Mtemtik 4 gykorlt Földtudomány és Környezettn BSc II/2 1. gykorlt Integrálszámítás R n -ben: vonlintegrál, primitív függvény, Newton Leibniz-szbály. Legyen Ω R n egy trtomány, f : Ω R n folytonos függvény (vektormező, erőtér. Az f primitív függvényén egy olyn F : Ω R függvényt értünk, melyre F = f, vgyis i F (x = f i (x minden i = 1, 2,..., n-re. Ezt z F függvényt z f potenciálfüggvényének is nevezik. H r : [, b] Ω egy folytonosn differenciálhtó görbe, kkor z ívhossz l(r = b r (t dt. Legyen Ω R n egy trtomány, f : Ω R n folytonos függvény. Legyen r : [, b] R n egy folytonosn differenciálhtó görbe, melyre r([, b] Ω. Ekkor z f függvény r görbe mentén vett vonlintegrálján z r f := b f(r(t, r (t dt vlós integrált értjük. H f-nek létezik Ω-bn primitív függvénye, kkor f = F ( r(b F ( r(. r Ezt z F függvényt z f potenciálfüggvényének is nevezik. Ebből következik, hogy h f-nek vn potenciálj, kkor z integrál értéke csk görbe végpontjitól függ, illetve zárt görbe (zz r( = r(b esetén f vonlintegrálj r mentén null. H egy erőtérben vn potenciálfüggvény, kkor konzervtív erőtérről beszélünk. 1. Legyen f : R 2 R 2, f(x, y = (y, x. ( Tekintsük z r : [, 1] R 2, r(t = (t, t utt. Számítsuk ki r f értékét definíció szerint. (b Legyen r z zárt görbe, mely K = { (x, y R 2 : x 2 + y 2 = 1 } kört z órmuttó járásávl ellentétes iránybn egyszer körbejárj. Számítsuk ki r f értékét. Számítsuk ki vonlintegrált kkor is, h r másik iránybn járj be K-t. (c Vn-e f-nek primitív függvénye? H igen, kkor htározzuk meg. 2. Legyen f(x, y = (y, x, r z zárt görbe, mely K = { (x, y R 2 : x 2 +y 2 = 1 } kört z órmuttó járásávl ellentétes iránybn egyszer körbejárj. ( Számítsuk ki r f értékét. (b Vn-e f-nek primitív függvénye? (c Mi helyzet, h z út irányítását megfordítjuk? (d Meg tudnánk-e dni egy nemtriviális zárt görbét, min vonlintegrál null? 3. Legyen f(x, y = ( y x 2 + y 2, x x 2 + y 2, r z zárt görbe, mely K = { (x, y R 2 : x 2 + y 2 = 1 } kört z órmuttó járásávl ellentétes iránybn egyszer körbejárj. Számítsuk ki r f értékét. Feldtok: 1. Legyen f(x, y = (x + y, x y. Htározzuk meg f primitív függvényét! 1
2. Legyen f(x, y = (x, y, r pedig legyen következő út: (, -ból indulv egyenes szkszokon (1, és (, 1 pontokon áthldv vissztérünk z origób. r f =? 3. Legyen f(x, y = (x 2 + y, y 2 + x, r z y = x 212 (x [, 1] függvény grfikonj. Számítsuk ki r f értékét. 4. Htározzuk meg z lábbi f : R 3 R 3 függvények primitív függvényét. ( f(x, y, z = (yz, xz, xy; (b f(x, y, z = (x 2 2yz, y 2 2xz, z 2 2xy; ( (c f(x, y, z = 1 1 y + y z, x z + x y 2, xy z 2. 5. Legyen f(x, y = (x 2 2xy, y 2 2xy, r : y = x 2 (x [ 1, 1]. r f =? 6. Legyen f(x, y = (x 2 + y 2, x 2 y 2, r : y = 1 1 x, (x [, 2]. r f =? ( y 7. ( Legyen f(x, y = 3x 2 2xy + 3y 2, x 3x 2 2xy + 3y 2. Htározzuk meg f primitív függvényét! 2. gykorlt Integrálszámítás R n -ben: vonlintegrál, primitív függvény, Newton Leibniz-szbály. 1. Htározzuk meg f(x, y = (x, y primitív függvényét. 2. Legyen f(x, y = (x 2 + 2xy y 2, x 2 2xy y 2. Htározzuk meg f primitív függvényét! 3. Legyen f(x, y = (x 2 +y, y 2 x, z r út pedig nnk tégllpnk htár, melynek csúcsi bejárás szerinti sorrendben (1, 2, (3, 2, (3, 4, (1, 4. r f = 4. Legyen f(x, y, z = (y, z, x, r(t = ( cos t, sin t, bt, hol t [, 2π]. r f =? További feldtok: 1. Legyen f : R 3 R 3 differenciálhtó függvény. Bizonyítsuk be, hogy f pontosn kkor szimmetrikus, h rot f =. 2. Legyen g : R R tetszőleges differenciálhtó függvény. Mutssuk meg, hogy z f : R 2 R 2, f(x, y = ( x g(x 2 +y 2, y g(x 2 +y 2 függvény minden szkszonként sim zárt útr vett vonlintegrálj null. 3. Legyen f(x, y = ( e x2 +y 2 x, e x2 +y 2 y egy fiziki erőtér. Htározzuk meg végzett munkát, h z origóból z (1, 1 pontb jutunk el. (Ötlet: hsználjuk z előző feldtot. 4. Legyen f : R 2 R 2 folytonos függvény, r : [, b] R 2. Bizonyítsuk be, hogy r f l(r M, hol l(r z r szkszonként sim út hossz és M = mx{ f(r(t : t [, b]}. ( y 5. ( Legyen f(x, y = (x 2 + xy + y 2 2, x (x 2 + xy + y 2 2. Bevezetve z I R := {x 2 +y 2 =R 2 } f jelölést, mutssuk meg, hogy lim I R =. (Hsználjuk z előző feldtot. R 6. ( H z origób egy m tömegű testet helyezünk, kkor z x pontb helyezett egységnyi tömegű testre x-szel ellentétes, Gm/ x 2 ngyságú erő ht, hol G grvitációs állndó. A grvitációs erőtér esetén tehát Ω = R 3 x \ {}, f(x = Gm 3. Mutssuk meg, hogy grvitációs erőtér konzervtív! x 2
3. gykorlt Többszörös integrálok: Kettős integrál, polártrnszformáció. Kétváltozós f : R 2 R függvény integráljánk kiszámításáshoz z lábbi lebontási tételt hsználhtjuk, mennyiben egy tégllpon integrálunk: 1. Tétel. Legyen f : R 2 R folytonos függvény, és T = [, b] [c, d]. Ekkor T f = b ( d c f(x, y dy dx = d c ( b f(x, y dx dy Hsonló állítás foglmzhtó meg z n = 3 esetre is. Gykrn olyn síkidomon kell integrálni, melyet lulról és felülről folytonos függvények grfikonji htárolnk. H ϕ, ψ : [, b] R folytonos függvények, kkor z N x = { (x, y R 2 : x [, b], ϕ(x y ψ(x } hlmzt (z x-tengelyre nézve normáltrtománynk nevezzük. Ekkor N x f = b ( ψ(x ϕ(x f(x, y dy dx Hsonló állítás foglmzhtó meg olyn N y trtományr, mely z y-tengelyre nézve normáltrtomány. 1. Számítsuk ki z lábbi integrálokt! ( Htározzuk meg z f(x, y = x 2 + 4y függvény integrálját z egységnégyzeten. (b Htározzuk meg C értékét úgy, hogy z f(x, y = C (x 2 + 3y 2 függvény egységnégyzetre vett integrálj 1 legyen! (c T := [, ln 2] [, ln 3], T e3x+4y dx dy =? (d T := [, [,, T e x y dx dy =? 2. Htározzuk meg z integrációs htárokt z lábbi normáltrtományoknál és számítsuk ki z integrálokt! ( H := { (x, y R 2 : x 1, x 2 y x }. H xy2 dx dy =? (b Htározzuk meg xy = 2 és x + y = 5 2 görbék áltl közrefogott síkidom területét! (c Htározzuk meg z egységsugrú körlp területét, polártrnszformáció nélkül. Gykrn egy áltlánosbb Q R 2 hlmzon (például egy körön kell integrálni. H vn olyn T R 2 hlmz és egy g(x, y : T Q bijektív leképezés, mely folytonosn differenciálhtó, kkor f = f ( g 1 (u, v, g 2 (u, v ( det g (u, v du dv, Q T hol tehát g leképezés Jcobi-mátrix determinánsánk bszolút értékével szorzunk. Nyilván T hlmznk olynnk kell lenni, min már könnyű integrálni, ilyen például egy tégllp. Tipikus péld, h például egy origó középpontú, R sugrú körön kell integrálni. Ekkor Q = { (x, y R 2 : x 2 + y 2 R 2}, T = [, R] [, 2π] és g(r, ϕ = (r cos ϕ, r sin ϕ z úgynevezett polártrnszformáció. Ekkor det(g (r, ϕ = cos ϕ r sin ϕ sin ϕ r cos ϕ = r és így f = f(r cos ϕ, r sin ϕ r dr dϕ. Q [,R] [,2π] 3. Integráltrnszformációvl számoljuk ki z lábbi integrálokt! ( Htározzuk meg z egységsugrú körlp területét polártrnszformációvl is. (b Q := { (x, y : x 2 + y 2 1, x, y } 2xy, x 2 dx dy =? + y2 3 Q
(c Q := { (x, y : 1 x 2 + y 2 4 }, Q ln(x2 + y 2 dx dy =? 4. Vegyes feldtok: ( Cseréljük fel z integrálás sorrendjét z lábbi integrálokbn. i. 2 2x x f(x, y dy dx; ii. 1 iii. 1 x 2 x f(x, y dy dx; 3 1 y f(x, y dx dy. (b ( Mutssuk meg, hogy {x 2 +y 2 2 } h z m, n pozitív egészek közül vlmelyik pártln! (c ( {x 2 +y 2 4} sgn(x2 + y 2 2 dx dy =? x m y n dx dy =, 4. gykorlt Többszörös integrálok: hárms integrál, henger és gömbi koordinátákr vló áttérés. 1. Számítsuk ki z lábbi hármsintegrálokt! ( Htározzuk meg z f(x, y, z = x 2 + 4yz függvény integrálját z egységkockán. (b T := { (x, y, z R 3 : x 1, y 1 x, z 1 x y }, T 2xy dx dy dz =? (c T := { (x, y, z R 3 : x 1, y 1 x 2, z 1 x 2 y 2}, T 2y dx dy dz =? (d Htározzuk meg z = 1 x 2 y 2 felület xy-sík feletti részének térfogtát! A kétváltozós esethez hsonlón itt is előfordulht, hogy nem tégltesten, hnem egy Q R 3 gömbön, vgy hengeren (vgy ezek egy részhlmzán kell integrálni. H Q = { (x, y, z R 3 : x 2 + y 2 + z 2 R 2} z origó középpontú R sugrú gömb, kkor legyen T = [, R] [, 2π] [, π] és g(r, ϕ, θ = (r cos ϕ sin θ, r sin ϕ sin θ, r cos θ. Ekkor det(g (r, ϕ, θ = r 2 sin θ és így Q f = R 2π π f(r cos ϕ sin θ, r sin ϕ sin θ, r cos θ r 2 sin θ dr dϕ dθ. A gömbi koordináták mellett hengerkoordinátákt is érdemes lehet bevezetni, h egy R sugrú, m mgsságú hengeren integrálunk: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z ( r R, ϕ 2π, z m, itt Jcobidetermináns r lesz. 2. Számítsuk ki z lábbi hármsintegrálokt lklms koordinát-trnszformációvl! ( Q := { (x, y, z R 3 : x 2 + y 2 1, z 1 } z, Q 1 + x 2 dx dy dz =? (Hengerkoordináták + y2 lklmzásávl. (b Számítsuk ki z R sugrú, m mgsságú henger térfogtát. xyz (c Számítsuk ki z f(x, y, z = x 2 + y 2 függvény integrálját z egységgömb első térnyolcdb + z2 eső részén! (Gömbi koordináták lklmzásávl. (d Számítsuk ki z R sugrú gömb térfogtát. (e ( Htározzuk meg x 2 + y 2 = R 2, x + y + z = ( R 2, x =, y = és z = felületek áltl közrefogott test térfogtát! 5. gykorlt 4
Komplex számok, komplex változós függvények folytonosság, differenciálhtóság. 1. komplex számok ( Végezzük el műveleteket és hozzuk egyszerűbb lkr következő kifejezéseket! ( (1 + i(1 i, (b (1 + i 2, (c 1 i 3, (d 1 + i 1 2i. (b Írjuk fel következő komplex számokt lgebri, trigonometrikus és exponenciális lkbn is! ( 1 i, (b 3 + i, (c 2i, (d 1, (e cos π 3 + i sin π 3, (f cos 2π 3 + i sin 2π 3 (c Hozzuk egyszerűbb lkr következő kifejezéseket!, (g sin α i cos α. ( (1 i 211, (b (1 + i 9 (1 i 7, (c 1, (d i, (e 3 1, (f 5 1 i. (d Fejezzük ki sin 3α-t és cos 3α-t sin α-vl és cos α-vl. (e Oldjuk meg z lábbi egyenleteket komplex számok körében! (f Igzoljuk következő zonosságokt! ( z 2 + 1 =, (b z 2 2z + 2 =, (c z 2 = i z, (d z 2 2iz 1 =, (e z 3 21z + 2 =. ( z = z, (b z = z, (c zz = zz = z, (d z 1 z 2 = z 1 z 2, (e z 1 z 2 = z 1 z 2. (g Mutssuk meg, hogy komplex számtesten nem dhtó meg olyn rendezés, mely összhngbn áll műveletekkel, zz C mint test nem rendezhető. 2. komplex értelemben vett differenciálhtóság ( Mutssuk meg, hogy z f(z = z 2 függvény folytonos. (b Definíciót hsználv számítsuk ki f (z-t, h ( f(z = z 3 (b f(z = 1 + z 1 z. (c Mutssuk meg, hogy z lábbi függvények nem differenciálhtók! ( f(z = Re z, (b f(z = z, (c f(z = z. (d ( Mutssuk meg, hogy z f(z = z 2 z, h z, h z = függvény folytonos, illetve állpítsuk meg, hogy létezik-e f (! 6. gykorlt Cuchy Riemnn-féle differenciálegyenletek, Lplce-féle differenciálegyenlet, komplex htványsorok. 5
1. Cuchy Riemnn-féle differenciálegyenletek, Lplce-féle differenciálegyenlet ( Differenciálhtó-e z f(z = f(x + iy = x 3 i(1 y 3 függvény? (b Döntsük el, hogy komplex számsík mely pontjibn teljesülnek Cuchy Riemnn egyenletek z lábbi függvények esetén: ( f(z = z 2, (b f(z = z z, (c f(z = 1, (d f(x + iy = xy. z (c Mutssuk meg, hogy következő függvények hrmonikusk, vgyis kielégítik Lplce-féle differenciálegyenletet! ( f(x, y = x 2 y 2, (b f(x, y = e x cos y, (c f(x, y = ln(x 2 + y 2. (d Legyen D egyszeresen összefüggő trtomány, f : D C differenciálhtó és Re f(z állndó D-n. Mutssuk meg, hogy f(z is állndó D-n. 2. komplex htványsorok ( Htározzuk meg következő htványsorok konvergencisugrát! ( z n, n= (b nz n, (c z n n, (d n n z n, (e z n n n. (b Htározzuk meg z e z, sin z, cos z függvények htványsorink konvergencisugrát! (c Htározzuk meg z e z, sin z, cos z függvények deriváltját! (d Igzoljuk következő zonosságokt! ( e iz = cos z + i sin z, (b e iz = cos z i sin z, (c cos z = 1 2 (eiz + e iz, (d sin z = 1 2i (eiz e iz, (e ch iz = cos z, (f sh iz = i sin z, (g e z+w = e z e w, (h e z = e x (cos y + i sin y, (i e z = e x. (e ( Igzoljuk, hogy z f(z = e z függvény periodikus! Hová képezi H = {(x, y : π < y π} hlmzt z e z függvény? Vezessük be log z függvényt! 7. gykorlt 1. ZH 8. gykorlt Komplex vonlintegrál: primitív függvény, Newton Leibniz-formul, Cuchy-féle integráltétel, Cuchy-féle integrálformul. 1. komplex vonlintegrál kiszámítás, primitív függvény, Newton-Leibniz formul ( Számítsuk ki f(z vonlintegrálját z és b pontokt összekötő különböző utkon! Legyen i. f(z = z, = i és b = i, z utk pedig z őket összekötő egyenes, illetve z órmuttó járásávl ellentétes bejárású félkör, ii. f(z = z, = és b = 1 + i, z utk z őket összekötő egyenes, illetve prbol, iii. f(z = z, = i és b = i, z utk z őket összekötő egyenes, illetve z órmuttó járásávl zonos bejárású félkör. 6
(b Számítsuk ki f(z vonlintegrálját z és b pontokt összekötő utkon Newton Leibnizformul segítségével! Legyen i. f(z = e z, = és b = i, z út z órmuttó járásávl ellentétes bejárású félkör, ii. f(z = sin z, = i és b = i. 2. Tétel (Cuchy integráltétele. H D konvex trtomány, f : D C reguláris függvény, γ egy D-ben hldó szkszonként sim zárt görbe, kkor γ f =. Akkor is null lesz z integrál, h vnnk olyn pontok, hol f látszólg szinguláris. 3. Lemm. H f reguláris D trtományon, z D, és vn olyn r >, hogy B(z, r \ {z } D, vlmint lim z z f(z(z z =, kkor { z z =r} f =. Ebből vezethető le z lábbi 4. Tétel (Cuchy-féle integrálformul. H f reguláris D trtományon, B(z, r D, kkor s B(z, r esetén f(s = 1 f(z 2πi z s dz, { z z =r} hol z középpontú r sugrú körvonlon pozitív iránybn hldunk. A tétel nem csk körvonlr, hnem minden olyn egyszerű zárt görbére érvényes, mely pozitív iránybn egyszer megkerüli belsejében fekvő s pontot. 2. Cuchy-féle integráltétel, Cuchy-féle integrálformul ( Legyen f(z = 1 z n, n N, γ út pedig z origó középpontú egységsugrú kör z órmuttó járásávl ellentétes iránybn bejárv. Számítsuk ki Cuchy-féle integrálformul nélkül z γ f vonlintegrál értékét, h n > 1, illetve h n = 1. (b Legyen f(z = sin z z, γ út pedig z origó középpontú egységsugrú kör z órmuttó járásávl ellentétes iránybn bejárv. Számítsuk ki Cuchy-féle integrálformul nélkül γ f értékét. (c Oldjuk meg z előző két feldtot Cuchy-féle integrálformul felhsználásávl! 9. gykorlt Komplex vonlintegrál: Cuchy-féle integrálformul és következményei, komplex vonlintegrál lklmzás. 1. Cuchy-féle integrálformul és következményei ( Legyen γ zárt görbe z középpontú R sugrú, z órmuttó járásávl ellentétes bejárású kör. Számítsuk ki γ g értékét, h i. g(z = 1, R = 1; z z ii. g(z = z, R = 1; z z iii. g(z = sin8 z z π, z = 2, R = 2; 2 iv. g(z = ez z 2, z = 5 2, R = 1. (b Legyen γ zárt görbe z középpontú R sugrú, z órmuttó járásávl ellentétes bejárású kör. Számítsuk ki γ g értékét, h i. g(z = ez2 z 2 1, z = 1 2, R = 1; 7
ii. g(z = z4 e πz z 2 + 1, z = i, R = 1; iii. g(z = 1 1 + z 2, iv. g(z = ( z = 5, R = 1, (b z = i, R = 1, (c z = i, R = 1, (d z =, R = 3; e z z 2 + 2z 3, ( z = 1, R = 1, (b z = 3, R = 1, (c z = 6, R = 1. (c Legyen γ zárt görbe z középpontú R sugrú, z órmuttó járásávl ellentétes bejárású kör. Számítsuk ki γ g értékét, h z i. g(z = (z z 2 ; z ii. g(z = (z z 6. 2. komplex vonlintegrál lklmzás vlós integrálok kiszámításár ( ( Htározzuk meg z lábbi improprius integrálokt! ( + sin x x dx =? (b + sin 2 x x 2 dx =?. 1. gykorlt Függvénysoroztok és egyenletes konvergenci. 1. egyenletes konvergenci ( Vizsgáljuk meg, hogy egyenletesen konvergensek-e z lábbi függvénysoroztok megdott intervllumon! i. f n (x = x n [, 2] 1, illetve [, 1 intervllumon; ii. f n (x = x n x n+1 [, 1] intervllumon; iii. f n (x = 1 (, intervllumon; x + n sin nx iv. f n (x = (, intervllumon; n v. f n (x = sin x (, intervllumon; n vi. f n (x = ( 1 + n x n tetszőleges véges intervllumon, illetve (, intervllumon; vii. viii. [, intervllumon; [, 1] intervllumon., h x n, f n (x = 1, h n < x n + 1,, h n + 1 < x f n (x = n 2 x, h x 1 n, n 2 ( 2 n x, h 1 n < x < 2 n,, h 2 n x (b Lehetséges-e, hogy szkdásos függvények egyenletesen konvergens sorozt folytonos függvényt állítson elő? 8
2. függvénysoroztok integrálás és deriválás ( Mutssuk meg, hogy z f n (x = 1 n rc tg xn függvénysorozt egyenletesen konvergens (, intervllumon, de lim f n ( lim f. n (b Mutssuk meg, hogy z f n (x = nxe nx2 1 lim f n (x dx függvénysorozt konvergens [, 1] intervllumon, de 1 ( lim f n(x dx. (c Felcserélhető-e limeszképzés és z integrálás z 1(vii. és 1(viii. példákbn? (d Mutssuk meg, hogy z f n (x = nx(1 x n függvénysorozt nem egyenletesen konvergens [, 1] intervllumon, de mégis igz, hogy 1 lim f n (x dx = 1 ( lim f n(x dx. Függvénysorok és egyenletes konvergenci. 1. egyenletes konvergenci 11. gykorlt ( Bizonyítsuk be, hogy z lábbi függvénysorok egyenletesen konvergensek megdott intervllumokon! i. 1 x 2 + n 2 (, intervllumon; ii. ( 1 n x + 2 n ( 2, intervllumon; iii. x 2 e nx [, intervllumon. (b Tegyük fel, hogy z f n (x sor bszolút és egyenletesen konvergens z I intervllumon. Mu- tssuk meg, hogy ebből nem következik f n (x sor egyenletes konvergenciáj! Hsználjuk ehhez ( 1 n (1 xx n függvénysort [, 1] intervllumon! (c Tegyük fel, hogy n konvergens. Igzoljuk, hogy n e nx függvénysor egyenletesen konvergens i. [, intervllumon, hol >! ii. ( [, intervllumon! 2. függvénysorok integrálás és deriválás ( Mutssuk meg, hogy z f(x = függvény folytonosn differenciálhtó z egész számegyenesen! (b Htározzuk meg lim x 1 (c Szbd-e tgonként differenciálni sin nx n 3 ( x n x n+1 htárértéket. rc tg x n 2 függvénysort? 9
(d ( Szbd-e tgonként integrálni (x 1 1 2n+1 x 2n 1 függvénysort [, 1] intervllumon? Fourier-sorok 1. Fourier-sorok. 12. gykorlt ( Fejtsük Fourier-sorb következő függvényeket megdott intervllumokon! i. ii. 2. lklmzások f(x = { π x 2, h x (, 2π,, h x = vgy x = 2π. Helyettesítsünk z eredménybe x = π 2 -t. Milyen összefüggést kpunk? 1, h x ( π,, f(x =, h x = vgy x = ±π, 1, h x (, π. Helyettesítsünk x = π 2 -t. Milyen összefüggést kpunk? iii. f(x = x 2, h x [ π, π]. Helyettesítsünk z eredménybe x = π-t. Milyen összefüggést kpunk? ( Oldjuk meg következő differenciálegyenleteket htványsoros módszerrel! (i { y (t = y(t y( = 1 (ii { y (t = ky(t y( = (iii { y (x + xy(x = y( =, y ( = 1 (b Oldjuk meg következő (úgynevezett hővezetési egyenletet Fourier-soros módszerrel! u t = 2 u, x (, π x 2 u(, t = u(π, t = u(x, = g(x = n sin nx 13. gykorlt 2. ZH 1