NÖVEKEDÉSOPTIMÁLIS PORTFOLIÓ ELMÉLET

Átírás

1 -2 NÖVKDÉSOPTIMÁLIS PORTFOLIÓ LMÉLT írta Vajda Istvá Ph.D. disszertáció Témavezető: Dr. Györfi László Budapesti Corvius gyetem 2009 május Copyright Vajda Istvá, 2009

2 Tartalomjegyzék. Bevezetés.. Matematikai modell A log-optimális stratégia kritikája Uiverzálisa kozisztes empírikus befektetési stratégiák Két új portfólió-stratégia A szemi-log-optimális portfólió A szemi-log-optimális portfólió megkeresése Diamikus átlag-variacia optimalizálás A Markowitz-típusú és a log-optimális portfólió-stratégia összevetése: egy ituitív megközelítés A Markowitz-típusú és a log-optimális portfólió-választás ismert eloszlás eseté xplicit kockázat kotroll A kockázatmegszorítás melletti logoptimális stratégia tulajdoságai mpírikus portfólió-választás Magfüggvéy alapú szemi-log-optimális stratégia Magfüggvéy-alapú Markowitz-típusú stratégia Kisérletek eredméyei

3 TARTALOMJGYZÉK 0 4. Optimalítás trazakciós díj mellett Matematikai modell A kapcsolódó Markov kotroll probléma Optimális portfólió-választás Trazakciós költséggel kibővített Cover példa Bizoyítások

4 . fejezet Bevezetés A dolgozat alapproblémája a végtele időhorizoto való optimális befektetési politika vizsgálata. A kérdése számos eves közgazdász dolgozott, még Merto és Samuelso figyelmét is felkeltették a kutatások. A disszertációba szekveciális befektetési (portfólióválasztási) stratégiákat mutatok be. Szekveciális stratégia alatt olya kauzális stratégiát értek, amely a piacról redelkezésre álló múltbeli adatokat haszálva, mide kereskedési periódus (ap) elejé megváltoztathatja a portfóliót, azaz a tőkét újraoszthatja a redelkezésre álló értékpapírok között. A végtele időhorizoto való optimális befektetés problémájáak vizsgálata sorá először azt kell tisztázi, hogy mit is értük egyáltalá az optimális szó. A dolgozat címébe jelzett kutatási iráy az optimalitás kritériumá a maximális átlagos övekedési ütemet érti a végtelebe vett határérték értelmébe. Szembe a klasszikus modellekkel, amelyek a piac működéséek a leírására erős statisztikai feltételezéseket teszek, modellekbe a matematikai vizsgálatok sorá haszált egyetle feltétel, hogy a api hozamok stacioárius és ergodikus folyamatot alkotak. feltétel mellett a övekedési ráta határértékéek egy jól defiiált maximuma va, amely elérhető a teljes folyamat eloszlásáak ismeretébe az úgyevezett log-optimális portfólióstratégia segítségével (lásd Algoet és Cover [4]). A log-optimális stratégia optimalítása azt jeleti, hogy egyetle másik stratégia sem produkál a végtele időhorizoto agyobb átlagos övekedési ütemet. A disszertáció főbb megválaszoladó kérdései a következők: Hogya lehet approximáli a log-optimális portfóliót egy kisebb szá-

5 FJZT. BVZTÉS 2 mítási komplexitású algoritmus segítségével? Mi a kapcsolat a log-optimális és a Markowitz portfólió között? Hogya lehet természetese bevezeti kockázat kotrollt a log-optimális elméletbe? Melyek a log-optimális portfólióak azok a tulajdoságai amelyek továbbra is érvéybe maradak? Hogya kostruálható meg a log-optimális portfólió empirikus változata? Mi az optimális portfólió aráyos trazakciós költség eseté? Bevezetek egy szekveciális befektetési stratégiát a szemi-log-optimális stratégiát, amely agyo közel teljesít a log-optimális stratégiához miközbe a portfólióvektor egyszerűbb és stadardabb számolást teszi lehetővé. ek a stratégiáak a teljesítméyét összevetem a log-optimális stratégia aszimptotikus övekedési ütemével. A szemi-log-optimális stratégiát haszálva lehetővé válik, hogy összevessem a Markowitz-típusú stratégiát (ami stacioárius és ergodikus hozamokra törtéő természetes kiterjesztése a hagyomáyos átlag variacia stratégiáak) a log-optimális stratégiával. Célom az, hogy megmutassam az aszimptotikus hozamba jeletkező veszteség agyságát, ha a kockázattudatos Markowitz-típusú startégiát választjuk az aszimptotikusa legjobb log-optimális stratégiával szembe, amelyek ics explicit kockázat kotrollja. Megvizsgálom a kockázatmeedzsmet kérdését, ami hiáyzik a hagyomáyos log-optimális keretből. A kockázatkezelést a lehetséges portfóliók halmazáak korlátozásával érem el. A részvéyárfolyamokat geeráló folyamatra tett általáos feltételezések mellett megvizsgálom a kockázat kotroll melletti log-optimális portfólió övekedési rátájáak aszimptotikus viselkedését. Megadom a kockázat kotroll melletti log-optimális portfólió Kuh-Tucker jellemzését, ami a hagyomáyos log-optimális portfólió Kuh- Tucker jellemzésére egyszerűsödik a kockázatmetes esetbe. Létezek olya uiverzális eljárások, amelyek log-optimális stratégiával azoos aszimptotikus övekedési rátát teszek lehetővé az eloszlás ismerete élkül lásd. Algoet [2], Györfi ad Schäfer [35], Györfi, Lugosi, Udia [37], ad Györfi, Udia, Walk [39]. Mivel em ismerjük a téyleges eloszlást az optimalizáló eljárásak függetleek kell lei a téyleges eloszlástól. Vagyis olya eljárást kell megadi, amelyet ha mide véges időhorizoto

6 FJZT. BVZTÉS 3 alkalmazuk, akkor végülis, vagyis határértékbe, megkapjuk az optimális övekedési ütemet, amely azoba a teljes végtele időhorizottól függ. Az eljárás agyo leegyszerűsítve a klasszikus mitaillesztéses módszerek vektorfolyamra való kiterjesztése. A klasszikus módszerél az emberi szem a pillaatyi közelmúlthoz hasoló mitázatokat keresett a távolabbi múltba, amit meg tudott jegyezi, s csak egy-egy árfolyamot tudott figyeli, s em azok együttesét. Továbbá külöböző periódusoko (időablakokba) figyelük. Hasoló elve fogak müködi a disszertációba bevezetésre kerülő magfüggvéy alapú szemi-log-optimális stratégia, illetve a mag- függvéy alapú Markowitz-típusú stratégia. A szimulációs eredméyek alátámasztják, hogy a javasolt módszerek képesek megtaláli és hatékoya kiakázi, a részvéyárak közötti rejtett és boyolult összefüggéseket. zutá feladok egy egyszerüsítő feltételezést: trazakciós költséget vezetek be. Végtele időhorizotú övekedésoptimális befektetést tekitek trazakciós költség mellett. Feltételezve, hogy a részvéyárfolyamok homogé Markov folya- matot követek két rekurzív befektetési stratégiát mutatok, amelyekek a trajektóriáko szá- mított övekedési rátája limes iferior értelembe megegyezik vagy agyobb, mit bármely más befektetési stratégia övekedési rátája valószíű- séggel... Matematikai modell A dolgozatba vizsgált részvéypiaci modellt alkalmazta többek között Breima [5], Algoet és Cover [4], Cover [9]. Tegyük fel, hogy a piaco d darab részvéy va, és a tőkéket mide ap elejé szabado újraoszthatjuk a részvéyek között. A vizsgálatok sorá em haszálom a közgazdasági modellekbe gyakra alkalmazott feltevést, hogy az egyik értékpapír kockázatmetes. Jelölje x = (x () ; : : : x (d) ) 2 R d + a hozamvektort, amelyek j-edik kompoese, x (j) 0, a j-edik részvéy yitó áraiak aráyát fejezi ki az adott ap és azt követő ap között. Más szóval, x (j), azt modja meg, hogy az adott ap reggelé a j-edik részvéybe fektetett egységyi tőke meyit ér a következő ap reggelé. x (j) tehát egy körüli szám. A befektető mide egyes kereskedési periódus elejé diverzifikálja a tőkéjét egy b = (b () ; : : : b (d) ) portfólióvektor szerit. A b j-edik kompoese

7 FJZT. BVZTÉS 4 b (j), azt modja meg, hogy a j-edik részvéybe tőkéjéek háyad részét fekteti be. A dolgozatba felteszem, hogy b portfólióvektor em egatív kompoesekből áll, amelyekek az összege, azaz, P d j= b (j) =. Az utóbbi feltétel azt jeleti, hogy a befektetési stratégia öfiaszirozó, az előbbi pedig a rövidre eladási üzleteket zárja ki. Jelölje S 0 a befektető kezdeti tőkéjét, ekkor a tőkéje egy ap múlva S = S 0 dx j= b (j) x (j) = S 0 hb ; xi ; ahol h ; i a skalárszorzatot jelöli. Hosszú idejű befektetések eseté a piac változását x ; x 2 ; : : : 2 R d + hozamvektor sorozattal jellemezhetjük. Az x i hozamvektor j-edik kompoese x (j) i, amely azt modja meg, hogy a j-edik részvéybe fektetett egységyi tőke meyit ér az i-edik ap végé. Mide j i eseté az x i j rövidítést haszálom a hozamvektorok (x j ; : : : ; x i ) sorozatára és jelölje d az összes b 2 R d + emegatív kompoesű vektor szimplexét, amely kompoeseiek az összege. gy B = fb ; b 2 ; : : :g befektetési stratégia függvéyekek egy sorozata b i : R d + i! d ; i = ; 2; : : : úgy, hogy b i (x i ) jelöli a befektető által az i-edik apra a piac korábbi viselkedése alapjá választott portfólióvektort. Az egyszerűség kedvéért a későbbiekbe a következő jelölést haszálom b(x i ) = b i (x i ). Az S 0 kezdeti tőkéből kiidulva, -edik ap végé a B befektetési stratégia tőkéje S = S 0 Y i= D P b(x i ) ; x i = S 0 e i= loghb(xi ) ; x ii = S0 e W(B) ; ahol W (B) az átlagos hozamszit (övekedési ráta) W (B) = i= log D b(x i ) ; x i : Nyilvávalóa, S = S (B) maximalizálása ekvivales W (B) maximalizálásával. Természetese a végtele időhorizoto való relatív átlag sok midet eltütet. A külöböző stratégiák eseté csak a végtelebe való övekedési ütemük érdekes. A helyzet azoos a agy számok törvéyével,

8 FJZT. BVZTÉS 5 amikor egy sorozatról csak az átlagát tudjuk. lvbe teljese érdektele, hogy a trajektória kezdeti szakaszá mi fog törtéi, a léyeg, hogy a végtelebe mide jól alakuljo. Az elemzés megköyítése érdekébe éháy egyszerűsítő feltételt kell bevezeti: felteszem, hogy az eszközök korlátlaul oszthatóak és mide eszköz tetszőleges meyiségbe érhető el az aktuális piaci áro bármely kereskedési periódusba, figyelme kívül hagyom a trazakciós kölstégeket a 4 fejezetig, a befektető viselkedése a vizsgált stratégiák haszálata sorá em befolyásolja a piacot (ez a feltételezés akkor valósághű, ha a befektető a teljes kereskedési volumehez képest kis meyiségű tőkével kereskedik). z utóbbi feltételbe tágabb értelembe azt is ki kellee köti, hogy emcsak hogy az általam kereskedett meyiség kevés az adott részvéyekbe megfogalmazott piaci forgalomhoz képest, haem azt is, hogy mások em haszálják az algoritmust. Ugyais, ha mások is haszálják az algoritmust, s ez azt jeleti, hogy modjuk api zárás előtt, amikor a záróár már agyjából beállt lefuttatják az algoritmust, s felveszik az új poziciókat a portfólió elemeibe. Mit jelet ez? Végső soro azt, hogy már ma elkezdik vei azt a részvéyt, amiek árát holapra felfelé mozdulóak sejtjük, azaz holap az már semmit sem mozdul, elimiálták a kis profitukat. ze feltételezések mellett, a kereskedési módszerek múltbeli adatoko törtéő vizsgálata racioális. Kostas újrasúlyozott portfólió A kostas újrasúlyozott portfólió stratégia egy olya B stratégia amely ugyaolya aráyba fektet be mide egyes periódusba. A kostas újrasúlyozott portfólió a (log(s )) kifejezést maximalizálja. A következő egyszerű példa demostrálja a kostas újrasúlyozott portfólió erejét [44]. Legye két részvéy a piaco, az egyik kockázatmetes értékpapír, amelyek ics hozama, illetve a másik egy agy volatilitású részvéy. Mide páros apo a részvéy értéke megduplázódik és mide páratlaadik

9 FJZT. BVZTÉS 6 apo a részvéy értéke megfeleződik. Az első értékpapír hozamvektora ; ; ; : : : a másodiké ; 2; ; 2; : : :. gyekét egyik értékpapír sem tuda es faktorál agyobb hozamot realizáli, de ha pézüket egyelőe helyezzük el a két értékpapírba, azaz az egyeletes b = ; 2 2 portfóliót haszáljuk, akkor expoeciális övekedést tuduk eléri. A páratla apoko a va- gyo csökkeése + = 3, míg páros apoko a övekedés = 3, azaz 2 ap utá a hozam Fikelstei ad Whitley [29] megmutatta, hogy ha S jelöli a vagyot, amelyet a fb ; : : : ; b g stratégiával érük el egymást követő befektetési periódus alatt, és S jelölést alkalmazva a b kostas újrasúlyozott portfólióval elért vagyora, akkor: S S egy szupermartigál, amelyre teljesül, hogy ( S S ). Így lim! S S m.m. létezik és (lim! S S ). Továbbá, ha b portfólió csak azo X k -ra helyez súlyt, ahol b (k) > 0, és ha P d k= b (k) j = mide j-re, akkor S S S egy martigál, amelyre ( S ) =. Log-optimális portfólió f.a.e. piacok eseté Tegyük fel, hogy a x ; x 2 ; : : : a véletle X ; X 2 ; : : : vektorok realizácioi amelyek f.a.e F (x) szerit. Legye továbbá S = Y i= hb ; X i i W (b; F ) = flog hb ; Xig és b = arg max flog hb ; Xig b A b portfóliót log-optimális portfólióak evezzük. Vegyük észre, hogy f.a.e. hozamok eseté log-optimális portfólió időbe álladó B = fb ; b ; : : :g. Ilyekor a "globális" optimalizálási stratégia azoos az egy lépésből álló optimális stratégiával. Vagyis elegedő egyetle lépés eseté megkeresi a legagyobb övekedési ütemet. Mivel a következő lépésekbe azoos szituációval találkozuk, a függetleség miatt a múltból em tuduk semmit sem tauli, újra meg kell oldauk a feladatot és újra azoos övekedési-beruházási stratégiát kell választai. Így elegedő megoldai egyszer a feladatot és azt végtele sokszor ismételi. Jelölje W a logoptimális stratégia aszimptotikus övekedési ütemét, vagyis W = flog hb ; Xig

10 FJZT. BVZTÉS 7 ekkor a agyszámok erős törvéye miatt m.m.. log S! W.. Példa. (Cover [9]) Jelölje X = (X () ; X (2) ) a hozamvektort és legye b = (b; b) a választott portfóliók. Az első részvéy hozama kostas, a második részvéy hozama 2 vagy,, valószíűséggel. Formálisa P(X () = ) = és P(X (2) = 2) = P(X (2) = ) =. Tegyük 2 2 fel, hogy X ; X 2 ; : : : f.a.e. sorozat. Az első részvéy aráya a logoptimális portfólióba: b = arg max log h(b; b b) ; Xi = arg max log(b + ( b)x 2 ) b = arg max b = 2 : 2 log b 2 + 2! + 2 log(2 b)! Így a log-optimális portfólió: b = ütem: W = 9 2 log 8 2 ; 2. Az optimális övekedési = 0:059: A log-optimális stratégia következő tulajdoságait érdemes fejbe tartai a továbbiakba (Cover ad Thomas [23]). W (b; F ) kokáv függvéy b-be és lieáris F -be. W (F ) kovex F -be. A log-optimális portfóliók halmaza kovex halmaz. Megmutatható, hogy a log-optimális portfólió teljesíti a következő szükséges és elégséges feltételeket: X ( (i) = ; ha b i > 0 hb ; Xi ; ha b i = 0 A log-optimális portfólió aszimptotikusa optimális (potosabba optimális az elsőredű tagig az expoesbe). zt potosa a következő tétel fogalmazza meg. Legye X ; X 2 ; : : : ; X f.a.e. hozamvektorsorozat.

11 FJZT. BVZTÉS 8 Jelölje S Q = i= hb ; X i ia log-optimális portfólió elért vagyoát, ahol b a log-optimális portfólió, és S jelölje egy tetszőleges másik portfólió elért vagyoát. kkor, S lim sup! log S 0; m.m.. A tétel azt állítja, hogy egy valószíűségű trajektóriahalmazo a log-optimális portfólió elért vagyoa meghaladja bármely más portfólió elért vagyoát. Potosabba limes superior értelembe azaz trajektóriáko képzett háyadosok sorozatáak felső torlódási potja lesz agyobb egyelő mit ulla majdem mide trajektóriá. Log-optimális portfóliók stacioárius piacok eseté A dolgozat további részébe elvetem a függetleség feltételét és csak a stacioaritást tartom meg. (Kiegészítve az ergodicitással, amely az átlagok létezését biztosítja.) Tegyük fel, hogy x ; x 2 ; : : : az X ; X 2 ; : : : véletle valószíűségi változók realizációja, amelyek egy vektor-értékű stacioárius és ergodikus folyamatot fx g alkotak. ek az az értelme, hogy szembe a függetle esettel em elegedő egyetle változó eloszlását ismeri haem végtele számú esetet ismeri kell, ahhoz, hogy ismerjük a sorozatot. Ha a valószíűségi változók függetleek és azoos eloszlásúak, akkor az együttes eloszlásuk ismeretéhez elegedő egyetle változó eloszlását megadi. Ha azoba csak stacioárius a sorozat, akkor az együttes eloszlás ismeretéhez az összes változó együttes eloszlása szükséges. Mivel az optimális övekedési stratégia yilvá az együttes eloszlástól függ, ezért kell az egész problémát áttraszformáli a egatív időtegelyre. A feti feltételek mellett vizsgálta pl. Algoet és Cover [4], Algoet [2, 3] a portfólióválasztási problémát. A [4]-be és [2, 3]-ba meghatározott fudametális korlátok megmutatták, hogy az úgyevezett log-optimális portfólió B = fb ( )g a legjobb választás. Formálisa, az -edik kereskedési periódusba jelölje b ( ) a log-optimális portfóliót: log D b (X ) ; X X o D = max log b(x ) ; X o X : b( ) A log-optimális stratégia az optimális választás, ahogy azt a következő tétel mutatja. Ha S = S (B ) jelöli a B log-optimális portfólió stratégiával

12 FJZT. BVZTÉS 9 elért tőkét ap utá, akkor mide tetszőleges B befektetési stratégia által elért S = S (B) vagyora és fx g tetszőleges stacioárius és ergodikus folyamat eseté és ahol lim sup! log S S 0 valószíűséggel (.) lim! log S = W valószíűséggel, (.2) W = ( max b( ) log D b(x ) ; X 0 X o ) (.3) a log-optimális befektetési stratégia övekedési rátája. (Kolmogorov tétele alapjá mide stacioárius és ergodikus folyamat fx g kiterjeszthető két iráy- ba végtele stacioárius folyamattá valamilye (; F; P) valószíűségi mező úgy, hogy az ergodicitás midkét iráyba! és! feáll.) Az első egyelőtleség ismét a log-optimális stratégia aszimptotikus optimalitását állítja, ahogy azt f.a.e. esetbe is láttuk. Második egyelet mutatja, hogy a log-optimalitási stratégia az optimális aszimptotikus övekedési ütemet realizálja. Az állítás harmadik része az optimális aszimptotikus övekedési ütem kokrét alakját mutatja, amit természetese csak a teljes múlt megfigyelése alapjá adhatuk meg. Az első egyelőtleség (.) alapötlete a következő. Tekitsük egy tetszőleges B stratégiát és a hozzátartozó vagyot, ekkor az átlagos api hozamszit felbotható módo, ahol és log S = i= Z i = log D b(x i ) ; X i log D b(x i ) ; X i = i= Z i + i= D log b(x i ) ; X o i X i D Y i = log b(x i ) ; X o i X i : Y i (.4) kkor Z ; Z 2 ; : : : egy úgyevezett martigáldifferecia-sorozat, amelyre ige általáos feltételek mellett lim! i= Z i = 0

13 FJZT. BVZTÉS 0 valószíűséggel. Következésképpe log S aszimptotikus viselkedését az P i= Y i viselkedése határozza meg. Ugyaakkor b defiíciója miatt i= Y i = i= max b( ) = i= D log b(x i ) ; X o i X i i= D log b(x i ) ; X o i X i D log b (X i ) ; X i X i ez utobbi a log S aszimptotikus viselkedését határozza meg (.2). Tehát icse olya befektetési stratégia, amelyek aszimptotikusa agyobb a hozamszitje, mit a log-optimális portfólióak. o ;.2. A log-optimális stratégia kritikája Az átlagos övekedési ütem optimalizálása csak egyike a lehetséges optimalitási kritériumokak. A modellkör közgazdasági kritikája yilvá ebből az észrevételből idul ki. A lehetséges kritikai észrevételek elfogadása és tudomásulvétele elleére a megközelítés jogosultsága em kérdőjelezhető meg. Számos közgazdász em értett egyet a log S, mit cél maximalizálásával, és többyire a haszosságelmélet oldaláról idítottak támadást a logoptimális portfólió-választás elle. Az eddigi általáos feltételekkel szembe (stacioárius és ergodikus hozamok), ebbe az alfejezetbe jóval korlátozóbb feltételezéssel élek, mégpedig, hogy a hozamok függetle azoos eloszlásúak. A kritikák e feltételek mellett születtek. gy tipikus kritika a következő. Tételezzük fel, hogy az egyes eszközök hozama függetle azoos eloszlást követ. Jelölje S a vagyot az -edik periódus végé, továbbá legye a haszosság a következő módo adott: U (S ; ) = S =; ahol 6= 0. Ahhoz, hogy a várható haszosságot maximalizáljuk, mide egyes időpotba azoos portfóliót kell választauk. Jelöljük c-vel az U ( ) haszossági függvéy várható értékét maximalizáló portfóliót és legye d a log-optimális portfólió, azaz az a portfólió, ami maximalizálja a log S kifejezést tetszőleges eseté.

14 FJZT. BVZTÉS Összehasolítva a két portfólió teljesítméyét az U ( ) haszossági függvéy által meghatározott mértékbe, adódik, hogy fu (S c ; )g fu (S d ; )g! ; ha!, [65]. él valamivel komolyabb elleérv, de még midig ugyaazo godolat ismétléséek tekithető a következő, Merto és Samuelso szerzőpárostól [6] származó kritika. A szerzők megmutatták, hogy a log-optimális portfólió még közelítőleg sem lesz optimális kezdeti vagyo egyeértékes értelembe. Jelölje ef (; S 0 ) def = ef az f stratégia kezdeti vagyo egyeértékesét az e stratégiához viszoyítva, ha fu ( ef S e ; )g def = U (S f ; )o ; feltéve, hogy S 0 =. Legye e a log-optimális stratégia. Jelölje f az U (x; ) = x = ( < ) haszossági függvéy eseté a várható haszosságot maximalizáló stratégiát. A log-optimális stratégia közelítőleg optimális ebbe a módosított értelembe, ha lim! ef (; S 0 ) = és ef az idő csökkeő függvéye. Tekitve az U (x; ) = x =, ( < ) haszossági függvéyt fu (S f ; )g = f(sf ) g adódik. Hasolóa kapjuk, hogy = (f(sf ) g) (.5) fu ( ef S e ; )g = f( efs e ) g = ef (f(se ) g) : (.6) Vizsgáljuk 6= 0-át, ekkor (.5)-ből és (.6)-ból azt kapjuk, hogy ef = () = ; ahol Így azt kapjuk, hogy () def = f(sf ) g f(s e ) g : lim ef (; S! 0 ) =

15 FJZT. BVZTÉS 2 ef (; S 0 ) > Tehát a log-optimális stratégia em optimális ebbe a módosított értelembe. Az ilye jellegű kritikákkal az a probléma, hogy figyelme kívül hagyják azt a téyt, hogy a log S -t em haszossági megfotolások miatt kell maximalizáli, haem a kedvező aszimptotikus tulajdoságai miatt. Vegyük észre, hogy az egyes befektetők haszosságától függetleül pézbe kifejezve valószíűséggel a legagyobb vagyot fogja biztosítai aszimptotikusa. Ugyaakkor, ha már a logaritmus függvéyt haszossági függvéyek akarjuk tekitei, akkor e várjuk el, hogy a log-optimális stratégia egy logaritmustól külöböző haszossági függvéy szeriti várható haszosságot is maximalizáljo. Maga Markowitz is olya metakritérium megtalálásá fáradozott, ami a várható haszosság megszállottjait is meggyőzi a log-optimális portfóliók aszimptotikus optimalitásáról. Hitte, hogy a Neuma és Morgester által bevezetett várható haszosság maximalizálás az üdvőzítő út az optimális portfólió kiválasztására. z a log-optimális portfóliók optimalitását is igazolta em túl szigorú feltételek mellett [58]. Tételezzük fel, hogy mide időpotba azoosak a befektetési lehetőségek, vagyis a hozamok függetle azoos eloszlásúak. A haszossági függvéyel kapcsolatba Markowitz csak egy kikötést tesz: ha egy C stratégiából származó vagyosorozat S C = (S 0 ; S C ; S C 2 ; : : : ) és egy D stratégiából származó vagyosorozat S D = (S 0 ; S D ; S D 2 ; : : : ) eseté az S C sorozat mide eleme agyobb, mit az S D sorozat mide eleme egy bizoyos utá, akkor U (S C ) U (S D ). ze két fetebbi feltételezés biztosítai fogja a log-optimális portfólióválasztás előyét, amit Markowitz következőképp bizoyít. Jelölje y i a log( + r i )-t vagyis a logszázalékos hozamot. Jelölje C a log-optimális stratégiát és legye D egy tetszőleges másik stratégia. A logoptimális stratégia defiíciójából adódik, hogy (y C ) (yd ), mide - re. Feltehetjük, hogy az y ; y 2 ; : : : függetle azoos eloszlású valószíűségi változók véges várható értékkel, így lim! i= y i = valószíűséggel:

16 FJZT. BVZTÉS 3 Mivel (y C ) (yd ), ezért adódik, hogy i= y C i ahol valamely fix -re N (!) majdem mide! 2 realizáció eseté. Alkalmazva y i = log( + r i )-t kapjuk, hogy i= log( + r C i ) i= i= y D i ; log( + r D i ) mide N (!)-ra, majdem mide! 2 eseté. Így, S C S D mide N (!)-ra majdem mide! 2 eseté. Ie a haszossági függvéyre tett feltételezésből adódik, hogy U (S 0 ; S C ; S C 2 ; : : : ) U (S 0 ; S D ; S D 2 ; : : : ) valószíűséggel és így U (S C ) U (S D ):.3. Uiverzálisa kozisztes empírikus befektetési stratégiák Természetese, a log-optimális portfólió meghatározásához, a folyamat (végtele dimeziós) eloszlásáak teljes ismerete szükséges. A későbbiekbe azokat a befektetési stratégiákat, amelyek aszimptotikusa elérik az optimális W hozamszitet az eloszlás teljes ismerete élkül uiverzálisa kozisz- tesek evezem. Mivel em ismerjük a téyleges eloszlást, hisze em tudjuk az összes változót, csak véges sokat, az optimalizáló eljárásak függetleek kell lei a téyleges eloszlástól. Vagyis olya eljárást kell megadi, amelyet ha mide véges időhorizoto alkalmazuk, akkor végülis, vagyis határértékbe, megkapjuk az optimális övekedési ütemet, amely azoba a teljes végtele időhorizottól függ.

17 FJZT. BVZTÉS 4 Potosabba, egy B befektetési stratégiát uiverzálisa kozisztesek evezük az fx g stacioárius és ergodikus folyamatok egy osztályá, ha mide folyamatra az osztályba lim! log S (B) = W valószíűséggel. Algoet [2] bizoyította, hogy létezik uiverzális stratégia a stacioárius és ergodikus folyamatok mide osztálya eseté. Algoet kostrukciója azoba komplex és az elméleti jeletősége elleére, kicsi a gyakorlati értéke. Következőkbe három uiverzálisa kozisztes portfólió-stratégiát mutatok be, amelyek a emparaméteres regressziófüggvéy-becslése alapulak: hisztogramm alapú becslő, a magfüggvéy alapú becslő és a legközelebbi szomszéd becslő. Midhárom stratégia legközelebbi múlt részvéyárfolyamalakulásához hasoló mitázatot keres a múltbe, azért, hogy aak alapjá készítse becslést a következő api hozamra ézve, hogy maximalizálja a portfólió övekedési ütemét. A három megközelítés közötti külöbség a hasolóság defiiciójába rejlik. Uiverzálisa kozisztes portfólió-stratégia készítéséhez a emparaméteres regressziófüggvéybecslés adja az alapötletet. gy feltételes várható értéket maximalizáló portfóliót keresük a log-optimális portfólió defiiciójáak megfelelőe. Legye Y egy valós értékű valószíűségi változó, jelöljö továbbá a X egy véletle vektort. A m(x) regressziós függvéy az Y -ak a X-re voatkozó feltételes várható értéke m(x) = (Y jx = x): Az adatok egy f.a.e. sorozatot alkotak (X; Y ): D = f(x ; Y ); : : : ; (X ; Y )g: A regressziós függvéy becslés a következő formába adható meg m (x) = m (x; D ): Speciális típust alkotak a lokális átlagoláso alapuló becslők m (x) = i= W i (x; X ; : : : ; X )Y i ahol a W i súlyok em egatívak és az összegük (cf.[36]). Ha ismeretle eloszlás eseté a log-optimális portfóliót szereték becsüli akkor egy

18 FJZT. BVZTÉS 5 olya b portfóliót keresük, amely a [log D b(x ) ; X jx ] kifejezést maximalizálja. Így az általáos regresszó függvéy becslés a logoptimális portfólió becslés közötti megfeleltetés az alábbi X X k Y log hb ; X k+ i m(x) = fy jx = xg m(x k ) = [log hb ; X k+i jx k = xk ]: A következő három uiverzálisa kozisztes befektetési stratégia abba külöbözik, hogy a W i ( ) függvéyt hogya defiiáljuk. A hisztogram alapú vagy partíciós regresszós becslő egy lokális átlagoláso alapuló becslő. Jelölje a vektortér egy partícióját a P = fa ; ; A ;2 : : : g, ahoa X felveszi az értékeit. A particióba szereplő A ;j halmazokat cellákak evezzük. Ha A (x) P partició egy olya cellája, amelybe x esik akkor a partíciós regressziós becslőt a következőképpe defiiáljuk m (x) = P i= Y i I [Xi 2A (x)] Pi= I [Xi 2A (x)] ; ahol I [ ] az idikátor függvéyt jelöli. Legye G a P -ek megfelelő kvatáló vagyis G (x) = j, ha x 2 A ;j. Ha I (x) = fi : G (x) = G (X i )g jelöli az egyezések (hasolóságok halmazát) akkor a partíciós regressziós becslő az alábbi P i2i m (x) Y i (x) = : ji (x)j A következőkbe ahisztogram alapú portfólió-választást mutatom be. Jelölje az elemi portfóliók végtele vektorát a B (k;`) = fb (k;`) (:)g, k; ` = ; 2; : : :, ahol k a mitaillesztési ablakméret ` pedig a kvatálás fiomságát adja meg. Legye R d +-ek egy partíciója, P` = fa`;j g, ahol j = ; 2; : : : ; m`,

19 FJZT. BVZTÉS 6 amely m` darab diszjukt halmazból (cellából) áll. Jelölje G` a P` partícióhoz tartozó diszkretizáló függvéyt, azaz G`(x) = j; ha x 2 A`;j : Vezessük be a következő egyszerűsítő jelölést mide -re és x 2 R d - re, jeletse G`(x ) a G`(x ); : : : ; G`(x ) sorozatot. zutá defiiáljuk a H (k;`) = fh (k;`) ( )g szakértőt Y b (k;`) (x ) = arg max hb ; x i i ; b2 d fk<i<:g`(x i i k )=G`(x )g k mide > k + -re, ha a szorzat em üres, külöbe pedig válasszuk az egyeletes b 0 = (=d; : : : ; =d) portfóliót. Tehát b (k;`) diszkretizálja x szekveciát a P` partíció szerit és megkeresi az összes egyezést a múltba az utoljára látott G`(x k ) k hosszú kvatált sorozattal. zutá kiválasztja azt a fix portfólióvektort, ami optimalizálja a kifizetést a kvatált sorozatok utá következő apoko. Kérdés hogya válasszuk meg k; ` értékét. Két szélsőséges eset va: ha k vagy az ` kicsi, akkor a particiós becslőek agy lesz a torzítása, ha a k és az ` agy, akkor tipikusa kevés az illeszkedés, ami agy szóráshoz vezet. Gépi taulás irodalmába k és ` a becslés paraméterei, ezeket úgyevezett szakértőkek evezik. A gépi taulás alapötlete a szakértők kombiálása. Az a szakértő kap agy súlyt egy becslés kialakításáál amelyikek jó volt a múltbeli teljesítméye (cf.[7]). A B H hisztogram alapú stratégiát a B (k;`) szakértők kombiálásával kapjuk, felhaszálva egy fq k;`g valószíűségeloszlást. A fq k;`g valószíűségeloszlás mide pozitív egész pár (k; `) halmazá értelmezett úgy, hogy k; `, q k;` > 0. B H stratégia a B (k;`) szakértők egyszerű súlyozása a múltbeli teljesítméyük alapjá: b(x ) : = Pk;` q k;`s (B (k;`) )b (k;`) (x ) P ; (.7) k;` q k;`s (B (k;`) ) A portfólió-választás eredméye a következő egyszerűbb formába adható meg. Ha S (B (k;`) ) jelöli a B (k;`) stratégia ap alatt felhalmozott tőkéjét,

20 FJZT. BVZTÉS 7 akkor ap utá a befektető tőkéje S (B H ) = = = Y i= D b(x i ) ; x i P Y i= Y i= k;` q k;`s i (B (k;`) ) P k;` q k;`s i (B (k;`) ) P k;` q k;`s i (B (k;`) ) P k;` q k;`s i (B (k;`) ) X = q k;`s (B (k;`) ): k;` D b (k;`) (x i ) ; x i Györfi és Schaefer [35] megmutatták, hogy B H stratégia uiverzálisa kozisztes az ergodikus folyamatokak azo osztályra, amelyre igaz fj log X (j) jg < j = ; 2; : : : ; d és a kvatáláshoz haszált partíciók teljesítik az alábbi két tulajdoságot: (a) a partíciók sorozata fiomodó, azaz, P`+ mide cellája egy részhalmaza P` partíció megfelelő cellájáak, ` = ; 2; : : : és (b) ha diam(a) = sup x;y2a kx yk jelöli a halmaz átmérőjét, akkor mide origó középpotú gömb S R d eseté lim max diam(a`;j) = 0 : `! j:a`;j \S6=; Az előbb bemutatott empirikus stratégia alapötlete a szakértők (portfóliók) kombiálása, azaz ha most általáosa B-vel jelöljük a keverés utá kapott stratégiát X S (B) = q k;`s (B (k;`) ): k;` Az uiverzális koziszteciához azt kell megmutati, hogy lim if! log S (B) W valószíűséggel.

21 FJZT. BVZTÉS 8 Mivel lim if! log S (B) = lim if! lim if! = lim if! 0 X k;` log sup k;` sup lim if k;`! q k;`s (B (k;`) ) A sup q k;`s (B (k;`) ) k;`! log q k;` + log S (B (k;`) ) log S (B (k;`) ); ezért az előzőekbe taglalt stratégiák eseté azt kell megmutati [37], hogy sup lim if k;`! log S (B (k;`) ) W valószíűséggel. A magfüggvéy alapú regressziós becslő egy magfüggvéy K(x) 0 és egy ablakaméret h > 0 segítségével va defiiálva m (x) = P i= x X Y i K i h P i= x X K i h : Az egyeletes K(x) = I fkxkg magfüggvéy eseté, m (x) = P i= Y i I fkx Xi khg P i= : I fkx Xi khg Györfi, Lugosi, Udia [37] vezette be a magfüggvéy alapú stratégiát, amelyek egy egyszerűbb, az egyeletes magfüggvéyhez tartozó, mozgó ablakos verzióját ismertetem. Ugyaúgy, mit az előző alfejezetbe, a stratégiához defiiálom a szakértők egy végtele osztályát B (k;`) = fb (k;`) ( )g-t, ahol k és ` pozitív egészek. Mide fix k; ` pozitív egészhez válasszuk egy r k;` > 0 sugarat, úgy, hogy mide fix k-ra lim r k;` = 0 : `! kkor mide > k + eseté defiiáljuk a b (k;`) szakértőt a következőképpe Y b (k;`) (x ) = arg max hb ; x i i ; b2 d fk<i<:kx i i k x k kr k;`g

22 FJZT. BVZTÉS 9 ha a szorzat em üres, külöbe pedig válasszuk az egyeletes b 0 = (=d; : : : ; =d) portfóliót. A szakértők a hisztogram alapú stratégia eseté bemutatott módo (lásd..7) szerit kombiálódak. Györfi, Lugosi, Udia [37] bebizoyította, hogy B K portfólióséma uiverzálisa kozisztes az ergodikus folyamatok azo osztályára, amelyre igaz fj log X (j) jg <, j = ; 2; : : : ; d. gy k > 0, eseté a k-legközelebbi szomszéd(lsz) regressziós becslő egy lokális átlagoláso alapuló regressziós becslő, m (x) = i= W i (x; X ; : : : ; X )Y i ; ahol W i súlyok =k-val egyelők, ha X i az x k legközelebbi szomszédjáak egyike az X ; : : : ; X közül, egyébkét W i = 0. Györfi, Udia, Walk [39] bevezette a legközelebbi szomszéd alapú stratégiát. A korábbiakhoz hasolóa defiiáljuk a szakértők egy végtele osztályát B (k;`) = fb (k;`) ( )g-t, ahol 0 < k; ` egészek. Jelölje k a mitaillesztési ablak hosszát és mide `-hez válasszuk q` 2 (0; )-t úgy, hogy Legye lim `! q` = 0: (.8) ^` = bq`c: Mide adott apo a szakértő megkeresi ^` legközelebbi szomszédot a múltba. k; ` ( > k + ^` + ) fix pozitív egészekre vezessük be az ^` legközelebbi szomszéd (LSZ) halmazát: ^J (k;`) = i; k+ i úgy, hogy X i i k bee va X k ^` LSZ-ja között o : Legye b (k;`) szakértő defiíciója b (k;`) (x ) = arg max Y b2 d i2 ^J (k;`) o hb ; X ii : ha a szorzat em üres, egyébkét pedig b 0 = (=d; : : : ; =d). Azaz, b (k;`) szakértő egy fix portfólió vektor, amely a legközelebbi szomszédok előfordulását követő apokra ézve optimális. A szakértők kombiálása ugya-

23 FJZT. BVZTÉS 20 úgy törtéik, mit a korábbi két stratégia eseté (lásd (.7)). A kapott stratégiát B LSZ jelöli. Azt modjuk, hogy ulla valószíűségű az egyezés ha bármely s = s k vektor eseté a kx k sk valószíűségi változóak folytoos az eloszlása. Györfi, Udia és Walk [39] bebizoyította, hogy ha az egyezések ulla a valószíűsége és teljesül (.8), akkor a B LSZ portfólióséma uiverzálisa kozisztes az ergodikus folyamatokak azo osztályára, amelyre igaz fj log X (j) jg < j = ; 2; : : : ; d. Az egy valószíűséggel taulhatóság érdekes eredméy. Nagyo durvá fogalmazva azt állítja az előbb ismertett három módszer, hogy egy agyo fejlett "techikai elemzés" lehet hatékoy. gy ilye megjegyzéssel szembe a szokásos elleérv, hogy em elég az "árfolyamgörbéket" lesi, sok más iformáció is szükséges a sikerhez, így a kapcsolatos cégek fudametális elemezése, a makrogazdasági köryezet, a gazdasági ciklus mely potja sejtjük magukat, hogy áll a világgazdaság, szoval sok mide más. Az előbb ismertett módszerek sorá persze em éháy tucat típusmitát figyelük, az árfolyamoko keresztbe is, s emcsak az időtegely mete dolgozuk. z midekeppe regeteg plusz iformációt hordoz, ami csökketi a feti szokasos fayalgás érvéyességét, em beszélve az egy valószíűségű bizoyítás erejéről. Ugyaakkor a feti módszerek végtele időhorizotra voatkozak véges időhorizotú befektetés sikerére em jeleteek garaciát.

24 2. fejezet Két új portfólió-stratégia bbe a fejezetbe egy új szekveciális befektetési stratégiát vezetek be a szemi-log-optimális stratégia évvel. A log-optimális stratégiával elletétbe a logaritmus célfüggvéy helyett aak Taylor soros kiterjesztését haszálom. Ismét stacioárius és ergodikus hozamfolymat feltétel mellett vizsgálom az aszimptotikus övekedési ütemet. A stratégia teljesítméyét az átlagos aszimptotikus övekedési üteméek a log-optimális portfolió aszimptotikus övekedési ütemével törtéő összevetéssel mérem. A szemi-log-optimális stratégiá keresztül lehetőségük yílik a Markowitz-típusú stratégia (ami a hagyomáyos átlag-variacia optimalizálás stacioárius és ergodikus hozamfolyamatra törtéő kiterjesztése) és a log-optimális stratégia összevetésére. A fejezet második felébe a hozamfolyamtra tett eyhe feltételek mellett egy aszimptotikus megközelítést mutatok be az átlag-variacia (Markowitz-típusú) portfólió-választás- hoz. ek a részek az a jeletősége, hogy megkapom a Markowitz-típusú portfólió-stratégia által egy-valószíűségű trajektóriahalmazo elszevedett aszimptotikus övekedési ütem veszteségek a maximális agyságát. bbe a fejezetbe ugyacsak vizsgáli fogom hogya illeszthető be az explicit kockázatkezelés a log-optimális keretbe. z alatt azt értem, hogy míg a Markowitz-típusú stratégia eseté egy speciális formájú haszossági függvéy választásával korlátoztam a kockázatot addig itt a log-optimális portfóliót egy feltételekkel korlátozott lehetséges portfólió-vektorhalmaz felett fogom keresi. Megvizsgálom, hogy továbbra is érvéybe maradak a log-optimális portfólióval kapcsolatba megfogalmazott klasszikus állítások. Megadom a kockázat-megszorítás melletti log-optimális portfólió Kuh-Tucker jellemzését. 2

25 FJZT 2. KÉT ÚJ PORTFÓLIÓ-STRATÉGIA A szemi-log-optimális portfólió Legye h(x) = (x ) (x 2 )2 ; amely a log x másodredű Taylor sorfejése az x = helye. Az -dik kereskedési apo a szemi-log-optimális portfólió-stratégiát a következőképpe defiiálom ~b(x ) = arg max b( ) és ~ S = S ( ~ B) ahol ~ B = f ~ b( )g. D h b(x ) ; X o X : Összevetem a stratégia teljesítméyét az optimális aszimptotikus övekedési rátát produkáló log-optimális stratégiával. 2.. Tétel. (Vajda [74]) Bármely stacioárius és ergodikus fx g folyamat eseté, ahol a X j + c, 0:4 > a > 0, c > 0 a következő adódik W lim if log S ~ W 5 6 [max i (jx (i) 0 j 3 jx )] m.m.. A Tétel 2. jeletősége a következőképpe ragadható meg. A részvéypiacoko ahol az eszközökkel api szite kereskedek korlátokat állítaak fel a api maximális árfolyamváltozásra. Ha ezt a maximumot eléri a api árfolyamváltozás, például az árfolyam agyot esik apo belül, akkor az adott eszköz kereskedését felfüggesztik arra a apra. Ha feltesszük, hogy a = c = 0:, az eredméy azt állítja, hogy szemi-log-optimális stratégia legfeljebb 5=6 0: 3 ' 0:083%al teljesít rosszabbul mit a log-optimális stratégia. Hagsúlyozi kell azoba hogy a W értékét em ismerjük és végtele idő belül em is tudjuk megismeri. A 2. Tétel bizoyításába a következő lemmákat alkalmazom: 2.. Lemma. (breima [4]). Legye Z = fz i g egy stacioárius és ergodikus folyamat. Bármely pozitiv i egészre, jelölje T i azt az operátort, amely egy f: : : ; z ; z 0 ; z ; : : :g sorozat elemeit i lépéssel balra tolja. Legye f ; f 2 ; : : : valós értékű függvéyek egy sorozata, amelyre teljesül,

26 FJZT 2. KÉT ÚJ PORTFÓLIÓ-STRATÉGIA 23 hogy lim! f (Z) = f(z) majdem mideütt valamely f függvéyre. Tegyük fel, hogy sup jf (Z)j <. Akkor lim! i= f i (T i Z) = f(z) m.m Lemma. Bármely fx g stacioárius és ergodikus folyamatra, amelyre a X (j) + c és p 2 C 0 [a; c], ahol > a > 0, c > 0, adódik, hogy lim! i= max j [p X (j) i X i ] = [max j Bizoyítás Vezessük be a következő jelölést [p X (j) 0 X ]] w = w (X 0 ) = : max [p(x (j) 0 ) j X ]: + j m.m. lőször megmutatom, hogy f w g egy szubmartigál, vagyis [ w + j X + ] w. [p(x (j) 0 ) j X +] X +-mérhető, ezért X - mérhető, és így azt kapjuk w = max [p(x (j) 0 ) j X + ] j = max [[p(x (j) 0 ) j X ] j X + ] j [max [p(x (j) 0 ) j X ] j X + ] j = [ w + j X + ]: Így w egy szubmartigál és j w j +, mivel p 2 C 0 [a; c]. Alkalmazva a szubmartigálok kovergeciájára voatkozó tételt tudjuk, hogy létezik egy olya w valószíűségi változó, hogy lim w = w! = max j [p(x (j) 0 ) j X ] m.m. Alkalmazva a Lemma 2.-et az f i (X) : = w i (X) helyettesítéssel azt kapjuk, hogy lim! ugyais i= max [p(x (j) i )jx i j ] = [max j [p(x (j) 0 )jx ]] m.m. f i (T i X) = w i (T i (j) X) = max p(x 0 ) j X i : j

27 FJZT 2. KÉT ÚJ PORTFÓLIÓ-STRATÉGIA 24 és [sup i jf i (X)j] <, mivel p( ) korlátos. A 2. Tétel bizoyítása. A log z függvéy z = körüli másodredű Taylor sorfejtése alapjá a következő korlátokat kapjuk és log z h(z) 2 jz j3 log z h(z) + 3 jz j3 ; ahol 0:6 < z. Továbbá, figyelembe véve a ~ b(x ) szemi-log-optimális portfólió defiicióját kapjuk, hogy D (log ~b(x ) ; X jx ) + D (j ~b(x ) ; X 2 (h(d ~b(x ) ; X )jx ) (h(hb ; X i)jx ) j 3 jx ) D (log b (X ) ; X jx D ) (j b (X ) ; X j 3 jx ): 3 D (2.) gyszerű korlátot D vezetek le a következő formulára (j ~b(x ) ; X j 3 jx ) és (j b (X ) ; X j 3 jx ). A portfólió vektort, mit diszkrét valószíűségeloszlását tekitve, továbbá jz j 3 kovexitását figyelembe véve, alkalmazva a Jese egyelőtleséget j D ~b(x ) ; X j 3 = j dx i= dx i= ~b (i) (X )(X (i) )j 3 ~b (i) (X )jx (i) j 3 : Feltételes várható értéket véve az előző egyelőtleség két oldalá majd egyszerű átalakitásokkal (j D ~b(x ) ; X Hasolóa (j D b (X ) ; X j 3 jx ) dx i= j 3 jx ) max ~b (i) (X )(jx (i) j 3 jx ) max (jx (i) j 3 jx ): (2.2) i i (jx (i) j 3 jx ) (2.3)

28 FJZT 2. KÉT ÚJ PORTFÓLIÓ-STRATÉGIA 25 teljesül a log-optimális portfólióra. A (2.), (2.2) és a (2.3) egyelőtleség alapjá (log D ~b(x ) ; X jx ) (log D b (X ) ; X jx ) 5 6 max i (jx (i) j 3 jx ): (2.4) Tekitsük a következő felbotást ahol és ~U = i= log ~ S = ~ U + ~ V ; D [log ~b(x i ) ; X i ~V = i= [log D ~b(x i ) ; X i jx i ]] [log D ~b(x i ) ; X i jx i ]: Megmutatható, hogy U ~! 0 m.m., mivel martigál-differeciák átlaga. Így lim if ~V! = lim if! log S ~ : (2.5) Hasolóa tekitsük a következő felbotást ahol és U = i= log S = U + V ; D [log b (X i ) ; X i V = i= [log D b (X i ) ; X i jx i ]] [log D b (X i ) ; X i jx i ]: Ismét megmutatható, hogy U! 0 m.m. Így lim V! =! lim log S : (2.6) Átlagot véve a (2.4) egyelőtleség midkét oldalá ; : : : ; kereskedési periódusra, majd véve a limes iferiort midkét oldalo, amit tart a

29 FJZT 2. KÉT ÚJ PORTFÓLIÓ-STRATÉGIA 26 végtelebe és alkalmazzuk Lemma 2.2 a p(x) = jx j 3 helyettesítéssel, azt kapjuk, hogy lim if log S ~ lim! log S = W 5 6 max j 5 lim! 6 i= jx (j) 0 j 3 jx (j) max jx i j 3 jx i j (2.7) 2.2. A szemi-log-optimális portfólió megkeresése A szemi-log-optimális portfólió meghatározásáál, ahelyett hogy a log (hb ; X i)j X logaritmus függvéy maximumát keresék meg a o h (hb ; X i)j X : (2.8) a kvadratikus közelítés maximumát keressük a b 2 d szimplex felett. A kvadratikus célfüggvéy haszálatáak egyik előye a, hogy klasszikus matematikai programozási feladathoz vezet Lemma. A szemi-log-optimális portfólió megkeresése ekvivales azzal, hogy megtaláljuk a következő kvadratikus programozási feladat megoldását: maximalizáljuk a g(b; X ) = 2 célfüggvéyt a b vektor szerit a d P i= D b ; m(x D ) b ; C(X )b 2 b i = megszorítás mellett, ahol b i 0 mide i-re, ahol o m(x ) = (X jx ) és C(X ) = fc i;j g C i;j = (X (i) X (j) jx ):

30 FJZT 2. KÉT ÚJ PORTFÓLIÓ-STRATÉGIA 27 Bizoyítás gyértelmű levezetéssel adódik h i h h(hb ; X i)jx = 2 hb ; X i hb ; X 2 i 2 3=2jX = 2 D b ; (X jx ) 2 D b ; C(X )b 3=2: i Mivel C pozitiv szemidefiit, a célfüggvéy kokáv és a megszorítás lieáris. Ismert, hogy b optimalitásáak a szükséges és elégséges feltétele az, hogy b Karush-Kuh-Tucker (KKT) pot legye Diamikus átlag-variacia optimalizálás Markowitz portfólióstratégiájáak a célja olya eszközallokálás végrehajtása a pézügyi piaco, ami optimális átváltást biztosít a várható hozam és a kockázat között. A statikus (egyperiódusos modell) klasszikus megoldását Markowitz [59] és Merto [60] adták meg. z a modell a várható haszosság modellekhez képest a diverzifikáció ituitív magyarázatát adta. Ugyaakkor míg az átlag-variacia modellek irodalma tipikusa egyperiódusos modellekre épít, addig a várható haszosság modellek irodalma számos többperiódusos modellt tartalmaz. gy befekető számára yilvávalóa adódik a kérdés: vajo hogya alakul az aszimptotikus átlagos övekedési ütem az elérhető legjobbhoz képest, ha átlag-variacia portfólió optimalizálást végzük mide egyes kereskedési periódusba? Természetese ilyekor a kockázatra érzékeyebb olvasó felkaphatja a fejét és megkérdezheti, vajo mi törtéik akkor, ha a részvéypiac em a kedvező iráyba változik. kkor valóba egy "kockázatkezelt" stratégia elvileg jobba kell hogy teljesítse, de é a legagyobb "felülteljesítést" keresem a logoptimális javára. Az átlag-variacia modellt és a várható haszosság modellt először Tobi [73] hasolította össze kvadratikus haszossági függvéyt feltételezve. Grauer [33] a hozam eloszlására tett külöböző feltélezések mellett hasolította össze a log-optimális és az átlag-variacia portfólióválasztást egy egyperiódusos modellbe. A kisérletek azt mutatták, hogy a ormális eloszlás feltételezése mellett a két megközelítés közel azoos teljesítméyt yújtott. Kroll, Levy és Markowitz [53] hasoló elemzést végzett. Merto [60] folytoos idejű átlag-variacia elemzést végzett és arra a következtetésre jutott, hogy a log-optimális portfólió átlag-variacia

31 FJZT 2. KÉT ÚJ PORTFÓLIÓ-STRATÉGIA 28 hatékoy abba az estebe ha az eszközhozamok log-ormálisak. Hakasso és Ziemba [43] a diamikus átlag-variacia elemzés egy újabb megközelítését javasolta, miszerit a log-optimális portfólióak kellee betölteie a kockázatos eszköz szerepét. Hakasso és Ziemba véges időhorizotú modellt vizsgáltak az eszközhozamokra tett Wieer folyamat feltételezés mellett. bbe az alfejezetbe Mertohoz[60] hasoló megközelítést alkalmazok, a hozamfolyamatra, azoba általáosabb stacioárius és ergodikus folyamatot tételezek fel egy diszkrét modellbe. Markowitz [59] cikkébe egyperiódusos befektetést vizsgált f.a.e. hozamfolyamat mellett. zzel szembe az alábbiakba többperiódusú modellt és általáos stacioárius és ergodikus hozamfolyamatot tételezek fel. Adódik, hogy sima várható haszosság helyett feltételes várható haszosságot kell haszáluk. Abba a speciális esetbe amikor a hozamfolyamat f.a.e., a feltételes várható haszosság yilvávalóa a hagyomáyos várható haszosságra egyszerűsödik. A stadard Markowitz modelltől való megkülöböztetés érdekébe a bevezetett haszossági függvéyemet Markowitz-típusú haszossági függvéyek evezzük. A Markowitz-típusú haszossági függvéy feltételes várható értékét a következő kifejezéssel adom meg: UM (D b(x ) ; X ; )jx : D = f b(x ) ; X jx = f D b(x ) ; X jx D + 2 b(x ) ; X jx o D (2.9) o g Var b(x ) ; X jx (2.0) D g b(x 2 ) ; X jx (2.) o ; (2.2) ahol X az -dik ap piaci hozamvektora, b(x ) 2 d, 2 [0; ) a befektető kostas kockázatelutasításáak mértéke, továbbá U M (D b(x ) ; X ; ) : = D b(x ) ; X D b(x ) ; X f D b(x ) ; X jx g: A Markowitz-típusú haszossági függvéy feltételes várható értéke émi

32 FJZT 2. KÉT ÚJ PORTFÓLIÓ-STRATÉGIA 29 átalakítás utá a következő alakba is megadható: fu M (D b(x ) ; X ; )jx g D = ( 2) b(x ) ; X o jx D b(x ) ; X jx o : f(d b(x ) ; X ) 2 jx g Így a Markowitz-típusú haszossági függvéyt a U M (D b(x ) ; X ; ) = ( 2)(D b(x ) ; X + 2 f D b(x ) ; X jx g: ) (D b(x ) ; X ) 2 + kifejezés deiiálja. A Markowitz-típusú portfólió-stratégiát a következőképpe adhatjuk meg B = f b ( )g, ahol o UM ( : b (X ) = arg max b2 d D b(x ) ; X ; )jx Jelölje S ; = S ( B ) a Markowitz-típusú portfólió-stratégia elért vagyoát, az -dik kereskedési periódus utá. A következő alfejezetbe kapcsolatba hozom a Markowitz-típusú és a log-optimális portfólió-választást a szemilog-optimális portfólió keresztül A Markowitz-típusú és a log-optimális portfólió-stratégia összevetése: egy ituitív megközelítés A szemi-log függvéyt a log z függvéy z = körüli másodredű Taylor sorfejtésekét defiiáltuk h(z) : = z (z 2 )2 : A ~ B = f ~ bg szemi-log-optimális stratégiát a ~b(x ) : = arg max b2 d D h b(x ) ; X jx o :

33 FJZT 2. KÉT ÚJ PORTFÓLIÓ-STRATÉGIA 30 kifejezéssel adtuk meg. Alkalmazva a szemi-log közelítést: D log b(x ) ; X o X D h b(x ) ; X jx D = b(x ) ; X 2 o D b(x ) ; X 2 X (2.3) : Ahhoz, hogy egyszerűsítsük a (2.3) formulát bevezetjük a feltételes várható érték ; a feltételes második mometum továbbá a feltételes variacia (b) = : D b(x ) ; X X (b) 2 : D = b(x 2 ) ; X X ; V (b) : = (b) 2 2 (b): jelöléseit. Így ~b(x ) = arg max 2 (b) b2 d b2 d = arg max 2 (b) adódik, ahol (b) = arg max ( (b)(4 (b)) V (b)) b2 d = arg max b2 d (b) 2 (b) 2 2 (b) 2 2 (b) V (b)! : = 4 (b) : def = b (X ); A befektető kockázatelutasítási mutatója a feltételes várható érték függvéyekét adódik. Vegyük észre, hogy a paraméter diamikusa változik időbe, vagyis a Markowitz-típusú befektető a portfólió múltbeli teljesítméye alapjá folyamatosa igazítja a kockázatkerüléséek mértékét.

34 FJZT 2. KÉT ÚJ PORTFÓLIÓ-STRATÉGIA A Markowitz-típusú és a log-optimális portfólió-választás ismert eloszlás eseté Természetese adódik a kérdés, vajo mekkora lehet a maximális veszteségük egy valószíűségű trajektóriahalmazo a log-optimális portfólióhoz képest, ha kockázatelutasító befektetők vagyuk. A fejezetbe bemutatott tétel ismert eloszlás eseté adja meg a maximális veszteség lehetséges agyságát, ha a befektető kockázat-elutasítási paraméterrel redelkezik. Potosabba tetszőleges kockázat-elutasítási paraméter mellett megadom a Markowitz-típusú stratégia átlagos aszimptotikus övekedési üteméek a maximális lehetséges aszimptotikus övekedési ütemtől törtéő lehető legagyobb eltérését egy valószíűségű trajektóriahalmazo. Tegyük fel, hogy a fx g stacioárius és ergodikus folyamatból származik, amelyre a X (j) a (2.4) bármely j = ; : : : ; d-re, ahol 0 < a < Tétel. (Ottucsák és Vajda[63]) Bármely stacioárius és ergodikus fx g folyamatra, amelyre (2.4) feáll, és mide 2 h 0; 2 - ra W lim if! log S ; W A ;a B ;a C ;a ( ( max m max m max m X (m) 0 log(x (m) (X (m) 0 ) 2 j X f X (m) 0 o ) 3 X g 0 ) X mi m m.m. jx (m) 0 jx ahol S ; a Markowitz-típusú portfólió-stratégia -dik api vagyoa kockázatkerülési paraméter mellett továbbá 2 ) ad A ;a = 2a + ( 4)(a )I f0 2 4 g C ;a = a 3 + 3( 2) : ; B ;a = I f 4 << 2 g

35 FJZT 2. KÉT ÚJ PORTFÓLIÓ-STRATÉGIA 32 A tételbe a 2 [0; ) paraméterértékek mellett fogalmazok meg állítást. gy befektető tipikus kockázat-elutasítási paramétere = 0:005A, 2 ahol A értéke 2 és 4 közé esik (lásd pl. [2], [34]). Így a tétel teljes mértékbe lefedi a praktikus szempotból érdekes kockázat-elutasítási paraméter értékeket. A "hibatagok" agyságredjéek elemzéséhez kisérleteket végezhetük. A értékéek optimális megválasztásával a W és a lim if! log S ; közötti külöbség az empírikus W értékéek % alá csökkethető. Bizoyítások A 2.2 Tétel bizoyításához a Lemma 2.2-öt és a három másik lemmát haszálom. A lemmák a tételbe szereplő becslések összerakásába segíteek Lemma. Legye Z ; : : : ; Z véletle változók sorozata, f ( ) egy : mérhető függvéy és Y = f (Z ) mide -re. kkor a következő alsó és felső korlát adható az Y logaritmusára. U M (Y ; ) + g(y ; ) 2 fy jz g + (Y ) 3 3Y 3 ( 2) log Y U M (Y ; ) + g(y ; ) 2 fy jz g + (Y ) 3 3 ahol U M (Y ; ) a Markowitz-típusú haszossági függvéy U M (Y ; ) = ( 2)(Y ) (Y ) fy jz g ; továbbá és 0. g(y ; ) = 2 2 (Y ) 2 + Bizoyítás. A logaritmus függvéy Taylor sorfejtését felhaszálva kapcsolatot mutatuk a log- és a Markowitz-típusú haszossági függvéy között log Y = (Y ) 2 (Y ) 2 + R 2

36 FJZT 2. KÉT ÚJ PORTFÓLIÓ-STRATÉGIA 33 (Y )3 ahol R 2 = 3(Y (Y 2 [mi fy ) 3 ; g; max fy ; g]) a Lagrage maradéktag. kkor azt írhatjuk, hogy U M (Y ; ) ( 2) log Y = 2 (Y ) fy jz g R 2 ; 2 Figyelembe véve, hogy adódik a lemma állítása. (Y 3Y 3 ) 3 R 2 (Y ) 3 3 A következő lemma két tetszőleges portfólió-stratégia teljesítméyéek eltérésére fogalmaz meg állítást, ha a hozamok teljesítik a (2.4) feltételt. Ömagába eheze látható az állítás célja, csak a tétel bizoyításába töltődik meg tartalommal, ahol az előző lemma állításba szereplő harmadfokú tagok összevetésébe va szerepe Lemma. Legye a X egy véletle vektor, amely teljesiti a (2.4) feltételt. kkor tetszőleges b 0 és b 00 portfóliókra (hb0 ; Xi ) 3 hb 0 ; Xi 3 (hb 00 ; Xi ) 3 (a 3 + ) max Bizoyítás. lőször megmutatjuk, hogy (hb 0 ; Xi ) 3 m jx (m) j 3 : hb 0 ; Xi 3 (hb 00 ; Xi ) 3 (a 3 + ) max m jx (m) j 3 : (2.5) Tekitsük a következő alsó becslést (hb 0 ; Xi ) 3 hb 0 ; Xi 3 (hb 00 ; Xi ) 3 jhb 0 ; Xi j 3 hb 0 ; Xi 3 jhb 00 ; Xi j 3 max jhb 0 ; Xi j 3 ; jhb 00 ; Xi j 3o (hb 0 ; Xi 3 + ): (2.6) A maximum mögött levő tagokat a Jese egyelőtleséggel maximalizálva adódik, hogy jhb ; Xi j 3 = dx m= b (m) (X (m) ) 3 dx b (m) X (m) m= 3