A módszer lényegét számos variancia analitikus eljárás közül a legegyszerûbbön, az "egytényezõs" variancia elemzésen mutatjuk be.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A módszer lényegét számos variancia analitikus eljárás közül a legegyszerûbbön, az "egytényezõs" variancia elemzésen mutatjuk be."

Átírás

1 6. Vrc lízs Több t szóráségzetéek (vrcáják összehsolításá lpul sttsztk egk g fejezete, vrc lízs. A vzsgáltok célj eek lklzáskor ugz, t két tár kterjedõ sttsztk próbáké volt: sokságok egezéséek vg eltéréséek vlószíûsítése. Meg kell jegez, hog kor tszórások eltérés-vlószíûségét F próbávl htározzuk eg, teleek legeek függetleek és oráls eloszlásúk. A ódszer léegét száos vrc ltkus eljárás közül legegszerûbbö, z "egtéezõs" vrc elezése uttjuk be. Több soksággl fogllkozuk, elekrõl feltesszük, hog N(µ,σ eloszlásúk, hol µ z -edk sokság várhtó értéke, σ pedg sokságok egegezõ vrcáj. Kérdésük z, ták elkerülhetetle eltérése véletle-e, vg érvéesült vl ol htás, ek lpjá sokságok e tekthetõk egegezõek. Szbtos H : µ I µ,, (6. ullhpotézs elfogdásáról vg elvetésérõl v szó. Vegük észre, hog külöös ódo ost szórások összehsolításávl középértékek eltérésérõl ítélkezük. Az eljárást példá uttjuk be. Tegük fel, bb kíváuk döte, hog háro, L, L és L3 lbortóru egelõ egbízhtó dolgozk-e, vg lbortóruokból érkezõ eredéeket fetrtássl kell fogd. A vzsgálthoz háro lbortóru,5 töeg% két trtlzó gázoljt kp, elet ugzzl (egegezõ szórású szbváos ódszerrel kell egvzsgál. L lbor 3 párhuzos érést végez, L lbor 5-öt, L3 3 4-et. A beküldött eredéeket 6. tábláztb beuttott elredezésû tábláztb foglljuk. Itt j jelet j-edk lbortóru -edk érés értékét. (A szászerû értékek 6.3 tábláztb tlálhtók.

2 6. táblázt. A vrc lízs lpdt j j j 3 Sorösszegek /átlgok Oszlopösszeg 3 3 j j j Eleszá Szb.fok 3 3 j j Átlg 3 3 j j j Vrc 3 ( ( 3 5 ( ( 5 4 ( 3 j 3 4 ( 3 3 j ( j j 3 j SS tr j j j 3 j MS j ( tr Átlg csoportok között j j j Eltéréségzetösszeg Eltéréségzetösszeg csoportok között SS t er j j ( j Vrc ( csoportok között MSt er j j j

3 3 A tábláztb láthtó két vrc, z MS tr és MS ter érték közül z elsõ kéeghtározó ódszer szórását, véletle hbáját becsl. A ásodk lborok középértékeek eltérését tükröz zok közös középértékétõl. Beláthtó, hog h középértékek egástól jobb eltérek, t et ódszer szórás egeged, kkor lbortóruok között szgfkás eltérés v. A dötés z MS tr és MS ter vrcák F próbájá lpul. H kpott F gobb, t krtkus F(α,ν,ν érték, kkor (6. ullhpotézst elvetjük. A vrc lízsek ezeket lépéset 6. táblázt uttj. 6. táblázt. A vrc lízs erdée SS Szb.fok MS Fˆ p Csoportoko SS tr ν tr MS tr belül Csoportok SS ter ν ter MS ter között Összese SS totl ν totl A táblázt leglsó soráb z j SS tr + SS ter SS totl ( j j (6. egelõségek kell (tetk okokból teljesüle. Ez hszos elleõrzés lehetõség. Ugez áll szbdság fokokr s. A tábláztb szereplõ p érték zt dj eg, hog kpott Fˆ hádosál gobb értékek el vlószíûséggel fordulk elõ. A sttsztkus dötést lvá eek lpjá s eg lehet hoz. A vrc lízs lgortus zob legtöbbször kérk z α tévedés vlószíûséget és egdják F krtkus értékét. A bevezetésbe beuttott péld szászerû eredéet 6.3 táblázt uttj be.

4 4 6.3 táblázt. Egtéezõs vrc lízs L L L3 sorösszeg Sorátlg.,5,6,3.,55,7,3 3.,47,4,4 4.,48,45 5.,55 j összegek 4,5 7,75 5,45 7,7 Mérésszáok Szb.fokok Átlgok, ,55,365, Eltéréségzet-összeg,3666,588,6875,78946 Vrcák,6333,47,565,877 VARIANCIA ANALÍZIS Téezõk SS df MS Fˆ p-érték Csoportok között,875,4865 4, ,4859 Csoporto belül, ,87796 Összese, A krtkus F érték 5% tévedést egegedve, egoldls kérdésfeltevésél 4.56 lee. Eél kpott F érték gobb, íg ullhpotézst, szert lbortóruok egforá dolgozk elvetjük. p értékbõl látjuk, hog dötés e ódfelett bztos, hsze, h "gzságosbbk" kruk le, és csk 3% tévedést válllák, lbortoruokt ár e trtók külöbözõek.

5 5 7. Összefüggések vzsgált A tetk sttsztk eddg tárglt fejezete többre eg vlószíûség változóvl fogllkoztk, h pedg többel, kkor s feltételezték zok egástól vló függetleségét. Nlvávló ugkkor, hog vzsgált redszereket leíró, zokr htó változók között összefüggések elsõredû fotosságúk. Az összefüggések többféle szepotból tárglhtók, pl. bból, hog okságk-e, vg e zok, hog v-e róluk elõzetes seretük vg csk tpsztlt leírásuk stb. A továbbkb szert tegük külöbséget, hog két (vg több vlószíûség változó összefüggésével kell fogllkoz, vg e vlószíûség (detersztkus változók htk eg vlószíûség változór. Ez utóbb változó legtöbbször zért tektedõ vlószíûség változók, ert potos, vlód értékét rátelepedett hb terhel: Y Y vlód + ε (7. Ebbe z esetbe Y eloszlás egegezk ε eloszlásávl, külöbséggel, hog h ε várhtó értéke, kkor Y-é Y vlód. 7. Vlószíûség változó függése detersztkus változó(któl. Bzoos, hog gkorltb változót hbátlul e lehet ér vg beállít, elvbe tehát detersztkus változó cs. Az zob égs elfogdhtó, hog eges függetle változók két-háro gságreddel potosbbk, t függõ, íg e okoz g hbát, h zokt detersztkusk tektjük. 7.. A legksebb égzetek elve Akár vlószíûség változó függ detersztkus változó(któl, kár detersztkus, szükségük v eg tetk összefüggésre (odellre, elk függést leírj. Jelöljük odellt F-fel. Ile odell lehet eg orgó áthldó vg áltláos helzetû egees, eg epoecáls függvé stb. A odellek álldó (kosts, prétere vk (eredekség, tegeletszet és függetle változó. Lege z elöbbek jele,, utóbbké,, de egszerûség kedvéért tektsük ost egetle -t. A függetle változókt "predktorokk" vg "regresszorokk" s evezk. A száított (jósolt, predkált érték jel lege. A odell tehát teljese áltláos íg fest: Y F(,,, H préterek sertek, beállított függetle változókál kszáíthtó. A feldtot zob áltláb eg kell elõzze préterek eghtározás (becslése, egfjt "klbrácó". Isert értékekél párhuzos ksérletekbe eghtározzuk ért értékeket, és prétereket tektjük seretleekek. H érések potosk leéek, bárelkbõl

6 6 k lehete száít z seretle,, prétereket. A kpott értékeket zob seretle hbávl érjük: F(,,,... + ε F(,,, + ε... (7. F(,,, + ε ezért (7. egeletekbõl érésrõl érésre ás préterek dódák. Megállpodás szert zokt z,, értékeket fogdjuk el optálsk, elekél ért és száított értékek külöbségégzeteek összege áls: Q (7.3 ŷ z F(,,b odellel száított értéket jelöl. Ez követelé legksebb égzetek elve. Gkorlt lklzásár következõ fejezet d példát. Az ε hbákról ecsk zt szokták feltételez, hog várhtó értékük, he zt s, szórásuk egegezk. Ez z u. hooszkedsztkus eset. H ugs érés hbák változó eté változk (heteroszkedsztkus eset, fellépõ g eltérések (zok égzete rátlul eltorzítják u helét, ezzel préterek értékét. Ile esetbe z eltéréseket súloz szokás, vel u követelé íg lkul: w ( F,,,... ( (7.4 A súl áltláb z dott változóértékél érvées vrc recprok: w s (7.5 A súlozott legksebb égzetek ódszerére ás esetekbe, pl. z változór lklzott trszforácó tt s szükség lehet. 7.. Egees prétereek becslése (leárs regresszó Az egees álldó A leárs regresszóál z egees sert egeletéek érvéességét tételezzük fel: F(,, b + b (7.6 A préterek becslésére drb, értékpárt hszáluk fel. A becslés godolteetéek egfelelõe ál kell ért és száított értékek eltérése égzetéek összegét :

7 7 Q ( b (7.7 ( ŷ z F(,,b odellel száított értéket jelöl. A tovább összefüggésekbe z egszerûség kedvéért szuázás jeléél z deet elhgjuk, sõt, hol e zvró, z de változók ellõl s házk. Az és b préterek függvéébe Q égzetösszeg lvávló ott lesz áls, hol Q-k és b szert prcáls derváltj értékûek leszek. Fe kell tehát áll, hog Q ( b (7.8 Q b ( b. (7.9 A kpott egeleteket egszerûsítve, z összegezéseket tgokét végrehjtv és zokt redezve z + b (7. + b (7. leárs egeletredszer dódk, elbõl egoldás utá eredekségre b ( (7. összefüggés, tegeletszetre pedg (7.9 egelet -el vló osztás utá z b (7.3 képlet dódk. (7. képlet köe száíthtó téezõket trtlz. Md szálálój, d evezõje rtetk ûveletekkel átlkíthtó úg s, hog képlet jobb egjegezhetõ és többet odó lkú lege: bˆ ( ( ( (7.4 A préterbecslés sertetett elve és (7., (7..egeletek többváltozós leárs összefüggések prétereek becslésére s áltláosíthtók. Az (7.5

8 8 leárs odell prétereek becslése drb érésbõl z + seretlees (7.6 leárs egeletredszer egoldásávl lehet egkp. b Szórásbecslések Tételezzük fel, hog z eség vlób leárs függvée függetle változók. Ebbe z esetbe csk érés hb z ok k, hog ért potok e esek potos becsült egeesre. Ebbõl következk, hog ebbe z esetbe z s (7.7 eség érés hb becslése. (A szbdság fok zért, ert z egees két álldój két egkötést jelet z ért értékek között. Ez becslés egébkét s ( [ ( ( ] ( ( ( b ( ( (7.8 ódo s száíthtó. Felvetõdk ezekutá préterek és kpott préterekkel szátott ŷ értékek szórásák becslése. Ezek redre következõk: s s b s + ( ( s (7.9 (7. Noráls eloszlású értékek eseté dott vlószíûségû kofdec trtoát s egdhtuk préterekhez. ˆ ± t bˆ ± t, α, α s s b (7.

9 9 A becsült préterekkel bárel * változóhoz kszáíthtó eg ŷ érték várhtó értékéek szórás: s ˆ ( * ( s + (7. Ez z *-tól függõ eség regresszós egees felett és ltt egdj kofdec "övet", tájékoztt rról, le htárok között ozog regresszós egees α vlószíûséggel.(7. ábr. Mt láthtó, kofdec trtoá z egees "súlpotjáb" (z potb legkeskeebb és z egees két széle felé õ. Kofdec- és predkcós htárok B 8 6 Y válsz X függetle változó 7. ábr. Regresszós egees és egbízhtóság övek. Fekete égzetek: ért értékek. Egees: regresszós egees. Belsõ öv: kofdec htárok, külsó öv: predkcós htárok. Bárel * változóál jövõbe ért várhtó heléek bzotlság gobb. A jóslás (predkcós szórás: s s + + ( * ( t 7. ábrá külsõ öv utt eg. (7.3,

10 c Az llesztés jóság A 7. ábrát tuláozv láthtó, hog hog z ˆ távolság e z egetle, elket defál lehet. Beszélhetük z távolságról, és z ˆ távolságokról s. Beláthtó, hog z ˆ távolságok ( ˆ (7.4 égzetösszege ll. z zokból száított "odell okozt szórás" rról vll, ért térek el z ért értékek átlguktól tt, hog zok függvée. Az s érthetõ, hog h ez szórás összeérhetõ ksérlet szórást becslõ, ˆ külöbségek ( ˆ (7.5 égzetösszegébõl száított "rezduáls szórássl", kkor kétséges függés léte. Ezért száos esetbe regresszós száítást vrc lízs (l. 6. pot követ, hol eek két szórásk égzetét (vrcáját F próbávl hsolítják össze. Mél gobb F, ál bztosbb függés. Megjegezhetõ, hog odell okozt eltéréségzetösszeg és rezduáls eltéréségzetösszeg kdj z távolságok ( (7.6 totáls égzetösszegét, ert ( + ( ˆ ˆ (7.7

11 Leárs regresszó B 8 6 Y válsz 4 átlg X függetle változó 7. ábr. A regresszó egítéléséhez A regresszó jóságát szokás odell okozt eltéréségzetösszeg (7.4 és teljes (totáls eltéréségzetösszeg (7.6 hádosávl s jelleez. r ( ˆ ( (7.8 Ez eség zt dj eg, hog z értékek -et változásák hádrésze tuljdoíthtó leársk tektett függések. Az r hádos z r korrelácós egütthtó (l. 7. pot égzete. Ne túl érzéke uttó. H ért potok vlee potos z egeese vk, értéke, de szeelláthtó szóró és e s leárs függõ ért értékekél s vszolg gs (.9 felett lehet Neleárs préterbecslés Neleárs (pl. htváfüggvéel leírhtó, recprokos, epoecáls össszefüggések prétereek becslésére legksebb égzetek ódszere ugcsk lklzhtó. Az optáls prétereket egdó ( F(,,,... (7.9

12 krtérub z F függvé eleárs, íg derválás utá (h z lehetséges kpott (7.8, (7.9 összefüggésekre elékeztetõ egeletek e leársk és egoldásukhoz uerkus tetk erre lkls ódszere hszálhtók. Eges esetekbe e kell ehhez ehéz eljáráshoz folod. Az függvébe például helettesíthetük. Lege egváltozós összefüggés z (7.3 3,, 3. Ezzel (7.3 (7.3 hárováltozós, á leárs fügvéé lkult, elkbõl leárs regresszó szbál szert keresett préterek eghtározhtók. (l. 7.6 egeletredszert. Hsoló lehet eljár pl. z o + l odell eseté s. Függvéek gkr úg lerzálhtók, hog trszforácó z függõ változót s ért. Az e b (7.3 összefüggés dkét oldlát logrtzálv z l l b (7.33 leárs függvéhez jutuk, elek prétere leárs regresszóvl becsülhetõk. Az l k c / T (7.34 összefüggés l k és /T helettesítéssel leárssá lkíthtó. A ért értékeket értõ átlkításokál zob fgel kell rr következére, hog z eredetleg (lklst egelõ gságú hbák trszforácók utá eltérõkké, sõt esetleg szetrkuskká válk, g becsült préterek torzítottk lehetek és hbákról godos uk utá lehet ltkoz. A súlozott legksebb égzetek ódszeréek lklzás deképpe dokolt. 7. Vlószíûség változók összefüggése Két vlószíûség változó ugcsk összefügghet. Az összefüggés bb lvául eg, hog z egk változó övekedése vg csökkeése egüttjár ásk változó csökkeésével vg övekedésével. Ezt z összefüggést kovrc ér: C(X,Y E[ (X E(X (Y E(Y] (7.35

13 3 Ez eség poztív, h z X és Y vlószíûség változók egütt ozogk, egtív, h elletétese. Szokás kovrcát két változó szórásávl osztv és + htárok közé szorít. A kpott eség korrelácós egütthtó: C ρ σ ( X, Y X σ Y (7.36 Mél kább egközelít ρ + vg értéket, ál szorosbb két változó között összefüggés. H el s ér, két változó egás leárs függvée. H korrelácós egütthtó, kkor két változó korreláltl. H két változó függetle, kkor korreláltl s. Fordítv egállpítás e érvées. Attól, hog ρ -értékû, két változó között ég lehet függvékpcsolt. Kvételt ez lól oráls eloszlású változók képvselek. A korrelácós egütthtót tából z r ( ( ( ( ( / ( / ( ( / (7.37 sttsztk becsl. H korrelácós egütthtó szgfkás értékét krjuk egvzsgál, $t r r értéket kell kszáít. H ez gobb, t, α (7.38 t, kkor H :ρ ullhpotézst α tévedés vlószíûséggel elvetjük. Korrelált vlószíûség változók leárs összefüggését lehet regresszóvl vzsgál. A regresszós egees zob ás helzetû, h Y-t X függvéébe, vg X-et Y függvééb vzsgáljuk. Áltláb feáll, hog korrelácó e jelet szükségképpe okság kpcsoltot. A függõ és függetle változó fogl ebbe körezetbe gkr értelezhetetle.

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825. Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (

Részletesebben

FEJEZETEK A HOMOGÉN FEJSOROZATOKRÓL

FEJEZETEK A HOMOGÉN FEJSOROZATOKRÓL FEJEZETEK A HOMOGÉN FEJSOROZATOKRÓL SZAKDOLGOZAT Készítette: Kovács Blázs Mtet BSc, tár szrá Tévezető: dr Wtsche Gergel, djutus ELTE TTK, Mtettítás és Módszert Közot Eötvös Lorád Tudoáegete Terészettudoá

Részletesebben

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai Tárcsák számítása A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusa A tartószerkezeteket geometra méretek alapjá osztálozzuk Az eddg taulmáakba szereplı rúdszerkezetek rúdjara az a jellemzı hog a hosszuk

Részletesebben

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 Folytoos vlószíűségi változók Értékkészletük számegyees egy folytoos (véges vgy végtele) itervllum. Vlmeyi lehetséges érték vlószíűségű, pozitív vlószíűségek csk értéktrtomáyokhoz trtozk. Az eloszlás em

Részletesebben

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer 19. Függvéyek rekurzív megdás, mester módszer Algoritmusok futási idejéek számítás gykr vezet rekurzív egyelethez, külööse kkor, h z lgoritmus rekurzív. Tekitsük például h z összefésülő redezés lábbi lgoritmusát.

Részletesebben

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei Eukldes tér, metrkus tér, ormált tér, magasabb dmeós terek vektoraak söge, eek követkemée Metrkus tér Defícó. A H halmat metrkus térek eveük, ha va ola, metrkáak eveett m: H H R {0} függvé, amelre a követkeők

Részletesebben

Mezei Elemér Veres Valér TÁRSADALOMSTATISZTIKA

Mezei Elemér Veres Valér TÁRSADALOMSTATISZTIKA Meze Eleér Veres Vlér TÁRSADALOMSTATISZTIKA Készült z Apácz Közlpítváy és RODOSZ táogtásávl Lektorált: Mgyr Tvdr Meze Eleér, Veres Vlér Edtt de Pres Uverstră Clueă, 00 Kolozsvár Egyete Kdó, 00 ISB 973

Részletesebben

A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje az erőrendszerek egyenértékűségének és egyensúlyának feltételeit.

A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje az erőrendszerek egyenértékűségének és egyensúlyának feltételeit. modul: Erőrendserek lecke: Erőrendserek egenértékűsége és egensúl lecke célj: tnng felhsnálój megsmerje erőrendserek egenértékűségének és egensúlánk feltételet Követelmének: Ön kkor sjátított el megfelelően

Részletesebben

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]... A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer

Részletesebben

Matematika összefoglaló

Matematika összefoglaló Mtemtik összefoglló A középiskoli tg vázltos áttekitése, gkorló feldtok Összeállított: Deák Ottó mestertár Áltláos- és Felsőgeodézi Tszék Mtemtik kozultáció z I. évfolmk A emuttó vázlt Bemuttkozás, kozultáció

Részletesebben

STATISZTIKAI MÓDSZEREK

STATISZTIKAI MÓDSZEREK HAJTMAN BÉLA STATISZTIKAI MÓDSZEREK Egetem egzet Pázmá Péter Katolkus Egetem, Bölcsészettudomá Kar Plscsaba, 0. Bevezetés Az első félévbe (Bostatsztka) a statsztka alapat smertük meg. Természetese ez

Részletesebben

Sűrűségmérés. 1. Szilárd test sűrűségének mérése

Sűrűségmérés. 1. Szilárd test sűrűségének mérése Sűrűségérés. Szilárd test sűrűségének érése A sűrűség,, definíciój hoogén test esetén: test töege osztv test V térfogtávl: V A sűrűség SI értékegysége kg/, hsználtos ég kg/d, kg/l és g/c Ne hoogén testnél

Részletesebben

Lineáris programozás

Lineáris programozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek

Részletesebben

A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI

A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI Az Eötvös Lórád Tudomáyegyetem Természettudomáy Kará a Fzka Kéma Taszék évek óta kéma-szakos taárhallgatókak matematka bevezetõ elõadásokat tart. Az elõadások célja az,

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek Mtemtik A 9. évfolm 7. modul: EGYENLETEK Tnári kézikönv VI. Kétismeretlenes egenletrendszerek Behelettesít módszer Mintpéld Két testvér érletpénztárnál jeget vásárol. Az egik vonljegért és eg átszálló

Részletesebben

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya II RÉZ 2 EJEZE 2 Az együttműködő vllamoseerga-redszer teljesítméy-egyesúlya 2 A frekveca és a hatásos teljesítméy között összefüggés A fogyasztó alredszerbe a fogyasztók hatásos wattos teljesítméyt lletve

Részletesebben

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek FI FÜGGELÉK: FI Vektorok és vektorműveletek MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ Skláris menniség: oln geometrii vg fiiki menniség melet ngság (előjel) és mértékegség jelleme Vektor menniség: iránított geometrii vg

Részletesebben

(1) Milyen esetben beszélünk tartós nyugalomról? Abban az esetben, ha a (vizsgált) test a helyzetét hosszabb időn át nem változtatja meg.

(1) Milyen esetben beszélünk tartós nyugalomról? Abban az esetben, ha a (vizsgált) test a helyzetét hosszabb időn át nem változtatja meg. SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MECHNIK - STTIK LKLMZTT MECHNIK TNSZÉK Elmélet kérdések és válaszok egetem alapképzésbe (Sc képzésbe) résztvevő mérökhallgatók számára () Mle esetbe beszélük tartós ugalomról?

Részletesebben

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr.

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr. Verseyfeldtok Középiskoli verseyfeldtok megoldás és redszerezése Szkdolgozt Készítette: Nováky Csb Témvezető: Dr. Fried Ktli Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kr Mtemtik Alpszk Tári Szkiráy

Részletesebben

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai A ritmus foglm ritmus zonossági I Elméleti összefoglló H > 0 > 0 > 0 vlós számok és n tetszőleges vlós szám kkor 0 n n H > 0 > 0 > 0 vlós számok kkor H > kkor z f( ) kkor z f( ) függvén szigorún monoton

Részletesebben

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el.

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el. Végtele sok vlós számból álló összegeket sorokk evezzük. sorb szereplő tgokt képzeljük el úgy, mit egy bolh ugrásit számegyeese. sor összege h létezik ilye z szám hov bolh ugrási sorá eljut. Nézzük például

Részletesebben

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011 MÉRÉSTECHNIKA DR. HUBA ANTAL c. eg. taár BME Mechatroka, Optka és Gépészet Iformatka Taszék 0 Rövde a tárgprogramról Előadások tematkája: Metrológa és műszertechka alapok Mérés adatok kértékelése Időbe

Részletesebben

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/)

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/) 3. Sztereó kamera Kató Zoltá Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika taszék SZTE (http://www.if.u-szeged.hu/~kato/teachig/) Sztereó kamerák Az emberi látást utáozza 3 Sztereó kamera pár Két, ugaazo 3D látvát

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése 3 4 Tartalomegyzék. BEVEZETÉS 5. A MÉRÉS 8. A mérés mt folyamat, fogalmak 8. Fotosabb mérés- és műszertechka fogalmak 4.3 Mérés hbák 8.3. Mérés hbák csoportosítása eredetük szert 8.3. A hbák megeleítés

Részletesebben

hajlító nyomaték és a T nyíróerő között ugyanolyan összefüggés van, mint az egyenes rudaknál.

hajlító nyomaték és a T nyíróerő között ugyanolyan összefüggés van, mint az egyenes rudaknál. 5 RÚDELADATOK 51 íkgörbe rudk Grhof 1 -féle elmélete íkgörbe rúd: rúd köépvonl ( ponti ál) íkgörbe e P n e t Jelöléek: A köépvonl mentén pontokt ívkoordinátávl onoítjuk Pl P pont A P pontbn (P pontho trtoó

Részletesebben

Az azonosságok tanításáról I.

Az azonosságok tanításáról I. Oktssuk vgy buktssuk Mjoros Mári 006. okt. Az zoosságok tításáról I. Dr. Mjoros Mári Az zoosságok tításáról I. Aki egpróbált ár idege yelvet tuli, tpsztlhtt, hogy yelv iseretéek és helyes hszálták tetiki

Részletesebben

A SOKASÁGI ARÁNY MEGHATÁROZÁSÁRA IRÁNYULÓ STATISZTIKAI ELJÁRÁSOK VÉGES SOKASÁG ÉS KIS MINTÁK ESETÉN LOLBERT TAMÁS 1

A SOKASÁGI ARÁNY MEGHATÁROZÁSÁRA IRÁNYULÓ STATISZTIKAI ELJÁRÁSOK VÉGES SOKASÁG ÉS KIS MINTÁK ESETÉN LOLBERT TAMÁS 1 ÓDSZERTAI TAULÁYOK A SOKASÁGI ARÁY EGHATÁROZÁSÁRA IRÁYULÓ STATISZTIKAI ELJÁRÁSOK VÉGES SOKASÁG ÉS KIS ITÁK ESETÉ LOLBERT TAÁS 1 A ckk ő célja aak vzsgálata, hogy az elleőrzés gyakorlatba széles körbe haszált

Részletesebben

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása Tuzso Zoltá A turm-módszer és alalmazása zámtala szélsérté probléma megoldása, vag egeltleség bzoítása ago gara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölder-féle egeltleség, derválta

Részletesebben

1. Fejezet A sorozat fogalmának intuitív megközelítése

1. Fejezet A sorozat fogalmának intuitív megközelítése SOROZATOK SZÁMTANI, MÉRTANI ÉS HARMONIKUS HALADVÁNYOK Körtesi Péter, Szigeti Jeő. Fejezet A sorozt foglmák ituitív megközelítése A sorozt számok egy redezett felsorolás, számokt sorozt tgjik evezzük. Egy

Részletesebben

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0 Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,

Részletesebben

REÁLIS GÁZOK ÁLLAPOTEGYENLETEI FENOMENOLOGIKUS KÖZELÍTÉS

REÁLIS GÁZOK ÁLLAPOTEGYENLETEI FENOMENOLOGIKUS KÖZELÍTÉS REÁLIS GÁZOK ÁLLAPOEGYENLEEI FENOMENOLOGIKUS KÖZELÍÉS Száos odell gondoljunk potenciálo! F eltérés z ideális gáz odelljétl: éret és kölcsönhtás Moszkópikus következény: száos állpotegyenlet (ld. RM-jegyzet

Részletesebben

1. Mi az érték és a hasznosság kapcsolata, és a hasznosság definíciója!

1. Mi az érték és a hasznosság kapcsolata, és a hasznosság definíciója! . M z éték és hszosság kpcsolt, és hszosság defícój! Az éték, hszosság egy embebe, egy embe sztuácób lkul k, egy yg jószág, egy tágy ömgáb hszotl. Hszosságot tuljdoítuk mdeek legye z yg vgy em yg jószág,

Részletesebben

Ismérvek közötti kapcsolatok szorosságának vizsgálata. 1. Egy kis ismétlés: mérési skálák (Hunyadi-Vita: Statisztika I. 25-26. o)

Ismérvek közötti kapcsolatok szorosságának vizsgálata. 1. Egy kis ismétlés: mérési skálák (Hunyadi-Vita: Statisztika I. 25-26. o) Ismérvek között kapcsolatok szorosságáak vzsgálata 1. Egy ks smétlés: mérés skálák (Huyad-Vta: Statsztka I. 5-6. o) A külöböző smérveket, eltérő mérés sztekkel (skálákkal) ellemezhetük. a. évleges (omáls)

Részletesebben

R E K T I F I K Á C I Ó

R E K T I F I K Á C I Ó R E K T I F I K Á C I Ó Bevezetés A foladékelegek szétválasztásáak egik leggakrabba alkalazott ódszere a gőzfoladék egesúlo alapuló desztilláció ill. az isételt desztilláció: a rektifikálás. Midkét űvelet

Részletesebben

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét Vrg József: Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Vrg József, Kecskemét Hrmic éves tári pályámo sokszor tpsztltm, hogy tehetséges tulók

Részletesebben

Síkbeli csuklós szerkezetek kiegyensúlyozásának néhány kérdése

Síkbeli csuklós szerkezetek kiegyensúlyozásának néhány kérdése íbel culó zeezete egyeúlyozáá éáy édée íbel culó zeezete egyeúlyozáá éáy édée DR BENKŐJÁNO gátudoáy Egyete Gödöllő Mg Gépt Itézet gyoozgáú gépzeezete tevezéée foto lépée z egyelete, ezgéete üzeet bztoító

Részletesebben

SZAKMAI ÉRTÉKELÉS. az Orgon-készülékről

SZAKMAI ÉRTÉKELÉS. az Orgon-készülékről SZAKAI ÉRTÉKELÉS z Orgo-készülékről Készítette: Prof. Hbil. Dr. Dr. Ph.D. Vicze Jáos, egyetei tár biofizikus Budpest 00. október 8. Trtlojegyzék Trtlojegyzék... Bevezető... 3 A kristályfizik törtéete gyrországo...

Részletesebben

[A MINŐSÍTETT MÉRŐESZKÖZÖK KEZELÉSÉNEK TÁRGYÁBAN KÉSZÍTETT FELMÉRÉS ÖSSZEGZÉSE]

[A MINŐSÍTETT MÉRŐESZKÖZÖK KEZELÉSÉNEK TÁRGYÁBAN KÉSZÍTETT FELMÉRÉS ÖSSZEGZÉSE] 2011. Egészségügyi Szkképző és Továbbképző Itézet [A MINŐSÍTETT MÉRŐESZKÖZÖK KEZELÉSÉNEK TÁRGYÁBAN KÉSZÍTETT FELMÉRÉS ÖSSZEGZÉSE] Részletek z értékelésből A miősített mérőeszközök kezelése részletek z

Részletesebben

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar Üzleti Tudományok Intézet. Bohák András (szerk.

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar Üzleti Tudományok Intézet. Bohák András (szerk. BUDAPESTI ŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOÁNYI EGYETE Gzdság- és Tásdlomtudomáy K Üzlet Tudomáyok Itézet Bohák Adás szek. BEFEKTETÉSEK okttás segédyg Íták: Ado Gyögy I. fejezet Bohák Adás VI-VII. fejezet Edős Péte

Részletesebben

SMART, A TÖBBSZEMPONTÚ DÖNTÉSI PROBLÉMA EGY EGYSZERŰ MEGOLDÁSA 1

SMART, A TÖBBSZEMPONTÚ DÖNTÉSI PROBLÉMA EGY EGYSZERŰ MEGOLDÁSA 1 III. Évfolym. szám - 008. úius Gyrmti József Zríyi iklós Nemzetvédelmi Egyetem gyrmti.ozsef@zme.hu SRT, TÖBBSZEPONTÚ DÖNTÉSI PROBÉ EGY EGYSZERŰ EGODÁS bsztrkt cikk egy többszempotú dötési módszert mutt

Részletesebben

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET ε ε hullámegelet: Mérökizikus szak, Optika modul, III. évolam /. élév, Optika I. tárg GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 6. AJÁNLOTT SZAKIRODALOM: ELMÉLETI ALAPOK Maxwell egeletek E(

Részletesebben

Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai

Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji AOK - Rezides képzés Király Gyul Az operációkuttás rövid Mérföldkövek törtéete II. világháború ltt strtégii és tktiki ktoi műveletek (operációk) tudomáyos kuttási

Részletesebben

5. gyakorlat Konfidencia intervallum számolás

5. gyakorlat Konfidencia intervallum számolás 5. gykorlt Kofdec tervllum zámolá. Feldt Cél: Normál elozlá gyor áttektée. Az IQ tezteket úgy állítják öze, hogy tezt eredméye éeége belül ormál elozlát kövee 00 ot átlggl é 5 ot zórál. A éeég háy zázlék

Részletesebben

Az átdolgozott ÖWAV 207-es osztrák irányelv új segédlete hőcsóva számításhoz talajvízben

Az átdolgozott ÖWAV 207-es osztrák irányelv új segédlete hőcsóva számításhoz talajvízben Az átdolgozott ÖWAV 207-es osztrák irányel új segédlete hőcsó száításhoz tljízben Beezetés Dr. Vsári Vilos Ingenieurbüro für Kulturtechnik und Wsserwirtschft, Grz A geoteri int egújuló energiforrás fenntrthtó

Részletesebben

Bruttó kereslet Nettó kereslet (1) 5. elıadás: Vétel és eladás indulókészlettel; Intertemporális választások. Indulókészlet

Bruttó kereslet Nettó kereslet (1) 5. elıadás: Vétel és eladás indulókészlettel; Intertemporális választások. Indulókészlet (C http://kgt.be.hu/ 5. elıadás: Vétel és eladás idulókészlettel; Itetepoális választások uttó keeslet ettó keeslet ( uttó keeslet: ait a fogyasztó téylegese elfogyaszt (hazavisz a piacól ( ( Jele:, vagy,

Részletesebben

Sztochasztikus tartalékolás és a tartalék függése a kifutási háromszög időperiódusától

Sztochasztikus tartalékolás és a tartalék függése a kifutási háromszög időperiódusától Sztochasztkus tartalékolás és a tartalék függése a kfutás háromszög dőperódusától Faluköz Tamás Vtéz Ildkó Ibola Kozules: r. Arató Mklós ELTETTK Budapest IBNR kfutás háromszög IBNR: curred but ot reported

Részletesebben

Modul I Képzési szükségletek elemzése

Modul I Képzési szükségletek elemzése Modul I Képzési szükségletek elemzése A Képzési szükséglet-elemzési kézikönyv szerzoje: Instituto do Emprego e Formção Profissionl 1 Képzési szükségletek elemzése A következo oldlkon Önnek módj lesz föltenni

Részletesebben

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6. Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

Megjegyzések a mesterséges holdak háromfrekvenciás Doppler-mérésének hibaelemzéséhez

Megjegyzések a mesterséges holdak háromfrekvenciás Doppler-mérésének hibaelemzéséhez H E L L E R MÁRTA DR. FERENCZ CSABA Megjegyzések esteséges holdk háofekvencás Dopple-éésének hbelezéséhez ETO 62.396.962.33.8.46: 629.783: 88.3.6 Mnt z á előző ckkünkből [] s set, kuttás bn és esteséges

Részletesebben

1. Operáció kutatás matematikát matematikai statisztika és számítástechnika. legjobb megoldás optimum operációkutatás definíciója :

1. Operáció kutatás matematikát matematikai statisztika és számítástechnika. legjobb megoldás optimum operációkutatás definíciója : 1. Operácó kutatás Az operácó kutatás 1940 ó ta smeretes. Bár a techka felő dés, a termelés folamatok szervezése már korábba s géelte a matematka eszkö zö k felhaszálását, - amelekbe fellelhető k az operácó

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

Jegyzőkönyv. Termoelektromos hűtőelemek vizsgálatáról (4)

Jegyzőkönyv. Termoelektromos hűtőelemek vizsgálatáról (4) Jegyzőkönyv ermoelektromos hűtőelemek vizsgáltáról (4) Készítette: üzes Dániel Mérés ideje: 8-11-6, szerd 14-18 ór Jegyzőkönyv elkészülte: 8-1-1 A mérés célj A termoelektromos hűtőelemek vizsgáltávl kicsit

Részletesebben

PÁLYÁZATI ÚTMUTATÓ. a Társadalmi Megújulás Operatív Program keretében

PÁLYÁZATI ÚTMUTATÓ. a Társadalmi Megújulás Operatív Program keretében PÁLYÁZATI ÚTMUTATÓ Társdlmi Megújulás Opertív Progrm keretében Munkhelyi képzések támogtás mikro- és kisválllkozások számár címmel meghirdetett pályázti felhívásához Kódszám: TÁMOP-2.1.3/07/1 v 1.2 A projektek

Részletesebben

STATISZTIKA 1. KÉPLETGYŰJTEMÉNY. alapfogalmak egy ismérv szerinti elemzés két ismérv szerinti elemzés standardizálás indexszámítás

STATISZTIKA 1. KÉPLETGYŰJTEMÉNY. alapfogalmak egy ismérv szerinti elemzés két ismérv szerinti elemzés standardizálás indexszámítás STTSZTK. KÉPLETGYŰJTEMÉY alaogalma eg smér szer elemzés é smér szer elemzés sadardzálás dexszámíás . LPOGLMK..smére íusa TEÜLET, DŐEL, MŐSÉG, MEYSÉG. MŐSÉG omáls (éleges) soaság eleme alamle uladoságo

Részletesebben

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén Kis Tigris Gimázium és Szkiskol Készségszit-mérés és - fejlesztés mtemtik kompeteci területé Vlj Máté 0. Bevezetés A Második Esély A Második Esély elevezés egy oly okttási strtégiát tkr, melyek egyik legfő

Részletesebben

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent

Részletesebben

Nemlineáris függvények illesztésének néhány kérdése

Nemlineáris függvények illesztésének néhány kérdése Mûhel Tóth Zoltán docens, Károl Róbert Főskola E-mal: zol@karolrobert.hu Nemlneárs függvének llesztésének néhán kérdése A nemlneárs regresszós és trendfüggvének llesztésekor számos esetben alkalmazzuk

Részletesebben

Mátrix-vektor feladatok Összeállította dr. Salánki József egyetemi adjunktus Begépelte Dr. Dudás László és Bálint Gusztáv

Mátrix-vektor feladatok Összeállította dr. Salánki József egyetemi adjunktus Begépelte Dr. Dudás László és Bálint Gusztáv Mátrx-vektor feldtok Összeállított dr. Slánk József egyetem djunktus Begépelte Dr. Dudás László és Bálnt Gusztáv 1. feldt Adottk z n elemű, b vektorok. Képezn kell c vektort, hol c = b / Σ( ), ( = 0,1,,

Részletesebben

V.fejezet. A hatványközepekre vonatkozó egyenlőtlenségek

V.fejezet. A hatványközepekre vonatkozó egyenlőtlenségek V.fejezet Készítette: Pokolá Tás A htváyközepeke votkozó egyelőtleségek V.fejezet A htváyközepeke votkozó egyelőtleségek Vlószíűleg ez z tékö. elye legtö feldtot tlálták ki középiskolások száá, hisze ezek

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár : ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg. Minden

Részletesebben

TARTALOM. Fôszerkesztô: Szatmáry Zoltán

TARTALOM. Fôszerkesztô: Szatmáry Zoltán A Y G K A Az Eötvös Lorád Fiziki Társult hvot egjeleô folyóirt. Táogtók: A Mgyr Tudoáyos Akdéi Fiziki Tudoáyok Osztály, z Eberi Erôforrások Miisztériu, Mgyr Biofiziki Társság, Mgyr Nukleáris Társság és

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

Ě ŕ Ś đ ü ü ö ő ő ö ö ö ö ö ö ö ö ö ź ź ľ ą Ä ľ ľ ö ľ ľ ľ ľ Đ öľ ő ö ö ő ő ľ ő ő ý ľ ő ú ú ő ö ő ú ę ą ő ö ő ű ö ő ő Ü ö ö ľ ś ő ń ä ę ľ Ü ľ ő ü ő ú ľ ľ ö ö ő ü ő ú Á Á ľ ę ő ü ő Á ľ ő ő ü ľ Ę ő ü ö ú

Részletesebben

Magyar Mérnöki Kamara Beszámoló vizsga. Kérdésbank. Felkészülési segédlet. Mintakérdések. Geotechnika GT, SZÉS8. 2014. szeptember 08.

Magyar Mérnöki Kamara Beszámoló vizsga. Kérdésbank. Felkészülési segédlet. Mintakérdések. Geotechnika GT, SZÉS8. 2014. szeptember 08. Mgyr Mérnöki Kr Beszáoló vizsg Kérdésbnk Felkészülési segédlet Mintkérdések Geotechnik GT, SZÉS8 2014. szepteber 08. Trtlojegyzék I. Kérdésbnk....3 II. Mintkérdések..6 III. Felkészülési segédlet.7 1 I.

Részletesebben

Matematikai problémák a közgazdaságtanból

Matematikai problémák a közgazdaságtanból Eötvös Loránd Tudománegetem Természettudomán kr Szkdolgozt Mtemtk problémák közgzdságtnból Konzulens: Dr. Skol Eszter Adjunktus Alklmzott Anlízs és Számításmtemtk Tnszék Készítette: Török Krsztn Mtemtk

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

ÖSSZEHASONLÍTÓ ELEMZÉS

ÖSSZEHASONLÍTÓ ELEMZÉS ÖSSZEHASONLÍTÓ ELEMZÉS AZ X11-ARIMA/88 ÉS A TRAMO/SEATS eljárások lklzásáról unkügyi idősorokon (Előzetes változt) Készítette MultiRáció Kt. Budest, 2006. noveber 1 Bevezetés Társságunk "Az Eberi Erőorrások

Részletesebben

Egészsége és jó közérzete

Egészsége és jó közérzete Egészsége és jó közérzete Kidney Disese nd Qulity of Life (KDQOL-SF ) Ez kérdőív zt méri fel, hogy Ön hogyn vélekedik z egészségéről. Az így kpott információ segíteni fog nyomon követni, hogy Ön hogy érzi

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

6. Laboratóriumi gyakorlat KAPACITÍV SZINTÉRZÉKELŐK

6. Laboratóriumi gyakorlat KAPACITÍV SZINTÉRZÉKELŐK 6. Lbortóriumi gykorlt KAPAITÍV SZINTÉRZÉKELŐK. A gykorlt célj A kpcitív szintmérés elvének bemuttás. A (x) jelleggörbe ábrázolás szigetelő és vezető olyékok esetén. Egy stbil multivibrátor elhsználás

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Okttási Hivtl A 013/014 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Jvítási-értékelési útmuttó 1 Oldj meg vlós számok hlmzán egyenletet! 3 5 16 0

Részletesebben

TERMOELEKTROMOS HŰTŐELEMEK VIZSGÁLATA

TERMOELEKTROMOS HŰTŐELEMEK VIZSGÁLATA 9 MÉRÉEK A KLAZKU FZKA LABORATÓRUMBAN TERMOELEKTROMO HŰTŐELEMEK VZGÁLATA 1. Bevezetés A termoelektromos jelenségek vizsgált etekintést enged termikus és z elektromos jelenségkör kpcsoltár. A termoelektromos

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. KÖZÉPSZINT I. ) Az A hlmz elemei háromnál ngyobb egyjegyű számok, B hlmz elemei pedig húsznál kisebb pozitív pártln számok. Sorolj fel z hlmz elemeit! ( pont) A B AB

Részletesebben

Statisztika. Eloszlásjellemzők

Statisztika. Eloszlásjellemzők Statsztka Eloszlásjellemzők Statsztka adatok elemzése A sokaság jellemzése középértékekkel A sokaság jellemzéséek szempotja A sokaság jellemzéséek szempotja: A sokaság tpkus értékéek meghatározása. Az

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2014. jnuár 23. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z

Részletesebben

Variancia-analízis (folytatás)

Variancia-analízis (folytatás) Variancia-analízis (folytatás) 7. elıadás (13-14. lecke) Egytényezıs VA blokk-képzés nélkül és blokk-képzéssel 13. lecke Egytényezıs variancia-analízis blokkképzés nélkül Az átlagok páronkénti összehasonlítása(1)

Részletesebben

Miért pont úgy kombinálja kétfokozatú legkisebb négyzetek módszere (2SLS) az instrumentumokat, ahogy?

Miért pont úgy kombinálja kétfokozatú legkisebb négyzetek módszere (2SLS) az instrumentumokat, ahogy? Mért pot úgy kombálja kétfokozatú legksebb égyzetek módszere (2SLS az strumetumokat, ahogy? Kézrat A Huyad László 60. születésapjára készülő köyvbe Kézd Gábor 2004. júlus A Budapest Corvus Egyetem rövd

Részletesebben

Minta feladatsor I. rész

Minta feladatsor I. rész Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel!

Részletesebben

VARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA)

VARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA) VARIANCIAANAÍZIS (szóráselemzés, ANOVA) Varancaanalízs. Varancaanalízs (szóráselemzés, ANOVA) Adott: egy vagy több tetszőleges skálájú független változó és egy legalább ntervallum skálájú függő változó.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym AMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

LINEÁRISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁRISAN ÖSSZEFÜGGŐ VEKTOROK. csak úgy teljesül, ha minden 0. úgy is teljesül, hogy van olyan 0

LINEÁRISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁRISAN ÖSSZEFÜGGŐ VEKTOROK. csak úgy teljesül, ha minden 0. úgy is teljesül, hogy van olyan 0 www.esymths.hu mtek ilágos oll Mosózi Arás LINEÁISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁISAN ÖSSZEFÜGGŐ VEKTOOK esymths.hu DEFINÍCIÓ: A... ektorok lieáris összefüggők, h... úgy is teljesül, hogy oly i Nézzük ezekre péákt!

Részletesebben

DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár RÁCSOS TARTÓK

DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár RÁCSOS TARTÓK we-lap : www.hild.gyor.hu DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár e-mail : deme.ferenc1@gmail.com STTIK 47. RÁCSOS TRTÓK rácsos tartók két végükön csuklókkal összekötött merev testekől állnak. z így

Részletesebben

A vezetői munka alapelemei - Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai

A vezetői munka alapelemei - Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai A vezetői muk lpelemei - Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji Szkgyógyszerész-jelöltek képzése Király Gyul Az operációkuttás rövid Mérföldkövek törtéete II. világháború ltt strtégii és tktiki ktoi

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz

Részletesebben

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei 7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,

Részletesebben

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek Defiíció: R, Z Htváyozás és égyzetgyök 0 h 0... ( téyezős szorzt) h h 0, 0. A htváyozás zoossági: : m ( ) m m m m m Defiíció: Az x vlós szám ormállkják evezzük z hol 0 és egész szám. 0 kifejezést, h x

Részletesebben

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009 Olimpii ször, Dobos Sádor 008/009 008 szeptember 9 Eze szörö Cev és Meelosz tételt eleveítettü fel, több gyorló feldttl, éháy lehetséges áltláosítássl További feldto: = 6 (=,, ) Htározzu meg z összes oly

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt1 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2013. jnuár 18. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

Vályogos homoktalaj terepprofil mérése

Vályogos homoktalaj terepprofil mérése Vályogos hooktalaj terepprofl érése Pllnger György Szent István Egyete, Gépészérnök Kar Folyaatérnök Intézet, Járűtechnka Tanszék PhD hallgató, pllnger.gyorgy@gek.sze.hu Összefoglalás A terepen haladó

Részletesebben

Interjú Dr. VÁRY Annamáriával

Interjú Dr. VÁRY Annamáriával 18 Interjú Dr. VÁRY Annmáriávl MA MÁR NEM PÁLYÁRA, HANEM ÁTMENETEKRE ÉS MÓDOSÍTÁSOK SOROZATÁRA KELL FELKÉSZÜLNI. D r. Váry Annmári kliniki és pálytnácsdó szkpszichológus, pszichoterpeut, Wekerle Sándor

Részletesebben

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET .. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9.

Részletesebben

Függvények, 7 8. évfolyam

Függvények, 7 8. évfolyam Függvének, 7 8. évfolm Orosz Gul 01. június 8. TARTALOMJEGYZÉK Trtlomjegzék Feldtok 7 1. Grfikonok................................... 7. Geometrii trnszformáiók.......................... 19 3. Geometrii

Részletesebben