Anlízis Szász Róbert
. fejezet Improprius integrálok.. Improprius integrálok... Értelmezés. Legyen < b. Adott z f : [, b) R függvény. H bármely u (, b) esetén létezik z véges lim u b u u f()d htározott integrál és létezik és f()d = l htárérték, kkor ezt htárértéket z f függvény improprius integráljánk nevezzük z [, b) intervllumon és l = kifejezéssel jelöljük. (A b = eset is elfogdott.) Ebben z esetben zt mondjuk, hogy z konvergens. végtelen, kkor z H lim u b u... Péld. f : [, ) R, f() = Tehát u lim u f()d f()d improprius integrál f()d htárérték nem létezik, vgy létezik de f()d improprius integrál divergens. d = u d =. ( ) u (, ). u = u d = lim u ( u) =. 3
..3. Péld. f : [, + ) R, f() = ( ) u (, + ) + u Konvergencikritérium + d = rctg u = rctgu u d = lim + u d = lim + rctgu = π u...4. Tétel. (Cuchy) Adott z f : [, b) R függvény. Legyen F (u) = u f()d. Az improprius integrál kkor és csk kkor konvergens, h bármely ε > esetén létezik egy c(ε) (, b) úgy, hogy bármely u, u (c(ε), b) esetén: F (u ) F (u ) < ε...5. Tétel. (Weierstrss) H z f, g : [, b) R függvénynek bármely u (, b) esetén integrálhtók z [, u] intervllumon, z integrál konvergens és f() g(), ( ) [, b), kkor z integrál is konvergens. g()d improprius f()d..6. Tétel. Adott z f : [, + ) [, + ) függvény. H vn olyn α vlós szám, hogy lim α f() = l htárérték véges, kkor α > esetén z + + f()d improprius integrál konvergens. H α < és l kkor z f()d improprius integrál divergens...7. Tétel. Legyen, b R, < b. Adott z f : [, b) [, + ) függvény. Tegyük fel, hogy létezik α R úgy, hogy htárérték létezik és véges. H α <, kkor z és l, kkor z lim (b b )α f() = l f()d improprius integál konvergens. H α > f()d improprius integrál divergens.
..8. Tétel. (Dirichlet) Legyen f, g : [, b) R két vlós függvény. H F (u) = u g monoton és lim f() =, kkor z b konvergens. f(t)dt függvény létezik, bármely u (, b) és korlátos, f()g()d improprius integrál Megoldott feldtok. Igzoljuk, hogy z integrál konvergens. (4 + ) d Megoldás függvény esetén f() = (4 + ), f : [, ) R lim ( ) f() = 5 Az..7 Tételt α = megválsztássl lklmzzuk és következik konvergenci.. Igzoljuk, hogy z Megoldás e d improprius integrál konvergens. Ismert, hogy e t > + t, ( ) t R. A t = helyettesítéssel következik, hogy + e >. Az..5. Tételt lklmzzuk f() = e, g() = + függvé- + d = π nyek esetén f() g(), ( ) [, + ). Mivel konvergens, következik, hogy e d szintén konvergens. 3. Igzoljuk, hogy z Megoldás f()d = sin d improprius integrál konvergens.
F (u) = u sin d függvény korlátos z [, + ) intervllumon. A g() = függvény szigorún csökkenő és lim g() =. Az..8. Tétel lpján z improprius integrál konvergens. Kitűzött feldtok Vizsgáljuk meg következő integrálok konvergenciáját.. 3. 4. 5. d 3 + p e d, p > ln q d rctg n d, ln( + ) n d 6. ds 7. 8. π 9. H z.. sin d sin(see?? )d cos(e )d f()d konvergens következik-e, hogy lim f() =. Igzoljuk, hogy következő integrálok konvergensek és számítsuk ki zokt: ln ( + ) 3 d d (ln ) 3 d
. π sin d 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9... π ln(sin ) d ( + ) 4 d ( + ) 4 d Tnulmányozzuk konverginciáját következő integráloknk: π cos d sin d + d ln sin k d, k <. Igzoljuk, hogy konvergens ( + )... ( + n) d ( n n + ) d, n 3... Prméteres integrálok... Értelmezés. Legyen f : [, b] [c, d] R egy -szerint integrálhtó függvény z [, b] intervllumon, bármely y [c, d] esetén. f(, y)d, F : [c, d] R függvényt prméteres integrálnk ne- F (y) = vezzük.... Tétel. H z f : [, b] [c, d] R függvény folytonos, kkor z F ; [c, d] R, F (y) = f(, y) d Az
prméteres integrál minden y [c, d] esetén létezik és z F : [c, d] R függvény folytonos...3. Tétel. H z f, f : [, b] [c, d] R függvények folytonosk, kkor y z F : [c, d] R, F (y) = f(, y) d függvény deriválhtó és F (y) = f (, y)d, ( ) y [c, d]. y..4. Tétel. H z f, f y : [, b] [c, d] R függvények folytonosk, z u, v : [c, d] [, b] deriválhtók, kkor z F : [c, d] R F (y) = függvény deriválhtó és v(y) u(y) f(, y)d F (y) = v(y) u(y) f y (, y)d + v (y)f(v(y), y) u (y)f(u(u), y)...5. Tétel. H z f : [, b] [c, d] R függvény folytonos, kkor z F : [c, d] R, F (y) = ( d c f(, y)d függvény integrálhtó és ) f(, y)dy d = d c ( ) f(, y)d dy. Megoldott feldtok. Számítsuk ki z integrált Megoldás Legyen F (y) = ln( + y) + d. ln( + ) + d.
F (y) = = = F () = ( + )( + y) d = y + y + y d + + y ln( + y) + y F (y) = + + + y ln + ln( + y) + y dy + + y dy + ln + π 4 = F () + π 8 ln + π 8 ln F () = π 8 + d + y + y + d y π + y 4 y + y dy ln.. Legyen b > >. Számítsuk ki z Megoldás b ln d integrált. b ln d = = = ( ( + t ) t dt d = ) t d dt = dt = ln ( b + + ( t+ ) t + dt = ). 3. Számítsuk ki htárértéket: lim > = lim > = lim > ln( + y) dy y = y y( + y) dy + ln( + ) ln( + 3 ) ln( + y) + ln( + ) ln( + 3 ) = =
..6. Tétel. Legyen f : [, b) [c, d] R egy folytonos függvény. z H z F (y) = f(, y)d improprius integrál konvergens, ( ) y [c, d] és f (, y)d egyenletesen konvergens [c, d] intervllumon, kkor z y f (, y)d. y f(, y)d F : [c, d] R függvény deriválhtó és F (y) =..7. Tétel. Legyen f : [, b) [c, d] R egy folytonos függvény. H z intervllumon, kkor f(, y)d improprius integrál egyenletesen konvergens [c, d] ( d c ) f(, y)dy d = d c ( ) f(, y)d dy. Megoldott feldtok. Az F (β) = számítsuk ki z Megoldás β sin α e sin α d, F : [, + ) R függvény segítségével d integrált. F (β) = e β sin αd = α α + β F (β) = rctg β α + c } π F ( ) = + c = c = π Tehát F (β) = π rctgβ α és sin α d = F () = π. Számítsuk ki z integrált: I = e e b d.
Megoldás Az..5 Tételt lklmzzuk: ( ) I = e t dt d = = (Felhsználtuk z Kitűzött feldtok π t dt = π Számítsuk ki z integrálokt:.. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.. I (m) =. I (m) = e e b d ( ) p + qe ln p + qe b d cos cos b cos cos b e e b e e b e e b ln( + ) b + ln( ) π π d d d d e d = sin m d d d ln(cos + m sin )d ( b ). ( π képletet). ( ) + m sin ln d, m < m sin sin ) e t d dt =
π. I 3 (m) = 3. I 4 (m) = 4. I 5 (m) = 5. I(, b) = π π π ln( + m cos ) cos rctg(m tg ) tg rctg( sin ) sin d d d, m < ( sin + b cos ) 3 d 6. ln d.3. Dupl és tripl integrálok kiszámítás, terület és térfogtszámítás.3.. Tétel. Adott z f : [, b] [c, d] R függvény. H f integrálhtó z [, b] [c, d] hlmzon és bármely [, b] esetén létezik z F () integrál, kkor F integrálhtó z [, b] intervllumon és d c f(, y)ddy = ( d c ) f(, y)dy d. d c f(, y)dy =.3.. Következmények. H z f : [, b] [c, d] R függvény folytonos, kkor létezik z f(, y)ddy integrál, hol D = [, b] [c, d] és D D f(, y)ddy = ( d c ) f(, y)dy d = d c ( ) f(, )d dy..3.3. Tétel. Legyen ϕ, ϕ : [, b] R két folytonos függvény, ϕ () ϕ (), ( ) [, b]. A D trtomány következőképpen dott: D = {(, y) R ϕ () y ϕ (), [, b]}. H f : D R egy folytonos függvény, kkor ( b ) ϕ () f(, y)ddy = f(, y)dy d. D ϕ ()
.3.4. Tétel. Legyen D R egy korlátos mérhető hlmz és ϕ, ϕ : D R két folytonos függvény úgy, hogy ϕ (, y) ϕ (, y), ( ) (, y) D. Legyen A = {(, y, z) ϕ (, y) z ϕ (, y), (, y) D}. H f : A R egy integrálhtó függvény, kkor ( ) ϕ (,y) f(, y, z)ddydz = f(, y, z) ddy. A.3.5. Tétel. (A helyettesítés módszere) D ϕ (,y) Legyen E R n egy nyílt hlmz és g : E R n egy olyn folytonos differenciálhtó, injektív függvény, hogy det(g ()), bármely E. H A E egy mérhető kompkt hlmz és f : g(a) R integrálhtó függvény, kkor f(g()) det g () függvény is integrálhtó z A hlmzon és f(g()) det g () d = f(y)dy. A.3.6. Péld. Legyen D = {(, y) R, y, + y r }. Számítsuk ki ( + y)ddy. D I. Megoldás D II. Megoldás ( + y)ddy = = Áttérünk polárkoordinátákr r r g(a) ( ) r ( + y)dy d = = (r ) 3 3 [ r + (r ) r + = r3 3 + r3 3 = r3 3 ] d = ) (r 3 r = 3 = ρ cos θ y = ρ sin θ [ (ρ, θ) [, r], π ] = D
Feldtok D (y)ddy = = r = r3 3 D (ρ cos θ + ρ sin θ)ρdρdθ = ρ dρ π (sin θ cos θ) (cos θ + sin θ)dθ = π = r3 3. A D trtományt z y = és y = + 3 görbék zárják közre. Számítsuk ki z yddy integrált. A. A D trtományt z =, y =, y =, y = egyenesek zárják közre. Számítsuk ki: + y ddy. D Számítsuk ki z integrálokt megdott trtományon. 3. D 3 = {(, y) R + (y ), y, } D 3 ( y)ddy. 4. D 4 = {(, y) R + y, y } D 4 rcsin + yddy. 5. D 5 = {(, y) R + y,, y }, D 5 p y q ddy. 6. D 6 = [, π] [, π], D 6 sin( + y) ddy 7. D 7 = {(, y) R + y, y }, D 7 ( + y ) 3 ddy. 8. D = {(, y) R + y e }, ln( + y ) D 8 + y ddy.
9. D 9 = {(, y) R π ( ) + (y ) 4π } D 9 ( ) + (y ) ddy.. D = {(, y, z) R 3 + y + z R }, D [( y) + z ]ddydz.. D = {(, y, z) R 3 + y z, + y + z }. D = {(, y, z) R 3 3( + y ) + z 3 } D ( + Y + z )ddydz. 3. D 3 = {(, y, z) R 3 z y, y,, z }, D 3 y z 3 ddydz. Számítsuk ki következő görbék áltl közrezárt területet: 4. y = 3, y = 8(6 ) 3 5. ( + y ) = y 6. = cos 3 t, y = sin 3 t Számítsuk ki következő felületek áltl közrezárt területet: 7. z = 4 y, z = + + y 8. + y = z, + y = z, z = 9. + y + z, y z, + y k z..4. Görbeív hossz, első- és másodfjú görbe menti integrálok.4.. Értelmezés. Egy Γ : [, b] R n folytonos leképezés képét görbének nevezzük. H Γ görbébe beírt töröttvonlk hosszi egy korlátos A hlmzt képeznek, kkor Γ görbe rektifikálhtó és Γ görbe hossz: L Γ = sup A.
A Γ(t) = ( (t), (t),..., n (t)) görbét simánk nevezzük, h z,,..., n függvények deriválhtók, deriváltjik folytonosk és ( (t)) + ( (t)) + + ( n(t))..4.. Tétel. H Γ : [, b] R n görbe sim, kkor hossz: L Γ = ( (y)) + ( (y)) +... + ( n(y)) dy.4.3. Értelmezés. Legyen Γ : [, b] R n egy sim görbe, L Γ (t) = t ( (y)) + ( (y)) +... + ( n(y)) dy, D R n egy olyn nyílt hlmz, hogy Γ([, b]) D és F : D R egy folytonos függvény. Az I = F ( (t), (t),..., n (t))dl Γ (t) Stieltjes integrált Γ görbe mentén számolt elsőfjú görbe menti integrálnk nevezzük és szimbólumml jelöljük..4.4. Tétel. A sim görbék esetén: Γ F ()ds = =.4.5. Megjegyzés. n = esetén Γ f(, y)ds = F ( (t), (t),..., n (t))dl Γ (t) = F ( (t), (t),..., n (t)) ( (t) +... + ( n(t)) dt. f((t), y(t)) ( (t)) + (y (t)) dt H Γ görbe z y = f(), [, b] egyenlettel dott, kkor: Γ f(, y)ds = f(, f()) + (f ()) d..4.6. Értelmezés. Legyen D R n egy nyílt hlmz, Γ : [, b] D, Γ(t) = ( (t),..., n (t)) egy rektifikálhtó görbe D-ben és F : D R n F = (F, F,..., F n ) egy folytonos leképezés.
H z F k ( (t), (t),..., n (t))d k (t) Stiltjes integrálok léteznek minden k {,,..., n} esetén, kkor I = n n= F k ( (t), (t),..., n (t))d k (t) összeget z F függvény másodfjú inegráljánk nevezzük Γ görbén. A másodfjú görbe menti integrál jelölésére < F (), d > szimbólumot is hsználjuk..4.7. Tétel. Legyen F : D R n egy folytonos függvény. Annk szükséges és elégséges feltétele, hogy z < F (), d > integrál értéke független legyen z úttól (csk Γ görbe kezdőpontjától és végpontjától függ), z hogy z < F (), d >= Γ n F k ()d k k= kifejezés, vlmely φ : D R függvény differenciálj legyen..4.8. Tétel. Legyen D R n egy nyílt hlmz és F : R n egy olyn leképezés, mely komponenseinek léteznek prciális deriváltji és folytonosk. Az Γ < F (), d > másodfjú görbe menti integrál, kkor és csk kkor független z úttól, h F k p = F p k bármely k, p {,,..., n}..4.9. Tétel. Legyen D egy egyszerű zárt trtomány, D Ω R, Ω nyílt, D = Γ rektifikálhtó. H P, Q : Ω R folytonos függvények, P -nek y- szerinti és Q-nk, -szerinti prciális deriváltj létezik és folytonos Ω-án, kkor igz következő egyenlőség: P (, y)d + Q(, y)dy = Γ D Γ ( Q P ) ddy. y
.4.. Péld.. Számítsuk ki z I = köríven. Γ = cos t yds integrált Γ : y = sin t, t [, π ] Megoldás I = = 3 π π. Számítsuk ki z Γ + t, t [, ] görbe. Megoldás sin t cos t sin t + cos tdt = sin tdt = 3. d + e dy integrált, hol Γ : = ln( + t), y = Γ Feldtok d + e ln( + t) dy = + t = ln ( + t) + dt + ( + t) 3 3 Számítsuk ki z elsőfjú görbe menti integrálokt. y ds, Γ : = cos 3 t, y = sin 3 t, Γ. 3. + t + t dt = = (ln ) + 3 ( 8 ). t [, π] Γ ( + y ) ln zds, Γ : = e t cos t, y = e t sin t, z = e t t [, ] Γ 3 y ds, Γ 3 : = cos t, y = sin t, >, b >, E : 3 7 E : + e3 7 t [, 4π] E : 8b(3 b 3 ) 3( b )
4. ( + y + z )ds, Γ 4 : = cos t, y = sin t, z = bt Γ 4 5. Γ 5 zds, Γ 5 : = t cos t, y = t sin t, z = t Γ t t [, π] t [, π]. Számítsuk ki következő másodfjú görbe menti integrálokt: 6. ( y)d + (y y)dy, Γ 6 : y =,. Γ 6 + y 7. + y d y + y dy, Γ 7 : + y = R. Ellenőrizzük, hogy következő másodfjú görbe menti integrálok függetlenek z úttól és számítsuk ki. 8. (,3) (,) dy + yd 9... (,3) (,) (,) (,) (,3, 4) (,,) ( + y)d + ( y)dy yd dy d + y dy z 3 dz. (,,) (,,3) yzd + zdy + ydz Számítsuk ki következő másodfjú görbe menti integrálokt: 3. (y z )d + yzdy dz, Γ 3 Γ 3 : = t, y = t, z = t 3, t [, ]. 4. yd + zdy + dz Γ 4 Γ 4 : = cos t y = sin t, z = bt, t [, π]. A Green-képlet lklmzásávl számítsuk ki
5. y dy yd, Γ 5 : + y = R Γ 5 6. Γ6 ( + y)d ( y)dy, Γ 6 : + y b =. Számítsuk ki következő másodfjú görbe menti integrálokt: 7. y = ( + y)d ydy, Γ : y =, Γ y =. 8. = (t sin t) ( y)d + dy, Γ : Γ y = ( cos t) t [, π]. 9... Γ 3 y d dy, Γ 3 : + y =, y. Γ 4 + 3 dy, Γ 4 : z 9 + y = ellipszis A(3, ), B(, ) pontok 4 közötti része. Γ 5 (e cos y + y )d (e sin y + y)dy D = {(ρ, θ) : ρ cos θ, θ π 4 }, Γ 5 = D.. 3. 4. Γ 6 3 dy y 3 d 5 3 + y 5 3, Γ 6 : 3 + y 3 = 3,, y. (y +z )d+(z + )dy+( +y + y + z = 4 )dz, Γ 7 : Γ 7 + y =, z y d + z dy + + y + z = d, Γ 8 : Γ 8 + y =
.5. Felületdrb területe, felületi integrálok.5.. Értelmezés. Legyen D R, D kompkt és mérhető. Az = (u, v) S : y = y(u, v), (u, v) D, (.) z = z(u, v) egyenletekkel értelmezett felületet simánk nevezzük, h z, y, z függvények egy olyn G nyílt hlmzon értelmezettek, hogy D G, z, y, z függvényeknek léteznek z u és v szerinti prciális deriváltjuk, zok folytonosk és u v y y rng =. u v z z u v.5.. Tétel. H z (.) összefüggéssel értelmezett S felület sim, kkor Ter(S) = EG F dudv, hol D ( ) E = + u F = u u + y ( ) ( y G = + v v ( ) y + u u y ( ) z, u u z v v + z ) ( z + v.5.3. Megjegyzés. H z S felület z = f(z, y), (, y) D egyenlettel dott, kkor: Ter(S) = D ( f + (, y) ) ( f + = (u, v).5.4. Értelmezés. Adott z S : y = y(u, v), z = z(u, v) ). (, y) y ) ddy. (u, v) D sim felület.
Legyen F : G R egy folytonos függvény, hol G R 3 egy olyn nyílt hlmz, mely trtlmzz z S felületet. Az I = F ((u, v), y(u, v), z(u, v)) EG F dudv integrált elsőfjú D felületi integrálnk nevezzük és I = szimbólumml jelöljük..5.5. Péld. Számítsuk ki z y b + z c = ellipszoid. Megoldás Felírjuk S prmetrikus lkját: S S F (, y, z)dσ 4 + y b 4 + z dσ integrált hol S : c4 + = sin θ cos ϕ S : y = b sin θ sin ϕ θ [, π], ϕ [, π]. z = c cos θ sin θ cos dσ = bc ϕ + sin θ sin ϕ b + cos θ c 4 + y b 4 + z sin c 4 = θ cos ϕ + sin θ sin ϕ b pi ( sin θ cos ϕ I = bc + sin θ sin ϕ b + cos θ c = 4 3 πbc ( + b + c ). sin θdθdϕ + cos θ c qés ) sin θdθdϕ = r u r v r u r v r(u, v) = i(u, v) + jy(u, v) + kz(u, v) Legyen n = és V = P i+q j +R k, hol P, Q, R : G R, G R 3, G nyílt, G trtlmzz z S felületet..5.6. Értelmezés. Az I = ( V u)dσ = S S ( V, r u, r v r u r v ) dσ
elsőfjú felületi integrált, V függvény, S felületen számolt másodfjú felületi integráljánk nevezzük és I = szimbólumml jelöljük..5.7. Megjegyzés. Fenáll z I = ( v u)dσ = egyenlőség..5.8. Péld. Számítsuk ki z y + z = R gömb külső felületén. A gömb prméteres egyenlete Feldtok S S P dydz + dzd + Rddy S D P Q R y z u u u dudv y z v v v dydz + ydzd + zddy integrált z + = R sin θ cos ϕ, y = R sin θ sin ϕ, z = R cos θ θ [, π], ϕ [, π] u = i + y j + z k R + y + z I = dσ S R I = R dσ = R4πR = 4πR 3. S. Htározzuk meg z = y felület + y = henger belsejébe eső területét.. Htározzuk meg z + y + z = R gömbfelület z + y = R henger belsejébe eső részének területét. 3. Számítsuk ki z + y = z felületből z + y = henger áltl kimetszett rész területét.
4. Számítsuk ki z ( + y + z ) = ( + y ) felület területét. 5. Számítsuk ki z ( + y + z )( + y ) = 4 y felület területét. S Számítsuk ki következő elsőfjú integrálokt: 6. ( + y )dσ z + y = z prbolóidból z = sík áltl kimetszett korlátos rész. 7. I = + y + (R z) dσ S S = {(, y, z) R 3 + y + z = R,, y, z }. 8. I = + y + 4z dσ S S = {(, y, z) R 3 + y + z = R, z }. z 9. I = + y + dσ S S = {(, y, z) R 3 + y = z, h z } >, h >.. Számítsuk ki S = {(, y, z) R 3 + y6 = z, z } felület tömegét, h ρ(, y, z) = z. Számítsuk ki következő másodfjú felületi integrálokt.. dydz+y dzd+z ddy, hol S z ( ) +(y b) +(z c) = R S gömb külső felülete.. S dydz + by dzd+ ddy, hol S z cz + y b + z c = ellipszoid külső felülete. 3. ( + y )ddy, S z + y = z prboloid + y = hengerbe S eső részének felső felülete. 4. (y z)dydz + (z )dzd + ( y)ddy S S = {(, y, z) R 3 + y = z, z h}.
.6. Guss-Osztrogrdszkij képlet és Stoks képlet Tegyük fel, hogy P, Q, R : D R folytonosn differenciálhtó függvények. Legyen D R 3 egy nyílt hlmz. S D, S kétoldlú sim felület drb, melyet Γ zárt görbe htárol. Ilyen feltételek mellett igz következő összefüggés cos α cos β cos γ P d + Qdy + Rdz = dσ, Gmm S y z P Q R hol n(cos α, cos β, cos γ) z S felület normális, felületnek rr z oldlár mutt, honnn nézve Γ görbe körüljárás pozitív. Feldtok A Stoks formulávl számítsuk ki:. yd+zdy+d, Γ = {(, y, z) R 3 +y +z =, +y+z = } Γ. ( yz)d + (y z)dy + (z y)dz Γ = cos ϕ Γ : y = sin ϕ, ϕ [, π] z = h π 3. (y + z)d + (z + )dy + ( + y)dz Γ 3 Γ 3 : = sin t, y = sin t cos t, z = cos t, t [, π]. 4. (y z)d + (z )dy + ( y)dz Γ 4 Γ 4 := {(, y, z) R 3 + y =, + y } h = Γ 4 olyn bejárássl vesszük, mely pozitív z O tengely felől nézve
5. (y + 6)d + (z + )dy + ( + y )dz Γ 5 Γ 5 = {(, y, z) R 3 + y + z = R, + y = r} < r < R, z > 6. A Γ 5 görbét olyn bejárássl vesszük, hogy gömbfelületből kivágott kisebbik trtomány külső oldl blr esik. y z d + z dy + y dz Γ 6 Γ 6 : = cos t, y = cos t, z = cos 3t, t [, π ]..6.. Tétel. (Guss-Ostrogrdszkij) Legyen egy D R 3 hlmz. Tegyük fel, hogy P, Q, R : D R folytonosn differenciálhtó függvények és S egy sim, zárt, egyszerű felület (nincs dupl pontj) D-ben, mely V térbeli trtományt zárj közre. Ebben z esetben (P cos α + Q cos β + R cos γ)dσ = S ( P = + Q y + R ) ddydz. z Feldtok V Számítsuk ki:. dydz + y dzd + z ddy, hol S [, ] [, ] [, ] kock S külső oldl.. 3 dydz + y63dzd + z 3 ddy, hol S z + y6 + z6 = R gömb S külső oldl. 3. Számítsuk ki z S ( cos α + y cos β + z cos γ)dσ integrált, hol S z +y = z kúpfelület z h egyenlőtlenségnek megfelelő drbj.
4. Bizonyítsuk be, hogy z S egyszerű, zárt felülettel htárolt test térfogt: V = 3 S ( cos α + y sin β + z cos γ)dσ. 5. Jelölje S z + y b + z = külső felületét. Számítsuk ki z c yzdydz + z dzd + yz ddy integrált. S.7. Fourier sorok.7.. Értelmezés. Legyen H egy hilbert tér, jelölje (, y) z, y H elemek skláris szorztát és = (, ) z vektor normáját. A {ϕ k k N} vektorrendszert ortonormáltnk nevezzük, h (ϕ k, ϕ l ) =, h k l és ϕ k = (ϕ k, ϕ k ) =, ( ) k N..7.. Értelmezés. A {ϕ k k N} ortonormált vektorrendszer teljes, H hilbert térben h bármely H és bármely ε > esetén létezik c, c,..., c n R úgy, hogy n k= c kϕ k < ε..7.3. Tétel. A H hilbert térben következő állítások ekvivlensek: () H hilbert térben {ϕ k k N} vektorrendszer teljes; (b) bármely H esetén = (, ϕ k )ϕ k k= (c) bármely H esetén igz Prsevl képlet: = (d) h (, ϕ k ) =, bármely k N, kkor =. (, ϕ k ) Legyen [, b] egy kompkt intervllum. Legyen I [, b] zon függvények hlmz melyekre létezik és véges z k= f ()d integrál, nevezzük ezt hlmzt négyzetesen integrálhtó függvények hlmzánk z [, b] intervllumon.
H f, g I ([, b]), kkor λf + µg I ([, b]) tehát I ([, b]) z összedássl és sklárissl vló szorzássl egy vektorteret képez. Az f() g() [f () + g ()] egyenlőtlenségből következik, hogy z f() g()d integrál is létezik. Az (f, g) = f()g()d összefüggéssel értelmezett művelet teljesíti skláris szorzt tuljdonságit egy kivételével. A továbbikbn z I ([ e, e]) esettel fogllkozunk..7.4. Tétel. Az I ([ e, e]) vektortérben z { } { cos nπ l l l n N } { sin nπ l l n N } vektorrendszer egy teljes ortonormált rendszer..7.5. Tétel. H f I ([ l, l]) és kkor f() = + n cos nπ l + b n sin nπ, (.) l n= n = l b n = l l l l l n= f() cos nπ d és l f() sin nπ l d. { } { }.7.6. Tétel. Az I [, e] függvénytérben z cos nπ l n N és l e/ { } sin nπ l n N függvényrendszerek rendre teljes ortonormált rendszerek. e/ l H f I ([, l]) és f() = + n cos nπ l, kkor n = l f() cos nπ l d. H f() = b n sin nπ l, kkor b n = l n= l n= f() cos nπ l d.
Az (.) összefüggésben szereplő függvénysort z f függvény Fourier soránk nevezzük. Természetesen feltevődik kérdés, hogy z egyenlőség igz-e bármely [ l, l] esetén. H nem igz mindenütt, kkor milyen [ l, l] esetén igz. Erre kérdésre következő tétel d részleges válszt..7.7. Tétel. (Jordn) H z f I [ l, l] függvény korlátos változású, kkor z f függvény, Fourier sor minden ( l, l) pontbn konvergens z [f(+ ) + f( )] értékhez. A konvergenci egyenletes minden olyn zárt intervllumon, hol f folytonos. Feldtok Fejtsük Fourier sorb következő függvényeket, megdott intervllumokon:. f() =, ( π, π). f() =, ( π, π) 3. f() = e α, ( l, l), 4. f() = sin α, ( π, π), (α Z), 5. f() = sgn(cos ), ( π, π), 6. f() = rcsin(cos ), ( π, π), 7. f() = (), ( π, π) () z pont és hozzá legközelebb eső egész szám közötti távolságot jelöli., h < α 8. f() =, h α < π Írjuk fel Prsevl képletet z f függvényre.
9. Számítsuk ki n= sin n n összeget. Fejtsük -szerint Fourier sorb következő függvényeket:. f() = r cos, r <, R. r cos + r. f() = ln( r cos + r ). f() = rctg r sin r cos 3. Igzoljuk, hogy α (, π ) esetén n= sin n sin nα n sor összege állndó (, α) intervllumon és (α, π) intervllumon zéró. 4. Legyen δ (, π). Az f függvényt következőképpen értelmezzük:, δ f() = és, δ < π f( + π) = f(), ( ) R. ) Írjuk fel f Fourier sorát. b) Igzoljuk, hogy n= sin(nδ) n = π δ. c) Vezessük le Prsevl tételből, hogy: n= sin (nδ) n δ = π δ d) Igzoljuk, hogy 5. Fejtsük Fourier sorb f() = ( sin ) d π. ln ctg t dt, [ π, π]
6. Htározzuk meg sorok összegét. n= cos n, n! n= sin n n! 7. ) Htározzuk meg z f() = π cos α, α Z, [, π] f( + π) = f(), ( ) R függvény Fourier sorát. b) Bizonyítsuk be, hogy: π cos πα = α + k= α α k és π sin απ = α + ( ) k α α k. 8. Fejtsük következő függvényeket sinusz sorb [, π] intervllumon. [ ],, ]pi ) f() =, ( π, π] b) f() = (π ) c) f() = sin. 9. Fejtsük következő függvényeket cos sorb [, π] intervllumon:, [, h] ) f() =, (h, π] b) f() = cos, [, π] c) f() = sin, [, π]. k=.8. Differenciálegyenletek.8.. Értelmezés. Legyen f : [, n] R, g : [c, d] R két dott folytonos függvény. Az y = f() g(y) (.3)
differenciálegyenlet szétválszthtó változójú (szeprábilis) differenciálegyenletnek nevezzük. H létezik olyn y : [, b] [c, d] deriválhtó függvény, mely teljesíti z (.3) egyenletet, kkor zt mondjuk, hogy y megoldás (.3)- nek..8.. Péld. y = y y, y() = H ezt z egyenletet z (.3) egyenlettel nlóg lkr krjuk írni, kkor z f() =, g(y) = y y egyenlőségeket kell felírjuk. meghtározásához z y lkb írjuk. Innen z következik, hogy: A jelen esetben: = f()g(y) egyenletet z y() y() y() ln y( ) t t g(t) dt = f(t) dt. t t dt = y() = ln ln y() + y() t dt y g(y) = ln y() = +. Az y függvény = f() ekvivlens Feldtok. y = ( + y ) ln, y() =. ( )y + y =, y() = 3. y = (y + y), y( 3) = 4. ( + e )y y = e 5. y sin = y ln y
.8.3. Tétel. (Változóbn homogén differenciálegyenletek) Legyen f : [c, d] R dott folytonos függvény. Az y : [, b] R olyn, hogy [, b], y deriválhtó [, b]-n és y()/ [c, d]. Az y függvény kkor és csk kkor megoldás z egyenletnek, h z megoldás [, b] n z ( y y = f ) u : [, b] R, u() = y() u = f(u) u szétválászthtó változójú differenciálegyenletnek..8.4. Péld. y = y + e y Az y = u helyettesítést lklmzzunk: y = u y = u + u Az egyenletünk így lkul: u + u = u + e u u = e u du e u = t dt e u() e u() = ln e u() + ln = e u() ( ) u() = ln e u() + ln Feldtok. y = y + cos y. y = y
3. y = y ln y 4. y = y + ( y ) + 5. y = y + y Homogén egyenletre visszvezethető ( ) y + b y + c = f + b y + c lkú differenciálegyenletek. (.4) Két esetet különböztetünk meg: b ) b, kkor u =, v = y y változócserét lklmzunk, hol (, y ) z + b y + c = egyenletrendszer megoldás. + b y + c = Ezzel helyettesítéssel (.4) egyenlet ( ) ( v ) dv du = f u + b v + b u = f v u + b v + b u egyenletté lkul, melyik u és v-ben homogén. b b) b = = b = k és (.3) egyenlet következő lkb b írhtó: ( ) y k( + b y) + c = f = g( + b y) + b y + c és z u = + b y helyettesítést lklmzzuk..8.5. Péld. Megoldás y = + y + y + 4 = =.
+ y = Az + y + 4 = u = + v = y 3 egyenletrendszer megoldás: =, y = 3. helyettesítéssel egyenlethez jutunk. A v u = z helyettesítést lklmzunk v = uz v = uz + z és következő egyenlethez jutunk: uz + z z = z z + z z dz = u du u ( + z z ) = c ( + ) + ( + )(y 3) (y 3) = c. (.5) Feldtok. y = + y. y = 3y 7 + 7 3 7y 3 3. y = + y y + 4. y 8 + 4y + = 4 + y + 5. y = + y + y.8.. Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek Legyen P, Q : I R két folytonos függvény. Az y = P ()y + Q() egyenletet elsőrendű lineáris inhomogán differenciálegyenletnek nevezzük. Az y = P ()y
egyenlet, elsőrendű, lineáris, homogén differenciálegyenlet. A homogén egyenlet következő szétválszthtó változójú differenciálegyenletté lkíthtó: Integrálássl ln y = dy y = P ()d. egyenlethez jutunk, mely ekvivlens z P (t)dt + ln c y = ce P (t)dt egyenlettel, mi homogén egyenlet megoldás. Az inhomogén egyenlet egy megoldását konstns változttásánk módszerével htározzuk meg: y = c() e P (t)dt. Ezt helyettesítve z inhomogén egyenletbe c ()e P (t)dt + c()p ()e P (t)dt = P ()c()ee P (t)dt + Q() összefüggéshez jutunk. Innen következik, hogy: c () = Q() e P (t)dt s P (t)dt ds c() = D + Q(s)e Y = De P (t)dt + Q(s)e és s P (t)dt ds. H z y( ) = y kezdeti értékű Cuchy feldtot kell megoldni, kkor következik, hogy: D = y és y() = y e P (t)dt + Q(s)e P (t)dt ds.
.8.6. Péld. Oldjuk meg z y = yctg + sin differenciálegyenletet. Megoldás Először megoldjuk homogén egyenletet Ez homogén egyenlet megoldás. y = yctg dy y = cos sin d ln y = ln sin + ln c y h = c sin Az inhomogén egyenlet megoldását } y() = c() sin lkbn keressük y = yctg + sin c () sin + c() cos = c() sin ctg + sin c () = c() = + D y = sin + D sin, z inhomogén egyenlet megoldás..8.. Bernoulli típusú differenciálegyenletek Az áltlános lk: y = P ()y + Q()y α, (.6) hol P, Q : I R folytonos függvények és α R \ {, }. Egyszerű belátni, hogy z u() = (y()) α helyettesítéssel z (.6) egyenlet következő lineáris, inhomogén elsőrendű differenciálegyenletté lkul: u = ( α)[p ()u + Q()], mit z előbb ismertetett módon oldunk meg..8.7. Péld. y = y + 3 y Megoldás α = és z u = y változócserét lklmzunk: = u = u + 3. A lineáris egyenlet megoldás: u = ce +
és z eredeti egyenlet megoldás: ( y = ce ) +..8.3. A Riccti típusú egyenletek A Riccti típusú differenciálegyenlet áltlános lkj: y = P ()y + Q()y + R(), hol P, Q, R : I R folytonos függvények és y C [I]. H ismert Rictti egyenlet egy y C [I] megoldás, kkor z y = z + y helyettesítéssel Riccti egyenlet egy elsőrendű, lineáris inhomogén egyenletbe trnszformálódik..8.8. Péld. Az y = y + y + egyenlet egy megoldás y = djuk meg z áltlános megoldását. Megoldás Az y = z + helyettesítést lklmzzuk és z = 3z + egyenlethez jutunk. Ennek z egyenletnek megoldás: Innen következik, hogy: z = ce 3 (3 + ). 9 y = + ce 3 (3+). 9 Feldtok Oldjuk meg következő elsőrendű lineáris differenciálegyenleteket:. y y = 4
. y + ytg = 4 + y 3. y + y + = 4. y + ( + )y = 3 e 5. y y = 3 Oldjuk meg következő Bernoulli egyenleteket: 6. y + y = 3 y 4 3 7. y + 3 + 3 y = y ( + 3 ) sin, y() =. 8. y + y = y ln 9. y + ytg = y. y + y = y Oldjuk meg következő Riccti egyenleteket, h ismert egy megoldásuk:. y y + e y = e + e, y = e. y e + y ye = e, y = e 3. y + y y sin + sin cos =, y = sin 4. y = y + y +, y =..8.4. Egzkt differenciálegyenletek Legyen D R egy trtomány és P, Q : D R dott folytonos függvények. A P d + Qdy = (.7) egyenletet egzktnk nevezzük, h létezik egy olyn F : D R differenciálhtó függvény, hogy df = P d + Qdy.
Az y : I R függvény kkor megoldás (.7) differenciálegyenletnek, h létezik c R úgy, hogy: F (, y()) = C, ( ) I..8.9. Tétel. Legyen P, Q : D R folytonos prciális deriváltkkl rendelkező két függvény. A P d + Qdy = egyenlet kkor és csk kkor egzkt, h P y = Q..8.. Megjegyzés. H P d+qdy = differenciálegyenlet egzkt, kkor: F (, y) = P (t, y)dt + y y Q(, s)d..8.. Értelmezés. H µ : D R, µ egy olyn függvény, hogy egzkt egyenlet, kkor µ függvényt µp d + µqd = P d + Qdy = egyenlet integráló szorzójánk nevezzük..8.. Megjegyzés. µ kkor és csk kkor integráló szorzó, h Feldtok y (µp ) = (µq). Oldjuk meg következő egzkt differenciálegyenleteket:. ( + y)d + ( y)dy =. yd + ( y )dy = 3. y d + (y3 + ln )dy = Htározzuk meg z egyenletek integráló szorzóját és oldjuk meg: 4. ( y)d + (y )dy = µ = µ()
5. ( + sin + sin y)d + cos ydy = µ = µ() 6. ( y)d + (y + )dy = µ = µ( + y ) 7. ( + y )d ydy = µ = µ(y ).9. Lineáris differenciálegyenletek Adott z L differenciáloperátor: L : C (n) ([, b]) C([, b]) L(y) = y (n) + y (n ) + y (n ) +... + n y, hol i : [, b] R folytonos függvények. Az n-ed rendű, lineáris differenciálegyenlet áltlános lkj: y (n) + y (n ) +... + n y = f, (.8) hol f : [, b] R egy folytonos függvény. Az (.8) egyenlet z L(y) = f egyenlettel ekvivlens..9.. Tétel. (z (.8) egyenlet megoldáshlmzánk szerkezete) H y p z (.8) egyenlet egy sjátos megoldás, kkor z (.8) egyenlet bármely megoldás felírhtó y = y p + y h lkb, hol y h z L(y) = homogén egyenlet megoldás..9.. Tétel. Az L operátor egy lineáris leképezés z L(y) = homogén egyenlet megoldáshlmz z L operátor mgtere, mely C (n) ([, b]) vektortér egy n dimenziós ltere.
.9.3. Értelmezés. Legyen y i C (n) ([, b]). A W (y,..., y n ) = y y... y n y y... y n............... y n (n ) y (n ) y (n ) determinánst z y,..., y n függvények Wronski determinánsánk nevezzük..9.4. Tétel. H y,..., y n C (n) ([, b]) függvények megoldási z L(y) = egyenletnek, kkor következő két állítás ekvivlens: ) z y,..., y n függvények C (n) ([, b]) vektortérben lineárisn függetlenek b) W (y,..., y n ).9.5. Következmények. H y,..., y n C (n) ([, b])) megoldási z L(y) = egyenletnek és W (y,..., y n ), kkor z L(y) = egyenlet bármely y megoldás felírhtó y = c y +... + c n y n lkb, hol c,..., c n R. Az {y,..., y n } függvényrendszert lpmegoldásnk nevezzük..9.6. Értelmezés. H z L operátor értelmezésében szereplő k () függvények állndók, zz k () = k R, k =, n, kkor n y (n) + k y (n k) = (.9) k= egyenletet n-ed rendű állndó együtthtós, lineáris, homogén differenciálegyenletnek nevezzük. n A λ n + k λ n k = egyenletet (.9) differenciálegyenlet krkte- k= risztikus egyenletének nevezzük.
.9.7. Tétel. H λ, λ,..., λ k R krkterisztikus egyenlet p,..., p k N szeres gyökei p + p +... + p k = n, kkor z e λ, e λ,..., p e λ........................ e λ k, e λ k,..., p k e λ k függvényrendszer lpmegoldás (.9) egyenletnek. H λ = α + iβ, λ = α iβ komple számok p = p = p szeres gyökei krkterisztikus egyenletnek, kkor z lpmegoldás első két sor helyett z függvények szerepelnek. e α cos β, e α cos β,..., p e α cos β e α sin β, e α sin β,..., p e α sin β.9.8. Tétel. ( konstns változttás módszere) H y,..., y n C (n) lpmegoldás (.9) egyenletnek és C k : [, b] R deriválhtó függvények kielégítik egyenletrendszert, kkor megoldás z inhomogén egyenletnek. n k= n k= C k ()y(j) k () =, j =, n C k ()y(n ) k () = f() y p () = y (n) + n C k ()y k () k= n k y (n k) = f() k=.9.9. Megjegyzés. Néhány esetben z L(y) = f() (L(y) = y (n) + y (n ) +... + n y) inhomogén egyenlet y s sjátos megoldását egyszerűbben is meg lehet htározni.
. h f() = λ m +... + λ m + λ m és n, kkor y s () = µ m + µ m +... + µ m + µ m. Ezt behelyettesítve z L(y) = f() egyenletbe z n µ = λ n µ + m n µ = λ........................ egyenletekhez jutunk miből kiszámíthtó µ, µ,... stb.. h n = n =... = n p+ = és n p, kkor y s = p (µ m + µ m +... + µ m ) 3. h f() = e α (λ m + λ m +... + λ m ) és α nem gyöke krkterisztikus egyenletnek, kkor y p = e α (µ m + µ m +... + µ m ) 4. h f() = e α (λ m +... + λ m ) és α q-szoros gyöke krkterisztikus egyenletnek, kkor y p = e α q (µ m +... + µ m ) 5. h f() = e α P () cos β + e α P () sin β és α + iβ q-szoros gyöke krkterisztikus egyenletnek (hol q lehet zéró is), kkor y p () = e α q (Q () cos β + Q ( sin β) és gr(q ) = grq = m{gr(p ), gr(p )}. Feldtok Oldjuk meg következő differenciálegyenleteket:. y y y = 4 e,. y + y + y = ( + )e, 3. y 4y + 5y = + 8 cos + e, 4. y y y = 4,
5. y (4) + 4y = 8e, 6. y + 4y = cos, 7. y + y = tg, 8. y y = e +, 9. y y + y = e +. Oldjuk meg következő Chuchy feldtokt:. y 5y + 4y =, y() = 5, y () = 8. y + 3y + y =, y() =, y () =.. y 4y + 5y = e, y() =, y () = 3. 3. y y =, y() =, y () =, y () =. 4. y + 4y = sin, y() = y () =. Oldjuk meg és htározzuk meg z dott feltételt teljesítő megoldást: 5. y y 5y =, lim y = 5. 6. y + 4y + 4y = e (sin + 7 cos ), lim y() =. Az + b = e t lkú helyettesítéssel vezessük vissz konstns együtthtós egyenletekre és oldjuk meg következő egyenleteket: 7. y + y + y = (6 ln ), 8. y y + y = +, 9. ( + ) 3 y + 3( + ) y + ( + )y = 6 ln( + ),. ( ) y 3( )y + 4y =.