A Kreps Scheinkman-állítás érvényessége lineáris keresletű vegyes duopóliumok esetén

Átírás

1 Közgazaság Szemle, LXI. évf., 04. május ( o.) akó arna Tasná ttla Kres Shenkman-állítás érvényessége lneárs keresletű vegyes uoólumok esetén Vegyes olgoólumoknak nevezzük az olyan aszerkezeteket, amelyek esetében a magánvállalatok mellett állam vállalatok s tevékenykenek. vegyes olgoólumokban az állam vállalatok részben vagy egészében a társaalm többletet kívánják maxmalzáln. Olyan vegyes uoólumot vzsgálunk, amelyben a vállalatok előbb kéítk kaatásakat, maj meghatározzák termékük kínálat árát. Kres Shenkman [983] tsztán magánvállalatos uoólumokra vzsgált lyen két őszakos moellt, és megállaította, hogy az első őszak egyensúly kaatások megegyeznek az azonos költségszerkezetű és kínálat vszonyú Cournot-uoólum egyensúly kbosátásaval. Tanulmányunkban Kres Shenkman [983] ereményét kterjesztjük a vegyes uoólumok lneárs kereslet görbe és konstans egységköltségek mellett esetére. Journal of Eonom Lterature (JEL) kó: D43, L3. z olgoolumok elméletének egyk legnészerűbb ereménye a Cournot-uo ó lum Kres Shenkman [983] által megalaozása. z eremény jelentőségét a Cournotmoell gyakor alkalmazása és abban az egyensúly árak vállalat öntésektől közvetett móon való függésének roblematkája aja. Nevezetesen a vállalatok az oututjakról öntenek, és ezek után a termékük a árát a kereslet görbe határozza meg. Kres Shenkman [983] egy két őszakos, előbb kaatást, maj árat meghatározó játék segítségével felolotta az exlt ármeghatározás folyamat hányát. Állításuk szernt mnen Cournot-uoólumnak megfeleltethető egy olyan szekvenáls játék, amelyben a vállalatok előbb nem kooeratív móon, egyejűleg határozzák meg termelés kaatásakat, maj ezeket megfgyelve egy ertran-tíusú árversenyben vesznek részt. * akó arna kutatása a TÁMOP 4..4./ azonosító számú Nemzet Kválóság Program Haza hallgató, lletve kutató személy támogatást bztosító renszer kolgozása és műkötetése konvergena rogram ímű kemelt rojekt keretében zajlott. rojekt az Euróa Unó támogatásával, az Euróa Szoáls la társfnanszírozásával valósul meg. Tasná ttla kutatásat az OTK K-04. számú ályázat támogatta. szerzők köszönk egy anonm bíráló hasznos megjegyzéset. akó arna, uaest Corvnus Egyetem Mkroökonóma Tanszék és MT CE Lenület Stratéga Interakók Kutatósoort (e-mal: barna.bako@un-orvnus.hu). Tasná ttla, uaest Corvnus Egyetem Matematka Tanszék és MT CE Lenület Stratéga Interakók Kutatósoort (e-mal: attla.tasna@un-orvnus.hu).

2 534 akó arna Tasná ttla Kres Shenkman [983] fontos ereményének érvényesség határát több kutatás térkéezte fel. Wu és szerzőtársa [0] a kereslet és költségfüggvényre vonatkozó feltételeket enyhítette. Davson Denekere [986] rámutatott, hogy az úgynevezett árhuzamos vagy más néven hatékony aagolás szabály bármlyen más aagolás szabályra történő serélése elrontja Kres Shenkman [983] Cournotmoellt megalaozó ereményét. Reynols Wlson [000] megmutatta, hogy a kereslet bzonytalansága s elronthatja Kres Shenkman [983] ereményét. Reynols Wlson [000] moelljében a keresletbzonytalanság felolók a kaatáskéítés szakasz után, tehát a szerelők az árazás részjátékot már etermnsztkus kereslet mellett játsszák. Ezzel szemben e Frutos Fabra [0] elemzésében a vállalatok még a mások őszak árazás játékot követően s bzonytalan kereslettel szembesülnek, amely esetén bzonyos feltételek mellett a Cournot-megolással ekvvalens társaalm többlet aók, annak ellenére, hogy az első őszak egyensúly kaatások aszmmetrkusak. Kres Shenkman [983] többszerelős kterjesztését aja oar Wauthy [000] és [004] azonos költségfüggvények és hatékony aagolás feltételezése mellett. Hasonló feltételekkel Loertsher [008] egyszerre nut- és oututaon versenyző vállalatokra erősít meg Kres Shenkman [983] ereményét. Kutatásunkkal Kres Shenkman [983] ereményét kterjesztjük olyan uo olaokra, amelyekben egy magánvállalat egy állam vállalattal versenyez. z lyen uo olaokat vegyes uoólumoknak hívják. Jelentőségüket az állam aktív a szerevállalásán keresztül társaalm többlet növelésének lehetősége aja. z állam tulajonú vállalat a a szabályozására használható, és több aon s megfgyelhető, lletve várható (részben) állam és magánvállalatok egyejű jelenléte, mnt élául a Mol; a Kwbank, amely egy új-zélan állam tulajonú kereskeelm bank; az mtrak az Egyesült Államok távolság vasút személyszállításért felelő zrt.; az Inan Drugs an Pharmaeutuals állam tulajonú gyógyszerar vállalat; a Statol, amely egy 60 százalékos állam tulajonban lévő norvég energaar társaság; a Gazrom a vlág legnagyobb fölgázktermelője és az eroflot, az r New-Zealan, a Fnnar vagy a Qatar rways többség állam tulajonban lévő légtársaságok. Megjegyzenő, hogy Merrll Shneer [966] vetette fel a vegyes olgoólumot mnt az állam szabályozás egy lehetséges eszközét. Kres Shenkman [983] két őszakos játék mások őszak árazás részjátékának vegyes uoolváltozatát alogh Tasná [0] olotta meg. Cournot-moell vegyes változatával foglalkozott többek között Harrs Wens [980], eato Mas-Colell [984], Cremer és szer- két leggyakrabban alkalmazott aagolás szabály a árhuzamos, lletve az arányos. Tovább részleteket lletően lás Vves [999]. Leore [0] az aagolás szabályok és a keresletbzonytalanság jellegét tekntve általánosítja Reynols Wlson [000] ereményet.

3 Kres Shenkman-állítás érvényessége lneárs zőtársa [989] és e Fraja Delbono [989]. Ezért Kres Shenkman [983] ereményének kterjesztése vegyes uoólumokra lényegében még a kaatáskéítés szakasz megolását gényl. hátralévő részben bemutatjuk a moellkeretet, megoljuk a vegyes Cournotuoólumot, smertetjük a mások őszak árjátékra vonatkozó ereményeket, és végül megoljuk a kaatáskéítés szakaszt. moell Egy homogén termék aán két vállalat, az és a verseng egymással, amelyek közül az magánvállalat, és mnt lyen, roftját maxmalzálja, míg a állam vállalat, és elsőleges élja a társaalm többlet maxmalzálása. a kereslet az () lneárs függvénnyel aott: P(q) = q, () ahol q a vállalatok által termelt össza mennységet, P(q) az ezen mennység mellett kalakuló egyensúly (atsztító) árat jelöl. Feltesszük, hogy mnkét vállalat termelés tehnológája lneárs költségfüggvénnyel jellemezhető, azaz C (q ) = q és C (q ) = q, ahol > > 0. 3 Továbbá feltesszük, hogy < /, am bztosítja az állam vállalat aon maraását (beléését). Megjegyzenő, hogy az ereményünk, mnt ellenőrzhető, / esetén s fennáll, sak ekkor, mn a Cournot-játékban, mn a két őszakos előbb kaatás, maj árjátékban a magánvállalat monoolstaként fog tevékenyken. Vegyes Cournot-uoólum Moellkeretünkben a vegyes Cournot-uoólumban a magánvállalat ( )= ( ) () π q, q q q q q roftfüggvénye hagyományosan bevétel mínusz költségként aók, lletve az állam vállalat π ( q, q )= q q q q q q + ( + ) ( + ) (3) kfzetőfüggvénye az. ábrán szürkére színezett területtel azonos társaalm többlet. 3 költségfüggvényekre tett feltevésenkkel azt feltételezzük, hogy a magánvállalat költséghatékonyabban termel, mnt az állam vállalat, amely egybeseng az roalomban elterjet feltételezéssel. Lás élául: George La Manna [996].

4 536 akó arna Tasná ttla. ábra Társaalm többlet vegyes Cournot-uoólumban P(q) = q C C C q q + q q Egyensúlyban a vállalatok olyan mennységeket termelnek, amelyek kelégítk a (4) elsőrenű feltételek által aott egyenletrenszert: π ( q, q ) q π ( q, q ) q = q q = 0, = q q = 0. z egyenletrenszer megolásából kajuk a következő ereményt.. állítás Lneárs kereslettel jellemezhető aszmmetrkus vegyes uoólum Cournot-egyensúlyában a vállalatok termelése: q* = és q* = +, az egyensúly ár eg: P* =. Tehát a Cournot-egyensúlyban az egyensúly ár az állam vállalat határköltsége. (4) Vegyes Kres Shenkman-játék kaatásválasztással továbbakban feltesszük, hogy a vállalatok a következő szekvenáls játékot játsszák: kezetben mnkét vállalat szmultán, nem kooeratív móon meghatározza termelés kaatását, amely öntés köztuott tuássá válása után a vállalatok ertran-tíusú

5 Kres Shenkman-állítás érvényessége lneárs árversenyt játszanak. Összhangban a fentekkel feltesszük, hogy egységny kaatás kéítése az állam vállalat számára költségesebb, mnt a magánvállalat számára, azaz feltételezzük, hogy (k) > (k) > 0. Feltesszük továbbá, hogy a vállalatok a kéített kaatásg nulla határköltséggel kéesek termeln a mások őszakban, azonban ezt meghalava a termelés határköltsége végtelenül nagy. 4 játékot vsszagöngyölítéssel oljuk meg. ottnak tekntve a kaatásöntéseket, előbb megvzsgáljuk a vállalatok áröntését, maj ezt követően meghatározzuk a vállalatok otmáls kaatásválasztását. Tegyük fel tehát, hogy az első léésben a vállalatok a k, lletve a k kaatásokat éítk k. z általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy k, k [0, ], mvel az aott lneárs kereslet görbe mellett -nél többet úgysem lehet értékesíten. kaatásöntéseket aottnak tekntve, a vállalatok nem kooeratívan, szmultán móon olyan [0, P(0)] ( =, ) áröntéseket hoznak, amelyek kfzetéseket maxmalzálják. Térjünk rá a vállalatok kereslet és roftfüggvényenek megaására! 5 z alasonyabb kínálat árat megállaító vállalat kereslete a a kereslet, a magasabb kínálat árat megállaító vállalat kereslete a hatékony aagolás szabály segítségével meghatározott D ( ) = max{ 0, D ( r ) kj} rezuáls kereslet, és áregyezőség esetén a vállalatok kereslete egy első ránézésre megleő törés szabály alaján határozók meg. vegyes uoólumban alkalmazott törés szabály egy később meghatározásra kerülő ár fölött a a kaatásarányos felosztását írja elő. 6 Vszont -nál nem nagyobb árak esetén a társaalm többlet növelése érekében az állam vállalat hajlanó a magánvállalat kaatáskorlátja erejég a aot átengen, ezzel ösztönözve a magánvállalatot alasonyabb árak megállaítására. 7 Ezek alaján a vállalatok értékesítéset a következőkéen efnáljuk: { } < mn k, D( ), ha j r mn{ k, D ( ) }, ha > j k q = (, j)= mn k k k D, ( ), ha = j > + j mn{ k, D( ) } ha = j és = r mn{ k, D ( ) }, ha = j és =. (5) 4 Ezzel azt feltételezzük, hogy az aott részjátékban a vállalatok kaatása nem változtatható. 5 z elemzés során azt feltételezzük, hogy a magasabb áron kínáló vállalat rezuáls kereslete megkaható a kereslet görbe balra történő árhuzamos eltolásával, ahol az eltolás mértéke megegyezk az alasonyabb áron értékesített termékmennységgel. Ezt a szakroalom hatékony aagolás szabálynak nevez. elátható, hogy ezen aagolás szabály aott árak és kbosátások mellett maxmalzálja a fogyasztó többletet. ővebben az aagolás szabályokról lás Vves [999]. 6 felett árakra más törés szabályt s alkalmazhattunk volna. lényeges ont, hogy egyk vállalat se vgye el a teljes aot. Tehát tt a Kres Shenman [983] által alkalmazott törés szabály s megfelelt volna a élnak. z tt látható törés szabályt többek között alogh Tasná [0] s alkalmazza. 7 tovább részleteket lletően lás alogh Tasná [0].

6 538 akó arna Tasná ttla kfzetőfüggvények eg a következők: π (, ) = q (6) valamnt { ( ) } ( )= mn max mn{ k, R ( q) } q + Pqq, k, 0, D k j j π, j 0 ( ) (7) r ahol 0 j és Rj() q = ( D j ) ( q). Feltéve, hogy a kaatáskéítés költség már elsüllyet, j esetén a. ábrán a legvlágosabb szürke terület a magasabb áron kínáló vállalat fogyasztó körének többlete, az ennél kst sötétebb vlágosszürke terület az alasonyabb áron kínáló vállalat fogyasztó körének többlete, a vlágosabb sötétszürke terület a magasabb áron kínáló vállalat termelő többlete, a legsötétebb szürke terület az alasonyabb áron kínáló vállalat termelő többlete. Vegyük még észre, hogy a társaalm többlet általában a magasabb kínálat ár függvénye, kvéve, ha a magasabb ár túl magas, azaz a magasabb áron nnsen már rezuáls kereslet.. ábra Társaalm többlet az árjátékban 0 R j (q) = q k magasabb áron kínáló vállalat fogyasztó körének többlete z alasonyabb áron kínáló vállalat fogyasztó körének többlete magasabb áron kínáló vállalat termelő többlete z alasonyabb áron kínáló vállalat termelő többlete j P(q) = q C k k + k q Jelöljük m r m -vel az egyensúly mn { k, D ( árat )} és = -mel D ( az ), -ek vállalat rezuáls kereslete mellett maxmáls roftot ereményező árat, azaz ( ) = ( ) m r = P k + k és arg max D. 0, P() 0 m r m m r m Legyen az mn a { legksebb k, D ( )} ár, = amely D mellett ( ), mn { k, D ( )} = D ( ), azaz egy mn{ k, D ( )} = olyan ár, amely a rezuáls monoolmennységet meghalaó kaatás kárusítása

7 Kres Shenkman-állítás érvényessége lneárs mellett ugyanakkora roftot ereményez a vállalat számára, mntha az a rezuáls kereslete mellett roftmaxmalzáló árat választaná. 8 z árazás részjáték megolása z árazás részjátékban aottnak vesszük a uoolsták első őszak k és k kaatásválasztását. alogh Tasná [0] ereménye alaján smert, * = hogy * = jól m efnált, ha. Ekkor a vállalatok az alábbak szernt áraznak: * = * = vagy * m = és *. (9) (8) Sőt ha k k és k D( M ), ahol M a kaatáskorlát-mentes monoólum által választanó roftmaxmalzáló ár, akkor a (0) árak s az egyensúly részét kéezk: * M M = max, Pk és * max, Pk. (0) { ( ) } > ( ) { } m Ha azonban <, akkor egyensúlyban a vállalatok a atsztító áron áraznak, azaz: * = * =. () m továbbakban az első esetre ( ) mnt az erős magánvállalat esetére, míg az m utóbbra ( < ) mnt a gyenge magánvállalat esetére hvatkozunk. Ezen a onton már megahatjuk az (5) kfejezésben szerelő értéket: legyen az erős magánvállalat esetén = és a gyenge magánvállalat esetén = 0. z erős magánvállalatra aott egyensúlyok közül a (8) egyensúly Pareto-omnálja a (9) egyensúlyt, és a nem mng létező (0) egyensúly az állam vállalat naktvtását jelentené, ezért a továbbakban a szmmetrkus egyensúlyt tekntjük az aott részjáték megolásának. 9 Így a vállalatok egyensúly értékesítését a következőkéen ahatjuk meg: q* r = mn k, D( ) és q* mn{ k, D * }. () { } = ( ) hhoz, * hogy * m = = -t meghatározzuk, szükségünk van <értékére. Ezt azonban könynyen kszámolhatjuk a [D() k ] maxmumhelyének meghatározásával. Ekkor ugyans: 8 m r m jelölések egyszerűsítése érekében k -t és k -t mn nem { kszereeltetjük, D ( k )} D = D,(, D), r m m r m mn {, ( )} = mn, ({ k, ) és D, ( )} argumentuma között. Tartsuk azonban mng szem előtt, hogy a kéréses függvények és változók mng = D ( ), függnek az első őszak kaatásválasztástól! 9 ővebben lás alogh Tasná [0].

8 540 akó arna Tasná ttla ( ) k = 0, azaz m k =. Ennek smeretében megahatjuk az erős és a gyenge magánvállalat esetét elhatároló egyenes egyenletét: k = = k k k = k. (3) m m r m mn efníójából { k, D ( )} aók, = Dhogy: ( ), k k { k }= mn, k Ha k, akkor k =, k k =. míg ellenkező * esetben * k = = -t a ( )= kfejezés efnálja, amelynek megolásaként (4) k = 4 (5) aók. Egy kst előreszalava már tt megjegyezzük, hogy az első őszak egyensúly kaatásválasztás * = esetén * = -t nem a (5) kélet határozza meg, ugyans egy a k > feltételnek eleget tevő egyensúly megolás esetén a magánvállalat jobban járna egy első őszak k = k ε > kaatás választásával, mvel a (5) által * = aott * = ár az érvényesség tartományán belül független a k értékétől, és így mások őszak ársökkenés nélkül a felesleges kaatáskéítés költség megtakarításán keresztül a magánvállalat egyolalúan növelhetné a roftját. Tehát az erős magánvállalat tartományában lévő egyensúly megolásra szükségszerűen k. Meg kell jegyeznünk, hogy az erős magánvállalat és k > tartományban lévő kaatások halmaza K = ( k, k) 0, k k és k k + 4 ( ) > 4, amely az egységnégyzetből egy háromszög és egy ellszs által kvágott terület. Jelölje K = ( k, k) 0, k k és k k + 4 ( ) 4

9 k Kres Shenkman-állítás érvényessége lneárs a kaatások azon tartományát, amelyen a (4) szernt határozók meg az egyensúly ár, valamnt { } K = ( k, k ) 0, k < k a gyenge magánvállalatot ereményező kaatások tartományát. három tartományt a 3. ábra szemléltet. 3. ábra Kaatástartományok K K C K k Egyensúly kaatások meghatározása z árazás részjáték megolását fgyelembe véve, a (k, k ) első őszak kaatásválasztás esetén k k, ha ( k, k ) K K, π ( k, k )= (6) k k, ha ( k, k ) K a magánvállalat roftfüggvénye, és ( )( ) ( ) + k k ha k k K K π k, k,,, ( )= + k k, ha k, k K ( )( ) ( ) az állam vállalat kfzetőfüggvénye. rövség kevéért a vállatok kfzető függ vénye be még nem helyettesítettük * = be * = a és a helyébe a kaatásoktól függő előző szakaszban levezetett kfejezéseket. (7)

10 54 akó arna Tasná ttla Mvel az előző szakaszban megmutattuk, hogy a K -bel kaatások nem lesznek egyensúlyak, ezért a kfzetőfüggvényeket e tartományokon nem értékeljük k. Mnt a 3. ábrából látható, a K és a K tartományok határa egy ontra reukálónak. Mvel a K -bel megolások omnálják a K -bel megolásokat, elegenő a K és K tartományokkal foglalkoznunk. (6) és (7) kfzetőfüggvények 0 k k, k, k K, π k k ha ( ) (, )= ( ) π k, k k k k k ha ( k k) K,,, 4 k k k k k ( ),, k 6 ( )= ha ( ) K, k k k k k k K ( ), ha (, ) és a aráls erváltjak k k ( )=, ha ( k, k ) nt( K ), k k k k, ha ( k, k ) nt( K ), π, 3 ( k ), ha ( k, k ) nt( K ), π ( k, k )= 8k k k, ha ( k, k) nt( K ) a K és K tartományokon. Mvel a π a K -ben bármely rögzített k -re, a fent meghatározott / k negatvtása matt k -ban szgorúan sökkenő, ezért következk, hogy az állam vállalat tetszőleges k kaatás választása esetén sem választ a magánvállalat olyan k kaatást, amellyel ( k, k) nt ( K ). Ezért az egyensúly ka atásárnak K -belnek kell lenne. Megolva az k k = 0 és k k = 0 elsőrenű feltételeket, a k* = és k* = + kaatások aónak, amelyek valóban K -belek. Vegyük észre, hogy az egyensúly kaatások ontosan a korábban meghatározott vegyes Cournot-uoólum egyensúly oututjaval egyeznek meg. Tehát gaz a következő tétel: 0 Megjegyzenő, hogy (k, k ) K esetén szükségszerűen k k > 0. z [0,] halmaz belső ontjanak halmazát nt() jelöl.

11 Kres Shenkman-állítás érvényessége lneárs tétel Lneárs kereslettel és konstans egységköltséggel jellemezhető aszmmetrkus vegyes uoólumban érvényes Kres Shenkman [983] tsztán magánvállalatos uoólumokra kaott ereménye. Hvatkozások alogh Tamás László Tasná ttla [0]: Does tmng of esons n a mxe uooly matter? Journal of Eonoms, Vol. 06. No o. eato, P. Mas-Colell,. [984]: The margnal ost rng as a regulaton mehansm n mxe markets. Megjelent: Marhan, M. Pesteau, P. Tulkens, H. (szerk.): The Performane of Publ Enterrses. North-Hollan, mszteram, o. oar, N. Wauthy, X. [000]: ertran ometton an Cournot outomes: further results. Eonoms Letters, Vol. 68. No o. oar, N. Wauthy, X. [004]: ertran ometton an Cournot outomes: a orreton. Eonoms Letters, Vol. 84. No o. Cremer, H. Marhan, M. Thsse, J.-F. [989]: The Publ Frm as an Instrument for Regulatng an Olgoolst Market. Oxfor Eonom Paers, 4. No o. Davson, C. Denekere, R. [986]: Long-Run Cometton n Caaty, Short-Run Cometton n Pre, an the Cournot Moel. Ran Journal of Eonoms, Vol. 7. No o. e Fraja, G. Delbono, F. [989]: lternatve Strateges of a Publ Enterrse n Olgooly. Oxfor Eonom Paers, Vol. 4. No o. e Frutos, M.-. Fabra, N. [0]: The role of eman unertanty. Internatonal Journal of Inustral Organzaton, Vol. 9. No o. George, K. La Manna, M. M.. [996]: Mxe Duooly, Ineffeny, an Publ Ownersh. Revew of Inustral Organzaton, Vol.. No o. Harrs, R. G. Wens, E. G. [980]: Government enterrse: an nstrument for the nternal regulaton of nustry. Canaan Journal of Eonoms, Vol. 3. No o. Kres, D. M. Shenkman, J.. [983]: Quantty Preommtment an ertran Cometton Yels Cournot Outomes. ell Journal of Eonoms, Vol. 4. No o. Leore, J. J. [0]: Cournot outomes uner ertran-egeworth ometton wth eman unertanty. Journal of Mathematal Eonoms, Vol. 48. No o. Loertsher, S. [008]: Market Makng Olgooles. Journal of Inustral Eonoms, Vol. 56. No o. Merrll, W. C. Shneer, N. [966]: Government Frms n Olgooly Inustres: Shortrun nalyss. Quarterly Journal of Eonoms, Vol. 80. No o. Reynols, S. S. Wlson,. J. [000]: ertran-egeworth Cometton, Deman Unertanty, an symmetr Outomes. Journal of Eonom Theory, Vol. 9. No.. 4. o. Vves, X. [999]: Olgooly Prng: Ol Ieas an New Tools. MIT Press, Cambrge M. Wu, X.-w. Zhu, Q.-t. Sun, L. [0]: On equvalene between Cournot ometton an the Kres Shenkman game. Internatonal Journal of Inustral Organzaton, Vol. 30. No o.