Empirikus portfólióstratégiák

Átírás

1 Közgazdasági Szemle, LIII. évf., július augusztus ( o.) OTTUCSÁK GYÖRGY VAJDA ISTVÁN Empirikus portfólióstratégiák A cikk olya új szekveciális befektetési stratégiákat mutat be, amelyek általáos feltételek mellett garatálják a befektetõ számára az aszimptotikusa optimális ho zamszit elérését. A stratégiák aalitikus és empirikus tulajdoságait is áttekitjük. Az aalitikus eredméyek rámutatak arra, hogy a stratégiák aszimptotikus hozam szitje stacioárius és ergodikus piacoko egybeesik a logoptimális hozamszittel, amelyet csak a piaci árakat geeráló háttérfolyamat teljes együttes eloszlásáak is meretébe érheték el. Összehasolítjuk az alkalmazott modellt a hagyomáyos Markowitz-féle portfólióelmélettel.* Joural of Ecoomic Literature (JEL) kód: G. A cikkbe a pézügyi piacoko alkalmazható szekveciális befektetési (portfólióválasztási) stratégiákat mutatuk be. Szekveciális stratégiá olya kauzális stratégiát értük, amely a piacról redelkezésre álló múltbeli adatokat haszálva, mide kereskedési periódus (ap) végé megváltoztathatja a portfóliót, azaz a tõkét újraoszthatja a redelkezésre álló értékpapírok között. A befektetõ célja, hogy hosszú távo aélkül maximalizálja a vagyoát, hogy ismeré a részvéyárfolyamokat geeráló háttérfolyamat eloszlását. Szembe a klasszikus modellekkel, amelyek a piac mûködéséek a leírására erõs statisztikai feltételezéseket teszek, az ismertetett modellekbe a matematikai vizsgálatok sorá haszált egyetle feltétel az, hogy a api hozamok stacioárius és ergodikus folyamatot alkotak. E feltétel mellett az aszimptotikus övekedési rátáak (api átlagos hozamszitek) egy jól defiiált maximuma va, amely elérhetõ a folyamat eloszlásáak ismeretébe (lásd Algoet Cover [988]). Létezek uiverzálisa kozisztes módszerek (potos defiíciót lásd késõbb), amelyek az említett aszimptotikusa optimális hozamszitet elérik aélkül, hogy bármilye elõzetes ismeretük lee a folyamat eloszlásáról (lásd Algoet [992], Györfi Lugosi Udia [2006] és Györfi Schäfer [2003]). A cikkbe áttekitjük azokat az uiverzálisa kozisztes stratégiákat, amelyek emcsak az optimális aszimptotikus övekedési rátát garatálják stacioárius és ergodikus folyamatok eseté, haem (véges idejû) szimulációk eseté is jó eredméyt érek el. A szimulációk sorá az algoritmus teljesítméyét a New York-i Értéktõzsde (NYSE) referecia-adathalmazá vizsgálták. * A szerzõk szeretéek köszöetet modai Györfi Lászlóak a cikk többszöri alapos átolvasásért és haszos taácsaiért. Részletese lásd Medvegyev [2002] fejezet. Ottucsák György a Budapesti Mûszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem másodéves doktoraduszhallgatója (oti@szit.bme.hu). Vajda Istvá a Budapesti Corvius Egyetem másodéves doktoraduszhallgatója (vajda@szit.bme.hu).

2 Empirikus portfólióstratégiák 625 A szimulációs eredméyek alátámasztják, hogy a javasolt módszerek képesek megtaláli és hatékoya kiakázi a részvéyárak közötti rejtett és boyolult összefüggéseket. Elõször a logoptimális portfólióstratégiát ismertetjük, áttekitjük az alkalmazott modellek matematikai hátterét és az ahhoz kapcsolódó eredméyeket. Majd mit lehetséges portfólióválasztási stratégiákat bemutatjuk a hisztogram, a magfüggvéy és a legközelebbi szomszéd alapú becslõket. Ezt követõe összehasolítjuk a logoptimális és Markowitzféle portfólióstratégiát. Végül összefoglaljuk a cikkbe bemutatott eredméyeket. Matematikai modell A cikkbe vizsgált részvéypiaci modellt alkalmazta többek között Breima [96], Algoet Cover [988] és Cover [99]. Tegyük fel, hogy a piaco d darab részvéy va, és a tõkéket mide egyes ap elejé szabado újraoszthatjuk a részvéyek között. A vizsgálatok sorá em haszáljuk a közgazdasági modellekbe gyakra alkalmazott feltevést, hogy az egyik értékpapír kockázatmetes. Jelölje x = ( x (),, x ( d ) ) R d + a hozamvektort, amelyek j-edik kompoese, x ( j) 0, a j-edik részvéy záró áraiak aráyát fejezi ki az adott ap és azt követõ ap között. Más szóval: x ( j ) azt modja meg, hogy az adott ap végé a j-edik részvéybe fektetett egységyi tõke meyit ér a következõ ap végé. Az x ( j ) tehát egy körüli szám. A befektetõ mide egyes kereskedési periódus elejé diverzifikálja a tõkéjét egy b = (b (),,b (d ) ) portfólióvektor szerit. A b j-edik kompoese, b ( j ) azt modja meg, hogy a befektetõ a j-edik részvéybe tõkéjéek háyad részét fekteti be. A cikkbe feltesszük, hogy b portfólióvektor em egatív kompoesekbõl áll, amelyekek összege, d azaz j= b ( j ) =. Az utóbbi feltétel azt jeleti, hogy a befektetési stratégia öfiaszírozó, az elõbbi pedig a rövidre eladási (short sale) üzleteket zárja ki. Jelölje S 0 a befektetõ kezdeti tõkéjét, ekkor a tõkéje egy ap múlva d S = S 0 b ( j ) x ( j ) = S 0 b,x, j= ahol, a skalárszorzatot jelöli. d Hosszú idejû befektetések eseté a piac változását x, x 2, R + hozamvektor-sorozattal jellemezhetjük. Az x i ( j hozamvektor j-edik kompoese, x ) i, azt modja meg, hogy a j-edik részvéybe fektetett egységyi tõke meyit ér az i-edik ap végé. Mide k i eseté az x i k rövidítést haszáljuk a hozamvektorok (x k,, x i ) sorozatára, és jelölje d az összes b R d + emegatív kompoesû vektor szimplexét, amely kompoeseiek az összege. Egy B = {b, b 2, } befektetési stratégiát leíró függvéyekek egy sorozata b i : (R d + ) i d, i =, 2, úgy, hogy b i (x i ) jelöli a befektetõ által az i-edik apra a piac korábbi viselkedése alapjá választott portfólióvektort. Az egyszerûség kedvéért a késõbbiekbe a következõ jelölést haszáljuk b(x i ) = b i (x i ). Az S 0 kezdeti tõkébõl kiidulva, az -edik ap végé a B befektetési stratégia tõkéje i S = S 0 b( x ), x i i = S 0 e i= i= ahol W (B) az átlagos hozamszit (övekedési ráta) log ( i b x ), xi = S 0 e W ( B),

3 626 Ottucsák György Vajda Istvá W (B) = i log b( x i= Nyilvávalóa, S = S (B) maximalizálása ekvivales W (B) maximalizálásával. A szekveciális befektetések elméletébe a piac viselkedéséek modellezésére két fõ megközelítés létezik. Az egyik, amikor a hozamvektor x, x 2, tetszõleges értékeket vehet fel, és icse sztochasztikus feltevésük a részvéyárakat geeráló háttérfolyamatról. 2 Az ilye x, x 2, sorozatot idividuálisak is evezik. Eél a megközelítésél az elért vagyot a refereciastratégiák (szakértõk) egy osztályával hasolítják össze. Például Cover [99] a kostas újrasúlyozott portfóliók (Costatly Rebalaced Portfolios, CRP) osztályát vizsgálta, ahol B befektetési stratégiák b(x i ) függvéyei egyelõk egy fix portfólióvektorral, amely függetle i-tõl és a múlttól, x i -tõl is. Az adott periódusra a legjobb kostas újrasúlyozott portfóliót csak utólag lehet meghatározi, tehát ez em kauzális stratégia. Cover megmutatta, hogy létezik B befektetési stratégia (úgyevezett uiverzális portfólió 3 ), amelyek a teljesítméye ugyaolya jó, mit a legjobb kostas újrasúlyozott portfólió teljesítméye a következõ értelembe: ), x d W (B) max W (C) 2 log + O C C mide lehetséges x hozamvektorra, ahol C a kostas újrasúlyozott portfóliók osztálya. Vagyis eek a em elõrelátó, azaz kauzális, stratégiáak az átlagos hozamszitje legfeljebb egy (d )log -es hibatagba marad el a legjobb elõrelátó (em kauzális) 2 kostas újrasúlyozott portfólió övekedési rátájától. A lábjegyzetbe említett refereciák ezt az eredméyt terjesztették ki külöbözõképpe. A következõ egyszerû példa demostrálja a kostas újrasúlyozott portfóliók erejét Helmbold és szerzõtársai [998].. PÉLDA. Legye 2 részvéy a piaco, az egyik kockázatmetes értékpapír, amelyek ics hozama, illetve a másik egy agy volatilitású részvéy. Mide páros apo a részvéy értéke megduplázódik, és mide páratla apo a részvéy értéke megfelezõdik. Az elsõ értékpapír hozamvektora,,, a másodiké /2, 2, /2, 2,. Egyekét egyik értékpapír sem tuda 2-es faktorál agyobb hozamot realizáli, de ha pézüket egyelõe helyezzük el a két értékpapírba, azaz az egyeletes b = (/2, /2) portfóliót haszáljuk, akkor expoeciális övekedést tuduk eléri. A páratla apoko a vagyo csökkeése /2 + /2 /2 = 3/4, míg páros apoko a övekedés /2 + /2 2 = 3/2, azaz 2 ap utá a hozam (9/8). A feti megközelítés elõye, hogy em haszál a piac leírására boyolult statisztikai modelleket, és az eredméyek mide lehetséges x sorozatra feállak. Ebbõl a szempotból ez a megközelítés agyo robusztus, másfelõl azoba ehéz követi a refereciaosztályba lévõ legjobb stratégia viselkedését. Például a legjobb kostas újrasúlyozott portfólió aszimptotikusa optimális, ha az x,, x hozamvektor-sorozat függetle és azoos eloszlású valószíûségi változókból álló vektorsorozatak egy realizációja (lásd i. 2 Lásd például Cover [99], Cover Ordetlich [996], Siger [997], Helmbold Schapire Siger Warmuth [998], Ordetlich Cover [998], Vovk Watkis [998, Blum Kalai [999], Borodi El-Yaiv Goga [5], Cesa-Biachi Lugosi [2000], Cross Barro [2003] és Stoltz Lugosi [2003]. 3 Nem szabad összekeveri a késõbbiekbe bevezetésre kerülõ uiverzálisa kozisztes portfólióstratégiával.

4 Empirikus portfólióstratégiák 627 letebb). Nem jól haszálható viszot abba a valós piac mûködéshez jóval közelebb álló esetbe, ha a külöbözõ kereskedési periódusokba lévõ hozamvektorok között erõs, például Markov-típusú, statisztikai függések vaak. Megoldáskét a szakértõkek agyobb refereciaosztályait is vizsgálták, de hasoló korlátokba ütköztek {lásd például Cover Ordetlich [996], Siger [997] és Cross Barro [2003] kapcsolgatós portfóliója (switchig portfolios)}. A másik, szokásos megközelítés, hogy feltesszük a hozamvektorról, hogy valamilye statisztikai modellel leírható véletle folyamatból származik. Eek a klasszikus ézõpotak az az elõye, hogy mide folyamat eseté elvileg meghatározható egy optimális stratégia (részletese lásd késõbb), amely függ a folyamat ismeretle eloszlásától. Mid idõbe, mid a részvéyárak között azoba boyolult függõségek lehetek, amelyek agyo megehezítik a statisztikai modellek készítését. A cikkbe ötvözzük a feti két megközelítést. Aak elleére, hogy feltesszük: a hozamvektor egy véletle folyamat realizációja, em tételezük fel semmilye paraméteres struktúrát az eloszlásról vagy az idõbeli függésekrõl. Az általuk bemutatott modell em paraméteres statisztiká alapszik, az egyetle feltevés, amit haszáluk, hogy a piac stacioárius és ergodikus, amely megeged tetszõlegese komplex eloszlásokat. A voatkozó eredméyek fõ üzeete, hogy létezek em paraméteres befektetési stratégiák, amelyek hatékoya feltárják a múltbeli adatokba lévõ rejtett összefüggéseket, és ezeket kiakázva képesek gyors vagyoövekedést eléri. Logoptimális portfólió Tegyük fel, hogy x, x 2, az X, X 2, véletle valószíûségi változók realizációja, amelyek egy vektorértékû stacioárius és ergodikus folyamatot {X } alkotak! 4 Az Algoet [992]-be és az Algoet Cover [988]-ba meghatározott alapvetõ korlátok rámu * * tattak, hogy az úgyevezett logoptimális portfólió B = {b ( )} a legjobb választás. For * málisa, az -edik kereskedési periódusba jelölje b ( ) a logoptimális portfóliót: * E{log b ( X ), X X }= max E{log b ( X ), X X b( ) ahol E{ X } = E{ X, X 2,, X } a múltbeli hozamvektorok szerit vett feltételes várható értéket jeleti. 5 * * Ha általáos esetbe S = S (B ) jelöli a B * logoptimális portfólióstratégiával elért tõkét ap utá, akkor mide tetszõleges B befektetési stratégia által elért S = S (B) vagyora és {X } tetszõleges stacioárius és ergodikus folyamat eseté }, és ahol lim sup log S 0 valószíûséggel () * S * * lim log S = W valószíûséggel W = E max E{log b( X ), X * 0 b( ) X } a logoptimális befektetési stratégia övekedési rátája. 4 A feti feltételek mellett vizsgálta például Breima [96], Algoet Cover [988], Algoet [992], Walk Yakowitz [2002], Györfi Schäfer [2003] és Györfi Lugosi Udia [2006] a portfólióválasztási problémát. 5 Részletese lásd Medvegyev [2002] fejezet.

5 628 Ottucsák György Vajda Istvá Az () egyelõtleség alapötlete a következõ. Tekitsük egy tetszõleges B stratégiát és a hozzá tartozó vagyot, S -t, ekkor az átlagos api hozamszitet botsuk fel a következõképpe: ahol és log ( log i S = b X ), Xi = Zi + Y, (2) i i= i= i= Z i = log b(x i ), X { i E log b( X i ), Xi X i Y i = E{log b ( X ), X X i i }. i } amelyre ige általá Ekkor Z, Z 2, egy úgyevezett martigáldifferecia-sorozat, 6 os feltételek mellett lim Z i = 0 valószíûséggel. i= Következésképpe log S aszimptotikus viselkedését az dése határozza meg. Ugyaakkor b * defiíciója miatt i= Y i összetevõ viselke- Y i = E{log i= i= i b ( X ), Xi X i } max E{log b(x i ), X i X i= b( ) = * i E{log b ( X ), Xi X i= * ami viszot az log S aszimptotikus viselkedéséek felel meg. Tehát icse olya befektetési stratégia, amelyek aszimptotikusa agyobb a hozamszitje, mit a logoptimális portfólióak. A b * defiíciójából következik, hogy függetle és azoos eloszlású piacok eseté b * * kostas, és W = max b E{log b, X0 i }, i } }, ami azt mutatja, hogy ebbe az esetbe a logoptimális portfólió egybeesik a legjobb kostas újrasúlyozott portfólióval. 7 Tekitsük az. PÉLDA egy sztochasztikus verzióját (Cover [99])! 2. PÉLDA. Legye X = ( X, X 2 ) a hozamvektor és b = (b, b) a portfólióvektor. Az egyik értékpapír hozama kostas, a másiké 2 vagy /2 értéket vesz fel /2, /2 valószíûséggel. Formálisa P(X = ) =, míg P(X 2 = 2) = P(X 2 = / 2) = / 2. Tegyük fel továbbá, hogy X, X 2, függetle és azoos eloszlású tagokból álló sorozat! Ekkor a logoptimális portfólióba az elsõ értékpapír aráya: * b = arg max E{log b ( b, b), X } = arg max E{log(b + ( b)x 2 )} b 6 Részletese lásd Medvegyev [2002] fejezet. 7 Breima [96], Kelly [956], Lataé [959], Fikelstei Whitley [98], Barro Cover [988], Morvai [99], [992], Móri [982], [986] és Móri Székely [982].

6 Empirikus portfólióstratégiák 629 b = arg max log b log(2 b) =. 2 Azaz a logoptimális portfólió b * = (/2, /2), amelyek a api várhatóhozama: E{ b, X }= + E{X 2 } = Természetese, általáos esetbe a logoptimális portfólió meghatározásához a folyamat (végtele dimeziós) eloszlásáak teljes ismerete szükséges. A késõbbiekbe azokat a befektetési stratégiákat, amelyek aszimptotikusa elérik az optimális W * hozamszitet, az eloszlás ismerete élkül uiverzálisa kozisztesek evezzük. Potosabba, egy B befektetési stratégiát uiverzálisa kozisztesek evezük az {X } stacioárius és ergodikus folyamatok egy osztályá, ha az osztályba mide folyamatra * lim log S (B) = W valószíûséggel. Megjegyzések a logoptimális portfólióhoz Számos közgazdász em értett egyet az E{log S } mit cél maximalizálásával, és többyire a haszosságelmélet oldaláról idítottak támadást a logoptimális portfólióválasztás elle. Az eddigi általáos feltételekkel szembe (stacioárius és ergodikus hozamok) ebbe az alfejezetbe jóval korlátozóbb feltételezéssel élük, mégpedig, hogy a hozamok függetleek és azoos eloszlásúak. A kritikák e feltételek mellett születtek. Egy tipikus kritika a következõ. Tételezzük fel, hogy az egyes eszközök hozama függetle, azoos eloszlást követ! Jelölje S a vagyot az -edik periódus végé, továbbá legye a haszosság a következõ módo adott: γ U (S, γ ) = S /γ, ahol γ 0. Ahhoz, hogy a várható haszosságot maximalizáljuk, mide egyes idõpotba azoos portfóliót kell választauk. Jelöljük c-vel az U( ) haszossági függvéy várható értékét maximalizáló portfóliót, és legye d a logoptimális portfólió, azaz az a portfólió, amely maximalizálja az E{log S } kifejezést tetszõleges eseté. Összehasolítva a két portfólió teljesítméyét az U( ) haszossági függvéy által meghatározott mértékbe, adódik, hogy c E{U(S,γ )}, d E{U (S,γ )} c ha (Samuelso [963]), ahol S az -edik apig elért vagyoa a c stratégiáak. Eél valamivel komolyabb elleérv, de még midig ugyaazo godolat ismétléséek tekithetõ a Merto Samuelso [974] szerzõpárostól származó kritika. A szerzõk megmutatták, hogy a logoptimális portfólió még közelítõe sem lesz optimális a kezdeti vagyo egyeértékese értelmébe. Jelölje def π ef (, S 0 ) = π ef

7 630 Ottucsák György Vajda Istvá az f stratégia kezdeti vagyo egyeértékesét az e stratégiához viszoyítva, ha def e f E{U (π ef S, γ )} = E{U (S, γ )}, feltéve, hogy S 0 =. Legye e a logoptimális stratégia! Jelölje f az U ( x, γ ) = x γ /γ (γ < ) haszossági függvéy eseté a várható haszosságot maximalizáló stratégiát! A logoptimális stratégia közelítõe optimális ebbe a módosított értelembe, ha limπ ef (, S 0 ) = és π ef az idõ csökkeõ függvéye. Tekitve az U ( x, γ ) = x γ /γ, (γ < ) haszossági függvéyt, adódik. Hasolóa kapjuk, hogy f E{U(S, γ )} = E{(S f ) γ f } (E{(S = ) γ }) (3) γ γ γ e E{U(π ef S, γ )} = E{(π e ef S ) γ e } π = ef (E{(S ) γ }). (4) γ γ Vizsgáljuk γ 0-át, ekkor (3)-ból és (4)-bõl azt kapjuk, hogy ahol π ef = λ(γ ) /γ, f def E{(S ) γ } λ(γ ) = e. E{(S ) γ } Így azt kapjuk, hogy és limπ ef (, S 0 ) =, π ef (, S 0 ) > 0. Tehát a logoptimális stratégia em optimális ebbe a módosított értelembe. Az ilye jellegû kritikákkal az a probléma, hogy figyelme kívül hagyják azt a téyt, hogy az E{log S }-t em haszossági megfotolások miatt kell maximalizáljuk, haem a kedvezõ aszimptotikus tulajdoságai miatt. Vegyük észre, hogy az egyes befektetõk haszosságától függetleül pézbe kifejezve valószíûséggel a legagyobb vagyot fogja biztosítai aszimptotikusa. Ugyaakkor, ha már a logaritmusfüggvéyt haszossági függvéyek akarjuk tekitei, akkor e várjuk, hogy a logoptimális stratégia egy logaritmustól külöbözõ haszossági függvéy szeriti várható haszosságot is maximalizáljo. Maga Markowitz is olya metakritérium megtalálásá fáradozott, ami a várható haszosság megszállottjait is meggyõzi a logoptimális portfóliók aszimptotikus optimalitásáról. Hitte, hogy a várható haszosság Neuma és Morgester által bevezetett maximalizálása az üdvözítõ út az optimális portfólió kiválasztására. Markowitz [976] em túl szigorú feltételek mellett a logoptimális portfóliók optimalitását is igazolta. Tételezzük fel, hogy mide idõpotba azoosak a befektetési lehetõségek, vagyis a hozamok függetleek és azoos eloszlásúak. A haszossági függvéyel kapcsolatba Markowitz csak egy kikötést tesz: ha egy C stratégiából származó vagyosorozat S C C C = (S 0, S, S 2, ) és egy D stratégiából származó vagyosorozat S D D D = (S 0, S, S 2, ) eseté az S C sorozat mide eleme agyobb, mit az S D sorozat mide eleme egy bizoyos N utá, akkor U (S C ) U (S D ).

8 Empirikus portfólióstratégiák 63 E két feltételezés biztosítja a logoptimális portfólióválasztás felsõbbredûségét, amit Markowitz következõképpe bizoyít. Jelölje y i a log( + r i )-t, vagyis a logszázalékos hozamot. Jelölje C a logoptimális stratégiát, és legye D egy tetszõleges másik stratégia. A logoptimális stratégia defiíciójából adódik, hogy E( y C D ) > E( y ), mide -re. Feltehetjük, hogy az y, y 2, függetle és azoos eloszlású valószíûségi változók véges µ várható értékkel, így vagy lim ( y i µ) = 0, valószíûséggel, i= lim y i = µ, valószíûséggel. i= C D Mivel E( y ) > E( y ), ezért adódik, hogy C y i D y i, i= i= mide N (ω )-ra majdem mide ω Ω eseté. Alkalmazva y i = log( + r i )-t kapjuk, hogy C log( + r i ) D log( + r i ) i= i= mide N (ω )-ra, majdem mide ω Ω eseté. Így, S C S D mide N (ω )-ra, majdem mide ω Ω eseté. Ie a haszossági függvéyre tett feltételezésbõl adódik, hogy és így C C D D U (S 0, S, S 2, ) U (S 0, S, S 2, ) E{U(S C )} E{U (S D )}. valószíûséggel Uiverzálisa kozisztes empirikus befektetési stratégiák Meglepõ téy, hogy létezik uiverzális stratégia a stacioárius és ergodikus folyamatok tetszõleges osztálya eseté, amit Algoet [992] bizoyított. Algoet kostrukciója azoba elég komplex, és az elméleti jeletõsége elleére kicsi a gyakorlati értéke. Algoet bevezetett egy egyszerûbb sémát is, és vázlatosa bizoyította uiverzális koziszteciáját, amelyek teljes bizoyítását végül Györfi Schäfer [2003] adta meg. A következõkbe három uiverzálisa kozisztes portfólióstratégiát mutatuk be, amelyek alapjait az alakfelismerés és a em paraméteres regresszióbecslés témakörébe jól ismert módszerek adják: a partíciós becslõ, a magfüggvéy alapú becslõ és a legközelebbi szomszéd becslõ. Midhárom stratégia alapötlete, hogy a közeli múlthoz hasoló mitázatokat keres a múltba, és ezek alapjá készít becslést a másapi részvéyárfo-

9 632 Ottucsák György Vajda Istvá lyamokra, amely alapjá maximalizálja a portfólióját (a három stratégia közötti külöbség éppe a hasolóság defiíciójába va). A stratégiák alapjaiak részletesebb leírása megtalálható Devroye Györfi Lugosi [996] 9., 0. és. fejezetébe és Györfi Kohler Krzyzak Walk [2002] 4., 5. és 6. fejezetébe. Hisztogram alapú stratégia Bemutatjuk Algoet sémájáak Györfi Schäfer-féle változatát, az úgyevezett hisztogram alapú befektetési stratégiát mit a korábba említett portfólióválasztási stratégiák egy speciális esetét. Jelölje B H a hisztogram alapú befektetési stratégiát! B H kostrukciója a következõ. Elõször defiiáljuk az elemi stratégiákak (szakértõkek) egy végtele osztályát H (k,a) = {h (k,a) ( )} -t, ahol k és A idexek pozitív egészek, k, A = =, 2,. Egy H (k,a) szakértõ eseté k a mitaillesztési ablakméretét (lásd késõbb), míg A a d kvatálás fiomságát adja meg. Legye R + -ek egy partíciója, P A = {A A, j }, ahol j =, 2,, m A, amely m A darab diszjukt halmazból (cellából) áll. A H (k,a) szakértõ ahhoz, hogy meghatározza a portfólióját az -edik apo, az utolsó k ap hozamvektorát veszi alapul. Diszkretizálja (kvatálja) P A partíció szerit a múlt k d dimeziós vektorát, és meghatározza azt a portfólióvektort, amely optimális azoko a múltbeli apoko, amelyekek a kvatált k hosszú múltja egybeesik a mostaival. Formálisa, jelölje G A a P A partícióhoz tartozó diszkretizáló függvéyt, azaz G A (x) = j, x A A, j. Vezessük be a következõ egyszerûsítõ jelölést mide -re és x R d -re, jeletse G A (x ) a G A (x ),, G A (x ) sorozatot! Ezutá defiiáljuk a H (k,a) = {h (k,a) ( )} szakértõt h (k,a) (x ) = arg max, b x (5) b d i {k<i<:ga ( x i k )=G A ( x k )} mide > k + -re, ha a szorzat em üres, külöbe pedig válasszuk az egyeletes b 0 = (/d,, /d) portfóliót. Tehát h ( k,a) diszkretizálja x szekveciát a P A partíció szerit, és megkeresi az összes egyezést a múltba az utoljára látott G A (x k ) k hosszú kvatált sorozattal. Ezutá kiválasztja azt a fix portfólióvektort, amely maximalizálja a kifizetést a kvatált sorozatok utá következõ apoko. Az. ábra összefoglalja a stratégia csúszó ablakos mûködését. A voalkázott téglalapok a múltbeli k hosszú mitaegyezéseket jeletik. A teli karikák a múltbeli mitaegyezéseket követõ api hozamok, amiek alapjá az üres karikára, azaz a holapi hozamra ad becslést a stratégia., i. ábra A csúszó ablak szemléltetése k ap A B H hisztogram alapú stratégiát a H (k,a) szakértõk kombiálásával kapjuk, felhaszálva egy {q k,a } valószíûségi eloszlást, amely mide pozitív egész pár (k, A) halmazá értelmezett úgy, hogy k, A, q k,a > 0. B H stratégia a H (k,a) szakértõk egyszerû súlyo-

10 Empirikus portfólióstratégiák 633 zása a múltbeli teljesítméyük alapjá a következõképpe: a befektetõ vagyoa az edik ap utá S (B H ) = q k,a S (H (k,a ) ), (6) k,a ahol S (H (k,a) ) az -edik ap utá összegyûlt vagyot jeleti, amikor H (k,a) portfólióstratégiát haszálja, és a kezdeti tõke S 0 =. Az S 0 kezdeti tõkét H (k,a) szakértõk között a q k,a valószíûségi eloszlás szerit osztjuk szét, azaz S 0 (H (k,a) ) = q k,a S 0. Györfi Schäfer [2003] megmutatta, hogy B H stratégia uiverzálisa kozisztes az ergodikus folyamatokak mide olya osztályára, amelyre igaz E{ log X ( j ) } < j =, 2,, d eseté, és a kvatáláshoz haszált partíciók teljesítik a következõ két tulajdoságot: a) a partíciók sorozata fiomodó, azaz P A+ mide cellája egy részhalmaza P A partíció megfelelõ cellájáak, A =, 2, és b) ha diam( A) = sup x y jelöli a halmaz átmérõjét, akkor mide origó középx,y A potú gömb S R d eseté lim max diam( A A, j ) = 0. A A A, j S 0 Szakértõk kombiálása Az elõbb bemutatott empirikus stratégia alapötlete a szakértõk (portfóliók) kombiálása, azaz S (B) = q k,a S (H (k,a) ), k,a és az uiverzális koziszteciához azt kell megmutati, hogy lim if log S (B) W * valószíûséggel. A bizoyítás két lépésbõl áll. Elõször azt kell beláti, hogy a kombiáltportfólió- és a portfólióstratégia-osztályba lévõ legjobb portfólió között szoros kapcsolat va. Második lépés aak a megmutatása, hogy a portfólióstratégia-osztályba a legjobb portfólió uiverzálisa kozisztes. Az elsõ lépés godolatmeete a következõ lim if log S (B) = lim if log q k,a S (H (k,a) ) k,a lim if log sup q k,a S (H (k,a ) ) k,a = lim if sup(log q k,a + log S (H (k,a) )) k,a suplim if log S (H (k,a) ), k,a ezért az elõzõkbe taglalt stratégiák eseté azt kell megmutati, hogy suplim if log S (H (k,a) ) > W * k,a valószíûséggel.

11 634 Ottucsák György Vajda Istvá Magfüggvéy alapú stratégia Györfi Lugosi Udia [2006] vezette be a magfüggvéy alapú stratégiát, amelyek egy egyszerûbb, az egyeletes magfüggvéyhez tartozó, úgyevezett mozgó ablakos változatát ismertetjük. Ugyaúgy, mit az elõzõ alfejezetbe, a stratégiához defiiáljuk a szakértõk egy végtele osztályát H (k,a ) = {h (k,a) ( )}-t, ahol k és A pozitív egészek. Mide fix k, A pozitív egészhez válasszuk egy sugarat, amire igaz r k,a > 0 úgy, hogy mide fix k-ra lim r k,a = 0. A Ekkor mide > k + eseté defiiáljuk h (k,a) h (k,a) (x ) = arg max b d i {k<i<: xi k x k r k,a } szakértõt a következõképpe: b, x i, ha a szorzat em üres, külöbe pedig válasszuk az egyeletes b 0 = (/d,, /d) portfóliót. Az algoritmus azokat a mitákat tekiti hasolóak, amelyekek az euklédeszi távolsága kisebb egy meghatározott r k,a sugárál. A szakértõket a hisztogram alapú stratégia eseté bemutatott módo kombiáljuk a (6) szerit. Györfi Lugosi Udia [2006] bebizoyította, hogy B K portfólióséma uiverzálisa kozisztes az ergodikus folyamatok azo osztályára, amelyre igaz E{ log X ( j ) } < j =, 2,, d. Legközelebbi szomszéd alapú stratégia A korábbiakhoz hasolóa defiiáljuk a szakértõk egy végtele osztályát H (k,a) = {h (k,a ) ( )}-t, ahol 0 < k, A, egészek. Jelölje k a mitaillesztési ablak hosszát, és mide A-hez válasszuk q A (0,) -t úgy, hogy lim q A = 0. (7) A Legye ˆ A = q A. Mide adott apo a szakértõ megkeresi ˆA legközelebbi szomszédot a múltba. k, A( > k +  + ) fix pozitív egészekre vezessük be az  legközelebbi szomszéd (LSZ) halmazát: (k,a) i = {i: k + i úgy ugy, hogy x i bee va x  LSZ-ja között}. kozott Ĵ Legye h (k,a) szakértõ defiíciója h (k,a) (x ) = arg max k b d {i Ĵ (k,a ) } b, x i Azaz h ( k,a) szakértõ egy fix portfólióvektor, amely a legközelebbi szomszédok elõfordulását követõ apokra ézve optimális. A szakértõk kombiálása ugyaúgy törtéik, mit korábbi két stratégia eseté [lásd (6)]. Györfi Udia Walk [2006]-be bebizoyította, hogy a B NN portfólióséma uiverzálisa kozisztes az ergodikus folyamatokak azo osztályára, amelyre igaz E{ log X ( j ) } < j =, 2,, d. k.

12 Empirikus portfólióstratégiák 635 Kísérletek a New York-i Értéktõzsde adatai A bemutatott uiverzálisa kozisztes portfólióstratégiákat a New York-i Értéktõzsde (NYSE) stadard adatsorá vizsgálták, amelyet többek között Cover [99], Siger [997], Helmbold Schapire Siger Warmuth [998], Blum Kalai [999], Borodi El-Yaiv Goga [2000] is haszált empirikus vizsgálataihoz. Az adatsor 36 részvéy api árait tartalmazza egy 22 év hosszú perióduso (565 kereskedési apo) keresztül 962-tõl 984-ig. Vizsgálatok sorá a következõ feltételezésekkel élek, amelyeket az ismert közgazdasági modellek is alkalmazak (lásd például Markowitz [952] és Sharpe [964]): a részvéyek korlátlaul oszthatók, a részvéyekbõl korlátla meyiség áll a redelkezésükre az aktuális (api) áro, azaz tetszõlegese kevés vagy sok részvéyt tuduk vei vagy eladi, ics trazakciós költség és a befektetõ ifiitezimális, azaz a befektetõ akciói icseek hatással a piac viselkedésére (ez a feltevés, akkor realisztikus, ha a befektetett vagyo kicsi a piac kereskedési volumeéhez képest). A szimulációk sorá (Györfi Lugosi Udia [2006], Györfi Udia Walk [2006]) elért látváyos vagyoövekedést (például több mit 0 2 -ees övekedési faktor 22 év alatt a New York-i Értéktõzsdé) körültekitõe kell értelmezi, mivel a gyors övekedés a valós piacoko elkerülhetetleül maga utá voa számos reakciót, amelyet sem az elméleti, sem a gyakorlati modellek em képesek leíri. Az egyszerûsítések elleére úgy godoljuk, hogy a umerikus eredméyek erõs empirikus bizoyítékot yújtaak arra,. táblázat Külöbözõ befektetési stratégiákkal elért vagyo a Cover [99] által haszált NYSE-részvéypároko Részvéyek Legjobb sz. [k, A] Iroquois Ki Ark Legjobb részvéy 8,92 B H 2,3e+0,39e+ [, ] BCRP 73,70 B K 4,03e+0 9,0e+ [2, 2] Orákulum 6,85e+53 B NN,5e+2,44e+3 [2, 8] Cover UP 39,97 Siger AKP 43,7 Com. Met Mei. Corp Legjobb részvéy 52,02 B H 62,5 327,8 [2, ] BCRP 03,0 B K 775, 4749 [2, 5] Orákulum 2,2e+35 B NN ,4e+4 [3, 6] Cover UP 74,08 Siger AKP 07,7 Com. Met Ki Ark Legjobb részvéy 52,02 B H,33e+0 8,54e+0 [, ] BCRP 44,0 B K,e+,4e+2 [3, 3] Orákulum,84e+49 B NN 4,78e+2 8,25e+3 [3, 7] Cover UP 80,54 Siger AKP 206,7 IBM Coca-Cola Legjobb részvéy 3,36 B H 63,8 2,2 [, 5] BCRP 5,02 B K 47,6 94,6 [, 6] Orákulum,08e+5 B NN 74,3 296,3 [, 7] Cover UP 4,24 Siger AKP 5,05 UP: uiverzális portfólió, AKP: Siger-féle adaptív kapcsolgatós portfólió.

13 636 Ottucsák György Vajda Istvá hogy a részvéypiac em hatékoy. Ezt részbe azzal magyarázhatjuk, hogy aak elleére, hogy a javasolt modell csak publikus adatokat haszált, az általa feltárt piaci összefüggések elég komplexek ahhoz, hogy a legtöbb kereskedõ számára rejtve maradjaak. A következõkbe égy részvéypáro végzett szimulációk eredméyét mutatjuk be (Györfi Lugosi Udia [2006], Györfi Udia Walk [2006]). Az eredméyeket az. táblázat foglalja össze. A gyakorlatba mide szimuláció eseté a szakértõk végtele agy osztálya helyett csak egy véges 50 szakértõbõl álló osztályt haszáltak. A szakértõk paraméterei k =,, K és A =,, L, ahol K = 5 és L = 0. A táblázat második oszlopába található a két részvéy közül a jobbik által elért vagyo, a legjobb kostas újrasúlyozott portfólióval, egy orákulummal (ez a legjobb lehetséges stratégia, amely mide apo a jobb, magasabb hozamú, részvéybe fekteti a vagyot), illetve Cover-féle uiverzális portfólióval (UP) és a Siger-féle adaptív kapcsolgatós portfólióval (AKP) elért vagyoövekedés. A harmadik oszlop tartalmazza a korábba bemutatott három uiverzálisa kozisztes stratégiával: a hisztogram (B H ), a magfüggvéy (B K ) és a legközelebbi szomszéd (B NN ) alapú befektetési stratégiákkal elért vagyot. Az összes esetbe K = 5 és L = 0. Az utolsó oszlopba a K L darab szakértõ közül a legjobb szakértõ vagyoát és a hozzá tartozó paraméterek idexeit soroltuk fel. A logoptimális és Markowitz-féle portfólióelmélet kapcsolata Ebbe a fejezetbe párhuzamot vouk a logoptimális befektetés és a Markowitz-féle portfólióválasztás között. Elsõ pillaatra ez több okból is meglepõ lehet. A Markowitz-féle portfólióválasztás a várható érték és a variacia kettõsére voatkozó prefereciák alapjá ragsorolja a portfóliókat. A várható haszosság oldaláról ez a következõképpe magyarázható. Tekitsük egy CARA típusú (kostas abszolút kocká- U ( x) zatkerülõ) haszossági függvéyt. Legye ez az U ( x) = e kx függvéy, ahol U ( x) = k az abszolút kockázatkerülés mértéke. Ismert, hogy ha x ~ N (µ, σ ), akkor a EU helyett a V (µ, σ ) = µ kσ 2 kifejezést vizsgálhatjuk. 2 Ha a logoptimális portfólióválasztást a logaritmikus haszosság maximalizálásakét fogjuk fel, akkor ez em más mit egy U ( x, γ ) = (x γ ) CRRA (kostas relatív γ kockázatkerülõ) haszossági függvéy γ 0 helye vett várható értékéek a maximalizálása [ha γ 0, akkor U ( x, γ ) log( x) ]. Következésképpe egy kostas abszolút kockázatkerülõ függvéyt vetük össze egy em kostas abszolút kockázatkerülõvel. A következõ érveik vaak arra, hogy mégis idokolt az összehasolítás. A két portfólióválasztási szabály azoos logikáját igazolja a logoptimális portfólióválasztás késõbb defiiáladó implicit kockázatkerülõ tulajdosága is. Másrészt, késõbb megmutatjuk, hogy kvadratikus közelítést alkalmazva, a logoptimális portfólióválasztásra egy, a várható értéktõl pozitíva és a variaciától egatíva függõ kifejezést kapuk, hasolóa a markowitzi portfólióválasztáshoz. Markowitz [952] a moder portfólióelméletet megalapozó cikkébe rámutatott arra, hogy a várható hozam maximalizálása hosszú távo em hozhat eredméyt a piaco, mivel figyelme kívül hagyja a diverzifikáció elvét (ekkor az összes vagyo egyetle részvéybe ivesztálódik). Javaslata az volt, hogy a részvéyekbe rejlõ kockázatot is figyelembe kell vei a várható hozam mellett. A kockázat jellemzésére a hozamok variaciáját haszálta. Értelemszerûe az azoos várható hozamú értékpapírok között a racioális befektetõ a kisebb szórásút, míg azoos variacia mellett a agyobb várható értékût részesíti elõybe.

14 Empirikus portfólióstratégiák 637 A logoptimális portfólió hasoló tulajdoságát vizsgálta Vajda [2006]. Vezessük be az implicit kockázatkerülés fogalmát. Egy g portfólióstratégiára azt modjuk, hogy c szite implicit kockázatkerülõ, hogy ha két b és b 2 portfólió közül, amelyekre teljesül, hogy és ahol c 0, akkor E b, X = E b, 2, X Var b X = Var b, + c,, 2 X g(b, X ) g(b 2, X ). Ekkor belátható, hogy a logoptimális portfólió implicit kockázatkerülõ c = 2 max E{ X (i ) 3 } i paraméterrel, ahol X (i) a hozamvektor i-edik kompoese, és X (i) agyobb, mit 0,6. Az eredeti cikkbe (Markowitz [952]) mivel függetle és azoos eloszlású adatsoroko végzett vizsgálatokat kézefekvõ volt a várható hozam vizsgálata köye látható, hogy ha függések vaak egyes hozamok között, akkor ehelyett megfelelõbb a feltételes várható hozam vizsgálata. Vegyük észre, hogy függetleség eseté a feltételes várható hozam egybeesik a várható hozammal. Egy b portfólió Markowitz-féle haszosság függvéye a következõ kvadratikus alakba írható fel ahol és E{U E V ( b(x i i ), X i ) X }= E b λv b, i E b = E{ ( b X ), Xi X i } i V b = Var{ b ( X ), Xi X i } és λ a befektetõ kockázatkerülési hajladóságát fejezi ki. Mivel a kockázatkerülés az adott befektetõt jellemzi, ezért b em függ a választott portfóliótól. Ezért a feti egyeletet maximalizáló portfólióra igaz, hogy * b E V = arg max E b λv b = arg max E b V b. (8) b( ) b( ) λ A loghaszosság és E V megközelítés közötti kapcsolatot vizsgálta Markowitz [959], Markowitz [976] és Yog Tret [969]. Megmutatták bizoyos hozamvektor-eloszlásokra, hogy i i i Var E log( b ( X ), Xi ) log E{ b ( X ), Xi } { b( X ), Xi 2 i E {( b( X ), Xi ) } }. 2 A kövekezõkbe egy általáos összefüggést mutatuk a loghaszosság és az E V megközelítés között, ehhez Györfi Urbá Vajda [2006]-ba bevezetett semilog függvéyt haszáljuk, amelyek sorá a hozamvektorról em kell semmilye korlátozó feltételezést teük. A semilog függvéy a log(z) függvéy másodredû Taylor-sorfejtése a z = körül, azaz:

15 638 Ottucsák György Vajda Istvá log(z) z (z ) 2. 2 A feti közelítést haszálva a loghaszosságra, azt kapjuk, hogy i } i E{log b ( X ), Xi X E{ i b( X ), Xi X i } i E{ ( b( X ), Xi ) 2 X 2 A semilog függvéy egy jó közelítés log(z)-re, mivel z tipikusa körüli értéket vesz fel. Jelölje a feltételes második mometumot E 2 b, azaz i }. E b 2 i = E{( ( ), b X X ) 2 X i i }, ekkor levezethetõ, hogy arg max E{log b(x i ), X i X i } arg max 2Eb 2 E b 3 b( ) b( ) 2 2 = arg max 2Eb 2 (E b (E b ) 2 ) 2 (E b )2 b( ) 2 = arg max E b 2 2 E b 2 V b b( ) = arg max(e b (4 E b ) V b ) b( ) def = arg max E b V b * = b s b( ) λ bv b log, ahol λ b = a várható hozamtól függõ kockázatkerülési hajladóságot fejezi ki. Ez 4 E b az alak megegyezik a Markowitz-modellbõl levezetett, (8)-ba lévõ alakkal, azzal az eltéréssel, hogy a kockázatkerülési hajladóság, λ b, függ a b portfóliótól. Mivel E b értéke körüli, tipikusa korlátos itervallumba va (api hozam a tõzsdei szabályozás miatt em haladhat meg egy szitet), ezért a semilog haszosság megfeleltethetõ az E V haszosságak λ választással. 3 * A cikkbe pézügyi piacoko alkalmazható szekveciális befektetési (portfólióválasztási) stratégiákat mutattuk be. Szembe a klasszikus modellekkel, amelyek a piac mûködéséek a leírására erõs statisztikai feltételezéseket teszek, az ismertetett modellekbe a matematikai vizsgálatok sorá haszált egyetle feltétel, hogy a api hozamok stacioárius és ergodikus folyamatot alkotak. Bemutattuk az uiverzális kozisztecia fogalmát, és áttekitettük a hisztogram, a magfüggvéy és a legközelebbi szomszéd alapú uiverzá-

16 Empirikus portfólióstratégiák 639 lisa kozisztes stratégiákat, valamit a hozzájuk kapcsolódó empirikus eredméyeket. Ezekek a módszerekek a fõ üzeete, hogy létezek em paraméteres befektetési stratégiák, amelyek hatékoya feltárják a múltbeli adatokba lévõ rejtett összefüggéseket, és ezeket kiakázva képesek gyors vagyoövekedést eléri. Végül, párhuzamot votuk a Markowitz-féle és logoptimális portfólióelmélet között az implicit kockázatkerülés fogalmá és a haszosságfüggvéy kvadratikus sorfejtésé keresztül. Hivatkozások ALGOET, P. [992]: Uiversal schemes for predictio, gamblig, ad portfolio selectio. Aals of Probability, o. ALGOET, P. COVER, T. [988]: Asymptotic optimality asymptotic equipartitio properties of logoptimum ivestmets. Aals of Probability, o. BARRON, A. COVER, T. [988]: A boud o the fiacial value of iformatio. IEEE Trasactios o Iformatio Theory o. BLUM, A. KALAI, A. [999]: Uiversal portfolios with ad without trasactio costs. Machie Learig, o. BORODIN, A. EL-YANIV, R. GOGAN, V. [2000]: O the competitive theory ad practice of portfolio selectio (kibõvítettt összefoglaló). Proceedigs of the 4 th Lati America Symposium o Theoretical Iformatics (LATIN 00), Puta del Este, Uruguay, o. BREIMAN, L. [96]: Optimal gamblig systems for favorable games. Proceedigs of the 4 th Berkeley Symposium o Mathematical Statistics ad Probability, Uiversity of Califoria Press, o. CESA-BIANCHI, N. LUGOSI, G. [2000]: Miimax values ad etropy bouds for portfolio selectio problems. Proceedigs of the First World Cogress of the Game Theory Society, Bilbao, Spayolország, július, COVER, T. U. [99]: Uiversal portfolios. Mathematical Fiace, Vol o. COVER, T. ORDENTLICH, E. [996]: Uiversal portfolios with side iformatio. IEEE Trasactios o Iformatio Theory o. CROSS, J. BARRON, A. [2003]: Efficiet uiversal portfolios for pastdepedet target classes. Mathematical Fiace, o. DEVROYE, L., GYÖRFI, L. LUGOSI, G. [996]: A Probabilistic Theory of Patter Recogitio. Spriger-Verlag, New York. FINKELSTEIN, M. WHITLEY, R. [98]: Optimal strategies for repeated games. Advaces i Applied Probability, GYÖRFI, L. KOHLER, M. KRZYZAK, A. WALK, H. [2002]: A Distributio-Free Theory of Noparametric Regressio. Spriger, New York. GYÖRFI, L. LUGOSI, G. UDINA, F. [2006]: Noparametric kerel-based sequetial ivestmet strategies. Mathematical Fiace, o. GYÖRFI, L. SCHÄFER, D. [2003]: Noparametric predictio. Megjelet: Suykes J. A. K. Horváth, G. Basu, S. Micchelli,C. Vadevalle, J. (szerk.): Advaces i learig theory: Methods, models ad applicatios. IOS Press, NATO Sciece Series, o. GYÖRFI, L. UDINA, F. WALK, H. [2006]: Noparametric earest-eighbor-based empirical portfolio selectio strategies. Kézirat közlésre beyújtva. GYÖRFI, L. URBÁN, A. VAJDA, I. [2006]: Kerel-based semi-logoptimal empirical portfolio selectio strategies. Kézirat közlésre beyújtva. HELMBOLD, D. P. SCHAPIRE, R. E. SINGER, Y. WARMUTH, M. K. [998]: O-lie portfolio selectio usig multiplicative updates. Mathematical Fiace, o. KELLY, J. [956]: A ew iterpretatio of iformatio rate. Bell System Techical Joural, o. LATANÉ, H. [959]: Criteria for choice amog risky vetures. Joural of Political Ecoomy, 38. o o. MARKOWITZ, H. [952]: Portfolio selectio. Joural of Fiace, Vol. 7. No o.

17 640 Empirikus portfólióstratégiák MARKOWITZ, H. [959]: Portfolio Selectio: Efficiet Diversificatio i Ivestmets. JohWiley, NewYork. MARKOWITZ, H. [976]: Ivestmet for the log ru: New evidece for a old rule. Joural of Fiace, Vol. 3. No o. MEDVEGYEV PÉTER [2002]: Valószíûségszámítás. Aula, Budapest. MERTON, C. R. SAMUELSON, P. A. [974]: Fallacy of the logormal approximatio to optimal decisio makig over may periods. Joural of Fiacial Ecoomics, o. MÓRI TAMÁS [982]: Asymptotic properties of empiricial strategy i favourable stochastic games. Colloquia Mathematica Societatis Jáos Bolyai, 36. Limit Theorems i Probability ad Statistics, o. MÓRI TAMÁS [986]: Is the empirical strategy optimal? Statistics ad Decisos, o. MÓRI TAMÁS SZÉKELY G. J. [982]: How to wi if you ca? Colloquia Mathematica Societatis Jáos Bolyai, 36. Limit Theorems i Probability ad Statistics, o. MORVAI, G. [99]: Empirical logoptimal portfolio selectio. Problems of Cotrol ad Iformatio Theory, Vol. 20. No o. MORVAI, G. [992]: Portfolio choice based o the empirical distributio. Kyberetika, Vol. 28. No o. ORDENTLICH, E. COVER, T. [998]: The cost of achievig the best portfolio i hidsight. Mathematics of Operatios Research, o. SAMUELSON, P. [963]: A. Risk ad ucertaity: A fallacy of large umbers. Scietia, 57. április május. SHARPE, W. F. [964]: Capital asset prices: A theory of market equilibrium uder coditios of risk. Joural of Fiace, o. SINGER, Y. [997]: Switchig portfolios. Iteratioal Joural of Neural Systems. 8. május, o. STOLTZ, G. LUGOSI, G. [2003]: Iteral regret i o-lie portfolio selectio. Proceedigs of the 6th Aual Coferece o Learig Theory, COLT 2003, tavasz, o. VAJDA ISTVÁN [2006]: Risk cotrol i logoptimum ivestmet. Kézirat. VOVK, V. WARMUTH, K. [998]: Uiversal portfolio selectio. Proceedigs of the th Aual coferece o Computatioal Learig Theory, o. WALK, H. YAKOWITZ, S. [2002]: Iterative oparametric estimatio of a logoptimal portfolio selectio fuctio. IEEE Trasactios o Iformatio Theory, o. YONG, W. E. TRENT, R. M. [969]: Geometric mea approximatio of idividual security ad portfolio performace. Joural of Fiacial ad Quatitative Aalysis, Vol. 4. No o.