BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar Üzleti Tudományok Intézet. Bohák András (szerk.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar Üzleti Tudományok Intézet. Bohák András (szerk."

Átírás

1 BUDAPESTI ŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOÁNYI EGYETE Gzdság- és Tásdlomtudomáy K Üzlet Tudomáyok Itézet Bohák Adás szek. BEFEKTETÉSEK okttás segédyg Íták: Ado Gyögy I. fejezet Bohák Adás VI-VII. fejezet Edős Péte V. fejezet Omos hály II. fejezet Ubá Adás III-IV. fejezet Budpest, 0.

2 Ttlomjegyzék I. TŐKEKÖLTSÉG... 5 I.. DÖNTÉS KOCKÁZATOS PÉNZÜGYI HELYZETEKBEN... 5 I... Vgyo váhtó hszosságák mxmlzálás... 5 I..b. Kockázt és szubjektív vlószíűség... 7 I..c. Kockáztkeülés és váhtó hozm szóás pefeec-tékép... 9 I..d. Rcoáls klkulácó kockáztos pézügy dötésekél... I.. HATÉKONY PORTFÓLIÓK TARTÁSA... 7 I.3. PIACI PORTFÓLIÓ TARTÁSA... 3 I.3.. Shpe-féle modell egyszeűsítő feltételezése... 4 I.3.b. Tőkepc egyees... 6 I.4. BÉTA KOCKÁZATI PARAÉTER... 8 I.5. TŐKEPIACI VÁRHATÓ HOZAOK ÉS A BÉTA I.6. A BÉTÁK STABILITÁSA I.7. TŐKEKÖLTSÉG EGADÁSA I.7.. Globáls megközelítés I.7.b. Kockáztmetes hozm meghtáozás I.7.c. Átlgos pc kockázt pémum meghtáozás I.7.d. Üzlet pojektek bétáják meghtáozás I.7.e. Oszág-kockázt fgyelembevétele II. TŐKEPIACI IKROSTRUKTÚRA ÉS PÉNZÜGYI VISELKEDÉSTAN II.. TŐKEPIACI IKROSTRUKTÚRA A TÚLZÓ HEKTIKUSSÁG AGYARÁZATA II.. PÉNZÜGYI VISELKEDÉSTAN AZ ALUL- ÉS TÚLREAGÁLÁSOK AGYARÁZATA... 5 II... Heusztkus tozítások II..b. Keetedszetől vló függőség II..c. Egységesített modellek... 7 II..d. Pézügy vselkedést; első koklúzó III. AGÁNTŐKE BEFEKTETÉSEK PRIVATE EQUITY III.. KOCKÁZATI TŐKETÁRSASÁGOK III... Kockázt tőketásságok tötéete III..b. A kockázt tőke szeepe III..c. A kockázt tőke kezelés költsége III..d. A kockázt tőkebefektetés életcklus III..e. A fszíozás fázs III.. HITELBŐL TÖRTÉNŐ KIVÁSÁRLÁS III... Htelből tötéő kvásálás tötéete III..b. A htelből tötéő kvásálás meete III..c. A htelből tötéő kvásálás előye... 8 III..d. A htelből tötéő kvásálás fszíozás... 8 III..e. A kockázt tőke és htelből tötéő kvásálás összehsolítás... 8 III.3. EZZANINE FINANSZÍROZÁS... 8 III.3.. Hozm elváások... 8 III.4. DISTRESSED DEBT INVESTING... 8 III.4.. Pc htékoytlság... 8 IV. FEDEZETI ALAPOK HEDGE FUNDS IV.. FEDEZETI ALAPOK TÖRTÉNETE IV.. FEDEZETI ALAPOK KONCEPCIÓJA IV.3. STRATÉGIÁK IV.3.. Sttsztk btázs IV.3.b. A pc lépés dőzítése IV.3.c. Az lfák mozgthtóság IV.4. BEFEKTETÉSI STÍLUSOK IV.5. A FEDEZETI ALAPOK TELJESÍTÉNYNEK ÉRÉSE... 9 IV.6. DÍJSTRUKTÚRA... 9 IV.7. LONG-TER CAPITAL ANAGEENT... 9 V. INGATLANPIAC... 93

3 V.. AZ INGATLANPIAC ÉRETE V.. A FOLYAATOK ÖGÖTT REJLŐ HÁTTÉR-INFORÁCIÓ V... Jelzáloglevelek otgge-bcked Secutes, BS V..b. Fe e és Fedde c szeepe V.3. AZ AERIKAI INGATLANPIAC ALAKULÁSA V.3.. S&P/Cse-Shlle Home Pce Idex V.3.b. Az gtlok dvezfkácós szeepe V.4. HIVATKOZÁSOK... 0 V.4.. Weboldlk... 0 VI. VILLAOSENERGIA-PIAC... 0 VI.. BEVEZETŐ... 0 VI.. A VILLAOS ENERGIA, INT ÁRUCIKK VI... A vllmos eeg em lletve csk ge kolátozott táolhtó VI..b. A vllmos eeg ámlását fzk tövéye szbják meg VI.3. A VILLAOSENERGIA-PIAC FELOSZTÁSA, SZEREPLŐI VI.4. A VILLAOSENERGIA-PIAC TERÉKEI VI.5. FELOSZTÁS UNBUNDLING VI.6. A AGYAR VILLAOSENERGIA-PIAC VI.6.. A kötelező átvétel edszee VI.7. AZ ÁRATŐZSDE... 0 VI.8. HIVATKOZÁSOK... VII. A CO EISSZIÓS KVÓTÁK PIACA... VII.. AZ ÉGHAJLATVÁLTOZÁS ELLENI KÜZDELE ÉRFÖLDKÖVEI... VII.. AZ ÉGHAJLATVÉDELE ESZKÖZEI, A KIOTÓI ECHANIZUSOK... 3 VII... Az emsszó-keeskedelem... 3 VII..b. Együttes megvlósítás Jot Implemetto, JI... 3 VII..c. A tszt fejlesztés mechzmus Cle Developmet echsm, CD... 4 VII.3. AZ EURÓPAI UNIÓ KIBOCSÁTÁS-KERESKEDELI RENDSZERE... 5 VII.3.. Az EU ETS működése... 6 VII.4. A KIBOCSÁTÁS KERESKEDELI RENDSZER SZEREPLŐI... 7 VII.5. A KIBOCSÁTÁSI EGYSÉGEK FAJTÁI... 8 VII.6. A KVÓTAKERESKEDELE HATÁSA A VILLAOS ENERGIA ÁRAKRA ESETTANULÁNY... 9 VII.7. HIVATKOZÁSOK... 0

4 I. Tőkeköltség A tőkepco léyegébe tőkét, pézt cseélek péze. Pesze, külöbözek z elcseélt pézek h em külöbözéek semmbe, em sok ételme lee cseéek, mégpedg két dologb s: dőtávjkb és kockáztosságukb. Fomáls ól v szó, hogy befektetők jelebel pézeket vállltok, válllkozások, esetleg z állm edelkezésée bocsátják vlmlye később dőpotok szóló pézjövedelem ígéetéét cseébe pl. észvéyét vgy kötvéyét. Vlójáb e cseék szíhelye tőkepc. A fejezetbe előszö befektetők tőkepc pefeecedezését tektjük át. egvzsgáljuk kockáztézékelésük jellegzetességet, mjd eze keesztül z egyes befektetés lehetőségek étékelés folymtát. Céluk z egyk legáltláosbb pézügy modellek, tőkepc áfolymok modelljéek Cptl Asset Pcg odell, CAP levezetése. Hgsúlyozzuk, hogy modellezésől v szó. Azt, hogy levezetett modell meybe íj le hűe vlóságot, fejezet végé tágyljuk mjd meg. I.. Dötés kockáztos pézügy helyzetekbe I... Vgyo váhtó hszosságák mxmlzálás A kockáztos dötéshoztlll kpcsoltos lpvető fotosságú dolgozt látott pvlágot 738-b Szetpéteváott. Szezője z kko 38 éves Del Beoull volt, k művéek középpotjáb k tézsek cáfoltát állított, mellyel kpcsoltos áltláos egyetétés volt kobel kockázttl fogllkozó godolkodók köébe. E támdott tézs z embeek dötéseek mkétjét z lábbk szet ít le: A váhtó éték, mely szet dötéseket hozzuk, úgy számíthtó k, hogy mde lehetséges eedméy zo módok számávl szozdó be, mt z dódht, mjd pedg ezek összegét el kell oszt z összes lehetséges eedméy teljes számávl. Beoull yból tektette hbásk e feltevést, hogy z em vesz fgyelembe z egyes kmeetelek dötéshozó szempotjából jeletkező következméyet, hszosságt. egjegyz, hogy em elegedő csk pézösszegeket összeszoozuk zok vlószíűségevel, met bá téyek mdek számá zoosk, de ezek hszosság becslést végző személy külöleges köülméyetől függ. Ebből következk, hogy mg kockázt ézete egyéleg s eltéő. Beoull híes szetpétevá-pdoxo feloldásávl kpcsoltos vezette be hszosság foglmát. A pdoxo léyege bb áll, hogy z embeek vjo mét em veszek észt edkívül gy összegekkel következő játékb: Egy émét ddg dobáluk fel, míg például fejet em kpuk, yeeméy összege pedg zo htváy, háydk skeült fejet dobuk. Köye beláthtó, hogy egy lye játék váhtó étéke váhtó yeeméye végtele 3 gy, zz coálsk látszk htlms összegekét megvásáol egy lye játékb vló észvétel jogát. Az embeek vszot em hjldók ee. Beoull ebből következtetett, hogy egyszeű mtemtk vlószíűség lpo em mgyázhtók z embeek kockáztos helyzetbe hozott dötése. Így keült felszíe ál hszosság foglm. egemlíteék, hogy m má csk tká hszálják váhtó éték helyett mtemtk vákozás kfejezést, pedg kockáztos dötésekkel kpcsoltos ez ge szemléletesek tűk. A dötések mgyáztáál váhtó hszosság yból jelet mást váhtó étékhez képest, hogy coáls dötéshozó z egyes kmeeteleket em pl. pézbel mtemtk étékük szet, hem Del Beoull svájc mtemtkus, godolkodó. 3 = p =, x = p x =... =

5 hszosságuk szet súlyozv mősít. A váhtó hszosság tehát hsoló módo számíthtó, mt váhtó éték, csupá vlószíűségekkel tt z állpotok hszosságát kell megszooz. A két megközelítés dt külöbséget fogllj össze z lább két összefüggés: [ ] p w E W = mx. [ U ] p U w E W = mx. hol W vgyo welth vlószíűség változó, melyek w állpot következhetek be p vlószíűségekkel. U hszosságot utlty jelöl. Ameybe W* duló vgyot tételezük fel, és eek ΔW megváltozását F kockáztos pézösszeg dj zz egyetle kockáztos pézösszeggel v dolguk, kko köye beláthtó, hogy z előbb célfüggvéy következő lkb s felíhtó: 4 E [ U F ] p U F = Összefogllv tehát, befektetők kockáztos helyzetbe pézük váhtó hszosságák mxmlzálásá töekedek. A kédés ezutá z, hogy m dj váhtó éték és váhtó hszosság mxmlzálás között áltláos külöbséget. Az egyes állpotok és zok hszosság között kpcsolt áltláb ylvá em egyeese áyos, hsze ekko két megközelítés ugyoly dötéseke vezete, felesleges lee e megkülöböztetés. Hogy vgyo, péze votkozó mlye e kpcsolt, Beoull következő koszklkotó tételt foglmzt meg: A vgyo övekméyéek hszosság fodított áyb lesz má koább btokolt jvk meységével. jd megjegyz: Fgyelembe véve z embe temészetet, úgy vélem, hogy fet hpotézs sokk látszk évéyesek. A má koább s említett csökkeő htáhszosság elvéek vgyo, péze vló ételmezésével tlálkozuk. Ez z elv lpvető észe kockáztos embe dötések elméleteek, és tegált észe huszdk százd játékelméletek s, em s beszélve pézügyek modelljebe játszott szeepéől. Az elmélet szet tehát mdek sját étékedszeel bí, és eek megfelelőe döt, de eze eltéő egyé étékedszeekek vlmféle egységessége: vgyo péz övekedéséhez áltláb csökkeő métékbe övekvő hszosságot, zz csökkeő htáhszosságot edelek z embeek: mx 3. UW UF UW UF W, F. áb: Vgyo, lletve pézösszeg csökkeő htáhszosság. 4 Vlószíűség változókkl vló egyszeű műveletekől v szó. H W vlószíűség változót W* kosts és F vlószíűség változó tgok botjuk, kko W váhtó étéke W* és F váhtó étékekét dódk ugyez gz szóás s. E[UW] felíhtó tehát UW*E[UF]-két s. vel UW* s kosts, így z E[UW] mxmlzálás megegyezk E[UF] mxmlzálásávl. Közp ezt úgy mgyázhtjuk, hogy vgyouk váhtó hszosságák mxmlzálás célj egybeesk egyetle kockáztos pézösszeg váhtó hszosságák mxmlzálásávl.

6 Az ábáb UW-vel, lletve UF-fel vgyo, lletve péz htáhszosságát jelöltük, zz htá mgl jelölésée z -t hszáltuk. Az lye hszosságfüggvéyeket egyébkét legtöbbszö temészetes lpú logtmusfüggvéyekkel l szokás közelíte, zz UW=lW, hol kosts. 5 I..b. Kockázt és szubjektív vlószíűség á említettük, hogy kockázt ltt pézügyekbe k lehetőségét étjük, hogy vlós pézösszegek, és így vlós hozm eltéhet váhtótól. Eze gdozás, zz kockázt számszeűsítésée hszáljuk szóás voltltás 6 mtemtk foglmt. K kell még téük jövőbel pézösszegekek pézámlásokk és hozmk, mt vlószíűség változókk jellemző eloszláslkjá s. temtk sttsztk smeetek lpjá tudhtjuk, hogy sok függetle vlószíűség változók összegéek eloszlás szmptótkus omáls eloszlású, tektet élkül változók eloszlásá ez z ú. közpot htáeloszlás tétel. Ameybe tehát elfogdjuk zt z állítást, hogy befektetések jövőbel pézmozgás és hozm sok egymástól függetle téyező htáskét dódk, kko egybe e vlószíűség változók jellegzetese omáls eloszlását s elfogdjuk. E hpotézsük gzolás most tágyukk em tágy, így e élkül kell elfogduk ezt z állítást. 7 Tudjuk zt s, hogy hozm kockáztosság ylvá bból eed, hogy jövőbel pézámlások kockáztosk. E poto övde édemes vssztéük tágyuk elejé tágylt coáls em coáls kédéshez. á ott s étettük, hogy jövőbel lehetséges eseméyek előzetes vázolás poblémákt vethet fel. Az mét tágyltk szet most tt eltektve hszosságok egyes kmeetelekhez edelésétől feldt em tűk ehézek kko, h z egyes lehetséges kmeetelekhez vlószíűségeket tuduk edel. E poto zob meg kell álljuk, és el kell godolkodjuk zo, hogy mt s jelet tt számuk vlószíűség, ezzel együtt kockázt és bzoytlság foglm. Tudjuk, hogy mtemtk sttsztk ételembe vlószíűség egy gy számb smétlődő eseméy eltív gykoságák htáétéke, z z éték, mely köül eltív gykoság gdozk. A közgzdságtb és pézügyekbe vszot ez így legtöbbszö em ételmezhető, hsze gy számb smétlődő eseméyekől em gyo beszélhetük. vlószíűsége k, hogy egy kockávl 4-est dobuk? vlószíűsége k, hogy egy dott beuházás hozm 8 és 0 százlék között lesz? Éezhető, hogy egésze más sztuácókól v szó. íg kockáál potos smeük mde lehetséges kmeetelt és zok vlószíűséget, ddg beuházásál em. Lehet ugy, hogy jeletős tpsztltokkl edelkezük múltb előfoduló lye beuházások hozmól, de egyészt csk hsoló múltbel eseméyek tpsztltvl edelkezük tlá em s túl sokkl, másészt semm em gtálj, hogy jövő múlt szbályk megfelelőe vselkedk mjd. Az lye eseméyek tehát em lleszthetők be z smétlődő póbálkozások szbályk keetebe, hsze e dötések mjdem mdg oly köülméyek között születek, melyek sohsem fogk újból előáll. Nézzük meg e kédést kcst mélyebbe s! Hozzávetőleg kétszáz évvel ezelőtt Lplce, gy htású fc mtemtkus, meggyőződése volt, hogy véletle em létező dolog: A jele eseméyet megelőzőkkel oly kötelék fűz össze, mely zo ylvávló elve lpul, hogy semm sem tötéhet elődéző ok élkül. Lplce feltételezte, hogy elegedő dt, számításokhoz szükséges dő és képesség btokáb éppoly vlágos láták jövőt, mt jelet. Am tudtl számá véletle, z tudós számá em z. A véletle csupá tudtlságuk météke. modj Lplce. má ugy em ttjuk helyesek z lye sztű tudás lehetőségéek feltételezését, godolt támpotk vszot jól hszálhtó. A 5 UW=lW$ eseté szetpétevá játék váhtó hszosság [ ] = / l / = = l E U W p U x, 4 = 0 = 0 = 0 H UW=lW$=,4, kko W=e,4 =4,05$, zz kb. 4$-t jálák fel játékét. Ez má eálsk látszk. Szkszeűe zt modák ld. z ygb később, hogy szetpétevá játék bztos egyeétékese kb. 4$. 6 Tulmáyk soá később mdeképpe potosbb kell mjd hszáluk szóás foglmát. A voltltás kfejezést hszáljuk mjd z egységy dő ltt változás szóásá. Egyelőe zob ez pecízkedés felesleges. 7 A htetleek vzsgálják meg például éháy észvéy vgy tőzsdedex eloszlását.

7 lplce- godoltból kdulv ugys következtetése juthtuk, hogy véletleézékelésük tudásháyt tüköz, és jövő potos smeete helyett, k több állpotát s elképzelhetőek ttjuk. 8 Legtöbbszö zob zt sem tudjuk, hogy mlye állpotok lehetségesek, lletve zok mlye vlószíűségekkel következhetek be. Az lye sztuácók modjuk zt, hogy bzoytlság, megkülöböztetve kockáztosság foglmától. A kockáztosság yból jelet más helyezet bzoytlsághoz képest, hogy bá tt sem tudjuk, hogy mlye állpot következk mjd be, de leglább lehetséges állpotokkl és zok bekövetkezéséek vlószíűségevel tsztáb vgyuk. 9 Közgzdság, pézügy helyzetekél áltláb még kockáztos helyzetől sem beszélhetük, hsze jövőől lkotott képük edszet ge háyos, szegéyes. Ikább bzoytl helyzetekkel v tehát dolguk. Vázolt váhtó hszosság modellük zob képtele ezt kezel, ez csk kockáztos sztuácók ételmezhető. Áthdló megoldáskét, h fomácók olyy kevesek egy dolog lkulásáól, hogy z má bzoytlság fomáját ölt, tutív okoskodás kell szoítkozuk, és meg kell póbáluk megsejte lehetséges kmeeteleket és zok vlószíűséget s. Itt zob má egésze más dologól v szó, mt mtemtk vlószíűségől. Az lye eseteke tlá Keyestől eedő megközelítés legszemléletesebb: A vlószíűség defálás em lehetséges, hcsk em éjük be coáls ht foká votkozó vlószíűség elácó métékéek defálásávl. 0 Hsoló vélekedk Hogth v s: A vlószíűséget úgy defálom, mt ht fokák métékét. H ez ht eltív gykoságo sttsztk dtoko lpul, kko objektív vlószíűségek szokás evez, h pedg szubjektív becslése lpul, kko szubjektív vlószíűségek. K kell emel még egy ktkus potot, múltbel dtok vló támszkodás kédését. Amko múltbel megfgyelésekből számzó eltív gykoságokt hszáluk útmuttókét vlószíűségek megállpításához zz objektív vlószíűség eseté, feltételezzük, hogy koább megfgyelések md ugyk sztuácók külöböző eedméye kmeetele, állpot, továbbá, hogy dott dötésük megfelel eek sztuácók. Ilyeko vlójáb zt tételezzük fel, hogy múltb megfgyelt szbályszeűségek álldók, stblk. Azob ezt s csk legfeljebb hsszük. Úgy tűk tehát, hogy közgzdságtb kockáztól vgy ká objektív vlószíűségekől s legkább csk szubjektív lpo beszélhetük. Éezhető, hogy em s oly egyszeű kédésekől, egyételmű foglmkól v szó. Nehéz koektül, potos foglmz, h ezekől dolgokól beszélük, és sok esetbe kellőe áylt foglmkkl sem 3 edelkezük. 8 Ide lleek Lplce kotás, Pocé godolt s: Sok embe egésze temészetesek ttj, hogy esőét vgy psütését mádkozzék, míg evetségesek ttj, hogy pfogytkozásét mádkozzo. Vlhol egy tzedy fok eltéés muttkozk, és fogószél tt tö k, és em mott, elpusztítv oly oszágokt, melyeket egyébkét megkímélt vol. Láthttuk vol előe, h tudtuk vol m egytzed fokól, de mth mde véletletől függee. Idéz: Beste P. L.: Szembeszáll z steekkel, Pem Wley, Budpest, A bzoytlságot sok és sokféleképpe soolják típusokb, sját szkteületük szempotj szet. Az áltláos jellegű bzoytlság tpológ vzsgált edsze lehetséges állpot és bekövetkezés vlószíűségeek szempotjából osztályozz bzoytlságot. E tpológ keetbe szkodlom bzoytlság háom típusát külöböztet meg, többé-kevésbé egységese: vzsgált edsze lehetséges állpot smeetleek, lehetséges állpotok smetek, de bekövetkezés vlószíűségek smeetleek, 3 lehetséges állpotok és bekövetkezés vlószíűségek egyát smetek. Az egyes típusokt z odlom eltéő elevezésekkel llet, leggykobb elevezések zob z -e stuktuáltl bzoytlság, -e stuktuált bzoytlság, míg 3- kockázt. Sokszo z és típusokt em külöböztetk meg, és egyszeűe bzoytlságk evezk. Bővebbe lásd: Ptk B.: A bzoytlság típusok egy lehetséges új modellje, Ip-gzdság, VIII IX. Budpest, Keyes kcst észletesebbe így vélekedk kédésől: Bzoyos eljövedő eseméyek objektív vlószíűsége létezk ugy ez em z embe szeszély tágy, zob tudtlságuk megfoszt beüket ttól bztoságtól, hogy tudjuk, m ez vlószíűség; csupá becsléseke hgytkozhtuk. Kcs vlószíűsége k, hogy felfedezzük z egyed vlószíűségek felsmeéséek oly módszeét, mely mellőzé z tuícót vgy közvetle vélekedést Egy tétel még em vlószíű, met m úgy godoljuk. 9 Idéz: Beste P. L.: Szembeszáll z steekkel, Pem Wley, Budpest, 998. Godoljuk például, hogy egy válllt észvéyeek múltbel hozmdtt lpjá lkotuk képet jövőbel hozmokól. Vlób ugyól vállltól em jog ételembe vk dtk? Ez válllt ugyz m, mt öt éve volt? Csk ézékeltetésül: például Keyes és Aow s, kk közgzdságt óás lkj, ge vskos műveket ítk vlószíűség, bzoytlság és kockázt témköébe. Keyes: Étekezés vlószíűségől, Aow: pl. Dötés kockázt válllásávl. Aow 97-be közgzdság Nobel-díjt kpott.

8 Végül foglljuk össze z eddgeket pézügy dötésekkel kpcsoltos! Léyegébe mdg egyed esetekől kell döteük, így mtemtk sttsztk klsszkus keete közvetle módo em hszálhtók. E poblém áthdlásá szubjektív elemekkel ötvözzük objektív vlószíűségeket. Részbe úgy, hogy egyed esetük lehetséges kmeetelet htük fok szet szubjektív vlószíűségekkel súlyozzuk, észbe pedg úgy, hogy émleg eltéő eseteke gyűjtött múltbel dtkól tutív módo feltételezzük, hogy jele esetük sttsztká. Így vgy úgy, - szubjektív vlószíűségekkel teletűzdelt kockáztos helyzetkét modellezük, közelítük meg egyébkét bzoytl helyzeteket. I..c. Kockáztkeülés és váhtó hozm szóás pefeec-tékép Bá elképzelhető oly kockáztos sztuácó, melybe z dő múlásák cs gzá szeepe, de z lye esetekbe kább sszocáluk szeecsejátékok, mtsem befektetések foglmá. A befektető létet szemléletesebb pézügy eszközökö keesztül váhtó hszosságövelés folymtkét fogjuk fel, melyek soá el kell döteük, hogy melyket válsszuk hszosságövelés külöböző teztású és kockáztosságú lehetősége közül. Oly ez, mth lpcéluk z lee, hogy mél messzebbe jussuk, de ehhez külöböző váhtó gyosságú és kockáztosságú utzás lehetőségek közül kell válsztuk. A váhtó sebesség megfelelője váhtó hozm, m egységy dő ltt váhtó övekedést pézbelt mutt fjlgos fomáb, kockázté pedg szóás, m téyleges sebesség váttól vló lehetséges eltéésee, gdozás utl. A befektetők váhtó hszosság mxmlzálás töekvéséek egyes észletet tesz jól vzsgálhtóvá váhtó hozm szóás pefeec-tékép 4. Ez em más, mt koább má tágylt váhtó hszosság mxmlzálás, péz csökkeő htáhszosság, váhtó hozm, szóás és omltás feltételezéséek egyetle modellbe vló összegzése. Léyegébe befektetők és dötés helyzetek modellezéseséől v szó, vselkedésük, dötések köyebb megétése céljából. A következő áb éháy oly kockáztos befektetést mutt, melyek ugyzt z EU* váhtó hszosság sztet eedméyezk. Vegyük észe, hogy gyobb kockázthoz szóáshoz mdg gyobb váhtó pézösszeg ttozk. B EU C D EU* F A EF B EF EF C D F 3 A koektségbe ugy em, de köyebb kfejezhetőségbe gy segítségüke lehet másodedű vlószíűség foglmák bevezetése. Ezzel foglomml jellemezhetjük zt vlószíűség étéket, mellyel becslés megfelelőségée, helytállóságá utluk. Jvsltuk tehát z, hogy vlószíűségeke tett becslések megbízhtóságát jellemezzük másodedű vlószíűség foglmávl. A dolog temészetéből dódó be kell éük vlmlye duv felbotású skál hszáltávl pl. ks, közepes vgy gy másodedű vlószíűséggel smejük vlószíűségeket. Bá, h egysze bevezetjük másodedű vlószíűségeket, kko felvetődhet hmdedű, egyededű stb. vlószíűségek bevezetése s. Úgy tűk zob, hogy ez z elmélet szépséghb eltöpül másodedű vlószíűség gykolt hszálták pktkusság mellett. Olysm megfoglmzások godolhtuk, mt pl.: A pc átlgos hozmáól gy másodedű vlószíűséggel állíthtjuk, hogy egy % váhtó étékű és 0% szóású omáls eloszlássl jellemezhető. Vgy: Egy dott befektetés váhtó hozm 5%, hozm szóás 5% közepes másodedű vlószíűség becslésekkel stb. Áltláosságb kjelethetjük, hogy jövőe votkozó közgzdság, pézügy elemzések eedméye mdg csk egyél ksebb másodedű vlószíűség mellett évéyesek. E foglomk bevezetését Tte 94 és Ht 95 jvsolt. A kédésköől bővebbe Ptk B.: A bzoytlság típusok egy lehetséges új modellje, Ip-gzdság, VIII IX. Budpest, A pefeec yt jelet, hogy vlmt jobb szeetük, mt mást, pefeáluk vlmvel szembe.

9 . áb: Azoos EU* váhtó hszosságú kockáztos pézösszegek. 5 Kegészítjük most mdezt zzl, hogy feltételezzük, hogy vlmekko F 0 összeg befektetésével jutuk jelölt EU* hszosság szte, zz F A, EF B, EF C, EF D vzsgáltáól áttéük A, E B, E C, E D hozmok, váhtó hozmok vzsgáltá. Ne feledjük, h kockáztos pézösszegek omáls eloszlásúk, kko hozmok s. Szeecsée omáls eloszlások egyételműe meghtáozhtók váhtó étékükkel és szóásukkl, így omltás feltételezésével egyételmű ételmet ye váhtó hozm szóás modellük, melyet lább ábázoluk: E EU* E D E B E C A B C D 3. áb: Váhtó hozm szóás modell egyetle közömbösség göbéje. A fet ábá láthtó göbét közömbösség göbéek evezzük. Az elevezés bból fkd, hogy göbe potjk válsztásávl szembe dötéshozó közömbös, számá e lehetőségek egyfomák, hsze váhtó hszosságuk megegyezk. dezek utá má köye ábázolhtjuk teljes váhtó hozm szóás pefeec-téképet. E U 5 U 4 U 3 U U 4. áb: Váhtó hozm szóás modell. Vegyük észe, hogy vgyo péz csökkeő htáhszosságát muttó hszosságfüggvéy egyúttl kockáztkeülő máskét: kockáztelutsító mgttást s tüköz! Az váhtó hozm szóás modellből jól megéthető mt s étük kockáztkeülő mgttás ltt: z lye beállítottságú befektetőkél övekvő kockáztot szóást váhtó éték övekedése kell, hogy ellesúlyozz. 6 A közömbösség göbék átlgos 5 Az áb EU* váhtó hszosság sztjéek kokét meghtáozásához z lább ge boyolult összefüggés megoldás lee szükséges: E E U = U / π e d Ettől tt temészetese eltektük, és megelégszük vzuáls sztű megoldássl. 6 Egy-egy hszossággöbe jelöléséél má elhgytuk váhtó E _ jelölést, ugys ez má kevéssé soktmodó, hsze váhtó hozm szóás tegelyek lévé temészetes, hogy csk váhtó hszosságól beszélhetük.

10 meedeksége egyébkét kockáztkeülés fokávl függ össze, mél meedekebb, befektető ál eősebbe kockáztkeülő. 7 U U E E W E E U 5 W U 5 U 4 U 4 U 3 U 3 U U U b 5. áb: Két befektető hszosságfüggvéye és közömbösség téképe. dkettő kockáztkeülő, de kockáztkeülése eyhébb. U A kockázthoz vló hozzáállást tektve zob em csk kockáztkeülő, hem kockázt közömbös és kockázt kedvelő típusok s lehetségesek. Az lább ábáko jól összehsolíthtó ezek hszosságfüggvéye és váhtó hozm szóás pefeec-téképe. UW Ub UW * U UW Ub UW * UW Ub W * A U b W W * B UW * U b W 6. áb: A kockáztkeülő, B kockázt közömbös, C kockázt kedvelő dötéshozó hszosságfüggvéyéek jellege. W * C b W E E E U 5 U 4 U 3 U U b c 7. áb: kockáztkeülő, b kockázt közömbös, c kockáztkedvelő dötéshozó váhtó hozm szóás pefeectéképe. Ayt zét mdeképpe szögezzük le, hogy bá függvéygöbék jellege léyegese elté, htáhszosság mdháom eset mde potjáb poztív, zz több vgyot többe étékel mdháom hszosságfüggvéyel epezetált dötéshozók. 8 7 Szokás vízsztes tegelyt szóáségyzetkét skáláz, és közömbösség göbéket ekko egyeessel jelöl. Így ábázolv meedekség álldó.

11 Fotos kemelük, hogy felfogásuk szet kockázthoz vló hozzáállás vlmelyk fomáj következetese állk z egyes dötéshozók; h vlk például kockáztkeülő, kko következetese z. A háom típus közül kockáztkeülő tekthető áltláosk, és továbbkb kzáólg ezzel típussl fogllkozuk. egemlítjük, hogy egy kockáztkeülő dötéshozó váhtó hozm szóás pefeec-téképéek egyegy hszosság göbéjét z U = E A 4. függvéyel szokták közelíte, hol A kockáztelutsítás együtthtó. Az összefüggés szépe muttj, hogy hszosság kko ő, h váhtó hozm ő vgy szóás csökke. H A gyobb, kockáztkeülés eősebb. 9 Összefogllv tehát, közgzdságtb kockáztot szóás mtemtk foglmávl zoosítjuk, áltláb omáls eloszlású hozmokt és kockáztkeülő befektetőket tételezük fel. I..d. Rcoáls klkulácó kockáztos pézügy dötésekél A fetebb vázolt megközelítés továbbgögetése megkövetel, hogy z ésszeűe godolkodó egyéek külöböző köülméyek között s mélegel tudják hszosságot, és eek megfelelőe hozzák meg dötéseket. Beoull ót tehát vzsgálódásk középpotjáb coáls válsztó embe áll. H má dóztuk Del Beoull emlékéek, büszké tehetjük ezt meg Neum Jáos és Osc ogeste esetébe s. Hszosságelméletük léyegét tektve em volt ugy új bá játékelmélettel fogllkozó lpművükek em s ez volt z elsődleges célj, több mt kétszáz évvel Beoull utá, 944-be, íott mukájukb sokkl letsztultbb, stuktuáltbb jelek meg vgyo csökkeő htáhszosságák elvée építő dötés modell. Ez z ok, hogy vgyol pézzel kpcsoltos hszosságfüggvéyek jelölésée z ő evüket hszáljuk, zz Neum-ogeste féle hszosságfüggvéyekől beszélük. Neum és ogeste mukb emcsk z előbb vázolt hszosság függvéyt vette lpul, hem bból dult k, hogy z embeek pézügy dötések soá következetese z lye jellegű hszosságfüggvéyük szet mxmáls váhtó hszosság töekedek. A továbbkb m s z lye típusú okoskodást tektjük coáls klkulácók, vgy övde coálsk. 0 A következőkbe Neum ogeste-féle hszosságfüggvéy empkus előállítását vázoljuk. Ezzel hgsúlyozott em z céluk, hogy bámféle gykolt lklmzhtóságot suglljuk, csupá hszossággöbék és közgzdság coltás mélyebb megétését, összekpcsolását célozzuk. v Az empkus előállításhoz bból kell kduluk, hogy kockáztos változtokt következő összefüggés lpjá tudjuk gsool: E [ U A x, y : p ] pu x p U y = 5. Eze összefüggést hszáljuk z empkus hszosságfüggvéyek előállításá. vel hszosságfüggvéy hszosság-étékeek bszolút ételembe cs jeletése, így eek skálázását tetszőlegese lkíthtjuk k. odjuk zt, például, hogy 000$ dósságk 00 hszosság, és 0$ vgyok pedg 0. Iduljuk k egy oly dötéshozóból, kek jeleleg cs vgyo. Ez utá póbáljuk megválszol zt kédést, hogy mlye p vlószíűség mellett mee 8 Állítsuk külöböző jellegű hszosságfüggvéyel, de zoos W* vgyol edelkező egyéeket egy oly ull váhtó étékű egyszeű szeecsejáték elé, melybe egyfomá és b kmeeteleket állpotokt lehet elé 50-50% vlószíűséggel. Nylvávló külöbség dötések között: z A egyé em veszt észt játékb, keül kockáztot, hsze gyobb hszosságot veszthet és ksebbet yehet, tehát váhtó hszosság csökkee. Ugyeze logk szet C játékos szívese válllá kockáztot, míg B játékosuk éppe htáá v játékk, hsze számá kockázt közömbös játék váhtó étéke pedg ull. 9 Az összefüggésbe szeepel, vszot modellükbe csk. Ebből fkd hszosságálldó göbék égyzetese felfelé kukoodó lkj. 0 á most meg kell említeük, hogy ge sok gyege potját muttták k zót eek megközelítések, befektető dötéshoztl lye modellezéséek. Ezt megközelítést legkább tágyló áyt pézügy vselkedéstk evezzük, és pézügy tulmáyk vége felé új vssztéük mjd témá. Addg előe bocsátjuk, hogy kétségtele túl egyszeűség elleée ez megközelítés pézügy odlom mdmág ulkodó ézetéek tekthető.

12 dötéshozók éppe bele egy oly játékb, hol 000$-t yehet p vlószíűséggel és 000$-t veszthet p vlószíűséggel. dez mtemtklg felív: 0 ~ A000, 000; p, zz U0 = p U000 p U 000 Tegyük fel, hogy ez p vlószíűség 0,6. Ekko edezve fet egyeletet U000-e, mjd megoldv következőt kpjuk: p U 000 0,6 00 U 000 = = = 66,7 p 0,6 Újbb étéket yetük tehát: U000 = 66,7. Ehhez hsoló lépéseket smételgetve állíthtjuk össze kívát hszosságfüggvéyüket. Ezt muttj következő áb: UW 66, W áb: Empkus hszosságfüggvéy. Fotos megjegyezük, hogy mvel hszosságétékek bszolút gyság ömgukb ételmezhetetleek, így hszosságfüggvéyek kfejezette egyéeke votkozk, és em lehet egyéek hszosságfüggvéyet egymássl közvetle módo összemé. Az, hogy 000$ yeeség kek mekko öömöt szeez vlójáb, összeméhetetle. Éppe ezét ételmezhetetle eedméyeket kpuk, h összeduk, kvouk, átlgoluk vgy bámlye műveleteket hjtuk vége lye egyé hszosságfüggvéyekkel, és modjuk cslád, válllt vgy tásdlm szte póbáljuk ételmez z így kpott eedméyeket. Vzsgáljuk meg z lább hszosságfüggvéyel jellemezhető coáls dötéshozók dötéset éháy specáls esetbe! Legye dötéshozók duló vgyo W 0 0 eze $, Neum-ogeste-féle v hszosságfüggvéye pedg U W = l W /000$

13 UW = lw/000$ 3,40 3,00,7,30, W 0 =0 W/000$ 9. áb: Vzsgált dötéshozók Neum ogeste-féle hszosságfüggvéye. A. eset: Eél változtál 50-50% eséllyel 5 eze $-t ye, lletve veszít befektetők. A befektetés tehát dupl vgy semm jellegű, zz teljes befektetés váhtó hozm 0%, és így dötéshozók vgyoák váhtó változás s 0. éés skálák szet dötéshozók jeleleg hszosság sztje,30. A befektetés válllás eseté dötéshozók váhtó hszosság következő lesz: [ W ] E U = 0,5 U W0 5 0,5 U W0 = 0,5,7 0,5,6 =,6 Vázltos má tágyltuk ezt z esetet, tehát z eedméy em meglepő: kockáztkeülő dötéshozók em fektet mjd pézét e lehetőségbe, holott befektetés váhtó étéke em egtív, hem éppe ull. Azét, met,6-os váhtó hszosság ksebb, mt jeleleg,30-s hszosság sztje. dee jelesége má koább mélttott Del Beoull s felhívt fgyelmet: v A temészet fgyelmeztetése, hogy kockjátékot teljese keüljük el Bák, k vgyoák egy észét legye z kámlye csekély feltesz egy mtemtk szempotból tsztességes szeecsejáték, oktlul cselekszk S szeecsejátékos meggodoltlság ál gyobb, vgyoák mél gyobb észét kockázttj szeecsejátékb. Vsszfelé kszámíthtjuk zt s, hogy,6 hszosságétékhez 8,67 eze$ vgyo ttozk. Ez yt jelet, hogy meybe dötéshozók befekteté pézét e válllkozásb, kko ez számá oly váhtó hszosságvesztéssel já, mth vgyo 0 ezeől bztos 8,67 ezee csökkee, zz beuházás számá egyeétékű 0 8,67 =,33 eze $ bztos veszteséggel. Ezt,33 eze $-t evezzük befektetés bztos egyeétékeséek 3. A bztos egyeétékest CE-vel jelöljük cetty equvlet. Egy kockáztos befektetés bztos egyeétékese tehát z z összeg yeeség vgy veszteség, mely ugyzt hszosságváltozást eedméyez bztos, mt mt kockáztos befektetés ígé váhtó: [ W ] U W CE = E U 0 0 X hol W 0 dötéshozó duló vgyo és X befektetést jellemző vlószíűség változó. Láthtó, hogy egy-egy kockáztos befektetés bztos egyeétékese személyhez kötötte ételmezedő. A váhtó hszosság mxmlzálásák elvéből következk, hogy coáls dötéshozók befektetők bb z esetbe döt befektetés mellett, h k bztos egyeétékese poztív. B. eset: ost megváltozk z esélyek. 37% z esélye 5 eze $ elvesztéséek és 63% megyeéséek. Befektetésük váhtó eedméye ekko: 5 6. Beoull megjegyzése z áltláosk tekthető kockáztkeülő dötéshozó esetée helytálló. U8,67=,6 3 A bztos egyeétékesek több, émleg eltéő defícój s smeetes.

14 [ W ] E U = 0,63 U W0 5 0,37 U W0 = 0,63,7 0,37,6 =,30 Azz, éppe kduló hszosság sztet étük el, bá befektetés váhtó étéke poztív:,3 eze $ 0,63*5 0,37*5 =,3. A bztos egyeétékes most éppe 0$. A küszöbétéket tláltuk meg, zz h vesztés vlószíűsége 37%-ál ksebb yeés jvá, kko dötéshozók má befektet pézét. 5 C. eset: Legye most veszteség vlószíűsége 0%, míg yeésé 80%. Ekko: [ W ] E U = 0,80 U W0 5 0,0 U W0 = 0,80,7 0,0,6 =,49 Láthtó, hogy befektetés 3 eze $-os váhtó étéke mellett 0,8*5 0,*5 = 3, most má váhtó hszosság s egyételműe gyobb, mt 0 eze $-hoz ttozó,30. A bztos egyeétékes most,06 eze $, mvel,49-es hszosságétékhez,06 eze $ ttozk. Eél z esetél befektetés váhtó étéke 3 eze $, míg bztos egyeétékese,06 eze $ volt. Befektetők tehát egyegúk ítél 3 eze $ váhtó yeeséget kíáló kockáztos befektetést és bztos,06 eze $-t. A kettő külöbségét, potos 0,94 eze $-t, pémumkét, jutlomkét, kompezácókét vá tehát el kockázttásét, kockázt válllásáét. Kockázt pémumo jelölése: RP, sk pemum tehát bztos egyeétékes CE felett váhtó étéket étjük, zz 5 RP = E X CE 7. A kockázt pémum bztos egyeétékeshez hsoló csk egyée szbott ételmezhető. D. eset: Nézzük most egy oly esetet, mko em százlékos vlószíűség áy változk, hem kmeet állpotok váhtó étéke % mellett most s plusz-míusz 5 eze $ gdozzo, de, eze $ váhtó étékkel, zz 5,=6, eze $ poztív áyú és 5,= 3,8 eze $ egtív áyú kmeetek legyeek. Toljuk el tehát mdkét étéket, eze $-l. Ekko: [ W ] E U = 0,50 U W0 5, 0,50 U W0 = 0,50,78 0,50,8 =,30 5, Hsoló B. esethez, új csk küszöbétékhez jutottuk 4, bztos egyeétékes megt 0. A befektetés váhtó étéke most, eze $, és meybe ezt z étéket öveljük, dötéshozók má befektet pézét. E. eset: Az, eze $-os váhtó étéket megttv, most öveljük kmeetek gdozását öveljük szóást % mellett legye két kmeet most 6,=7, eze és 6,= 4,8 eze $. Ekko: 5 [ W ] E U = 0,50 U W0 6, 0,50 U W0 = 0,50,85 0,50,65 =,5 6, A kockáztmeetes egyeétékes smét egtívvá vált, tehát dötéshozók em fogj megvlósít befektetést. 4 A péld közelítéseket ttlmz, potos végeedméy, Ksebb keekítések és közelítések mellett.

15 F. eset: Az E. esetbe megdott gdozás gyság szóás mellett váhtó éték,7 eze $ kell, hogy legye közömbös pot elééséhez, mvel: 6 [ W ] E U = 0,50 U W0 6,7 0,50 U W0 = 0,50,87 0,50,74 =,30 6,7 Foglljuk most össze z egyes esetek megvzsgálásából levohtó következtetéseket:. A kockáztkeülő, coáls dötéshozó em fektet pézt dupl vgy semm jellegű befektetésbe. A. eset. A dupl vgy semm helyzethez képest, befektetés váhtó étékét vlószíűségek vgy kmeetek átlgák megváltozttásá keesztül B. és D. eset mdg megemelhetjük egy oly szte, melytől kezdve dötéshozók má befekteté pézét. 3. Az előző két potból következk, hogy egy befektetés poztív váhtó étéke szükséges, de em elégséges feltétele k elfogdásához. 4. Ameybe övekszk egy befektetés lehetséges állpotk gdozás szóás, úgy egye gyobb váhtó étékkel lehet csk ábí kockáztkeülő, coáls dötéshozót befektetése. D., E. és F. esetek Ezek utá bztos egyeétékes és kockázt pémum foglmkt má köye hozzálleszthetjük váhtó hozm szóás modellükhöz. Eek egy-egy pefeecgöbéje mellett váhtó hszosság álldó, így tetszőleges befektetés lehetőség CE í kockáztmetes hozm-egyeétékese ull szóásál tlálhtó hozm. Az RP kockázt hozm-pémum pedg z E CE. E U 5 U 4 RP CE U 3 U U 0. áb: Kockáztmetes hozm-egyeétékes és kockázt hozm-pémum ételmezése váhtó hozm szóás modellbe. Emlékezzük, hogy egy kockáztkeülő dötéshozó váhtó hozm szóás pefeec-téképéek egyegy hszosság göbéjét z U = E A függvéyel közelítettük hol A z ú. kockáztelutsítás együtthtó volt. Eek segítségével má köye felíhtó egy tetszőleges befektetés lehetőség CE í kockáztmetes hozm-egyeétékese és RP kockázt hozm-pémum. CE = E A RP = E CE előtt túl messze szldák godoltkkl, álljuk meg egy pllt! Az embeek mdg s hoztk dötéseket, töekedtek édekek követésée, befektetéseket, beuházásokt vlósítottk meg. Tették ezt élkül s, hogy bámeye étették vol bzoytl köyezetbe vló dötéshoztl temészetét. Köszöhetőe 6 Ksebb keekítések és közelítések mellett.

16 Beoullk és z elmúlt évszázdok más mtemtk, közgzdság vgy pszchológ lágelméjéek, m má sokkl többet tuduk, és ezáltl godolkodásuk, dötéshoztluk s megváltozott tlá. Részbe sosszeűség, véletle foglm változott meg. A XVI. százdb még tsztá sosszeűek tűhetett, h vlk yet fogdv, hogy két kockávl dobv lesz számok között -es vgy -es, kko még em tudvá, hogy eek vlószíűsége vlójáb 55,6%. s éezék sosszeűséget egy lye fogdás eedméyével kpcsoltb, de má kssé másképp étékelék z eedméyt. Hsoló helyzet z embeek váhtó vselkedéséek kédésével s. Szembe modjuk XVII. százd embeével, má tudjuk, hogy például több teméket áltláb csk lcsoybb áo dhtuk el. Eek tudtáb m má bzoyos másképp fomálódk egy ákkl kpcsoltos dötésük, még kko s, h tudjuk, z embeek egyáltlá em bztos, hogy úgy cselekedek mjd, hogy z modelljek lpjá váhtó lee. Bá tudásuk e tée s folymtos ő, zét óvtos kell foglmzuk. Be kell vlluk: sok mdet em tuduk, em étük még z embe dötésekkel kpcsoltos, sőt, mde bzoyl tudomáy e tée s öök veseyfutás v ítélve. Újbb és újbb modellek, fssebbél fssebb pszchológ kíséletek, újbb gyegeségek, elletmodások felfedése, mk még újbb mgyáztokt sügetek. A befektető coltássl fogllkozó lfejezetük egyfjt összegzésekét zájuk yvl e szeteágzó és szép témát, hogy koább tágylt váhtó hszosság mxmlzálás és kockáztkeülése építő befektető pefeecák coáls befektető követését tételezhetjük fel. Úgy tűk zob, hogy pézügyek vlág e tektetbe elég specáls vlág, ezt e tévesszük szem elől. I.. Htékoy potfólók ttás A mode potfólóelmélet ode Potfolo Theoy, PT kdulópotjt kockáztkeülés jelesége és közgzdság coltás feltételezése dj. Feltételezhetjük ugys, hogy meybe z lye befektetőkek lehetősége v kockáztuk oly csökketésée, m váhtó hozmot em ét, kko meybe pesze ez költségmetes él fogk lehetőséggel. A befektetés dvezfkálásák, megosztásák, zz potfólók 7 klkításák lehetősége lyeek tekthető. Az elméletet z ötvees évekbe lkott meg később Nobel-díjjl ktütetett Hy kowtz. Azt célt tűzte mg elé, hogy oly befektetőkek állítso össze potfólókt, kk vát hozmot kívátosk és hozdék szóását emkívátosk ttják v. Édekes, hogy jvsolt sttégáják leíás soá kockázt szót em s hszálj, hozdék szóását egyszeűe oly emkívátos dologkét defálj, melyet befektetők gyekezek mmum csökkete. ukáják fő tétele z, hogy egy potfóló egésze más dolog, mt egyed étékppíok egyszeű összessége. A jött á, hogy kockáztos befektetéseket össze lehet úgy s kombál, hogy potfóló egészébe végül kevésbé lesz kockáztos, mt külö-külö z lkotóeleme. A potfóló váhtó hozm ugys em függ észek sztochsztkus kpcsoltától, szóásák gyság vszot koelácós kpcsoltokk s függvéye, ezek segítségével csökkethető. A potfólóelmélet és tovább tygészek megétéséhez em keülhetjük el, hogy lposbb megétsük éháy sztochsztkus jeleséget. Ném kocetálást géyel mjd ez, de h skeül, k óás hszát vesszük mjd továbbkb. Cspjuk tehát bele! deekelőtt e feledjük el, hogy vlószíűség változókkl v dolguk. A koábbkb ugys ögzítettük, hogy pézügy kockáztot szóás foglmávl zoosítjuk. Egy áltláos befektetés lehetőséget k hozmávl, mt omáls eloszlású vlószíűség változóvl jellemzük, mek tehát E váhtó étéke és szóás v. Ameybe P potfólóvl v dolguk, z több elemből áll, áltláos jelölve db elemből, melyek egyke z áltláos elem s. H még egy áltláos elem jelölésée s szükségük v, kko zt j-vel jelöljük. Nomáls eloszlású vlószíűség változók mtemtk smeetek lpjá fel tudjuk í egy elemű P potfóló váhtó hozmák és szóáségyzetéek áltláos összefüggéset: E = E E... E P... = 0. 7 A potfóló olsz eedetű szó, eedet jeletésttlm: étékppí-állomáy. má áltláosbb ételembe hszáljuk, emcsk étékppíok, hem mde más befektetése votkozó s.

17 j j j k j j j j P = = ; ;......,,,. hol z befektetés étékppí súly potfólób és k j koelácós együtthtó és j között. vel ge fotos, hogy potos étsük e képletek jeletését, lább külö felíjuk = és =3 eseteke s:, = = = k E E E P P 3 3 3,3 3 3,3, = = = k k k E E E E P P A váhtó hozm votkozó összefüggések tlá má jól éthetőek, ezek vszoylg egyszeűek. A szóás votkozók megétéséek tovább segítéséhez íjuk fel még két áltláos esetet: z egykél z elem között koelácó legye, máskál pedg 0. Nézzük előbb z -es koelácók esetét, zt tehát, mko potfólóészek között teljes függőség v: 8 ; ; ; ,,, = = = = = = j átlgos j j j P k j j j. H jobb belegodoluk tváls eedméye jutottuk: teljes függőség -es koelácók eseté z egész szóás észek szóásák súlyozott átlg. 9 Nézzük meg külö zt z esetet s, mko P db egyfomá átlgos, együtt gdozó észből áll: átlgos átlgos átlgos átlgos átlgos P j átlgos k... ; ;, = = = = = = 3. ost ézzük 0 koelácók esetét: 0 ;......, = = = j P k 4. Nézzük tt s meg, hogy m helyzet kko, h P db egyfomá átlgos észből áll, de most 0 tgok között koelácókkl: 8 Ugye emlékezek: b b b = = bc c b c b c b 9 A tökéletes -es koelácó leás függvéykpcsoltot jelet. H z egyk ő, kko másk s, h z egyk csökke, kko másk s, és e változások áy álldó. A tökéletes koelácó hozott példák emtt mestekéltek s tűhetek kcst, és emtt fet szövegbe tváls jelző s. Pl. egy g észeek gdozás között koelácó: h z egyk ész kleg, kko másk s, gz, z g belső észeek gdozás ksebb, mt külsőké. Az g egészéek gdozás modjuk tömegközéppotot tektve gák ylvá észe gdozásák z átlg.

18 átlgos átlgos átlgos átlgos átlgos P j átlgos k... 0 ; ;, = = = = = = 5. Eél z áltláosbb esetél láthtó gzá jól, hogy potfólók szóás függetle tgok eseté tgok számák övekedésével csökke: A fet képletbe övekedésével számláló gyök ltt kevésbé övekszk, mt evező sm. Vessük most össze két eedméyüket úgy, hogy végtelehez ttso: 0 0; ;,, = = = = = átlgos P j átlgos P j k k 6. Alpvető megállpítás jutottuk: egy sokelemű P potfóló szóás együttmozgó észek eseté észek átlgos szóásához tt, függetle észek eseté vszot ullához. Az utóbb esetbe egyszeűe ól v szó, hogy sok össze-vssz gdozó ész koltj egymást, így z összességük gdozás megszűk Fogllkozzuk ezek utá egtív koelácók esetével. Itt mellőzzük mtemtk levezetést, met tlá e élkül s jól éthető jeleségől v szó. H tgok között v egtív kpcsolt s, kko elképzelhető, hogy má kevesebb elemszám eseté s ull legye z eedő szóás, zz potfóló szóás. á két elem eseté s elképzelhető ez. Nulláál zob cs ksebb szóás, szóás mdg poztív szám. 30 Vgyük tovább z előző lábjegyzetes példát! ost oly gát képzeljük el, melye számtl ks szálo öálló golyócskák lógk. E golyócskák egymáshoz képest össze-vssz hmbálózzk. H csk éháy lye össze-vssz hmbálózó golyó lee, z zok összességéek tektett g s hmbálóz vlhogy, hsze külöböző ks gák em mdg olták k egymás gdozását. Ngyo sok lye ks g eseté vszot z átlg má ull lee, gy g tömegközéppotj egyhelybe áll. 3 Beláthtó, hogy egy gy elemszámú potfólób potfóló szóáségyzete bee lévő tgok átlgos kovcájkét dódk. Áltláos szóáségyzet összefüggésüket lposbb megvzsgálv ájöhetük ugys, hogy z étékppíok számák övekedésével koelácós tgok egye meghtáozóbbkká válk. Tegyük fel, hogy potfólókb mde észvéy egyelő áyb szeepel. Ekko db észvéy eseté szóáségyzet következő: átlgos átlgos j j j j j j P k k cov v = = = A képlet másodk soáb felülvoások átlgost jeleteek. Az összefüggés végé szóáségyzetet másk szokásos jelölésével, v-l jelöljük, utlv másk szokásos elevezésée, vcá. A cov jelöléssel egy másk sttsztk foglom, kovcá utluk. A kovc defícój:, cov j j j k = A kovc foglmávl má elegás foglmzhtjuk meg potfóló votkozó tételüket: gy elemszámú potfóló eseté zz, h gy lletve végtele, potfóló vcáj szóáségyzete z elemek átlgos kovcájához közelít. átlgos j j átlgos átlgos átlgos P k cov cov v lm lm = = = temtk foglmk élkül em tudjuk tömöe és egzktul kfejez mdezt. Elég csk yt megéezük, hogy egymáshoz fom sztochsztkus hálóvl kötött észekből álló gy elemszámú potfóló kockázt végeedméybe z egyed kockáztok gyságk és koelácós hálók szövevéyéből eed. A léyeg z, hogy sztochsztkus kpcsoltedsze koelácós háló meghtáozó. H koelácós együtthtók 0-k leéek, kko egybe kovcák s zéus dódk, így kellőe gy elemszámml teljes kockázt megszütethető lee. A vlóság em ez, külöböző befektetések étékppíok gy észe poztív koelácóvl kötődk egymáshoz, kolátot szbv ezáltl kockáztcsökketések.

19 Az előzőekbe zt láttuk, hogy -es koelácók eseté potfóló szóás tgok átlgos szóás. Null koelácók eseté potfóló szóás tgok számávl csökke kezd, végtele sok tg eseté ullához tt. dezt tudásukt egészítsük k még zzl, hogyh vk potfólób egtív koelácós kpcsoltb lévő tgok s, kko potfóló szóáscsökkeése gyosbb lehet, ká má két tg esetébe s eléhet ullát. 3 H má étjük z, 0 és - koelácók esetét, godoljuk végg köztes helyzeteket s. H észek között poztív, de egyél ksebb koelácós együtthtók lépek fel, kko potfóló szóás z elemszám övelésével ullág em, de vlmelyest zét csökke. Ilyeko vlmeyt koltk észek egymás gdozásából, de mvel tedecózus egy áyb gdozk, eek htá v. H vk ulláál ksebb koelácójú páok s ez gyosítj szóáscsökkeést ullág, vgy h összességébe több zét poztív kpcsolt, kko vlmlye poztív étékg. Az áltláos szbály tehát z, hogy meybe cs teljes függőség tgok között gyobb elemszám ksebb szóáshoz vezet, lletve mél ksebbek páokét koelácók, ál gyosbb. A fetek utá má vlágos, hogy potfólóelmélet mee felé kpzsgál : úgy kell összek potfólót külöböző befektetés lehetőségekből, hogy szóás, zz kockázt mél ksebb legye, mközbe pesze mél gyobb váhtó hozmot zsebeljük be. Ehhez válhtuk koelácós kpcsoltokkl, de z elemszámml s. Nézzük előszö csk két étékppí, és j kombácót! Legye Dubus-észvéy, j pedg Poplst. Hv hozmokt tektve 995 és 000 között két észvéy következő eedméyeket podukált x : Részvéy Dubus Poplst j Váhtó hozm %,5 3,3 Szóás %,4 7, A fet áltláos összefüggések lpjá, íjuk most fel z ebből két észvéyből álló potfóló váhtó hozmát és szóását! E P = E E =,5 3,3 j j j = k P j j j j j =,4 7, k,4 7, j j j Ábázoljuk most z eze összefüggések lpjá lehetséges vácókt külöböző k,j koelácós együtthtók esetée koább tágylt váhtó hozm szóás modellbe! E k j = - k j = -0,5 k j = 0 k j = 0,5 k j = 3,3 3 j U 5,5 U 4 U 3 U U,4 7, 3 Nézzük új z gás példát! H csk két ks külö g lee, de ezek éppe ellekező áyb gdozák, kko gy g tömegközéppotj egyhelybe mdht. Az össze-vssz gdozó ks gákból tehát végtele sok kell hhoz, hogy gy g mozdultl legye, h egtív koelácó s v, kko kevesebb ks g s elég ehhez.

20 . áb: Két étékppí Dubus és Poplst j kombácó külöböző koelácós együtthtók és súlyozások eseté. Jól láthtó kockáztcsökkeés jelesége, vlmt z, hogy ál jobb csökkethetjük kockáztot szóást, mél jobb közelít két étékppí koelácój -hez. H koelácós kpcsolt lee, kko két étékppí megfelelő kombácójávl kockázt megszütethető lee. E koelácós kpcsolt eőssége pesze dottság, többféle kpcsolt eősség ábázolás pusztá szemléltetés. Esetükbe egyébkét vlós koelácós együtthtó 0,5 köül v potosbb Dubus és Poplst étékppíjk múltbel dt lpjá ezt becslést tehetjük jövőe votkozó s. Jól láthtó, hogy fet áb közömbösség göbével modellezhető dötéshozók kko já legjobb 0,5 koelácó eseté, h kb % áyb fekteté pézét z és j észvéyekbe, leglábbs kko, h csk e kettő kombácót válszthtj. H csk z egyket válszthtá, mdeképpe osszbbul já egyébkét ekko Dubust válsztá. E A következő ábá má háom étékppíból összeállíthtó potfólókt láthtuk. Feltütettük páokét lehetséges potfólókt s. Jól láthtó, hogy mdháom bevoásávl U 5 éhetjük el leggyobb szóáscsökkeést. E U 4 j k U 3 U U. áb: Potfólók háom étékppíból. A kockáztcsökkeések ezt fomáját dvezfkálásk, dvezfkácók evezzük. Aól v tehát tt szó, hogy egy megosztott, más szóvl dvezfkált befektetésél, zz egy potfólóál, z egyes észek hozm em tökéletese koelál, sokszo z egyk éppe kko mgs, mko más észeké lcsoy lcsoybb, így k-koltják egymást szélsőségesebb esetek, m összességébe ksebb szóást eedméyez. Nylvá ez htás ál eőteljesebb, mél jobb koltják egymást észek gdozás, zz mél ksebbek koelácók. egsmételjük, hogy z kjeletés, hogy dvezfkácó váhtó étéke em, csk szóás ht, úgy ételmezedő, hogy váhtó étékek mdg észek egyszeű számt átlgkét dódk, míg potfóló szóás észek egyed szóás mellett koelácós kpcsoltok szövevéyétől s függ. Az újbb ábá má z összes lehetséges kockáztos étékppít és z ezekből előállíthtó potfólókt ábázoltuk. Beláthtó, hogy meybe vlág összes kockáztos befektetés lehetőségét ábázoljuk váhtó hozm és szóás lpjá, kko ezek egy csomób kell, hogy legyeek. Ee zét számíthtuk, met meybe z egyk lehetőség váhtó hozmát és szóását tektve jeletőse eltávolod többtől, zz többhez képest sokkl jobb vgy sokkl osszbb lee, kko k áát áfolymát ylvá kgzítá tőkepc. Az áfolym megváltozás pedg váhtó hozm változását okozz, h ő z á, csökke váhtó hozm, és fodítv. Szélsőséges váhtó hozm szóás páok tehát em számíthtuk. Az egyszeűség és vlósághűség kedvéét feltételezzük továbbá, hogy kockáztos befektetések között egy dott kockázt szt lttkt em tláluk. Tételezzük fel továbbá zt s, hogy z étékppíok bámely kombácójávl sem tudjuk szóás kolt, zz lehetséges potfólók egykéek szóás sem lehet ull. temtklg: bámely lehetséges potfóló eleme között koelácós kpcsoltok átlgos poztívok.

21 E Az ábáb fekete potokkl szemléltettük, hogy egy lye vlágb mozgó befektető hogy hld számá egye jobb és jobb helyzetek felé potfólóják egye jobb és U 5 jobb tötéő megosztásávl, dvezfkálásávl, és végül, hogy jut el számá legjobb, leghtékoybb potb. E U 4 B U 3 A U U 3. áb: Egye dvezfkáltbb potfólók soozt z összes lehetséges kockáztos potfóló hlmzá. A tojáshéj peeméek A pottól felfelé eső potjt ú. htékoy potfólókk evezzük. Ezek potfólók má dvezfkáltk mde dvezfkálhtó kockáztot. A htékoy potfólók ktegóájuk legjobbj, zz dott kockázt szte legmgsbb váhtó hozmot, dott váhtó hozmál legksebb kockáztot dják. A B pot pefeecedszeével ábázolt befektető számá legjobb leggyobb váhtó hszosságot yújtó htékoy potfólót jelöl. Ugyeze folymt követhető végg következő ábá s, hol befektető fetebb ábá s jelölt jobb és jobb dvezfkált potfólók szóáségyzetet muttj. dvezfkálhtó kockázt közelítőe htékoy potfoló em dvezfkálhtó kockázt Potfóló elemszám 4. áb: A dvezfkácó kockáztcsökkető htásák semtkus ábázolás. 33 Foglljuk össze övde z eddgeket! Dvezfkál tehát mde kockáztkeülő befektetőek megé, és meybe dvezfkálásk cs számottevő költségvozt, úgy coáls yílvá ezt s fogj te. H elfogdjuk mt egyébkét józ eszük s dktál, hogy dvezfkácó léyegébe költségmetes, kko dvezfkálást befektetők áltláos mgttáskét foghtjuk fel. kowtz így foglmz: x A dvezfkácó megfgyelhető és ézékelhető, domás mgttás szbály, mely sem mt hpotézs, sem mt lpelv em vethető el. Továbbgodolv mdezt ylvávló, hogy befektetők dvezfkácó dt lehetőséggel mxmáls él kívák. Ehhez potfólójuk megosztottságát oly szte kell emelük, hogy gykoltlg mde dvezfkálhtó kockáztot elmáljk, zz htékoy potfólót kell ttsk. 33 Az áb csk éháy megkötés mellett koekt, de z áltláos jeleséget így s jól tüköz.

22 E E Am htékoy potfólók között befektető válsztást llet, jól láthtó, hogy ez z egyes befektetők pefeecgöbe-seegétől potosbb kockáztkeülés hjlmuktól, együtthtójuktól függ. Külöböző befektetők, külöböző htékoy potfólót válsztk. U 5 U 5 E B A B Htékoy potfólók U 4 U 4 U 3 U 3 U U U U 5. áb: Külöböző pefeecájú befektetők htékoy potfóló-válsztás. kowtz fodlm megváltozttt hgyomáyos befektetés-kválsztást. Oly eljáást jvsolt, melyek végeedméye htékoy potfólók. Htékoyk, tehát dott put kockázt mellett mxmlzálják z outputot hozmot. egközelítése több tulsággl s szolgál. Egyészt vlágos muttj, hogy gyobb hozmét egye gyobb kockáztot kell válll, másészt pedg t, hogy e tegyük fel mdet egy kátyá. Az egyes htékoy potfólók között cs zob külöbség, kowtz csupá étlpot kíál befektetőkek. Ésszeű befektetők oly potfólót válsztk mgukk, mely kockázthoz vló vszoyukk, hbtusukk legkább megfelel. Neum és ogeste hszossággöbével kíál módszet befektetők pefeecák leíásá, kowtz pedg d eceptet, hogy hogy éhetk el befektetők mxmáls hszosság sztet. Beoull mukák pézügytötéet jeletősége bb áll, hogy ámuttott, em elég egy-egy befektetés váhtó hozmát vzsgál, k kockázt s fotos pméte. kowtz potfóló-modellje pedg yb lép tovább, hogy bebzoyítj, em elég egy befektetések csupá váhtó hozmát és kockáztát vzsgál, hsze potfóló-ttás jelesége mtt, k több befektetéshez vló vszoy, potfólób vló beágyzottság, koelácós kpcsoltedsze s dötő fotosságú. Ugyúgy zob, mt Beoull fodlm megközelítése, kowtz-féle potfóló-modell sem volt lklms közvetleebb felhszálás. A kowtz-féle potfólómodell gykolt lklmzás ugys ge poblémás. Egyészt egy-egy befektetés dvezfkálás utá megmdt kockázták megállpításához potfólób lévő összes több befektetéssel vló koelácós kpcsoltát fel kellee téképez, ádásul befektetők áltl ttott htékoy potfólók sem zoosk, így ez kpcsoltedsze s egyéekét változó. debből fkdó egy-egy befektetés téyleges kockázták ézékelése, megítélése befektetőkét eltéő, hsze külöböző befektetőkél külöböző koelácós köyezetbe keül. Összességébe tehát kowtzféle potfóló-elmélet gykolt lklmzás szte eméytele. I.3. Pc potfóló ttás Amíg hszosság-elmélet Neum és ogeste áltl kfejtésée és játékelmélet lklmzásá több mt kétszáz évet kellett vá, ddg Wllm Shpe 34 kowtz godolt lpjá lg több mt tíz év ltt fbkált gykoltb hszálhtó pézügy modellt Shpe szté Nobel-díjs.

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar Üzleti Tudományok Intézet. Dr. Andor György ÜZLETI GAZDASÁGTAN

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar Üzleti Tudományok Intézet. Dr. Andor György ÜZLETI GAZDASÁGTAN BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Gzdság- és Tásdlomtudomáy K Üzlet Tudomáyok Itézet D. Ado Gyögy ÜZLETI GAZDASÁGTAN okttás segédyg Budpest, 05. Ttlomjegyzék GAZDASÁGPSZICHOLÓGIAI ALAPOK...

Részletesebben

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer 19. Függvéyek rekurzív megdás, mester módszer Algoritmusok futási idejéek számítás gykr vezet rekurzív egyelethez, külööse kkor, h z lgoritmus rekurzív. Tekitsük például h z összefésülő redezés lábbi lgoritmusát.

Részletesebben

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága Azoos évleges értékű, htelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérés bzoytalasága Zeleka Zoltá* Több mérés feladatál alkalmazak súlyokat. Sokszor ezek em egyekét, haem külöböző társításba kombácókba

Részletesebben

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr.

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr. Verseyfeldtok Középiskoli verseyfeldtok megoldás és redszerezése Szkdolgozt Készítette: Nováky Csb Témvezető: Dr. Fried Ktli Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kr Mtemtik Alpszk Tári Szkiráy

Részletesebben

Síkbeli csuklós szerkezetek kiegyensúlyozásának néhány kérdése

Síkbeli csuklós szerkezetek kiegyensúlyozásának néhány kérdése íbel culó zeezete egyeúlyozáá éáy édée íbel culó zeezete egyeúlyozáá éáy édée DR BENKŐJÁNO gátudoáy Egyete Gödöllő Mg Gépt Itézet gyoozgáú gépzeezete tevezéée foto lépée z egyelete, ezgéete üzeet bztoító

Részletesebben

Szoldatics József, Dunakeszi

Szoldatics József, Dunakeszi Kstérség tehetséggodozás Rekurzív soroztok Szoldtcs József, Dukesz Npjkb egyre több verseye jelek meg rekurzív sorozt. Ezek megoldásához d ötleteket ez z elődás, A feldtok csoportosítv vk megoldás módszerek

Részletesebben

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén Kis Tigris Gimázium és Szkiskol Készségszit-mérés és - fejlesztés mtemtik kompeteci területé Vlj Máté 0. Bevezetés A Második Esély A Második Esély elevezés egy oly okttási strtégiát tkr, melyek egyik legfő

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése 3 4 Tartalomegyzék. BEVEZETÉS 5. A MÉRÉS 8. A mérés mt folyamat, fogalmak 8. Fotosabb mérés- és műszertechka fogalmak 4.3 Mérés hbák 8.3. Mérés hbák csoportosítása eredetük szert 8.3. A hbák megeleítés

Részletesebben

Megjegyzések a mesterséges holdak háromfrekvenciás Doppler-mérésének hibaelemzéséhez

Megjegyzések a mesterséges holdak háromfrekvenciás Doppler-mérésének hibaelemzéséhez H E L L E R MÁRTA DR. FERENCZ CSABA Megjegyzések esteséges holdk háofekvencás Dopple-éésének hbelezéséhez ETO 62.396.962.33.8.46: 629.783: 88.3.6 Mnt z á előző ckkünkből [] s set, kuttás bn és esteséges

Részletesebben

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 A pályázat címe: Rugalmas-képlékey tartószerkezetek topológa optmalzálásáak éháy külöleges feladata (Részletes jeletés) Az

Részletesebben

Valószínűségszámítás összefoglaló

Valószínűségszámítás összefoglaló Vlószíűségszámítás összefoglló I. Feezet ombtor ermutácó Ismétlés élül ülöböző elem lehetséges sorrede! b Ismétléses em feltétleül ülöböző elem összes ülöböző sorrede!... hol z zoos eleme gyorság!!...!

Részletesebben

A Sturm-módszer és alkalmazása

A Sturm-módszer és alkalmazása A turm-módszer és alalmazása Tuzso Zoltá, zéelyudvarhely zámtala szélsőérté probléma megoldása, vagy egyelőtleség bzoyítása agyo gyara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölderféle

Részletesebben

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét Vrg József: Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Vrg József, Kecskemét Hrmic éves tári pályámo sokszor tpsztltm, hogy tehetséges tulók

Részletesebben

1. Mi az érték és a hasznosság kapcsolata, és a hasznosság definíciója!

1. Mi az érték és a hasznosság kapcsolata, és a hasznosság definíciója! . M z éték és hszosság kpcsolt, és hszosság defícój! Az éték, hszosság egy embebe, egy embe sztuácób lkul k, egy yg jószág, egy tágy ömgáb hszotl. Hszosságot tuljdoítuk mdeek legye z yg vgy em yg jószág,

Részletesebben

Általában a pálinkáról...

Általában a pálinkáról... A z E e k á l h á z e v é e k é s c u l á k á e v e z é s e 1. Álláb álkáól... A álkfôzés öéee Az égee szesz, öbbek közö álk ásdlmuk egk legôsbb l, m vlág mde ájá fgszk. Eze lk összeevô ájké, szágké ge

Részletesebben

Valószínűségszámítás. Ketskeméty László

Valószínűségszámítás. Ketskeméty László Valószíűségszámítás Ketskeméty László Budapest, 996 Tartalomjegyzék I. fejezet VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 3. Kombatorka alapfogalmak 4 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok 6. A valószíűségszámítás alapfogalma

Részletesebben

Energetikai gazdaságtan 3. gyakorlat Gazdasági mutatók

Energetikai gazdaságtan 3. gyakorlat Gazdasági mutatók Eergetk gzdságt 3. gykorlt Gzdság muttók GAZDASÁGTAN, PÉNZÜGY JELLEMZŐK A gykorlt célj, hogy hllgtók A. elsjátítsák gzdálkodásb szokásos pézügytechk meységek között összefüggéseket; B. egyszerű gzdságosság

Részletesebben

FEJEZETEK A HOMOGÉN FEJSOROZATOKRÓL

FEJEZETEK A HOMOGÉN FEJSOROZATOKRÓL FEJEZETEK A HOMOGÉN FEJSOROZATOKRÓL SZAKDOLGOZAT Készítette: Kovács Blázs Mtet BSc, tár szrá Tévezető: dr Wtsche Gergel, djutus ELTE TTK, Mtettítás és Módszert Közot Eötvös Lorád Tudoáegete Terészettudoá

Részletesebben

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása Lieáris egyeletredszerek megoldás 5 II Lieáris egyeletredszerek megoldás Kettő vgy három ismeretlet trtlmzó egyeletredszerek Korábbi tulmáyitok sorá láttátok, hogy vgy ismeretlet trtlmzó lieáris egyeletredszerek

Részletesebben

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK 1. MŐVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL ) Összedás: + = c és - összeddók, c - összeg A feldtok yivl gyo (tö). Az összedás tuljdosági: 1) kommuttív (felcserélhetı):

Részletesebben

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

Széki Hírek A Magyarszékért Egyesület kiadványa

Széki Hírek A Magyarszékért Egyesület kiadványa Szék Hírek A Magyarszékért Egyesület kadáya X. éfolyam, 1. szám Karácsoy a árakozással tel szeretet üepe December 17-é fatalok adtak hagerseyt a templomba. K kegyetleül süöltött a hdeg szél, míg be melegséggel

Részletesebben

Folyamatba épített előzetes utólagos vezetői ellenőrzés. Tartalom. I. A szabálytalanságok kezelésének eljárásrendje

Folyamatba épített előzetes utólagos vezetői ellenőrzés. Tartalom. I. A szabálytalanságok kezelésének eljárásrendje Melléklet Folymtb épített előzetes utólgos vezetői ellenőrzés Trtlom I. A szbálytlnságok kezelésének eljárásrendje II. Az ellenőrzési nyomvonl III. Folymtábrák IV. A tervezéssel, végrehjtássl, beszámolássl

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai Tárcsák számítása A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusa A tartószerkezeteket geometra méretek alapjá osztálozzuk Az eddg taulmáakba szereplı rúdszerkezetek rúdjara az a jellemzı hog a hosszuk

Részletesebben

É Ő É é ö í é í é í í Ú é é é í í ő ö ö é É Ó É Á í é ő é í í í Í Í í í É É É í é é í Í é Íő é í é í é í í Í ú é é ű í í é í í Í ö ö ő é ö ö é é í Á ő é é é í é Í ö é é é é é é ö Í ö é é é í í é ö í í

Részletesebben

FIGYELEM! Ez a kérdőív az adatszolgáltatás teljesítésére nem alkalmas, csak tájékoztatóul szolgál!

FIGYELEM! Ez a kérdőív az adatszolgáltatás teljesítésére nem alkalmas, csak tájékoztatóul szolgál! FIGYELEM! Ez kérdőív z dtszolgálttás teljesítésére nem lklms, csk tájékozttóul szolgál! KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL Az dtszolgálttás sttisztikáról szóló 1993. évi XLVI. törvény (Stt.) 8. (2) ekezdése

Részletesebben

Szemléletes lineáris algebra - összefoglaló I. mérnökhallgatónak. Segédanyag az NGB_SZ003_2, N_SZ45 és N_SZ14 tárgyakhoz

Szemléletes lineáris algebra - összefoglaló I. mérnökhallgatónak. Segédanyag az NGB_SZ003_2, N_SZ45 és N_SZ14 tárgyakhoz Szemléletes lieáis lgeb - összefoglló I. méöhllgtó Segédyg z NGB_SZ_, N_SZ5 és N_SZ tágyhoz összeállított: D. Szöéyi Milós főis. doces 8. Ttlom:. Lieáis té. Tájéozódás lieáis tébe Lieáis ombiáció Lieáis

Részletesebben

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 202.03.0. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

SMART, A TÖBBSZEMPONTÚ DÖNTÉSI PROBLÉMA EGY EGYSZERŰ MEGOLDÁSA 1

SMART, A TÖBBSZEMPONTÚ DÖNTÉSI PROBLÉMA EGY EGYSZERŰ MEGOLDÁSA 1 III. Évfolym. szám - 008. úius Gyrmti József Zríyi iklós Nemzetvédelmi Egyetem gyrmti.ozsef@zme.hu SRT, TÖBBSZEPONTÚ DÖNTÉSI PROBÉ EGY EGYSZERŰ EGODÁS bsztrkt cikk egy többszempotú dötési módszert mutt

Részletesebben

9. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKJA

9. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKJA 9. LINÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKA Az 5. fejezetbe már megmeredtü a leár trazformácóal mt a leár leépezée egy ülölege típuával a 6. fejezetbe pedg megvzgáltu a leár trazformácó mátr-reprezetácóját.

Részletesebben

Kerületi Közoktatási Esélyegyenlőségi Program Felülvizsgálata Budapest Főváros IX. Kerület Ferencváros Önkormányzata 2011.

Kerületi Közoktatási Esélyegyenlőségi Program Felülvizsgálata Budapest Főváros IX. Kerület Ferencváros Önkormányzata 2011. Kerületi Közokttási Esélyegyenlőségi Progrm Felülvizsgált Budpest Főváros IX. Kerület Ferencváros Önkormányzt 2011. A felülvizsgált 2010-ben z OKM esélyegyenlőségi szkértője áltl ellenjegyzett és z önkormányzt

Részletesebben

Ó É Í ű ö ö ű í ö ö ö ö ö ö ö í ö ú ö í í ö í í í í ű ö í ö í ú Á Í Ó Á í ö ö ö ö ö ú Ú ö í í í ö ű ö ú ö Ú É É ö ú ö ö ú í í ú ú í ú ú í É ö É ö ú ú ú ö ú ö ú í É ö ö ö ö ö ö ú ö ö ú ú Á í ú ö Í ö í ö

Részletesebben

Á Á Á Ó ő ő ő í ő ö í ő ő ó í ó í ö ú ű í ó í ö ö őí ö ö ó í ő Á Á ö ö ű ö ö ö ö ö í ö ő ő ö ö í ő ö Ö Ú É Á őí í ö ö ö ö ö ő ö ő ő Ó ú ö ö ó Á ö ö ö í ö í ö í ű ö ö ű ö É ö ú ö í ö ú ű ö ű ö ö ő ű Ö ő

Részletesebben

ö í ő ő ő ö ö ö ö ö ő ő í ű ő ő ő ő ő í ű ő ő ő ű í ű ó ő ő ó ú ő ő ó ó í ó ö ö ö ő ő ő ő ú ú ó ö ö ő ő ű ö ö ú ó ó ó ö ú ő ó ö ő ő ö ő í ö ö í ő ö ő ö ő ö ú ő í ő ő ö ú ű ő ő ő ő í ö ö í í ú í ö ó ő ö

Részletesebben

FIGYELEM! Ez a kérdőív az adatszolgáltatás teljesítésére nem alkalmas, csak tájékoztatóul szolgál!

FIGYELEM! Ez a kérdőív az adatszolgáltatás teljesítésére nem alkalmas, csak tájékoztatóul szolgál! FIGYELEM! Ez kérdőív z dtszolgálttás teljesítésére nem lklms, csk tájékozttóul szolgál! KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL Az dtszolgálttás sttisztikáról szóló 1993. évi XLVI. törvény (Stt.) 8. (2) bekezdése

Részletesebben

ő Ö ő ó ő ó ő ő ó ő ő ő ó ő ú ó ő ú ő ú ő ő ú ó ő ő ú ő ő ő ú ú ű ú ő ó ő ű ó ő ő ú ő ő ő ú ú ő ó ű ő ő Ö úú ő ó ú Ö ó ó ő ő Ö ó ú ő ő ő ú ő ó ő ó Ö ó ú Ű ő ő ó ő ő ó ő ú Ö ú Ö ő ő ú ú ő ő ú ú ó ó ő ó

Részletesebben

ú ű Í Í Ó ú ú ú ú Í ú ú ú ú ú ú Í ú ú ú ú ú ű Í ű ú ú ú Í ú ú ú É Ó Á Á Á É Á Á Á ú ű Á Á Á É ú É Á ű Á ű Á Á Á Á Á ú ú Á ú É Á É ű ű ú ű ú ű Í ű ú ú ú É Í É Í ú ú ű ú Í ú Í ű ű ú ű Í ú ú ú ú ű ú ú ú ű

Részletesebben

Í ö Í ú Ú ö É Ú É Í Ó Ó ö ö ö Ö ú ú ú É Í É Í Ó Ú ö ö Ú É Í Ö ú ö ú ú Ö ú ű Í Ó ú Í ú Í Á É Í Ó Ö ö ú Ú Ö ö Ú É Í Ó É Í ú ű Í Í öé ö Í Í ú ú ű ö Í ú ű ö ú É ű ú ú Á ú Ö ú ú ö ö ú ű ú ö ö ö ö ú ű ú ö ú

Részletesebben

ű Ó ú ú ú ú ú Ö Ö ú Á Ú ű ú ú Ú É ú ú Ö Ö Ű ú ú ú ű ú É ű ú É ú ú ú ű ű ű ú ű ú ű ú ű ű ú ű ű ú ú Á ú É ű ú ú ű ú Ü ű ú ú ű ű ú ú ú ú Ö Ö Ú ú ú ú ú ú ú ú ű É ú ú ú ű ú ú ű ú ú ú É Í ú ű ú ú ú ú ű ű É ú

Részletesebben

Ő Á Ő É ö ö ö ö ú Á ö Ö ú ö Ö ö ö ű ú ú ö ö ö ö í í í ú ö í ö ű í í í í í í í ö í Í Í Á ö í Í ö í í Í ö É Ü ö Á í í ö ö ö í ö í ö ö í ö ű í í í í í í í Í ö í ö ö í Í Í ú í Í ú ö ú í í ú Í ö ö ú ö ö Í ö

Részletesebben

í Í Ő í Ü ó ó Ó ó Ó Ó Ó ó Ó Á Ó Ü í í ó í Ó Ü í Ó Ó í ó ó ő ő í Ó í Í í Ő í ó í Ó ö ó ó Ö ó ó Á Á ó Á ó É ő í í ő í Í í í í í ó ó ó í Ó Á ö Ö í í É Ő Á ó Á Á É Í É ó í ő í ő Ó ó ó í ó ő ó ó í ó ő Ó ő í

Részletesebben

ű ű ű É Ü ű ű ű Ö Ü Ö ű Ö Ú Ö ű ű ű Á ű ű Á É ű Ú ű Ó ű É Ó É ű ű É ű ű ű Á ű ű ű ű Ö Ö É Ú Í ű Ó ű Ö ű Ö Ö Ö Ö Ö ű ű ű ű ű Ö É É Á Á É Ö Ö É Ú Á ű Ö ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű É ű Ő ű Á ű

Részletesebben

ú ó ó ó ó ó ú ó í í ó í ú í ó í ú ó ű ú í Á ó í ó ó ó ó í í ó í í ó ó ó ó í ú ó ó í í í ó í ó í Ó Ö í ó ó ű í ó Ő ű í ó í í ó ű ű ú í ú í ó í ó í ó í í í í ó ú ó í ó í í Ő ű í ó í ó í ű ó ó ű ó ó ű í ó

Részletesebben

Á Á Ö Á Ó Ü ü Á Ó Á Á Á ú É É É É É É Á Á Ó Á Ó Ó Á Ö Ó Á Ó Á Á Ó Á Ú Ö Ö Á Ö Á Á Á É Á Á Á Á Á Á Á Á É Ó É Á Ó É Ó Á Ó É Ó É Á Ó Ö Ö Á Ó ö ö ú Ö Á É Ó Ú Á Á Ú Ó Ó Ó Á Á Á Á Ú Á É Á Á ö Á Í Á Á É Í

Részletesebben

ö É ú Á Á Á Á Á É ü É É Á É ö Ő Ó Á Ő Ó Ó Í Ó Á ö Á Á Á Á Á É ÁÉ Á Á Á É É Ú É Á Á Á É É Á Á Á Ö Ö É É É É É É ú Á É É Ó Á Ó Í Ó Á Á Á ú Á ö É É É É É ő Á Ú Í É Á ö Á É Í É Ő Ó Ó Á É Í Á É É ö É Á Ő Ó

Részletesebben

ö ö Ö Ü ó í ö Ö ó ó ó ó í í ö ö ö í Ü Ü ö ö í í ó ö í ó ó ó ú ű ó ó ó ó ó ó ó ó ö ö í ó ó í ó ö ű ö ö ö í ú ú ó ó Ö ö ú ű ö í ó ó í í ú ö ö í ú ű ó ó ó ó ó ó ö ó í ú ű í í í ó ó ó ó í ó ó í ú ö ű í ö ó

Részletesebben

Í ö ö É Í ö ú ú Í ö Ö ú ö ú ú Ú ö ú Ö ú ú ú ú ú Ó ö ö ú ú ú Á ú Á ú ö Ú ö Ó ú Ú ö ö ö ú ö ö Á Í ö ö ú ö Í ö ö ö ö É ö ű ö Í ö ö ű ö É Á ö ö ö ö ú Í ö ö ú ö ö ú É Á Í ú ö ö ö ö Í Í ú Í Í Í É Í ű Í Í Í Í

Részletesebben

Á Ú ő ú Ö ó ó ó ő ő ó Ö ő ú ó Ö ú ú ó Ü ú ó ó ó ó ű ó ó Í ú ő É É ő ő ű Ü ő ú ó ő ó ú ú ó ó ó Ö ú ő ú ő ú ő Ö ő Ü ő ó ó ó Ö ú ő ó ó Í Á É É É Á Á É É ó ú ó ő ó ó ó ó Ó ó ű ő ű ó É ú ó Ö ő ú ó Á É Á Í ó

Részletesebben

Ü ú ő ó ö Ö ó ó ő Ö ú ő ö ó ő ó ö ö ú ó ő ö ö ő ő ö ó ú ő ö ö ő ó ö ó ö ö ö ó ó ö ó ó ú ú ö ő ú ö ó ó ó ö ö ö ö ú ö Ü Á ú ő É ó ő ö ú ő ő ő ú Ö ú ó ó ó ó ú ő ó ö ő ó Ü ú ő ő ö Ü ó ő ó Á Á Ü ő ö ö Ü ö ö

Részletesebben

Ú Á É í ő í ó ó ó í ö í ö ö ö í ö ö ö ö ö Ú ö ó ö ö ö í ö í ő ö í í ő ö ú ö ó ö í Á í ó ő ú í ő ő ú í í ó ő í ó ó í í ő ó ó ó ő ó ó ő ü í ü ó ü ő ó ő ó ü í ó í ő É ö ö ö ő ü ő óí ö ű ö ü ó ö ö ő í ó í

Részletesebben

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011 MÉRÉSTECHNIKA DR. HUBA ANTAL c. egy. taár BME Mechatroka, Optka és Gépészet Iformatka Taszék 0 Rövde a tárgyprogramról Előadások tematkája: Metrológa és műszertechka alapok Mérés adatok kértékelése Időbe

Részletesebben

Ö Ú Á É É Í Á Ü Á É Ö Ö ő Ö Ö Ö É Ó Ö Ö Ó Ö Ö Ö Á Ű É É Ó Ó Ó Ö Ó ő Í ő Ó Ö Ö Ö Í Ö Ú Ó Ó Ó Ö Ö Ó Ó Í Í ö ú ö ű ö Á ö Í ő Á ö ü ö ö ü ö ü ö Ú ö Ö Ö Ö ő ő ő Ó ő ö Ö ÍÍ Ö Í Ö Ö Í Ö Ö Í Í ő Ö ö ő ő ú ö ü

Részletesebben

ő ö Ö ő í í ő ó ő í ó ő ő Ö Ö ő ö í í ö ö í ő ő í í í í ő Ü í ö ö í ű ó ö Í í ö ó í Ü Ü É í ő ö í ő Ö Ö ő í í í Á ő ő í ő ő ö ö ö ö ó ö Ö í í ó ő Ü í ó ó ő ó ő ó ó í ó ö ó Ó í í í Ö í ő ö ö ö ó í ő ő í

Részletesebben

á á Á Á É É ÉÉ ú í Á Á É ö É Á Á á á é á é á Ű é á á é ő á á á é ú ő ő é á ó é é á í á ó á é ő é á á á é ó í á á ü é é á é á á é á á ó é é ö é Ü Ö Ö á á é é í é ú á ö é ö é é á á é á á é é ő á ő ő á é

Részletesebben

Ó Ú Ö É Ö Á Ú Ó É Ö É É Ö Á Á É ö ü ö í ö ö ő ó ö ö ő ő ö ó ö ű ő ő ö ö ű ö í ő í ű ö ü ű ö ó ö í ó í ű ó ű ö ő Á Á í ú ő ö ö í ó ú ó ú ó ú ó ú ó í ó í í ó ö ö Ö í ó ő ú ő ó ú Ö ű ő ö ö Á Á Ó ó í ó ó ö

Részletesebben

Í ű é ó ú Á ö ő ö é é é á é é ó ú ő ö é ó é á é é é é é é é ó á É É ü ő é é ó á á í á ó á é á ó á é é ü ó é ü ö ó ú ö é ö á ű á í é é é ü é é é ö á á á é ó é é ü á ü á á ú á á á á é é é é ü é é é ó é á

Részletesebben

í á í ö ö ö é ú é ö é ö ü é ö é é é á é á ü á ó á é Íí ő ő é ü é á á á ó ó ú ö é áíű ő ő é ö ó é í é é é á á é í á á ó é á ó é ü á é é Í í é ü ő ő é á é ü ú ó á é ű ő é ő ő ö ű ő ő á á á á í é é é á á

Részletesebben

í í í ö í ő ö ö ő ö ö í ű ő ö í í Ö í í í ő í í ö í í í ú Ö Á í í í í í Ö í í ö í í ő í í ö ű ö í ö í í ö í í í í ö ü í Ö É É ö í Ö ő Ö í í ő ü ő Ö ő Ö ő ö Á Á Á Á É É É Á Ö ő Ö ú ö í ú ű ú í Ö ü ú Ö ő

Részletesebben

É É É ú ú í ü ú Ó ú í Á Ö É Ő É í í í ú Á Í í ü ö ú ö ö í ö ü Áö í ö ö í ö í í ü í É Ü Ú É ú Í É É É Í í Á É í í í ü ü Í Ó í í í ú ÍÁ Í í í í í É í ö í ö Ü í Í í íí Í Í Á ú É É Á í É É í í í í Í É ö Í

Részletesebben

í ő ü í ú É ó ő ő ö í ó Í ú í ő ü í ú ü ő ó ó ő ő ő ő ó ö ö ü ö ö ó ö ó í ö ö í ő Ö Ö Ö ő ó ő ő ő ö ő Í ó ő ó Ó ő ó ö ö ú ú ö ö ú ö í ő Á Ö ő ő ó í ő ü í ú ü ő ő ő ő ő ó ö ú Ö ú ú í ö í ó ó Ö ö ő ö ó ú

Részletesebben

Á Á É ö ó ö ü ó ú ű ö ú ó ü ö ü ú ú ö ö ű Ü ö ö ű í ó ű í í Ö í ű ű í ű ű í Í í ó ű Ű ű í Ö Ö Á Á Ű ú ö Ő ű ü í Ö í Ő ű ű Ú ó Ö ű í ö ű í ü ö ü ö É ö ö ű ü í Ú í í ö Ő ó ó Ö ó í Í ö ö ó Ö ű ó Í í í ö ö

Részletesebben

ő Ö ő í í ó ó ó ú ő ó ó ü ő ö ő ő ó ó ü ó í ő ö ö ö ó ő ó ö ö ő ó ó ó ó ö É ó ó ű ö ü ő ó ó ú ó í ó ő ó ó ő ú ó í í í ó í í ő ó ó ő ü É É Á Á É É ó ő ö ő ő ő ő ö ő ő ö ő ő ő ü ó í ö ó ó ő ú ő ó í ő ö ő

Részletesebben

ö ö ó Á Á ó é ú ü ó é é é ú é é í é ü ö í é ü ó ö é é é é ö é ő é é ó é é ö é é í é ő é é é é í é ü é é í ő é é í é é ö é é é é é é é é ú ó é í é é ó í é é ó é í é ö é ő é ú ő ő é ő ö ú é é ó ü é ü é é

Részletesebben

ű ö ú É Í Á ü É ó ű ö ú ú ő ó ó ö Í ő ó ó ó ó ó ö ó ő őí ö í ö ő ö ő Á Á É őí ő ü őí ü Á ó Á í í ó Á ó ó í ó ó ő Á É ö Ú ő ü Ö ó ö ó ö ö í Á ö ő ő ó ó ó ó ö í í í ú ó í ö ö ő ő ő Ö ő í ö ó ó ö í ö ö ő

Részletesebben

ő ü ö í é é é é ő ő ő í ő ő ő ó é é é é ü ö é é ő é í ő ó ó é ü ö ő é é é í é ö é ű ö é éé ő ü é éé ő é ó í í é é í ú é é ö í é é é é é é ú é é é ú é í ó ű ö ő ö ó ü ő ó ö é é é é é éü ö ű é é ü ő ó é

Részletesebben

Ö É É É É Á ü é ü ö ó é é ú é ő ú ö ö é ú é ő é í é é ó ü ü ó é ő í ó ó ű é é é é ő é é é ó ő ö ő ö ó ú ó é é ű í é ó ó é é é é é é é ő ó é é ő é ó é é öü ő é é é é ó é ő é ö é é í é ó ő ó é é é ü ó ú

Részletesebben

ó Ö Ö ü Í Í ó ü í ó í í ü Í ü ü í ó í ú ó í ó í ó ó ü í Á Á í Ó É í Ó ó Ó í Í í í ó í ó Í ó ü ü Ö ü ó í Ó ű Ó ó ó ü í ó í í Ó ú ó ó ó ó ü í ü Í Í ú í Í Ó ó í ü üó ó ü ó í ó ú í ü í Ó Í í Í í ó ó Á ó ó

Részletesebben

Á ö í Ö ó í ö ú ó ü ö ö í í ö ö Í ö ö ö ö í ö í ó ö í í É Á Ó í ú íí Ó É Ű ó ó ű ó ú É É ó í ü í ó ó í ű ó ö ó í ó ű í ó ö ó ú í í ü Á ú í ö í ó ú ö ó ó í í ó í í ü ö ú ű ú ü ó ó í í ü ö ú Í ó ó ó í ü

Részletesebben

Á Á Ő É Íő á á ö Í á Í ó ó ó á á á á á ó ö ő á ő ő á á ú á ó á á ő á ó á á ó ö ö á Á ő ó á ő á ö ó á ú Í É á Í á á ó á É á á Í ö á á á ó Í ő á ó á á ú á ó á ó ó ó ú á ú á ű á ű á ó ű á á ő á á Í á ó á

Részletesebben

ö Ü Á Á Á Á Á Á É ö ü Á Á Á ö Á Í É Á Á ö ü ő ú ő ü ö ü ő ö ü ö ü í Á í ö ö ü í Ö ú ö ö ü ő Ö Ü Ö í í ö ö ö í í ú ö ő ü ü É ő É ő Á Á Á É É ü ű ö ő ű ú ú Á Á Á É É ü í ü ö í í í í ü ö ö ő Ö Ö í ü ö í í

Részletesebben

ó Ö ü Ö ü í ó ó ü í ó í í í ó í ú ú í í ó í Ú ü í ü Á ü í ú ó ó ó ó ü ü ü Ö í Ü í ü É ó ü ó í í ó í í ú ó ü ó í ó í ü É í í ü ü Ö í Ö ü ó í ó ó ó Á ó ü í Á ó ú ú ú ó ó í ü ü Ö Ö ü Ó í í í ó ó ó ü í ó ú

Részletesebben

É Ó É É É Ó É Ú Á Á É É ó É Á Á ó É Á Á É ú É Á Á ó ő ü ő ü ő ó ó óú ö ó ó ó í ő ő ő í í ő ú ő ű ö ü ö ú ü ő ö ő ü ó ő ő í ö ő í ú ü ő ö í ő ő ü ő ó ú ó ő ö ú ű ö ő ó ú ü ó ó ü ó ő ó ő ő ő óó í ő ú ó ő

Részletesebben

Í Í ú ú ü Í ű Á ú ü ü Á Ú Ó Á ü ü ü Í ü ú ú ú ú ú ü Í ú ü ü Á ú ű ü ü ú Í ü Á ű ü ü É Á ü ü ü Á ü Á Á ü ü Á Ö ü Ö ű Ú Í ú ú Ö Ö Ú ú ü Í Ö ű Ö Ü ú Ö ü Í ü Ü Ö ü É Ö ű Ü ú Á ü ű ű Í Í ű Í ú ú Ó Í É Í Á ü

Részletesebben

ő ű ő ö é ö é é ő ü é é ö ü ó Ó Ö é ü é ö é Ö é ő ü é ű ő é é ö ó é Á é ő é é ő í ő ö ö ö ű ö é ő ő ő é ü é é í ő é ő ú é ő ó ó é í é ő ü é ü ó ü é ő ü é ő ü ö ő ü ü í é ü ő ő ö é Á é ő é é ő ü ő ő é é

Részletesebben

ö ő ő ö ú ü é é í í Ü é ó ü é ó ü é é ö íö ö éí é ú ű í í é ö í ó ü é é ö ö ó ö í ó ü é é í é é ó í í ü ő Í í ő é é É ó é í é ó ő í é é ó é ő ő é é ü ö ő é ő é ü Íó é é é Í ó ü é é é é é ó é ü í é ú ó

Részletesebben

ő ő ű í ú ő ü ü ü ú ü ü ő ü ü ü ü Ó Ő Ö Ú Í Á Ű Ó É É Á É ü ü ő ü í ő ő í í í ő ő ű í ú ú í ü ú í Á Ö í ő ő ű í ú ű í ő ő ű í ú Ő Ó Ö Ú Í Á ÍŰ Ó É É Á É ű í í ő ő ő ő í ő ő ő ő í ő ő ő í í ü í Ö í í ú

Részletesebben

Á Á ü ö Ő é ü ö é é é ü ö ö ö ó ü ü ü é ü ö ö é Á ö ö ö é é é é é í é í ó é ó é ó ó ö ü ö í é ü ü é ö ü í ö é é ü é ó é ö é é ü é é ü é ü ü ü é ö ü é é ü ö ö ó ö ó í üí ö é é Á ú ö é é ü ú ó ö ó ö í í

Részletesebben

Ó Ú ü ü ó í ó í ó ó Ó É Ü Ö ü ü Ö ü ó í ó ü Ö ü ü Á ó ó Á ó ó Ö Ö ó í ü í ü Ö ű ű ü Ö ó ó í Ó ó ó Ö Ó Ö Ó ó ú í ü Ö í ó í í ó ü Ö Ö í Ó Ó Ó ó í Ö í ó í ü ó ó ó Ö ó í ű ó í ó ű ú ü ó Ó í í ó ó í ú ü ű ű

Részletesebben

ó ú ó é é ü ü é é é ó ü ö ó ó ó ó ó ö ö í í ó é ü é Ü é ő ü ó í ó é ő ü ö é é ö é é é é ö é é ó ö é é ö ö ö é é ő é é ö é ö é í é ö í é ó í é é í ö é ó ü é ö é ö é é é ö ö é é é ó ü ö é ő ö é ó é ö ú é

Részletesebben

ö ó ü ö ó ü í ó ó É ó ö ö ó ó ó ö ö ü É ü í ü ó í ö í ó ü ú ü ú Á Ó í ó í ö ö ó ó ó í ö ö í ó ó ó í ü ó É ó ó ó í É ú ü ö ű ó ó í ó ú Ó ú ó ó ö ö ú í ú ű ö í ó ű ü ü í ü ü í ó ü í ó í Á ó ó ú ó í ó ö ö

Részletesebben

ű í ö ű ö ű í ö í í ö ó ó ü ó ó ö ó ö ó ó ó ó ó Á ó ó ö ö ö ö ú ö ö ü ú í ö ü í ó í ű í íö ö ö ö ü ó ű ö ó ú ó ö ó ű ű ó ó ö ö ö ü ü ó ó ö ú É ö ö ö ö í ö ó ó ö ú í ö í ó ö ö ó í ó ü ü ü í ó í ö ö ó ü

Részletesebben

Á Í Á ü É ó ü ÍÉ ó ü ü ó Á ü ó ö ö ó ú ü ü É ú ü ó ó ó ü ü ü É ó ö ö ö ú ü ü ü ö ö ö É É ú ó ö ó ó ő É ö ö ó ó ú ü ó ó Á É ó ó ü ó É ó ó ü ó ó ó ó óű Á ü óű ú ü ú ü ü ú ü ú ü ú ü ö ü ü ó ó ü ó ó ű ü ü

Részletesebben

Á Ö É Ö Á É Ü É é ü é é ö é ö é ö é é é ö Í ó ó ó ö ü é ó ó ó é ó ó ó é ö é é é ó é é é ö Í ó ú Íü é ö é é é ö ö ö é é ü é é ö é é ó ü é ó ú é ü é ü é ó ó ó é é é ö é é ó ó é ü ó é é ö é é é é Í ó ó Í

Részletesebben

É Á í Á Á É Í É É É É Á í ó ö ö ü ú íű ö ö ö ő ö ö ö ö ű ó ő ó ö ö ú í ó ö ő ó ő ó ó ó Á ó í ő í í í ö ü ó ö ő ő ó ó ű öó ó ö í ó ö ö ú ú í ü ó ó ö ö ö ó ö ó ó ó í í ó ó ö ó ő ö í ű ó ü í ö ü ö íí ö ü

Részletesebben

ö ó ö ó ő ö ú ő í ó É Ü ü ó ó í ö ö ó Á ő ö ó ő í ü ú ö ö í ó ó í ö ó ó Ő Ű í ö ó ü ü ó ő ó ő ő ó í ó ó ó ó ú ó ö ó ö ö ö ó ü ó ü íő ó ó ó í ó ö ö ó ö í ő ű ú ö ö ó ü ú ó ő ó ó í ö ő ő í í ö ö í ó ő ó

Részletesebben

Á Ö É É É É Í Ü Ő Ü Ő É ó ő ó ó ű í ó ő í í ó ö ö ö ú ú ü í ü ü ő ő ü ú Á ő ú ú í ó Ü ö ő í ő ú ö ó ú ö Ö í í ó í í ő í ü í Á Ö Ö í ü ü ő Ü ő ú ő ú Ő ü ő ú Ú ő í ő ó ű í ő ó ő ú ö ő ü Ü ő ú ő ő ő ó ö Ő

Részletesebben

Á ú ó ú ó őí ö ó ő ő ö ű ú ő ó ű ú ö ö ő ő ö ó ü ö ü ü ó ö ő ö ő ő ü ö ö ü ő ó ö ö ó ő ö ó ó ö ö ö ő ő ö ó ő ő ö ó ő ó ő ő ú ő ó ú ó ő ő ó ö ű ö ó ő ő ö ö ó ő ü ö ő ő ó ó ü ó ö ü ö ö ú ő ő Á ő ő ő ő ő

Részletesebben

É Ő É ö ó ó Ó Ö Ó ő ő ő ő ó ó ő ő ó ü ő ó ó ü ö ö Ó ó í í ú ó í ú ó í ü í ő ó ő ő í ö ü í Ó ó í ú ó í ú ó í ü ó ő ö ő ú ö ű ü ő ő í ó í ó í ő ó ő íü ö í ő ő ű ő ú ö ő ö ó ö ó ó ö ö ő ó ó ö ő ő ü ó ö ű

Részletesebben

ó Á Á É ó ó ó ó ű ó ó ú ó ó ú ü ó ó ó ü ó ó ó ó ó ó ü Í ű ó ű ú ü ű ó É ó ű ó ó ű ó ü ű ó ó ü ü ó ó ó ó Í ü ó ó ü ó ű ú ó ó ó ü ó ü ú ű ó ú Í Ú ű Í Ö ó Á Á Á Á É Á Á Á É ó ó ó ó ú ó ó ü ü ó ü ó ó ó ó ó

Részletesebben

Ü Ü ó ó É í í É ó í ó ü ú ó ó í ú í ó ó í í ó ű í ó ú ü í ú ó í ü ó ó í í ü ó í ü ű ú Ö í ü ű ó í ú ű ó í Í ü ó Í ü ó ú ü ú í ü í ű ó í ü ü ü ü ó í Í ű ű í ü Í ű ó í ó ó ü ó ü ó ű ü í ű ó ü ó ó í í ü í

Részletesebben

í ú ő ö ö í ö ö ö ó ó ú Ó ó í ó ó ú ó ü í í ö í ú ú í ó í ő ú ö ó í í ó ö ő ó í ó í ó í ó ó ú ü ő ó ó í í ő í ú í ó ő ö ö ő ó ó ö Á ö ó ó ű ó ó ó ó í ö ó ö ú ó ó ó ó ü ö ö ű ú ö Ó ü ü í Á ó í ö ő ő í É

Részletesebben

Á Á Ő Í É É ó É ü ö í ő ő ő ű ő ó ő á ü á á á ó á á ő É ó ó ü á á á ó ó í á Á ó ű ő ó ü ö ó ö ö ő ö ó ú á á öó ő ó öí ő á í á ő á ö ö ó ö ő ű ö á ú ö ó ó ó á ü ö ö ü ó ö ó í ö ü á í á á í Í ü í íí ö í

Részletesebben

ő ö ő Ö ő ü ó ő ő ő ú ó ő ó ó ü ő ő í É ö ó í ó ó ú í í í ő ó í ö í ü ö ő ö ü ó ö ü ó Á ó ö í ó ó ú ó ó í ó ö ó ü í ő ú í ő ö í ő Á Á ő ő ő í í ő í ő í ó í ó ú ő ő ó ö ő ó í ő ö ő ő ü ó ö í ü ó ö í ö ő

Részletesebben

ö é ü Ö é ü é ú é ó ü é é Ü é é ü í é é é Ó í é É ó ű é é é é ö ö é í ó Íö é é ü é é é ü é ü é ó ö ű é ú ó Í é é Í ú ú é é ó é í é é Í ó ó ó é ó ö é ű ö é é Í ó é Á Á ö ű é ú ó é é ö ú í ü ö ű é ö é Í

Részletesebben

Á Á Ó É ö á ű ö á á á á Í Í á ú á ú ö ö á ú á á á öí á á á á á ö á á á á á á á á á á ö á á á á ö á á Í á á á á Í áí á á á á ö á á á á á áí á á á á á ü á á ü á Í ú á á á á á á ú á ü ö É á á ü á á á ö á

Részletesebben

ó á í á á ő ű á á ö ű á ó í ő á ő í á ó á í í Í á ő ű á á ő á ö í ő á á á á á ó ö ó á ó á ó ó ó ö á á ö ű á ó í ö í á á É ő ö íí á ö í á á ö á ó ő ó ö á á á á ö á ő á ó á ö í á ó ü ó á ó ö á ó ű ö í ü

Részletesebben

ö Ö ü ő í Ü ö Á Ü Ü ő ő ő ő ü ű í ő ű Ó í ú ü í í ő í í ű ő ú í ö ő Ü ö ö í ú ö ő í ő í í ő Ü ú ő í ő í ü ő ü ő ö ö ö ő ő ú ü ü ő ü ü í ú í ő ő ü ő í ü ö ö ű ü ű ü ő í ü ú ő ö ü ü ő ő ő ö ő í í ő ő ú ő

Részletesebben

ő ő ű ú ü ő ü ü ü ü ő ü Ú Í Á Ó É ü ü ü ő ő ő ő ü ú ő ű ő ő ú ú Á ú É ű ő ő ő ő Á ü É ő Ö Á ő ő ő ő É ő ő ú ú ú ő Á Ö ő ő ő ű ő ú ú Á É ű ő ő ő ő ő ő ő ő ő ő ő É Í ü ű ő ü Ö ő ú ű ű ő ő É ü ű ő ű ő ú ú

Részletesebben