= n 2 = x 2 dx = 3c 2 ( 1 ( 4)). = π 13.1

Hasonló dokumentumok
A határozott integrál fogalma és tulajdonságai

Az integrálszámítás néhány alkalmazása

Laplace-transzformáció. Vajda István február 26.

Határozott integrál. Newton -Leibniz szabály. alkalmazások. improprius integrál

f (ξ i ) (x i x i 1 )

= x2. 3x + 4 ln x + C. 2. dx = x x2 + 25x. dx = x ln 1 + x. 3 a2 x +a 3 arctg x. 3)101 + C (2 + 3x 2 ) + C. 2. 8x C.

Integráltáblázatok. v du. u dv = uv. lna cosu du = sinu+c. sinu du = cosu+c. (ax+b) 1 dx = 1 a ln ax+b +C. a 2. x(ax+b) 1 dx = x a b a 2 ln ax+b +C

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok november

Többváltozós analízis gyakorlat

Improprius integrálás

Egy látószög - feladat

Egy szép és jó ábra csodákra képes. Az alábbi 1. ábrát [ 1 ] - ben találtuk; talán már máskor is hivatkoztunk rá.

5.1. A határozatlan integrál fogalma

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2

Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai

Matematika A1a - Analízis elméleti kérdései

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK...

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

FELVÉTELI VIZSGA, július 15.

9. HATÁROZATLAN INTEGRÁL

Matematikai analízis II.

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

Analízis II. harmadik, javított kiadás

Az érintőformula A Simpson formula Gauss-kvadratúrák Hiba utólagos becslése. Numerikus analízis

0.1 Deníció. Egy (X, A, µ) téren értelmezett mérhet függvényekb l álló valamely (f α ) α egyenletesen integrálhatónak mondunk, ha

Differenciálgeometria feladatok

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Improprius integrálás

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =

7. HATÁROZATLAN INTEGRÁL. 7.1 Definíció és alapintegrálok

Feladatok matematikából 3. rész

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a

Analízis III. gyakorlat október

0, különben. 9. Függvények

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék. oktatási segédanyag

Az f ( xy, ) függvény y változó szerinti primitív függvénye G( x, f xydy= Gxy + C. Kétváltozós függvény integrálszámítása. Primitívfüggvény.

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): ---

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!

5. fejezet. Differenciálegyenletek

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek

1. Analizis (A1) gyakorló feladatok megoldása

Minta feladatsor I. rész

Differenciálszámítás. Lokális szélsőérték: Az f(x) függvénynek az x 0 helyen lokális szélsőértéke

1. Házi feladatsor Varga Bonbien, VABPACT.ELTE

( x) XI. fejezet. Határozott integrál, terület és térfogat számítás. Elméleti áttekintés. A határozott integrál definícióját ld. a jegyzetben.

Határozott integrál és alkalmazásai

Matematika II. Feladatgyűjtemény GEMAN012B. Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

Határozatlan integrál

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés

Heves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása)

Kalkulus II. Beugró kérdések és válaszok 2012/2013 as tanév II. félév

Hatvani István fizikaverseny forduló megoldások. 1. kategória

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

KIEGÉSZÍTÉS A VONALINTEGRÁLHOZ

2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév)

Tekintsük az I (I R) intervallumon értelmezett f : I R függvényt. Ebben a

11. évfolyam feladatsorának megoldásai

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?

Tehetetlenségi nyomatékok

Térbeli pont helyzetének és elmozdulásának meghatározásáról - I.

VI. Deriválható függvények tulajdonságai

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Határozatlan integrál, primitív függvény

BSc Analízis II. előadásjegyzet 2009/2010. tavaszi félév

Matematika 4 gyakorlat Földtudomány és Környezettan BSc II/2

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány

ANALÍZIS II. Példatár

A határozott integrál

Határozzuk meg, hogy a következő függvényeknek van-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és abszolút szélsőértéke (

Numerikus módszerek 2.

Függvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim.

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november

2. NUMERIKUS INTEGRÁLÁS

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása

Analízis jegyzet Matematikatanári Szakosok részére

Inverz függvények Inverz függvények / 26

Gazdasági matematika I. tanmenet

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

Az ABCD köré írható kör egyenlete: ( x- 3) + ( y- 5) = 85. ahol O az origó. OB(; 912). Legyen y = 0, egyenletrendszer gyökei adják.

Analízis jegyzet. Sikolya Eszter ELTE TTK Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék augusztus 31.

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i

Sorozatok, sorozatok konvergenciája

Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

f függvény bijektív, ha injektív és szürjektív is (azaz minden képhalmazbeli elemnek pontosan egy ısképe van)

Függvények december 6. Határozza meg a következő határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. Megoldás: lim. 2. Feladat: lim.

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )

4. Hatványozás, gyökvonás

Átírás:

Htározott integrál megoldások + 7 + + 9 = 9 6 A bl végpontokt válsztv: i = i n, i+ i = n, fξ i = i 6 d = lim n n i= i n n = n lim n n i = lim n i= A jobb végpontokt válsztv: fξ i = n i, n i d = lim n n n = n lim n + n = n i= ] d = = = + d = + ] = n nn = n 7 A T 6 tételt lklmzzuk:, ] intervllumon z e és sin π függvény is monoton csökken, így e sin π e, tehát I e 8 Az integrálközépértéktétel lpján Mivel d = c d = ] = 6 = 6, ezért 6 = 9c, zz c = ± 7 A, ] intervllumb c = 7 érték esik 9 c = 7 π = 7, 87 c = rccos 88 c = rcsin π c = rcsin π, c = π rcsin π lim d = lim rcsin ] b = π / b + /] + /] lim + + lim b + d = 6 b = + d = 6 / 7 8 9 Nem konvergens Prciális integrálás után

Htározott integrál e d = lim e ] b = lim e b + b b Nem konvergens Nem konvergens 6 = rctg + π 7 +, mert lim e = 8 Nem konvergens 9 ln A sin cos korlátosság mitt lim e sin cos = Ezért z improprius integrál értéke: b ln d = lim ln ] b = b ln b b lim ln + + Mivel lim ln = lim + + ln / = lim + / =, ezért b ln b b =, mib l / keresett b-re b = e + ln ln π π 6 6 7 Nem konvergens 8 Nem konvergens 9 π + 6 d = 6667 d Divergens, mivel p > : p < : p = : d + d + = ln +π+ln +=ln +7+π Az el z feldthoz hsonlón d és d integrál divergens ] p d = lim p p ] p p = lim = p d = lim ln ] = = p

Htározott integrál d 6 A keresett T terület: T = + = ln + ] = ln 9 7 6 8 A függvény grkonj z, ] intervllumon z tengely ltt,, intervllumon z tengely felett hld Ezért keresett T terület: T = d + d = 8 9 9 A függvény, intervllumon z tengely ltt, z, ] intervllumon z tengely felett hld Ezért keresett T terület: T = sh d + sh d = ch 6 + π 6 9 A függvény grkonj, intervllumon z tengely felett,, ] intervllumon z tengely ltt hld Ezért keresett T terület: T = ] ] d d = ln ln = 6 9 ln A függvény grkonj z, intervllumon z tengely ltt,, e] intervllumon z tengely felett hld A keresett T terület: T = ln e d + ln d = e + ln 6 8 7 8 9 6 Legyen = cos t; d dt = cos t sin t H =, kkor cos t = H =, kkor cos t =, t = π π/ T = cos t ] / cos t sin t = 6 T = π/6 cos t 6 t lg d 6 sin t 6 6, t = π 6 π/ π/6 sin t cos t sin t = ] π/ + sin t = 8 π 6 6 π/6 ln d = lg 66 e 7 sh 6 6 e e + ln

Htározott integrál 6 Az y = egyenlet prbol és z -tengely metszéspontji,, így T = d = + 66 T = + d = 6 + 67 T = d = 68 T = / d = 69 Szimmetri mitt l z ábrát T = d+ 7 T = 7 T = 7 T = 7 T = 7 T = + 8 ln + d = 8 8 + d = π d = d + d = + d = d =,, 7 Az y = + egyenlet prbol z tengelyre szimmetrikus és zt, pontbn metszi A feldtbeli két görbe metszéspontji:, és 6, Ezért: 6 T = + d + + d Egyszer bb terület kiszámítás, h z -t tekintjük y függvényének Ekkor T = y y dy = 76 Egyszer bb z y tengely és görbék közötti területek különbségét kiszámítni: T = y y dy = 77 Egyszer bb számítás, h z y tengely és görbék közötti területek különbségét vesszük: T = y + y dy = 8 78 Az -et tekintjük y függvényének A y = y egyenletb l y = T = y y dy =

Htározott integrál 79 T = d =, t = rcsin = π és T = t π 8 T = b d t d Legyen = sin t; ekkor t = t sin t cos t dt = cos t dt = t π/ = sin t helyettesítéssel T = b cos dt = bπ 8 Az integrálás közben = sin t helyettesítést lklmzv T = + d = + d = + 8 rcsin + = 6π 8 A két kör metszéspontjink koordinátái: =, = Ezért keresett terület -tengely feletti része: T = d + d = = rcsin + rcsin + = = π A keresett T terület z -tengely ltti félkör területének és T -nek összege: T = π π + = π + 8 T = / / d = 9 ] π/ π/ 8 T = sin d = + cos 8 T = π/ π/ cos π d = + π = π 8 86 e 87 T = e d = e + 88 T = 6 d = + ln ln 9 89 ln 9 T = 6 ln 9 A görbék metszéspontj: =, így: T = + d = ln + ln

Htározott integrál 9 A görbék metszéspontj = l ábr: 6 T = ln d = = 7 + 6ln ln 9 e + 9 ln 9 T = ln d + 96 e L 98 9 ln ln d = 97 A metszéspontok z =, =, = helyeknél vnnk T = ln d + ln 8 d = ln 98 A metszéspontok z =, = 9 helyeknél vnnk 9 T = ln ln d = ln 6 Lásd fenti jobboldli ábrát π 99 _ = cos t, T = cos t dt = π 6 π π bπ, l ππ /8 _ = cos t sin t, T = π/ π/6 sin t cos t sin t dt = 8 π 6 6 /8 π 7π π 8 π 9T = π r dϕ = π, r = rϕ r, r = rϕ 6 π 6

Htározott integrál A 7 szerint T = π dϕ + cos ϕ π + b = l 7 / sin ϕ / + cos ϕ rctg tg ϕ / + 6T = π π + cos ϕ dϕ = 8 π π dϕ cos ϕ = π tg ϕ + ϕ ] π tg π = 8π + 7 r 8, r = rϕ b π/ b ] π/ 9t = tgϕ-re T = sin ϕ + b cos ϕ dϕ = b rctg b tg ϕ bπ π T = 6 π _ = cos t, _ y = sin t, _ y _ y = t sin t + cos t, mir l kimutthtó, hogy mindenütt nempozitív T = π T = 6 A vizsgált intervllumbn, _ és y pozitív, _ y negtív _ y _ y = sin t cos t cos t sin t + cos t 8 T = sin t + cos t + ] sin t π/ t 8 π/6 = 8 π 6 8 7 8T = t 7 9 6 ln Ebben z esetben szektor megegyezik z ugynehhez függvényhez és intervllumhoz trtozó görbevonlú trpézzl Területe: / / + / d vgy T = / d; T = t = / helyettesítés után: T = / 7T = π/ cos ϕ cos ϕ dϕ = π 6 + 8 e e 6 + ln 6 7 = =

Htározott integrál π/ 8T = cos ϕ dϕ = cos ϕ π/8 9T = tg ϕ dϕ = π/8 cos ϕ cos ϕ dϕ = tg ϕ π T = e ϕ ϕ dϕ = e π π π T = e ϕ e ϕ dϕ = e π e π + π dϕ = 6π cos ϕ T = π Szimmetri mitt T = π/ ] π/8 ϕ = π 6 dϕ π/ cos ϕ + dϕ = + 8π π/ A két kör metszéspontji = sin ϕ egyenletb l: ϕ = π 6, ϕ = π 6 π/6 T = 6 sin ϕ dϕ = π π/6 + Az ívhosszúságot s-sel jelölve: s = + d = + rsh = = + ln + 6s = rsh + = ln + + 8 7 7 p 8 rsh p + + p 9 A, ] intervllumon és < Így, intervllumhoz trtozó, tengely ltti görbeíven y = ; ebb l s = + d = Két ilyen ív vn görbén; z lábbi számítás mind kett re érvényes Implicit függvényként dierenciálv: + y y =, ebb l y y y / / = Másrészt z eredeti egyenletb l: =, tehát / / y = s = d = d = ] / = s = rcth +rcth = ln s = + d = + rcth = + ln ln ln + 6 Polárkoordinátásn: r = y + =, 8

Htározott integrál mib l = r cos ϕ helyettesítéssel és z így kpott egyenlet megoldásávl: r = sin ϕ cos ϕ ; r + _ r = sin ϕ cos ϕ + cos ϕ; r + _ sin ϕ r dϕ = + cos cos ϕ ϕ dϕ Ez utóbbi integrál kiszámításához lásd feldtot A htárok polárkoordinátásn: H =, kkor -b l r =, és így -b l ϕ = ; h =, kkor -b l r =, és így = r cos ϕ-b l = s = cth rsh cos ϕ + rsh cos ϕ + ln + cos ϕ, cos ϕ = Ezeket felhsználv ] rccos 7s = rsh + = ln + + 8 9 + 9t 8 7 6 rsh t + t + t 6 _ = sin t, _ y = cos t, _ + _ y = sin t + cos t = cos t + cos t = cos t 8 π s = cos t dt = ] sin t π t = π 6 8 6 π 6 _ = cos t sin t, _ y = sin t cos t _ + _ y = sin t cos tcos 6 t+sin 6 t Kiszámítjuk zárt görbe hosszánk negyedét, vgyis, π ]-n integrálunk, és zt négyszer vesszük π/ s = sin t cos t cos 6 t + sin 6 t dt l s = 6 ] π/ rsh cos t + cos t + cos t = = rsh + = + ln + 6 _ + _ π/ y = cos t + 6 sin t s = cos t + 6 sin t dt Legyen sin t = sh u, kkor s = + sh u ch u du = 8 ln + 7 + 7 9 =

Htározott integrál 66 e π/ 67 ln y, hol y = yt 68s = rsh = ln + 69s = rth = ln + 7 _ + _ y = 9 sh t ch t; s = ch t / ] 7 _ + _ y = + ch t s = ln + ] 7 rch t rch t ; z integrált helyettesítéssel számíthtjuk ki 7 sh t π 7 _ r =, r + _ r = s = dϕ = ϕ] π = π 7 ϕ + ϕ + rsh ϕ 76 ϕ + + ln ϕ + ϕ + ϕ + 77 78 8 79 8 8r + _ r = d cos 6 ϕ Mivel cos = sin cos + ln tg + π +C, lásd plt π/ dϕ sin ϕ 9 feldtot, s = cos ϕ = cos ϕ + ln ϕ tg + π ] π/ = π + ln tg = + ln + 8 8p + ln + 8 + ln + 8 8 sin ϕ 8 π 8 Átlkításokkl r + _ r = ch ϕ + ch ϕ ; t = th ϕ helyettesítéssel s = π th π 8 86ϕ r, hol r = rϕ 87 + 88 e ϕ 6 89 π 9 π π 9 8 π 9 + sh π 9 9π ln 6 ln + π 9 π 96 π 97

Htározott integrál 98V = π d = 6 π 99V = π b π π 6 π A kiszámítndó felszínt A-vl jelölve A = π / d = π sin + cos d A cos = sh u helyettesítéssel sin + cos d = ] sh u u + + C; így ] π A = π rsh cos + cos + cos = π + ln + π/ A = π tg + cos d = π ] π/ + cos rsh cos = cos π + ln + + Az integrál kiszámításához lásd z feldtot π + sh y + y = / / / /, z / y legegyszer bben z eredeti egyenlet mindkét oldlánk dierenciálásávl számíthtó ki Legyen = cos u ] π/ π/ A = 6π sin u cos u du = 6 sin u π = 6 π 6 π ε, 7y + y = b hol ε = b ε ε A = b π d Legyen = sin u A = bπ u cos u du = bπ ] u u + sin u sin u = ε u ε u = bπ rcsin ε ε + ε ε = bπ ε rcsin ε + b 8A = π ch ch + sh d = π sh π 9A = π + d = sh u helyettesítéssel A = π 6 π A = π π sin t sin t cos t dt = 6 π 7 rsh +

Htározott integrál π A = π cos t cos t dt = 6 π y _ + _ y = cos t / sin t A = π π cos t / sin t dt = 8 π _ + _ y = e t, A = π/ π e t cos t dt = π ] e t π/ sin t + cos t = π e π M =, M y =, T =, s =, y s = 7 6M = 8, M y =, T = ln, s = ln =, 6; y s = 8 ln 7M = 8, M y = ln, T =, s = ln 8M =, M y =, T = π, s =, ys = π =, 6, ys = 9M = b, M y =, T = bπ, s =, ys = b π M =, M y =, T = π, s =, ys = π M = b M y =, T = bπ, s =, ys = b π M = π, My = π, T = π, s = π, ys = 6 A T -re nézve l 99 feldtot M = 8, M y = 8, T = π, s = ys = 6 π A T -re nézve lásd feldtot M =, M y =, T = π, s = π, M = y s = π π 6π, My = π, T = π ys = π π 6π 6M =, M y = π, T = π, s =, y s = 9π A T -re nézve l feldtot 7M = e π +, M y = e π e π +, T =, s = e π +, y e π s = e π + e π A T -re nézve l feldtot =, 7 =, 6, s = 6 π π,

Htározott integrál Tégllp- Trpéz- Prbol- Tégllp- Trpéz- Prbolmódszer módszer módszer módszer módszer módszer 7,9;,6;, 8,;,86;,96; 9 6,6;,7768;,677,666;,;,66;,7;,67;,89,89;,8999;,868;,888;,999;,89,7979;,69;,98;,98;,979;,98 6,986;,987;,986; 7,968;,97;,997 8 7,8; 7,77; 7,; 9,8;,7;,8,99;,9;,97;,6966;,69;,69,676;,676;,676;,887;,8;,86