Logoptimális portfóliók empirikus vizsgálata

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Logoptimális portfóliók empirikus vizsgálata"

Átírás

1 Közgazasági Szemle, LVI. évf., jauár (1 18. o.) ORMOS MIHÁLY URBÁN ANDRÁS ZOLTÁN TAMÁS Logoptimális portfóliók empirikus vizsgálata A logoptimális portfólióelmélet matematikai bizoyítását, valamit empirikus vizsgálatait követõe még miig em kaptuk választ arra a kérésre, hogy a stratégia alapjá várható hozam meyivel halaja meg a pézügyekbe egyszerûe csak egyesúlyiak evezett várható hozamot. E taulmáy alapjául szolgáló kutatás alapvetõ célja, hogy a matematikai bizoyításo túl olya empirikus igazolását is aja az említett stratégiáak, amely igazolja aak létjogosultságát. A olgozat legfotosabb ereméye egyrészt az eig alkalmazott peremfeltételek egyikéek, a trazakciós költségtõl metes kereskeés feltételezéséek aalitikus elvetése, és a moell ezzel kiegészített újrafogalmazása, másrészt az empirikus vizsgálat, amely a CAPM moellre építve igazolja a kereskeési stratégiába rejlõ arbitrázslehetõséget. A vizsgálatokhoz a New York-i tõzse aatbázisát haszáltuk.* Joural of Ecoomic Literature (JEL) kó: G11. Ebbe a taulmáyba a logoptimális portfólióelméletre épülõ befektetési stratégia jóságát elemezzük. A logoptimális portfóliók újszerû elmélete a klasszikus mószerektõl eltérõe em a tõkepiaci árazási moellbõl (Capital Asset Pricig Moel, CAPM) jól ismert kockázatot reprezetáló kockázati paramétere keresztül próbálja megmagyarázi a várható hozamot, haem mie befektetési perióusba egy olya portfólió meghatározására törekszik, amely a logaritmikus várható hozamot maximalizálja látszólag függetleül bármilye kockázati paramétertõl, téyezõtõl. A logoptimális portfólióstratégiák (lás Algoet Cover [1988], Algoet [1992], Györfi Urbá Vaja [2007]) a tõke-visszaforgatásos vagyogyarapoás mértékéek maximalizálására stacioárus és ergoikus piaci folyamatokat feltételezve, bizoyította mie más mószerél alkalmasabbak. Az említett mukák szitézisét és a klasszikus, valamit a logoptimális portfólióelmélet szoros kapcsolatát e lap hasábjai Ottucsák Vaja [2006] mutatta be. Az itt ismertetett eljárások a tõkét iamikusa kezelik, a portfólióváltoztatás lehetõségét mie kereskeési perióusba fetartva. Az eig megjelet írások, amelyek a logoptimális portfólióstratégiák hozamitezitásáak empirikus vizsgálatait mutatták be, * A szerzõk szeretéek köszöetet moai Györfi Lászlóak a kézirat átolvasásért és haszos taácsaiért, valamit az aoim bírálóak kiváló javaslataiért, bátorító üzeetéért és alapos mukájáért, amelyek agyba hozzájárultak az érthetõbb és világosabb és em utolsósorba komolyabb állításokat megfogalmazó olgozathoz. Bármilye, a taulmáyba fellelhetõ hiba kizárólag a szerzõk felelõssége. Ormos Mihály a Buapesti Mûszaki és Gazaságtuomáyi Egyetem pézügyek taszékéek egyetemi ocese ( Urbá Arás a Buapesti Mûszaki és Gazaságtuomáyi Egyetem pézügyek taszékéek elsõéves oktorausz hallgatója, az MTA Sztaki mukatársa ( Zoltá Tamás közgazász, a CIB Bak mukatársa (

2 2 Ormos Mihály Urbá Arás Zoltá Tamás sok olya egyszerûsítõ feltételezésre építettek, amelyek peremfeltételekkét em tûek komoly torzításak a matematikai tétel kimoásakor, aak bizoyításakor, a moell felállításakor. E taulmáy célja kettõs Igazoljuk, hogy a logoptimális stratégia által meghatározott portfólió várható hozama meghalaja a hasoló kockázatú tõkepiaci befektetések segítségével realizálható egyesúlyi hozamot. Eek igazolására az egyszerû CAPM (lás Sharpe [1964], Liter [1965], Mossi [1966]) moellt, valamit a Sharpe-rátát haszáljuk, amellyel 0,928 értéket mértük a New York tõzse kompozit iexéek 0,299 értékéhez viszoyítva. 2. Olya moellt építsük az egyszerûsítõ feltételezések közül a komoly torzítást horozó ulla trazakciós költséget elvetve a logoptimális portfólióstratégia empirikus vizsgálatait a valósághoz közelítve, amellyel a trazakciós költségek figyelembe vehetõk. Külööse fotos téyezõrõl va szó egy olya kereskeési stratégia esetébe, amely ap mit ap átreezi a portfólió összetételét, így hosszabb iõtávo meglehetõse agy tõkét emészt fel a ve meg és tarts meg (buy a hol) stratégiához viszoyítva. A forgalomaráyos trazakciós költség bevezetése a moellbe olya újszerû ereméy, amellyel korrigálva a tökéletes piaci feltételezéseket, továbbra is bizoyítható a kereskeési stratégia többletteljesítméye. A feltétel levezetéséhez Schäfer [2002] mukájából iultuk ki, itt aak továbbfejlesztett, potosított változatát mutatjuk be. Az említett empirikus vizsgálataik sorá már e költségek figyelembevételével meghatározott hozamaatokkal olgozva jutottuk az említett ereméyre, bár hozzá kell teük, hogy a megelõzõ empirikus vizsgálatok hozamaihoz viszoyítva ez már jóval szeréyebb. Összességébe állítjuk, hogy a logoptimális stratégia segítségével jóval az egyesúlyi hozamot meghalaó hozamot realizálhatuk. Ez az aomália a tõkepiaci hatékoyság erõs pilléreit támaja, bár azt sem vetjük el, hogy a csatolt hipotézis, amely szerit létezik egyesúlyi moell (ez esetükbe a CAPM), em tökéletes, és más paraméterek is szükségesek eek leírásához, ahogy a Fama Frech [1993], [1996] háromfaktormoell választ aott a Basu [1977] és Baz [1981] által feltárt aomáliákra. Elõször a logoptimális portfólióelmélet matematikai moelljét és az empirikus stratégiákat mutatjuk be, ezt követõe a forgalomaráyos trazakciós költség moellbe törtéõ bevezetését tárgyaljuk. A taulmáy végé közölt empirikus ereméyek már az így kiegészített logoptimális portfólióstratégia ereméyeit összegzik. Matematikai moell Az itt bemutatott értékpapír-piaci moellt alkalmazta többek között a logoptimális portfóliókkal elõször foglalkozó Kelly [1956], továbbá Lataé [1959], Breima [1961], Fikelstei Whitley [1981], Algoet Cover [1988], Cover [1991], valamit Györfi Urbá Vaja [2007] is. Tegyük fel, hogy a piaco arab értékpapír áll reelkezésre, és a tõkéket mie egyes ap elejé szabao átcsoportosíthatjuk a papírok között. Jelölje x = ( x (1),, x ( ) ) R a hozamvektort, amelyek j-eik kompoese, + x( j) 0, a j-eik értékpapír záróáraiak aráyát fejezi ki az aott ap és az azt követõ ap között. Azaz x ( j) megaja, hogy az aott ap végé a j-eik értékpapírba fektetett egységyi tõke meyit ér a következõ kereskeési perióus végé. x ( j) általába 1-hez közeli érték. 1 Az eigi empirikus vizsgálatok sorá mie esetbe arra tett kísérletet a szerzõ (lás Cover [1991], Siger [1997], Györfi Lugosi Uia [2006], Györfi Urbá Vaja [2007]), hogy a stratégia ereméyekét realizált hozam agyságát összevesse a portfólióba található legagyobb hozamot geeráló elem hozamával. Ez matematikai szempotból kifogásolhatatla megolás, azoba a traicioális pézügyekbe a hozamot ömagába, aak kockázatosságáak figyelembevétele élkül em szokás vizsgáli.

3 Logoptimális portfóliók empirikus vizsgálata 3 A befektetõ mie egyes kereskeési perióus elejé iverzifikálja a tõkéjét egy b = (b (1),, b () ) portfólióvektor szerit. A b j-eik kompoese, b ( j) azt határozza meg, hogy a befektetõ tõkéjéek mekkora háyaát fekteti a j-eik értékpapírba. Feltesszük, hogy b portfólióvektor em egatív kompoesekbõl áll, amelyek összege 1, azaz b ( j) =1. Ez utóbbi feltétel azt jeleti, hogy a befektetési stratégia öfiaszírozó, az elõbbi peig a rövire elaási (short) ügyleteket zárja ki. Sharpe [1964] moellje megegei, hogy a portfólióvektor kompoesek összege 1-él agyobb legye, azaz a befektetés egy része hitelbõl is fiaszírozható. Ez a feltételezés azoba megehezíti az optimális portfólió meghatározását, vagy akár lehetetleé is teszi a lehetséges portfólióvektorok teréek megövekeése, végtele mérete miatt, ezért a taulmáyba feltételezzük a stratégia öfiaszírozó voltát. Jelölje S 0 a befektetõ kezeti tõkéjét, ekkor a tõkéje egy ap elteltével S 1 = S 0 b x = S 0 b, x, ahol, a skalárszorzatot jelöli. A piac iõbeli alakulását x 1, x 2, R + hozamvektorok sorozatával jellemezhetjük. x i hozamvektor j-eik kompoese, x i azt moja meg, hogy az i-eik api kereskeési perióus elõtt a j-eik papírba fektetett egységyi tõke meyit ér az i-eik ap végé. Mie j i eseté az x i j röviítést haszáljuk a hozamvektorok (x j,, x i ) sorozatára, és jelölje az összes b R + em egatív kompoesû vektor szimplexét, amely kompoeseiek az összege 1. Egy B = {b 1, b 2, } befektetési stratégia függvéyek egy sorozata b i : (R + ) i 1, i = 1, 2, úgy, hogy b i (x i 1 1 ) jelöli a befektetõ által az i-eik apra a piac korábbi viselkeése alapjá választott portfólióvektort. 2 Az egyszerûség kevéért a továbbiakba a következõ jelölést haszáljuk: b(x i 1 1 ) = b i (x i 1 1 ). Az S 0 kezeti tõkébõl kiiulva az -eik ap végé a B befektetési stratégia által elért tõke i 1 S = S 0 b( x 1 ), x = S 0 e l ( i 1 b x ), i=1 1 xi = S 0 e W ( B), i=1 ahol W (B) a övekeési ráta (kamatszite vett átlagos hozam): i 1 1 i W (B) = l b( x1 ), x i. (1) i=1 2 Feltételezzük, hogy a piaco a hozamvektorok rejtett sztochasztikus kapcsolatba állak az iõbe õket megelõzõ hozamokkal.

4 4 Ormos Mihály Urbá Arás Zoltá Tamás A logoptimális portfólióstratégia Térjük vissza az (1) kifejezéshez! Nyilvávalóa az -eik apig elért vagyo, azaz S = S (B) maximalizálása ekvivales W (B) átlagos övekeési ráta maximalizálásával. A következõkbe bemutatjuk a logoptimális befektetési stratégiákat, amelyek alkalmazásával a befektetõ maximalizálhatja a övekeési rátát. Feltételek. Ahhoz, hogy elemzéseik elvégezhetõk legyeek, a következõ egyszerûsítõ feltételeket haszáljuk a logoptimális portfólióelméletbe, amelyeke a késõbbiekbe eyhítük: 1. a részvéyek között a tõke bármekkora mértékbe szétosztható; 2. a részvéyekbõl korlátla meyiség áll a reelkezésükre az aktuális (api) áro, azaz tetszõlegese kevés vagy sok részvéyt tuuk vei vagy elai; 3. ics trazakciós költség; 4. a befektetõ trazakciói icseek hatással a piac viselkeésére. 3 Tegyük fel, hogy x 1, x 2, az X 1, X 2, véletle valószíûségi változók realizációja, amelyek egy vektorértékû stacioárius és ergoikus folyamatot {X } alkotak. E feltételek mellett vizsgálta pélául Breima [1961], Algoet Cover [1988] korábba a portfólióválasztási problémát. Logoptimális portfólió. Algoet Cover [1988] által meghatározott alapvetõ korlátok rámutattak, hogy az úgyevezett logoptimális portfólió B * = {b * ( )} az átlagos övekeési rátát maximalizáló választás. Az -eik kereskeési perióusba jelölje b * ( ) a logoptimális portfóliót: * b (X ) = arg max E{l b ( X1 ), X X 1 1 }, (2) b( ) ahol E{ X 1 1 } = E{ X 1, X 2,, X 1 } a múltbeli hozamvektorok alapjá kiszámított feltételes várható érték. * * Ha általáos esetbe S = S (B ) jelöli a B * logoptimális portfólióstratégiával elért vagyot ap utá, akkor mie tetszõleges B befektetési stratégia által elért S = S(B) tõkére és tetszõleges {X } stacioárius és ergoikus folyamatra és 1 S limsup l * 0 1 valószíûséggel S ahol 1 * * lim l S = W 1 valószíûséggel, W * = E{l b * (X 1 ), X 0 } a lehetséges befektetési stratégiák által elérhetõ maximális övekeési ráta. Vagyis (1 valószíûséggel) egyetle befektetési stratégia sem képes W * -ál agyobb övekeési ráta elérésére. 3 Feltételezzük, hogy a piac em hatékoy. Ameyibe a befektetõ vagyoa margiális a piac teljes kapitalizációjához képest, a feltétel a gyakorlatba is közel érvéyes lehet.

5 Logoptimális portfóliók empirikus vizsgálata 5 Itt jegyezzük meg: a b * (2) efiíciójából következik, hogy függetle azoos eloszlású piacoko a b * logoptimális portfólió kostas, mivel b * = arg max E{l b(x 1 1 ),X X 1 b( ) 1 } = arg max E{l b, }. (3) Ez akkor lehet fotos, ha az {X i } piaci folyamat emlékezetmetes. 4 Ameyibe a priori ismeretük va a piaci háttér folyamatáak eloszlásáról, akkor többlethozamra tehetük szert. Ottucsák Vaja [2006] belátta, hogy a logoptimális portfóliók közelíthetõk a klasszikus mószerekkel hasoló móo törtéõ portfólióválasztással, ahol az optimális portfólió kialakítása az E { b, X } várható hozam és Var { b, X } kockázat alapjá törtéik egy a várható hozamtól függõ kockázat elutasítási téyezõ szerit. b X Empirikus stratégiák Itt a Györfi Lugosi Uia [2006] által bevezetett magfüggvéyalapú stratégiát mutatjuk be, amelyek a legegyszerûbb, egyeletes magfüggvéyek megfelelõ, mozgó ablakos változatát ismertetjük. A mószer alapelve, hogy a közelmúlthoz hasoló mitákat keres a tõkepiac múltjába, és ezek alapjá becslést készít a másapi árfolyamokra, amely szerit maximalizálja a portfóliót. Vagyis egy olya mószert vezetük be, amely a múltbeli megfigyelések alapjá empirikus becslést a egy portfólió feltételes logaritmikus várható hozamára. A stratégiához efiiáljuk a szakértõk 5 egy végtele osztályát H (A) {h (A) ( )}-t, ahol A pozitív egész. Mie fix A pozitív egészhez válasszuk egy sugarat, amire igaz r A > 0 úgy, hogy lim r A = 0. A Ekkor mie > 1 eseté efiiáljuk h (A) szakértõt a következõképpe. Legye J az illeszkeések helyét tartalmazó halmaz: J ={i < : x i 1 1 r }, ahol az euklieszi ormát jelöli. A fetiek alapjá egy h (A) szakértõ által meghatározott magfüggvéyes logoptimális portfólió az -eik befektetési apra legye 6 h ( A) ( 1 1 )= arg max l b {i J } b, x i, (4) ha a szumma em üres, külöbe peig válasszuk az egyeletes b 0 = (1/,, 1/) portfóliót. Iformálisa ez a következõképpe fogalmazható meg a korábbiak szerit. A befektetõ az -eik kereskeési apra, a (2) kifejezés alapjá, olya portfóliót választaa, amely maximalizálja a logaritmikus feltételes várható tõkeövekeést az -eik apot megelõzõ apok árfolyamaataiak ismeretébe. A (4) kifejezés eze maximalizálás empirikus 4 Vagy olya esetbe, amikor em vagyuk képesek a piaci folyamat feltételes eloszlásáak becslésére. 5 Szakértõkek az elemi stratégiákat evezzük. A magfüggvéyalapú stratégiát a szakértõk kombiálásával kapjuk. Részletese lás késõbb. 6 A magfüggvéyalapú mószerrel meghatározott portfóliókat a megkülöböztethetõség érekébe b helyett h betûvel jelöljük.

6 6 Ormos Mihály Urbá Arás Zoltá Tamás közelítése. A magfüggvéyalapú illeszkeés keresõ algoritmus az -eik ap múltjához hasoló hozamvektor-sorozatokat keres a múltba, és a hasoló sorozatokat követõ hozamvektorokat, mit X empirikus becsléseit eltárolja. Késõbb ezek az eltárolt elemek kerülek felhaszálásra a maximalizálás sorá. A portfólióválasztáshoz (2) alapjá a logaritmikus feltételes várható tõkeövekeés meghatározása szükséges, amire mivel X feltételes eloszlását em ismerjük eze elemeket felhaszálva tuuk empirikus becslést ai. A hasolóság mértéke jele esetbe a vektorok euklieszi távolsága. Mivel elõre em tuhatjuk, hogy melyik (A) fog optimális r A sugarat meghatározi, 7 vagyis a hasolóak tekitett hozamvektorok egy ieális halmazát felhaszáli, a szakértõk között szét kell osztauk a reelkezésre álló vagyoukat. A magfüggvéyalapú stratégiát a S (H (A) )-beli szakértõk kombiálásával kapjuk, felhaszálva egy {q A } valószíûségi eloszlást, amely mie pozitív egész (A) halmazá értelmezett úgy, hogy (A), q A > 0. Ha S (H (A) ) a H (A) elemi stratégiák által összegyûjtött tõke az -eik perióus utá és a kezeti tõke S 0 = 1, az -eik ap utái vagyot a szakértõk egyszerû súlyozásával a következõképpe kapjuk: S (B)= q A S (H ( A ) ). (5) A A szakértõk egyfajta szereplõkek is tekithetõk, amelyek a saját paramétereikek megfelelõ empirikus logoptimális stratégia szerit gazálkoak. Késõbb az összese elért összvagyot a szereplõk vagyoáak összegekét kapjuk, amely összeg attól függ, hogy a kezeti vagyoukat milye aráyba osztottuk szét. Forgalomaráyos trazakciós költség A klasszikus logoptimális portfólióelmélet azo feltevéssel él, hogy az értékpapír-kereskeés sorá icse trazakciós költség. Ez a feltételezés azoba elletmo a valós kereskeés általáos feltételeiek, mivel a brókeríjak és a szabályozott kereskeés folytoossága érekébe felszámított jutalékok járulékos költségekkel terhelik meg a tõzsei ügyleteket. Ahhoz, hogy a logoptimális stratégiák empirikus ereméyei összevethetõk legyeek a korábba ismertetett mószerek ereméyeivel, a trazakciós költségek figyelembevétele elkerülhetetle. Mivel a logoptimális stratégiák a portfóliót gyakra változtathatják, a kereskeés járulékos költségei az ereméyeket agyságreekkel csökkethetik. A brókercégek a trazakciós költség számítását külöbözõképpe végezhetik. Felszámolhatak teljesült trazakciókét rögzített íjat, vagy az ügylet volumeével aráyos, úgyevezett forgalomaráyos vagy proporcioális trazakciós költséget. Megjegyezzük, hogy a forgalomaráyos trazakciós költséget alkalmazó brókercégek egy bizoyos értékél kisebb volumeû trazakciók esetébe többyire szité rögzített íjjal olgozak, vagy a rögzített íjakat és a proporcioális elvet együtt alkalmazzák. A következõkbe a forgalomaráyos trazakciós költség logoptimális moellekbe építéséek lehetõségét mutatjuk be azzal a feltevéssel, hogy ics fix költségtéyezõ. Ez a feltevés helyes egy olya proporcioális költségszámítást alkalmazó reszerbe, ahol a kereskeési volumeek akkorák, hogy rájuk már miig a forgalomaráyos költségszámítás érvéyes. Ezek utá móosítsuk korábba ismertetett feltételeik 3. potját a logoptimális portfólióelmélet forgalomaráyos trazakciós költséggel kiegészített változatára a következõ móo: va forgalomaráyos trazakciós költség, azoba ics fix költségtéyezõ. 7 Optimalitáso azt értve, hogy az aott sugarat választó szakértõ olya portfóliókat választ, hogy a befektetés által elért vagyo maximális legye.

7 Logoptimális portfóliók empirikus vizsgálata 7 A forgalomaráyos költségszámítás moelljéek felépítéséhez a logoptimális portfóliók matematikai moelljébõl iuluk ki. Az általuk létrehozott új proporcioális költségszámítási moell Schäfer [2002] moelljéek továbbfejlesztett, potosított változata, amely az ereeti moellel szembe alkalmas a költségek közvetle meghatározására. A kereskeés kezeté S 0 kezõtõkébõl iuluk ki és S az -eik kereskeési apig elért vagyo. A befektetõ egy új ( + 1)-eik kereskeési perióus elõtt az aktuálisa meghatározott b +1 portfólióvektora szerit részvéyaásvétellel kialakítja az ( + 1) eik api portfólióját. Mivel a kereskeés jele esetbe járulékos költségeket vo maga utá, a befektetõ a forgalom aráyába trazakciós költséget fizet, ezért az ( + 1)-eik perióus elõtt a b +1 portfólió szerit átreezett ettó N vagyoa em agyobb, mit az átreezés elõtti bruttó S. Mivel az -eik befektetési ap elejé a kezõtõke N 1, ezért a feti jelöléseket haszálva, a bruttó S vagyo ekkor az -eik kereskeési ap végé, S = b x. (6) Az egy részvéyre vetített aráyos trazakciós költség háyaát jelölje 0 < < 1 és 0 < c p < 1, azaz 1 egységyi részvéy elaásából csak 1 egység jöveelmük származik, míg 1 pézegységért 1 c p egységyi részvéyt tuuk vásároli. [Az s az elaást (sell), a p a vásárlást (purchase) jelöli.] Mivel a vagyoukat a kereskeés sorá miig részvéyekbe fektetjük, az elaásból befolyó pézt rögtö újabb részvéy vásárlására forítjuk. Tujuk, hogy a stratégia öfiaszírozó, azaz csak ayi pézbõl tuuk vásároli, ameyi az elaás sorá befolyt. Vezessük le, hogy az elaás maj a vásárlás sorá fizeteõ trazakciós költség levoása utá mekkora ettó N vagyouk mara. A tõkeátreezés megkezése elõtt mie vagyoukat részvéyekbe fektettük. Ha em törtéik részvéyelaás, vásároli sem tuuk, ekkor trazakciós költség sem fizeteõ. A tõkeátcsoportosítás elõtt a j-eik részvéybe tartott tõke b pézegységet ér, azaz a kiiuló ettó N 1 vagyo megszorozva azzal, hogy a j-eik részvéy e vagyo mekkora b részét tette ki, illetve a részvéy árfolyama milye aráyba változott az ( 1)-eik és az -eik kereskeési ap vége között. Határozzuk meg, hogy a b +1 portfólió választása eseté meyi részvéyt auk el. Tujuk, hogy a j-eik részvéybe tartott tõke b pézegységet ér az átcsoportosítás elõtt, míg jeleleg b + 1N egységyire va szükségük. Ha b > b + 1N, akkor a részvéyek egy részéek elaása szükséges, ahol a j-eik részvéy elaása utá fizeteõ trazakciós költség (b b +1N ). x + jelölje x pozitív részét. Ekkora az elaások utá fizeteõ trazakciós költségek összege + (b b N ). (7) +1 Ez azt jeleti, hogy miutá meghatároztuk egy portfólióvektort, és végrehajtottuk a mószer által javasolt részvéyelaásokat, az ügylet végrehajtása utá marat részvéyük (ha mie részvéyüket elatuk ez a meyiség ulla) és az elaásból származó pézeszközük is. Ezefelül a brókerek a befolyó pézbõl az itt meghatározott mértékû trazakciós költséget fizettük a részvéyelaások utá. Mivel a reelkezésre álló vagyo egészét részvéyekbe fektetjük, az elaásból befolyt szabao felhaszálható pézmeyiséget új vásárlásokra forítjuk, erre az elaásból befolyt bevétel trazakciós költséggel csökketett háyaa áll reelkezésre, ami + + {(b b N ) c (b N ) }. +1 s b +1

8 8 Ormos Mihály Urbá Arás Zoltá Tamás Azaz mie részvéyre összegezzük, hogy ha elaás törtét, akkor a trazakcióból mekkora pézösszeg folyt be, valamit a befolyt összegbõl mekkora meyiséget kellett költségkét megfizeti. Amit így kapuk, az a vásárlásra szabao felhaszálható pézmeyiség, amelyet a leírtak szerit teljes egészébe új részvéy beszerzésére haszáluk fel. Ha egy ekkora összeget forítuk új értékpapírok vásárlására, akkor ez utá + + c N ) c (b +1 s b p {(b b N ) } = +1 = {(c p c p )(b N N ) } (8) 1 b + +1 költség fizeteõ. Az összese eig kifizetett költség (7) és (8) összege {(c p + c p )(b b N ) + }. +1 Miez azt jeleti, hogy a tõkeátreezés e perióusába a vásárlásra szát pézösszeget teljes egészébe elköltöttük. Részbe a már meglévõ részvéyállomáyukat bõvítettük újabb értékpapírokkal, részbe peig a vásárolt meyiséggel aráyosa öveltük az eig megfizetett költségek meyiségét. Az eigiek alapjá tehát az elaásból származó jöveelem költségekkel (elaás és vásárlás utá egyarát kifizetett összköltség) csökketett háyaával megegyezõ értékbe tehetük szert új értékpapírokra, azaz + ( j) + {(b +1N ) (c p + c p )(b b b ( j) +1N ) } = = {(1 c p + c p )(b b N ) + } +1 értékbe. Az elaáshoz hasolóa, ha b < b + 1N a j-eik részvéybõl vásároluk. A vásárlás összese + ) (b +1 N b értékbe törtéik. Ezzel az értékkel kell tehát megegyezie a részvéyelaásból befolyt, költségekkel csökketett összegek. Felírható tehát a következõ egyelet: + (b +1 N b ) = = {(1 c p + c p )(b b ( j) ) + }, (9) +1 N azaz (vásárlásra elkölthetõ pézösszeg = elaásból realizált pézösszeg költségek). Felhaszálva az azoosságot, aóik továbbá, hogy (a b) + = a b + (b a) +

9 Logoptimális portfóliók empirikus vizsgálata 9 + (b +1 N b ) = ( j) + = (b +1 N b ) + (b b N ). +1 Mivel (b N ) = N + 1 és (b ) = S, ezért + + (b +1 N b ) = N S + (b b +1 Ezek alapjá (9) felírható a következõképpe: ( j) + N S + (b b N ) = +1 = {(1 c p + c p )(b A leírtak alapjá tehát a bruttó S tõke felbotható a ettó N összegére. b +1N ( j) + ) }. (10) vagyo és a költségek S = N + (c p c p + ) {(b b N + +1 ) }. (11) Osszuk el mikét olalt S -el, és jelölje w a következõ aráyt: N w =, S ahol automatikusa miig feáll, hogy 0 < w < 1. Ekkor (11) alapjá (6)-ot felhaszálva megkapjuk az 1 = w + (c p c p + ) + b x b b, x w +1 (12) egyeletet. A (12) egyeletet megvizsgálva, látható, hogy tetszõleges b és b +1 portfólióvektorokhoz és hozamvektorhoz létezik egy egyértelmû w [0, 1) költségtéyezõ, ahol az -eik apra w a b és b +1, valamit függvéye, azaz w = w(b, b +1, ). A (12) egyeletbõl következik továbbá, hogy ha a részvéyek között a tõkét agymértékbe kívájuk átcsoportosítai, a ettó vagyo agymértékbe csökkehet. Megjegyezék még, hogy a trazakciós költség em korlátozza a választható portfólióvektorok halmazát, az optimalizáló eljárás továbbra is a teljes szimplexe keres, ugyais egy jeletõs átcsoportosítás a magas költségek elleére jelethet optimális változtatást. Ameyibe a kialakult portfólió em változtatuk az -eik apo, a (12) kifejezésbe a szumma utái tag értéke 0, azaz w = 1. Ha a tõkeátcsoportosítás a legagyobb mértékû, a szumma utái tag értéke 1 és w = (1 c p + c p ). A fetiekbõl következik, hogy w értéke a következõ tartomáyba kereseõ:

10 10 Ormos Mihály Urbá Arás Zoltá Tamás 1 c p + c p w 1. Ha feltesszük, hogy c = c p =, ami legtöbb brókercégél feálló feltétel, ez a tartomáy: (1 c) 2 w 1. Mivel w em írható fel zárt alakba csak a (12) egyelet megolásával kapható meg, ezek a feltételek agyo fotosak a megoláskeresési tartomáy meghatározása szempotjából. Ameyibe a kezõtõkék S 0 = 1 és w 0 = 1, az -eik kereskeési ap végére elért S vagyo mértéke a következõképpe számolható: S = b, = w 1 S 1 b, = [w(b i 1, b i, x i 1 ) b i, x i ], i=1 azaz a trazakciós költségek levoása az aktuális S bruttó vagyo w költségtéyezõkkel való szorzását jeleti. Az átlagos övekeési ráta a trazakciós költség figyelembevételével jele esetbe 1 W,c>0 (B) = l S. A befektetõ célja e ráta maximalizálása. A Matematikai moell címû alfejezetbe bemutattuk, hogy trazakciós költség élkül a befektetõ a korábbi hozamvektorok függvéyébe mikét próbálhatja meg maximalizáli a övekeési rátát, mikét választhat optimális portfóliót. Ameyibe ics trazakciós költség, a befektetõ a W,c=0 (B)= 1 i l ( x 1 1 i=1 b ), x i kifejezést igyekszik maximalizáli, ahol B egy olya piaco alkalmazott befektetési stratégia, ahol icseek a kereskeések járulékos költségei. Eek aalógiájára egy olya befektetési stratégia W övekeési rátáját, amelybe a portfólióvektorokat szité a piac korábbi viselkeése alapjá határozzuk meg, és létezik trazakciós költség móo írhatjuk fel. W,c>0 (B) = 1 l{w(b(x i 2 1 ), b(x i 1 1 ), x i 1 ) b(x i 1 1 ), x i } i=1 Empirikus stratégiák trazakciós költséggel Korábba bemutattuk, hogy a logoptimális stratégiákál aalitikusa bizoyította em reelkezik egyetle stratégia sem agyobb tõkeövekeési rátával. Ismertettük, hogya határozhatók meg elvbe és gyakorlatba a magfüggvéyes eljárás haszálatával a logoptimális portfólióvektorok. A következõkbe a W,c>0 (B)-t maximalizáló empirikus stratégia megalkotásához kiterjesztjük a korábba elmoottakat. Egylépéses optimalizáció. A korábba bevezetett jelöléseket alkalmazva móosítjuk az ott ismertetett moelleket. Olya szakértõket vezetük be, amelyek az -eik api portfólióoptimalizáció sorá figyelembe veszik az ( 1)-eik apra választott portfóliót,

11 Logoptimális portfóliók empirikus vizsgálata 11 azt, hogy az új portfólió mekkora tõkemozgatással, ezáltal mekkora pluszköltségekkel jára. Mit arról korábba szóltuk, a feti kifejezés a logaritmikus feltételes várható tõkeövekeés empirikus közelítése. Céluk, hogy az új szakértõk olya portfóliókat válasszaak, amelyek a következõ apra várható tõkeövekeést amely jele esetbe az egyes részvéyeke elért árfolyamyereség és a fizeteõ költség külöbsége maximalizálják úgy, hogy ismerik a piaci hozamvektorok múltbeli értékeit és a vagyoátreezés járulékos költségeit a választaó portfólió függvéyébe. ( ) ( ) Ezek alapjá trazakciós költséget figyelembe vevõ empirikus H c>0 ={h c>0 ( )} magfüggvéyes logoptimális szakértõket efiiáltuk, ahol ( ) b = h c>0 ( 1 1 )= arg max l{w(b 1, b, x i 1 ) b, x i }. b {i J } Egy empirikus egylépéses optimalizációt haszáló logoptimális B EO stratégia eze szakértõk Empirikus stratégiák címû potba ismertetett móo törtéõ kombiációja. A mószer egylépéses abból a szempotból, hogy em a globális optimumot jeletõ portfólió választására törekszik, haem csak a következõ apo elérhetõ várható tõkeövekeést maximalizálja, amely választások csak a trazakciós költség élküli esetbe vezetek globális optimumhoz. Ez azt jeleti, hogy ez mószer csak közelíti az optimális W,c>0 övekeési rátát, e az empirikus ereméyek azt mutatják, hogy ez az eljárás is képes figyelemreméltó teljesítméy elérésére. Megjegyezzük, hogy ha a piaci háttérfolyamatról feltehetõ, hogy reelkezik Markov-tulajosággal, létezik egy elvi megolás, amely alkalmas a globális optimumot jeletõ portfóliók meghatározására trazakciós költségek figyelembevételével is (lás Györfi Vaja [2008]). Empirikus ereméyek A fejezet az általuk bemutatott elméleti mószerek alapjá végzett empirikus vizsgálatok ereméyeit foglalja össze. Az eljárások aatfüggõ elemzésébe a New York-i Értéktõzsé jegyzet 23 vállalat részvéyeit votuk be. Azokat a szakiroalom által korábba elemzett részvéyeket vizsgáltuk, amelyekrõl reelkezésre áll hozamiformáció az általuk figyelt 1991 és 2005 közötti iõszakba. Az elemzési portfóliót a következõ vállalatok részvéyei alkotják: Alcoa Ic., Altria Group Ic., Coca-Cola Co., Commercial Metals Co., Dow Chemical Co., EI DuPot e Nemours & Co., For Motor Co., Fortue Bras, Geeral Electric Co., Geeral Motors Corp., Hewlett-Packar Co., IBM Corp., Igersoll-Ra Co. Lt., Johso & Johso, Kimberly-Clark Corp., Eastma Koak Co., Merck & Co. Ic., 3M Co., N. America Galvaizig Co., Procter & Gamble Co., Schlumberger Limite, Sherwi-Williams Co.), Wyeth. Mószerta. A kockázatmetes értékpapír r f kamatlába az egy hóapos futamiejû U.S. Treasury Bo logaritmikus kamata, amelyek forrása az Ibbotso a Associates Ic. aatbázisáak Keeth R. Frech által készített kivoata. 8 A vizsgált tõkepiac a New York-i Értéktõzse, a piaci portfólió értékéek mérésére a tõzse kompozit iexét (NYSE Composite Iex) alkalmazzuk. Az elemzés 15 éves itervallumra terje ki. A trazakciós költséget c = 0,1 százalékba állapítottuk meg, amely az európai itézméyi befekte 8

12 12 Ormos Mihály Urbá Arás Zoltá Tamás tõk számára elérhetõ. Feltesszük, hogy a felhaszált tõke mérete miatt ics fix költségtéyezõ. A logoptimális stratégia vizsgálatához a sokrészvéyes portfóliók eseté korábbi tapasztalataik alapjá a fejezetbe a magfüggvéyes logoptimális szakértõk =10 =1 {H( ) } halmazát haszáljuk. A logoptimális stratégia teljesítméyét a 10 arab szak értõ teljesítméyéek számtai átlagakét határozzuk meg, ahol a szakértõk között a tõkét egyeletes eloszlás szerit osztjuk szét, azaz q A = 1/10, mie A eseté. Az empirikus vizsgálat célja a piaci portfóliót tartó (NYSE Composite) passzív stratégia és a logoptimális aktív stratégiák ereméyességéek összehasolítása. A mószerek teljesítméyéek értékelésére a tõkejavak árazóási moelljét (CAPM) és az empirikus Sharpe-rátát haszáljuk, amelyet az i-eik portfólióhoz a következõképpe efiiáluk: 9 T t t (r i r f ) SR i = t=1, (13) s{r i } t ahol T a vizsgált évek száma, jele esetbe 13, r i az i-eik portfólió hozama a t-eik t évbe, r i a kockázatmetes kamatláb a t-eik évbe, s{r i } peig az i-eik portfólió éves hozamaiak empirikus szórása. Az t t egyelet alapjá felírva az r i r f gáló r i t r f t = i + i (r m t r f t ) + ε i t, (14) kockázati prémium várható értékéek becslésére szol- E{r i r f }= i + i E{r m r f } (15) összefüggést, meghatározzuk a tõkejavak közismert árazóási moelljét. A tõkepiaci árazási moell (CAPM) alapjá becslést ahatuk egy értékpapír vagy portfólió várható hozamára, amely a befektetés regresszió alapjá meghatározott paraméteréek függvéye. Hatékoy piacot feltételezve (ahol i = 0 mie i-re) a portfólió várható hozama csak a CAPM által a portfólióhoz tartozó alapjá meghatározott érték lehet. Kézefekvõ lehetõség a logoptimális stratégia hozamáak magyarázatára felépítei egy CAPM moellt, maj megvizsgáli, hogy eltér-e egymástól a moell által becsült elméleti várható érték és a logoptimális portfólióstratégia átlagos hozama. Ameyibe a logoptimális stratégia átlagos hozama szigifikása alulmúlja a CAPM alapjá várható hozamot, a stratégia létjogosultsága kérõjelezhetõ meg, míg forított esetbe empirikusa sikerül igazoli, hogy a logoptimális portfóliók abormális hozamok elérésére képesek. A vizsgálatba kihaszáljuk, hogy a -értékek átlagolhatók, és a moell haszálhatóságáak feltételezésével iõbe legalább középtávo stabilak. Mivel hosszú távú stabilitásuk az ereméyek alapjá em tételezhetõ fel, ezért a potosság övelése érekébe a vizsgált 15 évet három egyelõ szakaszra botottuk és a moellt mie ötéves szakaszra újra létrehoztuk. Egy portfólió p -je a portfólióba részt vevõ értékpapírok -jáak súlyozott átlagakét határozható meg. E tulajoságok alapjá tehát egy logoptimális stratégia logopt értéke meghatározható a portfóliót alkotó részvéyek -áiak súlyozott átlagakét, ahol a sú 9 Sharpe [1994] megállapítása alapjá a kockázatmetes hozamot mi is iõbe változóak tekitjük.

13 Logoptimális portfóliók empirikus vizsgálata 13 lyokat a vizsgált iõszakba megfigyelhetõ api portfóliók alapjá határozzuk meg mie részvéyre (a api b portfólióvektorok átlagakét az ötéves itervallumra). A lieáris regressziós moell havi hozamaatok alapjá került meghatározásra, hogy az aatok közti em kívát autokorreleációt és a heteroszkeaszticitást kiküszöböljük, valamit a regressziós hibatagok kívát tulajoságait, a függetle, 0 várható értékû ormális eloszlást elérjük. A lieáris regressziós együtthatók meghatározása (15) összefüggés alapjá törtét a legkisebb égyzetek mószerével. Az ötéves perióusok mie i-eik részvéyéhez tartozó i és i értékeit a vizsgálattal megegyezõ iõszakokba mért havi hozamok alapjá határoztuk meg. Az 1. táblázatba e mószerrel bemutatott móo meghatároztuk a vizsgált iõszak három egyelõ itervallumáak -ait ( 91 95, , rere a , , közötti havi hozamaatok alapjá, valamit együtthatóit azoos móo. Jele esetbe a regresszió magyarázó erejéek vizsgálatára mie részvéy esetébe havi szite megállapítottuk az R 2 értékét, valamit a havi és együtthatók érvéyességét vizsgáló t-értékeket. A t-próbák 2 fölötti abszolút értéke eseté 0,05-ot meghalaó szigifikaciaszit mellett elvethetjük azt a hipotézist, hogy az aott együttható szerepe a függõ változó szóróásáak leírása szempotjából elhayagolható (az együttható értéke 0). Az 1. táblázat utolsó három oszlopa részvéyekét és együtthatókét tartalmazza, hogy a részvéyekét felírt 240 regressziós összefüggés eseté az R 2 értéke háyszor érte el a legalább 0,4-es értéket, illetve a t-próbák abszolút értéke háyszor érte el vagy halata meg a 2-t. 1. táblázat Lieáris regressziós együtthatók Részvéy Együttható R 2 0,4 t() 2 t() esetek száma Geeral Electric 1,19 0,07 1,23 0,13 1,12 0, Procter & Gamble 0,87 0,11 1,04 0,07 0,56 0, Johso & Johso 1,03 0,11 1,17 0,07 0,84 0, IBM 0,75 0,13 0,74 0,10 1,19 0, Altria Group 1,06 0,14 1,20 0,00 0,70 0, Coca-Cola 0,86 0,19 0,95 0,06 1,00 0, Hewlett-Packar 1,48 0,02 1,65 0,10 1,32 0, Schlumberger 1,05 0,04 1,06 0,00 1,15 0, Merck 0,89 0,11 1,13 0,06 0,92 0,

14 14 Ormos Mihály Urbá Arás Zoltá Tamás 1. táblázat (folytatás) Lieáris regressziós együtthatók Részvéy Együttható R 2 0,4 t() 2 t() esetek száma 3M 0,96 0,05 0,81 0,01 0,68 0, Wyeth 0,85 0,06 0,86 0,08 0,84 0, EI DuPot e Nemours 1,18 0,06 1,11 0,03 0,96 0, Dow Chemical 1,21 0,00 0,98 0,01 0,97 0, Alcoa 1,14 0,02 1,05 0,05 1,13 0, Kimberly-Clark 0,81 0,09 0,87 0,02 0,80 0, Geeral Motors 1,09 0,01 0,89 0,02 1,12 0, For Motor 1,21 0,01 1,05 0,07 1,16 0, Igersoll-Ra 1,49 0,06 1,50 0,03 1,46 0, Fortue Bras 1,06 0,04 0,97 0,05 0,99 0, Sherwi-Williams 1,34 0,08 1,21 0,05 1,24 0, Eastma Koak 0,83 0,01 0,61 0,03 0,51 0, Commercial Metals 0,85 0,03 0,76 0,04 0,77 0, N. America Galvaizig 1,05 0,05 1,14 0,20 0,04 0, Összességébe megállapíthatjuk, hogy mivel az esetek ötõ többségébe az R 2 értéke a felírt összefüggések több mit felébe em érte el a 0,4-et, a moell rekívül gyege magyarázó képességû. Mivel az R 2 értéke alacsoy a t-próbák esetekét magas értéke félrevezetõ lehet. Megjegyezzük, hogy ha a hozamok eloszlása em ormális, az együtthatók érvéyességét vizsgáló t-próba értékét is fetartásokkal kell kezelei. E problémát is igyekszük orvosoli a havi hozamaatok vizsgálatával, amelyekrõl eze iõtávra em vethetõ el, hogy függetle, ormális eloszlásúak. A regresszió érvéyességéek átfogó vizsgálata továbbá tartalmazza az ε i maraéktagok elemzését is. Az ε 1, ε 2, maraéktagokkal szembei követelméy a függetle, azoos, ulla várható értékû ormál eloszlás. A regressziós összefüggés rossz miõségét a moellbe em bevot függetle magyarázó változók hiáya

15 Logoptimális portfóliók empirikus vizsgálata 15 is okozhatja. A klasszikus CAPM alapjá a piaci portfólió hozama jól magyarázza az egyes értékpapírok hozamáak szóróását, azoba a szakiroalom szerit a vizsgálatba új függetle változókat bevova a magyarázó képesség övelhetõ (Fama Frech [1992], [1996]). A regressziós moellek átfogó elemzése a taulmáy témájá messze túlmutató összetett terület, ezért erre itt em térük ki részletese. Szükséges még megemlítei, hogy a klasszikus CAPM szerit em találkozuk ullától eltérõ -ájú befektetéssel, azoba az 1. táblázat szerit a együttható 0 voltára voatkozó hipotézisüket számos alkalommal em tutuk em elveti (azaz agy valószíûséggel va ullától eltérõ -jú részvéy a piaco). Jeleleg a logoptimális stratégia hozamára teszük becslést, a CAPM által az egyes részvéyek várható hozamára tett becslés utólagos mérése em céluk. A 2. táblázatba meghatároztuk, hogy elméletileg a logoptimális stratégiához kalkulált logopt alapjá mekkora hozamot várhattuk a vizsgált 15 éves itervallumba egy, a logoptimális stratégiával megegyezõ kockázatú (-jú) befektetéstõl. A CAPM alapfeltevése szerit a moell által meghatározott várható hozamál em realizálható szigifikása agyobb sem passzív, sem aktív mószerekkel. 2. táblázat A várható hozam CAPM-alapú becslése Részvéy portfólió- portfólió- portfóliósúly súly -súly -súly -súly súly Geeral Electric Procter & Gamble Johso & Johso IBM Altria Group Coca-Cola Hewlett-Packar Schlumberger Merck 3M Wyeth 0,11 0,13 0,06 0,07 0,07 0,07 0,01 0,00 0,01 0,01 0,01 0,01 0,02 0,02 0,02 0,03 0,02 0,02 0,05 0,04 0,07 0,05 0,06 0,08 0,15 0,16 0,09 0,11 0,13 0,09 0,02 0,01 0,02 0,02 0,03 0,03 0,03 0,04 0,06 0,10 0,03 0,04 0,06 0,06 0,05 0,05 0,04 0,04 0,04 0,03 0,04 0,04 0,03 0,02 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,00 0,01 0,00 0,01 0,01 0,01 0,01 EI DuPot e Nemours 0,01 0,01 0,02 0,02 0,01 0,01 Dow Chemical 0,01 0,01 0,02 0,02 0,01 0,01 Alcoa 0,02 0,02 0,03 0,03 0,03 0,03 Kimberly-Clark 0,03 0,02 0,03 0,03 0,02 0,01 Geeral Motors 0,01 0,01 0,02 0,01 0,01 0,01 For Motor 0,01 0,02 0,02 0,02 0,02 Igersoll-Ra 0,03 0,04 0,04 0,06 0,06 0,09 Fortue Bras 0,02 0,02 0,02 0,01 0,02 0,02 Sherwi-Williams 0,07 0,09 0,05 0,06 0,06 0,08 Eastma Koak 0,01 0,01 0,02 0,01 0,02 0,01 Commercial Metals 0,04 0,03 0,05 0,04 0,08 0,06 N. America Galvaizig 0,27 0,29 0,25 0,29 0,23 0,01 logopt 1,07 1,10 0,78 r f 6,16 5,69 3,70 E{premium} 5,74 7,69 0,81 CAPM 12,30 14,15 3, ,85

16 16 Ormos Mihály Urbá Arás Zoltá Tamás A 2. táblázat háromszor öt év aatait foglalja össze. Mie egyes évhez meghatározott, hogy az egyes részvéy az aott évekbe mekkora súllyal szerepelt a logoptimális portfóliókba (portfóliósúly oszlopa), illetve hogy a hozzá tartozó és a portfólióba betöltött súlyáak szorzata alapjá a logoptimális stratégia aott iõszakra meghatározott logopt -jáak mekkora részét teszi ki (-súly oszlopa). A -kat az oszlopiexszel jelzett iõszak alapjá számítottuk ki. A táblázatok alsó fele az aott iõszakba a logoptimális stratégiához tartozó logopt -ot, az aott iõszakhoz tartozó kockázatmetes r f kamatlábat, a várható kockázati prémiumot és az iõszakra a moell által becsült várható hozamot tartalmazzák. A várható hozam háromszor öt évre tett becsléséek átlaga aja meg, hogy a 15 év alatt átlagosa mekkora hozamot várhattuk el a CAPM szerit a logoptimális stratégiától. A becsléshez a (15) kifejezést haszáljuk, a klasszikus moell feltevései alapjá feltételezzük, hogy icse em ulla -jú befektetés. Céluk megvizsgáli, hogy a logoptimális stratégia valóba a hozzá tartozó logopt -ak megfelelõ várható hozammal reelkezik-e, vagy elletmoásra jutuk a CAPM moellel, és a 15 év sorá sikerülhet szigifikása agyobb, a CAPM által becsült várható hozamtól eltérõ átlagos hozamot realizáluk. Hipotézisvizsgálat. A hipotézisvizsgálat sorá megmértük, hogy a logoptimális stratégia c = 0,1 százalék költségtéyezõt feltételezve, a 15 év folyamá átlagosa 38,52 százalékos éves hozamot ér el, az éves hozamok korrigált torzítatla empirikus szórása peig 35,04 százalék volt. A CAPM moell szerit peig az éves várható hozam 9,85 százalék. H 0 hipotézisük szerit a logoptimális stratégia éves hozamaiak várható értéke a CAPM által becsült várható hozam. H 0 vizsgálatára z-próbát alkalmazuk. 10 A t-érték 15 elemes mita eseté 38,52 9,85 z = = 3,168, 35,04 15 amely esetbe a H 0 hipotézist 0,001 szigifikaciaszite elvethetjük. Sõt, az a hipotézis, miszerit a logoptimális portfólió átlagos hozama szigifikása agyobb, mit amit a CAPM becsül, em vethetõ el. Az ereméyek sejtetik, hogy a CAPM em képes a várható hozamok potos becslésére, mivel az empirikus logoptimális stratégiákkal olya aomáliák feezhetõk fel, amelyeket kihaszálva jeletõs hozamtöbbletet érhetük el. Eek okai lehetek a moellbõl hiáyzó függetle változók vagy a lieáris becslés alkalmatlasága is. Ezek alapjá megfogalmazhaták akár a tõkepiaci hatékoyságak elletmoó állításukat is, vagy elvetheték a moell relevaciáját, valóságleíró képességét. Nem leék elsõk ebbe a sorba, hisze a feljebb már iézett itertemporális CAPM, az APT, a háromfaktormoellek és a többi egyesúlyimoell-próbálkozások mi ezt tették. Nehéz e pillaatba elötei, hogy mirõl is va szó, hisze Fama [1991] kapcsolt hipotéziséek megfelelõe egy aomália vagy abormális hozamot ereméyezõ kereskeési stratégia ömagába em biztos, hogy a hatékoy piacok évtizeek óta meglehetõse erõs és máig aráylag stabil bástyáit ostromolja, elképzelhetõ, hogy az egyesúlyi moellbe kell keresi a hibát. Hozzátéve azt is, hogy itt em a statisztikai értelembe vett hibákról beszél a chicagói professzor. 10 Az egymitás Kolmogorov Smirov-próba alapjá em tujuk elveti azt a hipotézist, hogy a logoptimális stratégia éves hozamai ormális eloszlásúak.

17 Logoptimális portfóliók empirikus vizsgálata 17 Empirikus Sharpe-ráták. Az ereméyek megerõsítése érekébe a mószerek teljesítméyét az empirikus Sharpe-ráták összehasolításával is elvégezzük (13) alapjá. A 3. táblázatba az éves kockázati prémiumok mellett feltütettük az éves r f kockázatmetes kamatlábakat és a Sharpe-ráták kiszámításához szükséges átlagos kockázatiprémium- és szórásaatokat. Az ereméyek kiemelkeõ jeletõségûek, ugyais empirikus bizoyítékot kaptuk arra, hogy a logoptimális stratégiák megfelelõ költségoptimalizációs heurisztikával kiegészítve, kiemelkeõ hozam elérésére képesek a kockázat (szórás) robbaásszerû övekeéséek kiküszöbölésével, amelyet jól illusztrál az 1 közeli Sharpe-ráta értéke. 3. táblázat A stratégiák éves kockázati prémiumai, a kockázatmetes értékpapír éves hozamai és az empirikus Sharpe-ráták Év NYSE Logoptimális r f ,60 41, ,71 42, ,89 0, ,75 10, ,23 37, ,20 50, ,43 18, ,18 2, ,92 91, ,55 63, ,19 80, ,57 33, ,76 53, ,52 46, ,43 34,26 Átlag prémium 4,21 33,34 Szórás 14,09 33,85 Sharpe-ráta 0,299 0,985 7,11 6,01 5,01 6,48 6,18 6,00 6,03 5,02 5,40 5,98 4,46 3,75 2,93 3,37 3,97 Hivatkozások ALGOET, P. [1992]: Uiversal schemes for preictio, gamblig, a portfolio selectio. Aals of Probability, o. ALGOET, P. COVER, T. [1988]: Asymptotic optimality asymptotic equipartitio properties of logoptimum ivestmets. Aals of Probability, o. BANZ, R. [1981]: The relatioship betwee retur a market value of commo stocks. Joural of Fiacial Ecoomics, Vol. 9. No o. BASU, S. [1977]: The ivestmet performace of commo stocks i relatio to their price-earigs ratio. The Joural of Fiace, Vol. 32. No o. BREIMAN, L. [1961]: Optimal gamblig systems for favorable games. Megjelet: Proceeigs of the Fourth Berkeley Symposium o Mathematical Statistics a Probability. Uiversity of Califoria Press, Berkeley, o. COVER, T. [1991]: Uiversal portfolios. Mathematical Fiace, o. FAMA, E. F. [1991]: Efficiet Capital Markets: II. The Joural of Fiace, Vol. 46. No

18 18 Logoptimális portfóliók empirikus vizsgálata FAMA, E. F. FRENCH, K. R. [1992]: The cross-sectio of expecte stock returs. The Joural of Fiace, Vol. 47. No o. FAMA, E. F. FRENCH, K. R. [1993]: Commo risk factors i the returs o stocks a bos. Joural of Fiacial Ecoomics, Vol. 33. No o. FAMA, E. F. FRENCH, K. R. [1996]: Multifactor Explaatios of Asset Pricig Aomalies. The The Joural of Fiace, Vol. 51. No o. FINKELSTEIN, M. WHITLEY, R. [1981]: Optimal strategies for repeate games. Avaces i Applie Probability, o. GYÖRFI LÁSZLÓ LUGOSI GÁBOR UDINA, F. [2006]: Noparametric kerel-base sequetial ivestmet strategies. Mathematical Fiace, o. GYÖRFI LÁSZLÓ URBÁN ANDRÁS VAJDA ISTVÁN [2007]: Kerel-base semi-log-optimal empirical portfolio selectio strategies. Iteratioal Joural of Theoretical a Applie Fiace, o. GYÖRFI LÁSZLÓ VAJDA ISTVÁN [2008]: Growth optimal portfolio selectio strategies with trasactio costs. Algorithmic Learig Theory, Lecture Notes i Computer Sciece, Spriger Verlag o. KELLY, J. [1956]: A ew iterpretatio of iformatio rate. Bell System Techical Joural, o. LATANÉ, H. [1959]: Criteria for choice amog risky vetures. Joural of Political Ecoomy, o. LINTNER, J. [1965]: The Valuatio of Risk Assets a the Selectio of Risky Ivestmets i Stock Portfolios a Capital Bugets. Review of Ecoomics a Statistics, Vol. 47. No o. MOSSIN, J. [1966]: Equilibrium i a Capital Asset Market. Ecoometrica, Vol. 34. No OTTUCSÁK GYÖRGY VAJDA ISTVÁN [2006]: Empirikus portfólióstratégiák. Közgazasági Szemle, 7 8. sz o. SCHÄFER, D. [2002]: Noparametric Estimatio for Fiatial Ivestmet uer Log-Utility. PhDisszertáció, Mathematical Istitute, Uiversity Stuttgart, Shaker Verlag, Aache. SHARPE, W. F. [1964]: Capital Asset Prices: A theory of market equilibrium uer coitios of risk. The Joural of Fiace, o. SHARPE, W. F. [1994]: The Sharpe ratio. Joural of Portfolio Maagemet, o. SINGER, Y. [1997]: Switchig portfolios. Iteratioal Joural of Neural Systems, o.

Empirikus portfólióstratégiák

Empirikus portfólióstratégiák Közgazdasági Szemle, LIII. évf., 2006. július augusztus (624 640. o.) OTTUCSÁK GYÖRGY VAJDA ISTVÁN Empirikus portfólióstratégiák A cikk olya új szekveciális befektetési stratégiákat mutat be, amelyek általáos

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

Szemmegoszlási jellemzők

Szemmegoszlási jellemzők Szemmegoszlási jellemzők Németül: Agolul: Charakteristike er Korgrößeverteilug Characteristics of particle size istributio Fraciául: Caractéristique e compositio graulométrique Kutatási, fejlesztési és

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből Kidolgozott feladatok a emparaméteres statisztika témaköréből A tájékozódást mideféle szíkódok segítik. A feladatok eredeti szövege zöld, a megoldások fekete, a figyelmeztető, magyarázó elemek piros szíűek.

Részletesebben

Statisztikai hipotézisvizsgálatok

Statisztikai hipotézisvizsgálatok Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

1. A lehetséges finanszírozási források és azok ára

1. A lehetséges finanszírozási források és azok ára 3. kozultáció 1. A lehetséges fiaszírozási források és azok ára 1.1. A fiaszírozás belső forrásai 1.2. Külső fiaszírozási források 1.3. A fiaszírozási források ára 1.4. A pézügyi lehetőségek egy részéek

Részletesebben

Izolált rendszer falai: sem munkavégzés, sem a rendszer állapotának munkavégzés nélküli megváltoztatása nem lehetséges.

Izolált rendszer falai: sem munkavégzés, sem a rendszer állapotának munkavégzés nélküli megváltoztatása nem lehetséges. ERMODINMIK I. FÉELE els eergia: megmaraó meyiség egy izolált reszerbe (eergiamegmaraás törvéye) mikroszkóikus kifejezését láttuk Izolált reszer falai: sem mukavégzés sem a reszer állaotáak mukavégzés élküli

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

Egyenes-e a tőkepiaci árazási modell (CAPM) karakterisztikus és értékpapír-piaci egyenese?

Egyenes-e a tőkepiaci árazási modell (CAPM) karakterisztikus és értékpapír-piaci egyenese? Közgazdasági Szemle, LVII. évf., 1. március (1 1. o.) ERDŐS PÉTER ORMOS MIHÁLY ZIBRICZKY DÁVID Egyees-e a tőkepiaci árazási modell (CAPM) karakterisztikus és értékpapír-piaci egyeese? Taulmáyuk egyrészt

Részletesebben

Többperiódusú befektetési stratégiák vizsgálata

Többperiódusú befektetési stratégiák vizsgálata Többperiódusú befektetési stratégiák vizsgálata Urbán András urban@finance.bme.hu Tézisfüzet 20 témavezető: Dr. Ormos Mihály Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem, Gazdálkodás- és Szervezéstudományi

Részletesebben

A vállalati pénzügyi döntések fajtái

A vállalati pénzügyi döntések fajtái A vállalati pénzügyi döntések fajtái Hosszú távú finanszírozási döntések Befektetett eszközök Forgóeszközök Törzsrészvények Elsőbbségi részvények Hosszú lejáratú kötelezettségek Rövid lejáratú kötelezettségek

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

Nemzetközi részvény befektetési lehetõségek Közép- és Kelet-Európa új európai uniós tagállamainak szemszögébõl

Nemzetközi részvény befektetési lehetõségek Közép- és Kelet-Európa új európai uniós tagállamainak szemszögébõl Közgazdasági Szemle, LII. évf., 2005. júius (576 598. o.) BUGÁR GYÖNGYI UZSOKI MÁTÉ Nemzetközi részvéy befektetési lehetõségek Közép- és Kelet-Európa új európai uiós tagállamaiak szemszögébõl Taulmáyuk

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

3.3 Fogaskerékhajtások

3.3 Fogaskerékhajtások PTE, PMMK Stampfer M.: Gépelemek II / Mechaikus hajtások II / 7 / 3.3 Fogaskerékhajtások Jó tulajoságaikak köszöhetőe a fogaskerékhajtóművek a legelterjetebbek az összes mechaikus hajtóművek közül. A hajtás

Részletesebben

Többperiódusú befektetési stratégiák vizsgálata

Többperiódusú befektetési stratégiák vizsgálata Többperiódusú befektetési stratégiák vizsgálata Urbán András urban@finance.bme.hu Doktori disszertáció 2011 témavezető: Dr. Ormos Mihály Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem, Gazdálkodás- és

Részletesebben

Kockázatos pénzügyi eszközök

Kockázatos pénzügyi eszközök Kockázatos pénzügyi eszközök Tulassay Zsolt zsolt.tulassay@uni-corvinus.hu Tőkepiaci és vállalati pénzügyek 2006. tavasz Budapesti Corvinus Egyetem 2006. március 1. Motiváció Mi a fő különbség (pénzügyi

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

Átfolyó-rendszerű gázvízmelegítő teljesítményének és hatásfokának meghatározása Gazdaságossági számításokhoz

Átfolyó-rendszerű gázvízmelegítő teljesítményének és hatásfokának meghatározása Gazdaságossági számításokhoz Átfolyó-redszerű gázvízmelegítő teljesítméyéek és hatásfokáak meghatározása Gazdaságossági számításokhoz Szuyog Istvá 005 Készült az OTKA T-0464 kutatási projekt keretébe A Gázipari oktatási laboratórium

Részletesebben

RÁBAKÖZI TAKARÉKSZÖVETKEZET

RÁBAKÖZI TAKARÉKSZÖVETKEZET Vállalkozások és egyéi vállalkozók részére vezetett pézforgalmi számlák kamatairól, valamit a voatkozó betétbiztosítási feltételekről Érvéyes: 2013. szeptember 11-től I. KAMATMÉRTÉKEK Éves kamatláb EBKM

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor 6. Elsőbbségi (prioritásos) sor Közapi fogalma, megjeleése: pl. sürgősségi osztályo a páciesek em a beérkezési időek megfelelőe, haem a sürgősség mértéke szerit kerülek ellátásra. Az operációs redszerekbe

Részletesebben

a legjobb kezekben K&H Csoport

a legjobb kezekben K&H Csoport a legjobb kezekbe A K&H Biztosító 1992 óta működik Magyarországo, és közel félmillió ügyfelet szolgál ki. A K&H Biztosító a magyar piac sajátosságait figyelembe véve alakította ki szolgáltatási palettáját,

Részletesebben

kritikus érték(ek) (critical value).

kritikus érték(ek) (critical value). Hipotézisvizsgálatok (hypothesis testig) A statisztikáak egyik célja lehet a populáció tulajdoságaiak, ismeretle paramétereiek a becslése. A másik tipikus cél: valamely elmélet, hipotézis empirikus bizoyítása

Részletesebben

Nagyméretű nemlineáris közúti közlekedési hálózatok speciális analízise

Nagyméretű nemlineáris közúti közlekedési hálózatok speciális analízise Nagyméretű emlieáris közúti közlekedési hálózatok speciális aalízise Dr. Péter Tamás* *Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Közlekedéautomatikai Taszék (tel.: +36--46303; e-mail: peter.tamas@mail.bme.hu

Részletesebben

Vállalkozási finanszírozás kollokvium

Vállalkozási finanszírozás kollokvium Harsányi János Főiskola Gazdaságtudományok tanszék Vállalkozási finanszírozás kollokvium Név: soport: Tagozat: Elért pont: Érdemjegy: Javította: 47 55 pont jeles 38 46 pont jó 29 37 pont közepes 20 28

Részletesebben

A települési hősziget-intenzitás Kárpátalja alföldi részén 1

A települési hősziget-intenzitás Kárpátalja alföldi részén 1 A települési hősziget-itezitás Kárpátalja alföldi részé Molár József, Kakas Móika, Marguca Viola A települési hőszigetek kifejlődéséek vizsgálata az urbaizáció folyamatáak előrehaladásával párhuzamosa

Részletesebben

Statisztika. Eloszlásjellemzők

Statisztika. Eloszlásjellemzők Statsztka Eloszlásjellemzők Statsztka adatok elemzése A sokaság jellemzése középértékekkel A sokaság jellemzéséek szempotja A sokaság jellemzéséek szempotja: A sokaság tpkus értékéek meghatározása. Az

Részletesebben

Hanka László. Fejezetek a matematikából

Hanka László. Fejezetek a matematikából Haka László Egyetemi jegyzet Budapest, 03 ÓE - BGK - 304 Szerző: Dr. Haka László adjuktus (OE BGK) Lektor: Hosszú Ferec mestertaár (OE BGK) Fiamak Boldizsárak Előszó Ez az elektroikus egyetemi jegyzet

Részletesebben

AZ ÖSSZETÉTEL OPTIMALIZÁLÁSA A VOLUMETRIKUS ASZFALTKEVERÉK- ELLENÕRZÉS MÓDSZERÉVEL

AZ ÖSSZETÉTEL OPTIMALIZÁLÁSA A VOLUMETRIKUS ASZFALTKEVERÉK- ELLENÕRZÉS MÓDSZERÉVEL 36 MIXCONTROL AZ ÖSSZETÉTEL OPTIMALIZÁLÁSA A VOLUMETRIKUS ASZFALTKEVERÉK- ELLENÕRZÉS MÓDSZERÉVEL Subert Istvá deformáció-elleálló keverékvázat lehet létrehozi. Kiidulási feltétel az alkalmazás helyéek

Részletesebben

Vállalkozási finanszírozás kollokvium

Vállalkozási finanszírozás kollokvium Harsányi János Főiskola Gazdaságtudományok tanszék Vállalkozási finanszírozás kollokvium Név: soport: Tagozat: Elért pont: Érdemjegy: Javította: 47 55 pont jeles 38 46 pont jó 29 37 pont közepes 20 28

Részletesebben

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés 7. el adás Becslések és mita elemszámok 7-1. fejezet Áttekités 7-1 Áttekités 7- A populáció aráy becslése 7-3 A populáció átlag becslése: σismert 7-4 A populáció átlag becslése: σem ismert 7-5 A populáció

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya II RÉZ 2 EJEZE 2 Az együttműködő vllamoseerga-redszer teljesítméy-egyesúlya 2 A frekveca és a hatásos teljesítméy között összefüggés A fogyasztó alredszerbe a fogyasztók hatásos wattos teljesítméyt lletve

Részletesebben

A Kormány 82/2010. (III. 25.) Korm. rendelete a betéti kamat és az értékpapírok hozama számításáról és közzétételérõl

A Kormány 82/2010. (III. 25.) Korm. rendelete a betéti kamat és az értékpapírok hozama számításáról és közzétételérõl M A G Y A R K Ö Z L Ö N Y 200. évi 43. szám 809 A Kormáy 82/200. (III. 25.) Korm. redelete a betéti kamat és az értékpapírok hozama számításáról és közzétételérõl A Kormáy a hitelitézetekrõl és a pézügyi

Részletesebben

Területi koncentráció és bolyongás Lengyel Imre publikációs tevékenységében

Területi koncentráció és bolyongás Lengyel Imre publikációs tevékenységében Lukovics Miklós (szerk.) 204: Taulmáyok Legyel Imre professzor 60. születésapja tiszteletére. SZTE Gazdaságtudomáyi Kar, Szeged, 5-24. o. Területi kocetráció és bolyogás Legyel Imre publikációs tevékeységébe

Részletesebben

Szabályozói tőkeköltség-számítás a távközlési piacon 2014. december 31-re vonatkozóan

Szabályozói tőkeköltség-számítás a távközlési piacon 2014. december 31-re vonatkozóan Szabályozói tőkeköltség-számítás a távközlési piacon 2014. december 31-re vonatkozóan VEZETŐI ÖSSZEFOGLALÓ 2015. MÁJUS 14. 1 Vezetői Összefoglaló A dokumentum háttere és célja 1.1 A Deloitte Üzletviteli

Részletesebben

Lineáris programozás

Lineáris programozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek

Részletesebben

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn A FIZIKA TANÍTÁSA KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsô Griz Márto ELTE Elméleti Fizikai Taszék Meszéa Tamás Ciszterci Red Nagy Lajos Gimázima Pécs, a Fizika taítása PhD program hallgatója

Részletesebben

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke:

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke: A PÉNZ IDİÉRTÉKE A péz értéke többek között az idı függvéye. Ha idıbe késıbb jutuk hozzá egy jövedelemhez, akkor elveszítjük aak lehetıségét, hogy az eltelt idıbe azt befektessük, azaz elesük aak hozamától,

Részletesebben

6 A teljesítményelektronikai kapcsolások modellezése

6 A teljesítményelektronikai kapcsolások modellezése 6 A teljesítméyelektroikai kapcsolások modellezése A teljesítméyelektroikai beredezések vagy már ömagukba egy bizoyos szabályzott redszert alkotak, vagy egy agyobb szabályozott redszer részét képezik.

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

REOIL. növeli a transzformátorok élettartamát. www.ekofluid.sk/hu/

REOIL. növeli a transzformátorok élettartamát. www.ekofluid.sk/hu/ 5 öveli a traszformátorok öveli a traszformátorok A techológia előyei A költségek csökketéseek folyamatos kéyszere és a zavartala eergiaellátás ehézségei szükségessé teszik a traszformátorok tervezett

Részletesebben

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS 1. Törtéeti összefoglaló A tizekilecedik század végé a fizikát lezárt tudomáyak tartották. A sikeres Newto-i mechaika és gravitációs elmélet alapjá a Napredszer bolygóiak mozgása

Részletesebben

Az iparosodás és az infrastrukturális fejlődés típusai

Az iparosodás és az infrastrukturális fejlődés típusai Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés típusai Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés kapcsolatába törtéelmileg három fejlődési típus vázolható fel: megelőző, lácszerűe együtt haladó, utólagosa

Részletesebben

Valószín ségszámítás és statisztika

Valószín ségszámítás és statisztika Valószí ségszámítás és statisztika oktatási segédayag Kupá Pál Tartalomjegyzék fejezet Valószí ségszámítási alapfogalmak 5 Eseméyek 5 M veletek eseméyekkel 5 2 A valószí ség fogalma 7 3 Valószí ségi változók

Részletesebben

X = 9,477 10 3 mol. ph = 4,07 [H + ] = 8,51138 10 5 mol/dm 3 Gyenge sav ph-jának a számolása (általánosan alkalmazható képlet):

X = 9,477 10 3 mol. ph = 4,07 [H + ] = 8,51138 10 5 mol/dm 3 Gyenge sav ph-jának a számolása (általánosan alkalmazható képlet): . Egy átrium-hidroxidot és átrium-acetátot tartalmazó mita 50,00 cm 3 -es részletée megmérjük a ph-t, ami,65-ek adódott. 8,65 cm 3 0, mol/dm 3 kocetrációjú sósavat adva a mitához, a mért ph 5,065. Meyi

Részletesebben

Ingatlanok értékelése hozamszámítással 1-2. 1

Ingatlanok értékelése hozamszámítással 1-2. 1 Piaci érték: Igatlaok értékelése hozamszámítással 1-2. 1 Elıadás Igatlavagyo-értékelı és közvetítı Szakképzés, Igatlakezelı Szakképzés A-. modul Az az ár, amelyért az igatla méltá- yosa,, magájogi szerzıdés

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

Vállalkozásgazdaságtan

Vállalkozásgazdaságtan MENEDZSMENT ÉS VÁLLALKOZÁSGAZDASÁGTAN (BMEGT0A00). ZH ALAPKÉRDÉSEK Vállalkozásgazdaságta Rövid kifejtıs kérdések Mibıl fakad valami értéke, haszossága? Az érték, a haszosság egy emberbe, egy emberi szituációba

Részletesebben

A tıke alternatívaköltsége. Ingatlanfinanszírozás és befektetés. up módszer. Hatékony portfóliók. Portfólió. Becslés a piaci tapasztalatok alapján

A tıke alternatívaköltsége. Ingatlanfinanszírozás és befektetés. up módszer. Hatékony portfóliók. Portfólió. Becslés a piaci tapasztalatok alapján A tıke alternatívaköltsége Ingatlanfinanszírozás és befektetés efektetési portfóliók r, R A várható hozam kifejezi a várható kockázat mértékét ecslése: uild-up up módszerrel, Piaci tapasztalatok alapján,

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve

Részletesebben

Komputer statisztika

Komputer statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Iformatikai Itézet Tómács Tibor Komputer statisztika Eger, 010. október 6. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Valószíűségszámítás 7 1.1. Valószíűségi mező............................

Részletesebben

HosszútávúBefektetések Döntései

HosszútávúBefektetések Döntései VállalatgadaságtaII. HossútávúBefektetések Dötései Előadó: Koma Tímea Tatárgyfelelős: Dr. Illés B. Csaba 27. November 9. A hossútávúbefektetések sajátosságai Rövidebb időre sóló befektetés hossabb időtávra

Részletesebben

Vállalkozási finanszírozás kollokvium

Vállalkozási finanszírozás kollokvium Harsányi János Főiskola Gazdálkodási és Menedzsment Intézet Vállalkozási finanszírozás kollokvium G Név: soport: Tagozat: Elért pont: Érdemjegy: Javította: 43 50 pont jeles 35 42 pont jó 27 34 pont közepes

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

A JUST IN TIME KÖLTSÉGEK ELEMZÉSE

A JUST IN TIME KÖLTSÉGEK ELEMZÉSE DR. BENKŐ JÁNOS * A JUST IN TIME KÖLTSÉGEK ELEMZÉSE ÁTTEKINTÉS Az ayag- és készletgazdálkodás fotos feladata a termelés üteméek megfelelő ayagszükséglet folyamatos kielégítése. A termelési program és az

Részletesebben

Hosszmérés finomtapintóval 2.

Hosszmérés finomtapintóval 2. Mechatroika, Optika és Gépészeti Iformatika Taszék kiadva: 0.0.. Hosszmérés fiomtapitóval. A mérések helyszíe: D. épület 53-as terem. Az aktuális mérési segédletek a MOGI Taszék holapjá érhetők el, a www.mogi.bme.hu

Részletesebben

Vállalkozási finanszírozás kollokvium

Vállalkozási finanszírozás kollokvium Harsányi János Főiskola Gazdaságtudományok tanszék Vállalkozási finanszírozás kollokvium E Név: soport: Tagozat: Elért pont: Érdemjegy: Javította: 43 50 pont jeles 35 42 pont jó 27 34 pont közepes 19 26

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

Általánosított mintavételi tétel és alkalmazása kváziperiodikus jelek leírására

Általánosított mintavételi tétel és alkalmazása kváziperiodikus jelek leírására Általáosított mitavételi tétel és alkalmazása kváziperiodikus jelek leírására Dr. Földvári Rudolf BME Híradástechikai Elektroika Itézet ÖSSZEFOGLALÁS Az általáosított mitavétel külöböző esteiek bemutatása

Részletesebben

Elektrokémiai fémleválasztás. Felületi érdesség: definíciók, mérési módszerek és érdesség-változás a fémleválasztás során

Elektrokémiai fémleválasztás. Felületi érdesség: definíciók, mérési módszerek és érdesség-változás a fémleválasztás során Elektrokémiai fémleválasztás Felületi érdesség: defiíciók, mérési módszerek és érdesség-változás a fémleválasztás sorá Péter László Elektrokémiai fémleválasztás Felületi érdesség fogalomköre és az érdesség

Részletesebben

MÉRÉSMETODIKAI ALAPISMERETEK FIZIKA. kétszintű érettségire felkészítő. tanfolyamhoz

MÉRÉSMETODIKAI ALAPISMERETEK FIZIKA. kétszintű érettségire felkészítő. tanfolyamhoz MÉRÉSMETODIKAI ALAPISMERETEK a FIZIKA kétszitű érettségire felkészítő tafolyamhoz A fizika mukaközösségi foglalkozásoko és a kétszitű érettségi való vizsgáztatásra felkészítő tafolyamoko 004-009-be elhagzottak

Részletesebben

Társaságok pénzügyei kollokvium

Társaságok pénzügyei kollokvium udapesti Gazdasági Főiskola Pénzügyi és Számviteli Főiskolai Kar udapesti Intézet Továbbképzési Osztály Társaságok pénzügyei kollokvium F Név: soport: Tagozat: Elért pont: Érdemjegy: Javította: 55 60 pont

Részletesebben

Az összekapcsoltság hatása a rendszerkockázatra. homogén bankrendszerben

Az összekapcsoltság hatása a rendszerkockázatra. homogén bankrendszerben MŰHELYTANULMÁNYOK DISCUSSION PAPERS MT-DP 2015/10 Az összekapcsoltság hatása a redszerkockázatra homogé bakredszerbe CSÓKA PÉTER KISS TAMÁS MTA KÖZGAZDASÁG- ÉS REGIONÁLIS TUDOMÁNYI KUTATÓKÖZPONT KÖZGAZDASÁG-TUDOMÁNYI

Részletesebben

A Markowitz modell: kvadratikus programozás

A Markowitz modell: kvadratikus programozás A Markowitz modell: kvadratikus programozás Harry Markowitz 1990-ben kapott Közgazdasági Nobel díjat a portfolió optimalizálási modelljéért. Ld. http://en.wikipedia.org/wiki/harry_markowitz Ennek a legegyszer

Részletesebben

Rádiókommunikációs hálózatok

Rádiókommunikációs hálózatok Rádiókommuikációs hálózatok Készült az NJSZT Számítógéphálózat modellek Tavaszi Iskola elöadás-sorozataihoz. 977-980. Gyarmati Péter IBM Research, USA; Budapest Föváros Taácsa. I this paper we show a somewhat

Részletesebben

KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN

KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN DR. REICHART OLIVÉR 005. Budapest Lektorálta: Zukál Edre Tartalom BEVEZETÉS 3. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPOK 5.. Kombiatorikai alapösszefüggések

Részletesebben

Al-Mg-Si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása

Al-Mg-Si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása l--si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása evezetés Farkas János 1, Dr. Roósz ndrás 1 doktorandusz, tanszékvezető egyetemi tanár Miskolci Egyetem nyag- és Kohómérnöki Kar Fémtani Tanszék

Részletesebben

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága Azoos évleges értékű, htelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérés bzoytalasága Zeleka Zoltá* Több mérés feladatál alkalmazak súlyokat. Sokszor ezek em egyekét, haem külöböző társításba kombácókba

Részletesebben

VÁLLALKOZÁSOK PÉNZÜGYI ALAPJAI

VÁLLALKOZÁSOK PÉNZÜGYI ALAPJAI VÁLLALKOZÁSOK PÉNZÜGYI ALAPJAI Budapest, 2007 Szerző: Illés Ivánné Belső lektor: Dr. Szebellédi István BGF-PSZFK Intézeti Tanszékvezető Főiskolai Docens ISBN 978 963 638 221 6 Kiadja a SALDO Pénzügyi Tanácsadó

Részletesebben

PELTON TURBINA MÉRÉSE

PELTON TURBINA MÉRÉSE idrodiamikai Redszerek Taszék PELTON TURBINA MÉRÉSE 1. A mérés célja A mérés célja egy, a gyógyszer- és vegyiparba eergia visszayerés céljára haszálatos saválló jelleggörbéiek felvétele. A turbia jellemzői:

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

A válaszadó-vezérelt mintavétel megbízhatóságának vizsgálata szimulációs módszerekkel 1

A válaszadó-vezérelt mintavétel megbízhatóságának vizsgálata szimulációs módszerekkel 1 Szociológiai Szemle 23(2): 72 88. válaszadó-vezérelt mitavétel megbízhatóságáak vizsgálata szimulációs módszerekkel 1 Kmetty Zoltá Simo Dávid zkmetty@yahoo.com; dr.david.simo@gmail.com Beérkezés: 2013.

Részletesebben

Túlreagálás - Az átlaghoz való visszatérés

Túlreagálás - Az átlaghoz való visszatérés Kerényi Péter http://www.cs.elte.hu/ keppabt 2011. április 7. T kepiaci hatékonyság 1. Fama: Ecient Capital Markets: a Review of Theory and Empirical Work Egységes modellé gyúrta a korábbi eredményeket.

Részletesebben

Sok sikert és jó tanulást kívánok! Előszó

Sok sikert és jó tanulást kívánok! Előszó Előszó A Pézügyi számítások I. a Miskolci Egyetem közgazdász appali, kiegészítő levelező és posztgraduális kurzusai oktatott pézügyi tárgyak feladatgyűjteméyéek az első darabja. Tematikája elsősorba a

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

III. A RÉSZVÉNYEK ÉRTÉKELÉSE (4 óra)

III. A RÉSZVÉNYEK ÉRTÉKELÉSE (4 óra) VÁLLALATI PÉNZÜGYEK III. A RÉSZVÉNYEK ÉRTÉKELÉSE (4 óra) Összeállította: Naár János okl. üzemgazdász, okl. közgazdász-tanár Részvény: olyan lejárat nélküli értékpapír, amely a társasági tagnak: 1) az alaptőke

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás 8. Valószíűségszámítás ESEMÉNYEK 174 Eseméyek formális leírása, műveletek 175 Feladatok 176 A VALÓSZÍNŰSÉG FOGALMA 177 A valószíűség tulajdoságai 178 Mitapéldák 179 Feladatok 181 VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK

Részletesebben