1. Mi az érték és a hasznosság kapcsolata, és a hasznosság definíciója!

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "1. Mi az érték és a hasznosság kapcsolata, és a hasznosság definíciója!"

Átírás

1 . M z éték és hszosság kpcsolt, és hszosság defícój! Az éték, hszosság egy embebe, egy embe sztuácób lkul k, egy yg jószág, egy tágy ömgáb hszotl. Hszosságot tuljdoítuk mdeek legye z yg vgy em yg jószág, m tásdlom vlmely tgják vlmely szükségletét kelégíthet, mt vlk hszosk, étékesek tt. Melyk két lpvető válsztás mechzmus, m jellemz homo oecoomcus öédekkövetését? A két lpvető válsztás mechzmus: coáls dötés és tásdlm omák szet válsztás. A homo oecoomcusál coltás z egyé öédekkövetés oly fomájkét jelek meg, melyél z egyé hszosságézete függetleített tásdlm omáktól, ekölcs szbályoktól és ehhez hsolóktól. Itt z coáls cselekedet, m z embe öédekéek megfelelő, mltt z öédek legkább csk vlm öömszező, lletve kít elkeülő jószág megszezése lehet. M jellemz z ltust vselkedést, és mkét mgyázhtó ez s z öédekkövetéssel, mkét áylhtjuk, bővíthetjük homo oecoomcus dkáls képét áltláos évéyessé? Altust vselkedésko készek vgyuk más embeek hszosságák övelésée sját hszosságuk csökketéséek áá. Lehet pesze, hogy z ltusták tűő vselkedés mögött mégs z öédekkövetés áll, pl. úgy, hogy vlójáb később vszozásb eméykedük lyeko, sját pesztízsük övelése céluk. A homo oecoomcus coltást kegészíthetjük tásdlm omák, ekölcs szbályok, ltust jellegű cselekedetek, esetleg pszchológ jellegű vágyk követéséek coltásávl úgy, hogy z ezekét kphtó tásdlm megbecsülést, lletve belső öömöt, öbecsülést, megyugvást s beépítjük coáls vágyk közé. Mkét gdhtjuk meg z embeek cselekedeteek áltláos mozgtóját? Az embeek hszosságmxmlzálók, étékmxmlzálók. Áltláos szbálykét foglmzhtjuk meg, hogy z embeek cselekedetet váhtó hszosságuk mxmlzálás vezél, mél több számuk étékes jószág élvezetét póbálják elye. Mgyázz el, hogy ökétes cseéke keesztül mkét őhet tásdlom gzdgság, lletve évelje mellett, hogy keeskedés s temelőtevékeységek tekthető! Az ökétes cseékél em egyelő étékek cseéjéől v szó h így lee, em s fászták mgukt cseével, mdkét fél ye cseé. Az ökétes cseék tehát gzdgítják tásdlmt. Bá keeskedés soá kézzelfoghtó újt em állítk elő, pusztá vlág jvt edezk étékesebb fomáb, ez ge hsoló hhoz, mt mko p vgy mezőgzdság temelés csopotosít dolgokt például lpygokt, mukeőt, eeghodozót étékesebb fomák. A keeskedés csee yból áltláb más, hogy cs mögötte techológ, de múgy temelőtevékeységek tekthető, hsze z embeeket jobb helyzetekbe hozz, gzdgítj őket. M z ltetív költség megközelítés léyege? Cseékél cseepteek vlmlye emélt hszosságét cseébe válllk áldoztokt, költségeket. Akko áldoztokt, költségeket, meyt ét ét vol számuk beáldozott, elcseélt jószág. A költségek tehát em megszezett jószágokkl kpcsoltosk, hem beáldozottkhoz, cseé keesztül elvesztettekhez kötődek. z z ltetív költség felfogás lpj. Mgyázz el, hogy htékoyság mét szubjektív foglom! A htékoyság vlm eedméy és vlm befektetett áy. Két éték áy tehát: kbocsátás étékéek és z hhoz felhszált eőfoások étékéek háydos. Azob em objektív dolgokól v szó, hsze z eedméy és befektetett vlmféle szubjektív étékelés lpjá keül meghtáozás. Lehetek objektív lkotóelemek s fogysztás, mukó, bekeülés éték, kbocsátott meység, bevétel stb., zob z étékek hozzáedelése számos eőse szubjektív észt s ttlmzht. Éppe ez z ok, hogy számos dolog htékoyságáól ételmességéől, helyességéől yt vttkozk z embeek. A kédés lyeko vlójáb em z, hogy Melyk változt htékoybb?, hem z, hogy Kek jog döte változtok között?. A tuljdojogok és tövéy szbályozások dötk el, hogy kek z étékítéletee v bízv vlm htékoyságák megítélése.

2 . Mét em váhtó éték, hem váhtó hszosság mxmlzálásák modelljéből duluk k közgzdság elemzésekko lpképletek és áb s? Az megközelítés, mely szet z embeek kockáztos helyzetekbe leggyobb váhtó étékű lehetőséget válsztják, zz mtemtk ételembe keesk váhtó mxmumot, legtöbbszö csődöt mod vlós vselkedések mgyáztko. Jobb modellek tűk, mszet kockáztos helyzetekbe hozott dötésekél em z egyes kmeetelek pézösszegét súlyozzuk vlószíűségekkel, hem pézösszegek következméyét, hszosságát. A váhtó éték mxmlzálás helyett tehát váhtó hszosság mxmlzálásából duluk k. Mt jelet hszosság foglm áltláb, és mt jelet péz csökkeő htáhszosság? Hszosságot tuljdoítuk mde oly yg vgy em yg jószágk, mely képes szükségletet kelégíte, és melye votkozó tásdlom vlmely tgják háyézete v. A péz újbb egységeek btoklás más jószágokhoz hsoló egye csökkeő többletélvezetet yújt, zz btokolt meységéek függvéyébe csökke htáhszosság. A péz csökkeő htáhszosságávl mgyázhtó z embeeke áltláb jellemző kockáztkeülés jelesége s. M hozm, k omál és eál fomáj képletek s? A hozm befektetett és vsszkpott összeg áyát muttj egységy dőszk edszet egy éve votkozttv, tehát egyfjt péztemelő teztást fejez k. Az egységy dőe megdott hozmot több dőegysége kmtos kmt elvét követve tejeszthetjük k. A omál hozm mgáb fogllj z flácót s, míg eálhozm vlós pézövekedés ütemet tüköz. M kockázt pézügy foglm, mét tételezük fel omáls eloszlásokt, m kockáztos hozm? Kockázt ltt k lehetőségét étjük, hogy vlós pézösszeg, így hozm s, eltéhet váhtótól. Temészet tövéy, hogy sok, függetle htás eedőjekét klkult véletle jeleségek omáls eloszláshoz közelíteek, így joggl tételezhetjük fel, hogy kockáztos pézügy jeleségek áltláb omáls eloszlásúk. A hozm kockáztosság ylvá bból eed, hogy jövőbel pézámlások kockáztosk. Mvel pézámlások kockázt omáls eloszlásúk tekthető, így hozm kockáztosság s. Bá közgzdságtb, pézügyekbe sttsztk ételmű foglmkkl dolgozuk, mdez csk több kovecó mellett lehetséges. Mk ezek? Kulcsszvk: eltív gykoság - ht fok; tudásháy; objektív és szubjektív vlószíűség; kockázt és bzoytlság. A vlószíűség mtemtk ételembe gy számb smétlődő eseméy egyk kmeeteléek eltív gykoság, potosbb e eltív gykoság htáétéke. A közgzdságtb vszot ez így legtöbbszö ételmezhetetle, hsze edszet egyed em smétlődő esetekől v szó, lye esetekbe kell döteük. bből kfolyólg tt em eltív gykoságok, kább z eseméy kmeetelevel kpcsoltos htük fok sszocáluk, zz tudásháyukt több lehetséges végkfejlethez kpcsolt ht eősségével fejezzük k. H e ht sttsztk dttömege yugszk, kko objektív, h szubjektív becslése, kko szubjektív vlószíűségől beszélük, bá legtöbbszö múltbel dtok sttsztk dttömegkét vló elfogdás s szubjektív. A temológ szet kockáztól kko beszélük, h smejük egy véletle eseméy lehetséges kmeetelet és zok vlószíűséget s, míg bzoytlk moduk egy helyzetet, h lehetséges kmeeteleket és/vgy zok vlószíűséget em smejük. zek lpjá zt modhtjuk, hogy közgzdságtb kockáztos helyzetekkét modellezük múgy bzoytl helyzeteket. [ ] p w W mx [ U ] p U w W mx F F F 0 0 F F 0 F0 omál eál flácó F

3 3. Mutss be váhtó hozm - szóás modell elv hátteét egyetle közömbösség göbéje előállításák bemuttásávl! A váhtó hozm - szóás modell egy-egy göbéje oly potokt köt össze, melyek váhtó hozm - szóás kombácó egy dott befektető számá zoos váhtó hszosságézetet yújtk, melyek között válsztást tektve közömbös. U U* B C D FB FC FD FA Az első ábá bztos eset mellett háom oly váhtó étékű és szóású omáls eloszlássl jellemezhető befektetés lehetőséget láthtuk, melyek ugyzo váhtó hszosságsztet dják. A másodk ábá má váhtó hozmokt ételmezük, göbe végtele sok U*-ú kombácót mutt, míg hmdko több göbét, zz egy ú. közömbösség-téképet láthtuk. Meybe tekthető áltláosk kockáztkeülést muttó váhtó hozm - szóás pefeec-tékép, m jeletése eek, hogy íhtó le egy közömbösség göbe, és m dj z egyé eltééseket? Ameybe áltláosk tektjük, hogy péz eseté s évéyes csökkeő htáhszosság elve, úgy kockáztkeülés áltláos jeleségét s elfogdjuk. Ilye lkú hszosság függvéy eseté ugys yet hszosságok ksebbek, mt z ugykko pézösszegek elvesztésével vesztett hszosságok, zz keüljük szmmetkus mtemtk ételembe egyébkét koekt helyzeteket, lletve gyobb kockáztét szóásét gyobb váhtó hozmot váuk el. z kockáztkeülés. Az áb-soozt s lye beállítottságú embet vázol, kek közömbösség göbé z U- 0,5A képlettel íhtó le, hol z A poztív szám z ú. kockáztkeülés együtthtó. Bá ettől eltéő beállítottság kockázt közömbösség vgy kockázt kedvelés s lehetséges, ez tekthető áltláosk, egyé külöbségek legkább csk kockáztkeülés métékébe A gyságáb, U-göbék felfelé hjlásáb vk. Mt étük közgzdság coltás ltt? A közgzdság coltás legjobb Neum-Mogeste-féle hszosságelmélete keesztül gdhtó meg. z bból dult k, hogy z embeek dötések soá következetese fetebb vázolt jellegű hszosságfüggvéyük szet mxmáls váhtó hszosság töekedek. M bztos hozm-egyeétékes és kockázt hozm-pémum képlet és áb s? gy kockáztos befektetés bztos egyeétékese z C összeg, lletve C hozm, mely ugyzt hszosságváltozást eedméyez bztos, mt mt kockáztos befektetés ígé váhtó, zz UC[UX], lletve C-0,5A. A kockázt pémum RP lletve RP bztos egyeétékes felett zo váhtó éték, lletve váhtó hozm, mely éppe válllt kockázt kompezálását jelet, zz RPX-C, lletve RP - C. F D C B RP C A B C D U 5 U 4 U 3 U U U*

4 4. M potfóló? A potfóló elem befektetésből álló befektetés-csomg, kockáztos omáls eloszlássl jellemezhető befektetések összessége. Mkét dhtó meg potfóló váhtó hozm és szóás kockázt, meybe függek ezek potfólóelemek sztochsztkus kpcsoltedszeétől? A potfóló váhtó hozm észek váhtó hozmk súlyozott átlg, ez tehát em függ észek sztochsztkus kpcsoltedszeétől: Mekko egy sok-elelmű potfóló szóás, 0 és kettő között koelácós együtthtók eseté? A potfóló szóás kockázt zob emcsk z egyes észek szóásk összegéből fkd, hem észek között koelácós kpcsoltedszetől s függ: Ameybe teljes függőségől v szó, zz páokét koelácók -ek, potfóló szóás tgok átlgos szóásávl egyelő. H páokét koelácók 0-ák, véglete sok elemű potfóló eseté szóás ullához tt. Köztes és befektetésekél egybe áltláos esetbe, mko tgok között koelácók 0 és közöttek, kko z elemszá övekedésével tgok vlmekko szóást koltk, zz vlmeye csökketk potfóló szóását, de mvel vlmlye métékű együttmozgás tedec v hsze koelácók poztívok, potfóló szóás em csökke ullág. Mét ttk befektetők potfólókt? A befektetők potfóló-ttásák z előzőekbe vázolt szóáscsökkeés dj z ételmét, z, hogy befektetés megosztásávl, dvezfkálásávl kockáztkeülő befektető gyeese csökkethet válllt kockáztát. M htékoy potfóló? Htékoy potfólókál dott váhtó hozmot legksebb kockázt mellett, lletőleg dott kockáztot leggyobb váhtó hozmot mellett kphtuk. Htékoy potfólót dvezfkácó mxmáls kkázásávl, zz végtele sok elemű potfólóvl állíthtuk elő. Ábázolj és mgyázz Mkowtz-féle modellt! Mét külööse boyolult befektető válsztás Mkowtzféle modellbe? A Mkowtz-féle modellbe tőkepc kíált befektetéseket és z ezekből összeállíthtó potfólók hlmzát tojáshéjlkú áb szemléltet. A tojáshéj peemé vk htékoy potfólók. Befektető hszosságmxmlzálást, kockáztkeülést és coltást feltételezve ylvávló, hogy z egyes befektetők tt helyezkedek el potfólókkl ld. B, B potok bbe modellbe zét külööse boyolult befektető válsztás, met egy-egy befektetés elevás kockázták megállpításához potfólób lévő összes több befektetéssel vló koelácós kpcsoltát fel kellee téképez, ádásul befektetők áltl ttott htékoy potfólók sem zoosk, így ez kpcsoltedsze még egyéekét s eltéő.... ;... P j j j j P k,,,... átlgos P j k ;, 0... ; ; 0;, átlgos átlgos átlgos átlgos átlgos P átlgos j k

5 5. Vezesse le, hogy befektetők potfólóttás pc potfóló és kockáztmetes befektetés vgy htelfelvétel kombácójávl modellezhető! melje k, hogy mlye egyszeűsítő feltételezésekkel juthtuk Mkowtz-féle modelltől Shpe-féle modellg, ott me egyszeűsödek befektető potfólók! Részletese mgyázz meg, hogy ho tudjuk, hogy z egyes befektetők éppe pc potfólóvl zoos szekezetű kockáztos potfólót ttk! A Mkowtz-féle modell szet befektetők mxmáls élek zzl lehetőséggel, hogy befektetésük megosztásávl dvezfkálásávl befektetés csomgjuk kockáztát csökkethetk, zz htékoy potfólókt ttk. Shpe tovább peemfeltételek bevezetésével e befektető htékoy potfólókt közelítette máskét. Tökéletes tőkepcot sok, áelfogdó befektető; pefeecák htástl dók és szbályzók; tökéletes fomáltság, ull tzkcós költség tételezett fel; vlmt oly potfóló-ttó, k váhtó hozm - szóás vszoyát optmlzáló befektetőket, kk fomáltság, közgzdság okoskodás, így étékppíokkl kpcsoltos vákozás megegyezk. z utóbb homogé vákozások hpotézse, m képszeűe yt jelet, hogy befektetők tojáshéj ugy ott v. Továbbá, befektetés lehetőségeket tőzsdé foglmzott, kockáztos pézügy eszközöke, vlmt ögzített fx kmtú kockáztmetes befektetés és htelfelvétel lehetősége osztott. feltételezésekkel Shpe egyészt bővítette befektetés lehetőségek köét kockáztmetes lehetőség bevoásávl, másészt egységesítette homogé vákozások feltételezésével, mjd befektető válsztást ebbe z új vlágb vzsgált. A legjobb befektetés lehetőségek, zz válsztott befektető potfólók tt tojáshéjt étő egyeese tlálhtók. ek egyes potj egyetle út vezet: tojáshéj étőpotját kell kockáztmetes befektetéssel vgy htelfelvétellel kombál. Mdebből következk vszot, hogy befektetők md ugyoly összetételű kockáztos potfólót ttk, mjd ezt kombálják egyéleg kockáztmetes lehetőséggel. H zob mdek ugyoly szekezetű kockáztos potfólót tt, kko eek szekezete meg kell egyezze z egész kockáztos tőkepcot jelető ú. pc potfolóévl. H ugys z egyes befektetők kockáztos potfólój zoos szekezetű, kko összességükek s lye szekezetű kockáztos potfólój. A befektetők összességéek potfólóját vszot smejük, ez z M pc potfóló. Így vszot smejük z egyekét ttott kockáztos potfólók összetételét s, ez szté M. A befektető potfóló-ttás zz z, válsztás tehát pc potfoló és kockáztmetes lehetőség befektetés vgy htelfelvétel egyed f, M kombácójkét íhtó le: M f f f M M M tőkepc egyees? M A modell szet befektetők md z ú. tőkepc egyeese helyezkedek el potfólókkl, hsze tt tlálhtók tőkepc kíált legjobb váhtó - éték szóás változtok. Az egyees kockáztmetes lehetőséget és pc potfólót köt össze szóás váhtó hozm edszebe. A Shpe-féle modellbe z egyes befektetők zoos potfólókt ttk? A befektetők Shpe-féle modellbe sem ttk zoos potfólókt, modell csupá yt állít, hogy befektetők potfólók kockáztos észe zoos z M, de kockáztmetes külöböző. M

6 6. Vezesse le, hogy egy befektetés étékppí befektetők számá jeletkező elevás kockázt pc potfóló szóásák és befektetés étékppí bétáják szozt! M és mét ytj meg z utt elevás kockázt egységes megdásá? gy kcs súlyú potfólóész mkét ht z egész potfóló váhtó hozmá és kockáztá, szóásá külöböző koelácós együtthtók esté? M kktesztkus egyees és bét, mlye észeke botjuk fel ezekkel teljes kockáztot? Mekko elevás kockázt bét függvéyébe? A befektetők potfólók pc potfóló és kockáztmetes befektetés lletve htelfelvétel ttásávl vló modellezése ytj meg z utt befektetések elevás dvezfkácó utá vlób megjeleő kockázták egységes megdásá. A em egységese ttott kockáztmetes ész dvezfkácób ugys em vesz észt, lévé cs s szóás hsze kockáztmetes, így egy kcs súlyú étékppí elevás kockázt csk z egységese ttott pc potfólóvl vló sztochsztkus kpcsolttól függ mjd. potfólóész váhtó hozm egyszeűe beátlgolódk potfóló egészébe, h váhtó hozm potfóló váhtó hozmáál gyobb, kko emel zt, h ksebb, csökket. Szóásák htás má boyolultbb, ez ttól függ, hogy mekko z M és között koelácós együtthtó tt potfóló kockáztmetes észe em számít. H ez, kko tt s beátlgolódásól v szó, h 0, kko szóás teljese elmálódk M-be. H -, kko kfejezette csökket M szóását, hsze egtív előjellel átlgolódk be lyeko. A köztes esetekbe észbe elmálódásól, észbe beátlgolódásól v szó. Mdeze elmálódás beátlgolódás htások egyetle pméteel, z és M hozm között egesszós kpcsolt egesszós egyeeséek meedekségével meggdhtók. zt egesszós egyeest pézügyekbe kktesztkus egyeesek evezzük, eek meedekségét jelöljük β-vl. A bét képletéből jól láthtó, hogy z elevás kockázt egyészt szóásák gyságától, másészt pedg koelácós együtthtótól függ, zz ttól, hogy ebből szóásából mey em elmálódk pc potfólób, lletve, hogy poztív vgy egtív kpcsoltól v szó. A bétávl, lletve kktesztkus egyeessel teljes szóását kockáztosságát léyegébe két észe botjuk: M-től függő ú. pc em dvezfkálhtó, szsztemtkus és M- től függetle epszloos, dvezfkálhtó, em szsztemtkus észeke: β M ε Az M-től függetle epszloos ész 0 koelácójú tgk számít, elmálódk potfólób, eek tehát cs htás. Az M-től függő ész dj elevás kockáztát, ez -es --es észek számít, beátlgolódk potfóló szóásáb. H e tg gyobb mt M, zz β>, kko övel potfóló kockáztát, h ksebb, zz zz β<, kko csökket. Összességébe elmodhtjuk tehát, hogy kockáztos potfólókét pc potfólót ttó befektetők eseté egy étékppí befektetés elevás kockázt szóás: β M β k, M M β ε M

7 8. Ábávl és képlettel s dj meg CAPM-t! M z étékppí-pc egyees? Az étékppí-pc egyees kockáztmetes lehetőség és pc potfóló potjt köt összes bét zz elevás kockázt váhtó hozm koodát edszebe. Mgyázz el, hogy mét kell, hogy tőkepc váhtó hozmokk béták szet edeződük! Beláttuk, hogy meybe elfogdjuk, hogy befektetők potfólók kockáztos észe egységese pc potfóló egy étékppí mévdó, elevás kockázt β M, zz lévé M kostsk tekthető elevás kockáztot béták mék. Mvel z elvát hozm - kockázt áltláos kpcsoltedszee ylvá csk elevás kockáztok eflektál, így tőkepc befektetésekek em teljes kockázt, hem csk pc kockázt mévdó. zt bét dj meg, tehát befektetők hozmelváás, így tőkepc váhtó hozmok béták szet kell lkuljk. Külö s észletezze k pc mechzmusk működését, m váhtó és z elvát hozmokt kegyelít! A tőkepc váhtó hozmok mét em kompezálk dvezfkálhtó kockázt válllásáét! A tőkepco z áfolymok mozgtásávl pc szbdo beállíthtj egy-egy befektetés váhtó hozmát. Mvel tőkepc eseté jól működő, veseyző pccl v dolguk, e beállítások, zz váhtó hozmok, z elváásokhoz kell gzodjk. H ugys váhtó hozm mgsbb z elvát sztél, kko befektetők tovább észvéyvásálás megemelk z át és ezáltl csökketk váhtó hozmot, h váhtó hozm lcsoybb, kko befektetők eldás vezetek kegyelítődés felé. A pc eő tehát mde étékppít ákéyszeíteek z elváásokt kfejező étékppí-pc egyeese, h ól vlmelyk elmozdul, oly eők kezdeek ht, melyek vssztéítk á. H befektetőkek kockázt pémum ext hozm já dvezfkálhtó egyed, em szsztemtkus kockázt válllásáét, kko sok, gy egyed kockáztú észvéyből összeállított potfolók gyobb váhtó hozmot kíálák, mt z ugykko pc em dvezfkálhtó, szsztemtkus kockáztú, de ksebb egyed kockáztú észvéyekből álló potfolók. A befektetők észlelve mdezt, gyobb hozdékot ígéő, de htékoy potfólób ttv zoos potfóló-kockáztosságot eedméyező első változtot keesék, zz gy egyed kockáztú étékppíok vdászák, és keülék z ugykko bétájú, de ksebb egyed kockáztú ppíokt. zzel fölveék gy, és levék ks egyed kockáztó észvéyek áát. Mvel z áfolym és váhtó hozm elletétese változk, folymt mdddg tt, míg z zoos bét-étékű észvéyek váhtó hozm k em egyelítőde, és dvezfkálhtó kockázt válllásáét em lehete kockázt pémumot kp. Mde más kfejlet elletmod befektető coltás elvéek. Me utlk CAPM-összefüggés észe? A CAPM-be z f utl z dőét jáó jutlom hsze eek ull kockázt, míg β M - f dj kockázt válllásáét jáó jutlmt, pémumot. M CAPM specltás több tőkepc modellhez képest? A CAPM specltás, hogy tőkepco em dvezfkálhtó zz elevás kockáztot pc potfóló kockáztos potfólókét vló ttásák feltételezésé keesztül β pmétee keesztül gdj meg. étékppípc egyees pc potfoló f β M f M f β

8 9. A CAPM mét em jelet szkítást váhtó hozm - szóás votkozttás edszeel? A CAPM vlójáb em szkd el váhtó hozm szóás votkozttás edszetől. A bét-változó végeedméybe egy szóás gyságát tüköz: zt muttj meg, hogy potfóló keesztül válllt szóás elevás kockázt háyszoos pc potfóló szóásák. Mgyázz el, hogy m külöbség tőkepc egyees és z étékppí-pc egyees között áb s kell! A tőkepc egyeese z egyes befektetők pc potfólóból és kockáztmetes befektetésből vgy htelfelvételből álló potfólók váhtó hozm - szóás koodátát tláljuk. A tőkepc egyees vlójáb tőkepc kíált lehetőségekből összekott legjobb potfólókt tkj. Az ábához kpcsolódó tojáshéj kockáztos tőkepc lehetőségeket észvéyeket ömgukb és külöböző potfóló-kombácókb muttj teljes kockáztukkl. A CAPM függőleges tegelye szté váhtó hozm, vízsztes tegelye vszot em teljes kockáztok szeepelek, hem csk elevás kockázt észek, potosbb kostsk tektett pc potfóló szóást elhgyv csk e kockázt ész lppmétee, bét. A bét végeedméybe tehát egy szóás gyságát tüköz: zt muttj meg, hogy elevás szóás háyszoos pc potfoló szóásák. A CAPM egyeese z étékppí-pc egyees. Az egyed befektetések étékppí-pc egyeese jelölt elevás kockázt pc potfólób vló dvezfkácó mtt ksebb, mt tojáshéjb jelölt teljes kockáztuk. Példkét legfelső pot-pá ábázolv. Mét hbázk z, k em htékoy potfólót tt? A váhtó hozm mdg csk pc kockáztához gzodk. Azok, kk em htékoy potfólókt ttk, pc észél gyobb kockáztot vselek el, de csk pc kockázt észhez lleszkedő váhtó hozmot kpják kompezálásk. z hb. Mét léyeges kédés béták stbltás? A béták stbltás zét léyeges, met meybe z étékppíok bétá dőől dőe jeletősebbe változák, CAPM gykolt hszálhtóság csekély lee. A méések szet vszot béták vszoylg stblk, így becslésükhöz felhszálhtók z étékppí és pc potfóló múltbel hozmdt, zz béták méhetők, becsülhetők. gy üzlet tevékeység bétáj k stbl jellemzője. e utl kktesztkus egyees elevezés s. Vázolj CAPM teszteléseek szokásos meetét és áltláos eedméyét!

9 0. M jelet kdulást tőke költségéek CAPM lpjá tötéő meghtáozásko? Tőkés pcgzdságból vló kdulásuk szet tőke ltetív költsége tőkepc zoos kockáztú befektetés lehetőségeek váhtó hozmávl egyelő. ek meggdásá hszáljuk CAPM-et: lt β f pojeklt M f M globáls megközelítés, mlye következméye vk vlut- és oszág-kockáztok? Mdehhez globáls megközelítést hszáluk, hsze emzetköz dvezfkácó tovább kockáztcsökketés lehetőségeket hodoz. A emzetköz sztű dvezfkácó vszot több vlut ttását s feltételez, mely vluták külöböző kockáztot hodozk. zek zob oly kockáztok, melyek több vlut ttásávl elmálhtók, így vlut kockáztok dvezfkálhtók. Hsoló helyzet z oszág-kockáztokkl, ezek mt kockáztok! szté dvezfkálódk. Mutss be kockáztmetes hozm megdásák és z átlgos pc kockázt pémum megdásák módszetát! A kockáztmetes hozm megdásko ktuáls étéket keesük. A vsszfzetés kockázt kszűéséét állmkötvéyek hozmt vzsgáljuk, míg z flácó okozt tozítást h pézámlás-becslés eál volt ezt szükségessé tesz flácódexelt állmppíok hozmák fgyelembevételével szűjük k. Bá globáls befektető számá válsztott vlutem közömbös, z USA jeletős, stbl tőkepc helyzete mtt mek állmppíokt szokás lpul ve. Étéke -3%. Adjo meg hozzávetőleges étékeket s! A CAPM záójeles tgj z átlgos pc kockázt pémumot dj. A befektetők átlgos pc kockázt pémumát, zz egy átlgos kockáztú befektetéséét kockáztmetes felett elvát váhtó hozmtöbbletet globáls megközelítést lklmzv globáls észvéydex váhtó hozmák és kockáztmetes befektetés hozmák külöbségekét ételmezhetjük. Az tt szeeplő f tehát egésze más étékeket s felvehet, mt képlet elejé lévő f, m pllty, ktuáls étéket tk. A pc egészéek epezetálásá, globáls pc potfoló meggdásá vlmelyk vlágdexet MSCI, Dow Joes, S&P szokás lklmz. Az átlgos pc kockázt pémumot múltbel, kockáztmetes kmt felett pc hozmok átlgkét becsüljük, méghozzá vzsgált pojekt lefutásához lleszkedő dőtáv mét átlgkét. A széles köbe hszáltos éték 6% köül. Hogy töték z üzlet tevékeység béták pojekt béták becslése? Az átlgos pc kockázt pémum meghtáozás utá má csk z kédés, hogy üzlet tevékeységük átlg felett vgy ltt kockázt pémumot édemel. zt bét étéke muttj meg. H egyél gyobb, kko átlg felett kockázt pémumól v szó, h ksebb, kko lttól. A bét meghtáozásáál üzlet tevékeységek bétát hszáljuk, méghozzá globáls tőzsdedexhez vszoyított egesszós kpcsolt lpjá meghtáozv. Az üzlet tevékeység béták megdásához előe elkészített, págk szet botású bét-tábláztot hszáluk. Az pág béták meghtáozásko észvéyeket pág szet csopotosítják, mjd z pág hozmdtokból pág bétákt számolk. Mvel egy-egy pág bétáját ge sok áltláb százs gyságedű pág válllt észvéydtból számítják, így feltételezhető, hogy em pág jellemző htások kátlgolódk, és végül z págt hűe jellemző muttót kpuk. Az pág béták btokáb pojektek béták meghtáozás má ge egyszeű: z egyk pághoz sooljuk pojektük üzlet tevékeységét, esetleg éháy pág súlyozott dtát hszáljuk. A gzdság elemzések soá kockázt és váhtó pézámlások elválk egymástól, tehát kockáztot tőke költségébe vesszük fgyelembe, míg pézámlásokkl váhtó étéke számoluk. z lól egyetle kvételt tehetük: z oszág-kockázt fgyelembevételét, melyet tőkeköltség megdásko szokás fgyelembe ve k oszágokét eltéő métékű övelésével.

10 . M tőkeköltségek függetleségéek elve? A tőkeköltség megdását CAPM-e építettük. bből következőe feltételezhetjük, hogy észvéyesek befektetők htékoy potfóló modellezhetőek pc potfóló és kockáztmetes lehetőség kombácójkét. Így tektve zob befektetők észvéyesek mde kcs potfólóésze ugybb potfóló-köyezetbe pc potfólób keül. Az egyes üzlet pojektek éppe lye kcs potfólóészek, így ezek tőkeköltsége s pc potfólób vló dvezfkálódás szet dhtók meg. Így szemlélve vszot e tőkeköltségek ká egyetle válllt külöböző pojektjeek tőkeköltsége egymástól függetleé válk. z dj tőkeköltségek függetleségéek elvét. zzel egyébkét em csk pojektek kockázták megítélése válk válllt köyezettől függetleé, de egybe egységes s lesz megközelítés: mdg pc potfólób em dvezfkálódó kockázt ész dj elevás kockáztot mt bétá keesztül méük. Mét em jelet többletétéket válllt sztű dvezfkácó? H befektetők em leéek képesek gyszámú étékppít tt, kko elváák, hogy válllt dvezfkáljo. De befektetők képesek ee, ádásul sokkl köyebb befektetések sztjé dvezfkál, mt válllt szte. A dvezfkáltság tehát em övel bá em s csökket vállltok étékét. M helyzet z oly tuljdoosokkl, kk em ttk htékoy potfólót? Ameybe kevés elemű potfólót ttó tuljdoossl, észvéyessel v dolguk, kko tőkeköltségek függetleség elve évéyét veszt. Ilyeko ugys em esek k teljese z egyed észek, em válk édekteleé páokét koelácók, páokét dvezfkácók. Ilye helyzetbe gzdság elemzések meglehetőse boyolulttá válk, hsze egy-egy üzlet pojekt étékeléseko több pojekttel vló sztochsztkus kpcsoltedszet s fel kell téképez, és tőkeköltségeket csk ezutá lehet megd. M z étékek függetleségéek elve? A váhtó poft, z éték, z NPV mdössze két téyezőből fkd: váhtó pézámlásokból F -ekből és tőkeköltségből. Mvel z üzlet pojektek pézámlást mdg htáételembe, dötés htásá fellépő bevételés költségváltozásoko keesztül djuk meg, zz úgy, hogy évéyes legye pézámlások függetleségéek elve, továbbá, z üzlet pojektek tőkeköltsége s függetleek, így ylvá étékük s. zt evezzük z étékek függetleség vgy összedhtóság elvéek. H tehát pc potfólót ttó befektetőket, észvéyeseket tételezhetük fel, kko, h A üzlet pojekt PVA, lletve NPVA étékű, B pojekt pedg PVB, lletve NPVB étékű, kko egy oly válllt pc étéke, mely csk ezzel két pojekttel edelkezk PVA PVB, lletve NPVA NPVB kell, hogy legye, és így tovább, bámey pojekt esetée. Az egész észek összege. Mt jelet m-válllt megközelítés, mkét kpcsolódk ez z étékek függetleségéek elvéhez, mét lpvető megközelítés ez válllt pézügyekbe? A m-válllt megközelítés léyege, hogy z egyes válllt, üzlet pojekteket gzdság elemzés soá öálló vállltkét fogjuk fel, zt vzsgáljuk, hogy édemes-e egy lye vállltot tt, létehoz. ek elv lpját z étékek függetlesége, összedhtóság dj meg. Azt mélegeljük ugys, hogy pojekt megvlósítás étékövelő htású e z egész válllt ézve, eek vszot z lesz z egyszeű feltétele, hogy ömgáb étékes legye. megközelítés zét jeletős, met így válllt pojektek elemzése jóvl egyszeűbbé válk, és oly kédéséket s vlágos kezel lehet, mt pl. z dózás vgy fszíozás kédése, mk múgy egész vállltb ágyzott szte klátástl elemzés poblémákt jeleteéek.

11 . Osztlékfzetés lpj I. M z osztlékhozm és z osztlékfzetés át? Az osztlékhozm kfzetett osztlék és észvéy áfolymák háydos, míg z osztlékfzetés át z osztlékfzetést z éves eedméyhez vszoyítj Jellemezze z osztlékfzetés és válllt eedméy áltláos összefüggését, k főbb okt! Mvel z osztlékot z eedméyből fzetk, z eedméy és z osztlék gyság sztochsztkus ylvá összefügg. Az osztlékok változás zob dőbe lemd z eedméy mögött, és z osztlékfzetés dőbe kevésbé gdozk, mt z eedméy. ek áltláos ok, hogy meedzseek ttk ttól, hogy esetleg csökkete kell mjd z ddg fzetett osztlék gyságát így mukájuk ossz féy vetül, így z osztlék meghtáozásáál ge óvtosk: em szívese övelk és csk végső esetbe csökketk. Mlye okok mtt lehet eltéés z egyes oszágok vállltk átlgos osztlékfzetése között? A övekvő vállltok tezívebbe uházk be, így edszet szeéyebbe fzetek osztlékot. Mdebből fkdó z eősebbe fejlődő oszágokb s jellemzőe kevesebb osztlékot fzetek. Külöbségek lehetek z dózásb s, v, hol kfzetett osztlékot jeletősebb személy jövedelemdó s tehel, míg máshol éppe vsszfogtott válllt eedméyt dózttják jobb. Külöbségek lehetek vállltáyításb s: eősebb észvéyes htlom eseté z osztlék jellemzőe mgsbb, míg eősebb meedzse htlom eseté lcsoybb. Az osztlékfzetés dötések mlye lpkédése szűkíthetők? Hosszú távo kfzetett osztlékmeység mögött megegyező gyságú eedméy kell, hogy meghúzódjo, de övd távo em eye dekt kpcsolt: egy válllt meg s ttht szbd foásokt, de pllty szbd foás felett s fzethet osztlékot. Az osztlékfzetés kédése émleg letsztítv tehát csk y, hogy előyös-e, közömbös-e vgy káos-e vállltál szbd pézügy foásokt tt, és zokt osztlékkét em kfzet ; lletőleg előyös-e, közömbös-e vgy káos-e vállltk újbb foások bevoásávl osztlékfzetést fedeze. Évelje z osztlékpoltk közömbössége mellett! Mdegy, hogy egy szbd foás észvéyeke keesztül vgy közvetleül észvéyeseké: meybe egy vállltál szbd foások hlmozódk fel, zok ugyúgy észvéyes potfólók észe, mth osztlékkét kfzetve leéek zok. Amko z osztlékfzetés mögött új észvéyek kbocsátásából befolyt összeg áll, kko em töték egyéb, mthogy ég észvéyesek észesedésük egy észét osztlék cseélk. z vszot éppe oly, mth egyszeűe eldhtták vol észesedésüket z új észvéyesekek. Mdebből következk, hogy észvéyesekek édektele kpott osztlék gyság, met h keveslk, észvéyek egy észéek eldásávl eléhetk kívát sztet, h pedg sokllják, kko beállhtk z új észvéyesek soáb, és vsszvásáolhtják észesedésüket. Mlye tőkepco, mlye főbb peemfeltételek mellett kézefekvő közömbös álláspot? A közömbösség feltétele léyegébe tökéletes tőkepc: A vállltok beuházás dötéset em befolyásolj pllty pézügy helyzetük. Jó beuházás ötlet eseté zt mdeképpe megvlósítják, és em vágk bele ossz pojektekbe csk zét, met v vállltk péze. Ncseek tzkcós költsége sem észvéyek dásvételéek, sem pedg észvéykbocsátásk, htelfelvételek. 3 Az osztlék és z áfolymyeeség dózás és más tektetbe pl. tásság tövéyleg s zoos befektetők számá. 4 A észvéyek és htelek mdg htékoy koekte ázottk. Részvéykbocsátássl fszíozott osztlék Se osztlék, se észvéy észvéy Válllt Új észvéyesek péz osztlék Rég észvéyesek Új észvéyesek péz észvéy Rég észvéyesek

12 3. Osztlékfzetés lpj II. Kédőjelezze meg z osztlékfzetés közömbösségével kpcsoltos álláspotot! Az osztlékpoltk közömbösségével kpcsoltos álláspot tőkepc tökéletességée épül, így mko kétségbe vojuk, kko tökéletességhez kpcsolódó feltételezések életszeűségét kédőjelezzük meg: Nem feltétleül gz, hogy vállltok beuházás dötéset em befolyásolj pllty pézügy helyzetük. lőfodulht, hogy válllt vezető ódzkodk z új foások bevoásától, met em kk fejük fölé új tuljdoosokt, htelezőket. Ilyeko kább elhgyk jók tűő pojekteket, hogy mdjo pézük z osztlék kfzetésée. De lehet z s, hogy vállltok bőséges foás btokáb oly ossz pojektekbe s belemeek, mket külöbe em vlósíták meg. Nem gz, hogy cseek tzkcós költsége észvéyek dásvételéek, észvéykbocsátásk vgy htelfelvételek. Még htelfelvételek s vk kmtoko felül tzkcós költsége köyvvzsgált, htelmősítés eljáások stb., észvéykbocsátás tzkcós költség udtálások; ügyvéd, közvetítő díjk; eklámok; lletékek; stb. pedg kfejezette jeletősek szoktk le, főleg ksebb összegű kbocsátások, lletve első észvéykbocsátás eseté. 3 Az osztlék legtöbb dóedszebe dóhátáyt okoz zokk, kk kpják, met gyobb métékbe dózttják, mt ltetíváját: z áfolymyeeséget. A mde dó utá felfogásb z osztlék-fzetések tehát csökketee kell cég étékét, észvéyesek hozmát, észvéyes étéket. 4 A észvéyek és htelek em mdg htékoy koekte ázottk. gy oly lcsoy htékoyságú tőkepco, hol befektetők gyo kevés megbízhtó fomácóvl edelkezek válllt jövedelemtemelő képességéől, z osztlék gyo fotos jel lehet. Az osztlékfzetés lehet k s jelzése, hogy válllt ötlete kfulldtk, PVGO-j eltűőbe v, cs má szüksége foások, és ezét kezdett el osztlékot fzet. Lehet z s, hogy htelek em htékoy ázódásúk: koektél mgsbb htelkmtok z lcsoybb, míg z lcsoybb pl. támogtott htelkmtok mgsbb osztlékfzetés mellett évek. zutá védje meg közömbös álláspotot kletú effektus támszkodv! A közömbös álláspot megvédhető mgsbb vgy z lcsoybb osztlék mellett évek elfogdásávl s. Ayt kell csk feltételkét elfogd lyeko, hogy észvéyesek eltéő osztlékfzetéssel kpcsoltos pefeecá ehhez lleszkedőe változtos válllt osztlékpoltk-kíálttl tlálkozk, befektetők osztlékelváás és vállltok osztlékpoltk-kíált összecsszolódk. H ez feáll és mét e áll fe?, kko befektetők oly vállltokhoz sodódk, melyek éppe géyekek megfelelő osztlékpoltkát követek. Ilyeko válllt osztlékpoltk megváltozás pusztá észvéyeseket cseél le, de em változtt észvéyes étéke, végeedméyt tektve tehát z osztlékpoltk közömbös md. Összegezze z osztlékpoltk közömbösségéek jeletőségét, következméyét válllt pézügy elemzéseke tektettel! Az osztlék-poltk közömbösségéek feltételezhetőségéből z következk, hogy m-vállltkét felfogott válllt pojektek étékeléseko pojekt pézámlás-sooztát úgy tekthetjük, hogy ezeket osztlékkét zol k s fzetk, le s dózzák. z legtöbbszö ugy em felel meg vlóságk, hsze észvéyesekél vlójáb elzálódó pézámlás-soozt, zz kpott osztlékok soozt elté pojekt ettó pézámlás-sooztától. A pojekt jóságát, étékét, NPV-jét vszot ez z eltéés em befolyásolj, így gzdság elemzéseket jeletőse egyszeűsítő de potosságukt em befolyásoló zol osztlékfzetéssel klkuláluk.

13 4. Fszíozás lpj I. Vázolj válllt üzlet tevékeység tásság dó előtt és utá étékéek lkulását tőkeáttétel függvéyébe ábákkl, lpképletekkel és z egyes htásokál példákkl s! Válllt szte kmtjövedelmek, zz D jövedelme em, csk z észvéyes jövedelmek dózk. Az dózás előtt pojekt étékét V BT -vel jelöljük, ez bomlk észvéyes tőkée, D összétékű htelező tőkée és T c összétékű válllt dók. és D válllt dók utá, de személy jövedelemdók előtt ételmezésű. V mde dó utá. V D T V T és V D BT c c K kell emel, hogy észvéyek áfolym-övekedése em ugyz, mt övekedése. ugys válllt észvéyeek összétéke, m ylvá megváltozk, h -t D-e cseéljük, de ettől még em feltétleül változk meg egy észvéy P áfolym. Itt keessük válszt, hogy D/ áy megváltozttásávl megváltozk-e észvéyek P áfolym észvéyes éték. Mvel T c -t kfejezhetjük -vel és t c dókulccsl, így V BT -t s felíhtjuk, D, vlmt t c függvéyekét: tc VBT D t Kcs d-t dd-e cseélve, vlmt feltételezve, hogy tökéletes htelpco D/ áy övelése mtt T c csökkeésből fkdó étéktöbblet észvéyesekhez keül: t c tc tc V BT áll d D dd d d tc tc tc zt tláljuk, hogy D/ áy övekedésével h z dózás előtt pojekt étéke em változk T c csökke, így D/ áy övekedéséből fkdó csökkeéshez képest kevésbé csökke, zz észvéyek P áfolym emelkedk. Összességébe tehát z dózás utá pojekt észvéyes étéke ő. gy válllt üzlet tevékeysége zob csk mjdem teljese függetle működés foásk szekezetétől, ém étékcsökkető htás zét jeletkezhet. zek következők lehetek: Az üzlet tevékeység htékoyságák csökkeése, pl....; ltéés z étékmxmlzáló beuházás dötésektől, pl. ; 3 lleőzés költségek övekedése, pl. ; 4 Ifomácós htások, pl. Példákkl k kell egészíte!. Az üzlet tevékeység htékoyság tehát tőkeáttétel övekedésével jellemzőe csökke, így z dózás előtt pojekt válllt, mválllt étéke s. z z étékcsökkeés szté csk észvéyeseket ét. Az dómegtkításból és htékoyságomlásból számzó htásokt zob lppl tekthetjük hsoló gyságedűekek, így egymást gyjából koltók. Összességébe megállpíthtjuk tehát, hogy két egymás elle dolgozó htás eedőjekét z üzlet po-jektek vállltok, m-vállltok válllt dózás utá észvéyes étéke tőkeáttétel függvéyébe gyjából álldó, zz észvéyek áfolym em változk mltt összétékük, zz temészetese változk. P c P V BT V BT V T c V T c D D 0 D/ 0 D/

14 5. Fszíozás lpj II. A htelek kockázták és elvát hozmák áttektésével vázolj észvéyek kockázták és váhtó hozmák lkulását tőkeáttétel függvéyébe ábákkl, lpképletekkel! Ismetesse tőkeáttétel övekedéséek észvéyek étékée gykoolt főbb htást CAPM-es ábázolás s 0, és 0,8 D/-él, mjd fogllj össze Mlle-Modgl tételekkel! Összegezze válllt fszíozás koklúzójá épülő, válllt pézügy elemzéseke votkozó következtetést! Az üzlet tevékeység váhtó hozm és kockázt és D kockázták és váhtó hozmák súlyozott átlgkét dódk. Tökéletes, htékoy htelpcot feltételezve htelekét elvát hozm potos htelek kockáztához fog gzod. A htelek kockázt lcsoy D/ tőkeáttétel eseté ull kell, hogy legye, hsze lyeko kellő válllt fedezet és jog gc áll htelek kmtostul vló vsszfzetése mögött. Növekvő tőkeáttétel eseté vszot vállltk yújtott htelek egye kockáztosbbk leszek, bétájuk ő, így z elvát hozm kmt s egye emelkedk. Tudv, hogy válllt dók utá válllt éték, kockázt és váhtó hozm mkás étékváltozást em mutt, kockázt- és hozmmegmdás képletekből kdulv észvéyek kockázták és váhtó hozmák egyesúly emelkedését, tőkeáttételeződését fgyelhetjük meg, zz htellel működő vállltok üzlet tevékeységéek váhtó hozm és kockázt észvéyekél felgyítódk. Mdezt két Mlle-Modgl tétellel s összefogllhtjuk: I. A válllt észvéy htel kötvéy áyák megváltozás cs htássl észvéyek étékée. II. Tőkeáttételes válllt észvéyeek kockázt és váhtó hozm áyos ő pc étéke számított htelező tőke / észvéyes tőke háydossl D/-vel. Összességébe zt modhtjuk, hogy fszíozás észvéyes étéket övelő htás még eyhe pc tökéletleségek mellett s eleyészők, potosbb több htás eedője válk elhygolhtóvá. zzel egyúttl beláthtjuk zt s, hogy beuházás dötések edszet elválszthtók fszíozás dötésektől. Mdezzel válllt pézügyek egyk lpvető megközelítéséhez jutottuk: beuházás dötések vzsgáltko tsztá sját tőkéből működő m-vállltból duluk k. Tudjuk ugy, hogy vállltok észbe htelből vló működése átlkítj egy pojekt pézámlást s htelfelvétel, tölesztések stb., de beláttuk, hogy eek z átlkításk cs számottevő étékváltozttó szeepe, tehát tsztá sját tőkéből vló megvlósítás esetéhez képest pojekt NPV-jét em változttj meg. ek megfelelőe sokkl egyszeűbb tsztá sját tőkéből vló megvlósítás esetét vzsgáljuk csk meg gzdság elemzésekko. A fszíozás esetleges htást elkülöítve szokás fgyelembe ve. e csk kko v szükség, h htellel tötéő fszíozás em pc ázódású kedvezméyes vgy kedvezőtle htelek. Ilyeko fszíozásk külö meghtáozzuk z NPV-jét, fszíozás pézmozgást pc tőkeköltséggel pc htelkmtokkl dszkotálv, mjd ezzel z NPV-vel kogáljuk tsztá sját tőkéből vló megvlósítás megközelítésével számított lp NPV-t. β β 0,8 β V V 0, V β D 0 Kockáztmetes htel Kockáztos htel D/ f D0,8 D0, β V β D β β β β V V D D V V D

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar Üzleti Tudományok Intézet. Bohák András (szerk.

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar Üzleti Tudományok Intézet. Bohák András (szerk. BUDAPESTI ŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOÁNYI EGYETE Gzdság- és Tásdlomtudomáy K Üzlet Tudomáyok Itézet Bohák Adás szek. BEFEKTETÉSEK okttás segédyg Íták: Ado Gyögy I. fejezet Bohák Adás VI-VII. fejezet Edős Péte

Részletesebben

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar Üzleti Tudományok Intézet. Dr. Andor György ÜZLETI GAZDASÁGTAN

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar Üzleti Tudományok Intézet. Dr. Andor György ÜZLETI GAZDASÁGTAN BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Gzdság- és Tásdlomtudomáy K Üzlet Tudomáyok Itézet D. Ado Gyögy ÜZLETI GAZDASÁGTAN okttás segédyg Budpest, 05. Ttlomjegyzék GAZDASÁGPSZICHOLÓGIAI ALAPOK...

Részletesebben

Szoldatics József, Dunakeszi

Szoldatics József, Dunakeszi Kstérség tehetséggodozás Rekurzív soroztok Szoldtcs József, Dukesz Npjkb egyre több verseye jelek meg rekurzív sorozt. Ezek megoldásához d ötleteket ez z elődás, A feldtok csoportosítv vk megoldás módszerek

Részletesebben

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]... A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer

Részletesebben

11. KVADRATIKUS FORMÁK

11. KVADRATIKUS FORMÁK . KVDRTIKUS FORMÁK bleás leépezéseel ogllozó előző ejezet észítette elő vdtus omá vgy más elevezéssel vdtus lo vzsgáltát. vdtus omá mtemt számos teületé yee llmzást. geometáb például vdtus omá másodedű

Részletesebben

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 Folytoos vlószíűségi változók Értékkészletük számegyees egy folytoos (véges vgy végtele) itervllum. Vlmeyi lehetséges érték vlószíűségű, pozitív vlószíűségek csk értéktrtomáyokhoz trtozk. Az eloszlás em

Részletesebben

Lineáris programozás

Lineáris programozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága Azoos évleges értékű, htelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérés bzoytalasága Zeleka Zoltá* Több mérés feladatál alkalmazak súlyokat. Sokszor ezek em egyekét, haem külöböző társításba kombácókba

Részletesebben

VÁLLALKOZÁSGAZDASÁGTA ALAPJAI

VÁLLALKOZÁSGAZDASÁGTA ALAPJAI BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁ YI EGYETEM Gzdság- és Tásdlomtudomáy K Műszk Meedzse szk D. Ado Gyögy VÁLLALKOZÁSGAZDASÁGTA ALAPJAI I. KÖTET okttás segédyg Budpest, 007. Ado Gyögy ~ Válllkozásgzdságt

Részletesebben

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer 19. Függvéyek rekurzív megdás, mester módszer Algoritmusok futási idejéek számítás gykr vezet rekurzív egyelethez, külööse kkor, h z lgoritmus rekurzív. Tekitsük például h z összefésülő redezés lábbi lgoritmusát.

Részletesebben

A TŐKE KÖLTSÉGE. 7. Fejezet. 7.1. Források tőkeköltsége. 7.1.2 Saját tőke költsége. 7.1.1. Hitel típusú források tőkeköltsége DIV DIV

A TŐKE KÖLTSÉGE. 7. Fejezet. 7.1. Források tőkeköltsége. 7.1.2 Saját tőke költsége. 7.1.1. Hitel típusú források tőkeköltsége DIV DIV 7. Fejezet A TŐKE KÖLTSÉGE 7.1.2 Saját tőke költsége D =hitel tőkeköltsége. i =névleges kamatláb, kötvény esetén n. P n =a kötvény névétéke. =a kötvény áfolyama. P 0 Hitel típusú foások tőkeköltsége, (T

Részletesebben

Síkbeli csuklós szerkezetek kiegyensúlyozásának néhány kérdése

Síkbeli csuklós szerkezetek kiegyensúlyozásának néhány kérdése íbel culó zeezete egyeúlyozáá éáy édée íbel culó zeezete egyeúlyozáá éáy édée DR BENKŐJÁNO gátudoáy Egyete Gödöllő Mg Gépt Itézet gyoozgáú gépzeezete tevezéée foto lépée z egyelete, ezgéete üzeet bztoító

Részletesebben

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya II RÉZ 2 EJEZE 2 Az együttműködő vllamoseerga-redszer teljesítméy-egyesúlya 2 A frekveca és a hatásos teljesítméy között összefüggés A fogyasztó alredszerbe a fogyasztók hatásos wattos teljesítméyt lletve

Részletesebben

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr.

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr. Verseyfeldtok Középiskoli verseyfeldtok megoldás és redszerezése Szkdolgozt Készítette: Nováky Csb Témvezető: Dr. Fried Ktli Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kr Mtemtik Alpszk Tári Szkiráy

Részletesebben

1. Fejezet A sorozat fogalmának intuitív megközelítése

1. Fejezet A sorozat fogalmának intuitív megközelítése SOROZATOK SZÁMTANI, MÉRTANI ÉS HARMONIKUS HALADVÁNYOK Körtesi Péter, Szigeti Jeő. Fejezet A sorozt foglmák ituitív megközelítése A sorozt számok egy redezett felsorolás, számokt sorozt tgjik evezzük. Egy

Részletesebben

Az állat becsült kor. teljes súly. teljes hossz orrtól. törzs hossza. pocak körkörös méret. hátsó láb hossza kör

Az állat becsült kor. teljes súly. teljes hossz orrtól. törzs hossza. pocak körkörös méret. hátsó láb hossza kör Koeláció- és egesszió-aalízis Az is előfodulhat, hogy két változó között ics semmilye kapcsolat: Az X és Y véletle változók között az alábbi ábáko Az állat becsült ko pozitív összefüggés em lieáis összefüggés

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

FELADATOK MÉRÉSELMÉLET tárgykörben. 1. Egy műszer osztálypontossága 2.5, a végkitérése 300 V. Mekkora a mérés abszolút hibája?

FELADATOK MÉRÉSELMÉLET tárgykörben. 1. Egy műszer osztálypontossága 2.5, a végkitérése 300 V. Mekkora a mérés abszolút hibája? FELADATOK MÉÉSELMÉLET tárgykörbe. Egy műszer osztálypotosság., végktérése 3 V. Mekkor mérés bszolút hbáj? H Op v / %,*3/ 7, V. A fet műszer V-ot mér. Mekkor mérés reltív hbáj? H h v % 6,% h 3. Egy mérés

Részletesebben

Pénzügyi ismeretek. Dülk Marcell 2012/2013/2

Pénzügyi ismeretek. Dülk Marcell 2012/2013/2 Pénzügyi ismeetek Dülk Macell 2012/2013/2 Rövid ismetető Dülk Macell, dulk@finance.bme.hu, QA337 Jegyzetek, diák Számonkéés Miől lesz szó? Nettó jelenéték fogalma és számítása Pénzáamlások becslése Tőkeköltség

Részletesebben

PROJEKTÉRTÉKELÉSI ALAPOK

PROJEKTÉRTÉKELÉSI ALAPOK Eegeikai gazdasága MKEE. gyakola PROJEKTÉRTÉKELÉSI ALAPOK A gyakola célja, hogy a hallgaók A. megismejék az alapveő közgazdaságai muaóka; B. egyszeű pojekéékelési számíásoka udjaak elvégezi. A. KÖZGAZDASÁGTANI

Részletesebben

Háromszög n egyenlő területű szakaszra osztása, számítással és szerkesztéssel. Bevezetés

Háromszög n egyenlő területű szakaszra osztása, számítással és szerkesztéssel. Bevezetés Háromszög egyelő területű szkszr osztás, számítássl és szerkesztéssel Bevezetés Az építészet szkrodlomb elég gykr előfordul címbel feldt, főleg kötőelemek kosztáskor. Ezek lehetek szegek, csvrok, betétek,

Részletesebben

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825. Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (

Részletesebben

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai Tárcsák számítása A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusa A tartószerkezeteket geometra méretek alapjá osztálozzuk Az eddg taulmáakba szereplı rúdszerkezetek rúdjara az a jellemzı hog a hosszuk

Részletesebben

Valószínűségszámítás összefoglaló

Valószínűségszámítás összefoglaló Vlószíűségszámítás összefoglló I. Feezet ombtor ermutácó Ismétlés élül ülöböző elem lehetséges sorrede! b Ismétléses em feltétleül ülöböző elem összes ülöböző sorrede!... hol z zoos eleme gyorság!!...!

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmz A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel! A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmzák lpvető tuljdosági A vlós

Részletesebben

Ismérvek közötti kapcsolatok szorosságának vizsgálata. 1. Egy kis ismétlés: mérési skálák (Hunyadi-Vita: Statisztika I. 25-26. o)

Ismérvek közötti kapcsolatok szorosságának vizsgálata. 1. Egy kis ismétlés: mérési skálák (Hunyadi-Vita: Statisztika I. 25-26. o) Ismérvek között kapcsolatok szorosságáak vzsgálata 1. Egy ks smétlés: mérés skálák (Huyad-Vta: Statsztka I. 5-6. o) A külöböző smérveket, eltérő mérés sztekkel (skálákkal) ellemezhetük. a. évleges (omáls)

Részletesebben

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén Kis Tigris Gimázium és Szkiskol Készségszit-mérés és - fejlesztés mtemtik kompeteci területé Vlj Máté 0. Bevezetés A Második Esély A Második Esély elevezés egy oly okttási strtégiát tkr, melyek egyik legfő

Részletesebben

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét Vrg József: Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Vrg József, Kecskemét Hrmic éves tári pályámo sokszor tpsztltm, hogy tehetséges tulók

Részletesebben

Alkalmazzuk az egyváltozós esetben a legkisebb négyzetek módszerét. Legyen a mérések száma n, y (n 0). n 2

Alkalmazzuk az egyváltozós esetben a legkisebb négyzetek módszerét. Legyen a mérések száma n, y (n 0). n 2 . elődás 5 Alklmzzuk z egváltozós esetbe legksebb égzetek módszerét. Lege mérések szám ( ). F ( ( ) )! ( ( ) )!?? A két krtérum ekvvles egmássl hsze h z F üggvéek z prmétervektor hele mmum v kkor hele

Részletesebben

Változók közötti kapcsolatok vizsgálata

Változók közötti kapcsolatok vizsgálata ) Eseméek függetlesége: p(ab) p(a) p(b) ) Koelácó: vö. az tutív tatalommal Változók között kapcsolatok vzsgálata Akko poztív, ha és átlagosa ugaaa az áa té el a saját váható étékétől, egatív ha elletétes

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése 3 4 Tartalomegyzék. BEVEZETÉS 5. A MÉRÉS 8. A mérés mt folyamat, fogalmak 8. Fotosabb mérés- és műszertechka fogalmak 4.3 Mérés hbák 8.3. Mérés hbák csoportosítása eredetük szert 8.3. A hbák megeleítés

Részletesebben

SPORTPÉNZÜGYEK. r m. A pénz időértéke.

SPORTPÉNZÜGYEK. r m. A pénz időértéke. SPORTPÉNZÜGYEK A péz időétéke. A ai pézösszeg azét étékesebb, it egy későbbi időpotba esedékes pézösszeg, et a befektető eek évé jövedelee, kaata tehet szet Kaat: A péz áa Haszálója azét fizet, et a pézt

Részletesebben

Valószínűségszámítás. Ketskeméty László

Valószínűségszámítás. Ketskeméty László Valószíűségszámítás Ketskeméty László Budapest, 996 Tartalomjegyzék I. fejezet VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 3. Kombatorka alapfogalmak 4 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok 6. A valószíűségszámítás alapfogalma

Részletesebben

Bruttó kereslet Nettó kereslet (1) 5. elıadás: Vétel és eladás indulókészlettel; Intertemporális választások. Indulókészlet

Bruttó kereslet Nettó kereslet (1) 5. elıadás: Vétel és eladás indulókészlettel; Intertemporális választások. Indulókészlet (C http://kgt.be.hu/ 5. elıadás: Vétel és eladás idulókészlettel; Itetepoális választások uttó keeslet ettó keeslet ( uttó keeslet: ait a fogyasztó téylegese elfogyaszt (hazavisz a piacól ( ( Jele:, vagy,

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Életta Aatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos dötéseket hoz! Mkor jó egy dötés? Meyre helyes egy dötés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test hőmérséklet

Részletesebben

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 A pályázat címe: Rugalmas-képlékey tartószerkezetek topológa optmalzálásáak éháy külöleges feladata (Részletes jeletés) Az

Részletesebben

Folyamatos működésű anyagmozgató gépek, géprendszerek teljesítőképességének meghatározása

Folyamatos működésű anyagmozgató gépek, géprendszerek teljesítőképességének meghatározása Folymtos műödésű ygmozgtó gépe, gépredszere telesítőépességée meghtározás A folymtos műödésű ygmozgtó gépe ellemzése telesítőépesség meghtározás szempotából: helyhez ötött, telepített gépe, mozgtás útvolt,

Részletesebben

SCHWARTZ 2009 Emlékverseny A TRIÓDA díj-ért kitűzött feladat megoldása ADY Endre Líceum Nagyvárad, Románia 2009. november 7.

SCHWARTZ 2009 Emlékverseny A TRIÓDA díj-ért kitűzött feladat megoldása ADY Endre Líceum Nagyvárad, Románia 2009. november 7. SCHWARTZ 009 Emlékveseny A TRIÓA díj-ét kitűzött feldt megoldás AY Ende Líceum Ngyvád, Románi 009. novembe 7. Az elekton fjlgos töltésének meghtáozás mgneton módszeel A szező áltl jánlott teljes megoldás,

Részletesebben

Megjegyzések a mesterséges holdak háromfrekvenciás Doppler-mérésének hibaelemzéséhez

Megjegyzések a mesterséges holdak háromfrekvenciás Doppler-mérésének hibaelemzéséhez H E L L E R MÁRTA DR. FERENCZ CSABA Megjegyzések esteséges holdk háofekvencás Dopple-éésének hbelezéséhez ETO 62.396.962.33.8.46: 629.783: 88.3.6 Mnt z á előző ckkünkből [] s set, kuttás bn és esteséges

Részletesebben

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK 1. MŐVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL ) Összedás: + = c és - összeddók, c - összeg A feldtok yivl gyo (tö). Az összedás tuljdosági: 1) kommuttív (felcserélhetı):

Részletesebben

Portfóliók képzése és a portfólió értékelés mértékei. A portfóliókockázat. elemzése. Az arbitrázs-értékelés modellje és alkalmazása.

Portfóliók képzése és a portfólió értékelés mértékei. A portfóliókockázat. elemzése. Az arbitrázs-értékelés modellje és alkalmazása. Beuházás és fnanszíozás döntések Levelező. konzultácó Potfólók kézése és a otfóló étékelés météke. A otfólókockázat secáls esetenek elemzése. Az abtázs-étékelés modellje és alkalmazása. A otfolók kézése,

Részletesebben

A pénzügyi számítások alapjai I. Szakirodalom. Az előadás témakörei

A pénzügyi számítások alapjai I. Szakirodalom. Az előadás témakörei A pézügyi számítások alapjai I. Miskolci Egyetem Gazdaságtudomáyi Ka Pézügyi Taszék Galbács Péte doktoadusz Szakiodalom VIGVÁRI Adás [004]: Pézügy(edsze)ta. Budapest: KJK-KERSZÖV. BREALEY, Richad A. MYERS,

Részletesebben

Villamosságtan I. főiskolai jegyzet. Írta: Isza Sándor. Debreceni Egyetem Kísérleti Fizika Tanszék Debrecen, 2002.

Villamosságtan I. főiskolai jegyzet. Írta: Isza Sándor. Debreceni Egyetem Kísérleti Fizika Tanszék Debrecen, 2002. Villmosságt főiskoli jegyzet Ít: sz Sádo Debeei Egyetem Kíséleti Fizik Tszék Debee, tolsó fissítés: 7 :38 Villmosságt félév oldl Ttlom Ttlom Temtikus tágymuttó 5 Bevezetés 8 Mtemtiki, fiziki lpok 9 Fiziki

Részletesebben

SMART, A TÖBBSZEMPONTÚ DÖNTÉSI PROBLÉMA EGY EGYSZERŰ MEGOLDÁSA 1

SMART, A TÖBBSZEMPONTÚ DÖNTÉSI PROBLÉMA EGY EGYSZERŰ MEGOLDÁSA 1 III. Évfolym. szám - 008. úius Gyrmti József Zríyi iklós Nemzetvédelmi Egyetem gyrmti.ozsef@zme.hu SRT, TÖBBSZEPONTÚ DÖNTÉSI PROBÉ EGY EGYSZERŰ EGODÁS bsztrkt cikk egy többszempotú dötési módszert mutt

Részletesebben

A Sturm-módszer és alkalmazása

A Sturm-módszer és alkalmazása A turm-módszer és alalmazása Tuzso Zoltá, zéelyudvarhely zámtala szélsőérté probléma megoldása, vagy egyelőtleség bzoyítása agyo gyara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölderféle

Részletesebben

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el.

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el. Végtele sok vlós számból álló összegeket sorokk evezzük. sorb szereplő tgokt képzeljük el úgy, mit egy bolh ugrásit számegyeese. sor összege h létezik ilye z szám hov bolh ugrási sorá eljut. Nézzük például

Részletesebben

Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai

Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji AOK - Rezides képzés Király Gyul Az operációkuttás rövid Mérföldkövek törtéete II. világháború ltt strtégii és tktiki ktoi műveletek (operációk) tudomáyos kuttási

Részletesebben

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek Defiíció: R, Z Htváyozás és égyzetgyök 0 h 0... ( téyezős szorzt) h h 0, 0. A htváyozás zoossági: : m ( ) m m m m m Defiíció: Az x vlós szám ormállkják evezzük z hol 0 és egész szám. 0 kifejezést, h x

Részletesebben

Kényszereknek alávetett rendszerek

Kényszereknek alávetett rendszerek Kéyszerekek alávetett redszerek A koordátákak és sebességekek előírt egyeleteket kell kelégítee a mozgás olyamá. (Ezeket a eltételeket, egyeleteket s ayag kölcsöhatások bztosítják, de ezek a kölcsöhatások

Részletesebben

Széki Hírek A Magyarszékért Egyesület kiadványa

Széki Hírek A Magyarszékért Egyesület kiadványa Szék Hírek A Magyarszékért Egyesület kadáya X. éfolyam, 1. szám Karácsoy a árakozással tel szeretet üepe December 17-é fatalok adtak hagerseyt a templomba. K kegyetleül süöltött a hdeg szél, míg be melegséggel

Részletesebben

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

Programozási tételek felsorolókra

Programozási tételek felsorolókra Progrozás tételek elsorolókr Összegzés Feldt: Adott egy E-bel eleeket elsoroló t obektu és egy :E H üggvéy. A H hlzo értelezzük z összedás sszoctív bloldl ullelees űveletét. Htározzuk eg üggvéyek t eleehez

Részletesebben

ALGEBRA. 1. Hatványozás

ALGEBRA. 1. Hatványozás ALGEBRA. Htváyozás kitevő Péld: lp H kitevő természetes szám, kkor db téyező Bármely szám első htváy ömg Bármely ullától külöböző szám ulldik htváy egy. 0 ( 0) (0 0 em értelmezett) Htváyozás számológéppel:

Részletesebben

Általában a pálinkáról...

Általában a pálinkáról... A z E e k á l h á z e v é e k é s c u l á k á e v e z é s e 1. Álláb álkáól... A álkfôzés öéee Az égee szesz, öbbek közö álk ásdlmuk egk legôsbb l, m vlág mde ájá fgszk. Eze lk összeevô ájké, szágké ge

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK...

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK... TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I FEJEZET A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL 5 II FEJEZET INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK 8 III FEJEZET A HATÁROZATLAN INTEGRÁLOK ALKALMAZÁSAI86 IV FEJEZET A HATÁROZOTT

Részletesebben

NEMPARAMÉTERES ELJÁRÁSOK

NEMPARAMÉTERES ELJÁRÁSOK Kály Zoltá: Statsztka II. NEMPARAMÉTERES ELJÁRÁSOK Az eddgek soá találkoztuk má olya eláásokkal, melyek a változók középétékét vzsgálták: egymtás-, páos-, függetle mtás t-póba, egy- és többszempotos vaaca

Részletesebben

A BUX-index alakulása a 24. héten ( )

A BUX-index alakulása a 24. héten ( ) A BUX-index lkulás A BUX-index lkulás 2010 június 21. Flg 0 Értékelés kiválsztás Még Give nincs A BUX-index értékelve lkulás Give A BUX-index lkulás Give A BUX-index lkulás Give A BUX-index lkulás Mérték

Részletesebben

2. Egy csökkenő mértani sorozat második tagja 192, negyedik tagja 48. Számítsd ki az első 5 tag összegét! (10 pont)

2. Egy csökkenő mértani sorozat második tagja 192, negyedik tagja 48. Számítsd ki az első 5 tag összegét! (10 pont) Mtemtik A. évfolym I. egyedév témzáró A csoport. Egy utci futóversey eredméyhirdetésé összese 60 csokoládét osztk ki z első 0 helyezett között, úgy, hogy kiosztott csokoládék szám helyezettről-helyezettre

Részletesebben

a) b) a) Hengeres forgórészű és b) kiálló pólusú szinkron gép vázlata

a) b) a) Hengeres forgórészű és b) kiálló pólusú szinkron gép vázlata 3. SZNKRON OTOROS HAJTÁSOK A hgyomáyos szikro motorokt reszerit gy teljesítméyű (P> kw) álló forultszámú hjtásokál lklmzzák, pl. szivttyúk, ugttyús kompresszorok, mlmok hjtásiál. Az ármiráyítós szikro

Részletesebben

Szemléletes lineáris algebra - összefoglaló I. mérnökhallgatónak. Segédanyag az NGB_SZ003_2, N_SZ45 és N_SZ14 tárgyakhoz

Szemléletes lineáris algebra - összefoglaló I. mérnökhallgatónak. Segédanyag az NGB_SZ003_2, N_SZ45 és N_SZ14 tárgyakhoz Szemléletes lieáis lgeb - összefoglló I. méöhllgtó Segédyg z NGB_SZ_, N_SZ5 és N_SZ tágyhoz összeállított: D. Szöéyi Milós főis. doces 8. Ttlom:. Lieáis té. Tájéozódás lieáis tébe Lieáis ombiáció Lieáis

Részletesebben

Regresszió és korreláció

Regresszió és korreláció Regresszó és korrelácó regresso: vsszatérés, hátrálás; vsszafordulás correlato: vszo, összefüggés, kölcsöösség KAD 01.11.1 1 (vsszatérés, hátrálás; vsszafordulás) Regresszó és korrelácó Gakorlat megközelítés

Részletesebben

FEJEZETEK A HOMOGÉN FEJSOROZATOKRÓL

FEJEZETEK A HOMOGÉN FEJSOROZATOKRÓL FEJEZETEK A HOMOGÉN FEJSOROZATOKRÓL SZAKDOLGOZAT Készítette: Kovács Blázs Mtet BSc, tár szrá Tévezető: dr Wtsche Gergel, djutus ELTE TTK, Mtettítás és Módszert Közot Eötvös Lorád Tudoáegete Terészettudoá

Részletesebben

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 202.03.0. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

V.fejezet. A hatványközepekre vonatkozó egyenlőtlenségek

V.fejezet. A hatványközepekre vonatkozó egyenlőtlenségek V.fejezet Készítette: Pokolá Tás A htváyközepeke votkozó egyelőtleségek V.fejezet A htváyközepeke votkozó egyelőtleségek Vlószíűleg ez z tékö. elye legtö feldtot tlálták ki középiskolások száá, hisze ezek

Részletesebben

SOROZATOK. A sorozat megadása. f) 2; 5; 10; 901 g) 2 ; 2 5 ; h) a 1. ; j) 1; -2; 3; -30. = 203. Legyen a sorozat két szomszédos eleme a k

SOROZATOK. A sorozat megadása. f) 2; 5; 10; 901 g) 2 ; 2 5 ; h) a 1. ; j) 1; -2; 3; -30. = 203. Legyen a sorozat két szomszédos eleme a k A sorozt megdás. ) ; ; ; b) ; ; ; c) 0; -; -; -8 d) ; ; 8; 89 e) ; ; 8; 0 f) ; ; 0; 90 g) ; ; 0 ; 0 90 h) em létezik, hisze eseté kifejezés ics értelmezve. A további elemek: ; 8 ; 0 899 i) 0; ; 999 ; j)

Részletesebben

Vállalkozásgazdaságtan

Vállalkozásgazdaságtan MENEDZSMENT ÉS VÁLLALKOZÁSGAZDASÁGTAN (BMEGT0A00). ZH ALAPKÉRDÉSEK Vállalkozásgazdaságta Rövid kifejtıs kérdések Mibıl fakad valami értéke, haszossága? Az érték, a haszosság egy emberbe, egy emberi szituációba

Részletesebben

23. szám. HORTOBÁGY. Oroszlán-vadászat.

23. szám. HORTOBÁGY. Oroszlán-vadászat. Debecze 865 Juus szám N egyedk évfol Mí'kJHku Egyes s í»p* Hlollíutús» #y úve» t, túl éve t,!t uu hó t k M z e lte K z t vh t ló h E w tu» ez- í z ő í- t's k-s ű s bá * Hdetés d j: Négy hsú kos p ul só

Részletesebben

A pénzügyi számítások alapjai II. Az értékpapírok csoportosítása. Az értékpapírok csoportosítása. értékpapírok

A pénzügyi számítások alapjai II. Az értékpapírok csoportosítása. Az értékpapírok csoportosítása. értékpapírok A pénzügyi számítások alapjai II. étékpapíok Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Ka Pénzügyi Tanszék Galbács Péte doktoandusz Az étékpapíok csopotosítása Tulajdonosi jogot (észesedési viszonyt) megtestesítő

Részletesebben

KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL

KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL Telefo: 345-6 Iteret: www.ksh.hu Adtgyűjtések Letölthető kérdőívek, útmuttók Az dtszolgálttás 229/26. (XI. ) Korm. redelet lpjá kötelező. Nyilvátrtási szám: 223/7 Adtszolgálttók:

Részletesebben

Minta feladatsor I. rész

Minta feladatsor I. rész Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel!

Részletesebben

Mátrix-vektor feladatok Összeállította dr. Salánki József egyetemi adjunktus Begépelte Dr. Dudás László és Bálint Gusztáv

Mátrix-vektor feladatok Összeállította dr. Salánki József egyetemi adjunktus Begépelte Dr. Dudás László és Bálint Gusztáv Mátrx-vektor feldtok Összeállított dr. Slánk József egyetem djunktus Begépelte Dr. Dudás László és Bálnt Gusztáv 1. feldt Adottk z n elemű, b vektorok. Képezn kell c vektort, hol c = b / Σ( ), ( = 0,1,,

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

Jegyzőkönyv. Termoelektromos hűtőelemek vizsgálatáról (4)

Jegyzőkönyv. Termoelektromos hűtőelemek vizsgálatáról (4) Jegyzőkönyv ermoelektromos hűtőelemek vizsgáltáról (4) Készítette: üzes Dániel Mérés ideje: 8-11-6, szerd 14-18 ór Jegyzőkönyv elkészülte: 8-1-1 A mérés célj A termoelektromos hűtőelemek vizsgáltávl kicsit

Részletesebben

NYERS GÁBOR: Kontrolling és a költségvetés folyamatos ellenõrzése a PSZÁF gyakorlatában 518

NYERS GÁBOR: Kontrolling és a költségvetés folyamatos ellenõrzése a PSZÁF gyakorlatában 518 Tartalom KÖZPÉNZÜGYEK MONETÁRIS ÉS FISKÁLIS RENDSZER ERDÕS TIBOR: Stagflácó és moetárs poltka 36 BÁGER GUSZTÁV PULAY GYULA: A költségvetés tervezés makrogazdaság kockázataak elemzése 384 KUTASI GÁBOR:

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

Az azonosságok tanításáról I.

Az azonosságok tanításáról I. Oktssuk vgy buktssuk Mjoros Mári 006. okt. Az zoosságok tításáról I. Dr. Mjoros Mári Az zoosságok tításáról I. Aki egpróbált ár idege yelvet tuli, tpsztlhtt, hogy yelv iseretéek és helyes hszálták tetiki

Részletesebben

9. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKJA

9. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKJA 9. LINÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKA Az 5. fejezetbe már megmeredtü a leár trazformácóal mt a leár leépezée egy ülölege típuával a 6. fejezetbe pedg megvzgáltu a leár trazformácó mátr-reprezetácóját.

Részletesebben

A táblázat a, b, c és d oszlopai a válaszlehetőségeket jelölik, a n oszlop pedig azt, hányan nem válaszoltak az adott kérdésre.

A táblázat a, b, c és d oszlopai a válaszlehetőségeket jelölik, a n oszlop pedig azt, hányan nem válaszoltak az adott kérdésre. Kiértékelés Közvéleméy kuttás élj: A Gudel Károly TISZK közvéleméy kuttásák élj, hogy következő, gykorlti képző helyekkel kpsoltos kérdésekre válszt kpjo: meyire tájékozottk z egyes gykorlti képző helyek

Részletesebben

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása Lieáris egyeletredszerek megoldás 5 II Lieáris egyeletredszerek megoldás Kettő vgy három ismeretlet trtlmzó egyeletredszerek Korábbi tulmáyitok sorá láttátok, hogy vgy ismeretlet trtlmzó lieáris egyeletredszerek

Részletesebben

Készítette: Kecskés Bertalan 2012

Készítette: Kecskés Bertalan 2012 Készítette: Kecskés Betln 0 Atom foglm: Az tom z elemeknek zon legkisebb észe, mely még endelkezik z eleme jellemző tuljdonságokkl, és kémiilg tovább nem bonthtó. Az tom felépítése: Az tom áll tommgból

Részletesebben

Matematika A 12. évfolyam. 1. modul Sorozatok. Készítette: Lövey Éva

Matematika A 12. évfolyam. 1. modul Sorozatok. Készítette: Lövey Éva Mtemtik A évfolym modul Soroztok Készítette: Lövey Év Mtemtik A évfolym modul: SOROZATOK Tári útmuttó A modul célj Időkeret Ajálott korosztály Modulkpcsolódási potok A soroztok foglmák elmélyítése Gykorlti

Részletesebben

VASBETON ÉPÜLETEK MEREVÍTÉSE

VASBETON ÉPÜLETEK MEREVÍTÉSE BUDAPET MŰZAK É GAZDAÁGTUDOMÁY EGYETEM Építőmérök Kar Hdak és zerkezetek Taszéke VABETO ÉPÜLETEK MEREVÍTÉE Oktatás segédlet v. Összeállította: Dr. Bód stvá - Dr. Farkas György Dr. Kors Kálmá Budapest,.

Részletesebben

Statisztika. Eloszlásjellemzők

Statisztika. Eloszlásjellemzők Statsztka Eloszlásjellemzők Statsztka adatok elemzése A sokaság jellemzése középértékekkel A sokaság jellemzéséek szempotja A sokaság jellemzéséek szempotja: A sokaság tpkus értékéek meghatározása. Az

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 2007. jnuár 26. MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2007. jnuár 26. 15:00 ór M 1 feltlp NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen próálkozást, mellékszámítást

Részletesebben

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t.

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t. Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008. Igaz-e, hogy ha az f, g: Q Q függvéyek szigoúa ooto őek és étékkészletük a teljes Q, akko az f g függvéy étékkészlete is

Részletesebben

Bevezetés. 1 A pénz időértékének elve. Befektetés pénzáram grafikonja. 1.1. ábra - Befektetés pénzáram grafikonja

Bevezetés. 1 A pénz időértékének elve. Befektetés pénzáram grafikonja. 1.1. ábra - Befektetés pénzáram grafikonja Bevezetés A Pézügyta feladatgyűjteméy a Pézügyta tatágy gyakolataihoz készült példatá első észe. Az oktatási segédlet a pézügyi számítások világába vezeti be az olvasót. Bá az oktatási segédletbe sok képlet

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Lineáris egyenletrendszerek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. Leontieff-modellek Leontieff-modellek: input-output modellek gzdság leírásár legyen n féle, egymássl összefüggésben

Részletesebben

Horizontális termékdifferenciálás a. Statikus Játékok Dinamikus Játékok

Horizontális termékdifferenciálás a. Statikus Játékok Dinamikus Játékok ' 5. Elõdás Horoáls ermékdffereálás Csomg öréõ érékesíés Skus Jáékok Dmkus Jáékok Kovás orer SZE KGYK GT Horoáls ermékdffereálás földrj ére Köo helye érékesí: rm város ö helye: MDold s Kereskedelm kok

Részletesebben

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): ---

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): --- A ttárgy eve: Mtemtik I Heti órszám: 3+3 (6 kredit) Ttárgy kódj: GEMAN0B (ygmérök ppli BSc + felsőf szkk) A tárgy lezárás: láírás + kollokvium Okttók: Dr Vrg Péter ETF (előt feltétel): --- Algebr, lieáris

Részletesebben

E F O P

E F O P E g y ü t t m z k ö d é s i a j á n l a t K ö z ö s é r t é k e i n k s o k s z í n z t á r s a d a l o m E F O P - 1.3.4-1 6 P á l y á z a t i t e r v e z e t 2. 0 ( F o r r á s : w w w. p a l y a z a

Részletesebben

Megint a szíjhajtásról

Megint a szíjhajtásról Megint szíjhjtásról Ezzel témávl már egy korábbi dolgoztunkbn is foglkoztunk ennek címe: Richrd - II. Most egy kicsit más lkú bár ugynrr vontkozó képleteket állítunk elő részben szkirodlom segítségével.

Részletesebben

Adatfeldolgozás, adatértékelés. Dr. Szűcs Péter, Dr. Madarász Tamás Miskolci Egyetem, Hidrogeológiai Mérnökgeológiai Tanszék

Adatfeldolgozás, adatértékelés. Dr. Szűcs Péter, Dr. Madarász Tamás Miskolci Egyetem, Hidrogeológiai Mérnökgeológiai Tanszék Adatfeldolgozás, adatértékelés Dr. Szűcs Péter, Dr. Madarász Tamás Mskolc Egyetem, Hdrogeológa Mérökgeológa Taszék A vzsgált köryezet elemek, lletve a felszí alatt közeg megsmerése céljából számtala külöböző

Részletesebben

Együttműködési ajánlat Kulturális intézmények a köznevelés eredményességéért EFOP Véglegesített pályázat 3.0 (Forrás:

Együttműködési ajánlat Kulturális intézmények a köznevelés eredményességéért EFOP Véglegesített pályázat 3.0 (Forrás: E g y ü t t m z k ö d é s i a j á n l a t K u l t u r á l i s i n t é z m é n y e k a k ö z n e v e l é s e r e d m é n y e s s é g é é r t E F O P - 3. 3. 2-1 6 V é g l e g e s í t e t t p á l y á z a

Részletesebben

SÉNYŐ KÖZSÉG TELEPÜLÉSRENDEZÉSI TERVÉNEK 2016. ÉVI MÓDOSÍTÁSA A 046/14 HRSZ-Ú INGATLAN TÖMBJE

SÉNYŐ KÖZSÉG TELEPÜLÉSRENDEZÉSI TERVÉNEK 2016. ÉVI MÓDOSÍTÁSA A 046/14 HRSZ-Ú INGATLAN TÖMBJE NYÍRSÉGTRV Kft. Székhely: 4431. Nyíregyház, Mckó u. 6. sz. Irod: 4400. Nyíregyház, Szegfű u. 73.sz. Telefon/fx: (42) 421-303 Moil: (06-30) 307-7371 -mil: nyirsegterv@nyirsegterv.t-online.hu We: www.nyirsegterv.hu

Részletesebben

A BUX-index alakulása a 4. héten ( )

A BUX-index alakulása a 4. héten ( ) A BUX-index lkulás A BUX-index lkulás 2010 jnuár 30. Flg 0 Értékelés kiválsztás Még Givenincs A BUX-index értékelve lkulás Give A BUX-index lkulás Give A BUX-index lkulás Mérték Give A BUX-index lkulás

Részletesebben

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása Tuzso Zoltá A turm-módszer és alalmazása zámtala szélsérté probléma megoldása, vag egeltleség bzoítása ago gara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölder-féle egeltleség, derválta

Részletesebben

Az alakváltozással vezérelt kisciklusú fáradás törvényszerûségei Lehofer Kornél

Az alakváltozással vezérelt kisciklusú fáradás törvényszerûségei Lehofer Kornél Kisciklusú fársztás VIZSGÁLAI MÓDSZEREK Az lkváltozássl vezérelt kisciklusú fárdás törvéyszerûségei Lehofer Korél Abstrct Lws of the low cycle ftigue cotrolled by stri. hese lws re preseted kept i view

Részletesebben

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b XVII ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY CSÍKSZEREDA 007 FEBRUÁR 8- NAP 9 OSZTÁLY Igzoljuk, hogy mide * \ {} eseté 5 ( ) Lckó József, Csíkszered Az b,, b számok eseté htározzuk meg z Ex ( ) x b x kifejezés

Részletesebben

? közgazdasági statisztika

? közgazdasági statisztika Valószíűségszámítás és a statsztka Valószíűség számítás Matematka statsztka Alkalmazott statsztka? közgazdaság statsztka épesség statsztka orvos statsztka Stb. Példa: vércsoportok Az eloszlás A AB B Elem

Részletesebben