BSc Anlízis II. elődásjegyzet 2009/200. tvszi félév Sikoly Eszter ELTE TTK Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék 20. jnuár 7.
ii
Trtlomjegyzék Előszó v. Differenciálhtóság.. A derivált foglm és geometrii jelentése..................................2. Derivált és folytonosság........................................... 3.3. Műveletek differenciálhtó függvényekkel.................................. 5.4. Elemi függvények deriváltj......................................... 8.5. Lokális növés, fogyás, szélsőérték.......................................6. Középértéktételek............................................... 2.7. Globális monotonitás............................................. 4.8. Konvex és konkáv függvények........................................ 5.9. Tylor-polinom, Tylor-formul....................................... 8.9.. Motiváció............................................... 8.9.2. Tylor-polinom és Tylor-formul.................................. 9.0. L Hospitl-szbály.............................................. 22 2. Integrálszámítás 25 2.. Riemnn-integrál............................................... 25 2... A Riemnn-integrál definíciój................................... 25 2..2. A Riemnn-integrál tuljdonsági................................. 33 2.2. Primitív függvény.............................................. 35 2.3. Primitív függvény és Riemnn-integrál kpcsolt............................. 38 2.3.. A Newton-Leibniz tétel....................................... 38 2.3.2. Integrálfüggvények.......................................... 39 2.4. Improprius integrál.............................................. 42 3. Htványsorok 47 3.. Htványsorok................................................. 47 3.2. Trigonometrikus függvények......................................... 56 3.3. Komplex függvények és htványsorok................................... 58 iii
TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK iv
Előszó Ez jegyzet 2009/200-es tnév tvszi félévében trtott Anlízis II. kurzus nygához készül. A jegyzet félév során folymtosn bővül, z utolsó változttás dátum címlpon láthtó. A jegyzetben bizonyár előfordulhtnk hibák ezek jelzését örömmel veszem seszter@cs.elte.hu e-mil-címen! A jegyzet során z lább jelöléseket hsználom: N természetes számok, 0-t is beleértve; Z egész számok; Q rcionális számok; R vlós számok; R + pozitív vlós számok; R negtív vlós számok (és hsonlón: Z +, N +, stb.) v
TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK vi
Első fejezet Differenciálhtóság A differenciálhtóság függvény simságát jelenti. A differenciálhtó függvény folytonos, és nincs rjt törés, csúcs. Az lábbi témköröket tárgyljuk. Derivált foglm és geometrii jelentése Elemi függvények deriváltji Deriválási szbályok Monotonitás és szélsőérték Konvexitás és inflexió Függvényvizsgált Középértéktételek Tylor-polinom L Hospitl-szbály.. A derivált foglm és geometrii jelentése Vizsgáljunk meg két egyszerű függvényt: f : R R, f (t) := t 2, és f 2 : R R, f 2 (t) := t. Rögzítsük z := 0 pontot. Könnyen ellenőrizhető, hogy f és f 2 is páros; lulról korlátos és felülről nem korlátos; pozitív számok hlmzán növekvő, negtív számok hlmzán fogyó; z = 0 pontbn minimum vn, és minimum értéke 0; z = 0 pontbn folytonos. Szembetűnő sok hsonlóság ellenére, hogy z = 0 pontbn z f függvény sim, z f 2 függvénynek pedig törése vn. Vn-e olyn műszer, mely kimuttj, hogy egy függvény vlmely pontbn sim, egy másik pedig nem? Legyen f : R R tetszőleges függvény, D(f) egy rögzített pont. Az f függvény -hoz trtozó különbségihánydos-függvénye legyen K f : D(f) \ {} R K f f(x) f() (x) := x függvény. Vizsgáljuk meg ezzel műszerrel z f és f 2 függvényt z := 0 pont esetén (.. ábr)! Az f függvény esetén K f 0 (x) = f (x) f (0) = x2 0 2 x 0 x 0 = x. Az f 2 függvény esetén K f2 0 (x) = f 2(x) f 2 (0) = x 0 x 0 x 0 = x {, h x > 0 x =, h x < 0 (.)
.. A DERIVÁLT FOGALMA ÉS GEOMETRIAI JELENTÉSE ELSŐ FEJEZET.. ábr. Látjuk, hogy sim f függvény esetén vn htárértéke (folytonossá tehető) K f 0 különbségihánydos-függvénynek 0-bn, míg töréssel rendelkező f 2 függvény K f2 0 különbségihánydos-függvényének nincs htárértéke 0 pontbn. Ez vizsgált motiválj, hogy zokt függvényeket, melyek különbségihánydos-függvényének vn htárértéke bbn z pontbn, melyhez trtozik ( példábn = 0), differenciálhtónk fogjuk nevezni -bn, és z -beli deriváltj ezt htárértéket jelenti: f f(x) f() () := lim. x x Honnn került elő z műszer, mely lklms egy függvény simságát kimuttni? Először egy geometrii megközelítést muttunk be. A koordinát-rendszer (, f()) és tőle különböző (x, f(x)) pontjin át fektessünk egy egyenest (szelőt). Az egyenes meredeksége (iránytngense) [Ezt jelöltük K f (x)-szel.] f(x) f(). x H x trt z -hoz, kkor (sim függvény esetén) szelők trtnk egy htárhelyzethez, mit érintőnek neveznek, így szelők meredeksége is trt z érintő meredekségéhez (.2. ábr). [Ezt htárértéket neveztük el deriváltnk.] A másik egy fiziki interpretáció legyen. Tegyük fel, hogy egy pont mozgását t s(t) út-idő függvény írj le. A [t 0, t] időintervllumbn z átlgsebesség megtett s(t) s(t 0 ) út és megtételéhez szükséges t t 0 idő hánydos, zz s(t) s(t 0 ) t t 0. [Gykrn ezt hánydost s t jelöli.] H minden htáron túl rövidítjük z időintervllumot, z átlgsebesség egy szám körül keveset ingdozik (feltéve, hogy sim volt z út-idő függvény), ezt számot nevezik pillntnyi 2
ELSŐ FEJEZET.2. DERIVÁLT ÉS FOLYTONOSSÁG (x,f(x)) szelõ f(x) f() (,f()) x érintõ x.2. ábr. sebességnek: s(t) s(t 0 ) s lim =: v(t 0 ) vgy lim t t 0 t t 0 t 0 t = v. [Láthtó, hogy pillntnyi sebesség z átlgsebesség htárértéke és z út-idő függvény differenciálhánydos: s (t 0 ) = v(t 0 ).].2. A derivált foglm és kpcsolt folytonossággl.. Definíció. Legyen A R, A. Azt mondjuk, hogy belső pontj z A hlmznk, h -nk létezik K() környezete, hogy K() A. Az A hlmz belső pontjink hlmzát jelölje int A..2. Definíció. Legyen f : R R, int D(f). Azt mondjuk, hogy z f függvény differenciálhtó z pontbn, h f(x) f() lim R, x x vgyis h z f függvény -hoz trtozó K f különbségihánydos-függvényének K f : D(f) \ {} R K f (x) := f(x) f() x létezik véges htárértéke -bn. H f differenciálhtó z pontbn, kkor f f(x) f() () := lim. x x Az f () R számot z f függvény pontbeli differenciálhánydosánk vgy deriváltjánk nevezzük. Az f () helyett gykrn hsználják még z f(), df df dx (), dx x=, Df() jelöléseket is. A fenti.2. ábr lpján meggondoltk szerint z f () szám függvény grfikonjánk, grph(f)-nek (, f()) pontjához húzott érintőjének meredeksége. Ennek megfelelően definiálhtjuk z int D(f) pontbn differenciálhtó f függvény pontbeli érintőjét..3. Definíció. Tegyük fel, hogy f differenciálhtó z int D(f) pontbn. Ekkor z f függvény pontbeli érintőjének egyenlete z lábbi egyenes egyenlete: y = f() + f () (x ). (.2) 3
.2. DERIVÁLT ÉS FOLYTONOSSÁG ELSŐ FEJEZET Az érintő tehát z (, f()) ponton átmenő f () meredekségű egyenes. A következő fontos tétel rról szól, hogy függvény érintője mennyire vn közel függvény grfikonjához..4. Tétel (Főtétel). Legyen f : R R, int D(f). Ekkor z lábbik ekvivlensek: (i) f differenciálhtó z pontbn; (ii) F : D(f) R z pontbn folytonos függvény, hogy x D(f) esetén Bizonyítás. (i) (ii): Legyen f differenciálhtó -bn. Ekkor vezessük be z F : D(f) R, F (x) := f(x) = f() + F (x) (x ). (.3) { f(x) f() függvényt. Az F folytonos -bn, ugynis x D(f) \ {} esetén x, h x ; f (), h x = z f -beli differenciálhtóság mitt pedig F (x) = f(x) f(), x Legyen ezután x D(f) tetszőleges. H x, kkor h x =, kkor f(x) f() = lim F (x) = f () = F (). x f(x) f() x (x ) = F (x) (x ); f() f() = F () ( ) nyilván igz. (ii) (i): Tegyük fel, hogy F z -bn folytonos függvény, hogy x D(f) esetén f(x) f() = F (x) (x ). H x, kkor f(x) f() = F (x). x Mivel feltétel szerint F folytonos -bn, ezért lim x F (x) = F (), de kkor f(x) f() lim = F () R x x is teljesül, zz f differenciálhtó -bn, sőt F () = f ()..5. Megjegyzés. A bizonyításból kiderült, hogy tétel szerint létező F függvényre teljesül. Vonjuk most ki z (.3)-ból z érintő (.2) egyenletét! F () = f () f(x) y = (F (x) f ()) (x ) = f(x) y x = F (x) f (), x. Ez zt jelenti, hogy f érintője olyn közel vn f-hez x-ben, mint egy -bn 0 htárértékkel rendelkező folytonos függvény, megszorozv (x )-vl..6. Tétel. H f differenciálhtó -bn, kkor f folytonos -bn. 4
ELSŐ FEJEZET.3. MŰVELETEK DIFFERENCIÁLHATÓ FÜGGVÉNYEKKEL Bizonyítás. H f differenciálhtó -bn, kkor F olyn -bn folytonos függvény, hogy x D(f) esetén f(x) f() = F (x) (x ), zz f = f() + F (id ). Mivel -bn folytonos függvények összege, szorzt is folytonos, ezért f is folytonos z pontbn..7. Megjegyzés. Az f : R R, f(x) := x függvény folytonos z := 0 pontbn, de z (.)-ben láttuk, hogy 0-hoz trtozó különbségihánydos-függvényének nincs htárértéke 0-bn, ezért f nem differenciálhtó 0 pontbn. A péld zt muttj, hogy tétel nem fordíthtó meg..8. Definíció. Azt függvényt, mely minden x pontbn, hol függvény differenciálhtó, megdj z x-beli deriváltt, z f függvény deriváltfüggvényének nevezik, és f -vel jelölik. Tehát D(f ) := {x : f differenciálhtó x-ben} f f(t) f(x) (x) := lim. t x t x.9. Péld. Az f : R R, f(t) := t 2 függvény nem csk z x := 0 pontbn tűnik simánk (ld. z előző fejezetet). Legyen x R egy tetszőleges vlós szám. Nézzük meg, hogy z f függvény x-hez trtozó különbségihánydosánk vn-e htárértéke x-ben! f(t) f(x) t 2 x 2 lim = lim t x t x t x t x = lim (t x)(t + x) = lim(t + x) = 2x. t x t x t x Tehát f differenciálhtó x-ben és f (x) = 2x, vgyis deriváltfüggvénye (id 2 ) = 2 id..3. Műveletek differenciálhtó függvényekkel.0. Tétel. H f, g differenciálhtók -bn, kkor f + g is differenciálhtó -bn, és Bizonyítás. (f + g) () = f () + g (). (f + g)(x) (f + g)() f(x) + g(x) f() g() lim = lim x x x x f(x) f() g(x) g() = lim + lim x x x x = f () + g ()... Tétel. H f differenciálhtó -bn és λ R, kkor λf differenciálhtó -bn, és (λf) () = λ f (). Bizonyítás. (λf)(x) (λf)() f(x) f() lim = lim λ = λ f (). x x x x.2. Következmény. H f, g differenciálhtók -bn, kkor f g is differenciálhtó -bn, és (f g) () = f () g (). Bizonyítás. Alklmzzuk fenti tételeket f-re és g-re, vlmint λ = -re. 5
.3. MŰVELETEK DIFFERENCIÁLHATÓ FÜGGVÉNYEKKEL ELSŐ FEJEZET.3. Tétel. H f, g differenciálhtók -bn, kkor f g is differenciálhtó -bn, és Bizonyítás. (f g) () = f ()g() + f()g (). (fg)(x) (fg)() f(x)g(x) f()g(x) + f()g(x) f()g() lim = lim x x x x f(x) f() = lim x x = f ()g() + f()g (). g(x) + f() lim x g(x) g() x Felhsználtuk, hogy mivel g differenciálhtó -bn, ezért g folytonos -bn (ld. z.6. Tételt), így lim x g(x) = = g()..4. Tétel. H g differenciálhtó -bn és g() 0, kkor g is differenciálhtó -bn, és ( ) () = g () g g 2 (). Bizonyítás. Mivel g differenciálhtó -bn, ezért g folytonos -bn (ld. z.6. ( ) Tételt), így g() 0 feltétel mitt K() D(g) környezet, hogy x K() esetén g(x) 0. Tehát int D. Ekkor lim x ( g ) (x) ( x g ) () = lim x = lim x g(x) g() ( = g () = lim x x g(x) g() x g 2 (). g g() g(x) g(x)g() = x ) g(x)g().5. Tétel. H f, g differenciálhtók -bn és g() 0, kkor f g is differenciálhtó -bn és ( ) f () = f ()g() f()g () g g 2. () Bizonyítás. Mivel f g = f g, és feltételek szerint g differenciálhtó -bn, ezért szorztfüggvény differenciálhtóságár vontkozó tétel mitt f g differenciálhtó -bn és ( ) ( f () = f ) () = f () g g ( ) g() + f() g () g 2 () = f ()g() f()g () g 2. ().6. Tétel. Tegyük fel, hogy g differenciálhtó -bn és f differenciálhtó g()-bn. Ekkor f g is differenciálhtó -bn, és (f g) () = f (g()) g (). Bizonyítás. Először gondoljuk meg, hogy feltételekből következik: int D(f g) = int {x D(g) : g(x) D(f)}. Mivel g() int D(f), ezért ε > 0, hogy K ε (g()) D(f). Másrészt g differenciálhtó -bn, ezért folytonos is -bn, így ε > 0-hoz létezik δ > 0, hogy x K δ () D(g) = g(x) K ε (g()) D(f). (.4) 6
ELSŐ FEJEZET.3. MŰVELETEK DIFFERENCIÁLHATÓ FÜGGVÉNYEKKEL Tudjuk, hogy ρ > 0 : K ρ () D(g). Jelölje r := min{δ, ρ}. Ekkor (.4) lpján x K r () = x D(g), g(x) D(f) = x D(f g), így int D(f g) teljesül. Mivel g differenciálhtó -bn, ezért z.4. Főtétel mitt G z -bn folytonos függvény, hogy x D(g) esetén g(x) g() = G (x) (x ). Mivel f differenciálhtó g()-bn, ezért szintén z.4. Főtétel mitt F g(), g() pontbn folytonos függvény, hogy y D(f) esetén f(y) f(g()) = F g() (y) (y g()). Legyen x D(f g), ekkor z y := g(x) jelöléssel fenti két egyenlőségből következik: (f g)(x) (f g)() = f(g(x)) f(g()) = F g() (g(x)) (g(x) g()) = F g() (g(x)) G (x) (x ) = ( (F g() g) G ) (x) (x ). (.5) Mivel g differenciálhtó -bn, ezért g folytonos -bn (ld. z.6. Tételt); F g() folytonos g()-bn, így kompozíciófüggvény folytonosságár vontkozó tétel szerint F g() g folytonos -bn. Mivel G folytonos -bn, ezért szorztfüggvény folytonosságát felhsználv, z ( F g() g ) G is folytonos z pontbn. Így z.4. Főtétel lpján (.5) éppen zt jelenti, hogy f g differenciálhtó -bn, sőt (f g) () = ( (F g() g) G ) () = Fg() (g()) G () = f (g()) g ()..7. Tétel. Legyen I R nyílt intervllum, f : I R szigorún monoton és folytonos függvény. Legyen I, f differenciálhtó -bn és f () 0. Ekkor f differenciálhtó b := f() pontbn, és (f ) (b) = f (f (b)), másképp (f ) (f()) = f (). 5 4 3 f f 2 (,f()) (f(),) 0 2 2 0 2 3 4 5.3. ábr. 7
.4. ELEMI FÜGGVÉNYEK DERIVÁLTJA ELSŐ FEJEZET Bizonyítás. A szigorú monotonitás mitt folytonos f függvény injektív, így folytonos függvény inverzéről szóló tétel mitt létezik z f : J I inverzfüggvény, hol D(f ) = J is nyílt intervllum, tehát b int D(f ). Az f függvény b pontbeli differenciálhtóságához meg kell muttni, hogy létezik f (y) f (b) lim y b y b htárérték (és ez vlós szám). Legyen (y n ) J, y n b, y n b tetszőleges sorozt. Bármely n N esetén legyen x n := f (y n ). Az (x n ) I sorozt konvergens, és lim x n =, mert z inverzfüggvény folytonosságáról szóló tétel és z átviteli elv szerint Továbbá x n is teljesül f injektivitás mitt. Ezért y n b f (y n ) f (b), zz x n. f (y n ) f (b) y n b = x n f(x n ) f() = f(x n) f() x n f (), hiszen f () 0. Mivel bármely (y n ) J, y n b esetén z ( f (y n) f (b) y n b ) konvergens, ezért függvényhtárértékre vontkozó átviteli elv szerint létezik f (y) f (b) lim y b y b htárérték. Tehát f differenciálhtó b-ben, és z is láthtó, hogy (f ) (b) = f ()..4. Elemi függvények deriváltj Nézzünk egy további példát. Legyen f : R R, f(t) := t 3, x R. f(t) f(x) t 3 x 3 lim = lim t x t x t x t x = lim (t x)(t 2 + tx + x 2 ) = lim(t 2 + tx + x 2 ) = 3x 2, t x t x t x tehát f differenciálhtó x-ben, és f (x) = 3x 2, vgy röviden (id 3 ) = 3 id 2. Az lábbikbn ezt 3 helyett áltlánosítjuk tetszőleges α kitevőre. Nevezetes függvényderiváltk:. (id α ) = α id α (α R) Bizonyítás. Mivel z id α függvény csk pozitív félegyenesen vn értelmezve, ezért érvényes következő átírás: x α = e α ln x, ebből kompozíciófüggvény deriválási szbály lpján (x α ) = e α ln x α x = α xα. 8
ELSŐ FEJEZET.4. ELEMI FÜGGVÉNYEK DERIVÁLTJA 2. sin = cos Bizonyítás. sin (x) = lim t x sin t sin x t x 2 sin t x 2 = lim t x t x ( sin t x 2 = lim t x t x 2 cos t+x 2 cos t + x 2 ) = cos x = cos x. Az átlkítás során trigonometrikus függvények ddíciós tételeinek egy következményét, vlmint cos sin u függvény folytonosságát hsználtuk. Mivel lim u 0 u =, ezért t x esetén z u := t x 2 0, így lim t x sin t x 2 t x 2 =. 3. cos = sin Bizonyítás. Ugynúgy, mint fent HF. 4. tg = cos 2 Bizonyítás. A hánydosfüggvény deriválási szbályából: tg = ( ) sin = sin cos cos sin cos cos 2 = sin2 + cos 2 cos 2 = cos 2. 5. ctg = sin 2 Bizonyítás. Ugynúgy, mint fent HF. 6. exp = exp ln ( > 0), speciálisn: exp = exp Bizonyítás. Előző félévben igzoltuk z lábbi nevezetes htárértéket: exp t x (x) = lim t x t x = x ln = exp (x) ln, ( > 0, ). 7. log = id ln ( > 0, ), speciálisn: ln = id Bizonyítás. Előző félévben igzoltuk z lábbi nevezetes htárértéket: log log (x) = lim t log x = t x t x x ln =, (, c > 0, ). id(x) ln Vgy másképp: z inverz függvény deriválási szbály lpján: log (x) = exp (log x) = exp (log x) ln = x ln = id(x) ln. 9
.4. ELEMI FÜGGVÉNYEK DERIVÁLTJA ELSŐ FEJEZET 8. sh = ch Bizonyítás. ( e sh x e x ) x = = (ex ) (e x ) 2 2 = ex + e x 2 = chx. 9. ch = sh Bizonyítás. Ugynúgy, mint fent HF. 0. th = ch 2 Bizonyítás. A hánydosfüggvény deriválási szbályából: th = ( ) sh = sh ch ch sh ch ch 2 = ch2 sh 2 ch 2 = ch 2.. cth = sh 2 Bizonyítás. Ugynúgy, mint fent HF. 2. rcsin x = x 2, x (,) Bizonyítás. Az inverz függvény deriválási szbály lpján: rcsin x = mivel cos ( π 2, π 2 ) > 0. sin (rcsin x) = cos(rcsin x) = =, sin 2 (rcsin x) x 2 3. rccos x = x 2, x (,) Bizonyítás. Ugynúgy, mint fent HF. 4. rctg x = +x 2, x R Bizonyítás. Az inverz függvény deriválási szbály lpján: rctg x = tg (rctg x) = cos2 (rctg x) = + tg 2 (rctg x) = + x 2. 5. rcctg x = +x 2, x R Bizonyítás. Ugynúgy, mint fent HF. 6. rsh x = x2 +, x R 0
ELSŐ FEJEZET.5. LOKÁLIS NÖVÉS, FOGYÁS, SZÉLSŐÉRTÉK Bizonyítás. Az inverz függvény deriválási szbály lpján: rsh x = sh (rsh x) = ch(rsh x) = =. + sh 2 (rsh x) + x 2 7. rch x = x2 (x > ) Bizonyítás. Ugynúgy, mint fent HF. 8. rth x = x 2, < x < Bizonyítás. Az inverz függvény deriválási szbály lpján: rth x = th (rth x) = ch2 (rth x) = th 2 (rth x) = x 2. 9. rcth x = x 2, x > Bizonyítás. Ugynúgy, mint fent HF..5. Lokális növekedés, fogyás és lokális szélsőérték.8. Definíció. Legyen f : R R, D(f). Azt mondjuk, hogy f lokálisn növő (fogyó) z pontbn, h K() D(f), hogy x K(), x < esetén f(x ) f() (f(x ) f()) és x 2 K(), x 2 > esetén f(x 2 ) f() (f(x 2 ) f()).9. Tétel. H f differenciálhtó -bn, és f z pontbn lokálisn növő (fogyó), kkor f () 0 (f () 0). Bizonyítás. A bizonyítást lokálisn növő esetre végezzük - lokálisn fogyó eset hsonlón meggondolhtó. Mivel f lokálisn nő z -bn, ezért K() D(f), hogy x K(), x esetén f(x) f() x (h x <, kkor x < 0 és f(x) f() 0, míg x > esetén x > 0 és f(x) f() 0). Az f differenciálhtó -bn, ezért 0 f(x) f() lim 0, zz f () 0. x x.20. Definíció. Az f függvény szigorún lokálisn növő (fogyó) -bn, h K() D(f), hogy x, x 2 K(), x < < x 2 esetén f(x ) < f() < f(x 2 ) (f(x ) > f() > f(x 2 )). H f differenciálhtó -bn és szigorún lokálisn nő z -bn, kkor ugyn x K(), x esetén de htárértékre f(x) f() x > 0, f(x) f() lim 0 x x mondhtó, így f () 0. Például z f : R R, f(t) := t 3 0-bn szigorún lokálisn nő, de f (0) = (t 3 ) t=0 = = 3t 2 t=0 = 0.
.6. KÖZÉPÉRTÉKTÉTELEK ELSŐ FEJEZET.2. Tétel. H f differenciálhtó -bn, és f () > 0 (f () < 0), kkor f szigorún lokálisn növő (fogyó) z pontbn. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy f () > 0. Mivel f differenciálhtó -bn, ezért z.4. Főtétel mitt F z -bn folytonos függvény, hogy x D(f) esetén f(x) f() = F (x) (x ). F () = f () > 0, ezért folytonos függvény jeltrtásáról szóló tétel mitt K() D(f) olyn, hogy x K() esetén F (x) > 0. Ezért x K(), x < esetén míg x 2 K(), x 2 > esetén Az f () < 0 eset hsonlón meggondolhtó. f(x ) f() = F (x ) (x ) < 0 f(x ) < f(), f(x 2 ) f() = F (x 2 ) (x 2 ) > 0 f(x 2 ) > f()..22. Definíció. Legyen f : R R, D(f). Azt mondjuk, hogy z f függvénynek z pontbn lokális minimum vn (vgy lokális minimumhelye f-nek), h K(), hogy x K() D(f) esetén f(x) f(). Szigorú lokális minimum kkor vn, h x K() D(f), x esetén f(x) > f(). Értelemszerű változttássl kpjuk lokális mximum (vgy lokális mximumhely) és szigorú lokális mximum foglmát. A minimum és mximum közös elnevezése szélsőérték..23. Tétel. H f differenciálhtó -bn, és z f függvénynek lokális szélsőértéke vn z pontbn, kkor f () = 0. Bizonyítás. H f () 0 lenne (például f () > 0), kkor f z -bn szigorún lokálisn növekedne, így nem lehetne lokális szélsőértéke -bn. Vigyázt! A fenti tétel csk szükséges feltételt d lokális szélsőérték létezésére, és nem megfordíthtó!.24. Péld. Tekintsük z f(x) = x 3 hozzárendeléssel dott függvényt. Mivel f (x) = 3x 2, ezért f (0) = 0, de f-nek nincs lokális szélsőértéke 0-bn..6. Középértéktételek.25. Definíció. Azt mondjuk, hogy f differenciálhtó z A D(f) hlmzon (jele f D(A)), h A esetén f differenciálhtó -bn. A fenti jelöléssel nlóg módon jelentse f C(A), hogy f folytonos -bn minden A esetén..26. Tétel (Rolle-tétel). H f C[, b], f D(, b), és f() = f(b), kkor c (, b) olyn, hogy f (c) = 0. Bizonyítás. H x [, b] esetén f(x) = f() = f(b), zz f konstnsfüggvény, kkor például c := +b 2 (, b) pontbn f (c) = 0. (A c másként is válszthtó!) H x 0 (, b), hogy f(x 0 ) f(), kkor z f C[, b] mitt Weierstrss-tétel szerint vn minimum és vn mximum is z f-nek, és leglább z egyiket nem z [, b] intervllum végpontjábn veszi fel, hnem z intervllum belsejében. Legyen ez pont c. Ekkor z.23. Tétel szerint f (c) = 0..27. Tétel (Cuchy-féle középértéktétel). Legyen f, g C[, b], f, g D(, b), és tegyük fel, hogy x (, b) esetén g (x) 0. Ekkor c (, b) olyn, hogy f(b) f() g(b) g() = f (c) g (c). Bizonyítás. H g(b) = g() lenne, kkor Rolle tétele mitt g z (, b) intervllum vlmelyik pontjábn 0 lenne, de f(b) f() ezt kizártuk. Így beszélhetünk z g(b) g() hánydosról. Legyen λ R, és tekintsük φ : [, b] R, φ(t) := f(t) λg(t) függvényt. Könnyű ellenőrizni, hogy λ := f(b) f() g(b) g() 2
ELSŐ FEJEZET.6. KÖZÉPÉRTÉKTÉTELEK esetén φ() = φ(b). Továbbá φ C[, b] és φ D(, b). Így Rolle-tétel szerint c (, b) olyn, hogy φ (c) = 0. Mivel φ (t) := f (t) λg (t) (t (, b)), ezért 0 = φ (c) = f (c) f(b) f() g(b) g() g (c), melyből g (c) 0 mitt következik. f(b) f() g(b) g() = f (c) g (c).28. Tétel (Lgrnge-féle középértéktétel). Legyen f C[, b], f D(, b). Ekkor c (, b) olyn, hogy f(b) f() b = f (c) Bizonyítás. Alklmzzuk Cuchy-féle középértéktételt g(t) := t függvényre..4. ábr. Lgrnge-féle középértéktétel.29. Tétel (Drboux-tétel). Legyen I nyílt intervllum, f D(I). Ekkor z f deriválfüggvény Drboux-tuljdonságú, vgyis bármely, b I, < b esetén h f () < u < f (b) (vgy f (b) < u < f ()), kkor létezik c (, b), melyre f (c) = u. Bizonyítás. Legyen [, b] I. Tegyük fel, hogy f () < u < f (b). Tekintsük g : I R, g(x) = f(x) u x függvényt! Nyilván g C[, b], ezért Weierstrss-tétel szerint g-nek vn minimum és vn mximum is z [, b] intervllumon. Megmuttjuk, hogy g-nek sem z -bn, sem b-ben nincs minimum. Ugynis g (x) = f (x) u, és g () = f () u < 0, ezért g -bn szigorún lokálisn fogyó, g (b) = f (b) u > 0, ezért g b-ben szigorún lokálisn nő. Ez zt jelenti, hogy g-nek z [, b] intervllum belsejében vn minimum, zz c (, b), hogy g-nek c-ben lokális szélsőértéke vn. Ekkor z.23. Tétel szerint g (c) = f (c) u = 0, zz f (c) = u. 3
.7. GLOBÁLIS MONOTONITÁS ELSŐ FEJEZET.7. A globális monotonitás szükséges és elégséges feltételei.30. Tétel. Legyen I R nyílt intervllum, f D(I), és x I esetén f (x) > 0 (f (x) < 0). Ekkor f szigorún monoton növő (fogyó) z I intervllumon. Bizonyítás. Legyen x, x 2 I, x < x 2. Az.28. Lgrnge-féle középértéktétel szerint c (x, x 2 ) olyn, hogy f(x 2 ) f(x ) x 2 x = f (c). H f (c) > 0, kkor x 2 x > 0 mitt f(x 2 ) f(x ) > 0, zz f(x ) < f(x 2 ). H f (c) < 0, kkor x 2 x > 0 mitt f(x 2 ) f(x ) < 0, zz f(x ) > f(x 2 ). A fenti tétel csk elégséges feltételt d differenciálhtó függvény szigorú monotonitásár..3. Péld. Tekintsük ismét z f(x) = x 3 hozzárendeléssel dott függvényt! Világos, hogy f szigorún monoton növő R-en, mégis f (0) = 0. Függvény (nem feltétlenül szigorú) monotonitásr dhtó szükséges és elégséges feltétel..32. Tétel. Legyen I R nyílt intervllum, f D(I). Ekkor z lábbi állítások ekvivlensek: (i) f monoton növő (fogyó) I-n; (ii) minden x I esetén f (x) 0 (f (x) 0). Bizonyítás. (i) (ii) : H f monoton növő I-n, kkor tetszőleges t, x I, t x esetén Ezért bármely x I pontr f(t) f(x) t x 0. f f(t) f(x) (x) = lim 0. t x t x A monoton fogyó eset hsonlón láthtó. (ii) (i) : Az előző tétel bizonyításávl nlóg módon igzolhtó z.28. Lgrnge-féle középértéktétel segítségével..33. Definíció. Legyen int D(g). H létezik δ > 0, hogy g() = 0, g ( δ,) 0 és g (,+δ) 0 vgy fordítv, kkor zt mondjuk, hogy g előjelet vált -bn. Másképpen: g előjelet vált -bn, h g() = 0 és g lokálisn növő vgy fogyó 0-bn..34. Állítás. Legyen I R nyílt intervllum, f D(I) és I. H f előjelet vált -bn, kkor f-nek lokális szélsőértéke vn -bn. Mégpedig, h létezik δ > 0, hogy f ( δ,) 0 és f (,+δ) 0, kkor lokális mximumhely, h f ( δ,) 0 és f (,+δ) 0, kkor lokális minimumhely. Bizonyítás. Az előző tételből dódik. Az utóbbi állításhoz hsonló módon foglmzhtó meg intervllumon differenciálhtó függvény szigorú lokális szélsőértékhelyére vontkozó szükséges és elégséges feltétel ezt z olvsór bízzuk. A középértéktételek következménye z is, hogy intervllumon differenciálhtó függvény pontosn kkor konstns, h deriválj 0..35. Állítás. Legyen I R nyílt intervllum, f D(I). Ekkor ekvivlenesek: (i) Létezik c R olyn, hogy x I esetén f(x) = c zz f konstns z I intervllumon. (ii) Minden x I esetén f (x) = 0. 4
ELSŐ FEJEZET.8. KONVEX ÉS KONKÁV FÜGGVÉNYEK Bizonyítás. (i) (ii) : Triviális. (ii) (i) : Legyen x, x 2 I, x < x 2. Az.28. Lgrnge-féle középértéktétel szerint c (x, x 2 ) olyn, hogy f(x 2 ) f(x ) x 2 x = f (c) = 0, zz f(x ) = f(x 2 )..36. Megjegyzés. A tétel intervllumon differenciálhtó függvényről szól. Például z f : (0,) (2,3) R {, h 0 < x < f(x) := 2, h 2 < x < 3 függvényre x (0,) (2,3) esetén f (x) = 0, de függvény mégsem konstnsfüggvény..8. Konvex és konkáv függvények.37. Definíció. Legyen I R intervllum, f : I R. Azt mondjuk, hogy f konvex függvény, h x, y I és t [0,] esetén f(tx + ( t)y) t f(x) + ( t) f(y) (ld. z.5. ábrát). Az f konkáv függvény, h ( f) konvex, zz z egyenlőtlenségben áll..5. ábr. Konvex függvény.38. Feldt. Azt mondjuk, hogy f kielégíti Jensen-egyenlőtlenséget I-n, h ( ) x + x 2 f f(x ) + f(x 2 ), x, x 2 I. 2 2 Igzoljuk, hogy h f kielégíti Jensen-egyenlőtlenséget és folytonos I-n, kkor konvex I-n!.39. Definíció. Tetszőleges f : R R, x, x 2 D(f), x < x 2 esetén jelölje l x,x 2 (x) := f(x ) + f(x 2) f(x ) x 2 x (x x ), x R. (.6) Az l x,x 2 függvény grfikonj éppen z (x, f(x )) és (x 2, f(x 2 )) pontokon átmenő egyenes (z f egy szelője). Az (.6) jelöléssel világos, hogy f konvexitás éppen zt jelenti, hogy tetszőleges x, x 2 I, x < x 2 esetén f(x) l x,x 2 (x), x [x, x 2 ]. (.7) 5
.8. KONVEX ÉS KONKÁV FÜGGVÉNYEK ELSŐ FEJEZET 2.5 (x 2, f(x 2 )) 2.5 s 0 s s (x, f(x)) 0.5 (x, f(x )) 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8.2.4.6.8.6. ábr. Konvex függvény s, s 0, s meredekségű szelői.40. Tétel. Legyen I R nyílt intervllum, f D(I). Ekkor z lábbi állítások ekvivlensek: (i) f konvex (konkáv) I-n; (ii) f monoton növő (fogyó) I-n. Bizonyítás. (i) (ii) : Legyen x, x 2 I, x < x 2 tetszőleges. A megfelelő szelők meredekségeiről könnyen láthtó (ld. z.6. ábrát), hogy s = f(x) f(x ) x x s 0 = f(x 2) f(x ) x 2 x Ebből x x ill. x x 2 htárátmenetet véve kpjuk, hogy s = f(x 2) f(x), x (x, x 2 ). x 2 x f (x ) f(x 2) f(x ) x 2 x f (x 2 ) = f (x ) f (x 2 ), tehát f monoton növő. (ii) (i) : Tegyük fel, hogy f monoton növő, és legyenek dv x, x 2 I, x < x 2. A fenti (.6) definícióból jelölje z egyszerűség kedvéért l := l x,x 2. Vezessük be z r : I R, függvényt! Az (.7) lpján zt kell megmuttni, hogy Nyilván r D(I), ezért z.26. Rolle-tétel szerint Mivel x I esetén r := f l r(x) 0, x [x, x 2 ] (.8) r(x ) = f(x ) l(x ) = 0 és r(x 2 ) = f(x 2 ) l(x 2 ) = 0, c (x, x 2 ) : r (c) = 0. r (x) = f (x) l (x) = f (x) f(x 2) f(x ) x 2 x, ezért f monoton növekedéséből következik, hogy tőle egy konstnsbn különböző r is monoton növő. Mivel r (c) = 0, ezért x (x, c) esetén r (x) 0 6
ELSŐ FEJEZET.8. KONVEX ÉS KONKÁV FÜGGVÉNYEK x (c, x 2 ) esetén r (x) 0. Ez zt jelenti, hogy z r függvény z (x, c) intervllumon fogyó, (c, x 2 ) intervllumon pedig növő. Figyelembe véve, hogy r(x ) = r(x 2 ) = 0, kpjuk, hogy x [x, x 2 ] esetén r(x) 0. Ez éppen (.8), tehát z f konvex z I intervllumon. Meggondolhtó, hogy fenti feltételek bármelyike ekvivlens zzl, hogy z f függvény érintője minden pontbn függvény grfikonján vgy ltt helyezkedik el (ld. z.5. ábrát)..4. Feldt. Igzoljuk, hogy h f konvex z I nyílt intervllumon, kkor folytonos is I-n, továbbá megszámlálhtó sok pont kivételével differenciálhtó I-ben!.42. Definíció. Legyen I nyílt intervllum, f : I R. Azt mondjuk, hogy f kétszer differenciálhtó z I pontbn, h f differenciálhtó z egy környezetében és z ott létező f differenciálhtó -bn vgyis int D(f ) és f differenciálhtó -bn. f kétszer differenciálhtó z I intervllumon, h f D(I) és f D(I). Jele: f D 2 (I)..43. Tétel. Legyen f D 2 (I). Ekkor ekvivlensek:. f konvex (konkáv) I-n; 2. x I esetén f (x) 0 (f (x) 0). Bizonyítás. Az.32. és z.40. Tételből következik..44. Definíció. Legyen f : R R, int D(f). Tegyük fel, hogy f differenciálhtó -bn. Azt mondjuk, hogy z pont z f függvénynek inflexiós pontj (vgy f-nek inflexiój vn -bn), h létezik δ > 0 olyn, hogy f ( δ,] konvex és f [,+δ) konkáv, vgy fordítv. Vgyis röviden, h f differenciálhtó -bn és f z -bn konvexitást vált..45. Megjegyzés. Sok tnkönyvben fenti definíció helyett z áll, hogy z pont inflexiós pontj f-nek, h f differenciálhtó -bn, és függvény grfikonj z pont előtt és után pontbeli érintő ellentétes oldlán helyezkedik el. Könnyen meggondolhtó, hogy z áltlunk kimondott definíció ennek egy speciális esete..46. Tétel. Legyen f D(I) és f kétszer differenciálhtó z I pontbn. H z z f függvénynek inflexiós pontj, kkor f () = 0. Bizonyítás. Indirekt módon, tegyük fel, hogy f () 0, például f () > 0. Ekkor z.2. Tétel szerint f szigorún lokálisn növő -bn. Ebből következik, hogy nem lehet, hogy f z pont egyik oldli környezetében monoton nő, másikbn monoton fogy, vgyis z.40. Tétel mitt f-nek nem lehet inflexiój -bn. Ez ellentmondás, tehát f () = 0..47. Tétel. Legyen f D 2 (I), I. Ekkor ekvivlensek: (i) f-nek z pont inflexiós pontj; (ii) f előjelet vált -bn. Bizonyítás. A definíciók, vlmit z előző és z.43. Tétel következménye. Megjegyezzük, hogy h z f függvény egy I intervllumon elsőfokú polinom, zz A, B R olyn, hogy x I esetén f(x) = Ax + B, kkor f konvex és konkáv is z I bármely részintervllumán, ezért z I intervllum minden pontjábn inflexiój vn z f függvénynek. A második derivált előjele szélsőértékhely létezésére d szükséges és elégséges feltételt..48. Tétel. Legyen f D(I) és f kétszer differenciálhtó z I pontbn. Tegyük fel, hogy f () = 0. H f () > 0 (f () < 0), kkor f-nek lokális minimum (mximum) vn -bn. Bizonyítás. Legyen f () > 0. Az.2. Tétel szerint f szigorún lokálisn növő -bn. Mivel f () = 0, ezért δ > 0, hogy f ( δ,) < 0 és f (,+δ) > 0. Tehát z.30. Tétel mitt f z ponttól blr szigorún monoton fogyó, jobbr szigorún monoton növő így lokális minimum vn -bn. Az f () < 0 eset hsonlón meggondolhtó. 7
.9. TAYLOR-POLINOM, TAYLOR-FORMULA ELSŐ FEJEZET Hogyn hsználhtjuk z eddigi eredményeket differenciálhtó függvények menetének vizsgáltához? Érdemes gykorltokon konkrét feldtok megoldásábn végigkövetni z lábbi lépéseket!. Elkészítjük z f deriváltfüggvényt. 2. Megkeressük z f zérushelyeit (illetve zokt pontokt, hol f előjelet váltht). 3. Kiszámítjuk z f második deriváltt. 4. Megkeressük z f zérushelyeit (illetve zokt pontokt, hol f előjelet váltht). 5. A függvény értelmezési trtományát z f, z f zérushelyei (illetve lehetséges előjelváltási helyei) nyílt intervllumokr szbdlják. Ezeken z intervllumokon megállpítjuk deriváltk előjelét, miből monotonitási és lki viszonyokr következtetünk (kétszer folytonosn differenciálhtó függvény esetén). Áttekinthetővé válik vizsgált egy táblázt elkészítésével. 6. Néhány támpontot kiszámolunk. H vnnk, kiszámoljuk lokális mximum és minimum értékeit, függvény htárértékét (esetleg jobb oldli és bl oldli htárértékét) minden olyn pontbn, mely z értelmezési trtomány olyn torlódási pontj, melyben nincs értelmezve függvény. 7. Vázoljuk függvény menetét..9. Tylor-polinom, Tylor-formul.9.. Motiváció Láttuk egy függvény első és második deriváltjánk szerepét. Ezek áltlánosításként vezessük be mgsbb rendű deriváltkt..49. Definíció. H f differenciálhtó -bn, kkor f () := (f ) (). H f differenciálhtó -bn, kkor f := (f ) ().. H f (k) differenciálhtó -bn, kkor f (k+) () := (f (k) ) (), k =,2,.... Ily módon definiálhtók megfelelő f (k) deriváltfüggvények is, k =,2,... Megjegyezzük, hogy vesszőkkel csk z első három deriváltt szoktuk jelölni, tehát f () := f, f (2) := f, f (3) := = f. Néh z f (0) := f megállpodás is hsznos. Azt mondjuk, hogy f kárhányszor differenciálhtó -bn (vgy végtelen sokszor differenciálhtó -bn), h minden k N esetén létezik f (k) (). Az elég sim függvényeket jól közelíthetjük polinomokkl. Azt már láttuk, hogy h f differenciálhtó -bn, kkor z (.2) egyenletű e (x) := f() + f () (x ) (x R) érintőre e () = f(); továbbá e (x) = f (), így e () = f (), zz z e -nk és z f-nek z -beli deriváltj is megegyezik. Láthtó z is, hogy f(x) e (x) f(x) (f() + f () (x )) f(x) f() lim = lim = lim f () = 0, x x x x x x mi zt fejezi ki, hogy z e érintőfüggvény olyn közelítése z f függvénynek, hogy h z f(x) e (x) különbséget (x )-vl elosztjuk, még ez hánydos is 0-hoz közeli, h x közel vn z -hoz. Az e érintőfüggvény csk egy legfeljebb elsőfokú polinom (egyenes egyenlete). Milyen legyen z mgsbb fokú polinom, mely még pontosbb közelítést lehetővé teszi? 8
ELSŐ FEJEZET.9. TAYLOR-POLINOM, TAYLOR-FORMULA Legyen P (x) := 3 2x + 4x 2 5x 3. Ekkor P (0) = 3. P (x) = 2 + 8x 5x 2, P (0) = 2, P (x) = 8 30x, P (0) = 8, P (x) = 30, P (0) = 30. Könnyen ellenőrizhető, hogy minden x R esetén P (x) = P (0) + P (0)x + P (0) 2! x 2 + P (0) x 3, 3! zz egy polinomot igen jól közelítettünk (ebben z esetben pontosn előállítottunk) egy olyn polinomml, melynek együtthtói függvény mgsbbrendű deriváltji egy pontbn (most ez pont 0 volt), elosztv derivált rendjének fktoriálisivl..9.2. Tylor-polinom és Tylor-formul.50. Definíció. Legyen f z pontbn n-szer differenciálhtó függvény. Definiálj T n, : R R, T f n,(x) = T n, (x) := f() + f () (x ) + f () 2! z f függvény ponthoz trtozó n. Tylor-polinomját. Könnyen ellenőrizhető, hogy Továbbá, T, = e. (x ) 2 +... + f (n) () (x ) n (.9) n! T n, () = f(), T n,() = f (), T n,() = f (),..., T (n) n, () = f (n) (). (.0).5. Feldt. Tegyük fel, hogy egy legfeljebb n-edfokú p polinomr teljesül. Igzoljuk, hogy ekkor p = T n,! p() = f(), p () = f (), p () = f (),..., p (n) () = f (n) () A következő tétel segítségével meg lehet becsülni, hogy z n-ed fokú Tylor-polinom mennyire jól közelíti függvényt..52. Tétel (Tylor-formul Lgrnge-féle mrdéktggl). Legyen f : R R, D(f). Tegyük fel, hogy K() D(f), hogy f n + -szer differenciálhtó K()-bn. Legyen x K() tetszőleges. Ekkor létezik olyn c = c(x) z és z x között, hogy f(x) = T n, (x) + f (n+) (c) (n + )! (x )n+. (.) Bizonyítás. Legyenek r, p : K() R z lábbi módon definiálv: r(t) := f(t) T n, (t), p(t) := (t ) n+. Az (.0)-ből, vlmint egyszerű számolássl következik, hogy Másrészt t esetén p(t) 0, r() = r () = r () = = r (n) () = 0, p() = p () = p () = = p (n) () = 0. p (t) = (n + ) (t ) n 0, p (t) = (n + ) n (t ) n 0,. p (n) (t) = (n + )! (t ) 0, p (n+) (t) = (n + )!. 9
.9. TAYLOR-POLINOM, TAYLOR-FORMULA ELSŐ FEJEZET Legyen x K() tetszőleges. Tegyük fel, hogy x >. Alklmzzuk z.27. Cuchy-féle középértéktételt z [, x] intervllumon z r és p függvényekre! Mivel t (, x) esetén p (t) 0, zért c (, x) olyn, hogy r(x) r(x) r() = p(x) p(x) p() = r (c ) p (c ). (.2) Ismét z.27. Cuchy-féle középértéktételt lklmzv z [, c ] intervllumon z r és p függvényekre zt kpjuk, hogy c 2 (, c ) olyn, hogy r (c ) p (c ) = r (c ) r () p (c ) p () = r (c 2 ) p (c 2 ). (.3) Ezt lépést még (n )-szer lklmzv, z utolsó esetben c n+ (, c n ) olyn, hogy r (n) (c n ) p (n) (c n ) = r(n) (c n ) r (n) () p (n) (c n ) p (n) () = r(n+) (c n+ ) p (n+) (c n+ ) = f (n+) (c n+ ). (.4) (n + )! (Nyilván T n, legfeljebb n-edfokú polinom, ezért T (n+) n, már zonosn 0.) Összefogllv z (.2) (.4) lépéseket: ezért c := c n+ (, x) válsztássl mi éppen (.). f(x) T n, (x) (x ) n+ = r(x) p(x) = r (c ) p (c ) =... = r(n+) (c n+ ) p (n+) (c n+ ) = f (n+) (c n+ ), (n + )! f(x) T n, (x) = f (n+) (c) (n + )! (x )n+,.53. Következmény. H fenti tétel feltételei mellett még zt is feltesszük, hogy f (n+) korlátos K()-n, kkor Bizonyítás. A tétel szerint létezik c = c(x), hogy felhsználv f (n+) korlátosságát. f(x) T n, (x) lim x (x ) n = 0. f(x) T n, (x) (x ) n = f (n+) (c) (x ) 0, x, (n + )!.54. Megjegyzés. Az előbbi következmény kkor is igz, h f-ről csk nnyit teszünk fel, hogy n-szer differenciálhtó -bn. Ekkor bizonyítás nehezebb..55. Következmény. Legyen D(f) = I intervllum, f kárhányszor differenciálhtó z I intervllum belsejében, vlmint legyen, x int I rögzítve. H tlálhtó K = K(x) 0, hogy minden y számr és x között f (n) (y) K(x), n N, kkor ( f(x) = lim T n,(x) = lim f() + f ()(x ) +... + f (n) ) () (x ) n = n n n! Bizonyítás. A feltétel szerint z (.) Tylor-formul mrdéktgjár minden rögzített x esetén f(x) T n, (x) = f (n+) (c) (x )n+ (n + )! K (n + )! x n+ 0, n b teljesül, felhsználv, hogy lim n n n! = 0 tetszőleges b R esetén. Ebből z állítás dódik. 20 f (n) () (x ) n. n!
ELSŐ FEJEZET.9. TAYLOR-POLINOM, TAYLOR-FORMULA.56. Definíció. A fenti tételben kpott végtelen sort z dott f függvény pont körüli Tylor-sor ánk nevezzük. A következőkben megdjuk legfontosbb elemi függvények Tylor-sorát..57. Tétel. A következő sorfejtések érvényesek z = 0 pont körül: f (n) () (x ) n (.5) n! x = x n < x <, e x x n = n! x R, sin x = ( ) n x2n+ (2n + )! x R, cos x = ( ) n x2n (2n)! x R, x 2n+ sh x = (2n + )! x R, x 2n ch x = (2n)! x R. Bizonyítás. Az x = xn egyenlőség x < esetén tnult mértni sorösszegből következik. Másrészt könnyen láthtó, hogy ( ) (n) ( ) (n) n! = id ( id) n+ (0) = n!, id tehát sor vlóbn egy (.5) lkú Tylor-sor. Ellenőrizzük most z együtthtók helyességét többi függvény esetén! exp (n) (0) = e 0 =, sin 0 = 0, n = 4k; sin (n) cos 0 =, n = 4k + ; (0) = sin 0 = 0, n = 4k + 2; cos 0 =, n = 4k + 3, cos 0 =, n = 4k; cos (n) sin 0 = 0, n = 4k + ; (0) = cos 0 =, n = 4k + 2; sin 0 = 0, n = 4k + 3, { sh (n) sh 0 = 0, n = 2k; (0) = ch 0 =, n = 2k +, { ch (n) ch 0 =, n = 2k; (0) = sh 0 = 0, n = 2k +. 2
.0. L HOSPITAL-SZABÁLY ELSŐ FEJEZET Ebből Tylor-sorok lkj dódik - csk konvergenci mrdt kérdéses. Ennek igzolásár z.55. Következmény teljesülését fogjuk megmuttni fenti függvényekre. Legyen = 0 és x rögzítve z dott függvények értelmezési trtományából. Ekkor 0 és x közé eső minden y esetén exp (n) (y) = e y e x =: K, sin (n) (y) =: K, cos (n) (y) =: K, sh (n) (y) ch(x) =: K, ch (n) (y) ch(x) =: K..0. L Hospitl-szbály 0 A L Hospitl-szbály 0 és lkú függvényhtárértékek kiszámításához d segítséget..58. Tétel (L Hospitl-szbály). Legyen f, g D(α, β) (hol α, β = ± is lehet). Legyen [α, β]. Tegyük fel, hogy lim f = lim g = 0 vgy lim g = + vgy. Ekkor h létezik lim f g, kkor létezik lim f g is, és lim f g = lim f g. Bizonyítás. Abbn speciális esetben végezzük el bizonyítást, mikor (α, β), f() = g() = 0. Jelölje lim f g =: L R. Ekkor htárérték definíciój szerint ε > 0 számhoz δ > 0, hogy x K δ () (α, β), x esetén f (x) g (x) K ε(l). Legyen x K δ () tetszőleges, x. Az f és g függvényekre z.27. Cuchy-féle középértéktételt lklmzv [, x]-en (vgy [x, ]-n) kpjuk, hogy c K δ () z és x között, hogy Így f(x) f(x) f() = g(x) g(x) g() = f (c) g (c). f(x) g(x) = f (c) g (c) K ε(l) is teljesül, miből htárérték definíciój lpján következik, hogy lim f g = L. 22
ELSŐ FEJEZET.0. L HOSPITAL-SZABÁLY.59. Péld. A L Hospitl-szbállyl számítsuk ki cos x cos 3x lim x 0 x 2 htárértéket. Mind számláló, mind nevező 0-bn 0, ezért deriváltk hánydosánk htárértékét elég kiszámítni. (cos x cos 3x) sin x + 3 sin 3x lim x 0 (x 2 ) = lim = x 0 2x 2 lim sin x x 0 x + 3 2 lim sin 3x x 0 x = 2 + 9 2 lim x 0 sin 3x 3x = 2 + 9 2 = 4. Így cos x cos 3x lim x 0 x 2 = 4. A deriváltk hánydosánk htárértékét szintén számolhttuk voln L Hospitl-szbállyl: sin x + 3 sin 3x cos x + 9 cos 3x lim = lim = + 9 = 4. x 0 2x x 0 2 2 Ez z okoskodás zonbn frkáb hrpó kígyó -jellegű, hiszen sin deriváltjánk meghtározáskor (ld. 9. oldlt) sin x éppen lim x 0 x = nevezetes htárértéket hsználtuk fel (mit z előző félévben igzoltunk)... Sjnos, még L Hospitl szbályok sem tudnk minden kritikus htárérték-feldtr könnyű válszt dni..60. Péld. Mennyi htárérték? H deriváltkt nézzük, kkor h ezek deriváltjit vizsgáljuk, kkor sh(x + 2) lim x sh(x 2) lim sh(x + 2) = lim sh(x 2) = +. x x lim ch(x + 2) = lim ch(x 2) = +, x x lim sh(x + 2) = lim sh(x 2) = +, x x és így tovább. Tehát nem kpjuk meg htárértéket L Hospitl szbály lklmzásávl. Megjegyezzük, hogy sh(x + 2) lim x sh(x 2) = lim e x+2 e (x+2) e 2 e 2 e = lim 2x = e 4, x e x 2 e (x 2) x e 2 e2 e 2x mit kár deriváltk hánydosink htárértékéből is kiszámíthttuk voln... 23
.0. L HOSPITAL-SZABÁLY ELSŐ FEJEZET 24
Második fejezet Integrálszámítás 2.. Riemnn-integrál 2... A Riemnn-integrál definíciój A Riemnn-integrál lényege: függvény grfikonj és vízszintes tengely áltl htárolt síkidom területe. A terület mtemtiki foglm: olyn T : M [0, + ) függvény, hol M sík mérhető részhlmzit jelöli, és következő xiómák teljesülnek: Terület-xiómák.. H H tégllp, oldlhosszi és b, kkor H M és T (H) = b; 2. H H, H 2 M és H H 2, kkor T (H ) T (H 2 ) (monotonitás); 3. H H, H 2 M, és vn olyn e egyenes, hogy z e áltl htárolt félsíkok egyike trtlmzz H -et, másik H 2 -t, kkor H H 2 M és T (H H 2 ) = T (H ) + T (H 2 ); 4. H sík egy B részhlmz teljesíti következő feltételt: minden ε > 0 esetén léteznek olyn A, C M hlmzok, hogy A B C és T (C) T (A) < ε, kkor B M. 2.. Definíció. Legyen [, b] korlátos és zárt intervllum, és válsszunk vlmely n N esetén x i, i = 0,..., n osztópontok t z lábbi módon: = x 0 < x < x 2 < x n = b. Az [, b] intervllum egy felosztás Φ = {I,..., I n } véges intervllumrendszer, hol I i = [x i, x i ], i =,..., n. Az [, b] intervllum felosztásink hlmzát jelölje F[, b]. I i x 0 = x x i x i b = x n 2.. ábr. Az [, b] intervllum egy felosztás 2.2. Definíció. Legyen Φ F[, b] és Ψ F[, b] felosztások egyesítése (vgy közös finomítás) z Φ Ψ-vel jelölt felosztás, melyet úgy kpunk, hogy Φ osztópontjihoz hozzávesszük Ψ osztópontjit (vgy fordítv), és z így kpott új osztóponthlmzhoz trtozó intervllumrendszert tekintjük. 25
2.. RIEMANN-INTEGRÁL MÁSODIK FEJEZET 2.3. Definíció. Adott f : [, b] R korlátos függvény és Φ = {I,..., I n } F[, b] felosztás esetén definiálj Φ felosztáshoz trtozó lsó közelítőösszeget felső közelítőösszeget hol I i := x i x i z I i intervllum hossz. s f (Φ) := S f (Φ) := n ( i= n ( i= inf f I i sup f I i ) I i, ) I i, f x 0 = x x 2 x n b = x n 2.2. ábr. Egy felső közelítőösszeg 2.4. Állítás. Tetszőleges f : [, b] R korlátos függvény és Φ F[, b] esetén Bizonyítás. sup Ii f = inf Ii ( f). S f (Φ) = s f (Φ). 2.5. Megjegyzés. Világos, hogy tetszőleges f : [, b] R korlátos függvény és Φ F[, b] esetén Bizonyítás. Minden i esetén inf Ii f sup Ii f. s f (Φ) S f (Φ). 2.6. Tétel. Legyen f : [, b] R korlátos függvény. Ekkor bármely Φ, Ψ F[, b] felosztások esetén Bizonyítás. Megmuttjuk, hogy bármely Φ, Ψ F[, b] felosztások esetén s f (Φ) S f (Ψ). (2.) s f (Φ) s f (Φ Ψ) S f (Φ Ψ) S f (Ψ), (2.2) miből (2.) nyilván következik. A 2. egyenlőtlenség 2.5. Megjegyzés lpján nyilvánvló. A következőkben zt bizonyítjuk, hogy h Θ F[, b] olyn felosztás, melyet Φ-ből úgy nyerünk, hogy EGY új osztópontot hozzáveszünk, kkor s f (Φ) s f (Θ). (2.3) Ebből z osztópontok számár vontkozó teljes indukcióvl következik z első egyenlőtlenség (2.2)-ben. A 3. egyenlőtlenség bizonyításához pedig lklmzzuk ezt f helyett f függvényre, és hsználjuk fel 2.4. Állítást, miből S f (Φ Ψ) S f (Ψ) s f (Φ Ψ) s f (Ψ). 26
MÁSODIK FEJEZET 2.. RIEMANN-INTEGRÁL 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0. 0 =x 0 x x 2 x i x i u x i+ x i+2 x n x n =b 2.3. ábr. Az u osztópont hozzávételével változó lsó közelítőösszeg Legyen tehát Θ F[, b] olyn felosztás, melyet Φ-ből úgy nyerünk, hogy nnk x i és x i+ osztópontji közé felveszünk még egy u osztópontot, vgyis Θ osztópontji = x 0 < x < < x i < u < x i+ < < x n = b. A (2.3) egyenlőtlenség két oldláról z zonos tgokt elhgyv zt kell belátnunk, hogy ( ) ( ) ( ) inf f (x i+ x i ) inf f (u x i ) + inf f (x i+ u). [x i,x i+] [x i,u] [u,x i+] Mivel inf [xi,x i+] f inf [xi,u] f és inf [xi,x i+] f inf [u,xi+] f (kisebb hlmzon vett infimum ngyobb vgy egyenlő, mint ngyobb hlmzon vett), ezért ( inf f [x i,u] így z állítást beláttuk. ) ( (u x i ) + inf f [u,x i+] ) ( (x i+ u) inf f [x i,x i+] ( = inf f [x i,x i+] ) ((u x i ) + (x i+ u)) ) (x i+ x i ), 2.7. Következmény. A {s f (Φ) : Φ F[, b]} és {S f (Φ) : Φ F[, b]} hlmzok közül bl oldli hlmz minden eleme kisebb vgy egyenlő jobb oldli hlmz minden eleménél. Ebből z is következik, hogy z első hlmz felülről, második lulról korlátos. 2.8. Definíció. Definiálj z f : [, b] R korlátos függvény Drboux-féle lsó integrálját f := sup {s f (Φ) : Φ F[, b]}, (2.4) és Drboux-féle felső integrálját b f := inf {S f (Φ) : Φ F[, b]}. (2.5) A 2.7. Következmény lpján f b f. (2.6) 27
2.. RIEMANN-INTEGRÁL MÁSODIK FEJEZET 2.9. Definíció. Egy korlátos f : [, b] R függvényt Riemnn-integrálhtónk mondunk, h f = b f. H f Riemnn-integrálhtó, kkor z lsó és felső Drboux-integrálok közös értékét f Riemnn-integráljánk nevezzük, és z lábbi módon jelöljük: f vgy f(x) dx. 2.0. Péld. A Dirichlet-függvény nem Riemnn-integrálhtó [0,]-en. Bizonyítás. Könnyen láthtó, hogy bármely Φ F[0,] esetén s D (Φ) = 0 és S D (Φ) =, tehát 0 D = 0 < 0 D =. 2.. Péld. Az f(x) = x 2 függvény Riemnn-integrálhtó [0,]-en és 0 x 2 dx = 3. Bizonyítás. Rögzített n N esetén legyen Φ n felosztás z z intervllumrendszer, mit osztópontok htároznk meg. Ekkor s f (Φ n ) = S f (Φ n ) = { 0, n, 2 n,..., n } n, n ( i i= n i= ) 2 (n ) n (2n ) = n 6n 3, n ( ) 2 i n (n + ) (2n + ) = n n 6n 3, tehát s f (Φ n ) 3 és S f (Φ n ) 3, h n. Ebből könnyen láthtó, hogy f(x) = x2 Riemnn-integrálhtó [0,]-en, és Riemnn-integrálj 3. 2.2. Péld. A c-vel jelöl konstns c függvény Riemnn-integrálhtó tetszőleges [, b]-n, és c = c (b ). Bizonyítás. Könnyen láthtó, hogy tetszőleges Φ F[, b] esetén s c (Φ) = S c (Φ) = c (b ), miből z állítás dódik. 28
MÁSODIK FEJEZET 2.. RIEMANN-INTEGRÁL Világos, hogy kevés, csk ngyon speciális függvénynek tudjuk fenti módon kiszámítni Riemnn-integrálját. Ezért szükségünk lesz Riemnn-integrálhtóság egy jól hsználhtó kritériumár. A továbbikbn jelölje R[, b] := {f : [, b] R : f Riemnn-integrálhtó}. A kritérium megfoglmzásához vezessük be egy függvény dott felosztáshoz trtozó oszcillációs összegének foglmát! 2.3. Definíció. H Φ F[, b], kkor z Ω f (Φ) := S f (Φ) s f (Φ) = = n ( i= sup I i ) f inf f I i I i n (sup { f(x) f(y) : x, y I i }) I i = számot z f függvény Φ felosztáshoz trtozó oszcillációs összegének nevezzük. Az i= z f függvény oszcillációj z I i intervllumon. ω f (I i ) = sup f inf f = sup {f(x) f(y) : x, y I i } I i I i n ω f (I i ) I i 2.4. Állítás. H Φ, Ψ F[, b] tetszőleges felosztások, f : [, b] R korlátos függvény, kkor Bizonyítás. A (2.2) egyelőtlenségből következik. Ω f (Φ Ψ) Ω f (Φ). 2.5. Tétel (Leghsznosbb kritérium Riemnn-integrálhtóságr). Egy korlátos f : [, b] R függvény pontosn kkor Riemnn-integrálhtó, vgyis f R[, b] pontosn kkor, h minden ε > 0 számhoz létezik olyn Φ = Φ(ε) F[, b] felosztás, melyre Ω f (Φ) < ε. Bizonyítás.. irány: Tegyük fel, hogy f Riemnn-integrálhtó, és legyen ε > 0 rögzítve. A 2.9. Definíció szerint tudjuk, hogy f = A 2.8. Definíció lpján létezik olyn Φ F[, b], hogy b f = f. i= s f (Φ ) > és létezik Φ 2 F[, b], hogy S f (Φ 2 ) < Ezekből, (2.2) felhsználásávl kpjuk, hogy b f ε 2, f + ε 2. f ε 2 = b f ε 2 < s f (Φ ) s f (Φ Φ 2 ) S f (Φ Φ 2 ) S f (Φ 2 ) < 29 b f + ε 2 = b f + ε 2,
2.. RIEMANN-INTEGRÁL MÁSODIK FEJEZET miből Φ := Φ Φ 2 válsztássl Ω f (Φ) = S f (Φ) s f (Φ) < f + ε b 2 ( f ε 2 ) = ε. 2. irány: Tegyük fel indirekt, hogy tétel állításábn szereplő feltétel teljesül minden pozitív ε-r, de Legyen ε := b f < f b f. f > 0, és válsszunk ε-hoz Φ F[, b] felosztást úgy, hogy Ω f (Φ) < ε. Ekkor Ebből viszont mi ellentmondás. s f (Φ) f < b f S f (Φ) = s f (Φ) + Ω f (Φ) < s f (Φ) + ε. ε = s f (Φ) + ε s f (Φ) > b f f, Most nézzük meg, mi volt Riemnn eredeti definíciój fenti integrálfoglomr! A definíció bizonyos értelemben hsonlítni fog mi leghsznosbb kritériumunkhoz. Mese: Az integrálhtóság Riemnn-féle eredeti definíciój 2.6. Definíció. H Φ = {I,..., I n } F[, b] egy felosztás, kkor definiálj Φ finomságát Φ := mx { I i : i =,..., n}. 2.7. Definíció. Legyen Φ F[, b], Φ = {I,..., I n } felosztás, és ξ = (ξ,..., ξ n ) R n tetszőleges, Φ felosztásr illeszkedő vektor, vgyis ξ i I i, i =,..., n, jelölésben: ξ Φ. ξ ξ i ξ n x 0 = x x i x i x n b = x n 2.4. ábr. Felosztásr illeszkedő vektor Ekkor n σ f (Φ, ξ) := f(ξ i ) I i számot z f függvény (Φ, ξ) párhoz trtozó Riemnn-összegének nevezzük. 2.8. Megjegyzés. Tetszőleges Φ F[, b] és ξ Φ vektor esetén s f (Φ) σ f (Φ, ξ) S f (Φ). i= 30
MÁSODIK FEJEZET 2.. RIEMANN-INTEGRÁL f ξ ξ 2 ξ n b 2.5. ábr. Egy Riemnn-összeg 2.9. Definíció (Az integrálhtóság Riemnn-féle kritérium). Legyen f : [, b] R. Ekkor zt mondjuk, hogy f Riemnn-integrálhtó [, b]-n és f = A, h minden ε > 0 számhoz létezik olyn δ > 0, hogy minden Φ F[, b], Φ < δ felosztás, és minden ξ Φ esetén σ f (Φ, ξ) A < ε. 2.20. Megjegyzés. A definícióból következik f korlátosság. [, b]-n. A Heine-tétel felhsználásávl láthtó be, hogy minden folytonos függvény Riemnn-integrálhtó. 2.2. Tétel. C[, b] R[, b], vgyis minden, z [, b] intervllumon folytonos függvény Riemnn-integrálhtó [, b]-n. Bizonyítás. Legyen f C[, b]. A 2.5. Tétel integrálhtósági feltételét fogjuk hsználni, tehát legyen ε > 0 rögzített, és keresünk hozzá olyn Φ F[, b] felosztást, melyre Ω f (Φ) < ε. A Heine-tétel lpján f egyenletesen is folytonos [, b]-n, tehát z ε/(b ) pozitív számhoz létezik olyn δ > 0, hogy h t, s [, b], t s < δ, kkor f(t) f(s) < ε/(2(b )). Válsszunk egy olyn Φ felosztást, melynek finomság kisebb, mint δ, vgyis Φ < δ. Például, legyen n N olyn, hogy b n < δ és Φ felosztás osztópontjit definiálj x i := + i b, i = 0,..., n. n < δ, így itt függvény oszcil- Ekkor z I i = [x i, x i ] intervllumbn bármely két szám különbsége legfeljebb b n lációj ε ω f (I i ) = sup { f(t) f(s) : t, s I i } 2 (b ). Erre felosztásr tehát mivel z állítást beláttuk. Ω f (Φ) = n ε ω f (I i ) I i 2 (b ) i= n I i = ε 2 < ε, i= 2.22. Megjegyzés. A fenti tétel megfordítás nem igz! Tehát nem minden Riemnn-integrálhtó függvény folytonos. Könnyen meggondolhtó, hogy h egy [, b]-n folytonos függvényt egy pontbn elrontunk úgy, hogy ott ne legyen folytonos, kkor Riemnn-integrálhtó mrd (pl. 2.5. Leghsznosbb kritérium segítségével meggondolhtó). Hsonlón, h véges sok pontbn szkd egy függvény, kkor is Riemnn-integrálhtó. 2.23. Feldt. Igzoljuk, hogy h f : [, b] R olyn korlátos függvény, mely megszámlálhtón végtelen sok pont kivételével folytonos, kkor f Riemnn-integrálhtó [, b]-n! 2.24. Tétel. H f R[, b], kkor f R[, b]. 3
2.. RIEMANN-INTEGRÁL MÁSODIK FEJEZET Bizonyítás. Legyen f R[, b] és ε > 0 rögzítve. A 2.5. Tétel lpján ε-hoz létezik olyn Φ F[, b] felosztás, melyre Ω f (Φ) < ε. Megmuttjuk, hogy ekkor Ω f (Φ) Ω f (Φ) < ε is teljesül. Mivel dott Φ felosztás esetén ezért elég belátni, hogy minden i-re Ω f (Φ) = n ω f (I i ) I i, i= ω f (I i ) ω f (I i ). A háromszög-egyenlőtlenség mitt tetszőleges x, y I i esetén f(x) f(y) f(x) f(y) ω f (I i ), miből ω f (I i ) = sup { f(x) f(y) : x, y I i } ω f (I i ). 2.25. Állítás. Legyen f R[, b], α < β b. Ekkor f [α,β] R[α, β]. Bizonyítás. A 2.5. Tétel szerint minden ε > 0-hoz vn olyn Φ F[, b], melyre Ω f (Φ) < ε. Véve ezen felosztás [α, β] intervllumb eső osztópontjit és z így kpott Ψ F[α, β] felosztást kpjuk, hogy Ω f [α,β] (Ψ) Ω f (Φ) < ε. 2.26. Tétel. H f, g R[, b], kkor f g R[, b]. Bizonyítás. Legyen ε > 0 rögzítve, és 2.5. Tétel lpján keresünk hozzá Φ F[, b] felosztást. Definiáljuk és válsszunk K := mx{sup f, sup g }, [,b] [,b] ε 2K -hoz Φ f, Φ g F[, b] felosztásokt, melyekre Ω f (Φ f ) < ε 2K és Ω g(φ g ) < ε 2K. (H K = 0, z érdektelen eset.) Tekintsük ezen felosztások egyesítését: Φ := Φ f Φ g. Ekkor 2.4. Állítás lpján Ω f (Φ) < ε 2K és Ω g(φ) < ε 2K is teljesül. Legyen I i Φ, ekkor háromszög-egyenlőtlenség lpján minden x, y I i esetén Ebből Összegezve i =,..., n-re kpjuk f(x)g(x) f(y)g(y) = f(x)g(x) f(x)g(y) + f(x)g(y) f(y)g(y) f(x) g(x) g(y) + f(x) f(y) g(y) K ω g (I i ) + ω f (I i ) K = K (ω g (I i ) + ω f (I i )). ω f g (I i ) = sup { f(x)g(x) f(y)g(y) : x, y I i } K (ω g (I i ) + ω f (I i )). Ω f g (Φ) = n ω f g (I i ) I i i= n K (ω g (I i ) + ω f (I i )) I i i= = K Ω g (Φ) + K Ω f (Φ) < K ε 2K + K ε 2K = ε. 32