27.2.2. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Adjuk meg a b n = 3n 7 9 2n sorozat infimumát, szuprémumát. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (a) ( lim n 2 3n n 2 n 3) n ( ) 3n 5 3 2n, (b) lim. n 2n + 3. A tanult módon ábrázoljuk az f() = 3 6 2 3 2 függvényt. (i) Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, szélsőérték. (iv) Második derivált, konveitás, infleiós pont. (v) Függvényábrázolás, értékkészlet. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 34pt (a) z 2 4 z 3 + 9 dz, (b) 3 2v 2 + dv, (c) 2 t t 2 4 dt. Segédlet: α d = α+ + C, (α ), α + cos d = sin + C, sin d = cos + C, sin 2 d = ctg + C, d = arcsin + C = arccos + C, 2 d = ln + C, cos 2 d = tg + C, 2 d = arctg + C = arcctg + C, + e d = e + C, a d = a ln a + C.
Definiáljuk a következő fogalmakat: (i) Az (a n ) sorozat monoton nő. (ii) Az f() függvény differenciálható az = 2 pontban. (iii) g nek helyi minimuma van ban. (iv) A környezetes definíció alapján lim h() =. 3 + (v) A korlátos D számhalmaz szuprémuma. Az elégséges érdemjegyhez a feladat részből legalább 3, a definíció részből legalább pontot el kell érni. Tiltott eszközök használata esetén az érdemjegy elégtelen és ezt követően a hallgató már csak szóban vizsgázhat!
27.2.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Definíció alapján és formálisan is adjuk meg az f() = 4 2 függvény deriváltját az = helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (a) ( ) n 3n 5 3+n 7 n 3 n, (b) lim. n 3n + 3. A tanult módon ábrázoljuk az f() = 2 ln függvényt. (i) Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, szélsőérték. (iv) Második derivált, konveitás, infleiós pont. (v) Függvényábrázolás, értékkészlet. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 34pt (a) e z ln 3 z dz, (b) ve 2 3v dv, (c) 2 t + t 2 4t dt. Segédlet: α d = α+ + C, (α ), α + cos d = sin + C, sin d = cos + C, sin 2 d = ctg + C, d = arcsin + C = arccos + C, 2 d = ln + C, cos 2 d = tg + C, 2 d = arctg + C = arcctg + C, + e d = e + C, a d = a ln a + C.
Definiáljuk a következő fogalmakat: (i) Az (a n ) sorozat határértéke végtelen. (ii) Az f() függvény folytonos az = 3 pontban. (iii) f szigorúan monoton növő [a, b] n. (iv) A környezetes definíció alapján lim g() = 4. (v) Riemann féle integrálközelítő összeg (részletesen). Az elégséges érdemjegyhez a feladat részből legalább 3, a definíció részből legalább pontot el kell érni. Tiltott eszközök használata esetén az érdemjegy elégtelen és ezt követően a hallgató már csak szóban vizsgázhat!
28..2. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Határozzuk meg az f() = 3 2 függvénynek az a = pont körüli harmadrendű Taylor polinomját, és segítségével becsüljük meg 3 2 értékét. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (a) lim n 3 n 2 + 2, (b) lim 2n + 5 n ( ) 4n + 5 2n. 5n 3 3. A tanult módon ábrázoljuk az f() = e 2 függvényt. (i) Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, szélsőérték. (iv) Második derivált, konveitás, infleiós pont. (v) Függvényábrázolás, értékkészlet. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 34pt (a) π π/2 z cos(3z 2) dz, (b) 3 4 3 + 2 d, (c) e u/2 du. Segédlet: α d = α+ + C, (α ), α + cos d = sin + C, sin d = cos + C, sin 2 d = ctg + C, d = arcsin + C = arccos + C, 2 d = ln + C, cos 2 d = tg + C, 2 d = arctg + C = arcctg + C, + e d = e + C, a d = a ln a + C.
Definiáljuk a következő fogalmakat: (i) A (z n ) sorozat konvergens. (ii) Az f() függvény differenciálható az = 2 pontban. (iii) f szigorúan konve [, 2] n. (iv) A környezetes definíció alapján lim h() = 2. (v) Integrálközép. Az elégséges érdemjegyhez a feladat részből legalább 3, a definíció részből legalább pontot el kell érni. Tiltott eszközök használata esetén az érdemjegy elégtelen és ezt követően a hallgató már csak szóban vizsgázhat!
28..9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Határozzuk meg az f() = 2 e 2 függvény = koordinátájú pontjához húzott érintő egyenletét. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (i) lim n n 2 3n+ n 5, (ii) lim n n 27 n 9 n 9. 3. A tanult módon ábrázoljuk az f() = + 2 függvényt. ( 3) 2 (i) Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, szélsőérték. (iv) Második derivált, konveitás, infleiós pont. (v) Függvényábrázolás, értékkészlet. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 34pt (i) 3e 2 d, (ii) 2q + 5 q 2 4q + 4 dq, (iii) e ln t t dt. Segédlet: α d = α+ + C, (α ), α + cos d = sin + C, sin d = cos + C, sin 2 d = ctg + C, d = arcsin + C = arccos + C, 2 d = ln + C, cos 2 d = tg + C, 2 d = arctg + C = arcctg + C, + e d = e + C, a d = a ln a + C.
Definiáljuk a következő fogalmakat: (i) Az (a n ) sorozat alulról korlátos. (ii) Sorozat torlódási pontja. (iii) f nek helyi minimuma van a = 2 ben. (iv) A környezetes definíció alapján lim y() =. (v) Darbou féle alsó integrálközelítő összeg (részletesen). Az elégséges érdemjegyhez a feladat részből legalább 3, a definíció részből legalább pontot el kell érni. Tiltott eszközök használata esetén az érdemjegy elégtelen és ezt követően a hallgató már csak szóban vizsgázhat!
28..6. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Határozzuk meg az f() = ( 2) 2 ( + 3) 3 függvény szélsőértékét a [ 4, ] zárt intervallumon. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (i) lim n 3 n 2 n 5 n 3 n 4 +, tg 5 (ii) lim 3. 3. A tanult módon ábrázoljuk az f() = ln függvényt. (i) Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, szélsőérték. (iv) Második derivált, konveitás, infleiós pont. (v) Függvényábrázolás, értékkészlet. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 34pt (i) z ln( + 2z) dz, (ii) π/2 cos 2 sin d, (iii) 2 3 3 u du. Segédlet: α d = α+ + C, (α ), α + cos d = sin + C, sin d = cos + C, sin 2 d = ctg + C, d = arcsin + C = arccos + C, 2 d = ln + C, cos 2 d = tg + C, 2 d = arctg + C = arcctg + C, + e d = e + C, a d = a ln a + C.
Definiáljuk a következő fogalmakat: (i) Az (a n ) sorozat határértéke 2. (ii) Az f() függvény egyenessel közelíthető a 2 pontban. (iii) f monoton csökkenő [, 4] en. (iv) A környezetes definíció alapján lim 4 z() =. (v) Integrálfüggvény (részletesen). Az elégséges érdemjegyhez a feladat részből legalább 3, a definíció részből legalább pontot el kell érni. Tiltott eszközök használata esetén az érdemjegy elégtelen és ezt követően a hallgató már csak szóban vizsgázhat!
28..23. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:... n 2 + 4n. Definíció alapján és formálisan is igazoljuk, hogy lim n 3n 2 5 = 3. 2. A tanult módon vizsgáljuk az alábbi rekurzív sorozatot: a = 3, 6a n = a 2 n + 8 (n > ). 8pt 3. A tanult módon ábrázoljuk az f() = 2 + 3 2 függvényt. (i) Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, szélsőérték. (iv) Második derivált, konveitás, infleiós pont. (v) Függvényábrázolás, értékkészlet. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 34pt 8pt (i) 2 z 2 z 3 + 8 dz, (ii) 5 2 + 6 d, (iii) π/4 (3y ) sin 2y dy. Segédlet: α d = α+ + C, (α ), α + cos d = sin + C, sin d = cos + C, sin 2 d = ctg + C, d = arcsin + C = arccos + C, 2 d = ln + C, cos 2 d = tg + C, 2 d = arctg + C = arcctg + C, + e d = e + C, a d = a ln a + C.
Definiáljuk a következő fogalmakat: (i) Az (a n ) sorozat monoton nő. (ii) Az { n } sorozat Cauchy sorozat. (iii) f szigorúan konkáv az I intervallumon. (iv) A környezetes definíció alapján lim (t) = 3. t (v) Darbou féle felső integrálközelítő összeg (részletesen). Az elégséges érdemjegyhez a feladat részből legalább 3, a definíció részből legalább pontot el kell érni. Tiltott eszközök használata esetén az érdemjegy elégtelen és ezt követően a hallgató már csak szóban vizsgázhat!
28..3. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Határozzuk meg az f() = 2 (2 ) 2 függvény = koordinátájú pontjához húzott érintő egyenletét. 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (i) lim n 2 2n + n 4 n n 2, (ii) lim + 4n3 n ( ) 3n + 5 2n. 2n 3 3. A tanult módon ábrázoljuk az f() = e /2 függvényt. (i) Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, szélsőérték. (iv) Második derivált, konveitás, infleiós pont. (v) Függvényábrázolás, értékkészlet. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 34pt 8pt (i) 2 d, e5 (ii) 2 2y y 2 2y 3 dy, (iii) π/2 π/3 cos t sin 2 t dt. Segédlet: α d = α+ + C, (α ), α + cos d = sin + C, sin d = cos + C, sin 2 d = ctg + C, d = arcsin + C = arccos + C, 2 d = ln + C, cos 2 d = tg + C, 2 d = arctg + C = arcctg + C, + e d = e + C, a d = a ln a + C.
Definiáljuk a következő fogalmakat: (i) 5 torlódási pontja az (a n ) sorozatnak. (ii) Az f() függvény folytonos az [, 3) intervallumon. (iii) f egyenletesen folytonos [3, 5] ön. (iv) A környezetes definíció alapján lim t 2 + φ(t) = 4. (v) f() nek az = pont körüli harmadrendű Taylor polinomja. Az elégséges érdemjegyhez a feladat részből legalább 3, a definíció részből legalább pontot el kell érni. Tiltott eszközök használata esetén az érdemjegy elégtelen és ezt követően a hallgató már csak szóban vizsgázhat!