Villamosságtan I. főiskolai jegyzet. Írta: Isza Sándor. Debreceni Egyetem Kísérleti Fizika Tanszék Debrecen, 2002.

Átírás

1 Villmosságt főiskoli jegyzet Ít: sz Sádo Debeei Egyetem Kíséleti Fizik Tszék Debee,

2 tolsó fissítés: 7 :38 Villmosságt félév oldl Ttlom Ttlom Temtikus tágymuttó 5 Bevezetés 8 Mtemtiki, fiziki lpok 9 Fiziki meyiség, meyiségegyelet 9 Fiziki tövéy 9 A fiziki meyiség defiíiój 9 Vekto Mie vló vekto? Vektokompoes Vektoegyelet, kompoesegyelet Vekto szozás sklál Vekto szozás vektol (belső, vgy skláis szozt) Háom, em egy síkb eső vekto sodás Vekto szozás vektol (külső, vgy vektoiális szozt) Detemiás Mie vló detemiás? A detemiások kiszámolás Aldetemiás 3 A detemiások sook és oszlopok szeiti kifejtése 3 Mátix 3 Mie vló mátix? 3 Mátix szozás vektol 4 Lieáis egyeletedszeek megoldás (Cme-szbály) 4 Függvéy 4 Mie vló függvéy? 4 Diffeeiálhtóság 4 Mie vló deivált? 5 tegálhtóság 5 Mie vló z itegál? 6 Többváltozós függvéy diffeeiálhtóság 6 Vekto vekto-függvéy 7 öbemeti itegál 7 Felületi itegál 7 Téfogti itegál 7 A göbemeti és felületi itegál összefüggése (Stokes-tétel) 7 A téfogti és felületi itegál összefüggése (uss Osztogdszkij-tétel) 8 A speiális ttomáyoko (göbe meté, felülete, téfogto) ételmezett itegálok kiszámolás gykoltb 8 Függvéyegyeletek 9 Diffeeiálegyeletek 9 Első fokú, első edű diffeeiálegyelet 9 Első fokú, másodedű diffeeiálegyelet Diffeeiálopeátook Komplex-itmetik Komplex számok háydos Komplex számok htváy Komplex számok gyöke Komplex kojugált 3 A komplexszám bszolút-étékéek viszoy komplex kojugálttl 3 Komplex meyiségek 3 Mie vlók komplex meyiségek? 3 Elektomágeses mező 4 Elektomos mező 4 Elektomos állpot, töltés 4 Elektomos mező 4 Elektomos téeősség 4 A töltésmegmdás tövéye 5 Elektomos té 5 Mi kelti z elektomos mezőt? 5 Pottöltés elektomos mezője 5 uss-tövéy 6 Az elektomos mező mukáj, poteiál 7 Kpitás 9 Az elektomos töltés kvtált jellege: Millik-kísélet 9 Az elektomos mező eegiáj, eegisűűsége 3 Kölsöhtási eegi 3 Null össztöltésű töltésedszeek33 A dipól htó eő 34 A dipól htó fogtóyomték 34 A dipól helyzetéből fkdó poteiális eegi 34 Poisso-egyelet35 Megosztás, polizáió38 Elektomos mező dielektikumokb39

3 tolsó fissítés: 7 :38 Villmosságt félév 3 oldl Ámok szilád ygokb (fémes vezetőkbe) 4 Ámeősség, ámsűűség, elleállás, Ohm tövéye 4 Az elektomos ám teljesítméye, Joule Lez-tövéy 4 Ámköi tövéyek4 A kotiuitási egyelet 4 A Kihhoff-tövéyek 43 eltivisztikus mehik, Loetz-tszfomáió44 Sebességtszfomáió 45 A tömeg tszfomáiój 46 Az elektoszttikus eőtövéy eltivisztikus koekiój, mágeses mező 49 A koigált eőtövéy 5 Az Ampèe-féle gejesztési tövéy 5 Tetszőleges vezetőedsze áltl keltett mágeses idukió 5 Összefogllv 53 A mágeses mező foásmetessége 55 Az ámátját vezetőe htó eő 56 A mágeses mező áltl kifejtett fogtóyomték 57 Az elektoszttiki és mgetoszttiki dipól összefoglló összehsolítás 58 Vektopoteiál 58 Elektomágeses idukió 6 A változó elektomos mező áltl keltett mágeses mező6 Mágeses mező közegbe6 A Mxwell-tövéyek összefogllás63 Öidukió 63 A mágeses mező eegisűűsége 64 Elektomágeses hullám vezető meté 65 Eegiámlás z elektomágeses hullámb 66 Összefogllv 66 Ledületámlás z elektomágeses hullámb 66 Az elektomágeses hullám visszveődése 67 A hullám áltl szállított eegi disszipáiój 67 Osztott pméteű hálózt68 Hálóztok7 Kétpólusok 7 Elleállás (áltláosbb ételembe) 7 Kodezáto (áltláosbb ételembe) 7 Tekes (áltláosbb ételembe) 7 Feszültséggeeáto (feszültségfoás) 7 Ámgeeáto (ámfoás) 7 Kpsoló 7 Diód 7 A kétpólusok osztályozás 73 Lieáis kétpólus 73 viás kétpólus 73 Feszültséggel gejeszthető kétpólus 73 Ámml gejeszthető kétpólus 73 Tetszőlegese gejeszthető kétpólus 74 Kuzális kétpólus 74 Psszív kétpólus 74 Noeegikus kétpólus 74 Kétpólusok soos és páhuzmos kpsolás 74 Soos kpsolt elleállások 74 Páhuzmos kpsolt elleállások 74 Soos kpsolt kodezátook 75 Páhuzmos kpsolt kodezátook 75 Soos kpsolt tekesek 75 Páhuzmos kpsolt tekesek 75 Soos kpsolt feszültséggeeátook 75 Páhuzmos kpsolt feszültséggeeátook 75 Soos kpsolt ámgeeátook 75 Páhuzmos kpsolt ámgeeátook 75 Soos kpsolt kpsolók 76 Páhuzmos kpsolt kpsolók 76 Soos kpsolt diódák 76 Páhuzmos kpsolt diódák 76 deális kkteisztikájú kétpólusok soos és páhuzmos kpsolásák, helyettesítéséek összefogllás 77 Háompólus (ohmikus kétpólusok sillg- és deltkpsolás)77 A kétpólusok gykolti megvlósítás 79 Elleállás 79 Kodezáto 79 Tekes 8 Feszültséggeeáto 8 Ámgeeáto 8 Kpsoló 8 Diód 8 Véges belsőelleállású feszültségfoások soos kpsolás és helyettesítése 83 Véges belsőelleállású feszültségfoások páhuzmos kpsolás és helyettesítése 83

4 tolsó fissítés: 7 :38 Villmosságt félév 4 oldl Véges belsővezetésű ámfoások soos kpsolás és helyettesítése 84 Véges belsővezetésű ámfoások páhuzmos kpsolás és helyettesítése 84 Soos, ill páhuzmos kpsolt véges belsőelleállású és -vezetésű foások helyettesítéséek összefogllás 85 A feszültség és z ám méése 85 A teljesítméytétel: Tellege tétele 89 Egyszeű lieáis égypólusok9 Sokpólusok 96 Logiki kpuk 96 Egy speiális sokpólus: digitál lóg kovete 97 Nem lieáis égypólusok 99 Egyeiáyítók 99 Feszültségstbilizátook 99 Négypólus-elmélet Átviteli függvéy Lieáis égypólus Psszív égypólus A psszív lieáis égypólus pméteezései A szimmeti feltétele pméte-mátixokb 4 A égypólusok további jellemzői 5 Bemeeti impedi 5 Kimeeti impedi 6

5 tolsó fissítés: 7 :38 Villmosságt félév 5 oldl Temtikus tágymuttó elektomágeses mező 4 elektomágeses hullám65 elektomágeses hullám ledületsűűsége 66 elektomágeses hullám tejedési sebessége 65, 69 elektomágeses hullám tejedési sebessége közegbe7 elektomágeses hullám vezető szlgpá meté 65 elektomágeses hullám áltl szállított eegi disszipáiój 67 illesztett lezáás 68 hullámimpedi67 osztott pméteű hálózt 68 hullámegyelet 69 hullámfüggvéy 69 telegáf-egyelet 69 volmeti átvezetés 69 volmeti elleállás 69 volmeti kpitás 69 volmeti öidukiós együtthtó 69 elektomágeses hullám visszveődése 67 visszveődési téyező67 eegi-ámeőség 66 eegiámlás elektomágeses hullámb 66 eegi-ámsűűség 66 Poitig-vekto66 hullámfüggvéy 69 ledületámlás z elektomágeses hullámb 66 elektomágeses hullám69 elektomágeses idukió 6 egyees vezetőbe idukálódó elektomos mező 6 eltolódási ám 6 Fdy Lez-tövéy 6 idukált elektomotoos eő 64 Mxwell-tövéyek 63 ygegyeletek63 Mxwell-tövéy6 jobbsodás 5, 6, 63 Mxwell-tövéy6 jobbsodás 6, 63 Mxwell-tövéyek összefogllás 63 öidukió 63, 64 öidukiós együtthtó 64 szoleoid öidukiós együtthtój 64 elektomos mező 4 elektomos állpot 4 elektomos dipól 33 dipól poteiális eegiáj 34 dipólmometum 33 dipólmometum-sűűség 38 dipól htó eő34 dipól htó fogtóyomték 34 elektomos dipóltól számzó poteiál és téeősség33 uss-féle főhelyzetek 33 két pottöltésből álló dipól 33 téfogti dipólmometum-eloszlás38 elektomos megosztás 38 elektomos mező dielektikumokb 39 elektomos szuszeptibilitás 39 eltív dielektomos álldó 39 síkkodezáto dielektikumml kitöltve 39 töltött gömbtől számzó elektomos mező dielektikumb39 elektomos mező eegiáj 3 elektomos mező eegisűűsége 3 kölsöhtási eegi 3 pottöltések kölsöhtási eegiáj3 elektomos mező eegisűűsége 3, 3 elektomos mező eőtövéye 4 elektomos mező foástövéye 6 Coulomb-tövéy 6 elektomos mező szemléltetése 6 ekvipoteiális felület8 eővol 6 elektomos té 5 elektomos téeősség 4 elektomos dipóltól számzó téeősség 33 elektomos téeősség fluxus6 pottöltéstől számzó téeősség6 töltött gömbtől számzó téeősség 36 töltött gömbtől számzó téeősség dielektikumb 39 töltött hegetől számzó téeősség 37 töltött síktól számzó téeősség35 elektomos töltés 4 elektomos semleges állpot 4 elektomos töltött állpot4 elektofelesleg4 Millik-kísélet 9 elemi töltés 3 kvtált jelleg 3 egtív töltés4 pottöltés 5 pozitív töltés4 töltéseloszlás 5 felületi töltéssűűség 5 pottöltés 5 téfogti töltéssűűség 5 volmeti töltéssűűség 5 elektoszttikus mező mukáj 7 uss-tövéy 6 kozevtív mező 8 Lple-opeáto 35 Mxwell-tövéyek 6, 63 ygegyeletek63 Mxwell-tövéy6 Mxwell-tövéyek összefogllás 63 övéymetesség 8 Poisso-egyelet 35 polizáió 38 polizált dielektikumtól számzó elektomos mező 38 pottöltés elektomos mezője 5 pottöltés mezője 6 pottöltések áltl egymás kifejtett eő 6 poteiál7 ekvipoteiális felület8 elektomos dipóltól számzó poteiál33 polizált dielektikumtól számzó poteiál 38 pottöltéstől számzó poteiál 8 poteiál áltláos defiíiój8 töltött gömbtől számzó poteiál 36 töltött gömbtől számzó poteiál dielektikumb39 töltött hegetől számzó poteiál37 töltött síktól számzó poteiál35 poteiálkülöbség 8 elektomos mező 4 mágeses mező 49, 5 Ampèe-féle gejesztési tövéy 5 jobbsodás 5 ámátját vezetők áltl egymás kifejtett eő56 ámátját vezetőe htó eő 56 ámeősség S egysége57 Biot Svt-tövéy 53 Biot-tövéy53 gejesztés6 V Mxwell-tövéy 56 kövezetőe htó fogtóyomték57 Loetz-eő5 Loetz-tövéy5 jobbsv5 mágeses eő 5 mágeses idukió 5 Biot Svt-tövéy 53 Biot-tövéy53 kövezetőtől számzó mágeses idukió53 tetszőleges vezetőedsze áltl keltett mágeses idukió5, 58 tooid áltl keltett mágeses idukió5 véges hosszúságú szoleoid áltl keltett mágeses idukió 54 végtele hosszú egyees vezető áltl keltett mágeses idukió 53 végtele hosszú szoleoid áltl keltett mágeses idukió 5 végtele síktól számzó mágeses idukió 5, 59 mágeses mező áltl kifejtett fogtóyomték 57 mágeses mező eegisűűsége 64, 65 mágeses mező foásmetessége 55 mágeses mező közegbe6 dimágeses ygok6 feomágeses ygok 6 doméek 6 mágeses szuszeptibilitás 6 pmágeses ygok 6 mágeses mező szemléltetése 5 idukióvol 5 mágeses mometum 54 mágeses téeősség 6 mágeses töltés56 Mxwell-tövéyek 63 ygegyeletek63 Mxwell-tövéy5 jobbsodás 5, 63 Mxwell-tövéyek összefogllás 63 Neum-tövéy 56 övéyeősség 5 podeomotoos eő 56 vektopoteiál58 Mxwell-tövéyek 63 Mxwell-tövéy5 jobbsodás 5, 63 Mxwell-tövéy6 Mxwell-tövéy6 jobbsodás 6, 63 V Mxwell-tövéy 56 Mxwell-tövéyek összefogllás 63 övéyeősség 5 fiziki meyiség 9 fiziki meyiség defiíiój 9 fukioális defiíió9 kostukiós defiíió 9 fiziki tövéy 9 fluxus 7 S métékegységedsze 4 sklá-meyiség 9 meyiségegyelet9 méőszám 9 méőszámegyelet 9 métékegység 9 vekto mie vló vekto? vekto bszolútétéke vekto gyság vektokompoes vetület hálóztok 7 ám 4 ámeősség4 ámeősség S egysége57 ámiáy 4 ámméés85 ámméő jzjele 85 Depez-elv85 peiódikus htáeset 86 leolvsás pllxis hibáj 86 söt-elleállás86 ámok szilád ygokb (fémes vezetőkbe)4

6 tolsó fissítés: 7 :38 Villmosságt félév 6 oldl ámsűűség 4 volmeti ámsűűség 5 diffeeiális Ohm-tövéy 4 elekto-gáz 4 átlgos szbd úthossz 4 átlgos ütközésmetes időttm4 elleállás 4 fjlgos elleállás 4 fjlgos elleállás hőmésékleti téyezője 4 kosttá 4 mgi 4 fjlgos vezetőképesség 4 itegális Ohm-tövéy 4 kotiuitási egyelet 4, 43 Ohm-tövéy 4 stioáius ám 43 vezetés 4 vezető 4 elektomos teljesítméy 4 diffeeiális Joule Lez-tövéy 4 itegális Joule Lez-tövéy 4 Joule Lez-tövéy 4 teljesítméysűűség 4 teljesítméytétel Tellege tétele 89 feszültség 8 feszültségméés 85 előtét-elleállás86 feszültségméő jzjele 85 háompólusok 77 sillg delt-átlkítás 77 sillgkpsolás 77 sillgpot-eltolódás tövéye 88 delt sillg-átlkítás 78 deltkpsolás 77 háomfázis 89 Millm-képlet 88 ullvezeték 89 kétpólusok 7 ktív kétpólus 74 ámml gejeszthető kétpólus 73 dimikus kétpólus 73 diód 7 diód jzjele7 ód 7 diódák pméteei gykoltb 8 któd 7 yitófeszültség 7 vip diód8 vip diód ejzjele 83 Zee-diód83 Zee-diód jzjele 83 Zee-feszültség 83 Zee-letöés 83 elleállás 4 ámfüggő elleállás79 diffeeiális Ohm-tövéy4 elleállás áltláos ételembe 7 elleállás kkteisztikáj7, 79 elleállás méése88 elleállás jzjele 7 elleállások pméteei gykoltb 79 elleállás öidukiós együtthtój 79 elleállások tehelhetősége 79 tűés 79 elleállások páhuzmos kpsolás 74 elleállások soos kpsolás 74 fjlgos elleállás 4 fjlgos vezetőképesség 4 itegális Ohm-tövéy4 Ohm-tövéy 4 vezeték7 vezeték jzjele 7 vezetés4 feszültséggel gejeszthető kétpólus 73 foások 73 ámfoás7 ámgeeáto 7, 73 ámgeeáto kkteisztikáj 7, 8 ámgeeáto jzjele 7 ámgeeátook pméteei gykoltb 8 ámgeeátook páhuzmos kpsolás 75, 84, 85 ámgeeátook soos kpsolás 75, 84, 85 belsővezetés 8 kposám 8 évleges kposám 7, 8 Noto-féle helyettesítés 8 övidzáási ám 8 üesjáási feszültség 8 feszültség- és ámgeeátook soos és páhuzmos kpsolásák áttekitése85 feszültségfoás 7 feszültséggeeáto 7, 73 belsőelleállás 8 elektomotoos eő 7, 8 feszültséggeeáto kkteisztikáj 7, 8 feszültséggeeáto jzjele 7 feszültséggeeátook pméteei gykoltb 8 feszültséggeeátook páhuzmos kpsolás 75, 83, 85 feszültséggeeátook soos kpsolás 75, 83, 85 kposfeszültség 8 övidzáási ám 8 Thèvei-féle helyettesítés 8 peiodikus foások 73 ideális kétpólusok soos és páhuzmos kpsolás 77 iviás kétpólus 73 kpsoló 7 kpsoló jzjele 7 kpsolók pméteei gykoltb8 beégés 8 pegés 8 kétállpotú kétpólus 7 yitott vgy kikpsolt állpot 7 zát vgy bekpsolt állpot 7 kuzális kétpólus 74 kétpólus-kkteisztik 7 ámgeeáto kkteisztikáj 7, 8 elleállás kkteisztikáj4, 7, 79 feszültséggeeáto kkteisztikáj 7, 8 kodezáto kkteisztikáj 7, 79 tekes kkteisztikáj 7, 8 kétpólusok gykolti megvlósítás79 kétpólusok osztályozás73 kodezáto 9 gömbkodezáto 9 kpitás9 gömbkodezáto kpitás 9 kpitás áltláos ételembe 7 síkkodezáto dielektikumml kitöltve 39 síkkodezáto kpitás 9 kodezáto áltláos ételembe7 kodezáto eegiáj 3 kodezáto kkteisztikáj 7, 79 kodezáto jzjele7 kodezátook pméteei gykoltb 79 elektolit-kodezáto 8 elektolit-kodezáto politásézékeysége 8 kemikus kodezáto 8 kodezáto átvezetése 79 kodezáto mit feszültséggeeáto 8 szikoltó kodezáto 8 szűőkodezáto 8 kodezáto mit övidzá 8 kodezátook páhuzmos kpsolás 75 kodezátook soos kpsolás 75 síkkodezáto9 lieáis kétpólus 73 oeegikus kétpólus74 páhuzmos kpsolás74 ideális kétpólusok soos és páhuzmos kpsolás77 páhuzmos kpsolt ámgeeátook eedője 76 páhuzmos kpsolt elleállások eedője74 páhuzmos kpsolt kodezátook eedője 75 páhuzmos kpsolt tekesek eedője 75 eplusz 74 psszív kétpólus 74 ezisztív jelleg 7 ezisztív kétpólus 73 soos kpsolás 74 ideális kétpólusok soos és páhuzmos kpsolás77 soos kpsolt elleállások eedője74 soos kpsolt feszültséggeeátook eedője 75 soos kpsolt kodezátook eedője 75 soos kpsolt tekesek eedője 75 tekes 5 bekpsolási jeleség8 giáto8 kikpsolási jeleség 8 iduktív lökés 8 kötekes 5 öidukiós együtthtó 64 szoleoid öidukiós együtthtój 64 öidukiós téyező áltláos ételembe7 szoleoid5 szoleoid öidukiós együtthtój 64 tekes áltláos ételembe7 tekes kkteisztikáj 7, 8 tekes jzjele 7 tekesek pméteei gykoltb 8 tekes mit ámgeeáto 8 fojtótekes 8 tekes mit szkdás 8 tekes ohmos elleállás 8 vsmg 8 lemezelt vsmg 8 övéyám 8 povsmg 8 tekesek páhuzmos kpsolás75 tekesek soos kpsolás75 tooid 5 tetszőlegese gejeszthető kétpólus 74 Kihhoff-tövéyek 43 somópoti tövéy43 huoktövéy 43 Kihhoff tövéye43 somópot 43 vágt 43 Kihhoff tövéye43 huok 43 vágttövéy 43 égypólusok 9, átviteli függvéy bemeet 9 bemeeti impedi5 kkteisztikus impedi6 övidzálti bemeti impedi 5 üesjáti bemeti impedi5 feszültségstbilizáto kkteisztikus impedi 6 kimeet 9 kimeeti impedi 6 kkteisztikus impedi6 övidzálti kimeeti impedi6 üesjáti kimeeti impedi 6 közös pot99 lieáis égypólus égypólus elmélet psszív égypólus 9, lieáis égypólusok 9 diffeeiáló kö 93, 95 C-kö 93 időálldó 9, 93 L-kö 95 időálldó 95 feszültségeősítés 9 feszültségosztó9, 9, 9 bemeő elleállás 9 folymtos változtthtó feszültségosztó 9 létosztó 9 látöt 9 -lét 93, 97 poteióméte 9 itegáló kö 94 C-kö 94 időálldó 94 L-kö 94 időálldó 94 psszív lieáis égypólus pméteezései dmittipméteek hibidpméteek impedipméteek ivez hibidpméteek ivez lápméteek lápméteek lápméteek kifejezése hibidpméteekkel 3

7 tolsó fissítés: 7 :38 Villmosságt félév 7 oldl lápméteek kifejezése z dmittipméteekkel 3 lápméteek kifejezése z impedipméteekkel 3 lápméteek kifejezése z ivez hibidpméteekkel 3 lápméteek kifejezése z ivez lápméteekkel 3 átvezető elleállás lápméteei 7 soos elleállás lápméteei 6 T-tg lápméteei 7 π-tg lápméteei 7 psszív lieáis égypólus szimmetiáják feltételei 4 dmittipméteekbe 5 hibidpméteekbe 5 impedipméteekbe 4 ivez hibidpméteekbe 5 ivez lápméteekbe 4 lápméteekbe 4 szimmetikus psszív lieáis égypólus kkteisztikus impediáj 6 bemeeti üesjáti és övidzálti impediákkl kifejezve 6 kimeeti üesjáti és övidzálti impediákkl kifejezve 6 lápméteekkel kifejezve 6 z ivez lápméteekkel kifejezve 6 soos elleállás kkteisztikus impediáj 7 T-tg kkteisztikus impediáj 7 π-tg kkteisztikus impediáj 8 em lieáis égypólusok 99 egyeiáyítók 99 egyoldls egyeiáyító 99 ätz-híd 99 kétoldls egyeiáyító 99 feszültségstbilizátook politásfüggetle feszültségstbilizáto stbilizálási téyező szimmetikus égypólus 4 sokpólusok 96 digitál lóg-kovete 97 -lét93, 97, 98 -lét bemeő elleállás 98 logiki kpuk 96 ÉS-kpu 96 VAY-kpu97 stuktuális em eguláis hálózt 75 mtemtiki lpok 9 detemiás ldetemiás 3 detemiások kiszámolás detemiások ldetemiási szeiti kifejtése3 Sus-szbály fktoiális ivezió mie vló detemiás? fktoiális függvéy 4 diffeeiálegyelet 9 diffeeiálegyelet fokszám 9 diffeeiálegyelet edje9 első fokú, első edű diffeeiálegyelet 9 első fokú, másodedű diffeeiálegyelet htáfeltétel itegáiós kosts 9 kekteisztikus egyelet 9 kezdeti feltételek egyváltozós függvéy 4 diffeeiálhtóság4 deivált 4 mie vló deivált? 5 diffeeiálháydos 4 diffeeiálháydos függvéy 4 lieáis ppoximálhtóság 4 itegálhtóság 5 htáozott itegál 5 mie vló z itegál? 6 speiális ttomáyoko ételmezett itegálok kiszámolás gykoltb 8 itegálszámítás lptétele 5 Newto Leibiz-tétel 5 pimitív függvéy 6 mie vló függvéy?4 sklá sklá-függvéy4 függvéyegyelet 9 mie vló függvéy? 4 többváltozós függvéy 4 diffeeiálhtóság6 diffeeiálopeátook diffeeiálopeátook áttekitése divegei 8 gdies 6 Lple-opeáto, 35 bl-vekto 7 otáió 8 piális deivált 6 itegálhtóság 7 speiális ttomáyo ételmezett itegálok 7 felületi itegál 7 felületi itegál kiszámolás gykoltb 8 felületomális 7 felületvekto 7 uss Osztogdszkij-tétel 8 jobbsv 8 jobbsodás 8 Stokes-tétel 7 göbemeti itegál 7 göbemeti itegál kiszámolás gykoltb 8 jobbsv 8, 5 jobbsodás 8 Stokes-tétel 7 téfogti itegál 7 uss Osztogdszkij-tétel 8 téfogti itegál kiszámolás gykoltb 8 sklá vekto-függvéy4 vekto vekto-függvéy 7 komplex itmetik Eule-féle íásmód imgiáius tegely iáyszög képzetes tegely komplex kojugált 3 komplex kojugált kpsolt z bszolútétékkel 3 komplex szám komplex számok gyöke komplex számok háydos komplex számok htváy komplex számsík eális tegely vlós tegely komplex meyiség 3 lieáis egyeletedszeek megoldás 4 Cme-szbály 4 ihomogé egyeletedsze 4 mátix 3 fomális vekto3 mátix szozás vektol4 mie vló mátix? 3 otogoális bázisedsze számtest vekto blsodás fomális vekto3 jobbsodás kompoesegyelet mátix szozás vektol4 mie vló vekto? dimeziós vekto3 vekto bszolútétéke vekto gyság vekto szozás sklál vekto szozás vektol (belső, vgy skláis szozt) vekto szozás vektol (külső, vgy vektoiális szozt) jobbsodás vektoegyelet vektokompoes tegely vetület vektoté 5 eltivisztikus mehik 48 lilei-tszfomáió 44 idő-diltáió 45 ieiedsze 44 Loetz-iviás 49 Loetz-tszfomáió 44, 45 yuglmi tömeg 48 eltivisztikus tömeg 46, 47, 48 sebességtszfomáió 45, 46 távolság-kotkió 45 tömeg tszfomáiój 46, 47

8 tolsó fissítés: 7 :38 Villmosságt félév 8 oldl Bevezetés Ez jegyzet elsősob villmosméök hllgtók Villmosságt tágyához íódott segédygkét, de úgy godoljuk, hogy mások is hszol lpozgthtják elektoiki, elektodimiki ismeeteik bővítése édekébe A jegyzet yg két gyobb egysége bothtó: A éháy oldlo keesztül tágylt Mtemtiki, fiziki lpok fejezetbe ételemszeűe zokt z előismeeteket vesszük so, melyek téyleges tém megétéséhez feltétleül szükségesek Ebbe észbe koátsem töekedtük teljessége má sk zét sem, met eek jegyzetek semmiképpe em lehet élj sem mtemtiki, sem fiziki lpkuzus helyettesítése Sokkl ikább fotosk ttottuk zt, hogy egy helye megtlálhtók legyeek zok legfotosbb foglmk (z ételmezésükkel együtt), melyeke téyleges yg feldolgozás közbe feltétleül szükség lesz, mégpedig egy oly egységes szemléletbe bemuttv, melyet e-élkül z Olvsók több lpkuzus vlószíűe eltéő szemlélettel elődott ismeetygából öálló kellee itegáli z itt tágylt yg feldolgozás közbe A téyleges villmosságt tyg keetébe előszö z elektomos és mágeses mezőkkel fogllkozuk, hogy z itt kiépített lpfoglmk támszkodv tágylhssuk hálóztelmélet lpjit Bá villmosságt kuzus tdiioális kifejezette elméleti jellegű, megemlítjük zokt gykolti votkozásokt is, melyek z elméleti yg megétését, gykoltb vló lklmzhtóságát közvetleül segítik Az ygb számos feldt is tlálhtó, s temészetese midegyik megoldásávl együtt Fotos tudi, hogy ezek egyike sem puszt illusztáió gyát keült feldolgozás, hem met jtuk keesztül, tisztább vgy éppe gykoltisbb lehetett egy-egy elvi poblémát tisztázi Ebből következőe feldtok megoldási éppúgy tyg észét képezik, mit jegyzet egyéb észei, feldtkét vló felvetés pusztá egy htékoy tágylási stíluskét szemléledő A köyebb ételmezhetőség, áttekithetőség édekébe jegyzet egészébe kék szíel kiemelve djuk meg z új foglmk megevezéseit, piossl legfotosbb összefüggéseket, b szíel feldtok szövegét, és zöldes bávl zokt megjegyzéseket, melyeke belül z egyes témköökbe eőse eltejedt hibás vgy káos szemléletet, z esetleges hibás megfotolásokt elemezzük Temészetese ez utóbbik megétése külööse pedig megtulás em szükséges hhoz, hogy tyg elsjátíthtó legye, zét szeepeltetjük mégis, met hibás ismeetek, hibás szemlélet jeleléte viszot megkdályozhtj (és tpsztltik szeit sok esetbe meg is kdályozz) megétést Debee, május

9 tolsó fissítés: 7 :38 Villmosságt félév 9 oldl Mtemtiki, fiziki lpok Fiziki meyiség, meyiségegyelet m A fiziki meyiségek méőszámból és métékegységből állk Például: 3m, 5, V, stb Ezeket sklá-meyiségekek is evezzük A szokásos s m íásmóddl: pl: d, v, ; d 3m, v 5, V, stb A fiziki meyiségek közötti viszoyt ( fiziki defiíiókt, tövéyeket) ú meyiségegyeletek s fomájáb foglmzzuk meg Például: m ρv Ebbe m V téfogto belüli testész tömegét (méőszámát és métékegységét együtt), ρ pedig szób fogó testész sűűségét (méőszámát és métékegységét együtt) jeleti A méöki gykoltb eltejedte hszáltosk z ú méőszámegyeletek Ezzel szép, hgztos megevezéssel zt teháyságot szokás leglizáli, mely szeit meyiségek helyett sk számokkl számolk, mjd mivel z eedméy áltláb mégissk egy fiziki meyiség, számolás végé egyszeűe hozzábiggyesztik umeikus eedméyhez külö megtult métékegységet, ti mi ebből vgy bból z összefüggésből ki szokott jöi o pesze, sk h bemeő dtok méőszámit is lklms egységekhez ttozó íják be (mit zob sjos megitsk külö meg kell tuli mámit, hogy melyik összefüggésbe milye egységekhez ttozó méőszámokt kell behelyettesítei) ádásul z efféle méőszámegyeletek éppe jellegükből fkdó boyolultbb kifejezések esetébe má eheze ételmezhető (és pesze külö megtuldó) kostsokt is ttlmzk Íme, egy gyo egyszeű, és ezét még gyo köye áttekithető péld: v s t [ m ], hol v -t km 3,6 h -b, t -t pedig szekudumb kell behelyettesítei 7 Ez lpjá z összefüggés lpjá ztá következőképpe számolk: v 7, t 3 s 3,6 3 6 m Mi ebbe jegyzetbe ezt z áltluk káosk ttott és felesleges megtehelést jelető gykoltot em követjük, méőszámegyeletek helyett mide esetbe meyiségegyeletekkel foglmzzuk meg állításikt Például z előbbi egyszeű összefüggést következőképpe: s v t km km m Számoli pedig így számoluk vele: v 7, t 3s s 7 3 s 7 3s m, vgyis em megtuljuk, hogy umeikus eedméyhez szób fogó esetbe méte métékegységet kell hozzáfűzi, hem kiszámoljuk Temészetese em midig íjuk ki métékegységekkel vló h h 36 s számolás meetét észletese, mit hogy számokkl végzett számolás bizoyos észeit is sok esetbe fejbe végezzük el, de ilyeko sem íuk le soh olysmit, hogy v 7 vgy t 3, met ezek további (hllgtólgos?) ifomáiók élkül ételmezhetetleek, s mit ilyeek, ételmetleek is Hsoló, em íuk le olyt sem, hogy 7 3 6m, met ez meg egyszeűe hibás éppúgy mit z, hogy 3 6, oh miközbe 3-t -zl megszoozzuk, 3,6 3 kiszámolás léyegi művelet, százsokt má szite utomtikus sk utá íjuk z eedméyek, de e mögött z utomtizmus mögött is számolás ejlik, mit íásb mide lklomml jelölük is, vgyis zt íjuk, hogy 3 6 Temészetese midvégig, kivétel élkül így jáuk el, ká elméleti számolásokt végzük, ká h feldtokt olduk meg!!! Fiziki tövéy A fiziki meyiségek között feálló vlmilye összefüggés, melyet többyie tpsztlti úto (mééseke támszkodv) yeük, esetekét zob más, koább felismet tövéyekből, tpsztltokból logiki úto (mtemtiki levezetés eedméyeképpe) Például tpsztlti téy, hogy vk oly ygok, melyekből készített testeke teljesül, hogy tömegük áyos téfogtukkl Képletszeűe megfoglmzv: m V, vgy m ρv, hol ρ z m V áyosság áyossági téyezője (vgyis z meyiség, mivel V -t megszoozv m-et kpjuk) A fiziki meyiség defiíiój A fiziki meyiségek defiíiói midig vlmilye fiziki tövéye épülek Fiziki tövéy például, hogy z zoos ygú testek tömege téfogtukkl áyos: m V, z ee lpozó defiíió pedig, hogy z eze áyosságb szeeplő áyossági téyezőt szób fogó yg sűűségéek evezzük: m ρv, vgyis modhtjuk, hogy sűűség z meyiség, mit test téfogtávl megszoozv megkpjuk test tömegét Ez sűűség defiíiój ge gykoi, hogy bemuttott esethez hsoló z fiziki tövéy, mely vlmely meyiség defiíióják lpjául szolgál, egyszeű áyosság Az áyosságot későbbiekbe is z itt bemuttott fomáb foglmzzuk meg, vgyis z ú fukioális defiíiós eljáást észesítjük előybe kostukiós eljáássl szembe, mi yit jelet, hogy defiíiób em zt muttjuk be, miből és hogy lehet kiszámoli defiiált meyiséget, hem zt, hogy mely fiziki tövéy lpjá defiiáluk, s hogy mie jó, mie hszálhtó z, h defiiált meyiség étékét ismejük Foglmzhtuk úgy is, hogy meyiségeket em zét defiiáljuk, hogy legye mit kiszámoli, hem zét, hogy h vlho ismejük defiiált meyiség étékét (méésből, más fiziki tövéyből), kko segítségével egyéb, számuk fotos dtokhoz juthssuk, mgát defiíiót pedig úgy foglmzzuk, hogy éppe eek mikétje domboodjo ki belőle Eek szellemébe tesszük zt is, hogy z áyosság bemuttásko em z áyosságb szeeplő meyiségek háydosák álldóságá helyezzük hgsúlyt, hem figyelmet meyiségek áyos változásá iáyítjuk, vgyis meyiségek kpsoltát igyekszük függvéyek láttti

10 tolsó fissítés: 7 :38 Villmosságt félév oldl ge eltejedte, gykoltilg egyedulkodó hszáltos z áyosság lpozott defiíiók oly jellegű megfoglmzás, mit például: sebesség z időegység ltt megtett út, téeősség z egységyi töltése htó eő, mágeses idukió z egységyi ámeleme htó eő, z ámeősség z időegység ltt átámlott töltés, stb, stb Vk ztá tbukét kezelt áyosságok, melyeket ki tudj, miét sosem szokás ebbe fomáb megfoglmzi, mit például: szög z egységyi sugához ttozó ív, szög sziusz z egységyi átfogó eső befogó, töésmuttó töési szög egységyi sziuszá eső beesési szög sziusz, vgy egy bátságosbb hgzó, de vlmiét mégsem hszáltos: z elleállás z egységyi ámeőssége eső feszültség, stb, stb odolkodás-lélekti szempotból édekes, hogy kik hos védik z első sopotb felsoolt defiíiók hszálhtóságát, egyételműségét, féleéthetetleségét, zok gy észe is elveti második sopotb felsoolt defiíiók létjogosultságát, modvá z elleállás em feszültség gz De sebesség sem út, sem z egységyi idő ltt megtett út, sem bámiféle más út! És hsoló, sem téeősség, sem mágeses idukió em eő, z ámeősség em töltés, szög em ív, szög sziusz em befogó, stb Ezét ztá, mit ezek defiíiók állításkét foglmzk meg, z egyszeűe em igz ádásul öök homály fedi, mit is jelet potos beük szeeplő egységyi kitétel H ezt fittjuk, mgyáztkét áltláb z áyosság vló hivtkozás keül elő, mi gyo helyévló lee, sjáltos sk z, hogy mguk defiíiók ezt meg sem említik, pedig vlmeyiek ez z ételme, ez z lpj Pedig milye egyszeű lee megoldás: homályos jeletésű egységyi helyett feltehetőe ez lee hivtott pótoli z áyosság vló hivtkozást yílt kimodv szób fogó meyiségek áyos változásá kellee iáyíti figyelmet! Az ilye jellegű defiíiók sikee, z okttási ygokb vló szite pivilegizált szeepeltetése két dologk köszöhető: egyészt k, hogy övidek, másészt, hogy övidségük elleée is yílt szeepel beük háttébe meghúzódó áyosság midkét szeeplője Ezek téyszeű, vlós előyök zob semmivé foszlk z imét elemzett hátáyok féyébe, ti hogy beük megfoglmzott állítások észbe hmisk, észbe semmitmodók, ezét mi továbbikb sehol em fogjuk hszáli z áyosság ilye jellegű, bújttott megfoglmzását Szokás megpóbálkozi z ilye jellegű defiíiók téyszeűe hibás állításák kiküszöbölésével következőképpe: sebesség megdj (szokásos még megmuttj szófodult is) z egységyi idő ltt megtett utt, téeősség megdj z egységyi töltése htó eőt, mágeses idukió megdj z egységyi ámeleme htó eőt, z ámeősség megdj z időegység ltt átámlott töltést, stb, stb Ezek megfoglmzások má em ttlmzzák zt hmis állítást, hogy sebesség vlmiféle út lee, téeősség vlmiféle eő lee, és így tovább, kédés tehát má sk z, mit is jelet z kitétel, hogy megdj, megmuttj Mást pesze em ige jelethet, mit hogy sebességet z egységyi idővel megszoozv hozzáttozó utt kpjuk, téeősséget z egységyi töltéssel megszoozv á htó eőt kpjuk, z ámeősséget z egységyi idővel megszoozv z eze idő ltt átámlott töltést kpjuk, stb No, de kko meg vjo miét em ezt modjuk ikább?? Így ugyis lee kokét jeletése, zz étei is lehete A feltételes mód k szól, hogy z éthetőséghez még midig hiáyzik, z egységyi idő, egységyi töltés, stb ételmezése Vk oly tköyvek, melyek ézékelik ezt poblémát, és kokétbb foglmzk: sebesség megdj z s ltt megtett utt, stb Amellett, hogy itt is yitv md, mit is jelet z, hogy megdj, újbb poblém is keletkezik: sebességfoglom léyege éppe z, hogy z s ltt megtett utt yi, és sk yi dj meg, mit s, 3s, ltt megtett utt, vgy éppe z, s,, s, ltt megtettet Látjuk tehát, hogy z áyosság lpozott defiíiókk számos hibás változt v foglomb, melyek midegyikébe bból fkd téyszeűe hibás jelleg, hogy midegyik igyekszik ki tudj, miét? megkeüli defiíió lpjául szolgáló áyosság yílt kimodását Vekto Egy em egtív sklámeyiség és egy iáy Pl: 3m, Kelet felé; m 5 s, z sztl közelebb eső skától szob kijelölt sk felé; stb Jelölése: pl:, v, F, stb A sklámeyiséget vekto gyságák (bszolútétékéek) hívjuk Jelölése: pl:, v, F, vgy h ez féleéthető lee, v, F, stb (Féleéthető lehet pl, met, vesszős éték ttozik későbbi időpothoz) Vk oly meyiségek, melyekből em szokás (met em lee egyételmű) egy iáy hozzáedelésével vektot készítei, de szokás meyiség diffeeiális kisiy étékéhez (megváltozásához) iáyt edeli (met z má egyételműe végezhető el) lye pl fogásszög, és felület (l felületi itegálokál) Ezeket vektook megváltozásák jelölésétől (pl: d ) megkülöböztető módo jelöljük: pl: dϕ és da (szembe zzl, h mg ϕ, ill A mg is vektokét ételmezhető lee, mikois dϕ -t és da -t íák) Szokás vektookt iáyított szkszkét defiiáli Ez zob em szeesés, met bá z iáyított szkszok vlób vektook, jóská vk zob egésze más jellegű vektook is, mit pl sebesség, gyosulás, z eő, téeősség, mágeses idukió, stb Így v ez még kko is, h jzb ezek midegyikét iáyított szksszl jeleítjük meg Oly ez, mit miko egy téképe z útszéli feszületeket és templomokt egyát egy keeszttel jelöljük, ettől még templom egésze más md, mit z útszéli feszület gysk szokás szkyelvbe kötött vektoól, szbd vektoól, sőt méöki tköyvek émelyikébe még súsztthtó vektoól is beszéli, és z egyes vektomeyiségeket ezekbe ktegóiákb godos besooli, z egyes ktegóiák külö-külö szbályokt lkoti vektookkl végzett műveleteke Ezek pzit foglmk (is ájuk szükség, sk zvt kelteek), em hszáljuk őket Eek megfelelőe vektofoglomhoz em edelük sem kezdőpotot, sem támdáspotot, sem pedig végpotot, és ugyígy temészetese htásvolt sem Megjegyezzük, hogy igz ez még z eő vektoá is, bá feldolgozott témából fkdó ebbe jegyzetbe sok dolguk z eővektol em lesz Mie vló vekto? A, hogy z egyébkét sk ehézkese, összetette megfoglmzhtó (geometii kitételeket is ttlmzó) megállpításikt övid, tömö, fomális műveleteke lklms fomáb foglmzhssuk meg Ahelyett például, hogy zt modák, z elejtett test úgy mozog, hogy z áltl zoos idők ltt befutott szkszok mid páhuzmosk, és szbd víz felszíée meőlegesek, hosszik pedig úgy áylk egymáshoz, mit pátl számok égyzetei -től kezdődőe, modhssuk egyszeűe zt, hogy z elejtett test szbd víz felszíée meőleges, álldó gyosulássl mozog A hitelesség kedvéét fotosk ttjuk megemlítei, hogy z idézőjelbe tett, m má boyodlmsk tűő megfoglmzást (mibe léyeget em is oly egyszeű megláti) em mi tláltuk ki z elettető péld kedvéét, hem lilei szbdo eső testek mozgásák vizsgáltát összegezve, met kkoib még hiáyoztk mozgások leíását áttekithetővé, egyszeűvé tevő vektomeyiségek

11 tolsó fissítés: 7 :38 Villmosságt félév oldl Sokk szemébe (sjos, jóská kdk köztük fiziktáok is) vektook hszált sk felesleges köülméyeskedés, mi elfedi léyeget, boyolulttá, áttekithetetleé teszi z egyébkét egyszeű dolgokt Ez igz is, h hszáltukt oly eseteke kolátozzuk, hol is ájuk szükség (pl középiskoli fiziktygb z egyeesvolú mozgások tágylásá), o meg, h vektofoglmt oly felesleges, pzit foglmkkl teheljük meg, milyeekől defiíiójáál tett megjegyzésbe ítuk Mide más esetbe éppe z ellekezője igz, vektook hszált tágylásmódot jeletőse leegyszeűsíti (hisze éppe e él édekébe hozták léte vektofoglmt!), sőt, lévé, hogy vektook jzok segítségével képszeűvé is tehetők, velük megfoglmzott összefüggések olyok számá is eléhetővé válk, kik előtt z lgebikus kifejezések eőse bsztkt jellege eheze leküzdhető kdálykét toyosul Vektokompoes Egy vektoból és egy ökéyese válsztott iáyból (tegely) képzett sklámeyiség: vekto gyság szoozv vekto és z ökéyese válsztott iáy áltl bezát szög kosziuszávl A vektokompoest geometii szemléletesség kedvéét válsztott iáyb muttó tegelye votkozttott vetületek is evezzük (pl: x osα z x -tegelye votkozó vetület) Jelölés: Az x otogoális kompoeseivel megdv y xe ye ze3 z osα α Kiemelt szeepe v háom egymás meőleges tegelye (otogoális bázisedszee) votkozttott vetületek: többek között ezek is egyételműe meghtáozzák mgát vektot, de vekto gyság velük kifejezhető ki legkéyelmesebbe, pl: v vx vy vz (Pitgosz-tétel) Szokás vektokompoest z itt bemuttottól eltéőe, mgát is vektokét defiiáli Ez megtehető éppe, skhát ezzel kompoes éppe zt tuljdoságát veszti el, mie vló, ti hogy lklmzásávl lehet edkívül tömö fomáb megfoglmzott vektoegyeletekből észletesebb számolás lklms skláegyeleteket előállíti (mégpedig külöösebb geometikus megfotolások élkül, egyszeű fomális műveletek eedméyekét, szite utomtikus) Vektoegyelet, kompoesegyelet A má megismet meyiségegyeletek vektookt is ttlmzhtk (mit zt má megállpítottuk, vk vekto jellegű fiziki meyiségek is) Például: v t vgy F Eq, stb Az így megfoglmzott állítások még tömöebbek, mit sklá meyiségegyeletekkel megfoglmzottk: két vgy háom sklá meyiségekkel megfoglmzhtó állítást sűíteek mgukb ge gykoi, hogy vektoegyeletekbe sűített állításokt skláegyeletekké botv végezzük el észletes számolásokt Eek két lpvető módszeét szokás hszáli: A vektook kokét eledezését kihszálv geometii megfotolások lpjá kiszámoljuk vektook gyágát, egymássl bezát szögét, stb ( sziusz-tétel, kosziusz-tétel, stb segítségével) Ez megoldás szemléletese muttj geometii viszoyokt, de z így végzett számolásokhoz is áltláos követhető eept, gyk ötletet is igéyelek A poblémáb szeeplő vektoegyeleteket lklms válsztott tegelyek meté utijellegű, fomális eljáássl kompoeseke botjuk, s z így yet sklákompoes-egyeletekkel számoluk Ez z eljáás kevésbé szemléletes, viszot midig végigvihető, em igéyel ötletet Például v t vektoegyelet sklákompoes-egyeletei: x vx t, y vy t, z vz t, hol x, y, z tetszőlegese felvett tegelyek (Temészetese további tegelyeket is felvehetük, de z így yet további egyeletek má em lieáis függetleek Síkbeli poblém eseté sk két lieáis függetle egyeletet yehetük) Ahhoz, hogy z így yet kompoes-egyeletekkel vlób számolhssuk, má sk beük szeeplő vektokompoeseket kell előállítuk, mi koább elmodottk szeit ugysk utifeldtk tekithetők Az itt példkét bemuttott vektoegyelet egyébkét sebesség helyes defiíiójáb szeeplő áyosságot foglmzz meg (z elmozdulás és z eltelt idő áyosságát), példkét má többszö idézett sebességdefiíió ugyis bból szempotból is hibás, hogy sebesség vektomeyiség, így sklámeyiségek áyosságá lpozott defiíiój yilvávló em is lehet helyes, de leglábbis oly jellegű további kiegészítéseket igéyele, mi hszáltát vektomeyiségekkel megfoglmzott áyosság helyett edkívül élszeűtleé teszi Ee z eddigiekbe em tétük ki, és most sem észletezzük, met sebesség helyes defiiálás eek jegyzetek em élj, pusztá, mit z áyosság lpozott defiíiók legismetebbikét idéztük többszö is ge eltejedt z tévhit, mely szeit vektook kompoeseke botását midig egy otogoális bázisedsze tegelyeie votkozó kell elvégezi Ez em így v, tegelykét hszált iáyított egyeesek tetszőleges helyzetbe és tetszőleges számb vehetők fel (sokszo elegedő például sk egyet felvei), és midegyikkel elkészíthetők megfelelő kompoesek Az viszot igz, hogy síkbeli poblém eseté így mximális két lieáis függetle egyelethez juthtuk (két külöböző síkbeli tegelyt hszálv), tébeli poblém eseté pedig mximális háom lieáis függetle egyelethez ( háom szbdo válsztott tegely em eshet egy síkb) Vekto szozás sklál H λ egy sklámeyiség, pedig egy vekto, kko λ meyisége zt vektot étjük, melyek gyság λ, iáy pedig iáyávl megegyező, h λ >, és iáyávl elletétes, h λ < Az x λx otogoális kompoeseivel kifejezve: λ λ y λ y z λ z

12 tolsó fissítés: 7 :38 Villmosságt félév oldl Vekto szozás vektol (belső, vgy skláis szozt) Az és b vekto b -vel jelölt skláis szoztá következő sklámeyiséget étjük: b b osα, hol α z és b vektook áltl bezát szög Tekitettel, hogy -k b iáyá vetett vetülete b osα, két vekto skláis szozt vetületével is meghtáozhtó, b bb, és hsoló b -ek iáyá votkozttott vetületével is, b b Bizoyíthtó, hogy két vekto skláis szozt otogoális kompoeseikkel is kifejezhető következőképpe: bx b ( x y z) b y xbx yby zbz b z Háom, em egy síkb eső vekto sodás Az, b, em egy síkb eső vektookt felsoolás soedjébe jobbsodásúk modjuk, h -vel szembeézve -t 8 o -ál kisebb, z ómuttó jáásávl elletétes ételmű fogtássl lehet b iáyáb befogti (ilye z ábá láthtó háom vekto), ellekező esetbe vektohámst blsodásúk evezzük Az elevezés o számzik, hogy ilye eledezésű jobb-kéz hüvelyk, muttó és középső ujj is ( felsoolás soedjébe) Köye beláthtó, hogy sodást vektook iklikus seéje em változttj meg, vgyis, h, b, felsoolás soedjébe jobbsodású, kko ugysk felsoolás soedjébe jobbsodásúk b,, és,, b vektohámsok is b Vekto szozás vektol (külső, vgy vektoiális szozt) Az és b vekto b -vel jelölt skláis szoztá zt vektot étjük, mely meőleges mid -, mid b -e, mégpedig úgy, hogy z, b, b vektook felsoolás soedjébe jobbsodásúk legyeek, gyság pedig: b bsi α (hol α z és b vektook áltl bezát szög) Tekitettel, hogy -k b -e meőleges vetülete si α két vekto áltl felfeszített plelogmm lpjához ttozó mgsság, b szób fogó plelogmm teületekét is szemlélhető, s így igz, hogy b b b Bizoyíthtó, hogy két vekto vektoiális szozt otogoális kompoeseikkel is kifejezhető következőképpe: b x y z zbx xbz b b i j k b y z b z y x by b z x y b y x Detemiás j sob és oszlopb edezett, db meyiséghez következő módo edelt egyetle meyiség: ( ), j, j,, j, hol k, j k so j i i oszlopáb tlálhtó meyiség, j, j, j z,,, temészetes számok egy lehetséges felsoolás ( j -edik), j pedig z,,, temészetes számok j j, j,, j felsoolásáb előfoduló iveziók szám vezióól kko beszélük, h j, j,, j felsoolásb egy elemet egy ál gyobb előz meg Például 3,, felsoolásb z iveziók szám 3 (met z utolsó helye álló -et 3 is és is megelőzi, továbbá -t is megelőzi 3), így z, 3, 3, szoztot egtív előjellel kell z összegzésbe szeepelteti 3 3-s detemiás kifejtésébe, met ( ) 3 Az,,, temészetes számok lehetséges felsoolásik szám! ( -fktoiális), hol! 3,,,,,, Jelölés:,,, Mie vló detemiás?, vgy utlásszeű, övidített módo A, hogy segítségével bá egyszeű, de boyolultság látsztát keltőe hosszdlms számolásokt egyszeűbbe, övidebbe, fomális végezhessük el, jóská sökketve ezzel hosszdlms számolás közbe megövekvő tévesztési lehetőséget (Kokét példát később lieáis egyeletedszeek megoldásák bemuttás kpsá ismetetük l Cme-szbály) Ahhoz hsoló ez, mit miko ppío, euzávl kezükbe egyszeű fomális szbályokt követve osztuk, élkül, hogy kiteék mgukt z osztás műveletéek ételmezésée támszkodó hosszdlms eljáás közbe köye elkövethető hibákk övide foglmzv vló, hogy bizoyos helyzetekbe gyos, biztoságos eedméye vezető módo, utomtizált számolhssuk A detemiások kiszámolás A leggykbb előfoduló -es és 3 3-s detemiások kiszámolás edkívül egyszeű, mehikus műveletté tehető z ú Sus-szbály lklmzásávl Az téyezős szoztok téyezőiek összeállítását két lépsőbe végezzük: Az első so elemeitől blól jobb hldv mide újbb téyező megállpításához úgy lépük újbb sob és oszlopb, hogy egy sol lépük lefelé és egy oszloppl jobb, mjd h eközbe z utolsó oszlopból má em tuduk továbbhldi, kko z eggyel letebbi sot z első oszlopb kezdjük Az így yet szoztokt z összegzésbe pozitív előjellel vesszük figyelembe Az így előállított első tg első téyezője z első so első eleme, z utolsó tg pedig z első so utolsó eleme!

13 tolsó fissítés: 7 :38 Villmosságt félév 3 oldl Az első so elemeitől jobból bl hldv mide újbb téyező megállpításához úgy lépük újbb sob és oszlopb, hogy egy sol lépük lefelé és egy oszloppl bl, mjd h eközbe z első oszlopból má em tuduk továbbhldi, kko z eggyel letebbi sot z utolsó oszlopb kezdjük Az így yet szoztokt z összegzésbe egtív előjellel vesszük figyelembe Az így előállított első tg első téyezője z első so utolsó eleme, z utolsó tg pedig z első so első eleme A szbály lklmzásávl egy -es és egy 3 3-s detemiás étéke következő:,,,3,,,,,,,,,,3,, 3,3,,3 3,,3, 3,,3, 3,,, 3,3,,3 3,,, 3, 3, 3,3 Aldetemiás Az -es detemiás j, k -dik eleméhez ttozó ldetemiásák hívjuk zt z ( ) ( ) -es detemiást, mely z -es detemiásból j so és k oszlop tölésével keletkezik A detemiások sook és oszlopok szeiti kifejtése j k Bizoyíthtó, hogy z -es detemiás étéke ( ) k, jak, j, hol k, jz -es detemiás k soák j eleme, A k, j pedig k so és j oszlop j tölésével előállított ldetemiás Ezt z előállítást detemiás k so szeiti kifejtéséek hívjuk Például:,,,3,,3,,3,,,,,3,,3 3, 3,3 3, 3,3 3, 3, 3, 3, 3,3 A, A, A,3 j k A detemiások z oszlopik szeit is kifejthetők: ( ) jk, Ajk, hol jk, z -es detemiás k oszlopák j eleme, A jk, pedig k oszlop és j j so tölésével előállított ldetemiás Ezt z előállítást detemiás k oszlop szeiti kifejtéséek hívjuk Például:,,,3,,3,,3,,3,,,3, 3, 3, 3,3 3, 3,3,,3 3, 3, 3,3 A, A, A3, Mátix sob és m oszlopb edezett meyiséghlmz (Hsoló detemiáshoz, zzl külöbséggel, hogy sook és oszlopok egyelő szám is megkötve, továbbá, hogy szembe detemiássl, mátixhoz em ttozik egy z elemekből előállított meyiség),,, m,,, m Jelölés:,,, m Fomális vekto is tekithető mátixk (mégpedig egy 3 típusúk), melyek elemei vekto otogoális kompoesei: Eek lpjá szo- z kás z soból és oszlopból álló mátixokt áltláosbb ételembe vett ú dimeziós vektok tekitei Mie vló mátix? A mátixok szeepe egyészt vektookéhoz hsoló: segítségükkel tömö, sűített (tehát köye memoizálhtó) fomáb foglmzhtók meg oly állítások, melyeket élkülük sk sokkl összetettebb lkb lehete elmodi, másészt szeepük detemiásokéhoz is hsoló yib, hogy velük bizoyos számolások fomlizált szbályokb edezhetők, így övidebbé, biztoságosbbá, áttekithetőbbé tehetők x y

14 tolsó fissítés: 7 :38 Villmosságt félév 4 oldl Mátix szozás vektol Az m oszlopból álló mátix egy m soból álló fomális vektol szoozhtó össze, z eedméy egy -es mátix, vgy mi ugyz, egy kompoesű m, kbk,, k, m b m,,, m b, kbk fomális vekto: k Az -es mátixokt bb (és skis bb) z ételembe tekitjük vektookk, hogy,, b, m m m, kbk k fomilg ugyúgy dhtók meg, mit közöséges (tébeli iáyt is hodozó) vektook z otogoális kompoeseikkel Lieáis egyeletedszeek megoldás (Cme-szbály) Bizoyíthtó, hogy z, x, x, x b x x x b,,, x x x b,,, lieáis ihomogé egyeletedsze ( ( ) b, b,, b elemek leglább egyike em ull) kko és sk kko megoldhtó, s h z egyeletedsze de-,,,,,, j em ull, s hogy ekko x j, hol j z detemiás, melyet z egyeletedsze detemiásából úgy ye- temiás, ük, hogy j oszlopát Függvéy,,, b b fomális vekto elemeivel felseéljük b Léyegébe egy hozzáedelés, mely változó ételmezési ttomáyá belül mide változóétékhez egyetle függvéyétéket edel Egyváltozós: y f ( x), ezt sklá sklá-függvéyek is modjuk Többváltozós: y f ( x, y, z) H ( x, y, z ) egy vekto otogoális kompoesei, kko f ( x, y, z) f ( ) -et sklá vekto-függvéyek modjuk A mtemtiki ételembe egzktul foglmzott defiíió (mi fetebb felvázolttl zoos ttlmt hodoz) szeit függvéy két hlmz diektszoztá ételmezett eláió Eek észletes kifejtésével most em fogllkozuk, met is á szükségük Mie vló függvéy? A, hogy vele bizoyos meyiségek kpsoltát övid, egyételmű és áttekithető, végül, de em utolsó sob esetekét képi fomáb dhssuk meg A képi megjeleítés (pl gfiko) sokszo egyetle ápilltás yújtj zt z ifomáiómeyiséget, mit e-élkül sk boyodlms elemzést igéylő fomáb tudák megfoglmzi! Diffeeiálhtóság Elegedőe övid szkszo mide oly függvéy, melyek vizsgált szkszo is szkdás vgy töéspotj, közelíthető lieáis függvéyel, zz függvéyéték megváltozás változó megváltozásávl (z előe megkívát potosságig) áyosk tekithető: f ( x) f ( x ) x, hol x z változóéték, melyek köyezetébe függvéy változását vizsgáljuk Az f ( x )-ll jelölt áyossági téyezőt z f ( x ) függvéy x helye vett diffeeiálháydosák ( deiváltják) evezzük Azokt függvéyeket, melyekek megváltozás z x változóéték elegedőe kisiy köyezetébe áyosk tekithető változóéték megváltozásávl, z x potb lieáis ppoximálhtók, vgy diffeeiálhtók modjuk H egy függvéy z ételmezési ttomáy mide potjáb diffeeiálhtó (zz mide változóétékél tlálhtó oly lieáis függvéy, mely k helyek köyezetébe belesimul függvéybe), kko újbb függvéyt készíthetük, olymódo, hogy mide változóétékhez hozzáedeljük köyezetébe évéyes áyos változás áyossági téyezőjét Az így elkészített újbb függvéyt z eedeti függvéy diffeeiálháydos függvéyéek (vgy deiváltják) evezzük fx ( ) x x f (x ) >f ( x) x

15 tolsó fissítés: 7 :38 Villmosságt félév 5 oldl Az y f ( x) függvéy x helye vett diffeeiálháydosák jelölésée következő szimbólumokt hszáljuk: ( ) ( ) f x y, diffee- dx df x df x iálháydos-függvéy jelölésée pedig f ( x) y szimbólumokt dx dx df dx ( x) df ( x ) x x ( ) A gyk hszáltos függvéyek diffeeiálháydos-függvéyei mtemtik köyvekbe, ill kéziköyvekbe köye megtlálhtók Ezek és éháy egyszeű, köye beláthtó diffeeiálási szbály ismeetébe léyegébe tetszőleges diffeeiálhtó függvéy diffeeiálháydos-függvéye előállíthtó A következőkbe összefoglljuk legfotosbb diffeeiálási szbályokt: Neve Deiválás kostsszoos függvéy deiválás összegfüggvéy deiválás szoztfüggvéy deiválás háydosfüggvéy deiválás közvetett függvéy deiválás ivez függvéy deiválás d ( f ( x) ) d f ( x) dx dx d ( f ( x) g( x) ) d f ( x) dg( x) dx dx dx d ( f ( x) g( x) ) d f ( x) d g( x) g ( x) f ( x) dx dx dx f ( x) ( ) ( ) d d f x dg x ( ) g ( x) f ( x) d g x dx dx f ( x) d f ( x) dx ; speiális g ( x) dx f ( x) dx d f ( g( x) ) d f ( x) dg( x) dx d g( x) dx h y f ( x), és d y ( x) d f ( x) dx( y) d f ( y), kko dx dx dy dx d f ( x) dx Mie vló deivált? A, hogy egy-egy övid szkszo viszoylg boyolult függvéyt is egyszeű áyosságkét (lieáis függéskét) szemlélhessük: ( ) ( ) f x f x x vgyis, hogy segítségével köye meghtáozhssuk függvéyéték oly megváltozásit, melyek változóétékek elegedőe kisiy megváltozásához ttozk Ebből megfoglmzásból kitűik, hogy diffeeiálháydost em, mit egy elvot mtemtiki kostukiót szemléljük, miek geometii jeletése függvéygöbéhez húzott éitő iáytgese, hem elsősob, mit függvéyek lieáis közelítéséek htékoy eszközét (Bá ismejük, és mguk helyé méltáyoljuk is z oly jellegű mtemtiki fiomságokt, mit pl hogy létezek z ételmezési ttomáyuk mide potjáb folytoos, de egyetle potb sem diffeeiálhtó függvéyek, z itt kiemelt szempotból zob z ilyesmit em ttjuk fotosk, figyelmüket ehelyett edese viselkedő függvéyek lieáis közelíthetőségée fodítjuk) tegálhtóság Az f ( x ) függvéy [, b ] itevllumo bekövetkező megváltozás yilvávló összekhtó z [, b ] itevllum xk szkszi bekövetkező megváltozásiból: f ( b) f ( ) f f f, hol fk z f ( x ) függvéy xk szkszo bekövetkező megváltozás ( k,,, ) H xk elegedőe kisiy, és z f ( x ) függvéy z [, b ] itevllum mide potjáb diffeeiálhtó, kko mide kisiy xk -hoz ttozó megváltozás fk f ( xk) xk lkb íhtó, hol x k xk itevllum belső potj (élszeűe pl felező potj) Összefogllv f ( b) f ( ) f f f f ( x) x f ( x) x f ( x) x, hol x, x,, x z [ b, ] itevllum egy felosztás, x, x,, x pedig felosztás megfelelő itevllumáb felvett változóétékek Ez z itegálszámítás lptétele, más éve Newto Leibiz-tétel Az f ( x) x f ( x) x f ( x) x f ( xk) xk meyiséget z f ( x) függvéy [, b ] itevl- k lum votkozó htáozott itegálják evezzük

16 tolsó fissítés: 7 :38 Villmosságt félév 6 oldl b d Jelölés: f ( x) x f ( x) x f ( x) x f ( xk ) xk f ( x) x k Mtemtiki ételembe ez sk úgy tehető egyétékű hozzáedeléssé (függvéyé), h z ( ) b ( ) d lim ( k) f x x f x x A Newto Leibiz-tétel így z x k k k b ( ) d ( ) ( ) f x x f b f f xk xk összegekek htáétékét képezzük: k lkb íhtó, hol f ( x ) z f ( x) függvéy pimitív függvéye (vgyis oly függvéy, melyek meedeksége mide potb éppe f ( x) ) Míg függvéyek diffeeiálháydos függvéyét előállíti diffeeiálhtóságál tett megjegyzés szeit éháy egyszeű szbály ismeetébe utifeldtk számít, ddig pimitívfüggvéy megkeesése má sokkl több pólékos ismeetet igéyel, és sok esetbe lklms ituíió élkül el sem végezhető (kko sem, h mg htáozott itegál egyébkét létezik) gz viszot, hogy z egysze vlhogy megsejtett pimitívfüggvéy lklmsság éppe deiválás köye elvégezhetőségéből fkdó midig elleőizhető Alklms pimitívfüggvéy hiáyáb (mikois em tudjuk lklmzi Newto Leibiz-tételt) htáozott itegált defiíiójáb szeeplő itegálközelítő összeg kiszámolásávl htáozzuk meg Bá ez z eljáás mtemtiki szempotból sk közelítések tekithető, mi z így yet eedméyeket is teljes étékűek tekitjük (l speiális ttomáyoko ételmezett itegálok kiszámolásáál) További ehézséget jelethet z itegálközelítő összeggel vló számolásb z esetlegese ige sok tgú összeg előállítás és kezelése, ez zob számítástehik mi állpot szeit má em igzá jelethet poblémát Így ztá egyetle vlódi hátáykét z md, hogy pimitívfüggvéy hiáyáb em tudjuk htáozott itegált mit z itegálási htáok függvéyét szemléli, mie gyk szükség lee Eze úgy szokás segítei, hogy külöböző itegálási htáokkl közelítő összeg kiszámolásávl meghtáozott étékeke (mit függvéyétékeke) litikus függvéyt illesztük (melyek függetle változój z itegálási htá) Az így kpott közelítések leglábbis bb ttomáyb, melybe z illesztést végeztük áltláb jól hszálhtó eedméyeket szolgálttk Mie vló z itegál? A, hogy vele vlmely függvéy étékeivel képzett f ( x) x f ( x) x f ( x) x típusú szozt-összegeke votkozó állításokt övid, tömö és egyételmű fomáb foglmzhssuk meg, továbbá, hogy z ilye jellegű szozt-összegek étékét gyos és köye (lehetőleg hosszdlms számolás élkül) meghtáozhssuk (L még speiális ttomáyoko ételmezett itegálok kiszámolásáál tett megjegyzést!) Többváltozós függvéy diffeeiálhtóság A többváltozós függvéyből vizsgált éppe kiszemelt egyetle változó túlik átmeeti ögzítésével egyváltozós függvéyt készíthetük Például: d f ( x, yögz, zögz ) f ( x) f ( x, yögz, zögz ) Így meyiség megszokott módo ételmezhető, z f ( x, y, z ) függvéy x-szeiti piális deiváltják dx x x evezzük Étéke temészetese függ ttól, hogy y -t és z -t mely étékekél ögzítettük d f ( x, yögz, zögz ) f ( x, y, z) f ( x, y, z) Jelölés: dx x x x x x x A függvéy vlmely ( x, y, z) f ( x, y, z) f ( x, y, z) f ( x, y, z) (,, ) pot köüli teljes megváltozás összekhtó z egyes változók szeiti megváltozásokból:: pot- f x y z x y z x y z Ez fomális két vekto sklászozták tekithető: f ( x, y, z) f ( x, y, z) f ( x, y, z) f ( x, y, z) f ( x, y, z) f ( x, y, z) x y z,, ( x, y, z) x y z x y z gd f( ) f x y z függvéy ( x, y, z) beli gdieséek evezzük: f ( x, y, z) x f ( x, y, z) gd f ( x, y, z) y f ( x, y, z ) z Az (,, ) potbeli piális deiváltjiból (mit kompoesekből) képzett fomális vektot z (,, ) f x y z függvéy ( x, y, z )

17 tolsó fissítés: 7 :38 Villmosságt félév 7 oldl Összefogllv Ez léyegébe ( ) ( ) f f ( ) gd ( ) f x f x x egyváltozós lk többváltozós megfelelője Mg gdies is ételmezhető fomális: mit egy fomális vekto és egy skláfüggvéy skláis szozt: (,, ) f x y z x f ( x, y, z),, f ( x, y, z) y x y z f ( x, y, z ) z x x A kompoesekkel ételmezett fomális vektot bl-vektok evezzük, és y -vl jelöljük: y z z Ezzel gd f ( x, y, z) f ( x, y, z) Vekto vekto-függvéy Vektohoz vektot edel Például tipikus egy tébeli helyhez vlmely vektot: v Jelölés pl: v ( ), vgy áltláosbb: f ( ) öbemeti itegál Az f ( ) vekto vekto-függvéyel elkészített f ( j) j összeget függvéy göbemeti itegálják evezzük, hol j göbe potji fut végig, j j pedig z j vekto köyezetébe göbébe simuló, bejáás iáyáb muttó vekto, melyek gyság göbedb hossz (elmozdulás) Jelölés: ( ) lim ( j ) f d f Felületi itegál Az f ( ) j j vekto vekto-függvéyel elkészített f ( j ) j j A j összeget függvéy felületi itegálják evezzük, hol j felület potji fut végig, Aj pedig z j felületi pot köyezetébe felvett felületdb meőleges vekto (felületomális), melyek gyság felületdb météke (felületvekto) Jelölés: ( ) lim ( j) Az f ( ) F f da f A A j j j függvéy vlmely felülete vett itegálját z f vekto kédéses felülete votkozó fluxusák is evezzük Megállpodás A vekto vekto-függvéyek zát felülete vett fluxusák számolásko felületomálist midig kifelé iáyítjuk Téfogti itegál f sklá vekto-függvéy téfogti itegáljá lim f ( j) Az ( ) z j pot köül felvett téfogtelem Vj V j j összeg htáétékét étjük, hol j válsztott téfogt potji fut végig, Vj pedig A göbemeti és felületi itegál összefüggése (Stokes-tétel) Bizoyíthtó, hogy h f ( ) piális deiváltji z F felülete folytoosk, kko f ( ) d ( f ( ) ) da, F hol F zát göbe áltl felfeszítetett vlmely felület, és d -et koábbi koveióko túlmeőe úgy kell iáyí- d da

18 tolsó fissítés: 7 :38 Villmosságt félév 8 oldl ti, hogy da köüljáási iáyl jobbsvt lkosso (jobbsodású legye), f ( ) f ( ) f ( ) y z fx( ) fz( ) következő vektot edeli: z x fy ( ) fx ( ) x y z y, mit z f ( ) pedig egy vekto vekto-függvéy, mely té mide potjához vekto vekto-függvéy otáióják hívuk, és ot f ( ) -el is jelöljük Összefogllv fz ( ) f y ( ) i j k y z f x( ) fz( ) A ot f ( ) f ( ) vekto vekto-függvéy bevezetésével Stokes-tétel x y z z x fx( ) fy( ) fz( ) fy ( ) f x ( ) x y lkb íhtó f d ot f da ( ) ( ) F A téfogti és felületi itegál összefüggése (uss Osztogdszkij-tétel) Bizoyíthtó, hogy h f ( ) piális deiváltji V téfogto belül folytoosk, kko f ( ) d f ( ) da, F V hol V z F zát felülete belül lévő téfogt, f ( ) pedig bl fomális vektol képzett sklá vekto-függvéy, mely té mide potjához következő skláétéket edeli: A sklát z ( f x( ) fy ( ) fz( ) f x( ) fy ( ) fz( ) f ) vekto divegeiáják hívjuk, és ( div f )-el jelöljük x y z x y z Összefogllv fx ( ) fy ( ) fz ( ) A div f ( ) f ( ) sklá sklá-függvéy segítségével uss Osztogdszkij-tétel x y z lkb íhtó F f da div f dv ( ) ( ) A speiális ttomáyoko (göbe meté, felülete, téfogto) ételmezett itegálok kiszámolás gykoltb A gykoltb speiális ttomáyoko vett itegálokt gyo gyk elemi umeikus módszeekkel htáozzuk meg Ez zt jeleti, hogy em keesük szükségképpe z dott itegdushoz és itegálási ttomáyhoz illeszkedő pimitív függvéyt, s így z itegálszámítás lptételét sem lklmzhtjuk, hem z itegál ételmezéséhez visszyúlv, következőképpe jáuk el: Felosztjuk z itegálási ttomáyt ( göbét, felületet vgy téfogtot) oly kis ttomáyok, melyeke z itegdus kostsk tekithető ( eltív megváltozás kisiy ttomáyo belül elhygolhtó), így egy-egy ilye ttomáyhoz egyételműe edelhető z itegdus egy kokét étéke Az itegdus egy-egy ttomáyhoz ttozó étékét z itegálb meghtáozott módo (sklál vló szozáskét, vektook skláis szozáskét, vektook külső szoztkét) megszoozzuk ttomáy métékével (pl téfogttl, felületvektol, téfogtelemmel Ezt műveletet z itegálási ttomáy felosztásáb szeeplő mide ttomáydbo elvégezzük Az előző lépésbe yet szoztokt összegezzük, és z így yet étéket tekitjük z itegál étékéek A gykolti poblémák jeletős észébe elegedő fetebb észletezett felosztáshoz,,, mximális 4, 5 észttomáyt válszti gz, hhoz, hogy kevés észttomáyl dolgozhssuk, élszeű z dott poblémáb ejlő speilitásokt (áltláb szimmetiákt) kihszáli Midez tömöe összefogllv yit jelet, hogy z itegál étékét zoosk tekitjük z elegedőe észletes felosztáshoz ttozó itegálközelítő összeg étékével Bá mtemtiki szempotból z itt ismetetett eljáás semmiképpe sem tekithető z itegál kiszámítási módják (hisze htáátmeet képzése em szeepel bee, s eek vizsgált élkül még z sem biztos, hogy z így elkészített összegek egyáltlá kovegesek-e, zz, hogy mtemtiki ételembe egyáltlá létezik-e kiszámíti kívát itegál), gykoltb mégis bát lklmzzuk, hisze fiziki ttlomml áltláb z összegzedő szoz- V

19 tolsó fissítés: 7 :38 Villmosságt félév 9 oldl tok edelkezek, s ezét z itegál kiszámítását sokkl ikább z elegedőe kisiy ttomáyok votkozó összegzés kéyelmes elvégzéséhez (és egyáltlá megfoglmzásához) lklms segédeszközkét szemléljük, mitsem z úgymod potos eedméyt meghtáozó mtemtiki eljááskét: Ak, hogy egy feszültségméő em, 4 V -ot, em is, 4 V -ot, de még sk em is,44 V-ot mutt, stb, hem potos V-ot, semmilye kokét fiziki ttlmt em tuduk tuljdoíti Foglmzhtuk úgy is, hogy em z,, 3,, stb étékes jegy potossággl elvégzett méési eedméyt tekitjük vlóságot megtestesítő litikus számolás közelítéséek, hem éppe fodítv, z litikus számolást tekitjük méési eedméyek közelítésée lklms (és ige htékoy!) eszközek Hsoló helyzet diffeeiálássl kpsoltb is A fizikus, méök számá kokét, méhető meyiségek külöbségekét ételmezett diffeeiák, ill ezek háydos bí kokét ttlomml, diffeeiálháydos sk egy mtemtiki segédeszköz (egy gyo is kézbeillő szeszám), melyek segítségével köye, szemléletese, függvéykét tudjuk láttti külöböző változóétékek mellett képzett diffeeiháydosok étékét Eek megfelelőe ztá fizikusi, méöki számításokb például d f d típusú kifejezésekbe bát egyszeűsítük d -el, holott ez mtemtiki szempotból mjdem d dx kko bűek számít, mit log x lkú kifejezésbe log-gl egyszeűsítei (mit pesze fizikus és méök sem tesz, met hibás eedméyhez vezet, log y szembe z előbb elmodottk szellemébe diffeeiálháydosokt ttlmzó kifejezésbe d -el vló egyszeűsítés esetével) És miközbe így jáuk el, még sk zt sem tesszük hozzá, mit fizikus elődásoko ilyeko áltláb téfás élelődve modi szokás, ti hogy ztá mtemtikusokk el e áulják ezt Nem ttjuk titokb, és em is ttjuk bűös pogyolságk, hogy diffeeiálháydos éppúgy, mit htáozott itegál számuk szembe mtemtikusi megközelítéssel em mg vizsgálódás tágy, hem sokkl ikább lklms eszköze, mely segíti téyleges vizsgálti témá votkozó megállpításik áttekithető, tömö fomáb tötéő megfoglmzását Függvéyegyeletek A meyiségeke votkozó állításokhoz (meyiségegyeletekhez) hsoló függvéyeke is megfoglmzhtók oly állítások, melyekek em mide függvéy felel meg Például z f ( x ) f ( x) állítás (hol f ( x ) vlós számok hlmzá ételmezett függvéy, x és tetszőleges vlós számok) igz z f ( x) (hol kosts) típusú függvéyek midegyikée, de hmis z f ( x) x b lkú lieáis függvéyeke (hol és b kostsok) Mgukt függvéyeke megfoglmzott állításokt függvéyegyeletekek, zokt függvéyeket pedig, melyekkel z állítások igzk bizoyulk, függvéyegyelet megoldásák evezzük Szembe jól megszokott lgebi egyeletekkel, függvéyegyeletek megoldás tehát em egy meyiség, hem egy függvéy! További példák: z f ( x) f ( x) egyeletek megoldásit páos függvéyekek evezzük (ilyeek például z f ( x) Aos x vgy z f ( x) x ), z f ( x) f ( x) egyelet megoldásit pátl függvéyek evezzük (ilyeek például z f ( x) Asi x vgy z f ( x) x függvéyek) Mit z előbbi példákból láthtjuk, egy-egy függvéyegyeletek több megoldás is lehet A fizik szktudomáy szempotjából és eze belül villmosságt keetébe is edkívül fotosk zok függvéyegyeletek, melyek függvéyekek deiváltjivl kpsoltá votkozó állításokt foglmzk meg Például λ f ( x), hol λ függvéyegyeletek megoldás ( ) d f ( x) λ f x Ae x B, hol A és B kostsok, A A függvéyekkel és deiváltjivl megfoglmzott függvéyegyeleteket diffeeiálegyeletekek evezzük dx Miközbe meyiségegyeletek megoldásá egyedfokúig bezáólg zát képlet dhtó, függvéyegyeletek sokkl ikább ejtvéy jellegűek : mit modi szokás, megoldás meete z, hogy ddig ézzük, míg em látjuk Temészetese létezik éháy lptípus, melyekek megoldását illik fejbe tti A megoldási lgoitmusok tuljdoképpe közismet lptípusok vló visszvezetési lehetőségeket tágylják Diffeeiálegyeletek A diffeeiálegyeletek fetebb ismetetettek szeit oly függvéyegyeletek, melyek vlmely függvéy és k deiváltji közötti kpsoltot foglmzk meg Attól függőe, hogy keesett függvéy és deiváltji melyik legmgsbb htváyo fodulk elő z egyeletbe beszélük első-, másod-, hmdfokú, stb diffeeiálegyeletől, szeit pedig, hogy z egyeletbe keesett függvéy háydedű deiváltji fodulk elő, első-, másod-, hmdedű, stb diffeeiálegyeletekől beszélük A villmosságti tulmáyok szempotjából elegedő éháy egyszeű lptípus megoldását ismei Első fokú, első edű diffeeiálegyelet d f ( x) bf ( x), hol, b és tetszőleges vlós kostsok dx Előszö z egyelet homogé észéek megoldását keessük, mégpedig f ( x) Ae λ x lkb E feltételezett megoldást homogé egyeletbe visszhelyettesítve: Aλ e bae Ezt z egyelőséget Ae λx -szel végigosztv láthtjuk, hogy z egyelet kostsik ki kell elégíteiük z λ b feltételt, λx λ x b miből λ Az így yet λ b lgebi egyeletet diffeeiálegyelet kkteisztikus egyeletéek evezzük A kkteisztikus egyelet megoldásák ismeetébe homogé diffeeiálegyelet áltláos megoldását köye felíhtjuk: f ( x) Ae b x B, hol A és B tetszőleges, ú itegáiós kostsok Az ihomogé egyelet megoldását homogé egyelet áltláos megoldásák visszhelyettesítésével állíthtjuk elő: b b b x x A e ba e bb bb B Ezzel z ihomogé egyelet megoldás végülis: f ( x) Ae Hogy ez vlób megoldás, ól egyszeű visszhelyettesítéssel b b győződhetük meg: b x

20 tolsó fissítés: 7 :38 Villmosságt félév oldl b x dae b x bae dx b b b b x x e A bae b b Az A itegáiós kosts kokét feldt egy további kokét feltétele, z ú kezdeti feltétele, vgy htáfeltétele lpjá htáozhtó meg Ez egy kokét x -étékhez előíj f ( x ) vgy kokét étékét, miből A meghtáozhtó: Ae b d f ( x) x f ( x ) f ( x ) A b, hol f b ( x ) z x változóétékhez dx b x e b b x f ttozó függvéyéték, illetve A e f ( x ( x ) ) A, hol f b ( x ) z f ( x ) függvéy deiváltják x változóétékhez ttozó étéke A kezdeti b x e feltétel megevezés bból számzik, hogy ige gykoi z ilye típusú időtől függő diffeeiálegyelet, mikois áltláb f () t -ek vgy f ( t) -ek kezdeti pillthoz ttozó étéke ismet Amiko pedig f ( x ) helytől függ, z itegáiós kosts meghtáozásá áltláb függvéy vgy deiváltják z itegálási ttomáy htáá feálló étékéből szokás kiiduli, mi mgyázz htáfeltétel megevezést Első fokú, másodedű diffeeiálegyelet d f ( x) df ( x) b f ( x) d, hol, b, és d tetszőleges vlós kostsok dx dx Most is z elsőedű egyelet megoldásáál megismet módsze szeit jáhtuk el A homogé egyelet kkteisztikus egyelete most másodfokú, így áltláb két megoldás v: b b 4 b b 4 b b 4 λ bλ λ α β, λ α β, hol α és β Aszeit, hogy b 4 étéke pozitív, ull, ill egtív, háom külöböző jellegű megoldáshoz jutuk: b 4 > lyeko β vlós, s megoldást ( ) ( α β) x ( α β) x f x Ae Ae B lkb keessük, hol A, A és B itegáiós kostsok B most is z elsőedű egyeletél megismet módo, z ihomogé egyeletbe vló behelyettesítéssel htáozhtó meg: ( α β) x ( α β) x d ( ( α β) b( α β) ) Ae ( ( α β) b( α β) ) Ae B d B Ezzel homogé egyelet megoldás: ( ) ( α β) ( α β) f x Ae Ae x x d Diffeeiálopeátook A koábbikb láttuk, hogy sklá sklá-függvéyekhez éppúgy, mit sklá vekto- és vekto vekto-függvéyekhez külöböző diffeeiálási eljáásokkl újbb függvéyeket edelhetük, melyek segítségével bizoyos állításokt köyebbe (övidebbe) tuduk megfoglmzi Ezeket z eljáásokt összefoglló éve diffeeiálopeátookk evezzük: