Horváth Alice. Éles valószínűségi korlátok műszaki és aktuáriusi alkalmazásokkal

Átírás

1 Horáth Alce Éles alószíűség korlátok műszak és aktuárus alkalmazásokkal doktor értekezés témaezető: Bakó Adrás DSc egyetem taár Széchey Istá Egyetem Ifrastrukturáls Redszerek Modellezése és Fejlesztése Multdszcplárs Műszak Tudomáy Doktor Iskola 28

2

3

4 HORVÁTH ALICE Éles alószíűség korlátok műszak és aktuárus alkalmazásokkal Doktor tézsek Témaezető: Bakó Adrás DSc, egyetem taár, Széchey Istá Egyetem Ifrastrukturáls Redszerek Modellezése és Fejlesztése Multdszcplárs Műszak Tudomáy Doktor Iskola 28

5 Motácó és célktűzések: Az értekezés a dszkrét mometum probléma kérdésköréhez kapcsolódk. A probléma részletes kfejtése megtalálható Prékopa: Stochastc Programmg (Kluwer,1995) köyébe. A dszkrét mometum problémáak több áltozata a, a legfotosabbak (1)a dszkrét hatáymometum problémák és a (2) bomáls mometumproblémák. Mdkét esetbe smertek tételezzük fel egy adott dszkrét halmazból ett értékű alószíűség áltozó első éháy hatáy, agy bomáls mometumát és e feltétel mellett keressük egy, az smeretle alószíűség eloszláso értelmezett fukcoál mmumát, agy maxmumát. Mdkét esetbe a fukcoált a alószíűség eloszlás tartójá értelmezett függéy alósítja meg. A (1) esetbe e függéy poztí osztott dfferecákkal kell, hogy redelkezzék, a (2) esetbe pedg a függéy -1 értékű; adott számg, azo túl 1. E problémák zsgálatát Prékopa Adrás kezdeméyezte, ő tárta fel legfotosabb tulajdoságukat. A dsszertácóba azt a célt tűztük k, hogy alkalmazzuk ezeket a problémákat műszak redszerek megbízhatóság elemzésébe és a bztosítás matematkába.

6 Az alkalmazott módszerek: A dolgozatba a alószíűségelmélet fogalmak, statsztka módszerek és a sztochasztkus folyamatok elméletéek Prékopa Adrás által jaasolt alkalmazására törekedtem a megbízhatóság redszerek és a bztosításmatematka területé. Módszert adtam a jeleérték alsó és felső korlátjaak számítására, mközbe az élettartamok körébe csak ks számú alószíűség áltozó együttes eloszlásáak smeretét tételeztem fel. A korlátok a bomáls mometumproblémákra támaszkoda oltak yerhetők. A muka tartalm smertetése: Az értekezés első fejezetébe műszak redszerek működés dejéek árható értékére adok alsó és felső becsléseket. Ezek a becslések a dszkrét mometum probléma eredméyeek a felhaszálásáal yerhetők, ezért a fejezet első szakaszába ezeket az eredméyeket smertetem. A fejezet másodk szakaszába soros, agy párhuzamos, de általáos műszak redszerek működés dejéek a árható értékére adok alsó és felső korlátokat. Ezeket egy-egy az dőtől, mt paramétertől függő leárs programozás feladat megoldásakét, majd az dőparaméter szert ktegrálással yerjük. Soros redszerek eseté ezt a m(max) = 1 = Sk ( t), k k, = 1,, = 1 feltée,hogy = 1,, m

7 és m(max) = = S k ( t), k k, =,1,, feltée,hogy =,1,, m leárs programozás feladatok és az és max + 1 [ 1 V ( t ) ] dt F ( t ) dt = E( X ) V ( t ) ( )dt m ( ) ( ) ( t ) dt F ( t ) dt = E( X ) ( t )dt m tegrálás formulák; párhuzamos redszerek eseté pedg az max és m(max) = 1 = S k ( t), k = k, = 1,, = 1 feltée,hogy m(max) = = Sk ( t), k = k, =,1,, feltée,hogy 1,, m,1,, m leárs programozás feladatok és az

8 V ( t ) dt G( t ) dt = E( Y ) m{ V ( t ),1 dt m max } és ( ) ( ) ( 1 ( t ) ) dt G( t ) dt = E( Y ) ( t ) max 1 ( )dt m tegrálás formulák mutatják. Az dőparamétertől függő leárs programozás feladat sorozatok optmáls megoldásaak a megkeresése agy számításgéyű feladat, eek gyorsítását szolgálja a fejezet harmadk szakaszába smertetett eljárás. Ebbe a leárs programozás feladatok jobboldal ektoraak a { b Ax = b,x } feltétel terét a duál megegedett bázsok segítségéel leírható 1 1 B1 b,,br b poledrkus kúpokra botom fel, mely felbotás segít a külöböző dőparaméterekhez tartozó jobboldal ektorok mellett leárs programozás feladatok optmáls megoldásaak a megkeresését. Mdehhez a gyakorlat alkalmazások sorá az összes duál megegedett bázs explct smeretére scs szükség. A fejezet egyedk szakaszába egy asút közlekedés alkalmazást mutatok be. Az ebbe a szakaszba smertetett műszak redszer se em soros, se em párhuzamos, mégs alkalmazhatók rá a fejezet eddg eredméye. Ezt azzal érem el, hogy a kezdőpotból a égpotba ezető utak soros redszerét egymással párhuzamosa tekte ez utóbb párhuzamos redszerre alkalmazom a korábba smertetett aló és felső korlát meghatározás módszereket. Ha ξ,,ξ 1 m jelöl egy asút pályaudar ágáy és ágáykapcsoló-redszere elemeek a életle működés dőt és P,, P 1 p jelöl a belépés potból a klépés potba ezető utak él halmazat, akkor a ágáy és ágáykapcsoló-redszer életletől függő hbátla működés dőtartama:

9 R ( ξ ) = max mξ j 1 p j P. Ekkor ahol G max j > ( 1 p ), 1 p j P ( t ) = P( R( ξ ) > t ) = P m ξ t = P A ( t ) + + A ( t ) A ( t ) = { m ξ > t}, = 1,, p. j P j Ezért az eseméyek uójáak a alószíűségbecslésére kdolgozott módszerek alkalmazhatók a G ( t ) alsó- és felső becsléséek a kszámítására, majd az E ( R( ξ ) ) = G( t )dt összefüggés értelmébe ezekek az alsó- és felső becslésekek a ullától égteleg ett tegráljáal becsül tudjuk a asút pályaudar átjárhatóságáak a árható dőtartamát. A fejezet ötödk szakaszába egy áros, jelzőlámpákkal s felszerelt, csúcsdőbe zsúfolt utca hálózat elkerülésére jelzést kadó módszert dolgoztuk k. A jelzés kadását ahhoz a feltételhez kötöttük, hogy egy előírt alószíűség sztél agyobb legye az esély arra, hogy a zsúfolt utca hálózat egyetle lehetséges útoalá se lehesse már a kdulás potból a célpotba rödebb dő alatt eljut, mt amey dő alatt a jóal hosszabb kerülő úto azt külöbe meg lehete te. Az értekezés másodk fejezetébe csoportos életbztosítás modellekkel foglalkozom. A fejezet első szakaszába két példá több személy együttes életbztosítása utá adott ettó prémum, llete többszemélyes éjáradék (autás) meghatározása mutatom meg, hogy az élettartamok együttes alószíűség eloszlása befolyásolhatja a feladat megoldását. A fejezet másodk szakaszába az aktuárus jeleértékre adható alsó és felső korlátok számításáal

10 foglalkozom. A korlátok számításáak a módja ugyaaz, mt az első fejezetbe olt, a égeredméy pedg rt rt e Lt dt c e t p = x1x2 x [ ] dt e rt U dt. A fejezet harmadk szakaszába az m+1=3 specáls eset képletet külö s megadtam. t Az értekezés harmadk fejezetébe először megmutatom, hogy hogya lehet adott egydmezós peremeloszlásokhoz erőse poztía, llete erőse egatía korrelált kétdmezós alószíűség eloszlásokat szerkeszte. Ehhez szállítás feladatokat fogalmazok meg, melyekhez az észak-yugat, llete dél-yugat sarok módszerrel elkészített duló megegedett megoldások szolgáltatják a kíát együttes eloszlást. Az eljárás kettőél több dmezóra s köye általáosítható. A fejezet égé megzsgálom, hogy egy hpotetkus magyar család (5 ées férj, 4 ées feleség, 2 ées fú és 18 ées leáy gyermek) eseté hogya alakula az aktuárus jeleérték, ha a égy személy együttes túlélés eloszlásába a kompoesek között erős poztí, agy erős egatí korrelácó a, llete, ha függetleek egymástól. Az alsó- és felsőkorlát számításokat em csak az első fejezetbe smertetett és alkalmazott mometum problémák megoldásáal, haem azok u. dszaggregált áltozataak a megoldásáal s égrehajtottam. Az eredméy táblázatok és azok grafkoja jól mutatják ez utóbb korlátszámítások előyet.

11 Tézsek: 1. Megmutattam, hogy a dszkrét mometum problémák megoldásáal előállított alószíűség becslések alkalmazhatóak soros, llete párhuzamos műszak redszerek árható működés dejéek alsó és felső korlátok közé szorítására. 2. Vasút közlekedés alkalmazáskét megmutattam, hogy egyetle kezdő- és egyetle égpotú, hurokmetes asút ágáyredszer megbízható átjárhatóság deje árható értékéek a becslésére s alkalmazható az eljárás. 3. Több személy (pl. egy család tagja) egydejű életbztosítása eseté megmutattam, hogy ezzel az eljárással az aktuárus jeleértékre akkor s adható alsó és felső korlát, amkor a személyek túlélés esélye egymással korreláltak. 4. Módszert adtam külöböző, egymástól agyo eltérő korrelácó szerkezetű, adott peremeloszlásokkal bíró dszkrét együttes eloszlások szerkesztésére. Ezekkel az együttes túlélés eloszlásokkal éggszámola az aktuárus jeleértékeket, megmutattam, hogy az egymástól eltérő korreláltság erőse befolyásolja az aktuárus jeleérték alakulását. 5. Numerkus példáko megmutattam, hogy a dszkrét mometum problémák dszaggregált alakját alkalmaza léyegese jobb korlátok yerhetők.

12 Publkácók: A témába az alább publkácók születtek: [1]Horáth Alce és Prékopa Adrás: Alsó és felső korlátok redszerek működés dejéek árható értékére, Alkalmazott Matematka Lapok, 21 (24) [2]Horáth Alce és Prékopa Adrás: Alsó és felső korlátok a csoportos életbztosítás aktuárus jeleértékre együttes alószíűség eloszlások fgyelembeételéel, Alkalmazott Matematka Lapok, 21 (24) [3]A. Horáth: Lower ad Upper Bouds o the Expected Value of Serce Tmes of some Ralway Terasportato Systems. Győr, Acta Techka Jauress, Vol. 1, No.1, (28) [4]A. Horáth: Iestgato of Falure Systems, Budapest, Acta Polytechka Hugarca Vol. 5, No. 2, (28). [5]A. Horáth: Lower ad Upper Bouds o the Probablty that Hazardous Materals ca be Trasported Wthout Icdet from a Pot to Aother. Pollack Perodca, A Iteratoal Joural for Egeerg ad Iformatos Sceces Vol.3, No. 3. (28) Akadéma Kadó, Budapest. (DOI: 1,1556/Pollack.3.28). [6]A. Horáth: Bouds o theactuaral Preset Value of Group Lfe Isurace, Huedoara, Joural of Egeerg (Aals of Faculty of Egeerg Huedoara), Fasccule 3, (28) (ISSN )

13