megleln és ezt az 1. ábra sugalla s. 2. A holográfa elv alapgondolata A holográfa elv alapgondolata tuladonképpen specáls rendszerek (tárgyak) sturkturáls leképzésénél, annak felsmerése, hogy ez csak egységes vonatkoztatás rendszer segítségével lehetséges. Idézzük Gábor Dénes l971-ben a Nobel-dí átvételekor tartott előadásának egy részletét: Mért ne árhatnánk el úgy, hogy elfogaduk a rossz elektronképet, amely azonban tartalmaz mnden nformácót, mad a rossz képet optka eszközökkel korrgáluk? Rövd dő alatt tsztába öttem azzal, hogy amennyben ez egyáltalán lehetséges, csak koherens elektronnyalábokkal valósítható meg. A közönséges fényképen azonban a fázsok telesen elvesznek, a fénykép csupán az ntenztásokat örökít meg. Nem csoda, hogy elveszítük a fázst, ha nncs mvel összehasonlítan! Nézzük meg, m történk, ha alapfázst, koherens hátteret adunk a fényhullámhoz. Ezután a válasz már vszonylag könnyen adódott, hszen a tárgyhullám és a koherens háttér (vagy referencahullám) nterferencáa csíkokat hoz létre, melyek maxmuma ott lesznek, ahol a két hullám fázs azonos. Ha poztívot készítünk, amely csak a maxmumoknál bocsát át fényt és csupán a referenca-fényforrással vlágítuk meg, akkor a fázsok természetesen helyesek lesznek a referenca-fényforrásra, de egyúttal a tárgyra nézve s. A tárgyak tehát rekonstruált formában meg kell elenne. (A holográfáról lásd pl. [8],[9]) Az így nyert nterferenca képet nevezte el Gábor Dénes hologram-nak, amely tuladonképpen a tárgy strukturáls leképezése, hszen a tárgy struktúráára vonatkozó maxmáls nformácót tartalmazza. 3. Egységes vonatkoztatás rendszer általános rendszerek esetén Térünk vssza egy pllanatra az 1.ábrához, ekkor nyomban szembetűnk, hogy a 3. fázsban a rendszert defnáló változók nem hordozó az elem nformácóknak, csak azok méréséhez segédeszközök. Egy S rendszer strukturáát az R-bel relácók adák meg, amelyeket az E halmazon értelmeztünk. Az 1.2. defnícó szernt E mnden eleméhez egyértelműen rendelhető az X változó halmaz egy realzácóa, am azt elent, hogy egy tetszőleges E-bel elem (obektum) az összes változóra nézve hordoz pontosan egy elem nformácót (mérést). Ebből következk, hogy

5 Dénes T.: Gráfelmélet megközelítés rendszerek strukturáls modellezésére (A holográfa elv kteresztése általános rendszerekre) 5 általános rendszerek esetén s létezk a változókra nézve egységes vonatkoztatás rendszer, mégpedg az elem nformácókat hordozó E-bel obektumok. A rendszer sturkturáls leképezését tehát nem a változók konkrét értéke, hanem ezek sturktúráa, azaz az elem hordozókon generált változó-struktúra segítségével olduk meg. Ennek kfetésére elen dolgozat 4. pontában kerül sor. 4. Rendszerek strukturáls leképzése A továbbakban rendszer alatt mndg modell-rendszert értünk, hszen emprkusan csak ezek strukturáls leképzésére van mód. ' Tekntsünk egy 1.2. defnícó szernt S=(X, E, R) rendszert és defnáluk az r r ' r ' 1, 2,..., n R relácókat úgy, hogy ha X={x 1,x 2,,x n } és e=(a 1 a 2 a n ) E, valamnt f=(b 1 b 2 b n ) E akkor mnden r R esetén telesül (4.1) e r f a r ' b ( r ' K K ) Az így defnált relácókat a megfelelő változó struktúra generáló relácóának nevezzük. Így mndegyk x X változóhoz az E halmaz egy ól defnált struktúráát rendeltük, melyet a következő gráffal reprezentálhatunk. Jelölük az x változóhoz tartozó gráfot a Γ = ( P, H ) elöléssel, ahol P a gráf szögpontanak, H az élenek halmaza. P : mnden egyes E-bel elemhez egy P -bel szögpontot rendelünk a ρ kölcsönösen egyértelmű leképzéssel, azaz ha e E, p P, akkor (4.2) ρ ( e ) = p H : H P P pontosabban (4.3) ( p pk ) H e r ek Ezen Γ ( = 1,2.,n) gráfok szuperpozcóaként előáll az S rendszerből leképzett multgráf, amelynek az egyes változó-struktúrákhoz tartozó éle különböző úgynevezett sznezéssel különböztethetők meg. A fent elárással tehát az S rendszert az E-bel obektumok között vszonyok (relácók) struktúráára képeztük le, amely a Γ 1, Γ2,..., Γn gráfok szuperpozícóával reprezentálható. Az elárás folyamatát vázlatosan a 2. ábrán mutatuk be.

6 Dénes T.: Gráfelmélet megközelítés rendszerek strukturáls modellezésére (A holográfa elv kteresztése általános rendszerekre) 6 2. ábra Ismeretes, hogy egy gráfhoz egyértelműen rendelhető egy képmátrx (és fordítva) olymódon, hogy ha M [ M ] mxm Γ = (m a mátrx soranak és oszlopanak száma) a Γ = ( P, H ) P =m szögpontú gráf képmátrxa, ahol P a P halmaz elemenek számát elöl, akkor (4.4) M 1 = 0 ha ha ( p p ) H ( p p ) H Az M Γ mátrx mnden egyes eleme egy képpontot reprezentál, amely fekete vagy fehér asszernt, hogy az elem 1 vagy 0. Így mndegyk x változóhoz egy I Γ képmátrxot rendeltünk, amelyek megfelelő egymásra vetítése esetén megkapuk a szuperponált gráfokhoz tartozó rendszer-képet, más szóval rendszer hologramot. Ezt a rendszer-képet megfelelő fzka eszközökkel akár tényleges vzuáls formában s megeleníthetük, amely teknthető az S rendszer absztrakt képének (hologramának)! Tekntsük most példaként a 2. pontban tárgyalt holográfát. A fzka tárgyak tuladonképpen olyan specáls rendszerként foghatók fel, melyeket négy változó defnál (a kép megelenítés szempontából), a térbel kteredés három koordnátáa és a szín (ntenztás). A rendszert alkotó obektumok a tárgypontok, melyek egységes

7 Dénes T.: Gráfelmélet megközelítés rendszerek strukturáls modellezésére (A holográfa elv kteresztése általános rendszerekre) 7 vonatkoztatás rendszereként a koherens referencahullámokat alkalmazza a holográfa. Ha most az R 1, R 2, R 3 relácók a tárgypontok között relácók, amelyek a (4.1) feltételnek eleget tesznek, akkor elen esetben ezek az adott tárgypontok referenca és tárgyhulláma azonos fázsban van elentésű relácók, vagys ekvvalenca relácók. Az nterferenca-csíkok tehát a 2. ábra absztrakt rendszerképének specáls realzácó, azaz a hologramm specáls rendszer-kép. 5. Alakfelsmerés és rendszer-kép Célunk az általános rendszerek struktúráls megelenítése volt, ennek alapelvét a 4. pontban írtuk le. Ezzel azonban az általános rendszerek vzsgálatának (strukturáls leírásának) problematkáa vsszavezethető alakfelsmerés problémákra és ezek eszköze már ól kezelhető egységes alapokon használhatók. Példaként említük az alakfelsmerés eszközök között gen gyakran elentkező cluster-analízst, melynek egyk E. Dday és J.C. Smon által [] ben felvetett feltáratlan területe az átfedő clusterek vzsgálata, az általunk avasolt modellel könnyen tárgyalható. Irodalm hvatkozások [1] R.H.Atkn: Mathematcal structure n human affars. Henemann, London, [2] C.Berge: Graphs and hypergraphs. North-Holland, 1973 [3] T.Dénes,P.Gellér: On the use of mathematcs to socology today. Conf.of the research commttee on the socology of scence. Budapest, 1977 [4] K.S.Fu(edtor): Dgtal pattern recognton. Sprnger-Verlag, [5] P.R.Krshnaah (edtor): Multvarate analyss IV. North-Holland, [6] C.A.O Murcheartagh,C.Payne (edtors): The Analyss of Survey Data Vol.I.: Explorng data structures. John Wley and Sons, [7] C.A.O Murcheartagh,C.Payne (edtors): The Analyss of Survey Data Vol.II.:Model fttng. John Wley and Sons, [8] G.W.Stroke: An ntroducton to coherent optcs and holography. Academc Press, New York, [9] J.C.Vénot,P.Smgelsk,H.Royer: Holographe optque développements-applcatons Dunod, Pars, 1973.