azaz a hányados logaritmusa egyenlő a számláló logaritmusának c (2) A korábbi példákban szerepeltek hatványok logaritmusai is.

Átírás

1 A példáb z első két oszlopb levő logritmusok umeruszik szorzt hrmdik oszlopb levő logritmus umerusz, megoldásokb z első két oszlopb levő logritmusok összege pedig hrmdik oszlopb levő logritmussl egyezik meg Megsejthető következő: Tétel H -től külöböző pozitív vlós szám, b és pozitív vlós számok, kkor log( b )= logb+ log, zz szorzt logritmus egyelő téyezők logritmusik összegével Bizoyítás: A logritmus defiíiój szerit: ( b = b () A logritmus defiíiój és z zoos lpú htváyok szorztár votkozó zoosság szerit: log + log log log = = b () + log b log b log Az ()-ből és ()-ből: = Tekitettel rr, hogy z lpú expoeiális függvéy szigorú mooto, 4 ábr Logrlé log( b )= logb+ log H péld és oszlopát vetjük össze z oszloppl, kkor megsejthetjük következőt: Tétel H -től külöböző pozitív vlós szám, b és pozitív vlós számok, b kkor log = logb log, zz háydos logritmus egyelő számláló logritmusák és evező logritmusák külöbségével Bizoyítás: b log b A logritmus defiíiój szerit: = () A logritmus defiíiój és z zoos lpú htváyok háydosár votkozó zoosság szerit: log b log b b log = = () log b log log b log Az ()-ből és ()-ből: = Tekitettel rr, hogy z lpú expoeiális függvéy szigorú mooto, b log logb log = A korábbi példákb szerepeltek htváyok logritmusi is 5 ábr X X log X 0 = db 0 0 Tétel H -től külöböző pozitív vlós szám, b pozitív vlós szám, tetszőleges vlós szám, kkor log ( b )= log b, zz htváy logritmus egyelő htváykitevőek és htváylp logritmusák szorztávl

2 Vektorok és trigoometri 6 A vektorok skláris szorzt 6 ábr Erő, elmozdulás F r A következőkbe vissztérük vektorokhoz A figyelmes olvsók bizoyár feltűt, hogy vektorokt összedtuk, kivotuk, de egymássl em szoroztuk őket V értelme vektorok szorzásáról beszéli? Szükség v erre egyáltlá? A mtemtik törtéetébe sokszor fordult elő, hogy fizik igéyei mozdították elő mtemtik fejlődését Ez törtét vektorok esetébe is A fizikáb létezek vektormeyiségek, ilye például z erő és z elmozdulás E két meyiség között kpsolt v, hisze z erő htásár jö létre elmozdulás A mellékelt képe szákót húzó fitlember F erőt fejt ki szákór, miek htásár szákó r elmozdulássl mozdul el Az erő- és elmozdulásvektorok egymássl α szöget zárk be Ebbe z esetbe fizikusok végzett mukát W = F r osα képlettel számolják ki A muk fizikáb sklármeyiség A feti meggodolás idokolj következő defiíiót Defiíió Legye v és w két em ullvektor, z áltluk bezárt szög α 0 α π! A két vektor skláris szorzt: vw = v w os α A ullvektork bármely vektorrl vett skláris szorzt 0 ( 0v = v0= 0) Megjegyzés: Az imét defiiált skláris szorzt em művelet, hisze em egy hlmz összes redezett elempárjához redel egy elemet hlmzból Egy redezett vektorpárhoz redel egy vlós számot Értelmezhető oly szorzás is vektorok között, melyek eredméye vektor, de vektorális szorzt em része középiskoli tygk Legyeek u, v és w tetszőleges vektorok és λ tetszőleges vlós szám! A defiíióból következőe igzk következő tuljdoságok (A tuljdoságok evét zért tesszük idézőjelbe, mert skláris szorzt em művelet) Tétel vw = wv ( kommuttivitás ) vw kkor és sk kkor 0, h w = 0 vgy v = 0 vgy w v v = v v = v (Bármely vektor skláris égyzete egyelő z bszolút értéke égyzetével) λ wv λwv w λv = = 56

3 b 4, = +, b 4, = + Az egyeletredszert megoldv kpjuk, hogy B 648, ;, Pot és egyees távolságát áltláos is kiszámolhták Léyegébe zt z utt kellee követi, melyet z 5 péld ) részébe jártuk be A számolást itt em részletezzük, sk viszoylg köye megjegyezhető, gykr hszol lklmzhtó eredméyt djuk közre H dott egy e egyees z egyeletével: x + by =, és egy pot P0( x0; y0 ), kkor kimodhtó z lábbi tétel Tétel d( P, e)= 0 x + by b 6 péld Adott két egyees z egyeletével: e:x y = és f: 4x+ y = ) Adjuk meg kölsöös helyzetüket! b) Számítsuk ki távolságukt! ) A két egyees párhuzmos, hisze teljesül rájuk párhuzmosság korább tárgylt feltétele: 4 = b) Két párhuzmos egyees távolság z egyik egyees tetszőleges potják másik egyeestől vló távolság Az 5 példáb szereplő B( 4 ;) pot illeszkedik z f-re, és k z e-től vló távolságát már kiszámoltuk, így d( e, f )= =, + 5 A következő péld tlá meglepőek ht egy koordiátgeometriávl fogllkozó fejezetbe, de vázolt megoldás vlószíűleg mgyráztot d példválsztásr 7 péld Adjuk meg vlós számok hlmzá értelmezett f ( x)= 5x x+ + 5x x+ 7 hozzáredelési szbállyl megdott f függvéy miimumhelyét! Végezzük lgebri átlkításokt! ábr Meglepetés 0

4 ) b) Bizoyítás: A péld megoldásáb leírt teljes idukiós godoltmeetet lklmzhtjuk most is, hisze mide fáb v elsőfokú sús! H potokt kruk összeköti lehető legkevesebb él felhszálásávl, kkor fát kell megduk H egy egyszerű gráf összefüggő és trtlmz kört, kkor kör vlmely élét elhgyv gráf még midig összefüggő mrd Mivel kpott gráfr z eljárás ismételhető, de gráfk véges sok éle v, így z eljárás előbb-utóbb leáll Ekkor egy fát kpuk Ebből következik, hogy mide egyszerű, összefüggő G gráfk v ú feszítő fáj, zz oly f részgráfj, mely G összes potját trtlmzz Köyű láti, hogy egy összefüggő gráfk áltláb több feszítő fáj is v Nehéz kérdések bizoyult, hogy súsot háyféleképpe lehet fává összeköti (A súsokt pl számozássl megkülöböztetjük egymástól) Cyley tétele szerit z súsú fák szám A fgráfokk ige gy gykorlti jeletősége Fgráfok jeleek meg pl gee tik feldtokb (öröklődés), összefüggő hálóztok tervezésébe (közművezetékek, iteret, hipek), szállítási problémák sorá Végezetül gráfokkl kpsoltos, törtéeti szempotból első problémáról szóluk, melyet L Euler oldott meg 76-b ) d) 69 ábr Fgráfok 60 ábr Fák 6 ábr Feszítő f 5 péld A Köigsberg városá átmeő folyó két sziget tlálhtó A prtok és szigetek között bb z időbe, mikor Euler élt, volt 7 híd, z ábr szerit A város lkói zzl kérdéssel fordultk hozzá, hogy létezik-e oly sét, mely sorá z összes hído potos egyszer hldk át Euler észrevette, hogy sét szempotjából két prt és két sziget egy-egy potk tekithetők, hidk pedig közöttük futó élekek Másképpe foglmzv: z zoos prto, illetve zoos szigete lévő hídfők egyetle pottá vohtók ösz- 6 ábr Köigsberg hídji 55

5 Vlószíûségszámítás és sttisztik ) A problém jól szemléltethető oly gráffl is, mely lehetőségeket és vlószíűségüket ábrázolj: strt i P( B i ) P( A B i ) P( A Bi) P( Bi) B 46 ábr A problém gráfj B B 5 7 M P M P M P A A A b) P( A)= = A feti gráf lpjá is láthtó, hogy: P( A)= + + = Vegyük észre, hogy z előző példáb P( A)= = + + = P( A B) P( B)+ P( AB) P( B)+ P( A B) P( B ) Eek lpjá megfoglmzhtjuk következő két tételt: Tétel Teljes vlószíűség tétele: Legye H egy eseméytér, B, B,, B oly teljes eseméyredszere, melyek egyetle eseméyéek vlószíűsége sem 0! A H tetszőleges eseméye Ekkor i ( i) i= = = P A P A B P B P AB P B P A B P B P AB P B Bizoyítás: A B, A B,, A B párokét kizáró eseméyek, és A B+ A B + + A B = A A III xióm szerit P( A)= P( A B)+ P( A B )+ + P( A B ) Alklmzzuk feltételes vlószíűség defiíióját! P( A)= P( A B) P( B)+ P( AB) P( B )+ + P( A B) P( B) Az állítást igzoltuk Tétel Byes-tétel: Legye H egy eseméytér, B, B,, B oly teljes eseméyredszere, melyek egyetle eseméyéek vlószíűsége sem 0! A H tetszőleges eseméye Ekkor P( A Bi) P( Bi) P( Bi A)= P A B P B P AB P B P A B P B + ( )+ + ( ) i {,,, }, hol 80

6 Térgeometri A 7 ábr A sok gúl felszíe ( + b) m A= + b + 4 D b K T + = + b + + b m o m M B L m 0 F C Hszáljuk 7 ábr jelöléseit, hol m 0 jelöli egy oldllp mgsságát A felszí 4 egybevágó szimmetrikus trpéz területéek (plást), vlmit két égyzet területéek z összege Mivel KL = és b b TF =, ezért MF =, így z LMF derékszögű háromszögre lklmzv Pitgorsz-tételt: m 0 b = m + A felszí ezért: b b b = m + b péld Víztárolót szereték építei Ehhez egy lefelé keskeyedő égyzet lpú sok gúl formájú gödröt ástuk A tlj szitjé lévő égyzet oldl 0 m, m mélységbe lévő lsó égyzet oldl pedig 6 m Szigetelési élból fóliát vásároltuk kibéleléséhez Leglább háy égyzetméter fóliát kell veük, h béleléskor fellépő ygveszteség 6%-os, és sk egész m -yi meyiség vásárolhtó? A felszíre votkozó képletből ki kell hgyuk 0 m oldlú égyzet területét, így megkpjuk kibéleledő felületet Behelyettesítve: A = , 5 m H x m megvásárolt meyiség, kkor veszteség mitt x 094, = 6, 5, x 4, 59 Tehát leglább 5 m fóliát kell vásároluk Egy tégltest testátlój 7 m, élei hosszúságák összege 68 m Mekkor tégltest felszíe? Az zoos gyságú felszíel redelkező tégltestek közül melyikek legrövidebb testátlój? Htározzuk meg szbályos tetréder felszíét, h mgsság 0 m! 4 Htározzuk meg k szbályos htszög lpú egyees gúlák felszíét, melyek lpéle 6 m, oldlélei pedig 7 m hosszúk! 0

7 Alízis 8 péld Legye < mide -re! = , hol =,,, Igzoljuk, hogy A mérti sorozt első éháy tgják összegére votkozó képletet lklmzv: k+ () = = k k+ k Redezzük el z lábbi táblázt szerit tgjit! k + k = k A k-dik sorb álló összeg z () összefüggés szerit k, ezért = = = + < 6 ábr Leordo Fiboi (70 50) Most egy híres soroztról lesz szó, mely evéek említése élkül szerepelt már soroztok bevezetésekor felsorolt példák között Az =, =, = +, rekurzióvl dott soroztot Fiboi-soroztk evezzük:,,, 58,,,,, Nézzük utá z iterete, hogy ki volt Fiboi, illetve hol fordulk elő pl természetbe sorozt tgji, melyeket Fiboi-számokk hívk! 6 ábr Fiboi-számok természetbe 90

8 Alízis A következőkbe (természetese mi jelölésekkel) először egy oly eljárást ismertetük, melyet Arkhimédész dolgozott ki prbolszelet területéek meghtározásár Ezt hívják kétoldli közelítés módszeréek Az egyszerűség kedvéért sk z y = x egyeletű prbol grfikoj ltti terület kiszámításávl fogllkozuk 0 ; [ ] itervllumo (Feltételezzük, hogy terület létezik) péld [ 0 ; ] itervllumo! Számítsuk ki z y = x egyeletű prbol grfikoj ltti területet i i O y y = x i i x Osszuk fel [ 0 ; ] itervllumot egyelő részre! A görbe ltti terület z i-edik itervllumo lulról, illetve felülről besülhető egy-egy tégllp területével A tégllpok területe z ábr lpjá: i i i i =, illetve =, [ ] itervllumo lulról és fe- így grfiko ltti terület 0 ; lülről is egyszerre besülve: () 9 ábr A grfiko ltti terület ( ( ) )< T < ( ) kétoldli közelítése Korább teljes idukióvl igzoltuk, hogy k( k+ ) ( k + ) k = 6 Eek segítségével z () beslés: ( ) ( ) ( + ) ( + ) < T <, < < + + T 6 A htárértékről tultk szerit 0, így z egyelőtleség két oldlá álló soroztokk htárértéke, ez pedig zt jeleti, hogy skis T = lehetséges Felmerül kérdés, hogy más típusú hozzáredelés eseté működik-e z előbb látott eljárás V, mikor ige, de em midig Nehéz például elképzeli, hogy z f ( x)= x függvéy eseté végig tudák vii A éluk oly elmélet meglkotás, mely függvéyek ige széles körére lehetővé teszi pl grfiko ltti terület kiszámítását Hgsúlyozzuk, hogy bár z elmélet kiépítése kpsoltb v példáb látott tégllpokkl, de hszált módszer ál jóvl áltláosbb lesz Tekitsük z f: [, b] korlátos függvéyt Osszuk fel z [ b, ] itervllumot (em feltétleül egyelő) részre: = x < x < x < < x < x = b, hol z x i -k z ú osztáspotok Ezzel z b, 0 [ ] itervllum egy ú beosztásához jutuk Jelölje m i függvéy leggyobb lsó korlátját 56

9 Hlmzok és logik ábr A három kilkulás Legye {} = 0, {} 0 =, {;} 0 =, {;; 0} =, {;, 0;; } = +, Vlószíűleg ez játszódhtott le z emberiség törtéetéek kezdeté, mikor z ember köryezetébe megjeletek véges hlmzok, és bsztrkió sorá közülük z egyelő számosságú hlmzokhoz ugyzt természetes számot redelte Nyilvávló, hogy bármely + esetébe {;; 0;; } +, így + számosság em természetes szám א ב ג ד ה ו ז ח ט י בּ ל lef bet gimel dlet hé vu zjim het tet jod kf lmed ם נ ס ע פ צ ק ר שׁ ת mem u szk jim pe de gof res szim tv ábr A héber ábéé: betűk számokt is jelölek Legye + = א 0 ( lef ull ) (A héber ábéé első betűje z lef) Az א 0 eve: megszámlálhtó végtele számosság A korábbik lpjá megszámlálhtó végtele hlmzok: + +,,,,,{, 04,,, k,}, k H egy hlmz véges vgy megszámlálhtó végtele, kkor megszámlálhtó hlmz Be lehet bizoyíti következőt: Tétel H A végtele hlmz és B megszámlálhtó hlmz, kkor A B = A E tétel következméyei például péld ) és d) részei Láttuk, hogy 0 ;, és zt is, hogy 0 ; + [ [ természetes szám és em א 0 Legye 0 ; [ [ = א A eve kotiuum számosság A korábbik lpjá kotiuum számosságú hlmzok: ] [ [ [ [ [ + [ [ végtele hlmz, így [ 0 ; [ számosság em 0 ;, 0 ;, b ;,{ yílt félegyees potji }, { 0},, {egy kör potji} 8