A módszer lényegét számos variancia analitikus eljárás közül a legegyszerûbbön, az "egytényezõs" variancia elemzésen mutatjuk be.

Átírás

1 6. Vrc lízs Több t szóráségzetéek (vrcáják összehsolításá lpul sttsztk egk g fejezete, vrc lízs. A vzsgáltok célj eek lklzáskor ugz, t két tár kterjedõ sttsztk próbáké volt: sokságok egezéséek vg eltéréséek vlószíûsítése. Meg kell jegez, hog kor tszórások eltérés-vlószíûségét F próbávl htározzuk eg, teleek legeek függetleek és oráls eloszlásúk. A ódszer léegét száos vrc ltkus eljárás közül legegszerûbbö, z "egtéezõs" vrc elezése uttjuk be. Több soksággl fogllkozuk, elekrõl feltesszük, hog N(µ,σ eloszlásúk, hol µ z -edk sokság várhtó értéke, σ pedg sokságok egegezõ vrcáj. Kérdésük z, ták elkerülhetetle eltérése véletle-e, vg érvéesült vl ol htás, ek lpjá sokságok e tekthetõk egegezõek. Szbtos H : µ I µ,, (6. ullhpotézs elfogdásáról vg elvetésérõl v szó. Vegük észre, hog külöös ódo ost szórások összehsolításávl középértékek eltérésérõl ítélkezük. Az eljárást példá uttjuk be. Tegük fel, bb kíváuk döte, hog háro, L, L és L3 lbortóru egelõ egbízhtó dolgozk-e, vg lbortóruokból érkezõ eredéeket fetrtássl kell fogd. A vzsgálthoz háro lbortóru,5 töeg% két trtlzó gázoljt kp, elet ugzzl (egegezõ szórású szbváos ódszerrel kell egvzsgál. L lbor 3 párhuzos érést végez, L lbor 5-öt, L3 3 4-et. A beküldött eredéeket 6. tábláztb beuttott elredezésû tábláztb foglljuk. Itt j jelet j-edk lbortóru -edk érés értékét. (A szászerû értékek 6.3 tábláztb tlálhtók.

2 6. táblázt. A vrc lízs lpdt j j j 3 Sorösszegek /átlgok Oszlopösszeg 3 3 j j j Eleszá Szb.fok 3 3 j j Átlg 3 3 j j j Vrc 3 ( ( 3 5 ( ( 5 4 ( 3 j 3 4 ( 3 3 j ( j j 3 j SS tr j j j 3 j MS j ( tr Átlg csoportok között j j j Eltéréségzetösszeg Eltéréségzetösszeg csoportok között SS t er j j ( j Vrc ( csoportok között MSt er j j j

3 3 A tábláztb láthtó két vrc, z MS tr és MS ter érték közül z elsõ kéeghtározó ódszer szórását, véletle hbáját becsl. A ásodk lborok középértékeek eltérését tükröz zok közös középértékétõl. Beláthtó, hog h középértékek egástól jobb eltérek, t et ódszer szórás egeged, kkor lbortóruok között szgfkás eltérés v. A dötés z MS tr és MS ter vrcák F próbájá lpul. H kpott F gobb, t krtkus F(α,ν,ν érték, kkor (6. ullhpotézst elvetjük. A vrc lízsek ezeket lépéset 6. táblázt uttj. 6. táblázt. A vrc lízs erdée SS Szb.fok MS Fˆ p Csoportoko SS tr ν tr MS tr belül Csoportok SS ter ν ter MS ter között Összese SS totl ν totl A táblázt leglsó soráb z j SS tr + SS ter SS totl ( j j (6. egelõségek kell (tetk okokból teljesüle. Ez hszos elleõrzés lehetõség. Ugez áll szbdság fokokr s. A tábláztb szereplõ p érték zt dj eg, hog kpott Fˆ hádosál gobb értékek el vlószíûséggel fordulk elõ. A sttsztkus dötést lvá eek lpjá s eg lehet hoz. A vrc lízs lgortus zob legtöbbször kérk z α tévedés vlószíûséget és egdják F krtkus értékét. A bevezetésbe beuttott péld szászerû eredéet 6.3 táblázt uttj be.

4 4 6.3 táblázt. Egtéezõs vrc lízs L L L3 sorösszeg Sorátlg.,5,6,3.,55,7,3 3.,47,4,4 4.,48,45 5.,55 j összegek 4,5 7,75 5,45 7,7 Mérésszáok Szb.fokok Átlgok, ,55,365, Eltéréségzet-összeg,3666,588,6875,78946 Vrcák,6333,47,565,877 VARIANCIA ANALÍZIS Téezõk SS df MS Fˆ p-érték Csoportok között,875,4865 4, ,4859 Csoporto belül, ,87796 Összese, A krtkus F érték 5% tévedést egegedve, egoldls kérdésfeltevésél 4.56 lee. Eél kpott F érték gobb, íg ullhpotézst, szert lbortóruok egforá dolgozk elvetjük. p értékbõl látjuk, hog dötés e ódfelett bztos, hsze, h "gzságosbbk" kruk le, és csk 3% tévedést válllák, lbortoruokt ár e trtók külöbözõek.

5 5 7. Összefüggések vzsgált A tetk sttsztk eddg tárglt fejezete többre eg vlószíûség változóvl fogllkoztk, h pedg többel, kkor s feltételezték zok egástól vló függetleségét. Nlvávló ugkkor, hog vzsgált redszereket leíró, zokr htó változók között összefüggések elsõredû fotosságúk. Az összefüggések többféle szepotból tárglhtók, pl. bból, hog okságk-e, vg e zok, hog v-e róluk elõzetes seretük vg csk tpsztlt leírásuk stb. A továbbkb szert tegük külöbséget, hog két (vg több vlószíûség változó összefüggésével kell fogllkoz, vg e vlószíûség (detersztkus változók htk eg vlószíûség változór. Ez utóbb változó legtöbbször zért tektedõ vlószíûség változók, ert potos, vlód értékét rátelepedett hb terhel: Y Y vlód + ε (7. Ebbe z esetbe Y eloszlás egegezk ε eloszlásávl, külöbséggel, hog h ε várhtó értéke, kkor Y-é Y vlód. 7. Vlószíûség változó függése detersztkus változó(któl. Bzoos, hog gkorltb változót hbátlul e lehet ér vg beállít, elvbe tehát detersztkus változó cs. Az zob égs elfogdhtó, hog eges függetle változók két-háro gságreddel potosbbk, t függõ, íg e okoz g hbát, h zokt detersztkusk tektjük. 7.. A legksebb égzetek elve Akár vlószíûség változó függ detersztkus változó(któl, kár detersztkus, szükségük v eg tetk összefüggésre (odellre, elk függést leírj. Jelöljük odellt F-fel. Ile odell lehet eg orgó áthldó vg áltláos helzetû egees, eg epoecáls függvé stb. A odellek álldó (kosts, prétere vk (eredekség, tegeletszet és függetle változó. Lege z elöbbek jele,, utóbbké,, de egszerûség kedvéért tektsük ost egetle -t. A függetle változókt "predktorokk" vg "regresszorokk" s evezk. A száított (jósolt, predkált érték jel lege. A odell tehát teljese áltláos íg fest: Y F(,,, H préterek sertek, beállított függetle változókál kszáíthtó. A feldtot zob áltláb eg kell elõzze préterek eghtározás (becslése, egfjt "klbrácó". Isert értékekél párhuzos ksérletekbe eghtározzuk ért értékeket, és prétereket tektjük seretleekek. H érések potosk leéek, bárelkbõl

6 6 k lehete száít z seretle,, prétereket. A kpott értékeket zob seretle hbávl érjük: F(,,,... + ε F(,,, + ε... (7. F(,,, + ε ezért (7. egeletekbõl érésrõl érésre ás préterek dódák. Megállpodás szert zokt z,, értékeket fogdjuk el optálsk, elekél ért és száított értékek külöbségégzeteek összege áls: Q (7.3 ŷ z F(,,b odellel száított értéket jelöl. Ez követelé legksebb égzetek elve. Gkorlt lklzásár következõ fejezet d példát. Az ε hbákról ecsk zt szokták feltételez, hog várhtó értékük, he zt s, szórásuk egegezk. Ez z u. hooszkedsztkus eset. H ugs érés hbák változó eté változk (heteroszkedsztkus eset, fellépõ g eltérések (zok égzete rátlul eltorzítják u helét, ezzel préterek értékét. Ile esetbe z eltéréseket súloz szokás, vel u követelé íg lkul: w ( F,,,... ( (7.4 A súl áltláb z dott változóértékél érvées vrc recprok: w s (7.5 A súlozott legksebb égzetek ódszerére ás esetekbe, pl. z változór lklzott trszforácó tt s szükség lehet. 7.. Egees prétereek becslése (leárs regresszó Az egees álldó A leárs regresszóál z egees sert egeletéek érvéességét tételezzük fel: F(,, b + b (7.6 A préterek becslésére drb, értékpárt hszáluk fel. A becslés godolteetéek egfelelõe ál kell ért és száított értékek eltérése égzetéek összegét :

7 7 Q ( b (7.7 ( ŷ z F(,,b odellel száított értéket jelöl. A tovább összefüggésekbe z egszerûség kedvéért szuázás jeléél z deet elhgjuk, sõt, hol e zvró, z de változók ellõl s házk. Az és b préterek függvéébe Q égzetösszeg lvávló ott lesz áls, hol Q-k és b szert prcáls derváltj értékûek leszek. Fe kell tehát áll, hog Q ( b (7.8 Q b ( b. (7.9 A kpott egeleteket egszerûsítve, z összegezéseket tgokét végrehjtv és zokt redezve z + b (7. + b (7. leárs egeletredszer dódk, elbõl egoldás utá eredekségre b ( (7. összefüggés, tegeletszetre pedg (7.9 egelet -el vló osztás utá z b (7.3 képlet dódk. (7. képlet köe száíthtó téezõket trtlz. Md szálálój, d evezõje rtetk ûveletekkel átlkíthtó úg s, hog képlet jobb egjegezhetõ és többet odó lkú lege: bˆ ( ( ( (7.4 A préterbecslés sertetett elve és (7., (7..egeletek többváltozós leárs összefüggések prétereek becslésére s áltláosíthtók. Az (7.5

8 8 leárs odell prétereek becslése drb érésbõl z + seretlees (7.6 leárs egeletredszer egoldásávl lehet egkp. b Szórásbecslések Tételezzük fel, hog z eség vlób leárs függvée függetle változók. Ebbe z esetbe csk érés hb z ok k, hog ért potok e esek potos becsült egeesre. Ebbõl következk, hog ebbe z esetbe z s (7.7 eség érés hb becslése. (A szbdság fok zért, ert z egees két álldój két egkötést jelet z ért értékek között. Ez becslés egébkét s ( [ ( ( ] ( ( ( b ( ( (7.8 ódo s száíthtó. Felvetõdk ezekutá préterek és kpott préterekkel szátott ŷ értékek szórásák becslése. Ezek redre következõk: s s b s + ( ( s (7.9 (7. Noráls eloszlású értékek eseté dott vlószíûségû kofdec trtoát s egdhtuk préterekhez. ˆ ± t bˆ ± t, α, α s s b (7.

9 9 A becsült préterekkel bárel * változóhoz kszáíthtó eg ŷ érték várhtó értékéek szórás: s ˆ ( * ( s + (7. Ez z *-tól függõ eség regresszós egees felett és ltt egdj kofdec "övet", tájékoztt rról, le htárok között ozog regresszós egees α vlószíûséggel.(7. ábr. Mt láthtó, kofdec trtoá z egees "súlpotjáb" (z potb legkeskeebb és z egees két széle felé õ. Kofdec- és predkcós htárok B 8 6 Y válsz X függetle változó 7. ábr. Regresszós egees és egbízhtóság övek. Fekete égzetek: ért értékek. Egees: regresszós egees. Belsõ öv: kofdec htárok, külsó öv: predkcós htárok. Bárel * változóál jövõbe ért várhtó heléek bzotlság gobb. A jóslás (predkcós szórás: s s + + ( * ( t 7. ábrá külsõ öv utt eg. (7.3,

10 c Az llesztés jóság A 7. ábrát tuláozv láthtó, hog hog z ˆ távolság e z egetle, elket defál lehet. Beszélhetük z távolságról, és z ˆ távolságokról s. Beláthtó, hog z ˆ távolságok ( ˆ (7.4 égzetösszege ll. z zokból száított "odell okozt szórás" rról vll, ért térek el z ért értékek átlguktól tt, hog zok függvée. Az s érthetõ, hog h ez szórás összeérhetõ ksérlet szórást becslõ, ˆ külöbségek ( ˆ (7.5 égzetösszegébõl száított "rezduáls szórássl", kkor kétséges függés léte. Ezért száos esetbe regresszós száítást vrc lízs (l. 6. pot követ, hol eek két szórásk égzetét (vrcáját F próbávl hsolítják össze. Mél gobb F, ál bztosbb függés. Megjegezhetõ, hog odell okozt eltéréségzetösszeg és rezduáls eltéréségzetösszeg kdj z távolságok ( (7.6 totáls égzetösszegét, ert ( + ( ˆ ˆ (7.7

11 Leárs regresszó B 8 6 Y válsz 4 átlg X függetle változó 7. ábr. A regresszó egítéléséhez A regresszó jóságát szokás odell okozt eltéréségzetösszeg (7.4 és teljes (totáls eltéréségzetösszeg (7.6 hádosávl s jelleez. r ( ˆ ( (7.8 Ez eség zt dj eg, hog z értékek -et változásák hádrésze tuljdoíthtó leársk tektett függések. Az r hádos z r korrelácós egütthtó (l. 7. pot égzete. Ne túl érzéke uttó. H ért potok vlee potos z egeese vk, értéke, de szeelláthtó szóró és e s leárs függõ ért értékekél s vszolg gs (.9 felett lehet Neleárs préterbecslés Neleárs (pl. htváfüggvéel leírhtó, recprokos, epoecáls össszefüggések prétereek becslésére legksebb égzetek ódszere ugcsk lklzhtó. Az optáls prétereket egdó ( F(,,,... (7.9

12 krtérub z F függvé eleárs, íg derválás utá (h z lehetséges kpott (7.8, (7.9 összefüggésekre elékeztetõ egeletek e leársk és egoldásukhoz uerkus tetk erre lkls ódszere hszálhtók. Eges esetekbe e kell ehhez ehéz eljáráshoz folod. Az függvébe például helettesíthetük. Lege egváltozós összefüggés z (7.3 3,, 3. Ezzel (7.3 (7.3 hárováltozós, á leárs fügvéé lkult, elkbõl leárs regresszó szbál szert keresett préterek eghtározhtók. (l. 7.6 egeletredszert. Hsoló lehet eljár pl. z o + l odell eseté s. Függvéek gkr úg lerzálhtók, hog trszforácó z függõ változót s ért. Az e b (7.3 összefüggés dkét oldlát logrtzálv z l l b (7.33 leárs függvéhez jutuk, elek prétere leárs regresszóvl becsülhetõk. Az l k c / T (7.34 összefüggés l k és /T helettesítéssel leárssá lkíthtó. A ért értékeket értõ átlkításokál zob fgel kell rr következére, hog z eredetleg (lklst egelõ gságú hbák trszforácók utá eltérõkké, sõt esetleg szetrkuskká válk, g becsült préterek torzítottk lehetek és hbákról godos uk utá lehet ltkoz. A súlozott legksebb égzetek ódszeréek lklzás deképpe dokolt. 7. Vlószíûség változók összefüggése Két vlószíûség változó ugcsk összefügghet. Az összefüggés bb lvául eg, hog z egk változó övekedése vg csökkeése egüttjár ásk változó csökkeésével vg övekedésével. Ezt z összefüggést kovrc ér: C(X,Y E[ (X E(X (Y E(Y] (7.35

13 3 Ez eség poztív, h z X és Y vlószíûség változók egütt ozogk, egtív, h elletétese. Szokás kovrcát két változó szórásávl osztv és + htárok közé szorít. A kpott eség korrelácós egütthtó: C ρ σ ( X, Y X σ Y (7.36 Mél kább egközelít ρ + vg értéket, ál szorosbb két változó között összefüggés. H el s ér, két változó egás leárs függvée. H korrelácós egütthtó, kkor két változó korreláltl. H két változó függetle, kkor korreláltl s. Fordítv egállpítás e érvées. Attól, hog ρ -értékû, két változó között ég lehet függvékpcsolt. Kvételt ez lól oráls eloszlású változók képvselek. A korrelácós egütthtót tából z r ( ( ( ( ( / ( / ( ( / (7.37 sttsztk becsl. H korrelácós egütthtó szgfkás értékét krjuk egvzsgál, $t r r értéket kell kszáít. H ez gobb, t, α (7.38 t, kkor H :ρ ullhpotézst α tévedés vlószíûséggel elvetjük. Korrelált vlószíûség változók leárs összefüggését lehet regresszóvl vzsgál. A regresszós egees zob ás helzetû, h Y-t X függvéébe, vg X-et Y függvééb vzsgáljuk. Áltláb feáll, hog korrelácó e jelet szükségképpe okság kpcsoltot. A függõ és függetle változó fogl ebbe körezetbe gkr értelezhetetle.