Városi forgalomirányítás és gépjárművek optimális útvonaltervezése játékelméleti módszerrel

Átírás

1 Város forgalomrányítás és gépárművek optmáls útvonalterveése átékelmélet módserrel Harmat István Budapest űsak és Gadaságtudomány Egyetem Irányítástechnka és Informatka Tansék Budapest, agyar Tudósok krt /B4 Kvonat A ckk a város forgalomrányítás és a gépárművek optmáls útvonal-terveés problémáára ad megoldást átékelmélet módserek segítségével. A koncepcóban a útvonalhálóat egy keresteődése a átékelméletben defnált átékos fogalmának felelnek meg. A átékosnak tekntett keresteődések gyekenek a keresteődésben felügyelt előlámpák sámára olyan öld elés dőntervallumokat találn amelyek a úthálóaton a lehető legtöbb ármű áthaladását és így a keresteődések mnmáls költségét btosíták. A forgalm adatok alapán a árművek pályaterveésére átékelmélet módsereken alapuló algortmusok s bemutatásra kerülnek. A pályaterveés során hoott döntéseket a módser determnstkus lletve valósínűség megfontolások alapán határoa meg. A elmélet eredmények llustrácóa egy egyserű kölekedés hálóat smulácóán kerestül történk. 1. Beveetés A növekvő város forgalom és a kölekedésben réstvevő nagysámú árműpark megkövetel a város árműforgalom (urban traffc control) optmalálását és a kölekedésben réstvevő árművek optmáls útvonalterveését. E utóbb különösen nagy hangsúlyt kap megkülönbötetett elésű árművek (pl. mentőautók) útvonalterveésénél. A város árműforgalom rányítása többnyre előlámpákkal történk, tehát a optmáls forgalomrányítást a keresteődésekben található előlámpák öld elésenek megfelelő beállításával lehet elérn amely termésetesen akár dőben váltoó s lehet. A város forgalomban a árművek optmáls útvonalterveése során a cél egy olyan útvonal (aa keresteődések köött útsakasok soroatának) kelölése, amely a árművet a kedet útsakasról a célként megelölt útsakasra uttata, lehetőleg egy krtérum által megfogalmaott költség mnmalálásával. Leggyakrabban a cél a, hogy a ármű mnmáls dő alatt usson el a kívánt célsakasra. A rodalomban megtalálható árműforgalm modellek sáma folyamatosan növeksk. A aktuáls trendek köül a egyk legskeresebb modellt a cella transformácón alapuló [1], [], a heurstkus vagy lágy sámítás módsereken [1], [3] hasnáló módserek adák, de a tudásalapú technkák és a stochastkus rendser-modelleésen [5] alapuló megköelítések s népserűek. Egy másk skeres megköelítés a forgalom árműfolyamát artéra struktúrába serve [6], am különösen hasnos, ha öld hullám létrehoása a kölekedés hálóatban egy árulékos cél [7]. Irányítástechnka sempontból fontos serepet átsk a store-and-forward modell [9], [10], [11] amelyek a állapotteres leírás segítségével a forgalomrányítás problémát rányítástechnka problémává transformálák. A [9] rodalomban bemutatott alapmódser LQ optmáls algortmust hasnál forgalomrányításra, de predktív rányítást s skeresen testeltek [1]. E a dolgoat ú eredményként a forgalomrányítás problémát átékelmélet problémaként keel és ennek megfelelően egy átékelmélet keretrendserbe ntegrála a forgalomrányítás és útvonal-terveés algortmusokat. A módser elmélet alapat a [8], [15], [16], []17] publkácók alkoták, amelyek köös ellemőe, hogy a kölekedés csomópontokat a problématérben átékosnak tekntk, amelyek döntéseket honak a keresteődések öldel

2 hossanak eloslását lletően. A módserek megértéséhe sükséges átékelmélet alapokat a [13], [14] rodalmakból saátíthata el a olvasó résleteben. A dolgoat struktúráa a követkeő. A. feeet a árműforgalm modellt tárgyala, különös tekntettel a sükséges feltétételekkel. A 3. feeet suboptmáls megoldást solgáltat átékelmélet technkák alapán a város forgalomrányítás problémára. A 4. feeet árművek útvonal-terveésére ad átékelmélet megoldást, mköben tekntetbe ves a párhuamosan futó forgalomrányítás beavatkoásat.. A árműforgalm modell A kölekedés hálóat átékelmélet modelle a [15]-[17] rodalomban felállított modellből ndul k amely a Store-and-Forward modell [9] bővítése. A modellben a kölekedés hálóatot élekből és csomópontokból álló gráf íra le. A élek repreentálák a útsakasokat, a csomópontok repreentálák a keresteődéseket (csomópontokat). Legyen egy keresteődés aonosítóa, legyen I a keresteődésbe torkolló ún. bemenő útsakasok halmaa, legyen O a keresteődést elhagyó ún. kmenő útsakasok halmaa. A modell a követkeő feltételekre épül: (ASF1) a árművek a sakasokon állandó sebességgel kölekednek, a sakasok végen található keresteődésekben pedg egymás után tárolódnak a öld elésre várva, ha a beövő forgalom nagyobb, mnt a kmenő forgalom. nden kmenő útsakasra külön kanyarodó sáv van megvalósítva mnden bemenő útsakasról. (ASF) nden megengedhető kanyarodás kombnácó kap öld elést, egymás után, cklusba serveve. A keresteődés w -dk bemenő útsakasáról a -dk kmenő útsakasra legalább g w, mn a öld elés hossa. (ASF3) A keresteődés C cklusdee és a L teles dővestesége (ofsete) adott. A egyserűség kedvéért a modellben keresteődések halmaa. Een kívül C és L konstans. C = C mnden J keresteődésre, ahol J a (ASF4) nden cklusban a ofset (a cklus eleén a fő állapotokat megelőő) dő adott. (ASF5) A S saturácós árműfolyam smert mnden I esetén. t, w (ASF6) A fordulás tényeő (turnng rate) fx és smert (vagy becsült) mnden I és w O esetén. (ASF7) A keresteődések mátrx struktúrát alkotnak. nden keresteődésnek 4 bemenő és 4 kmenő útsakasa van (hasonlóan a ésak-amerka városok kölekedés hálóatáho.). (ASF8) A útsakasok képesek ú árművek fogadására más útsakasokról és egy keresteődés bemenő útsakasáról a kmenő útsakasokra ugyanakkor van öld elés. Eköben a keresteődésben a össes több rányára pros elés van érvényben. A fent feltételek alapán w g w. w I + L = C g w, g w, mn,, w { 1,,4} (1) ahol g, a nettó öld elés hossa a keresteődés w bemenő útsakasáról a kmenő útsakasára. Tekntsünk a és N keresteődés köött útsakast ( O, I N ), amelyet a 1.a ábra llustrál. A útsakas dnamkáát a [ q ( k) s ( k) + d ( k) u ( )] x ( k + 1) = x ( k) + T k

3 egyenlet íra le, ahol x a útsakason található árművek sáma, q és u a útsakas bemenő és kmenő forgalm árműfolyama T rányítás peródus mellett a [ kt,( k + 1) T ], k = 1,, dőntervallumban, d és s = t q ( ) a útsakas forrás és célforgalmának árműfolyama., 0 k q u N s d 1. ábra. Egy város útsakas (balra) és keresteődések csoportosítása (obbra). A öld elések hatásat fgyelembe véve a leírható a útsakas dskrét dnamkáa állapottérben S w g w, ( k) Sw g w, ( k) O ON x ( k + 1) = x ( k) + T (1 t, 0 ) tw, () w I C C egyenlettel. A leveetés réslete megtalálhatók a [8] rodalomban. 3. Járműforgalom rányítása átékelmélet módserrel A kombnatorka robbanás elkerülése érdekében a avasolt módser a keresteődéseket csoportokba serve és a lehetséges döntések sámát s csökkent. Egy csoport legfelebb 4 somsédos keresteődést tartalma a 1.b ábrán llustrált módon. Egy keresteődés döntése sntén 4 különböő alternatíva valamelykét elent neveetesen mnden egyes lehetséges válastás csak a egyk bemenő útsakast résesít előnyben (megnövelve a hoá tartoó öld elések hossát), míg a több bemenő útsakasho tartoó öld elek hossa egyenlő arányban csökken úgy, hogy a keresteődésben a cklusdő nem váltok. A csoportosítás ú elölések beveetését tes célserűvé. Legyen a keresteődések halmaa, ahol a ( ) pár aonosíta a hálóatban a -dk csoport -dk keresteődését, J (átékosát). Jelöle J a -dk csoportban található keresteődések halmaát, és elöle a csoportban található keresteődések sámát. Legyen ) a keresteődés kmenő útsakasanak halmaa. Hasonlóan, legyen I ) a ) keresteődés bemenő útsakasanak halmaa. Ekkor a forgalomrányítás algortmus lépése a követkeők: Algortmus 1. (Város forgalomrányítás Nash stratégával) 1. Incalálás. Legyen g a öld el váltoás kvantuma. J O ( ). A aktuáls forgalm ellemők mérése a k -dk rányítás ntervallumban: S,, d t, 0 (k),. J t w,

4 3. nden keresteődésre ksámítan a potencáls döntéseket: A -dk csoport - dk keresteődése csak egy bemenő útsakast preferál a öld elés hoss növelésével. Legyen ennek sorsáma p. Ekkor a öld elés hoss növekedésének mértéke a preferált útsakasról δ = 3 g, w O ), míg a nem preferált p, w h p útsakasokról δ = g, w O ). Eel a teles cklusdő hossa nem váltok. A h, w ˆ p, w ) g ( k, τ ) potencáls öld elés hossa ekkor a p bemenő útsakasról a w kmenő útsakasra a -dk csoport τ döntése alapán ) ( ) gˆ p, w ( k, τ ) ) = g p, w ( k) + δ p, w ( k, τ ) ) -dk keresteődésének 4. A össes h J keresteődés döntésehe tartoó költségek sámítása: X τ (,1),, τ = + λ I J x τ ( = 1 I h x,1),, τ x τ (,1),, τ ahol 0 λ 1 egy súlyótényeő és (k) meghatároása () alapán történk. egegyendő, hogy λ = 1 Pareto optmáls megoldásho veet, míg λ = 0 lokáls optmalálást valósít meg, ahol nem feltételehető megbíható kommunkácós csatorna a keresteődések köött. 5. A áték normál alakának meghatároása. Ehhe sükséges a X k τ ( = X τ (,, X τ ( 1) J ),,1),, τ (, ),1),, τ (, ),1),, τ J J J vektor-vektor függvények kértékelése mnden τ ) döntéskombnácóra mnden csoportban. 6. A áték τ 1),, τ Nash egyensúlyának meghatároása. Ehhe olyan Nash stratéga megtalálása sükséges, amely telesít a X h J k τ ( X τ ( h 1) h+ 1),,1),, τ,1),, τ, τ, τ,, τ egyenlőtlenségeket. 7. A öld elések hossának módosítása a Nash egyensúly pontnak megfelelően. E at elent hogy g k) = gˆ ( k, τ ) kválastás a optmáls τ stratégák p, w ( p, w ) ) alapán. 8. A elárás smétlése a a követkeő rányítás ntervallumban a. lépéstől. A smulácós eredmények egy 5 5 méretű hálóat esetén a. ábrán láthatóak. A smulácó során T = 60 sec, C = 300 sec, t 0. 01, d = 0. 01, S = 1, x ( 0) = 30, g = 3 sec, w,,mn =, 0 = g 5sec, λ = A ábrák alapán megállapítható, hogy a átékelmélet megoldás 5%-al obb eredményt ad a konstans öld eléshosst alkalmaó stratégáho képest. E a eredmény hasonló eredményt ad a LQ optmáls megoldásho, aonban a ágensek autonóm )

5 módon s döntést tudnak hon és akkor s alkalmaható a módser, ha a kommunkácós solgáltatás hányos. A cklusdő és ofset konstans megválastása nem köteleő érvényű, a átékelmélet megoldás a obb telesítmény érdekében képes a cklusdő és ofset váltotatására s, amely alkalmas öld hullám létrehoására. Aonban a döntés váltoók növelése megnövel a sámítás dőt s. A átékelmélet keretrendserbe een kívül könnyen ntegrálhatóak a megkülönbötetett árművek pályaterveés algortmusa s.. ábra. A teles költség állandó (balra) és Nash stratégával módosított (obbra) öld eléshoss mellett 4. Útvonal-terveés algortmusok A keresteődések döntése alapán a k -dk rányítás mntavételben x (k) ármű található a útsakason. A útvonal-terveés algortmusok feladata a, hogy egy adott árművet a kölekedés hálóat egy kedet útsakasáról egy kívánt útsakasra uttassa a lehető legksebb költség árán. A költség tpkusan a kívánt útsakas eléréséhe sükséges dőt elent. A követkeőkben bemutatandó algortmusok a [14] rodalomban váolt koncepcó alapán került kdolgoásra. Feltessük, hogy a útvonal-terveést csak egyes árművekre kell végrehatan. Eeket a árműveket rányított árműveknek neveük. Legyen O() aon w útsakasok halmaa, amelyekre w O( ) és I ). A útvonal-terveés algortmus a követkeő lépésekben foglalható össe: Algortmus. (Járművek determnstkus útvonal-terveése Nash stratégával) 1. Incalálás. A Algortmus 1. nek a 1. lépésének végrehatása. Járulékosan a rányítandó ármű kedet és d kívánt útsakasának megadása. Legyen K a átékelmélet horont.. A keresteődések köött áték felállítása a Algortmus 1.-nek a -4 lépése alapán. 3. Annak a v útsakasnak a meghatároása, amelyre a útsakasról a árműnek kanyarodna kell a k -dk dskrét rányítás mntavételben. Ehhe V költségfüggvény rekurív meghatároása sükséges a k k + K dőntervallumban: v = arg mn Vk ( w ) Ha w O( ) k k + K akkor Vk + ( w) = mn Vk + + 1( p) + max x ( (, ) (, ) ), k p, τ r, τ m n p O( w) τ r ) τ ( m, n) p O r) p I ( m, n)

6 Ha k = k + K akkor V w) = D( w, ) k + ( d ahol D( w, d ) a w és d útsakas köött távolság útsakasokban mérve. 4. A keresteődések döntésenek meghatároása a Algortmus 1.-nek a 7. lépése alapán. 5. A elárás smétlése a. lépéstől a követkeő rányítás Ha létenek olyan kmenő útsakasok a bemenő útsakasról, amelyeknél a optmáls w kmenő útvonal válastás csak kcst obb, akkor a ugyanat a elérn kívánt útsakast foga a össes (ugyanaon keresteődés bemenő útsakasan található) ármű válastan am konnyen kölekedés dugóho veet. A probléma megoldására egy lehetséges megköelítés, ha a megterveett útvonal első útsakasát csak egy bonyos valósínűséggel válasta a ármű a keresteődésben. Ha tehát a ármű egy ) útsakas bemenő útsakasán található, akkor a ármű a O ) halmaból egy adott valósínűséggel fog válastan. nél ksebb egy kmenő útsakasho tartoó költség, annál nagyobb valósínűséggel válasta a ármű. A selektálásho alkalmaható pl. a ftnes alapú rulett kerék módser. A determnstkus és valósínűség válastást hasnáló stratéga smulácós eredményet mutata a 3. ábra ábra. A ármű útvonala a = ( 1,5, dél) útsakasról a d = ( 4,1, ésak) útsakasra determnstkus és valósínűségen alapuló válastás stratéga esetén ndkét a Algortmus. és a valósínűség válastással módosított veróa esetén a d kívánt útsakast elér a ármű. Algortmus. ugyan valósínűség döntésen alapuló veróval semben rövdebb útvonalat solgáltat, aonban a valósínűség döntésen alapuló stratéga robostusabb a kölekedés dugó elkerülésére, ha egyserre több rányított ármű van elen a hálóatban. 5. Konklúó Nash stratégát alkalmaó átékelmélet keretrendser és algortmusok kerültek bemutatásra város forgalomrányítás és ármű útvonal-terveés feladat megoldására. A smulácós eredmények alátámastották at a ntuícót, hogy a átékelméleten alapuló forgalomrányítás stratéga obb telesítményt solgáltat a hagyományos, állandó öld elés hossúságokat hasnáló algortmusokkal semben. A megoldás aonban nagy sámításgénnyel rendelkek, eért a koncepcóban egyserűsítések váltak sükségessé. A legfontosabb egyserűsítések a

7 keresteődések csoportokba serveését és a keresteődések döntés alternatívának redukálását foglala magában. A átékelmélet keretrendserbe lehetséges a árművek útvonal-terveését solgáló algortmusok ntegrálása. Két algortmus vsgálata történt meg. A determnstkus döntéshoatal suboptmáls útvonal megtalálására alkalmas, aonban a valósínűség alapon hoott döntésekkel a kölekedés dugók elkerülésére nagyobb esély kínálkok. E súlyoottan ga sok rányított ármű elenléte esetén. Kösönetnylvánítás A kutatás a Nemet Kutatás és Technológa Hvatal NKTH RET 04/004 sámú és a Oktatás nstérum OTKA K 7176 sámú elnyert pályáatanak és a agyar Tudományos Akadéma Bólya János Kutató Östöndíának támogatásával valósult meg. Hvatkoások [1] B. Fredrch and E. Almasr: odellbaserte Optmerung der Versateten mt dem Cell Transmsson odel. Tagungsband HEUREKA '05,./3. är 005. Hrsg. Forschungsgesellschaft für Straßen- und Verkehrswesen, Köln, 005 [] B. Fredrch: Traffc ontorng and Control n etropoltan Areas. Proc. of the nd Internatonal Symposum "Networks for oblty", September 9 - October 1, 004, Stuttgart, Germany [3]. Kacmarek: Fuy group model of traffc flow n street network. Transportaton Research Part C, Elsever Ltd, Vol. 13, pp , 005. [4] F. Log and S. G. Rtche: Development and evaluaton of a knowledge-based system for traffc congeston management and control. Transportaton Research Part C, Elsever Ltd, Vol. 9., pp , 001. [5] J. Sheu, Y. Chou and. Weng: Stochastc system modelng and optmal control of ncdentnduced traffc congeston. athematcal and Computer odelng, Elsever Ltd. Vo. 38, pp , 003. [6] N. H. Gartner and C. Stamatads: Arteral based control of traffc flow n urban grd networks. athematcal and Computer odelng, Elsever Ltd. Vo. 35, pp , 00. [7] C. Dakak V. Dnopoulou, K. Aboudolas,. Papageorgou, E. Ben-Shabat, E. Seder and A. Lebov: Extensons and new applcatons of the Traffc Control Strategy TUC. TRB 003 Annual eetng, 003. [8] Harmat I.: atlab programfelestés város forgalm előlámpák együttes rányítására átékelmélet módserrel. Softver és dokumentácó. Tanulmány a RET 1.1. árműforgalm rendserek modelleése és rányítása proekt keretében, 006. [9] V. Dnopoulou, C. Dakak and. Papageorgou: Applcatons of urban traffc control strategy TUC. European Journal of Operatonal Research, Elsever Ltd., 175(3): , 005. [10] C. Dakak. Papageorgou and K. Aboudolas: A multvarable regulator approach to traffcresponsve network-wde sgnal control. Control Engneerng Practce, Elsever Ltd., Vol. 10, pp , 00. [11] C. Dakak: Integrated control of traffc flow n corrdor networks. PhD thess, Department of Producton Engneerng and anagement, Techncal Unversty of Crete, Chana, Greece, [1] T. Bellemans, B. De Schutter and B. De oor: odel predctve control for ramp meterng of motorway traffc: A case study. Control Engneerng Practce, Elsever Ltd, 005, In appear. [13] T. Basar and G. J. Olsder: Dynamc noncooperatve game theory, Academc Press, New York. Second Edton, [14] S.. LaValle: A game theoretcal framework for robot moton plannng. PhD thess, Unversty of Illnos at Urbana-Campagn, 1995.

8 [15] I. Harmat: Urban traffc control and path plannng for vehcles n game theoretc framework. Robot moton and control 007. Recent Developments. Seres: Lecture Notes n Control and Informaton Scences. Edtor: K. Kolowsk pp: [16] I. Harmat: Game theoretc control algorthms for urban traffc network, WSEAS Transactons on systems and control, Vol. 1, No., pp , 006. [17] I. Harmat: Urban traffc control n game theoretc framework, Proceedngs of the 5th WSEAS Internatonal Conference on System Scence and Smulaton Engneerng, pp , Puerto de la Cru, Tenerfe, Canary Islands, Span, 006