Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok

Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok Fizika BSc I/. gyakorlat. Tétel Newto Leibiz. Ha f folytoos az a, b] itervallumo és F primitív függvéye f-ek, akkor b a f F b F a.. Számítsuk ki az alábbi racioális törtfüggvéyek primitív függvéyeit! a b dx l x + 3 + C x + 3 x 3 4 dx x 3 4 x 3 3 dx + C 3 3 x 3 3 + C 3x + 6 5x dx 3 5x + 5 5x dx 3 5x + dx 3 + 5 5x 5 5x dx 3 5 3 5 x + 33 l 5x + C 5 x 3 x 6x + 7 dx 6x x 3 x + 8 dx x 6 x 6x + 7 dx lx 6x + 7 + C 3x x 3 x + 8 dx l x 3 x + 8 + C + 5 5 5x dx c dx x + x + dx x + arc tgx + + C + x x 6x + 5 dx x x 6x + 5 dx x 6 + 4 x 6x + 5 dx x 6 x 6x + 5 dx + dx lx 6x + 5 + x 3 + 6 lx 6x + 5 + dx 8 + x 3 4 lx 6x + 5 + arc tg x 4 3 4 8 /4 + C lx 6x + 5 + arc tg x 4 3 4 dx x 6x + 5 + C d x 3x + dx dx x x / A x + B x / dx A + Bx B A/ x x / dx, amiből következik, hogy A + B és B A/, azaz A, B, így ezeket az értékeket visszaírva x dx l x l x / + C x / 4x + 3x 9 4x x 3 + x 3x dx + 3x 9 A xx x + 3 dx x + B x + C x + 3 dx x A + B + C + xa + 3B C 3A dx, xx x + 3 amiből A + B + C 4, A + 3B C 3 és 3A 9. Ezt megoldva kapjuk, hogy A 3, B és C, 3 x + x x + 3. Számítsuk ki az alábbi határozott itegrálokat! dx 3 l x + l x l x + 3 + C

a π π e x dx e x ] e e e cos x dx si x] π π siπ si π b parciális itegrálással egy primitív függvéy xe x e x, ezért xe x dx xe x e x ] e e e e e + mivel arc tg x dx arc tg x dx, parciális itegrálással egy primitív függvéy az x arc tg x l + x, így 3 arc tg x dx x arc tg x ] 3 l + x 3 arc tg 3 l + 3 3 arc tg 3 l c Midkét esetbe helyettesítéses itegrálással lehet egy-egy primitív függvéyt megkeresi. A t arc si x helyettesítés utá x si t, dx cos t dt, így x dx si t cos t dt cos t dt arc si x + x x + C, + cos t dt t + si t + C ezért x dx arc si x + x ] x π 4. A második esetbe a t e x helyettesítés utá x l t, dx t vagyis e x + e x dx t + t t dt dt, így + t dt t l + t + C ex le x + + C, e x + e x dx ex le x + ] e le + l 3. Számítsuk ki az alábbi síkidomok területét! a { x, y R : x y x + } b az y si x és az y /πx görbék által határolt síkidom. Megoldás. a A kérdéses síkidom em más, mit az y x + egyees és az y x parabola által bezárt síkrész. Az egyees és a parabola metszéspotjaiak abszcisszái és. A keresett területet em más, mit a, ] itervallumo értelmezett fx x + grafikoja alatti terület és a gx x grafikoja alatti terület külöbsége. A Newto-Leibiz formulából az első terület x + dx x + x] + 4 5, míg a második x dx ] x 3 3 8 3 3 3. Tehát a kérdéses terület 5 3 9. b A keresett terület most is megkapható két itegrál külöbségekét: T π/ si x dx π/ /πx dx π/4.. gyakorlat

. Számítsuk ki az alábbi impropius itegrálokat! a x dx b e x dx c + x dx Megoldás. a mert b hisze c d l t. e x dx e t. d Mivel x x + x dx t dx e t x dx e x dx xe x dx f x l x dx ] t l x l t l, t e x dx e x ] t e t, t ] t dx dx + x + x arc tg x arc tg t arc tg π arc tg. x x + egy primitív függvéye l x l x +, ezért x x + t dx x x + l t l t + l l + Mivel t-vel -hez tartuk, azért az abszolútérték elhagyható, és így x x + ] t dx l x l x + l 3 l t l t + +. dx l t t + + l 3 + l 3 l 3, ugyais l t t+ t+ l t+ l t+, és ez a függvéy t eseté l -hoz tart. e A, itervallumo xe x egy primitív függvéye xe x dx xe x e x dx xe x e x, így f A, itervallumo így xe x dx x l x. Számítsuk ki az alábbi impropius itegrálokat! xe x e x] t te t e t e e ]. egy primitív függvéye x l x dx x l x dx l l x, x l x dx ] t l l x l l t l l. a l x dx b x dx Megoldás. a A, ] itervallumo l x egy primitív függvéye l x dx x l x dx x l x x, ezért l x dx t + t l x dx x l x x] t l t l t t]. t + t + 3

b A, itervallumo x egy primitív függvéye dx x / dx x /, x ezért dx x /] t x t t t/ / 3. 3. Milye valós α-ra leszek kovergesek az alábbi impropius itegrálok? Mivel egyelőek? a dx b xα x α dx Megoldás. a A α eseté x α dx egy primitív függvéye -ak a, itervallumo, ezért αxα xα αx α Ha α, akkor egy primitív függvéy l x, így ] t x dx Az itegrálok tehát α > eseté leszek kovergesek. b Az a esethez hasolóa α -re: Ha α, akkor x α dx t + αx α ] x dx t ] { αt α ha α <, α α ha α >. l x]t l t. ] { t + α ha α >, αt α α ha α <. l t + x] t Az itegrálok tehát α < eseté leszek kovergesek. l t. t + 3. gyakorlat Egy középpotú a id hatváysor kovergeciahalmaza egy olya középpotú itervallum, amelyek R sugarát az alábbi képlettel számolhatjuk: R :, ha a evező véges és em ulla, sup a illetve defiíció szerit legye R :, ha a evező végtele és R :, ha a evező ulla. Itt csak olya példák fogak szerepeli, amelyekbe az a sorozatak határértéke is létezik, ezért a feti defiícióba a sup helyett egyszerűe eszre lehet godoli. A kovergecia-itervallum végpotjairól azoba a tétel semmit sem mod, így ott egy hatváysor lehet koverges, illetve diverges is.. Számítsuk ki a a id hatváysor kovergeciasugarát, ahol a : Megoldás. a R sup a b b R sup c R sup. c.. d! e + 4

d R sup! e R sup +! +.!.. Számítsuk ki az alábbi hatváysorok kovergeciahalmazát! a! id b! id c id d id e id Megoldás. Először kiszámoljuk a kovergeciasugarat, majd a kapott itervallum végpotjaiba is megvizsgáljuk a kovergeciát. a R sup! a kovergeciasugár, tehát a kovergeciahalmaz R.! b R sup! a kovergeciasugár, így a kovergeciahalmaz {}.! c R. Az x potba sup, míg x eseté diverges sor, így a kovergeciahalmaz,. d R. Az x potba, az x potba sup a sor, ezek kovergesek a második azért, mert abszolút koverges. Ezért a kovergeciahalmaz, ]. e R sup. Az x potba a sor, amely diverges, az x potba, amely egy Leibiz típusú sor, így koverges. Ezért a kovergeciahalmaz,. 3. Állítsuk elő deriválással az adott H halmazo az f függvéyt fx a x alakba, ahol a H,, fx x, b H,, x fx + x. Megoldás. a Ismeretes, hogy x, eseté x x. Hatváysort a kovergeciaitervallum belsejébe lehet tagokét deriváli, így x x x x + x. x b Mivel mide x, eseté ezért x helyébe x-et írva x x, + x x x teljesül mide x, eseté. Továbbá, ha x helyébe x -et helyettesítük, akkor + x x. 5

A kérdéses függvéy az függvéy deriváltja, így + x x + x + x x x x. 4. Állítsuk elő itegrálással az adott H halmazo az f függvéyt fx a x alakba, ahol a H,, fx l + x, b H,, fx arc tg x. Megoldás. a Az előző feladatba láttuk, hogy t, eseté + t t. A kovergecia-itervallum belsejébe hatváysort tagokét itegrálhatuk. Így t, eseté l + x x + t dt x x t dt t dt + x+ x t dt x + x. b Ugyacsak láttuk, hogy t, eseté +t t. Az arc tg x függvéy az itegrálja, így arc tg x x + t dt x t dt x t dt + x+. + x függvéy 4. gyakorlat Előadáso szerepel éháy evezetes Taylor-sor, ezek a következők: e x si x cos x sh x ch x! x + x + x + x3 6 +... +! x+ x x3 6 + x5...! x x + x4 4... x + +! x + x3 6 + x5 +... x! + x + x4 4 +... ahol a feti Taylor-sorok egész R-e kovergesek és ott elő is állítják a függvéyeket, míg az alábbi sor-előállítás csak a, ] itervallumo érvéyes: l + x x x x + x3 3 +... Ezeke kívül még érdemes felíri a mértai sor összegét is: x x + x + x + x 3 +... ahol x,. 6

. A evezetes Taylor-sorok felhaszálásával határozzuk meg az alábbi függvéyek közepű Taylor-sorát! Mi a kovergeciahalmaz? a si x b + x c e x d xe x x e + x Megoldás. Felhaszáljuk a már ismert Taylor sorokat, majd az egyértelműséget haszáljuk, azaz: ha egy R, R itervallumba fx a x, akkor a jobb oldalo álló hatváysor az f függvéy közepű Taylor sora. a A si függvéy középpotú hatváysorába x helyébe x -et írva si x adódik. A hatváysor kovergeciasugara, mert sup 4+ +! +! x4+ sup + +!. b A, itervallumo x helyébe x -et írva A kovergeciahalmaz pedig marad,. c x R eseté ezért A kovergeciahalmaz R. d így x x. + x x. e x e x e x xe x! x, x.! x,! x +.! Ez lesz a Taylor sor, ami az egész R-e koverges, mert + sup!. e A, itervallumo ezért A kovergeciahalmaz marad,. + x x, x + x x +. 7

. Írjuk fel az alábbi függvéyek közepű Taylor-sorát! Mi a kovergeciahalmaz? a 4x b arc tg x Megoldás. a A mértai sor, -e érvéyes előállításásból kiidulva ahol x <, azaz x < / eseté érvéyes a formula. 4x x x 4 x, b Korábba előállítottuk ezt a függvéyt hatváysor alakjába a, itervallumo, így eze a halmazo a Taylor sor egyértelműsége miatt a függvéy Taylor sora is ez lesz. A kovergeciahalmaz most azoba bővebb: arc tg x + x+, ahol ez a hatváysor az x és x potokba is koverges, mert midkettő Leibiz típusú: + és + +. Ha em jut eszükbe a módszer, amivel kiszámoltuk ezeket a Taylor-sorokat, kiidulhatuk a defiícióból is, azaz számoljuk ki a megadott függvéyek deriváltjait és írjuk fel a sort. f x! 3. Mi az alábbi umerikus sorok összege? Haszáljuk fel az előző feladatok eredméyeit. a! b + Megoldás. a e x! x, ezért! e. b Az előző feladatból arc tg x és arc tg x folytoos függvéy az x potba, Abel tétele miatt 4. Írjuk fel közepű hatváysor alakba e x egy primitív függvéyét! Megoldás. Korábba láttuk, hogy mide x R-re e x x -et íruk: e x itegráli a hatváysort. + x+, ha x,. Mivel a hatváysor koverges az x potba, + arc tg π 4.! x, ezért az egyelőség feáll, ha x helyébe! x. Egy primitív függvéy meghatározásához em kell mást tei, mit tagokét e x dx x dx! x dx!! + x+. Legyeek a N és b N valós számsorozatok, ekkor az 5. gyakorlat x a + a cos x + b si x hozzáredeléssel értelmezett függvéysort trigoometrikus sorak evezzük. Legye f : R R egy π-szerit periodikus függvéy, amely Riema-itegrálható a π, π] itervallumo az itervallum választásába csak az léyeges, hogy a hosszúsága π legye, tekitheték a, π] itervallumot is, ekkor az alábbi defiíciók értelemszerűe módosuláak. Ekkor az a π b π π π π π ft cos t dt,,... ft si t dt,,... 8

számokat az f függvéy Fourier-együtthatóiak evezzük. A Fourier-együtthatókkal képzett trigoometrikus sort az f függvéy Fourier-soráak evezzük. A potokéti kovergecia Fourier-sorok esetébe em olya egyszerű kérdés, például f folytoosságából még em következik, hogy a Fourier-sor mide potba f-hez tart, de ha például f differeciálható, akkor már ige. Ha egy f függvéy páros, akkor mide N eseté az ft si t függvéy páratla, így a π, π] itervallumo az itegrálja, ezért a Fourier-sorába a b számok midegyike. Ha egy f függvéy páratla, akkor mide N eseté ft cos t páratla függvéy, ezért a Fourier-sorába az a számok midegyike.. Adjuk meg az alábbi f : R R függvéyek Fourier-sorát! a fx x, ha x, π, és k Z-re fx + kπ : fx Megoldás. A függvéy Fourier-sora az egész R-e koverges, és mide x R \ {kπ k Z} eseté előállítja a függvéyt. A Fourier-együtthatók: a π a π b π π π π Így a Fourier-sor: π ft dt t dt 4π π π π ft cos t dt π t cos t dt t π π ft si t dt π t si t dt t π π ] π si t π si t cos t π si x. ] π + π cos t dt dt π π cos t ] π π. b fx π x, ha x, π, f :, és k Z fx + kπ : fx Megoldás. Mide x R eseté előállítja a függvéyt a Fourier-sor, és tiszta sius-sor, mert a függvéy páratla azaz a. A b együtthatók: b π A Fourier-sor: π ft si t dt π π π t si t dt π si x. π t ] π cos t π c fx x, ha x π, π és k Z-re fx + kπ : fx Megoldás. f páros függvéy, így mide N-re b. A többi Fourier-együttható: a π π π ft dt π π t dt π π π a π ft cos t dt π t cos t dt t π π π π π cos π { ha páros ha páratla A Fourier-sor tehát 4 π ] π si t π si t π 4 cos x. π cos t. dt cos t π d fx π x, ha x π, π, és k Z fx + kπ : fx Megoldás. A Fourier-sor tiszta cosius-sor azaz b mide N eseté lesz, ugyais f páros függvéy. Az a együtthatók: a π a π π π π ft dt π π π ft cos t dt π π + π t cos t π t dt π π ] π π 3 3 3 π π t cos t dt π + π cos t si t π t dt π π 4 ] π + π si t π t ] π dt 9

Így a Fourier-sor: π 3 + 4 cos x. 6. gyakorlat. Határozzuk meg az alábbi kétváltozós függvéyek összes lehetséges elsőredű parciális deriváltfüggvéyét! Megoldás. a fx, y x, fx, y. b fx, y, fx, y 3y. c fx, y x, fx, y 3y. d fx, y xy 4, fx, y 4x y 3. a fx, y x b fx, y y 3 c fx, y x + y 3 d fx, y x y 4 e fx, y e x +y f fx, y x y e fx, y e x e y, így fx, y e y e x x, fx, y e x e y y. f fx, y xy ye e y, fx, y x y e y y y y e y x e y.. Határozzuk meg a f, f, 3 f, f, f, 3 f, 3 f, 3 f függvéyeket az alábbi függvéyek eseté: a fx, y, z 5z, b fx, y, z x + y + z, c fx, y, z ze x y. Megoldás. a fx, y, fx, y, 3 fx, y 5. Ebből adódik, hogy mide magasabb redű parciális deriváltfüggvéy. b fx, y, fx, y, 3 fx, y. Ebből adódik, hogy mide magasabb redű parciális deriváltfüggvéy. c fx, y ze x y, fx, y ze x y, 3 fx, y e x y. A másodredű deriváltak: fx, y fx, y ze x y, fx, y fx, y ze x y, 3 fx, y e x y. A harmadredű deriváltak: 3 fx, y e x y, 3 fx, y e x y. 3. Határozzuk meg az előző feladatba szereplő függvéyek Jacobi-mátrixát egy x, y, z R 3 potba! Mi lesz f,, 3? Megoldás. A Jacobi-mátrix egy x, y, z potba: f x, y, z fx, y, z, fx, y, z, 3 fx, y, z. a f x, y, z,, 5 kostas mátrix, így f,, 3 is ezzel egyelő. b f x, y, z,, kostas mátrix, így f,, 3 is ezzel egyelő. c f x, y, z z e x y, z e x y, e x y. Ebből pedig x, y, z -ba,, 3-at helyettesítve: f,, 3 3e, 3e, e. 4. Mi lesz az f : R R függvéy Jacobi-mátrixa egy x, y potba, ha fx, y e y a xy b x 4 + x y + y 4 c l x + y Megoldás. A Jacobi-mátrix egy x, y potba: f x, y fx, y, fx, y. a y, x b 4x 3 + x y, x y + 4y 3 x y c x +, y x + y

5. Mi lesz a g : R R függvéy Jacobi-mátrixa egy x, y potba, ha gx, y a x, y b x 4 + x y + y 4, x 4 + x y + y 4 c e x cos y, e x si y Megoldás. Ha f f, f, akkor a b f f f f f 4x3 + x y 4y 3 + y x c 4x 3 + x y 4y 3 + y x cos y ex e x si y e x si y e x cos y. Számítsuk ki f 3, 4-et, ahol 7. gyakorlat a fx, y xy b fx, y x 4 + x y + y 4 c fx, y l x + y Megoldás. Ha f : R R, akkor a f x, y b fx, y fx, y fx, y fx, y 4 48 48 c 7 5 4 5 4 5 7 5. Mutassuk meg, hogy ux, y + ux, y teljesül, ha ux, y lx + y, illetve ha ux, y arc tg x y! Megoldás. a az összegük. b az összegük zérus. l x + y y x x + y, l x + y x y x + y, arc tg x xy y x + y, arc tg x xy y x + y, 3. Számítsuk ki az alábbi R R függvéyek primitív függvéyeit! a fx, y x, y b fx, y x + xy, x y + y 3 c fx, y x x + y, y x + y Megoldás. Ha va primitív függvéy, azaz va olya F : R R függvéy, amelyre F f és F f, akkor F x, y f x, y dx + cy, ahol a cy függvéy a F f x, y dx + cy f. összefüggésből határozható meg. a b f x, y dx F x, y x + y. x + xy dx x3 3 + x y + cy

Így azaz c y y 3. Így a primitív függvéy c Ez már egy korábbi feladatsoro is szerepelt: x f x, y x y + y 3 3 y 3 + x y + cy, F x, y x3 3 + x y + y4 4. F x, y lx + y. 8. gyakorlat Legye ϕ : a, b] Ω egy folytoosa differeciálható görbe. Ekkor a görbe ívhossza: lϕ b a ϕt dt. Legye Ω R egy tartomáy, f : Ω R folytoos függvéy. Legye ϕ : a, b] Ω egy folytoosa differeciálható görbe, amelyre ϕa, b] Ω. Ekkor az f függvéy ϕ görbe meté vett voalitegráljá az ϕ f : b a fϕt, ϕt dt valós itegrált értjük. Ha f-ek létezik Ω-ba primitív függvéye azaz egy olya F : Ω R függvéy, amelyre F f, vagyis if x f ix mide i,,..., -re, akkor f F ϕb F ϕa. ϕ Ezt az F függvéyt az f poteciálfüggvéyéek is evezik. Ebből következik, hogy ha f-ek va poteciálja, akkor zárt görbe eseté azaz ha ϕa ϕb f voalitegrálja ϕ meté.. Számítsuk ki a következő görbe asztroid ívhosszát: ϕ :, π] R, ϕt : a cos 3 t, a si 3 t, ahol a >. Megoldás. A görbe ívhosszáak képletét felírva π 3a cos t si t + 3a si t cos t dt π 3a si t cos tcos t + si t dt 3 π a π si t dt 6a si t dt 3a cos t] π/ 6a.. Számítsuk ki a következő görbe csavarvoal ívhosszát: ϕ :, h] R 3, ϕt : t, r cos t, r si t, ahol h, r >. Megoldás. lϕ h h + r si t + r cos t dt + r dt h + r dt h + r. 3. Számítsuk ki az ϕ f voalitegrált, ha ϕ :, π] R, ϕt cos t, si t azaz a felső egységfélkör, és fx, y y, x! Megoldás. ϕt si t, cos t, így π f si t, cos t, si t, cos t dt ϕ π si t + cos t dt π dt π. 4. Számítsuk ki az ϕ f voalitegrált, ha ϕ :, ] R, ϕt, t az, és, potokat összekötő szakasz, és fx, y e x +y,! Megoldás. ϕ f e +t,,, dt.

5. Számítsuk ki az ϕ f voalitegrált, ha ϕ :, π] R, ϕt cos t, si t, fx, y x + y, x + y! Megoldás. Az f függvéy egy primitív függvéye F x, y x y + xy +, így f F ϕπ F ϕ. Zárt görbé mide primitív függvéyel redelkező függéy itegrálja zérus. 6. Számítsuk ki az ϕ f voalitegrált, ha ϕ :, π/] R, ϕt 3 cos t, si t és ϕ fx, y x x + y, y x + y! Megoldás. Korábba láttuk, hogy f egy primitív függvéye F x, y lx + y. Ezért f l + l3 + l 9 l 3. ϕ 9. gyakorlat Kétváltozós f : R R függvéy itegráljáak kiszámításáshoz az alábbi lebotási tételt haszálhatjuk, ameyibe egy téglalapo itegráluk:. Tétel Fubii. Legye f : R R folytoos függvéy, és a, b] c, d]. Ekkor b d d b f fx, y dy dx fx, y dx a c c a dy Hasoló állítás fogalmazható meg az 3 esetre is. Gyakra egy általáosabb Q R halmazo például egy körö kell itegráli. Ha va olya T R halmaz és egy Φx, y : T Q bijektív leképezés, amely folytoosa differeciálható, akkor f fφ u, v, Φ u, v detφ u, v du dv, Q T ahol tehát a Φ leképezés Jacobi mátrixáak determiásáak abszolút értékével szorzuk. Nyílvá a T halmazak olyaak kell lei, ami már köyű itegráli, ilye például egy téglalap. Ha egy origó középpotú, R sugarú körö kell itegráli, akkor Q {x, y R : x + y R }, T, R], π] és Φ r cos ϕ, r si ϕ. Ekkor detφ r, ϕ cos ϕ r si ϕ si ϕ r cos ϕ r és Q f,r],π]. Számítsuk ki az alábbi többdimeziós itegrálokat! x a, ahol, ], ]; + y b si y, ahol, ], ]; c x + y, ahol, ], ]; d cos x cos y cos z, ahol, π/], π/], π/]. Megoldás. a fr cos ϕ, r si ϕ r dr dϕ. b x dx dy + y + y si y dx dy x dx dy si y + y x 3 3 dx dy ] dy 7 3 si y dy, dy + y 7 3 arc tg y] 7π. 3

mert közepű itervallumo páratla függvéy itegrálja zérus. c d π/ π/ π/ x + y dy dx ] x + y 3 x 3 3 dx + x dx 3 3 x + 3 x3/ + ] 3 x + 3 + 3 3. cos x cos y cos z dx dy dz π/ cos z π/ cos y π/ x + x + 3 dx 3 π/ cos x dx dy dz cos x dx.. Számítsuk ki az alábbi többdimeziós itegrálokat, ahol : { x, y R : x + y } a zárt egységkörlap a síko! a dx dy b x dx dy c y dx dy Megoldás. Polártraszformációval, azaz az x r cos ϕ, y r si ϕ r, ], ϕ, π] helyettesítéssel π fx, y dx dy fr cos ϕ, r si ϕ r dϕ dr. a b c y dx dy dx dy x dx dy π π π r dϕ dr r r cos ϕr dϕ dr r si ϕr dϕ dr π dϕ dr π r cos ϕ dϕ dr π r 3 si ϕ dϕ dr r rπ dr π ] π. r dr. r r 3 4 π dr π 4 ] π 4.. gyakorlat Gyakra olya síkidomo kell itegráli, amelyet alulról és felülről folytoos függvéyek grafikojai határolak. Ha ϕ, ψ : a, b] R folytoos függvéyek, akkor az N x { x, y R : x a, b], ϕx y ψx } halmazt az x-tegelyre ézve ormáltartomáyak evezzük. Ekkor b ψx f fx, y dy dx N x a ϕx Hasoló állítás fogalmazható meg olya N y tartomáyra, amely az y-tegelyre ézve ormáltartomáy. Legye Ω R egy paramétertartomáy ez legtöbbször egy téglalap, Φ : Ω R 3 egy kölcsööse egyértelmű, folytoosa differeciálható leképezés a paramétertartomáy és ΦΩ között, amelyet a Φ által meghatározott sima felületek evezük. Eek a felületek a felszíét az uφu, v vφu, v du dv Ω képlettel lehet kiszámoli. Ha a feti felület mide potjához hozzáredelük egy valós számot modjuk mide egyes potjához a potbeli hőmérséklelet, azaz adott egy U : ΦΩ R folytoos függvéy, akkor U-ak a feti felületre vett felszíi itegráljá az U : UΦu, v uφu, v vφu, v du dv Φ Ω itegrált értjük. Ha pedig a felület mide potjához egy vektort redelük például sebességet, azaz adott egy F : ΦΩ R 3 folytoos függvéy, akkor az F függvéy Φ-re vett felületi itegráljá az F : F Φu, v, uφu, v vφu, v du dv itegrált értjük. Φ Ω 4

. Számítsuk ki N x f értékét, ha a N x : { x, y R : x, ], y x }, fx, y. b N x : { x, y R : x, ], y x }, fx, y y. c Számítsuk ki az fx, y xy függvéy itegrálját az y x és az y x + görbék grafikojai által határolt tartomáyo. Megoldás. a b N x f N x f x x dy dx y dy dx y] x dx ] x 3 y3/ dx x dx 3 x3 dx 3 ] x x3 3 3. x 4 c A megadott parabola és egyees az x és x potba metszik egymást, ezért a ormáltartomáy most az N x : { x, y R : x, ], x y x + } halmaz lesz. f N x x+ x xy dy dx x6 6 + 3x4 4 + x3 3 ] x 7 8 x+ x y dy dx x y ] x+ x dx 4 ] 8 3. x 5 + 3x 3 + x dx. Legye Φ :, ], ] R 3, Φu, v : u + v, u v, u, és legye U : R 3 R, Ux, y, z : x + y + z. Számítsuk ki az U felszíi itegrált! Φ Megoldás. u Φ,,, v Φ,,, a vektoriális szorzatuk pedig i j k u Φ v Φ,,, és u Φ v Φ + + 4 6. A felszíi itegrál u + v + u v + u 6 dv du 3 6 u dv du 3 6 u du 3 6. 3. Legye Φ :, ], ] R 3, Φu, v : u + v, u v, u, és legye F : R 3 R 3, F x, y, z : y, x, z. Számítsuk ki az F felületi itegrált! Φ Megoldás. Φ ugyaaz, mit az előbb, ezért ismét u Φ v Φ,,. A felületi itegrál u v, u + v, u,,, du dv du dv. 4. Legye Φ :, π], π] R 3, Φu, v : si v cos u, si v si u, cos v egy felület. Számítsuk ki a felszíét! Megoldás. u Φ si v si u, cos u si v,, v Φ cos v cos u, cos v si u, si v, a vektoriális szorzatuk pedig i j k u Φ v Φ si v si u cos u si v cos v cos u cos v si u si v cos u si v, si v si u, si v cos v. Mivel u Φ v Φ cos u si v + si v si u + si v cos v si v cos u si v + si v si u + cos v cos u si 4 v + si 4 v si u + si v cos v si v si v, ezért a felszí π π si v dv du π π cos v] π du du 4π. 5

5. Legye Φ :, π/4] π/3, π/] R 3, Φu, v : si v cos u, si v si u, cos v egy felület. Számítsuk ki a felszíét! Megoldás. Ugyaaz, mit az előbb: u Φ v Φ cos u si v, si v si u, si v cos v. és u Φ v Φ si v. A felszí: π/4 π/ π/3 si v dv du π/ π/4 π/3 si v du dv π 4 π/ π/3 si v dv π 4 cos v]π/ π/3 π 8. 6