Ljkó Károly Klkulus II. Debreceni Egyetem Mtemtiki és Informtiki Intézet 2003 1
c Ljkó Károly ljko @ mth.klte.hu Amennyiben hibát tlál jegyzetben, kérjük jelezze szerzőnek! A jegyzet dvi, pdf és ps formátumbn letölthető következő címről: http://riesz.mth.klte.hu/ ljko/jegyzet.html Ez jegyzet AMS-TEX-ben készült Szedés és tördelés: Kovács László 2
TARTALOMJEGYZÉK I. Vektorterek, Euklideszi terek, metrikus terek................. 5. 1. Vektortér, euklideszi tér és metrikus tér foglm................ 5. 2. Az R n euklideszi tér........................................... 7. 3. R n és metrikus tér topológiáj................................. 8. Feldtsor.......................................................... 11. II. A Riemnn-integrál áltlánosítás és lklmzás.......... 13. 1. Korlátos változású függvények................................. 13. 2. Riemnn-Stieltjes integrál..................................... 15. 3. Görbék ívhossz............................................... 18. 4. Görbementi integrál........................................... 20. Feldtsor.......................................................... 23. III. Soroztok R n -ben és metrikus térben....................... 25. 1. Alpfoglmk és kpcsoltuk.................................. 25. 2. Soroztok és műveletek, illetve rendezés........................ 26. 3. Részsoroztok................................................. 26. 4. Cuchy-soroztok..............................................27. IV. Többváltozós és vektorértékű függvények folytonosság, htárértéke.................................... 29. 1. Alpfoglmk................................................. 29. 2. Folytonosság foglm.......................................... 29. 3. Folytonosság és műveletek..................................... 31. 4. Folytonosság és topologikus foglmk.......................... 31. 5. A htárérték foglm.......................................... 32. 6. Htárérték és műveletek illetve egyenlőtlenségek............... 35. 7. A htárérték és folytonosság kpcsolt...................... 36. V. A többváltozós függvények differenciálszámítás............ 37. 3
1. További lineáris lgebri előismeretek.......................... 37. 2. A differenciálhtóság.......................................... 43. 3. Iránymenti és prciális derivált................................ 45. 4. Differenciálási szbályok....................................... 47. 5. Középértéktételek és következményeik..........................48. 6. Mgsbbrendű deriváltk, Young és Tylor tétele............. 50. 7. Lokális szélsőérték............................................. 54. 8. Inverzfüggvény-tételek......................................... 56. 9. Implicit függvények............................................57. 10. Feltételes szélsőérték......................................... 59. Feldtsor.......................................................... 61. VI. Riemnn-integrál R k -bn..................................... 65. 1. Riemnn-integrál téglán....................................... 65. 2. Riemnn-integrál korlátos R n -beli hlmzon................... 73. 3. Jordn-mérhető hlmzok R n -ben............................. 75. 4. Integráltrnszformáció......................................... 79. Feldtsor.......................................................... 85. VII. Differenciálegyenletek....................................... 87. 1. Differenciálegyenlet foglm................................... 87. 2. Kezdeti érték problém vgy Cuchy-feldt................... 88. 3. Elemi úton megoldhtó differenciálegyenlet-típusok.............90. 4. Egzisztenci-tételek Cuchy-feldtokr....................... 97. 5. Mgsbbrendű lineáris differenciálegyenletek................ 102. Feldtsor......................................................... 109. 4
I. VEKTORTEREK, EUKLIDESZI TEREK, METRIKUS TEREK 1. Vektortér, euklideszi tér és metrikus tér foglm 1. Definíció. Legyen dott egy V hlmz (elemeit vektoroknk nevezzük). Tegyük fel, hogy értelmezve vn két művelet: vektorok összedás, melyet x, y V -re x + y, sklárrl vló szorzás, melyet x V λ R esetén λx jelöl. V -t e két művelettel vektortérnek, (vgy lineáris térnek) nevezzük, h x, y, z V, λ, µ R esetén 1) x + y = y + x (kommuttivitás), 2) x + (y + z) = (x + y) + z (sszocitivitás), 3) 0 V, x + 0 = x (nullelem létezése), 4) x V, x V, x + ( x) = 0 (inverzelem létezése), 5) 1 x = x, 6) λ(µx) = (λµ)x, 7) (λ + µ)x = λx + µx, λ(x + y) = λx + λy (disztributivitás). 2. Definíció. H V egy vektortér, kkor, : V V R függvényt skláris, vgy belsőszorztnk nevezzük, h x, y, z V λ, µ R esetén 1) x, y = y, x, 2) x + y, z = x, z + y, z, 3) λx, y = λ x, y, 4) x, x 0, x, x = 0 x = 0 teljesül. 3. Definíció. Egy V vektorteret, rjt egy skláris (vgy belső) szorzttl, belsőszorzttérnek, vgy (néh csk vlós értékű skláris szorzt esetén) euklideszi térnek nevezünk. 4. Definíció. H V belsőszorzttér, kkor z x V vektor hosszán, vgy euklideszi normáján z x. = x, x számot értjük. 5
1. Tétel. Az euklideszi normár teljesül: 1) x 0, x = 0 x = 0, x V, 2) λx = λ x x V, λ R, 3) x + y x + y x, y V. Bizonyítás. Gykorlton. Megjegyzés: Minden z 1)-3) tuljdonságot teljesítő. : V R függvényt normánk nevezünk V -n. 5. Definíció. H V belsőszorzttér (vgy euklideszi tér) kkor z x, y V vektorok euklideszi távolságán d(x, y). = x y számot értjük és zt mondjuk, hogy d : V V R függvény távolság, vgy metrik V -ben. 2. Tétel. A V -beli euklideszi távolságr teljesül: 1) d(x, y) 0, d(x, y) = 0 x = y, x, y V, 2) d(x, y) = d(y, x) x, y V, 3) d(x, z) d(x, y) + d(y, z) x, y, z V. Bizonyítás. A norm tuljdonsági lpján egyszerű, gykorlton. 6. Definíció. Legyen X egy nemüres hlmz. H értelmezve vn egy d : X X R függvény z 1) d(x, y) 0, d(x, y) = 0 x = y, x, y X, 2) d(x, y) = d(y, x) x, y X, 3) d(x, z) d(x, y) + d(y, z) x, y, z X tuljdonságokkl, kkor zt mondjuk, hogy d metrik X-en és X-et metrikus térnek nevezzük. Jelölés: (X, d). Megjegyzés: R d(x, y). = x y, míg V euklideszi tér d(x, y). = x y metrikávl metrikus tér. 7. Definíció. Legyen (X, d) metrikus tér. Az X r (> 0) sugrú nyílt gömbkörnyezetén K(, r). = {x X d(x, ) < r} hlmzt értjük. 8. Definíció. Legyen (X, d) metrikus tér. H X korlátos, h H = vgy H esetén r R, hogy x, y H-r d(x, y) r. Ekkor dim H. = sup{d(x, y) x, y H} számot H átmérőjének nevezzük. 6
Megjegyzés: Egyszerűen beláthtó, hogy H X (H ) pontosn kkor korlátos, h X r R, hogy d(x, ) < r x H esetén. 2. Az R n euklideszi tér 1. Definíció. Legyen R 1. = R, és h n N-re már Rn értelmezett, kkor R n+1. = R n R. R n elemeit (x 1,..., x n )-nel jelöljük és rendezett vlós szám n-eseknek nevezzük, hol (x 1,..., x n ) = (y 1,..., y n ) x 1 = y 1,..., x n = y n. H x. = (x 1,..., x n ) R n, kkor z x i -ket z x koordinátáink, R n elemeit pontoknk, vgy vektoroknk is nevezzük. Szokásos z R n. = 1 R n R jelölés is és zt is mondjuk, z R n R önmgávl vett n-szeres Descrtes-szorzt. 2. Definíció. Legyen dott z R n hlmz és értelmezzük benne z összedás és sklárrl vló szorzás műveletét x + y. = (x 1 + y 1,..., x n + y n ), illetve λx. = (λx 1,..., λx n ) szerint, h x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) R n λ R. 1. Tétel. R n most értelmezett két művelettel vektortér (vgy lineáris tér). Bizonyítás. A vektortér 1)-7) tuljdonsági egyszerűen ellenőrizhetők. A nullelem: 0. = ( 1 0,..., n 0). 2. Tétel. H x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) R n, úgy skláris (vgy belső) szorzt R n -ben. x, y. = x 1 y 1 + + x n y n Bizonyítás. A belsőszorzt 1)-4) tuljdonságánk ellenőrzésével. 3. Tétel. H x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) R n, kkor z x =. x, x =. n x 2 i, illetve d(x, y) =. x y =. n (x i y i ) 2 i=1 7 i=1
szerint definiált norm, illetve távolság (metrik) teljesíti norm, illetve metrik tuljdonságit. Bizonyítás. Egyszerű (feldt). Megjegyzések: 1. A 2., 3. tételben definiált skláris (belső) szorzttl, normávl, illetve távolsággl (metrikávl) R n euklideszi tér, euklideszi normávl és metrikávl. (R n, d)-t n-dimenziós euklideszi térnek is nevezik. 2. H n = 1, úgy d(x, y). = x y (x, y R) távolsággl (R 1, d) = (R, d) metrikus tér, hiszen d teljesíti metrik 3 tuljdonságát. 3. Az R n pont (vektor) r sugrú nyílt gömbkörnyezete K(, r). = {x R n d(x, ) < r} hlmz, hol d z R n -beli euklideszi távolság. 4. A korlátosság és z átmérő foglm (R n, d)-ben ugynz mint (X, d)-ben. Igz továbbá, hogy H (R n, d) korlátos, h r R, H K(0, r) (zz x < r x H). 3. R n és metrikus tér topológiáj Az (R n, d) konkrét és z (X, d) bsztrkt metrikus terekben egy (R n, d) (X, d) vektor, pont vgy elem r > 0 sugrú nyílt gömbkörnyezetén K(, r) = {x R n X d(x, ) < r} hlmzt értettük, hol d(x, ) =. x =. n (x i i ) 2 R n -beli, vgy pedig 2.6. definícióbn szereplő 1.-3. tuljdonságú d(x, ) metrik szerepel. H szükséges megkülönböztetés, kkor szokás d R n, illetve d X jelölés is z R n, illetve X-beli távolságr (metrikár). 1. Definíció. Legyen dott E (R n, d) (X, d) hlmz. Azt mondjuk, hogy x E belső pontj E-nek, h K(x, r), hogy K(x, r) E; 8 i=1
x R n X külső pontj E-nek, h belső pontj CE-nek (zz K(x, r), K(x, r) E = ); x R n X htárpontj E-nek, h nem belső és nem külső pontj (zz K(x, r)-re K(x, r) E K(x, r) CE ). A belső pontok hlmzát E belsejének, htárpontok hlmzát E htáránk nevezzük. 2. Definíció. Az E (R n, d) (X, d) hlmzt nyíltnk nevezzük, h minden pontj belső pont; zártnk nevezzük, h CE nyílt. 1. Tétel. Az (R n, d) (X, d) metrikus terekben igzk következők: 1) R n X nyílt hlmzok, 2) nyílt hlmzok egyesítése nyílt, 3) véges sok nyílt hlmz metszete nyílt, illetve 4) R n X zárt hlmzok, 5) zárt hlmzok metszete zárt, 6) véges sok zárt hlmz egyesítése zárt. 3. Definíció. Legyen dott E (R n, d) (X, d). Az x 0 R n X pontot z E hlmz torlódási pontjánk nevezzük, h K(x 0, r) (R n X-beli) környezet trtlmz x 0 -tól különböző E-beli pontot, zz (K(x 0, r)\{x 0 }) E. x 0 E izolált pontj E-nek, h nem torlódási pontj, zz K(x 0, r), hogy (K(x 0, r)\{x 0 }) E =. E torlódási pontjink hlmzát szokás E -vel jelölni. 2. Tétel. Az E (R n, d) (X, d) zárt, h E E (zz trtlmzz minden torlódási pontját). 3. Tétel (Bolzno-Weierstrss). S R n korlátos végtelen hlmznk létezik torlódási pontj. Megjegyzés: A tétel metrikus térben áltlábn nem igz. 4. Definíció. Nyílt hlmzok egy {o ν } rendszere z S R n X hlmznk egy nyílt lefedése, h S o ν. ν 9
5. Definíció. A K R n X hlmz kompkt, h minden nyílt lefedéséből kiválszthtó véges sok hlmz, mely lefedi K-t. 4. Tétel. A) (Heine-Borel) Egy K R n hlmz kompkt, h korlátos és zárt. B) H K (X, d) kompkt, kkor korlátos és zárt. 6. Definíció. Az (X, d) metrikus tér összefüggő, h nem létezik X-nek olyn nemüres o 1, o 2 nyílt részhlmz, hogy o 1 o 2 = és o 1 o 2 = X. A H ( ) X összefüggő X-ben h (H, d) összefüggő metrikus tér. (A d metrik H H-r vló leszűkítését is d-vel jelöljük, és (H, d) vlóbn metrikus tér.) 5. Tétel. (R n, d) összefüggő. 10
1) Bizonyíts be z 1.1. tételt. 2) Bizonyíts be z 1.2. tételt. Feldtsor 3) Bizonyíts be, hogy H R R n X korlátos, h R R n X és r > 0, hogy H K(, r). 4) Bizonyíts be, hogy R n benne értelmezett összedássl és sklárrl vló szorzássl vektortér. 5) Adottk z x = (1, 5, 5), y = ( 2, 2, 3) R 3 -beli vektorok, htározz meg z x + y, x y, 3x 1 2 y vektorokt. 6) Bizonyíts be 2.2. tételt. 7) Bizonyíts be 2.3. tételt. 8) Bizonyíts be, hogy (R n, d), illetve (X, d)-beli nyílt környezetek nyílt hlmzok. 9) Legyen A = {(x, y) x, y (0, 1) ; x, y Q} R 2. Htározz meg A torlódási pontjit, htárpontjit. Vizsgálj meg, hogy A nyílt, vgy zárt hlmz-e? 10) Legyen H R n (n 2) és H i (i = 1,..., n) H elemeinek i-edik koordinátáiból álló hlmz. Bizonyíts be, hogy H korlátos, h H i korlátos (R, d)-ben. 11) Bizonyíts be, hogy egy metrikus tér minden véges részhlmz kompkt. 11
12
II. A RIEMANN-INTEGRÁL ÁLTALÁNOSÍTÁSA ÉS ALKALMAZÁSA 1. Korlátos változású függvények 1. Definíció. Legyen f : [, b] R dott függvény, P. = { = x 0, x 1,..., x n = b} [, b] egy felosztás. A (1) V (f, [, b], P ) =. n 1 f(x k+1 ) f(x k ) k=0 összeget z f függvény ([, b] feletti) P felosztáshoz trtozó vriációjánk nevezzük. 2. Definíció. Legyen f : [, b] R dott, P z [, b] egy tetszőleges felosztás, kkor n 1 (2) V (f, [, b]) = sup V (f, [, b], P ) = sup f(x k+1 ) f(x k ) P P számot z f függvény [, b] feletti teljes (totális) változásánk (vriációjánk) nevezzük. 3. Definíció. Az f : [, b] R függvény korlátos változású [, b]-n, h (3) V (f, [, b]) < + teljesül. k=0 1. Tétel. H f : [, b] R monoton, kkor korlátos változású. Bizonyítás. H például f monoton növekvő, P egy felosztás [, b]-nek, kkor f(x k+1 ) f(x k ) 0 k-r, így n 1 V (f, [, b], P ) = (f(x k+1 ) f(x k )) = f(b) f() P -re, k=0 ezért V (f, [, b]) = f(b) f() < +, mit bizonyítni kellett. 13
2. Tétel. H f : [, b] R korlátos változású, kkor korlátos. Bizonyítás. Legyen x [, b] tetszőleges, P = {, x, b} z [, b] egy felosztás, kkor V (f, [, b], P ) = f(x) f() + f(b) f(x) < V (f, [, b]) < +, így f(x) f() < V (f, [, b]), zz mi dj f korlátosságát. f() V (f, [, b]) < f(x) < f() + V (f, [, b]), Megjegyzés: Egy folytonos függvény nem feltétlenül korlátos változású. 3. Tétel. H f, g : [, b] R korlátos változású függvények, kkor f + g, f g, f g : [, b] R korlátos változásúk. Továbbá g σ > 0 (σ R) esetén f is korlátos változású. g Bizonyítás. Például F = f + g-re F (x k+1 ) F (x k ) = f(x k+1 ) + g(x k+1 ) f(x k ) g(x k ) és ezért (1) mitt miből (2) mitt f(x k+1 ) f(x k ) + g(x k+1 ) g(x k ), V (F, [, b], P ) V (f, [, b], P ) + V (g, [, b], P ), V (F, [, b]) V (f, [, b]) + V (g, [, b]) < + következik, mi dj z állítást. A másik két állítás hsonlón bizonyíthtó. 4. Tétel. H f : [, b] R dott függvény, c [, b] tetszőleges, kkor (4) V (f, [, b]) = V (f, [, c]) + V (f, [c, b]) teljesül. Következmények: 1. f : [, b] R kkor és csk kkor korlátos változású [, b]-n, h korlátos változású [, c]-n és [c, b]-n. 2. H f : [, b] R olyn, hogy monoton z [, 1 ], [ 1, 2 ],..., [ n 1, b] intervllumokon, kkor korlátos változású [, b]-n. 14
5. Tétel (Jordn). Az f : [, b] R függvény kkor és csk kkor korlátos változású [, b]-n, h léteznek g, h : [, b] R monoton függvények, hogy f = g h. 2. Riemnn-Stieltjes integrál 1. Definíció. Legyenek f, g : [, b] R korlátos függvények, P =. { = x 0, x 1,..., x n = b} [, b] egy tetszőleges felosztás, t k [x k 1, x k ] tetszőleges. A n σ(f, g, P ) = f(t k ) [g(x k ) g(x k 1 )] k=1 számot z f függvény P felosztáshoz, és t k (k = 1,..., n) értékekhez trtozó, g-re vontkozó Riemnn-Stieltjes integrálközelítő összegének nevezzük. 2. Definíció. Az f függvény Riemnn-Stieltjes integrálhtó g függvényre vontkozón [, b]-n, h [, b] P n normális felosztássoroztához trtozó σ(f, g, P n ) Riemnn-Stieltjes integrálközelítő összegsorozt konvergens. E soroztok (egyébként közös) htárértékét, ( ) lim σ(f, g, P n) =. n fdg = f(x)dg(x) számot z f függvény g-re vontkozó Riemnn-Stieltjes integráljánk nevezzük [, b]-n. Megjegyzés: H g(x) = x (x [, b]), f : [, b] R korlátos,kkor Riemnn-Stieltjes integrál Riemnn-integrált dj. 1. Tétel. H f 1 dg, f 2 dg = (f 1 + f 2 )dg = Bizonyítás. A definíció közvetlen felhsználásávl. 2. Tétel. H fdg 1, fdg 2 Bizonyítás. A definíció lpján. = 15 fd(g 1 + g 2 ) = f 1 dg + fdg 1 + f 2 dg. fdg 2.
3. Tétel. H fdg és k, l R = Bizonyítás. A definíció lpján. (kf)d(lg) = kl fdg. 4. Tétel. H < c < b és Bizonyítás. A definíció lpján. fdg, c fdg, c fdg = fdg = c fdg+ c fdg. 5. Tétel (prciális integrálás). H z létezik, kkor másik is és fdg + fdg és gdf = [ f g ] b. gdf integrálok egyike 6. Tétel. H f, g : [, b] R, f folytonos, g korlátos változású, kkor fdg és fdg M V (g, [, b]), h f M. 7. Tétel. H f, g : [, b] R, f és g folytonos, kkor fdg = f(x)g (x) dx. fdg és 3. Definíció. Legyenek f = (f 1,..., f n ) : [, b] R n, g : [, b] R dott függvények. Az f vektorértékű függvénynek g (sklár értékű) függvényre vontkozó Riemnn-Stieltjes integrálján [, b] felett z ( ) vektort értjük, h z fdg. = f 1 dg,..., f n dg f i dg integrálok léteznek. 16 R n
4. Definíció. Legyenek f = (f 1,..., f n ) : [, b] R n, g = (g 1,..., g n ) : [, b] R n dott függvények. Az f vektorértékű függvénynek g vektorértékű függvényre vontkozó Riemnn-Stieltjes integrálján [, b] felett z fdg =. n f i dg i számot értjük, h z Megjegyzések: i=1 f i dg i integrálok léteznek. 1. H 3. definícióbn g(x) = x, x [, b], kkor z f. = ( f 1,..., f n ) R n vektor z f vektorértékű függvény Riemnn-integrálj [, b] felett, h z 2. Az f i (i = 1,..., n) Riemnn-integrálok léteznek. fdg típusú Riemnn-Stieltjes integrálr prgrfus 1-5. és 7. tételei változttás nélkül, míg 6. tétel kis változttássl átvihető. 3. Newton-Leibniz-tétel Legyenek f, F : [, b] R n olynok, hogy f Riemnn-integrálhtó, és F. = (F 1,..., F n) = f, kkor Bizonyítás: f = ( f 1,..., f = F (b) F (). f n ) = (F 1 (b) F 1 (),..., F n (b) F n ()) = = (F 1 (b),..., F n (b)) (F 1 (),..., F n ()) = F (b) F () 4. Legyen f : [, b] R n Riemnn-integrálhtó, kkor f is z, és b f f. 17
3. Görbék ívhossz 1. Definíció. Az f = (f 1,..., f n ) : [, b] R n folytonos függvényt R n -beli görbének nevezzük. [, b]-t prméter-intervllumnk, f-t görbe egy prméterelőállításánk nevezzük. f() és f(b) görbe kezdő, illetve végpontji. H f() = f(b), kkor f zárt görbe. H f kölcsönösen egyértelmű, kkor ívnek nevezzük. 2. Definíció. f = (f 1,..., f n ) : [, b] R n sim görbe, h f folytonosn differenciálhtó (zz f. = (f 1,..., f n) : [, b] R n folytonos) és n f i 2 (t) > 0 (t [, b]) teljesül. i=1 3. Definíció. Az f = (f 1,..., f n ) : [, b] R n görbe képe Γ = {(f 1 (t),..., f n (t)) t [, b]} hlmz. (A képet néh jelölésben is zonosítjuk görbével.) Γ egy pontj z f görbe többszörös pontj, h (leglább két) t, t [, b], hogy f(t) = f(t ) Megjegyzések: 1. A G = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 = 1} egységkör egy prméteres előállítás z f = (cos, sin) : [0, 2π] R 2 függvény. Beláthtó, hogy z egységkör sim, zárt görbe. 2. H, b R n, 0 dott vektorok, kkor z E. = {t + b = ( 1 t + b 1,..., n t + b n ) R n, t R} ponthlmzt b-n áthldó irányú n-dimenziós egyenesnek nevezzük. (A t t + b R n, t R leképezés z egyenes egy prméteres előállítás.) 3. Legyen x, y R n és x y. Az {x + t(y x) t [0, 1]} R n hlmzt z x-et és y-t összekötő n-dimenziós szksznk nevezzük. (Természetesen d(x, y) =. x y =. n (x i y i ) 2, d(x, 0) =. x =. n x 2 i ). i=1 18 i=1
4. Definíció. Legyen f = (f 1,..., f n ) : [, b] R n egy görbe P = { = t 0, t 1,..., t m = b} [, b] egy felosztás, f(t i ) f(t i 1 ) z f(t i ) és f(t i 1 ) pontokt összekötő szksz hossz. Az m l(f, P ) = f(t i ) f(t i 1 ) i=1 számot z f görbébe P felosztás esetén beírt töröttvonl hosszánk nevezzük. (Beláthtó, hogy h P 1 P 2, kkor l(f, P 1 ) l(f, P 2 ).) 5. Definíció. Az f = (f 1,..., f n ) : [, b] R n görbe rektifikálhtó, h z {l(f, P ) P tetszőleges felosztás [, b]-nek} hlmz korlátos. Az ekkor létező l(f) = sup{l(f, P )} ( = l(f, [, b]) ) P számot z f görbe ívhosszánk nevezzük. Megjegyzések: 1. Az ívhossz nem függ görbe prméterelőállításától. 2. Az x, y R n pontokt összekötő szksz ívhossz x y. 3. H f : [, b] R n görbe, c [, b], f rektifikálhtó [, b]-n, úgy l(f, [, b]) = l(f, [, c]) + l(f, [c, b]). (Mki I.: Differenciálszámítás I., 88-89. oldl) Fontos következő: Tétel. Legyen f = (f 1,..., f n ) : [, b] R n sim görbe, kkor rektifikálhtó, és ívhossz l(f, [, b]) = f (t) dt = n f 2 i (t) dt. Következmények: 1. Legyen g : [, b] R folytonosn differenciálhtó függvény, kkor z f = (f 1, f 2 ) : [, b] R 2 (f 1 (t) = t, f 2 (t) = g(t), t [, b]) g gráfjánk (grfikonjánk) egy prméteres előállítás, melyre 19 i=1
f (t) = (1, g (t)) teljesül, így h G jelöli g áltl dott görbét, kkor ívhosszár l(g) = 1 + g 2 (t) dt következik (1)-ből. 2. Tekintsük z f = (cos, sin) : [0, 2π] R 2 egységkört. Legyen s (0, 2π], f s : [0, s] R 2 f [0, s]-re vló leszűkítése. Ekkor f s z egységkör egy íve. (1)-ből jön, hogy s l(f s ) = sin 2 s (t) + cos 2 (t) dt = 1 dt = s 0 z egységkör dott ívének hossz. H s = 2π, kkor l(f) = 2π z egységkör kerülete. Ez dj, hogy mi π-nk megegyezik középiskolás π- vel. s-t P 0 OP s szög ívmértékének nevezzük. A 360 -os szög ívmértéke 2π. 3. f r = (f 1, f 2 ) : [0, 2π] R 2, f 1 (t) = r cos t, f 2 (t) = r sin t (t [0, 2π]) z origó középpontú r sugrú kör. (1)-ből jön, hogy 2π l(f r ) = r 2 sin 2 2π (t) + r 2 cos 2 (t) dt = r dt = 2rπ. 0 0 0 4. Görbementi-integrál Definíció. Legyen g = (g 1,..., g n ) : [, b] R n dott görbe, f : g([, b]) R n vektorfüggvény, hogy f = (f 1,..., f n ). Az f függvény g görbementi-integrálján (jelölése f) z f g : [, b] R n függvény g-re g vontkozó [, b] feletti Riemnn-Stieltjes integrálját értjük (h létezik), zz f =. n (f g) dg = (f i g) dg i. g i=1 1. Tétel. H g rektifikálhtó [, b]-n, f folytonos g([, b])-n, kkor létezik z f függvény g görbementi integrálj. 20
Bizonyítás. Felhsználjuk, hogy h g rektifikálhtó, kkor g i függvények korlátos változásúk. Így mivel f i g : [, b] R folytonos függvény, g i korlátos változású = (f i g) dg i (i = 1,..., n) = (f g) dg, zz f. g 2. Tétel. H f és (f g)(x) M, kkor f M l(g). g g Bizonyítás.. f = g. (f g) dg = M n i=1 n i=1 (f i g) dg i n i=1 1 dg i M l(g). (f i g) dg i 3. Tétel. H g folytonos [, b]-n, f folytonos g([, b])-n, kkor n f = (f i g)(x)g i(x) dx. Bizonyítás. f =. (f g)dg. = g i=1 n g i=1 i=1 (f i g) dg i = n (f i g)(x)g i(x) dx. További tuljdonságok: 1. Additivitás f-re, illetve g görbére. Például legyen g = g 1 g 2 és f (i = 1, 2) = f = 2 f. g i g i=1g i 2. H g irányított görbe, g z ellentétes irányítású, kkor f =. f. g g 21
Megjegyzések: 1. R 2 -beli görbék esetén következő jelölések szokásosk: g-re: g(t) = (x(t), y(t)) (t [, b]) ; f-re: f(x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) ((x, y) g([, b])) ; f-re: g f = g P (x(t), y(t)) dx(t) + Q(x(t), y(t)) dy(t). =. = P dx + Q dy =. (P dx + Q dy) g g g Ilyenkor P dx-et g görbementi bszcissz szerinti, Q dy-t g görbementi ordinát szerinti görbementi-integrálnk nevezzük, illetve zt g g mondjuk, hogy (P dx + Q dy) (P, Q) függvénypár g görbementi in- g tegrálj. 2. R 3 -beli görbékre: g(t) = (x(t), y(t), z(t)) (t [, b]) ; f(x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) ((x, y, z) g([, b])) ; f = g P (x(t), y(t), z(t)) dx(t) + Q(x(t), y(t), z(t)) dy(t)+ + R(x(t), y(t), z(t)) dz(t) =. P dx + Q dy + R dz =. g g g. = (P dx + Q dy + R dz). g Utóbbit (P, Q, R) függvényhárms g görbementi integráljánk is nevezik. 22
Feldtsor 1) Korlátos változásúk-e z lábbi függvények: 2) Legyen f 1 (x) = sin 2 x (x [0, π]); f 2 (x) = x 3 3x + 4 (x [0, 2]). f(x) = 1 (x [0, 1]) és g(x) = Bizonyíts be, hogy 3) Htározz meg 2 1 1 f dg. 0 x 5 d( x 3 ) értékét. 4) Legyen g(x) = sin x (x [0, π]). Htározz meg 5) Legyen g(x) = e x (x [ 1, 1]). Htározz meg 6) Htározz meg z lábbi görbék ívhosszát: { 0, x [0, 1 2 ) 1, x [ 1 2, 1]. π x dg(x)-et. 0 1 1 x dg(x)-et. f(t) = (3 cos t, 3 sin t, 2t) (t [0, 2π]) ; g(t) = ( t, 3 2 t2, 3 2 t3) (t [0, 2]) ; 7) Számíts ki z lábbi görbementi integrálokt, zz f-et, h: g g(t) = (t 2, 2t, t) (t [0, 1]), f(x 1, x 2, x 3 ) = (x 2 1 +x 3, x 1 x 3, x 1 x 2 ); g (2, 0, 1) és (2, 0, 4) pontokt összekötő irányított egyenes szksz, f(x 1, x 2, x 3 ) = (2x 1, 3x 2, x 3 ); 23
24
III. SOROZATOK R n -BEN ÉS METRIKUS TÉRBEN 1. Alpfoglmk és kpcsoltuk 1. Definíció. Egy f : N R k (X, d) függvényt R k (X, d)-beli soroztnk nevezünk. A sorozt n-edik tgját f(n), n, x n (vgy más) jelöli. A sorozt elemeinek hlmzár z { n } vgy {x n } (vgy más) jelölést hsználunk. Mgát soroztot z n, vgy x n (vgy más) szimbólumml jelöljük. 2. Definíció. (korlátosság) Az x n R k (X, d)-beli sorozt korlátos, h {x n } korlátos. 3. Definíció. (konvergenci) Az x n R k (X, d)-beli sorozt konvergens, h x R k (X, d), hogy ε > 0 esetén n(ε) N, hogy n n(ε)-r (n N) d(x, x n ) = x x n < ε teljesül. Az x R k (X, d) számot (vektort, elemet) x n htárértékének nevezzük. Azt, hogy x n konvergens és htárértéke x, így jelöljük: lim x n = x vgy x n x. n Megjegyzések: 1. A környezet foglmát felhsználv konvergenci ún. környezetes definícióját kpjuk: z x n sorozt konvergens, h x R k (X, d), hogy K(x, ε)-hoz n(ε) N, hogy n n(ε)-r x n K(x, ε) teljesül. 2. Egyszerűen beláthtó, hogy x n x K(x, ε)-re x n K(x, ε) legfeljebb véges sok n N kivételével. 4. Definíció. (divergenci) Az x n R k (X, d)-beli sorozt divergens, h nem konvergens, zz h x esetén ε > 0 ( K(x, ε)), hogy n(ε) N-re n n(ε), hogy d(x, x n ) ε ( x n / K(x, ε)). 1. Tétel ( htárérték egyértelműsége). H x n R k (X, d)-beli konvergens sorozt, kkor egy htárértéke vn (zz x n és x n b = = b). Bizonyítás. Lásd Klkulus I., III.1., 1. tétel bizonyítás. 25
2. Tétel (konvergenci és korlátosság). H z x n (R k (X, d)-beli) sorozt konvergens, kkor korlátos. Bizonyítás. Lásd Klkulus I., III.1., 2. tétel bizonyítás. 4. Tétel. Az x n R k -beli sorozt konvergens és htárértéke x R k, h x n = (x 1n,..., x kn ) jelöléssel z x 1n,..., x kn (úgynevezett koordinát) soroztok konvergensek és z x = (x 1,..., x k ) jelöléssel x in x i (i = 1,..., k). Péld: Htározz meg z n + 1 3n + 2, 1 n 2 + 1 sorozt htárértékét! 2. Soroztok és műveletek, illetve rendezés Definíció. H x n és y n R k -beli soroztok, λ R tetszőleges, kkor z x n + y n. = x n + y n ; λ x n. = λx n szerint definiált soroztokt z dott soroztok összegének illetve λ-szorosánk nevezzük. Tétel. Legyen x n és y n R k -beli sorozt, λ R tetszőleges, hogy x n x és y n y, kkor x n + y n és λ x n konvergensek és x n + y n x + y, λx n λx. Bizonyítás. Lásd Klkulus I., III.2., 1. tétel bizonyítás (z ) részben z bszolútérték helyett R k -beli euklideszi normát kell írni). 3. Részsoroztok 1. Definíció. Legyen n R k (X, d)-beli sorozt. H ϕ : N N szigorún monoton növekvő és b n = ϕ(n), kkor b n -t z n részsoroztánk nevezzük. 26
1. Tétel. H z n konvergens és htárértéke kkor b n részsoroztár b n teljesül. Bizonyítás. Lásd Klkulus I., III.3., 1. tétel bizonyítás. Megjegyzés: A tétel megfordítás nem igz, de h egy sorozt két diszjunkt részsoroztr bonthtó, melyek htárértéke ugynz, kkor z soroztnk is htárértéke. 2. Tétel (Bolzno-Weierstrss-féle kiválsztási tétel). H z n R k -beli sorozt korlátos, kkor létezik konvergens részsorozt. Bizonyítás. Lásd Klkulus I., III.3., 2. tétel bizonyítás ( R helyett R k -t kell írni). 4. Cuchy-soroztok 1. Definíció. Az n R k (X, d)-beli soroztot Cuchy-soroztnk nevezzük, h ε > 0 esetén n(ε) N, hogy p, q n(ε) (p, q N) esetén d( p, q ) < ε. Tétel (Cuchy-féle konvergenci kritérium). Az x n R k -beli sorozt konvergens, h Cuchy-sorozt. ((X, d)-ben áltlábn csk z igz, hogy minden konvergens sorozt Cuchy-sorozt). Bizonyítás. Lásd Klkulus I., III.3., 4. tétel bizonyítás (x R helyett x R k -t, R helyett R k -t kell írni). 2. Definíció. Az (X, d) metrikus teret teljesnek nevezzük, h benne minden Cuchy-sorozt konvergens. Megjegyzés: R k teljes metrikus tér. 27
28
IV. TÖBBVÁLTOZÓS ÉS VEKTORÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA, HATÁRÉRTÉKE 1. Alpfoglmk 1. Definíció. Az f : E (X, d) R, f : E (X, d X ) (Y, d Y ), típusú függvényeket vlós értékű, illetve metrikus teret metrikus térbe képező függvénynek nevezzük. 2. Definíció. Az f : E (X, d X ) (Y, d Y ) függvény korlátos, h f(e) korlátos. Az f : E (X, d) R függvény lulról (felülről) korlátos, h f(e) lulról (felülről) korlátos. A sup f(e), inf f(e) számokt z f pontos felső, illetve pontos lsó korlátjánk (supremumánk, illetve infimumánk) nevezzük E-n. 3. Definíció. H z f : E (X, d) R függvény esetén létezik x 1, x 2 E, hogy sup f(e) = f(x 1 ), inf f(e) = f(x 2 ), kkor zt mondjuk, hogy f-nek létezik bszolút mximum, illetve minimum E-n. Az f : E (X, d) R függvénynek z x 0 E-ben helyi (lokális) mximum, illetve minimum vn, h létezik K(x 0, δ), hogy x K(x 0, δ) E-re f(x) f(x 0 ), illetve f(x) f(x 0 ) teljesül. 2. Folytonosság foglm 1. Definíció. Az f : E (X, d X ) (Y, d Y ) függvény z x 0 E pontbn folytonos, h ε > 0-hoz δ(ε) > 0, hogy x E, d X (x, x 0 ) < δ(ε) esetén d Y (f(x), f(x 0 )) < ε. Az f : E (X, d X ) (Y, d Y ) függvény folytonos z A E hlmzon, h A minden pontjábn folytonos. 29
Megjegyzések: 1. Speciálisn z f : E (R n, d) (R m, d) függvény z x 0 E pontbn folytonos, h ε > 0-hoz δ(ε) > 0, hogy x E, x x 0 R n < δ(ε) esetén f(x) f(x 0 ) R m < ε. 2. Megfoglmzhtó z úgynevezett környezetes változt is: Az f : E (X, d X ) (Y, d Y ) függvény z x 0 E pontbn folytonos, h K Y (f(x 0 ), ε)-hoz K X (x 0, δ(ε)), hogy x E, x K X (x 0, δ(ε)) = f(x) K Y (f(x 0 ), ε). 3. A folytonosság pontbeli (lokális) tuljdonság, mely globálissá tehető. 1. Tétel (átviteli elv). Az f : E (X, d X ) (Y, d Y ) függvény kkor, és csk kkor folytonos z x 0 E pontbn, h minden x 0 -hoz konvergáló E-beli x n sorozt esetén z f(x n ) (Y, d Y )-beli sorozt konvergens és lim n f(x n) = f(x 0 ). Bizonyítás. Lásd Klkulus I., V.2., 1. tétel bizonyítás. Megjegyzés: A folytonosság itt megdott ekvivlens megfoglmzását soroztos vgy Heine-féle definíciójánk nevezik. 2. Tétel. Az f : E (X, d) R m (f = (f 1,..., f m ), f i : E R (i = 1,..., m)) függvény folytonos z x 0 E-ben h z f i függvények mindegyike folytonos x 0 -bn. Bizonyítás. Az átviteli elv és soroztoknál kimondott tétel segítségével nyilvánvló. 2. Definíció. Az f : E R (Y, d) függvény blról (jobbról) folytonos z x 0 E pontbn, h z f (, x 0 ] E-re (illetve [x 0, + ) E-re) vló leszűkítése folytonos x 0 -bn. Megjegyzések: 1. A definíció dj, hogy f blról (illetve jobbról) folytonos x 0 -bn, h ε > 0-hoz δ(ε) > 0, x E, x 0 δ(ε) < x x 0 (illetve x 0 x < x 0 + δ(ε)) esetén d(f(x 0 ), f(x)) < ε. 2. Megfoglmzhtó soroztos változt is. 30
3. Tétel. Az f : E R (Y, d) függvény folytonos z x 0 -bn, h ott jobbról és blról is folytonos. 4. Tétel (jeltrtás). H z f : E (X, d) R függvény folytonos z x 0 E-ben és f(x 0 ) 0, kkor K(x 0, δ) (X, d), hogy x K(x 0, δ) E, kkor sign f(x 0 ) = sign f(x). Bizonyítás. Lásd Klkulus I., V.2., 3. tétel bizonyítás. 3. Definíció. Az f : E (X, d X ) (Y, d Y ) függvény egyenletesen folytonos z E 1 E hlmzon, h ε > 0 δ(ε) > 0, x, y E 1, d X (x, y) < δ(ε) esetén d Y (f(x), f(y)) < ε. 3. Folytonosság és műveletek 1. Tétel. H z f, g : E (X, d) R n függvények folytonosk z x 0 E- ben, kkor z f + g és λf (λ R) is folytonosk x 0 -bn. Bizonyítás. Lásd Klkulus I., V.3., 1. tétel bizonyítás. 2. Tétel. H z f, g : E (X, d) R függvények folytonosk z x 0 E- ben, kkor z f g és g(x) 0 (x E) esetén f g is folytonos x 0-bn. 3. Tétel (z összetett függvény folytonosság). Legyenek (X, d X ), (Y, d Y ), (Z, d Z ) metrikus terek; f : E X Y, g : f(e) Y Z dott függvények. H f folytonos z x 0 E pontbn, g folytonos z y 0 = f(x 0 )- bn, kkor h = g f függvény folytonos z x 0 -bn. Bizonyítás. Lásd Klkulus I., V.3., 3. tétel bizonyítás. 4. Folytonosság és topologikus foglmk 1. Tétel ( folytonosság topologikus megfelelője). Az f : (X, d X ) (Y, d Y ) függvény kkor, és csk kkor folytonos X-en, h B (Y, d Y ) nyílt hlmzr f 1 (B) = {x X f(x) B} nyílt (X, d X )-ben. 31
2. Tétel (kompktság és folytonosság). Legyen E (X, d X ) kompkt hlmz, f : E (Y, d Y ) folytonos függvény E-n, kkor f(e) kompkt (Y, d Y )-bn. (Röviden: kompkt hlmz folytonos képe kompkt.) Bizonyítás. Lásd Klkulus I., V.4., 1. tétel bizonyítás. Következmény: 1. H Y = R n = f(e) korlátos és zárt. 2. H Y = R, kkor f felveszi E-n z bszolút minimumát és mximumát (mert sup f(e) és inf f(e) is eleme f(e)-nek, h f(e) zárt és természetesen korlátos). 3. Tétel (kompktság és egyenletes folytonosság) (Heine). Legyen E (X, d X ) kompkt hlmz, f : E (Y, d Y ) folytonos függvény E-n, kkor f egyenletesen folytonos E-n. (Röviden: kompkt hlmzon folytonos függvény egyenletesen folytonos.) 4. Tétel (összefüggőség és folytonosság). Legyen f : (X, d X ) (Y, d Y ) folytonos függvény, E X összefüggő, kkor f(e) is z. 5. Tétel (Bolzno). Legyen E (X, d) összefüggő, f : E R folytonos függvény. H c, d f(e), c < d, kkor (c, d) f(e) (zz f két érték között minden közbenső értéket felvesz). 5. A htárérték foglm 1. Definíció. Az f : E (X, d X ) (Y, d Y ) függvénynek z x 0 E pontbn htárértéke, h A Y, hogy ε > 0 δ(ε) > 0, x E, 0 < d X (x, x 0 ) < δ(ε) = d Y (f(x), A) < ε. A-t z f függvény x 0 -beli htárértékének nevezzük, és lim x x 0 f(x) = A vgy f(x) A, h x x 0 jelöléseket hsználjuk. 32
Megjegyzések: 1. Speciálisn z f : E (R n, d) (R m, d) függvénynél x x 0 R n f(x) A R m írhtó. 2. Megfoglmzhtó környezetes változt is: Az f : E (X, d X ) (Y, d Y ) függvénynek z x 0 E pontbn htárértéke, h A Y, hogy K Y (A, ε)-hoz K X (x 0, δ(ε)), x K X (x 0, δ(ε))\{x 0 }, x E esetén f(x) K Y (A, ε). 3. A htárérték létezése pontbeli tuljdonság. 4. Az f : E (X, d X ) (Y, d Y ) függvénynek z x 0 (X, d X )-ben nem létezik htárértéke, h x 0 / E, vgy x 0 E és A Y, ε > 0, δ(ε) > 0 esetén x E, x K X (x 0, δ(ε))\{x 0 }, f(x) / K Y (A, ε). 5. A htárérték (h létezik) egyértelműen meghtározott (ez indirekt bizonyítássl hsonlón, mint soroztoknál egyszerűen beláthtó). 2. Definíció. Legyen f : E R (Y, d) dott függvény és z x 0 torlódási pontj [x 0, + ) E ( (, x 0 ] E))-nek. Az f függvénynek z x 0 -bn jobb- (vgy bl-) oldli htárértéke, h A Y, ε > 0 δ(ε) > 0, x E, x 0 < x < x 0 + δ(ε) (vgy x 0 δ(ε) < x < x 0 ) = d Y (f(x), A) < ε. A-t f jobb (illetve bl) oldli htárértékének nevezzük x 0 -bn, és lim f(x) = A = f(x 0 + 0) vgy lim f(x) = A = f(x 0 0) x x 0+0 x x 0 0 jelölést hsználjuk. Megjegyzések: 1. A definíció leszűkítés foglmánk hsználtávl is megfoglmzhtó (hsonlón folytonossághoz). 2. A környezetes átfoglmzás is megdhtó. 3. Könnyen beláthtó következő: Legyen f : E R (Y, d) dott függvény és z x 0 torlódási pontj [x 0, + ) E (, x 0 ] E-nek. Az f függvénynek x 0 -bn kkor, és csk kkor létezik htárértéke, h létezik f(x 0 0) és f(x 0 + 0) és f(x 0 0) = = f(x 0 + 0) = A (f htárértéke x 0 -bn). 33
3. Definíció. Az f : E (X, d X ) R függvények x 0 E -ben htárértéke + (vgy ), h K-hoz δ(k) > 0, x E, 0 < < d(x, x 0 ) < δ(k) esetén f(x) > K (vgy f(x) < K). Megjegyzések: 1. A definíció környezetekkel is megfoglmzhtó. 2. A + (vgy ) egyoldli htárértékként is megfoglmzhtó. 4. Definíció. Legyen E R felülről (lulról) nem korlátos hlmz, f : E (Y, d) dott függvény. Az f függvénynek + (vgy )-ben létezik htárértéke, h A Y, ε > 0 M R, x E x > M ( x < M) esetén d(f(x), A) < ε. Ekkor A-t f + (vgy )-beli htárértékének nevezzük, és rá lim f(x) = A lim f(x) = A jelölést x + x hsználjuk. 2. Tétel (átviteli elv). Az f : E (X, d X ) (Y, d Y ) függvénynek z x 0 E pontbn kkor, és csk kkor htárértéke, h x 0 -hoz konvergáló x n : N E\{x 0 } sorozt esetén lim n f(x n) = A. Bizonyítás. Úgy, mint folytonosságnál, csk z ottni K Y (f(x 0 ), ε) helyett K Y (A, ε)-t és z x 0 -beli folytonosság helyett x 0 -beli htárértéket kell mondni. 3. Tétel. Az f : E (X, d) R n (f = (f 1,..., f n ), f i : E R) függvénynek, kkor és csk kkor létezik htárértéke z x 0 E -ben, h z f i függvényeknek létezik htárértéke x 0 -bn. Bizonyítás. Az átviteli elv és z R n -beli soroztokr vontkozó tételek lpján. 34
6. Htárérték és műveletek illetve egyenlőtlenségek 1. Tétel. Legyenek f, g : E (X, d) R dott függvények, hogy z x 0 E -ben lim f(x) = A lim g(x) = B, kkor x x 0 x x 0 ) lim (f + g)(x) = lim [f(x) + g(x)] = A + B ; x x 0 x x 0 b) lim (λf)(x) = lim λf(x) = λa, (λ R C) ; x x 0 x x 0 c) lim (f g)(x) = lim [f(x) g(x)] = A B ; x x 0 x x ( ) 0 f f(x) d) lim (x) = lim x x 0 g x x 0 g(x) = A, h g 0, B 0. B Bizonyítás. Az átviteli elv és soroztokr vontkozó megfelelő tételek lpján. Megjegyzés: ) és b) R n -beli értékű függvényrekre is megfoglmzhtó és bizonyíthtó. 2. Tétel. H f : E (X, d) R és x 0 E, kkor h 1 ) lim f(x) = + = lim = 0 (f 0) ; x x 0 x x 0 f(x) 1 b) lim f(x) = 0 = lim = + (f 0) ; x x 0 x x 0 f(x) Bizonyítás. Az átviteli elv és soroztokr vontkozó megfelelő tételek lpján. 3. Tétel. Legyenek f, g, h : E (X, d) R dott függvények és x 0 E, kkor, h ) lim f(x) = A lim g(x) = B K(x 0, δ), f(x) g(x) x x 0 x x 0 x [K(x 0, δ)\{x 0 }] E = A B ; b) lim f(x) = A lim g(x) = B A < B = K(x 0, δ), x x 0 x x 0 f(x) < g(x) x [K(x 0, δ)\{x 0 }] E ; c) K(x 0, δ), f(x) h(x) g(x) x [K(x 0, δ)\{x 0 }] E lim f(x) = lim g(x) = A = x x 0 x x 0 lim h(x) = A. x x 0 Bizonyítás. Az átviteli elv és soroztokr vontkozó megfelelő tételek lpján. 35
4. Tétel (z összetett függvény htárértéke). Legyenek dottk z (X, d X ), (Y, d Y ) és (Z, d Z ) metrikus terek, x 0 X és y 0 Y, továbbá f : X\{x 0 } Y \{y 0 }, g : Y \{y 0 } Z függvények, hogy lim x x 0 f(x) = y 0 lim y y 0 g(y) = A = lim x x 0 (g f)(x) = A. Bizonyítás. Lásd Klkulus I., VI.2., 4. tétel bizonyítás. 7. A htárérték és folytonosság kpcsolt Tétel. Legyen f : E (X, d X ) (Y, d Y ) dott függvény és x 0 X, x 0 X. f folytonos x 0 -bn, h lim f(x) = f(x 0 ). x x 0 Bizonyítás. Lásd Klkulus I., VI.3. fejezet tételének bizonyítás. Definíció. H z f : E (X, d X ) (Y, d Y ) függvény nem folytonos z x 0 E pontbn, kkor zt mondjuk, hogy x 0 f-nek szkdási helye, vgy hogy f-nek x 0 -bn szkdás vn. H f : E R (Y, d Y ) dott függvény és x 0 E 0 (x 0 belső pont E- ben), és x 0 szkdási helye f-nek, továbbá lim f(x) = f(x 0 + 0) x x 0+0 lim f(x) = f(x 0 0), kkor zt mondjuk, f-nek x 0 -bn elsőfjú szkdás vn. H még f(x 0 0) = f(x 0 + 0), kkor zt mondjuk, hogy x x 0 0 szkdás megszüntethető. H f-nek x 0 -bn szkdás vn és z nem elsőfjú, kkor zt másodfjú szkdásnk nevezzük. 36
V. A TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 1. További lineáris lgebri előismeretek A Vektorterek, euklideszi terek, metrikus terek című fejezetében definiáltuk vektorteret, skláris szorztot, vektorok euklideszi normáját, vektorok euklideszi távolságát, illetve ezekhez kpcsolódv, speciálisn z R n euklideszi teret. 1. Definíció. n-szer m szám egy 11... 1m A =.. = ( ij ) n m n1... nm lkú elrendezését n m-es mátrixnk, z ij számokt mátrix elemeinek nevezzük. H n = m, kkor négyzetes (kvdrtikus) mátrixról beszélünk. Az n m típusú mátrixbn számokt n sorb és m oszlopb helyeztük el. Azt tényt, hogy egy szám z A mátrix i-edik sorábn és j-edik oszlopábn vn z indexei fejezik ki, így ij jelöli (z első sor-, második z oszolpindex). Két mátrix zonos típusú, h sorik és oszlopik szám is megegyezik. Két mátrix egyenlő, h zonos típusúk és z egymásnk megfelelő helyen lévő elemeik egyenlőek. Megjegyzések: 1. Az 2. Az 0... 0 A =.... 0... 0 mátrixot null-mátrixnk nevezzük (zz, h ij = 0). 11... n1 A =.... 1m... nm 37
mátrixot z A mátrix trnszponált mátrixánk nevezzük. (A oszlopi z A sori, A sori A oszlopi.) 3. H A kvdtrtikus mátrix, kkor z 11,..., nn számok A fődigonálisát lkotják. 4. H kvdrtikus mátrix fődigonálisábn csup 1 áll, többi eleme pedig null, kkor egységmátrixról beszélünk: 1... 0 E =....... 0... 1 2. Definíció. H A = ( ij ) n m, B = (b ij ) n m dott mátrixok, kkor összegük z C n n-es mátrix, melyre C. = A + B. = ( ij + b ij ) n m = (c ij ) n m. Az A = ( ij ) n m mátrix λ R sklárrl vló szorzt λa. = (λ ij ) n m mátrix. Az n m-es mátrixok e két műveletre nézve vektorteret lkotnk. 3. Definíció. Az A = ( ik ) n m és B = (b kj ) m p mátrixok szorzt z C n p típusú mátrix, melyben c ij = m ik b kj, zz k=1 A B. = C. = (c ij ) n p (. m ) = ik b kj k=1 1. Tétel. A mátrixszorzás fontosbb tuljdonsági: A (B C) = (A B) C, n p A (B + C) = A B + A C, (A + B) C = A C + B C, (λa) B = λ(a B) = A (λb), (áltlábn: A B B A). 38.
Az 1 n típusú mátrixot sormátrixnk, míg z n 1 típusút oszlopmátrixnk nevezzük. Az (x 1,..., x n ) (x 1... x n ) és x 1 (x 1,..., x n ). x n kölcsönösen egyértelmű megfeleltetések lineáris izomorfiát dnk R n vlmint z 1 n, illetve n 1 típusú mátrixok vektorterei között. A következőkben R n elemeit, h mást nem mondunk, oszlopmátrixokkl reprezentáljuk. 4. Definíció. Az A kvdrtikus mátrix invertálhtó, h létezik olyn X mátrix, melyre A X = X A = E (h A n n típusú, kkor létezik n n típusú egységmátrix). X-et z A inverz mátrixánk nevezzük. 2. Tétel. H A invertálhtó, kkor csk egy inverze vn. (H A invertálhtó, úgy inverzét A 1 jelöli, erre AA 1 = A 1 A = E teljesül.) H A invertálhtó, úgy inverze is z és (A 1 ) 1 = A. H A és B invertálhtó, kkor (AB) 1 = B 1 A 1. H A invertálhtó, úgy (A ) 1 = (A 1 ). 5. Definíció. Egy A = ( ij ) n n kvdrtikus mátrixhoz rendeljünk hozzá egy vlós számot úgy, hogy: minden sorból kiválsztunk pontosn egy elemet úgy, hogy minden oszlopból is ki legyen válsztv pontosn egy elem, ezen elemeket összeszorozzuk és pozitív vgy negtív előjellel látjuk el szerint, hogy kiválsztott elemek (mennyiben sorindexeik természetes sorrendben vnnk) oszlopindexeinek permutációjábn z inverziók (felcserélt elemek) szám páros vgy pártln. tgokt minden lehetséges módon képezve összedjuk. Az így kpott D számot z ( ij ) n n mátrix determinánsánk nevezzük és 11... 1n D =.. = A n1... nn jelöljük (n-edrendű determináns). 39
Megjegyzések: 1. D = ( 1) I 1k1... nkn, hol I k 1,..., k n permutációbn lévő k 1,...,k n inverziók szám. Az összeg n! tgot trtlmz. 2. Példák: 11 12 21 22 = 11 12 12 21 11 12 13 21 22 23 31 32 33 =? 3. Egy determináns ik eleméhez trtozó ldeterminánson zt z A ik n 1- edrendű determinánst értjük, mely z eredetiből z i-edik sor és k-dik oszlop elhgyásávl dódik, ellátv ( 1) i+k előjellel. 3. Tétel. Egy A = ( ij ) n n mátrix determináns rendelkezik z lábbi tuljdonságokkl: 1) H vlmelyik sorábn (oszlopábn) csup 0 vn, kkor D = 0. 2) 11... 1n.. 11... 1n λ i1... λ in = λ...... n1... nn n1... nn 3) 11... 1n 11... 1n 11... 1n...... i1 + b i1... in + b in =.. i1... in + b.. i1... b in........ n1... nn n1... nn n1... nn 4) H két sorát felcseréljük értéke ( 1)-szeresére változik. 5) H két sor megegyezik, értéke 0. 6) Értéke nem változik, h egyik sorához hozzádjuk egy máik sorát, vgy nnk többszörösét. 7) Értéke nem változik, h sorit és oszolpit felcseréljük. 8) D = n ik A ik (kifejtési tétel). k=1 40
Mindezek megfoglmzhtók sorok helyett oszlopokr is. Bizonyítás. A definíció lpján. 4. Tétel (determinánsok szorzástétele). Két ugynolyn rendű kvdrtikus mátrix determinánsánk szorzt egyenlő szorztmátrix determinánsávl: A B = A B 5. Tétel. H z A kvdrtikus mátrix invetálhtó, kkor determináns nem 0 (zz A reguláris mátrix). Bizonyítás. A invertálhtó, így létezik z A 1 inverze, melyre A A 1 = E. Így szorzástétel mitt miből A = 0 következik. 1 = E = A A 1 = A A 1, 6. Tétel. H A 0 (zz A reguláris), kkor invertálhtó és A 1 inverzére: A 11 A 21... A n1 A 1 = 1 A 12 A 22... A n2 A.... = 1 A (A ji) n n A 1n A 2n... A nn teljesül, hol A ij z A = ( ij ) n n mátrix ij eleméhez trtozó djungált ldetermináns. Bizonyítás. Könnyen beláthtó, hogy n { 1 j = i, js A is = δ ij A, hol δ ij = 0 j i. Ezután már s=1 AA 1 = 1 A n ij A kj j=1 következik, zz A 1 z A inverze. n n 41 = 1 A (δ ik A ) = (δ ik ) n n = E
6. Definíció. Az A : R n R m leképezést (trnszformációt) lineárisnk nevezzük, h A(x + y) = A(x) + A(y), x, y R n, A(λx) = λa(x), x R n, λ R teljesül. Az A : R n R m lineáris leképezések összességét szokás L(R n, R m )-mel jelölni. Legyen A m n-es mátrix, úgy z A(x). = A x (x R n ) szerint értelmezett leképezés (trnszformáció) A : R n R m típusú lineáris leképezés (trnszformáció). Másrészt bármely A : R n R m lineáris leképezés A(x) = A x (x R n, A m n-es mátrix) lkb írhtó. Így bármely A : R n R m lineáris leképezés zonosíthtó egy A m n-es mátrixszl. 7. Definíció. H A L(R n, R m ), kkor z A =. sup { Ax } x 1 számot z A lineáris leképezés normájánk nevezzük. 7. Tétel. A norm fontosbb tuljdonsági: Ax A x ; A + B A + B ; A < + ; λa = λ A ; BA B A ; (A L(R n, R m ), B L(R m, R k )). 42
2. A differenciálhtóság A továbbikbn olyn f : D R n R m típusú függvényekkel fogllkozunk, hol D nyílt hlmz R n -ben és f = (f 1,..., f m ), hol f 1,..., f m z f komponens függvényei. R n és R m elemeit is oszlopmátrixokkl reprezentáljuk (h mást nem mondunk). 1. Definíció. Azt mondjuk, hogy z f : D R n R m függvény differenciálhtó z x 0 D pontbn, h létezik egy A L(R n, R m ) lineáris leképezés, hogy (1) lim x x 0 f(x) f(x 0 ) A(x x 0 ) R m x x 0 R n = 0. Ekkor f (x 0 ). = A z f függvény x 0 -beli differenciálhánydos, míg z f x 0 -beli első differenciálj. df(x 0, x x 0 ). = f (x 0 )(x x 0 ) Megjegyzés: H f : D R n R típusú függvény, úgy f (x) = A = ( 1... n ) 1 n-es sormátrix, míg z első differenciál n d f(x 0, x x 0 ) = i (x i x 0i ) szám. i=1 1. Tétel. H z 1. definícióbn (1) z A = A 1 és A = A 2 esetén is teljesül, úgy A 1 = A 2 (zz differenciálhánydos egyértelműen meghtározott). 2. Tétel. Az f : D R n R m függvény differenciálhtó z x 0 D pontbn, h ) létezik A L(R n, R m ) lineáris leképezés és ω : D R n R m függvény, hogy (2) f(x) f(x 0 ) = A(x x 0 ) + ω(x) ω(x) és lim x x 0 x x 0 = 0. 43
vgy b) létezik A L(R n, R m ) lineáris leképezés és ω : D R n R m függvény, hogy (3) f(x) f(x 0 ) = A(x x 0 ) + ω(x) x x 0 és lim x x 0 ω(x) = ω(x 0 ) = 0. Bizonyítás. A) Rendezés és bszolútérték képzése után (2) és (3) is dj (1) teljesülését. B) (1)-ből htárérték definíciój és tuljdonsági mitt kpjuk ) és b) és így (2) és (3) teljesülését. 3. Tétel. H z f : D R n R m függvény differenciálhtó z x 0 D pontbn, kkor ott folytonos is. Bizonyítás. Elegendő megmuttni, hogy ( ) lim f(x) f(x 0 ) = 0. x x 0 Az előző tétel b) része dj, hogy létezik A L(R n, R m ) lineáris leképezés, és ω : D R n R m függvény, hogy lim x x 0 ω(x) = ω(x 0 ) = 0 és f(x) f(x 0 ) = A(x x 0 ) + ω(x) x x 0 A(x x 0 ) + ω(x) x x 0 A x x 0 + ω(x) x x 0. A kpott egyenlőtlenségből x x 0 htárátmenettel kpjuk ( )-ot. Megjegyzés: A tétel megfordítás áltlábn nem igz. Például z xy (x, y) (0, 0), f(x, y) = x2 + y 2 0 (x, y) = (0, 0) függvény folytonos (0, 0) pontbn, de nem differenciálhtó. 4. Tétel. Az f = (f 1,..., f m ) : D R n R m függvény differenciálhtó z x 0 D pontbn, h z f i (i = 1,..., m) függvények differenciálhtók x 0 -bn, továbbá f (x 0 ) i = f i (x 0). 44
3. Iránymenti és prciális derivált 1. Definíció. Legyen f : D R n R m, x 0 D és e R n ( e = 1) dott. A D e f(x 0 ) =. f(x 0 + te) f(x 0 ) lim t 0 t értéket, h létezik, z f függvény x 0 -beli e iránymenti differenciálhánydosánk nevezzük. 1. Tétel. H z f : D R n R m függvény differenciálhtó z x 0 D pontbn, kkor e R n iránymenti deriváltj létezik és D e f(x 0 ) = f (x 0 ) e. Bizonyítás. Az előző prgrfus 2. tételének b) részét x = x 0 + te, A = f (x 0 ) mellet hsználv f(x 0 + te) f(x 0 ) t = 1 t [f (x 0 )(x 0 + te x 0 ) + ω(x 0 + te) t ] = = f (x 0 ) e + ω(x 0 + te) t t következik ( t < δ esetén lklms δ mellett), mi t 0 htárátmenettel dj z állítást. Megjegyzés: A tétel megfordítás áltlábn nem igz. 2. Definíció. H f = (f 1,..., f m ) : D R n R m, x 0 D és e i = (0,..., 0, i 1, 0,..., 0), kkor D i f j (x 0 ) = f j x i (x 0 ). = D ei f j (x 0 ) (i = 1,..., n, j = 1,..., m) számokt, h léteznek z f j-edik komponensfüggvénye i-edik változój szerinti prciális deriváltjink nevezzük x 0 - bn. Megjegyzés: H ϕ j (t). = f j (x 01,..., x 0i 1, t, x 0i+1,..., x 0n ) ( t < δ), kkor D i f j (x 0 ) = ϕ j(x 0i ). 45
2. Tétel. H z f = (f 1,..., f m ) : D R n R m függvény z x 0 D pontbn differenciálhtó, kkor D i f j prciális derivált létezik és f (x 0 ) = (D i f j (x 0 )) m n Bizonyítás. Az előző prgrfus 4. tétele dj, hogy bármelyik f j differenciálhtó x 0 -bn és kkor z előző tétel szerint e-re, így e i -re is D ei f j (x 0 ). = D i f j (x 0 ). Továbbá: f (x 0 ) = (f j(x 0 )) m 1 és [f j(x 0 )] i. = f j (x 0 ) e i = D ei f j (x 0 ). = D i f j (x 0 ) mitt kpjuk f (x 0 ) előállítását is. 3. Tétel. H z f = (f 1,..., f m ) : D R n R m függvény bármely prciális deriváltj létezik z x 0 D egy K(x 0, δ) környezetében és folytonosk x 0 -bn, kkor f differenciálhtó x 0 -bn. A 2. és 3. tétel felhsználásávl egyszerűen bizonyíthtó következő: 4. Tétel. H f : D R n R m dott függvény, kkor következő állítások ekvivlensek: ) D i f j (i = 1,..., n, j = 1,..., m) létezik és folytonos D-n. b) f differenciálhtó D-n és f : D L(R n, R m ) folytonos D-n. Az egyváltozós függvények differenciálhtóságánk foglm és z előbbi tétel lpján természetes következő: 3. Definíció. Azt mondjuk, hogy z f : D R n R m függvény folytonosn differenciálhtó D-n, h vgy teljesül. ) f differenciálhtó és f folytonos D-n, b) D i f j létezik és folytonos D-n 46
4. Differenciálási szbályok 1. Tétel. H z f, g : D R n R m, λ : D R függvények differenciálhtók x 0 D-ben, kkor z f + g, λf, (λ 0) függvények is f λ differenciálhtók és (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ), teljesül. (λf) (x 0 ) = f(x 0 )λ (x 0 ) + λ(x 0 )f (x 0 ), ( ) f (x 0 ) = λ(x 0)f (x 0 ) f(x 0 )λ (x 0 ) λ λ 2 (x 0 ) Bizonyítás. A definíció lpján például z első esetben z (f + g)(x) (f + g)(x 0 ) (f (x 0 ) + g (x 0 ))(x x 0 ) x x 0 f(x) f(x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) g(x) g(x 0 ) g (x 0 )(x x 0 ) + x x 0 x x 0 egyenlőtlenségből, x x 0 htárátmenettel jön z állítás. 2. Tétel (z összetett függvény differenciálhtóság). H f : D R n R m, g : E f(d) R m R k olyn, hogy f differenciálhtó x 0 D-ben és g differenciálhtó f(x 0 )-bn, kkor z F = g f : D R k függvény differenciálhtó x 0 -bn és (ÖD) F (x 0 ) = g (f(x 0 )) f (x 0 ). (D és E nyílt hlmzok és (ÖD)-ben mátrixok szorzás szerepel.) Megjegyzések: 1) H k = 1, kkor (ÖD) lkj F (x 0 ) = (D 1 F (x 0 )... D n F (x 0 )) = = (D 1 g ( f(x 0 ) )... D m g ( f(x 0 ) )) D 1 f 1 (x 0 )... D n f 1 (x 0 ).... D 1 f m (x 0 )... D n f m (x 0 ) 47
és kkor pédául D j F (x 0 ) = m D k g ( f(x 0 ) ) D j f k (x 0 ). k=1 2) H k = 1, n = 1, kkor F (t) = g(f 1 (t),..., f m (t)), F (x 0 ) = F t (x 0) = m D j g ( f(x 0 ) ) f j(x 0 ). j=1 3. Tétel. Legyen f : D R n R n, x 0 D, f(x 0 ) = y 0. Tegyük fel, hogy g z y 0 egy környezetét R n -be képező függvény, hogy g(y 0 ) = x 0 és g(f(x)) = id(x) x K(x 0, δ). H f differenciálhtó x 0 -bn és g differenciálhtó y 0 -bn, kkor g (y 0 ) = (f (x 0 )) 1 (Itt (f (x 0 )) 1 z f (x 0 ) mátrix inverzét jelöli.) Megjegyzés: H egy f differenciálhtó függvénynek létezik differenciálhtó inverze, kkor szükségképpen f (x) nem szinguláris mátrix. 5. Középértéktételek és következményeik A következőkben z egyváltozós függvényekre ismert Lgrnge-féle középértéktétel felhsználásávl mondunk ki, illetve bizonyítunk be hsonló típusú tételeket. 1. Tétel. H z f : D R n R függvény differenciálhtó D (nyílt) hlmzon és D trtlmzz z x 0 és x 0 + h végpontú [x 0, x 0 + h]-vl jelölt szkszt, kkor létezik c = x 0 + t 0 h (0 < t 0 < 1) pont ezen szkszon, hogy f(x 0 + h) f(x 0 ) = f (c) h. Bizonyítás. A Φ(t). = f(x 0 + th) (t [0, 1]) szerint definiált függvény z összetett függvény differenciálhtóságár vontkozó tétel mitt differenciálhtó és Φ (t) = f (x 0 + th) h (t [0, 1]) 48
Továbbá Φ teljesíti z egyváltozós Lgrnge-tétel feltételeit [0, 1] intervllumon, így t 0 (0, 1) (és így c = x 0 + t 0 h), hogy f(x 0 + h) f(x 0 ) = Φ(1) Φ(0) = Φ (t 0 ) 1 = f (c) h. 2. Tétel. Legyen D R n nyílt és konvex hlmz (zz x 1, x 2 D = [x 1, x 2 ] D). H f : D R differenciálhtó D-n és M R, hogy f (x) M ( x D), kkor teljesül. f(x) f(y) M x y ( x, y D) Bizonyítás. Legyen x, y D (konvex) = [x, y] D, így z 1. tétel mitt (x = x 0 és y = x 0 + h mellett) c (x, y), hogy melyből f(x) f(y) = f (c)(x y), f(x) f(y) = f (c)(x y) f (c) x y M x y következik tetszőleges x, y D esetén, mit bizonyítni kellett. Következmény: H 2. tétel feltételei mellett még f (x) = 0 (x D) is teljesül, kkor f(x) = c (x D). 3. Tétel. H z f : K(x 0, δ) R n R függvény D i f (i = 1,..., n) prciális deriváltj létezik, kkor h R n, 0 < h < δ esetén léteznek c 1,..., c n K(x 0, δ) vektorok, hogy ( ) f(x 0 + h) f(x 0 ) = n D i f(c i )h i (h = (h 1,..., h n )). i=1 Következmény. H z f : D R n R függvény D i f prciális deriváltj létezik és korlátos vlmely K(x 0, δ) D környezetben, kkor f folytonos x 0 -bn. Bizonyítás. A 3. tétel mitt ( ) teljesül, melyből f(x 0 + h) f(x 0 ) = n D i f(c i )h i M n h i i=1 következik (h D i f(c i ) M i = 1,..., n). i=1 ( h < δ ) 49