Htározott integrál megoldások + 7 + + 9 = 9 6 A bl végpontokt válsztv: i = i n, i+ i = n, fξ i = i 6 d = lim n n i= i n n = n lim n n i = lim n i= A jobb végpontokt válsztv: fξ i = n i, n i d = lim n n n = n lim n + n = n i= ] d = = = + d = + ] = n nn = n 7 A T 6 tételt lklmzzuk:, ] intervllumon z e és sin π függvény is monoton csökken, így e sin π e, tehát I e 8 Az integrálközépértéktétel lpján Mivel d = c d = ] = 6 = 6, ezért 6 = 9c, zz c = ± 7 A, ] intervllumb c = 7 érték esik 9 c = 7 π = 7, 87 c = rccos 88 c = rcsin π c = rcsin π, c = π rcsin π lim d = lim rcsin ] b = π / b + /] + /] lim + + lim b + d = 6 b = + d = 6 / 7 8 9 Nem konvergens Prciális integrálás után
Htározott integrál e d = lim e ] b = lim e b + b b Nem konvergens Nem konvergens 6 = rctg + π 7 +, mert lim e = 8 Nem konvergens 9 ln A sin cos korlátosság mitt lim e sin cos = Ezért z improprius integrál értéke: b ln d = lim ln ] b = b ln b b lim ln + + Mivel lim ln = lim + + ln / = lim + / =, ezért b ln b b =, mib l / keresett b-re b = e + ln ln π π 6 6 7 Nem konvergens 8 Nem konvergens 9 π + 6 d = 6667 d Divergens, mivel p > : p < : p = : d + d + = ln +π+ln +=ln +7+π Az el z feldthoz hsonlón d és d integrál divergens ] p d = lim p p ] p p = lim = p d = lim ln ] = = p
Htározott integrál d 6 A keresett T terület: T = + = ln + ] = ln 9 7 6 8 A függvény grkonj z, ] intervllumon z tengely ltt,, intervllumon z tengely felett hld Ezért keresett T terület: T = d + d = 8 9 9 A függvény, intervllumon z tengely ltt, z, ] intervllumon z tengely felett hld Ezért keresett T terület: T = sh d + sh d = ch 6 + π 6 9 A függvény grkonj, intervllumon z tengely felett,, ] intervllumon z tengely ltt hld Ezért keresett T terület: T = ] ] d d = ln ln = 6 9 ln A függvény grkonj z, intervllumon z tengely ltt,, e] intervllumon z tengely felett hld A keresett T terület: T = ln e d + ln d = e + ln 6 8 7 8 9 6 Legyen = cos t; d dt = cos t sin t H =, kkor cos t = H =, kkor cos t =, t = π π/ T = cos t ] / cos t sin t = 6 T = π/6 cos t 6 t lg d 6 sin t 6 6, t = π 6 π/ π/6 sin t cos t sin t = ] π/ + sin t = 8 π 6 6 π/6 ln d = lg 66 e 7 sh 6 6 e e + ln
Htározott integrál 6 Az y = egyenlet prbol és z -tengely metszéspontji,, így T = d = + 66 T = + d = 6 + 67 T = d = 68 T = / d = 69 Szimmetri mitt l z ábrát T = d+ 7 T = 7 T = 7 T = 7 T = 7 T = + 8 ln + d = 8 8 + d = π d = d + d = + d = d =,, 7 Az y = + egyenlet prbol z tengelyre szimmetrikus és zt, pontbn metszi A feldtbeli két görbe metszéspontji:, és 6, Ezért: 6 T = + d + + d Egyszer bb terület kiszámítás, h z -t tekintjük y függvényének Ekkor T = y y dy = 76 Egyszer bb z y tengely és görbék közötti területek különbségét kiszámítni: T = y y dy = 77 Egyszer bb számítás, h z y tengely és görbék közötti területek különbségét vesszük: T = y + y dy = 8 78 Az -et tekintjük y függvényének A y = y egyenletb l y = T = y y dy =
Htározott integrál 79 T = d =, t = rcsin = π és T = t π 8 T = b d t d Legyen = sin t; ekkor t = t sin t cos t dt = cos t dt = t π/ = sin t helyettesítéssel T = b cos dt = bπ 8 Az integrálás közben = sin t helyettesítést lklmzv T = + d = + d = + 8 rcsin + = 6π 8 A két kör metszéspontjink koordinátái: =, = Ezért keresett terület -tengely feletti része: T = d + d = = rcsin + rcsin + = = π A keresett T terület z -tengely ltti félkör területének és T -nek összege: T = π π + = π + 8 T = / / d = 9 ] π/ π/ 8 T = sin d = + cos 8 T = π/ π/ cos π d = + π = π 8 86 e 87 T = e d = e + 88 T = 6 d = + ln ln 9 89 ln 9 T = 6 ln 9 A görbék metszéspontj: =, így: T = + d = ln + ln
Htározott integrál 9 A görbék metszéspontj = l ábr: 6 T = ln d = = 7 + 6ln ln 9 e + 9 ln 9 T = ln d + 96 e L 98 9 ln ln d = 97 A metszéspontok z =, =, = helyeknél vnnk T = ln d + ln 8 d = ln 98 A metszéspontok z =, = 9 helyeknél vnnk 9 T = ln ln d = ln 6 Lásd fenti jobboldli ábrát π 99 _ = cos t, T = cos t dt = π 6 π π bπ, l ππ /8 _ = cos t sin t, T = π/ π/6 sin t cos t sin t dt = 8 π 6 6 /8 π 7π π 8 π 9T = π r dϕ = π, r = rϕ r, r = rϕ 6 π 6
Htározott integrál A 7 szerint T = π dϕ + cos ϕ π + b = l 7 / sin ϕ / + cos ϕ rctg tg ϕ / + 6T = π π + cos ϕ dϕ = 8 π π dϕ cos ϕ = π tg ϕ + ϕ ] π tg π = 8π + 7 r 8, r = rϕ b π/ b ] π/ 9t = tgϕ-re T = sin ϕ + b cos ϕ dϕ = b rctg b tg ϕ bπ π T = 6 π _ = cos t, _ y = sin t, _ y _ y = t sin t + cos t, mir l kimutthtó, hogy mindenütt nempozitív T = π T = 6 A vizsgált intervllumbn, _ és y pozitív, _ y negtív _ y _ y = sin t cos t cos t sin t + cos t 8 T = sin t + cos t + ] sin t π/ t 8 π/6 = 8 π 6 8 7 8T = t 7 9 6 ln Ebben z esetben szektor megegyezik z ugynehhez függvényhez és intervllumhoz trtozó görbevonlú trpézzl Területe: / / + / d vgy T = / d; T = t = / helyettesítés után: T = / 7T = π/ cos ϕ cos ϕ dϕ = π 6 + 8 e e 6 + ln 6 7 = =
Htározott integrál π/ 8T = cos ϕ dϕ = cos ϕ π/8 9T = tg ϕ dϕ = π/8 cos ϕ cos ϕ dϕ = tg ϕ π T = e ϕ ϕ dϕ = e π π π T = e ϕ e ϕ dϕ = e π e π + π dϕ = 6π cos ϕ T = π Szimmetri mitt T = π/ ] π/8 ϕ = π 6 dϕ π/ cos ϕ + dϕ = + 8π π/ A két kör metszéspontji = sin ϕ egyenletb l: ϕ = π 6, ϕ = π 6 π/6 T = 6 sin ϕ dϕ = π π/6 + Az ívhosszúságot s-sel jelölve: s = + d = + rsh = = + ln + 6s = rsh + = ln + + 8 7 7 p 8 rsh p + + p 9 A, ] intervllumon és < Így, intervllumhoz trtozó, tengely ltti görbeíven y = ; ebb l s = + d = Két ilyen ív vn görbén; z lábbi számítás mind kett re érvényes Implicit függvényként dierenciálv: + y y =, ebb l y y y / / = Másrészt z eredeti egyenletb l: =, tehát / / y = s = d = d = ] / = s = rcth +rcth = ln s = + d = + rcth = + ln ln ln + 6 Polárkoordinátásn: r = y + =, 8
Htározott integrál mib l = r cos ϕ helyettesítéssel és z így kpott egyenlet megoldásávl: r = sin ϕ cos ϕ ; r + _ r = sin ϕ cos ϕ + cos ϕ; r + _ sin ϕ r dϕ = + cos cos ϕ ϕ dϕ Ez utóbbi integrál kiszámításához lásd feldtot A htárok polárkoordinátásn: H =, kkor -b l r =, és így -b l ϕ = ; h =, kkor -b l r =, és így = r cos ϕ-b l = s = cth rsh cos ϕ + rsh cos ϕ + ln + cos ϕ, cos ϕ = Ezeket felhsználv ] rccos 7s = rsh + = ln + + 8 9 + 9t 8 7 6 rsh t + t + t 6 _ = sin t, _ y = cos t, _ + _ y = sin t + cos t = cos t + cos t = cos t 8 π s = cos t dt = ] sin t π t = π 6 8 6 π 6 _ = cos t sin t, _ y = sin t cos t _ + _ y = sin t cos tcos 6 t+sin 6 t Kiszámítjuk zárt görbe hosszánk negyedét, vgyis, π ]-n integrálunk, és zt négyszer vesszük π/ s = sin t cos t cos 6 t + sin 6 t dt l s = 6 ] π/ rsh cos t + cos t + cos t = = rsh + = + ln + 6 _ + _ π/ y = cos t + 6 sin t s = cos t + 6 sin t dt Legyen sin t = sh u, kkor s = + sh u ch u du = 8 ln + 7 + 7 9 =
Htározott integrál 66 e π/ 67 ln y, hol y = yt 68s = rsh = ln + 69s = rth = ln + 7 _ + _ y = 9 sh t ch t; s = ch t / ] 7 _ + _ y = + ch t s = ln + ] 7 rch t rch t ; z integrált helyettesítéssel számíthtjuk ki 7 sh t π 7 _ r =, r + _ r = s = dϕ = ϕ] π = π 7 ϕ + ϕ + rsh ϕ 76 ϕ + + ln ϕ + ϕ + ϕ + 77 78 8 79 8 8r + _ r = d cos 6 ϕ Mivel cos = sin cos + ln tg + π +C, lásd plt π/ dϕ sin ϕ 9 feldtot, s = cos ϕ = cos ϕ + ln ϕ tg + π ] π/ = π + ln tg = + ln + 8 8p + ln + 8 + ln + 8 8 sin ϕ 8 π 8 Átlkításokkl r + _ r = ch ϕ + ch ϕ ; t = th ϕ helyettesítéssel s = π th π 8 86ϕ r, hol r = rϕ 87 + 88 e ϕ 6 89 π 9 π π 9 8 π 9 + sh π 9 9π ln 6 ln + π 9 π 96 π 97
Htározott integrál 98V = π d = 6 π 99V = π b π π 6 π A kiszámítndó felszínt A-vl jelölve A = π / d = π sin + cos d A cos = sh u helyettesítéssel sin + cos d = ] sh u u + + C; így ] π A = π rsh cos + cos + cos = π + ln + π/ A = π tg + cos d = π ] π/ + cos rsh cos = cos π + ln + + Az integrál kiszámításához lásd z feldtot π + sh y + y = / / / /, z / y legegyszer bben z eredeti egyenlet mindkét oldlánk dierenciálásávl számíthtó ki Legyen = cos u ] π/ π/ A = 6π sin u cos u du = 6 sin u π = 6 π 6 π ε, 7y + y = b hol ε = b ε ε A = b π d Legyen = sin u A = bπ u cos u du = bπ ] u u + sin u sin u = ε u ε u = bπ rcsin ε ε + ε ε = bπ ε rcsin ε + b 8A = π ch ch + sh d = π sh π 9A = π + d = sh u helyettesítéssel A = π 6 π A = π π sin t sin t cos t dt = 6 π 7 rsh +
Htározott integrál π A = π cos t cos t dt = 6 π y _ + _ y = cos t / sin t A = π π cos t / sin t dt = 8 π _ + _ y = e t, A = π/ π e t cos t dt = π ] e t π/ sin t + cos t = π e π M =, M y =, T =, s =, y s = 7 6M = 8, M y =, T = ln, s = ln =, 6; y s = 8 ln 7M = 8, M y = ln, T =, s = ln 8M =, M y =, T = π, s =, ys = π =, 6, ys = 9M = b, M y =, T = bπ, s =, ys = b π M =, M y =, T = π, s =, ys = π M = b M y =, T = bπ, s =, ys = b π M = π, My = π, T = π, s = π, ys = 6 A T -re nézve l 99 feldtot M = 8, M y = 8, T = π, s = ys = 6 π A T -re nézve lásd feldtot M =, M y =, T = π, s = π, M = y s = π π 6π, My = π, T = π ys = π π 6π 6M =, M y = π, T = π, s =, y s = 9π A T -re nézve l feldtot 7M = e π +, M y = e π e π +, T =, s = e π +, y e π s = e π + e π A T -re nézve l feldtot =, 7 =, 6, s = 6 π π,
Htározott integrál Tégllp- Trpéz- Prbol- Tégllp- Trpéz- Prbolmódszer módszer módszer módszer módszer módszer 7,9;,6;, 8,;,86;,96; 9 6,6;,7768;,677,666;,;,66;,7;,67;,89,89;,8999;,868;,888;,999;,89,7979;,69;,98;,98;,979;,98 6,986;,987;,986; 7,968;,97;,997 8 7,8; 7,77; 7,; 9,8;,7;,8,99;,9;,97;,6966;,69;,69,676;,676;,676;,887;,8;,86