Melegen hengerelt acélrudak szabványos teherbírásának vizsgálata valószínűségelméleti alapokon

Átírás

1 Hdak és Serkeetek Tanséke Melegen hengerelt acélrudak sabvános teherbírásának vsgálata valósínűségelmélet alapokon PhD dssertácó Serő: Sala Jósef Tudomános veető: Dr. Papp Ferenc egetem docens Budapest 7. augustus

2 Össefoglaló ÖSSZEFOGLALÓ A dolgoat melegen hengerelt acél anagú,. vag. kerestmetset ostálba tartoó rúdserkeetek stabltás teherbírásának valósínűségelmélet alapokon nugvó vsgálatát mutata be. A valósínűségelmélet eredmének alkalmaás sempontából fontos értékét a fka tartalmat meghatároó determnstkus modell, a fgelembe vett véletlen váltoók halmaa és eek rendelkeésre álló statstká, valamnt a valósínűségelmélet modell saba meg. Eek koherens, egséges pontosságot adó keelése tes lehetővé olan valósínűségelmélet eredmének elérését, amelek sabvános módserek felülvsgálatáho, kalbrálásáho solgáltaták a alapot. A dssertácó témáának sempontából fontos rugalmas-képléken stabltásvestés fka tartalmának kellő mélségű modelleéséhe eg 5 sabadságfokú rúdvégeselemet alkalmatam, valód rugalmas-képléken anagmodellel, és a képlékenedés térbel teredésének heles követését lehetővé tevő specáls kerestmetset megoldással. Ú módsert dolgotam k a saátfesültségek numerkus hbát nem okoó fgelembevételére, valamnt a nemlneárs feladatok hatékon megoldásveérlésére. A íg kalakult felett determnstkus modell véletlen váltoók séles halmaának sámításbevételét tette lehetővé. A geometra méretek, anagtuladonságok és geometra és anag tökéletlenségek valósínűség paraméteret résletes rodalomkutatás és saát mérés eredménem alapán határotam meg. A alkalmaott valósínűségelmélet modell mnden olan értékelhető statstka mntán alapuló magasabb rendű hatás fgelembevételét lehetővé tette, amel elentős befolással bírhat a teherbírásra. A íg kapott konstens modelleés valósínűségelmélet eredménenek segítségével feltártam a EC3 sabván stabltásvestés ellen méreteésének alapát képeő európa stabltás görbékben relő ellentmondásokat, amelek ól kmutatható ngadoást okonak a tönkremenetel kockáatban, aa a terveés megbíhatóságában. Ebből kndulva elmélet alapokon nugvó megoldás avaslatokat fogalmatam meg a khalás görbék megbíhatóságának egségesítése érdekében. A kfordulás esetén bemutattam a általánosított mperfekcós téneő heles formáát, mad tt s módosító avaslatokat adtam. A avasolt módosításokkal ellátott stabltás görbék látvánosan csökkentették a ngadoást a megbíhatóság sntben.

3 Summar TITLE: ANALYSIS OF THE STANDARD RESISTANCE OF STEEL BEAM- COLUMNS ON PROBABILISTIC BASIS SUMMARY The dssertaton deals wth the analss of the probablstc stablt resstance of steel, hot-rolled beam-columns wth Class or cross secton. The practcal value of the probablstc results s defned b the followng three components: the determnstc model, whch represents the phscal meanng; the set of random varables and ther avalable statstcal data; and the probablstc model. The coherent handlng of these components results n unfed accurac whch can be the base for the re-eamnatons or calbratons of standard desgn methods. In order to model adequatel the nelastc stablt problems I appled a 5 degree of freedom beam-column fnte element wth real elasto-plastc materal. The spatal spread of the change n the materal propertes s solved b a specal cross secton model. I developed a new dstrbuton for the resdual stresses whch does not cause numercal problems; and a new ncremental-teratve soluton process. Such a determnstc model allowed of consderng a wde range of random varables. The probablstc parameters of geometr, materal propertes and geometrcal and materal mperfectons were determned b a detaled research n the lterature and own measurements. The appled probablstc model have taken nto account all of the hgher effects based on competent statstcal data whch can nfluence the resstance. In ths manner a consstent calculaton model s acheved eldng such results that were applcable to show the fluctuatons and nconsstenc n the relablt of the base formula n the EC 3 bucklng checks. Supported b these results and the theoretcal reconsderatons of the desgn process I proposed some modfcatons n the bucklng curves for lateral bucklng problems n order to reach a unform safet level for the dfferent problems. In case of lateral-torsonal bucklng I presented the proper deducton of the Arton Perr formula wth the correct form of the generaled mperfecton factor. I proposed an accordngl modfed curve for lateraltorsonal bucklng resultng n a more consstent relablt.

4 Abstract TITLE: ANALYSIS OF THE STANDARD RESISTANCE OF STEEL BEAM- COLUMNS ON PROBABILISTIC BASIS ABSTRACT The dssertaton deals wth the analss of the probablstc stablt resstance of steel, hot-rolled beam-columns wth Class or cross secton. For the determnstc calculatons I appled a 5 degree of freedom beam-column fnte element wth real elasto-plastc materal and a specal cross secton model. I developed a new dstrbuton for the resdual stresses whch does not cause numercal problems; and a new ncremental-teratve soluton process. The probablstc parameters of geometr, materal propertes and geometrcal and materal mperfectons were determned b a detaled research n the lterature and own measurements. The appled probablstc model have taken nto account all of the hgher effects based on competent statstcal data whch can nfluence the resstance. Supported b these results I proposed some modfcatons n the bucklng curves for fleural, and LT bucklng n order to reach a unform safet level for the dfferent problems.

5 Alulírott Sala Jósef kelentem, hog et a doktor értekeést magam késítettem és abban csak a megadott forrásokat hasnáltam fel. Mnden olan rés amelet só sernt, vag aonos tartalomban, de átfogalmava más forrásból átvettem, egértelműen a forrás megadásával megelöltem. Budapest, A dolgoat bírálata és a védésről késült egőkönv a későbbekben a dékán hvatalban elérhető.

6 Kösönetnílvánítás KÖSZÖNETNYÍLVÁNÍTÁS Elsősorban témaveetőmnek, Dr. Papp Ferencnek seretnék kösönetet mondan, ak megsmertette velem a sakma kutató oldalát, értelmét, lehetőséget; és a konulens tevékenségen óval túlmutató, már-már barát kapcsolatban ránította munkámat. A kalbrácós kísérletek és héelemes numerkus vsgálatok megterveésében és lebonolításában való hatékon segítségükért kösönetemet feeem k Dr. Tomka Pálnak és Vrán Vktornak. A hávédéshe bemutatott dolgoat gondos átolvasásával, és hoáfűött hasnos tanácsukkal nag segítségemre voltak akkor bírálóm: Dr. Duna Lásló és Dr. Iván Péter. Kösönettel tartoom elenleg munkahelemnek, a KÉSZ Kft.-nek, és főnökömnek Schell Ferencnek, hog felestő munkám mellett támogatta a kutatásamat s. Sokat kösönhetek néha apósomnak, Dr. Lukovts Istvánnak, ak mndg sívesen segített a kutató munka gakorlat problémában, a eredmének hatékon bemutatásában, publkálásában. Végül kösönetet mondok feleségemnek, Klárnak, ak végg bátorított és gekeett megteremten sámomra gakran a család élet rovására s a munkámho sükséges körülméneket.

7 Tartalomegék TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ ACÉL RÚDSZERKEZETEK DETERMINISZTIKUS MODELLEZÉSE 4. Beveető 4. A alkalmaott rúd-végeselem modell 6.3 A anagmodell.4 A kerestmetset modell 4.4. Általános leírás 4.4. A érntő kerestmetset ellemők sámítása A aktuáls fesültségeredők sámítása A kerestmetset saátfesültsége 9.5 Megoldás elárás 7.5. Általános leírás 7.5. Növekmén elárás Iterácós elárás Össehasonlító példák Váltoó terhelés hatása Váltoó tökéletlenségek hatása 4.6 A determnstkus model kalbrácóa 43.7 Össefoglalás 48 3 ACÉL RÚDSZERKEZETEK VALÓSZÍNŰSÉGELMÉLETI MODELLEZÉSE Beveető Sámítás elárás Knduló sámítások A véletlen váltoók halmaának megállapítása Geometra váltoók Anag váltoók Tökéletlenségek Geometra tökéletlenségek Anag tökéletlenségek 7

8 Tartalomegék A tsta teherbírásvestés esetek össefoglalása A váltoók köött korrelácó hatása Valósínűség modell A vsgálatok eredméne A váltoók egmásra hatásának vsgálata Valósínűség modell A sámítások eredméne A kedet görbeség és a gernc külpontosságának egüttes vsgálata A elloslás ferdesége fgelembevételének hatása Össefoglalás 99 4 A SZABVÁNYOS STABILITÁSI GÖRBÉK VIZSGÁLATA 4. A stabltásvestés ellen méreteés elmélet háttere 4.. Khalás 4.. Kfordulás 4 4. Módosító avaslatok a stabltásvestés ellen méreteésben A stabltás görbék össehasonlítása a valósínűségelmélet modell eredménevel Javaslat a stabltás görbék egséges megbíhatóság sntre hoásáho Khalás görbék 4... Kfordulás görbék Értékelés Össefoglalás 5 5 ÚJ TUDOMÁNYOS EREDMÉNYEK 6 IRODALOMJEGYZÉK 8 FÜGGELÉK 3

9 . Elősó ELŐSZÓ A dssertácó acélserkeetek tönkremenetelének résletes valósínűségelmélet vsgálatáho nút módsert és tartalma alkalmaás eredméneket. Acélserkeeteken belül a tanulmán olan melegen hengerelt I kerestmetsetű rúdserkeetekkel foglalkok, amelek várható tönkremenetelét a alkotó elemek lokáls horpadása nem befolásola (a EuroCode 3 sabván sernt. és. ostálú selvének). A len rudak ellemő tönkremenetel móda a rugalmas-képléken khalás, kfordulás vag a kettő nterakcóa. Ha a reáls, várható tönkremenetelt akaruk meghatáron, sükséges a vselkedést befolásoló paraméterek véletlenserűségének fgelembevétele. Ekkor már nem eg meghatároott serkeet tönkremeneteléről besélünk, hanem eltérő paraméterekkel defnált serkeetek lehetséges tönkremenetel módaról, amelek stochastkus halmat alkotnak, íg már csak a valósínűségelmélet eskötárával vsgálhatók. A megoldás eért általában eg valósínűség eloslás, vag a eloslás néhán ellemő paramétere. A kapott eredmének legfontosabb alkalmaás területe serkeetek teherbírás tartalékának, tönkremenetel ellen btonságának megbecslése. Konkrét serkeetek l módon történő követlen megbíhatóság vsgálata ma még gen rtka a nagon magas sámítás dő- és költséggén matt, a eredmének eért a terveés sabvánok megbíhatóság koncepcóának, megkívánt btonságot garantáló téneőnek meghatároásában kerülnek felhasnálásra. A valósínűségelmélet eredmének értékét, alkalmahatóságát befolásoló három, egmással soros össefüggésben levő össetevő: a determnstkus modell, a fgelembe vett véletlen váltoók halmaa és a kettőt össekapcsoló valósínűségelmélet elárás. A determnstkus modell határoa meg a sámítások fka tartalmának mélségét, eel össhangban érdemes megállapítan a véletlen váltoók résleteettségét, termésetesen fgelembe véve a rendelkeésre álló statstka adatok megbíhatóságát, amel egben a valósínűségelmélet elárás sükséges és elégséges pontosságát s megsaba. A rodalomban sanos sok helen találkon olan elárásokkal és eredménekkel, amelek e három komponens össhangát fgelmen kívül hagva belső ellentmondást tartalmanak a eredmének elképelt pontosságát lletően, melet lenkor a sámítás legfelületesebben keelt eleme határo meg. A génesebb módserek elmélet kdolgoása perse ndokolt lehet, remélve, hog a statstka mnták növekedése és sélesedése egre nkább lehetővé tes eek alkalmaását s. Mndaonáltal fontos feladat a elenleg adathalmara épülő, a három fő komponenst konstens egségbe foglaló elárások kdolgoása és alkalmaása a lehető legnagobb hatékonságú és megbíhatóságú aktuáls valósínűségelmélet eredmének elérése érdekében. Kutatásam során e volt a fő veérfonal, íg a acél anagú, melegen hengerelt rúdserkeetek mnden ellemő, mérhető, és statstkalag értékelhető adatsort tartalmaó paraméterét fgelembe vettem, mnt véletlen váltoót; determnstkus modellként eg eeket a hatásokat

10 . Elősó megfelelően keeln tudó, de mégs reáls futás dőt produkáló rúd végeselem modellt alkalmatam, lletve felestettem. A paraméterek tönkremenetelt befolásoló hatását tanulmánova, és a statstka adatsorokat értékelve válastottam k a valósínűségelmélet módsert, és sámítottam a megbíhatóság eredméneket. A alkalmaott módserrel a vsgált problémakörön belül a eddgeknél pontosabb valósínűség eredmének érhetők el, lehetőség nílk eddg elhanagolt statstka tuladonságok fgelembevételére, és hatásuk vsgálatára. A eredmének alkalmasak a sabvános elárások felülvsgálatára és a btonság koncepcók felestésére, és a módser segítségével egserűbb serkeetek megbíhatósága megbecsülhető, sámserűsíthető, am segítséget elenthet a gakorlatban a btonság obb megértésében. Mndeek tükrében a kutatás céla kettős volt: megtaláln a melegen hengerelt rúdserkeetek valósínűségelmélet vsgálatáho sükséges említett három komponens pontos és koherens modellét, amel alkalmas a sabvános elárások mél valósínűségelmélet alapokon történő vsgálatára; e tehát a determnstkus modell felestését, statstka adatsorok és valósínűségelmélet módserek kutatását elentette; a meghatároott három össetevő hasnálatával valósínűségelmélet sámítások végése, meleknek egrést a a céla, hog a eddg kutatásokho képest mélebben bemutassa a vsgált serkeetek valósínűség vselkedését, íg a eges véletlen paraméterek hatását, magasabb rendű össefüggések befolását (korrelácó, váltoók egmásra hatása, magasabb rendű statstkák alkalmaása); másrést a sámítások eredméne alapán a eddgeknél pontosabb módon megvsgálható a sabvános méreteés elárások btonság koncepcóa, egségessége. A kutatás céla elenleg gen aktuálsak, hsen a mostan dősak solgál a egséges európa serkeet sabvánrendserek, a Eurocode-ok (EC) megsmerésére, és beveetésére. A Európa Sabvánüg Bottság (CEN) 993-ban hagta óvá a tartóserkeet EC-okat deglenes alkalmaású, előetes sabvánként. Eek kedetben alternatívaként solgálnak a eges tagállamok (órést a EU tagállama) különböő hatálban lévő sabála mellett, végül aok helére lépnek. 998-tól a tartóserkeet EC-ok honosított váltoata, mnt elősabvánok (MSZ ENV), mad 5-től, mnt sabvánok (MSZ EN) fokoatosan beveetésre kerültek Magarorságon s, hog végül tt s a rég Magar Sabvánt (MSZ 5, MSZ 5) felcserélék. Bár a EC eg gen séleskörű nemetkö kutatás egüttműködés eredméne, termésetesen a eges nemeteknek nem sabad a sabvánt mnden feltétel és tanulmánoás nélkül elfogadnuk. Eért a előetes dősakban a EC a Nemet Alkalmaás Dokumentumokkal (NAD), lletve a későbbekben a Nemet Függelékekkel (NA) egütt hasnálható. Eek a dokumentumok kegésítk, magaráák lletve értelmek a EC sabvánokat a hel terveés sokások, elölések fgelembevételével. Uganakkor a NA-k kutatás témánk sempontából legfontosabb feladata bonos terveés téneők a CEN által a egséges EC-okban előre rögített körének meghatároása, terveés módserek előnben résesítése, eek felett felelősségtudatos döntés csak a adott nemet kutatás eredméne alapán történhet. Példaként hoható a felebb említett probléma, a eltérő megbíhatóság sntek pontosabb meghatároása, a

11 . Elősó 3 parcáls btonság téneők sámserű értékének felülvsgálata, valósínűség-elmélet gaolása, valamnt a módser kegésítése valósínűség-elmélet megköelítéssel. Íg a EC-ot alkalmaó orságok rést vehetnek, és rést s kell vennük a sabván végleges váltoatának felestésében. A fentekből vlágos, hog Magarorságon s fontos a honosított EC sakértő kutatás alapon történő felestése, módosítása vag óváhagása a sabván végleges beveetése előtt. Ám a elmondottak alapán a órést valósínűség-elmélet kegésítések, pontosítások megkövetelk a magasabb sntű megbíhatóság módserek alkalmaását, hsen csak eekkel lehet kalbráln a sabván értéket. Ennek ellenére Magarorságon elen pllanatban nemgen folk eel kapcsolatos kutatás, sem magasabb rendű megbíhatóság módserek kutatásafelestésében, sem pedg eek alkalmaása, a sabvános elárások, értékek kalbrálása terén. Ebben a előménrendserben kedtem meg a melegen hengerelt acél rúdserkeetek sabvános stabltás ellenállásának numerkus alapokon történő valósínűségelmélet kutatását, melnek első, több ponton s úat mutató eredménet tartalmaa a dssertácóm. A dolgoat három fő résből áll: a első rés a alkalmaott determnstkus elárást smertet; a másodk a alkalmaott valósínűségelmélet módsert íra le, résletesen bemutatva a vsgált véletlen paramétereket, lletve aok (legnkább rodalm eredmének alapán meghatároott) statstka adatat; a harmadk rés a sabvános terveés elárások valósínűségelmélet felülvsgálatát tartalmaa. A első rés fő céla eg olan determnstkus elárás kfelestésének bemutatása, amel alkalmas acél rúdserkeetek magas sntű valósínűségelmélet modelleéséhe. Ennek keretében bemutatom a alkalmaott végeselem modellt, a anagmodellt és a specáls kerestmetset modellt. Résletesen bemutatom a sámítások hatékonsága érdekében kfelestett megoldás elárást, a íg teles determnstkus modellt általam végett kísérlet eredménekkel vetem össe, melekből kmutatható a modell helessége. A másodk résben eg alaposabb rodalm áttekntés után kelölöm a sámítások pontos tárgát és célát, és bemutatom a általam alkalmaott, legmegfelelőbbnek tartott valósínűségelmélet módsert. Résletesen smertetem a vsgált véletlen váltoókat, aok hatását a teherbírás esetekre, és a aokból meghatároható fő valósínűség paramétereket. Külön pontokban mutatom be a specálsabb kérdéseket: a véletlen váltoók köött korrelácó fgelembevételének eredménet, a váltoók egüttes hatásának, nterakcóának vsgálatát, valamnt a harmadk momentum, a eloslás ferdeség paraméterének hatását. Végül a valósínűség vsgálatok eredméneképpen meghatároom a teherbírások terveés értékét, és össevetem at a EC 3 acélserkeet sabván módserevel meghatároott eredménnel. Elmélet alapokon bemutatom a sabvános elárás genge pontat, amelet a numerkus eredménemmel támastok alá, és megoldás avaslatokat adok ráuk.

12 . Acél rúdserkeetek determnstkus modelleése. Beveető 4 ACÉL RÚDSZERKEZETEK DETERMINISZTIKUS MODELLEZÉSE. Beveető Serkeetek valósínűségelmélet elemése során a determnstkus modell képvsel a vsgált elenség fka tartalmát. Jelen esetben e melegen hengerelt selvénű acél rúdserkeetek adott terhelésre történő vselkedését elent. A modellnek pustán determnstkus vsgálatok esetén s termésetesen össhangban kell lenne a ktűött célokkal, pontosság génekkel, eért fontos tstában lenn a lehetőségevel, korlátaval. Uganakkor mnél felettebb, kfnomultabb elárást válastunk, annál résleteettebb, aprólékosabb előkésítést génel a vsgálatban réstvevő paraméterek modelleése; valamnt annál nagobb és bontalanabb sámítások válnak sükségessé a fka tartalom megfelelően pontos leképeése érdekében. Mndeek még nagobb hangsúlt kapnak a valósínűségelmélet sámítások esetében, hsen bármlen stochastkus módsert s alkalmaunk, a bonos, hog a megfelelő eredmén eléréséhe a determnstkus sámításokkal semben rendkívül kénes gének fogalmaódhatnak meg. Eek a követelmének mnden esetben két, egmással ellentétes oldalon sorakonak, melek a fka modell pontosságával, valamnt a sámítások gorsaságával kapcsolatos kívánalmak. Stochastkus vsgálatok esetén a determnstkus sámítások megbíhatósága és gorsasága különös elentőséget kap, hsen a legegserűbb módserek s gen sok determnstkus sámítást génelnek. A célok elérése érdekében termésetesen elősör a sámítások pontosságát, résleteettségét kell defnáln, mad össhangba hon a rendelkeésre álló sámítás kapactással. Amennben a sámítások teredelmének csökkentése érdekében engedméneket kell tenn a modell pontosságát lletőleg, módosítan kell a ktűött célokat s. A fentekből ól látható, hog valósínűségelmélet sámításoknál a determnstkus modell pontosságával egenrangú sempont a determnstkus sámítások dee s. A továbbakban a elősóban leírt célok megvalósításáho sükséges determnstkus modellel semben támastott követelméneket smertetem, mad a követkeő pontokban bemutatom a alkalmaott és néhán résében specálsan továbbfelestett modellt. Melegen hengerelt, vékon lemeelemekből felépülő de., lletve. kerestmetset ostálba sorolható selvénnel rendelkeő rúdserkeetek sokásos tönkremenetel móda a rugalmas-képléken globáls stabltásvestés. A megfelelő módser kválastásánál feltétlenül sükséges sem előtt tartan, hog vsgált serkeetek sabvános méreteés elárása nagobbrést rúdserkeet modellek eredménen alapul, elhanagolva a. és. kerestmetset ostálú selvének lemeeleme héellegű vselkedésének hatásat (horpadás, alaktorulás stb.), íg a sabvános

13 . Acél rúdserkeetek determnstkus modelleése. Beveető 5 alapmodell rendsernt a legegserűbb kétcsuklós-vllás rúdelem. E at elent, hog egrést a sabvános formulák fka tartalma csak megfelelően pontos rúdmodell, vag annál magasabb rendű modell (hémodell, testmodell) segítségével elemehető, felesthető; másrést a aonos serkeeten végett különböő méreteés elárások egségessége, aonos terveés btonsága célserűen a sabvános alapmodellen, vags a rúdmodellen testelhető, tekntve, hog ennek saátossága (pontserű támas, és erőátadás) neheen valósíthatók meg magasabb rendű modelleknél. Mvel kutatásom céla többek köött a sabvános stabltás méreteés alapformulák btonságának, valamnt annak egségességének vsgálata, determnstkus modellnek a rúdmodellt válastottam. Ennek a válastásnak termésetesen a másk oldalról s megvan a oka, hsen magasabb rendű modelleken végett stochastkus sámítások dőgéne, eredménenek koherens értékelése, alapvető statstka adatanak kválastása óval nagobb és hossabb feladat lenne, am túlmutat een értekeés kereten. Ahho, hog a rugalmas-képléken stabltásvestést a sabvános formulák és sámítások vsgálatáho megfelelő fka mélséggel modelleük a alább elenségek sámításbavétele elengedhetetlenül sükséges: a rúdserkeet anagának, a acélnak, ellegetes rugalmas és képléken tuladonsága; a anag vselkedésének deformácóho kötött megváltoása a rúd különböő résen, íg a képléken rések teredése a rúdhoss lletve a kerestmetset mentén s; a melegen hengerelt selvénű rúdserkeetek ellegetes geometra tökéletlensége: a kerestmetset lletve a rudak alakának pontatlansága (lokáls és globáls alakpontatlanság); a melegen hengerelt selvénű rúdserkeetek ellegetes anag tökéletlensége: a gártással áró anagban maradó fesültségek; a stabltás vsgálatokho sükséges geometra másodrendűség, amel rúdserkeetek esetén nem csak a P-δ hatást, hanem a csavarás és halítónomatékok másodrendű hatását s fgelembe ves, e a csavarást s tartalmaó stabltás tönkremenetel módok (elcsavarodó khalás, kfordulás) vsgálatáho sükséges; a vékonfalú selvének esetében elentős kerestmetset öblösödés hatása. A felsorolt követelméneknek megfelelő determnstkus modellként eg 5 sabadságfokú rúd-végeselemet alkalmatam, melnek maradó fesültségeloslását, valamnt a specáls, stochastkus sámítások génenek megfelelő, megbíható és gors növekmén-terácós megoldás módserét magam felestettem. Végül a determnstkus modell működését kísérletekkel gaoltam, melekben eg. kerestmetset ostálú rúd khalás és kfordulás stabltásvestését, és deformácót hasonlítottam össe a általam végett sámítások eredménével.

14 . Acél rúdserkeetek determnstkus modelleése. A alap rúd-végeselem modell 6. A alkalmaott rúd-végeselem modell Jelen feeet a Raasekaran által leveetett nemlneársan rugalmas rúd-végeselem modellt [,, 3] mutata be. A vékonfalu rúd-végeselem általános kerestmetset modellét és koordnátarendserét mutata a. ábra, ahol a O pontban van a selvén súlponta, míg a C pont a csavarás köéppontot elöl. Mvel a vékonfalú rúdnál a hosstengelre merőleges normál- és nírófesültségek elhanagolhatók, a külső és belső vrtuáls munkák egenlőségét a alább módon írhatuk fel (eltekntve a tömegerőktől): ( ) V S ds u f dv δ δγ τ δγ τ σδε (.) ahol σ a tengelránú normálfesültség, τ és τ a nírófesültségek; δε, δγ és δγ a megfelelő vrtuáls alakváltoások; V és S a rúd térfogata és felülete; f és δu pedg a felület terhek és a megfelelő vrtuáls elmodulások. A geometralag másodrendű alakváltoás-elmodulás össefüggésekben a deformácónak a erőegensúlra gakorolt hatása a elmodulások első nemlneárs tagaval kerül sámításba: w w v v u u u w w w v v u u u v w v u u γ γ ε (.-.4) O C d d. ábra A vékonfalú selvén kerestmetset modelle

15 . Acél rúdserkeetek determnstkus modelleése. A alap rúd-végeselem modell 7 ahol a u, v, w elmodulásfüggvének a kerestmetset eg tetsőleges pontának tengelránú ( ránú), és tengel ránú eltolódásat elölk. A (,) koordnátáú kerestmetset pont een elmodulása können sámíthatók a selvén O súlpontának e, e, és e megfelelő tengelránú eltolódásaból, valamnt a kerestmetset C csavarás köéppont körül θ elfordulásából, amennben a alább (a Bernoull hpotésnél általánosabb) feltételeéseket tessük: (a) a kerestmetset lemeelemenek köépfelületén a nírás deformácó elhanagolható, (b) a kerestmetset alaka a eredet kerestmetset síkára vetítve nem váltok a deformácó során. Ekkor, ks elmodulásokat feltételeve a követkeő össefüggések írhatók fel: ( ) ( ) d e w d e v e e e e e e u θ θ ωθ θ ω (.5-.7) ahol a eddg bemutatott elöléseken túl ω elöl a kerestmetset pont normalált sektoráls koordnátáát. A (.5-.7) egenleteket behelettesítve (.-.4)-be, a knduló (.) össefüggés a alábbak sernt alakul: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S V ds u f dv d e d e d e d e d d e e e δ θ θ δ τ θ θ δ τ θ θ δ σ θ δ τ θ δ τ ωθ σδ ) ( ) ( ) ( ) ( (.8) A másodk sögletes áróelben sereplő tagok a alakváltoást leíró (.-.4) össefüggések másodrendű tagaból sármanak. Vékonfalú kerestmetset esetén a fesültségeredők a követkeő terület ntegrálokkal írhatók le: ( ) ( ) [ ] A A A SV SV A SV A A A da M da M da M T M T M T da d d M M M da V M M da V da N σ ω σ σ τ τ τ τ σ ω ω ω ; ; ; ; ; ; (.9-.5)

16 . Acél rúdserkeetek determnstkus modelleése. A alap rúd-végeselem modell 8 Megegendő, hog leveetésre kerülő rúdelem fesültségállapotát csak a tengelránú σ normálfesültség határoa meg, íg csupán nég fesültségeredő sámítható a kerestmetseten egenesen: a normálerő (N), a kétránú halítónomaték (M, M ), és a gátolt csavarásho tartoó öblösödés nomaték (bmoment M ω ), a maradék három tag a rúdelem egensúláho sükséges sármatatott mennség. Felhasnálva a fesültségeredőkre felírt egenleteket a vrtuáls munkák egenlősége tovább résletehető, elvégeve a ntegrálást a kerestmetset területen eg L hossúságú egenes tengelű, prmatkus rúdelem egensúlának varácós formáát kapuk: [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] L L M e M e M M e V e V e N dl e V e V K e M e M d e d e e e N M M e M e M e N δθ δ δ δθ δ δ δ θ δ θ δ δθ θ δ θ δ θ θ δ δθ δθ δ δ δ ω ω (.6) ahol ( ) A A da a da d d K ) ( ) ( σ σ a ún. Wagner téneő (fesültségeredő ellegű tag, amelnek másodrendű hatása van a csavaró nomatékra), a egenlet obb oldalán álló felülvonással ellátott tagok pedg a rúdelem két végpontán fellépő külső erők és nomatékok. A (.6) egenletben a csavarás köéppont körül θ elfordulás és annak derválta soratát tartalmaó tagok el vannak hanagolva. A egensúl egenlet növekmén formában s felírható, melnek alaka telesen megegek a felírt (.6) össefüggéssel, csupán a fesültségeredő és elmodulás függvének növekménét kell behelettesíten. A követkeő feladat a általánosított fesültség-alakváltoás össefüggések felírása. Mvel a cél eg rugalmas-képléken anagú rúdelem leveetése, eért eeket a össefüggéseket a fesültségek és alakváltoások növekménének függvénében lehet felírn. Általánosságban a vékonfalú rúdelem egetlen releváns fesültségének (tengelránú σ normálfesültség) és alakváltoásának növekméne köött a E t érntő rugalmasság modulus teremt össefüggést: ε σ & & t E (.7) ahol a kerestmetset pont tengelránú alakváltoás növekméne a rúdelem általánosított alakváltoásanak függvéneként írható fel: e e e u ωθ ε & & & & & & (.8)

17 . Acél rúdserkeetek determnstkus modelleése. A alap rúd-végeselem modell 9 A kapott képletet behelettesítve a fesültségeredő növekménére felírható (.9-.5) össefüggésekkel aonos formáú növekmén egenletekbe a általánosított fesültségalakváltoás kapcsolatok a alább módon írhatók fel: A t A t A t A t A t A t A t A t A t A t e e e da E smm da E da E da E da E da E da E da E da E da E M M M N θ ω ω ω ω ω & & & & & & & &. (.9) A Sant-Venant csavarás nomaték növekméne pedg: SV t SV I G T θ& & (.) ahol G t a érntő nírás modulus, I SV pedg a Sant-Venant csavarás nerca, amel vékon lemeelemekből felépülő kerestmetset esetén köelítőleg SV t b I 3 3, ahol b és t a adott leme sélessége és vastagsága. A rúdelem anag vselkedést s tartalmaó növekmén vrtuáls munkaegenlete eek után a (.9-.) képletek (.6) egenletbe való behelettesítésével írható fel. A íg kapott egenlet bal oldalának vags a belső vrtuáls munkának első sögletes áróeles taga (amel a alakváltoás össefüggés lneárs tagaból ered) ekkor már csak a nég általánosított alakváltoásfüggvén, a nég megfelelő vrtuáls elmodulásfüggvén, a érntő anagellemők, valamnt a kerestmetset alakának függvéne, míg a másodrendű tagban továbbra s elen vannak a fesültségeredők. Ahho, hog a rúdelem végcsomópontanak elmodulása és külső erő köött össefüggéseket meghatárouk, sükséges felírn a munkaegenletben sereplő, foltonos e, e, e,és θ elmodulásfüggvéneket a csomópont elmodulások függvéneként, mad a elemhoss mentén történő ntegrálást eeken a függvéneken kell elvégen. A nég elmodulásfüggvén a alább formában specáls nterpolácós függvének segítségével köelíthető: [ ] [ ] [ ] [ ] T B B A A T B B A A T B B A A T B AB A L L L u L u e L u L u e u u u e ϕ ϕ ϕ ϕ θ ϕ ϕ ϕ ϕ n n n n (.-.4) ahol [ ] B B B B B B B AB A A A A A A A u u u u u u u ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ a elem A és B végcsomópontanak elmodulásvektora, AB u a rúdelem köépső pontának

18 . Acél rúdserkeetek determnstkus modelleése. A alap rúd-végeselem modell tengelránú eltolódása; a nterpolácós függvének pedg a követkeő alakban írhatók fel: n n 3 [(β )( β ) 4β ( β ) β (β ) ] [( 3β β ) ( β β β ) (3β β ) ( β β )] (.5) ahol β a rúdelem hossment dmenótlan koordnátáa: β / L. A oldalránú eltolódások és a tengel körül elfordulásnál alkalmaott sokásos harmadfokú polnom mellett a tengel ránú eltolódás (össenomódás) másodfokú polnommal történő köelítésére aért van sükség, mert eg nomott rúdelemben a (.9) egenletben sereplő A E tda hoss mentén való esetleges váltoása matt a belső nomóerő nem feltétlenül állandó. A (.-.4) össefüggéseket behelettesítve a munkaegenletbe a nég vrtuáls elmodulásfüggvén és a nég elmodulásfüggvén dfferencálan alapuló általánosított alakváltoások helébe a csomópont elmodulások és a nterpolácós függvének, lletve aok derválta kerülnek. Eekután a hossment ntegrálok a nterpolácós függvéneken können elvégehetők, a (.9) kfeeés kerestmetset ntegrála pedg a követkeő feeet specáls kerestmetset modelle segítségével sámíthatók. A vrtuáls egenletből íg khasnálva, hog a vrtuáls csomópont elmodulások tetsőlegesek lehetnek felírható a rúdelem külső és belső erő növekménének egensúla a alább formában: ahol e e e e [ K & K& ] ( ) u& (5) f& (5) S (.6) G 5 5 e K& S a rúdelem érntő elsőrendű merevség mátra, e K& G a rúdelem belső e u& és fesültségeredőtől s függő érntő geometra (másodrendű) merevség mátra, e f& a rúdelem csomópont elmodulásanak és megfelelő külső csomópont terhek növekménének vektora. A elem merevség mátrok, növekmén elmodulásvektorok és külső tehervektorok alkalmas komplácóával össeállítható a teles rúdserkeet merevség mátra, elmodulás- és tehervektora, melnek megoldásával a adott tehernövekménhe tartoó elmodulásnövekmén sámítható.

19 . Acél rúdserkeetek determnstkus modelleése.3 A anagmodell.3 A anagmodell A. feeetben bemutatott végeselem modellt eredetleg nemlneársan rugalmas, a deformácós állapotho egértelműen meghatároható érntő rugalmasság modulussal rendelkeő anagmodellel alkalmaták (. ábra) vékonfalú rúdserkeetek képléken stabltás problémá megoldására []. σ terhelés úta vssaterhelés úta. ábra Nemlneársan rugalmas anagmodell a acél rugalmasképléken tuladonságanak leírására ε E a anagmodell nem tuda fgelembe venn a képléken alakváltoásokat, csupán monoton fesültségváltoás esetén a rugalmasság modulus megfelelő váltotatásával képes a acél anag láguló és felkeménedő tuladonságat követn. Mndebből követkek, hog csak abban a esetben solgáltat heles eredmént, ha a feladat megoldása során fellépő deformácó történetben a deformácó megváltoásának rána nem vált előelet, vag ha gen akkor csak a rugalmasnak feltételeett ónában. A elmondottakból rögtön követkek, hog e a anagmodell nem alkalmas acél serkeetek cklkus terhelés vsgálatára, hsen ebben a feladatban btosan többsör s megfordul a deformácó megváltoásának rána. Monoton növekvő terhelésre történő stabltásvsgálat esetén termésetesen e nem történhet, aonban nem lehet kárn a deformácó megváltoása ránának megfordulását a vsgált rúd bonos résen a tökéletlenségek és a geometra másodrendűség hatására. Numerkus vsgálatok alapán megállapítható, hog e a elenség főleg kfordulásnál fordul elő, ahol a elsőrendű elmodulásoknál egre gorsabban növekvő másodrendű elmodulások (a kerestmetset hosstengel körül elfordulása és oldalránú eltolódása) eg dő után a köépső kerestmetset valamelk sélső sálában a alakváltoás csökkenését okoák. E legnkább már csak a terhelés tetőpont után lesálló sakasban történk (íg nem befolásolva a tetőpontho tartoó teherbírás értéket, amnek meghatároása vsgálatank céla), aonban néha már at megelőően

20 . Acél rúdserkeetek determnstkus modelleése.3 A anagmodell s, vags befolással lehet a teherbírásra. Mndeek alapán a pontosabb, valóságos vselkedést mnél obban köelítő modellalkotás során kdolgotam és mplementáltam a előő feeet végeseleméhe eg knematkusan keménedő, tr-lneárs karakterstkáú, rugalmas-képléken anagmodellt []. A anagmodell képlékenség feltételet elég a egdmenós tengelránú alakváltoás (ε) terében megfogalman. A modell alapgondolata a, hog a teles tr-lneárs fesültség-alakváltoás dagram leírható nég állandó és nég váltoó paraméterrel, utóbbak váltoása a serkeet mnden pontában nomon követhető, és értékük sükség esetén módosítható. Íg mnden növekmén teherlépésben a aktuáls paraméterekkel defnált anagmodell és a sámított alakváltoás érték alapán sámíthatók a fesültségek a adott pontban. A módsert a.3 ábra és a. tábláat semléltet. f σ E E 3 E ε ú ε (σ, ε ) ε (σ,ú, ε,ú ) ε ε E 3 E.3 Ábra A anagmodell paraméterenek megváltoása. tábláat A aktuáls paraméterek meghatároása Feltétel σ,ú ε,ú ε,ú ε,ú ε - ε ε ε ε σ ε ε ε ε ε < ε < ε σ E (ε -ε - ε ) ε - ε ε ε ε - ε - ε ε > ε ε ε < ε σ E (ε -ε - ε ) E 3 (ε - ε ) ε - ε ε ε ε - ε - ε ε ε > ε σ E 3 (ε - ε ) ε - ε ε ε ε - ε - ε ε - ε > ε > ε σ - E (ε -ε ε ) ε ε ε ε ε - ε ε ε < ε ε - ε > ε σ - E (ε -ε ε ) E 3 (ε - ε ) ε ε ε ε ε - ε ε ε - ε < ε σ E 3 (ε - ε ) ε ε ε ε ε - ε ε

21 . Acél rúdserkeetek determnstkus modelleése.3 A anagmodell 3 A nég állandó anagparaméter: a három rugalmasság modulus E, E, és E 3, valamnt a első folásho tartoó alakváltoás ε f / E, a nég váltoó paraméter: a rugalmas sakas köéppontát meghatároó (σ, ε ) fesültség-alakváltoás páros, valamnt a aktuáls felkeménedés sakasok határat elő ε és ε alakváltoás értékek (a váltoó paraméterek előeles mennségek). A.3 ábrán látható, hog mután a alakváltoás a egk tehernövekmén lépés után meghaladta a folásho tartoó alakváltoást, tuladonképpen a fesültség-alakváltoás dagram megfelelő rése elmodul a képléken alakváltoás, lletve a felkeménedés nagságával, amelet mnden esetre a. tábláat defnál. A ábrán sntén látható, hog amennben a követkeő teherlépcsőnél a alakváltoás rána megfordul a hoátartoó fesültség a rugalmas sakasnak megfelelően fog válton, e a rugalmas vssaterhelés elensége. Termésetesen ekkor a érntő merevség mátr elemeben s a aktuáls rugalmasság modulus (elen esetben E t E ) serepel.

22 . Acél rúdserkeetek determnstkus modelleése.4 A kerestmetset modell 4.4 A kerestmetset modell A. feeetben bemutatott végeselem modellhe tartoó kerestmetset modell specáls feladata a (.9) egenletben sereplő kerestmetset területén sámított ntegrálok (érntő kerestmetset ellemők), valamnt a (.9-.5) egenletekkel defnált fesültségeredők mnél pontosabb meghatároása. Eek sámítása a.3 pontban smertetett anagmodell felhasnálásával történk, íg a kerestmetset modellnek lehetővé kell tenne a anag kerestmetset mentén való eltérő vselkedésének fgelembe vételét. Melegen hengerelt selvénű rúdserkeetek stabltás vsgálatanak a. pontban bemutatott követelméne köött serepel a gártás maradó fesültségek fgelembe vétele, amel célserűen sntén a kerestmetset modell feladata. A fentek alapán megállapítható, hog a ktűött pontosság célok megvalósítása nagmértékben múlk eg megfelelően kalakított kerestmetset modellen, amel tuladonképpen a egdmenós rúdelem térbel vselkedésének leírását tes lehetővé a rúdtengelre merőleges síkban létreövő elenségek sámításba vételével. A követkeő pontban bemutatom a alkalmaott általános kerestmetset modellt, e alapán a érntő kerestmetset ellemők, lletve a fesültségeredők sámításának módát. Eután eg külön pontban smertetem a általam kfelestett ú maradó fesültség eloslást, annak fgelembevételét és hatását a stabltás feladatokra..4. Általános leírás Jelen feeet a [3] dssertácóban, valamnt a [4] ckkben résletesen leírt kerestmetset modelleést mutata be a teles elárás megértéséhe sükséges mélségben. A kerestmetset modellalkotás első lépésében k lehet hasnáln a vsgálódás terület specaltásat (vékonfalú kerestmetset), és íg kerestmetset felépíthető egenes, állandó vastagságú lemeelemek sekvencáls soroatából (.4 ábra). Mnden lemeelem meghatároható két végpontának koordnátával, valamnt a vastagságával, tehát a teles kerestmetsetet meghatároa a n csomópont (, ) koordnátáa, és a n lemeelem v vastagsága. A íg leírt sekvencáls selvén mnden rugalmas ellemőe még a nírás köéppont és a gátolt csavarás vsgálatáho sükséges sektoráls koordnáták, a öblösödés függvén és a öblösödés nercanomaték s eg aránlag egserű elárás sernt meghatároható, fgelembe véve a vékonfalú lemeelemek adta egserűsítés lehetőségeket [, 3]. Termésetesen aok a kerestmetsetek, amelekben eg csomópontho több mnt két lemeelem kapcsolódk vags a elágaást tartalmaó kerestmetsetek, len például a munkámban vsgálandó I proflú selvén s nem építhetők fel sekvencálsan, íg külön megfontolást génelnek. A fent modell nútotta sámítás előnök megtartása célából eek a kerestmetsetek s felépíthetők sekvencálsan ol módon,

23 . Acél rúdserkeetek determnstkus modelleése.4 A kerestmetset modell 5 v 5 v v 4 3 v ábra Általános vékonfalú kerestmetset sekvencáls modelle hog a elágaásho vssaveető lemeelem vastagságát érusnak defnáluk, amel íg gakorlatlag nem ves rést a kerestmetset ellemőkben, hsen nem tartalma anagot. A.5 ábrán bemutatom a továbbakban résletesebben vsgált I proflú selvén sekvencáls modelleését érus vastagságú lemeelemek segítségével. v v 3 4 v 3 v 4 5 v 5 8 v 7 7 v ábra A elágaó I proflú selvén sekvencáls modelle Külön meg kell még említen, hog a felesleges bonolultság elkerülése érdekében a melegen hengerelt selvének öv-gernc csatlakoásánál kalakuló lekerekítés sugár fgelembevételére megfelelő a a máshol s alkalmaott módser [5], mel sernt a többlet anag a gernc és a öv lemeelemenek egmásrafedése által elentkek (.6 ábra). A íg modelleett kerestmetseten sámított rugalmas ellemők kelégítő pontosságot adnak össehasonlítva a sabvános hengerelt selvének kerestmetset ellemőt tartalmaó katalógus értékevel [3]. A leírt kerestmetset modell tehát alkalmas a kerestmetset ellemők sámítására, amíg a teles selvén rugalmas

24 . Acél rúdserkeetek determnstkus modelleése.4 A kerestmetset modell 6.6 ábra A lekerekítés sugár fgelembe vétele állapotban van, ám amnt valamel rése képléken állapotba kerül, a kerestmetset modell fnomítására és a érntő ellemők meghatároásának ú módserére van sükség. Ahho, hog a képléken ónák teredését kellő pontossággal tuduk követn, a leírt kerestmetset modell lemeelemenek tovább felostására van sükség, mnd a lemeelemek hossa, mnd pedg a vastagsága mentén. Íg a teles kerestmetset felostható megfelelő sámú, téglalap alakú segmensre a.7 ábra sernt..7 ábra A kerestmetset fnomított segmens modelle A íg kalakított kerestmetset modell mndegk segmensében sámítható mnden sükséges függvénérték, íg a koordnáták, a alakváltoás és fesültségértékek, valamnt a sektoráls koordnáták. Megegendő, hog a.7 ábra a kerestmetset felületellegű nem vékonfalú lemeelemekből építkeő modelleését sugalla, am a első három függvén a koordnáták, a alakváltoás és fesültségértékek meghatároását nem érnt, aonban a öblösödés függvénből meghatároható sektoráls koordnáták sámítása a felületellegű modellen bonolult elárást génelne,

25 . Acél rúdserkeetek determnstkus modelleése.4 A kerestmetset modell 7 eért a sekvencáls lemeelem-modellen meghatároott sektoráls koordnátákból nterpolácóval sámítuk a.7 ábra segmensenek sektoráls koordnátát. E, mvel a kerestmetset ebből a sempontból továbbra s vékonfalú selvénnek teknthető, nem oko léneges pontatlanságot. Eek után már mnden rendelkeésre áll a anagtuladonságokat s fgelembe érntő kerestmetset ellemők, valamnt a fesültségeredők sámításáho, amelek módseret a követkeő két pont smertet..4. A érntő kerestmetset ellemők sámítása A érntő kerestmetset ellemők sámításakor a egenértékű rugalmas kerestmetset elvét követük, amelben a képlékenedéssel áró merevség-csökkenést a kerestmetset ellemők megfelelő csökkentésével vessük fgelembe, míg a merevség mátrban végg a kedet rugalmasság modulus serepel. A (.9) össefüggésben sereplő ntegráloknak megfelelő egenértékű rugalmas kerestmetset ellemők a alább módon alakulnak: r m s e SV m A e m A e m A e m A e m A e m A e m A e m A e m A e m A e t b ds t E E I A E E da E E I A E E da E E S A E E da E E S A E E da E E I A E E da E E I A E E da E E I A E E da E E S A E E da E E S A E E da E E S A E E da E E A ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω (.7-.37)

26 . Acél rúdserkeetek determnstkus modelleése.4 A kerestmetset modell 8 ahol,, és ω a kerestmetset -edk segmense köéppontának és, valamnt sektoráls koordnátáa; m a kerestmetsetben lévő segmensek sáma; E a -edk segmens köéppontában sámított alakváltoásho tartoó a.3 ábrának megfelelő aktuáls anagmodellt fgelembe vevő rugalmasság modulus, míg E a kedet rugalmas sakas rugalmasság modulusa; A a -edk segmens területe. Magaráatot génel még a utolsó ellemő I SV Sant-Venant csavarás nerca, amel a smert vékonfalú selvénekre alkalmaott formula sernt kerül meghatároásra, íg a eges lemeelemek sélességét (b ) és redukált vastagságát (t r ) tartalmaa, utóbb a követkeő módon határoható meg a lemeelemen lévő segmensek aktuáls rugalmasság modulusanak felhasnálásával: t r n 3 k Ek k n t (.38) E ahol t a -edk lemeelem teles vastagsága, n a lemeelemen felvett segmensek sáma, n k pedg aoknak a segmenseknek a sáma, amelekhe E k rugalmasság modulus tartok a köéppont alakváltoás és a aktuáls anagmodell alapán (a képletben feltételetük, hog eg lemeelemen belül csak aonos területű segmensek vannak)..4.3 A aktuáls fesültségeredők sámítása A aktuáls fesültségeredők meghatároására a (.6) egenletben sereplő geometra merevség mátr elemenek sámításáho van sükség. A sámítás módser a előő pontban bemutatott numerkus elárásho hasonló, a kerestmetset segmensenek köéppontában meghatároható a alakváltoás a (.8) egenlet sernt, mad a aktuáls anagmodell segítségével a fesültségérték (σ). Eek megfelelő össegése solgáltata a kívánt fesültségeredőket a alább képletek sernt: N M M M ω K A A σda A A σ da σ da A m σ ωda A σ m m m A σ A σ A σ ω m ( d ) ( d ) ) da σa da σ ( A σ a A ( )

27 . Acél rúdserkeetek determnstkus modelleése.4 A kerestmetset modell 9 Látható tehát, hog a íg meghatároott fesültségeredők tartalmaák a képlékenség, és felkeménedés hatását. At s megállapíthatuk, hog a (.7-.43) egenletek sernt sámítások annál pontosabbak, mnél sűrűbb a kerestmetset segmens felostása. A elemsűrítés mndaonáltal elentős mértékben megnövel a sámítások deét, hsen mnden eges segmensben mnden növekmén lépésnél meg kell határon a aktuáls anagmodellt, és csak aután lehet meghatáron a kerestmetset ellemőket és fesültségeredőket. Numerkus vsgálatam során eért pontos (konvergencatanulmán alapán [3]), de még reáls futás dőt btosító felostást alkalmatam, a lemeelemek vastagsága mentén 4, a sélessége mentén pedg 3 elemet hasnáltam..4.4 A kerestmetset saátfesültsége A hengerelt selvének saátfesültsége gen elentős mértékben befolásolhaták a stabltás teherbírást. Modelleésükre többféle módsert alkalmatak [6, 7, 8, 9], eredmének mndaonáltal nem solgáltattak általánosan s alkalmaható, numerkusan stabl megoldást, eért eel a témával munkám során résletesebben foglalkotam. E a feeet a [] ckkre épülve mutata be a általam kfelestett saátfesültség modellt, melnek fgelembevétele a előő pontokban bemutatott kerestmetset modellben gen kfnomult, és a reáls vselkedést pontosan követő stabl numerkus elárás alkalmaását tes lehetővé. A saátfesültségek gártás során keletkenek, például a meleghengerlés után egenlőtlen lehűlés követketében [, ]. A gorsabban hűlő rések (pl. a övlemeek séle) nagobb sebességgel sugorodnak, mnt a lassabban hűlők (pl. a öv és a gernc kapcsolódás ponta), íg a előbbekben húófesültségek, a utóbbakban nomófesültségek ébrednek. Ahol eek a fesültségek elérk a magas hőmérséklet matt alacsonabb foláshatárt, ott képléken alakváltoások önnek létre. Mkor a selvén telesen khűl a húott képléken alakváltoások maradó megnúlásokat eredménenek, a nomottak pedg maradó sugorodást. A eltérő térfogatú rések fesültségeket okonak a anagban, a megnúlt résekben íg nomófesültségek, míg a sugorodott résekben húófesültségek keletkenek. Mvel a hossránú alakváltoások sokkal elentősebbek a kerestránúaknál, utóbbakat elhanagoluk, és íg csak a kerestmetset mentén elosló maradó normálfesültségeket vessük sámításba. Eek eloslására és értékére gen sok, gakran lénegesen eltérő eredméneket solgáltató mérést végetek [pl. 3], a alábbakban aonban mnden vsgálat megegeett: a eloslás és a fesültségnagság legfontosabb befolásoló téneőe (aonos gártás módsert feltételeve) a kerestmetset alaka I kerestmetseteknél a övek sélen mndg nomás keletkek, a öv és gernc csatlakoásnál pedg húás a maradó fesültségek a kerestmetset mentén egensúl rendsert alkotnak

28 . Acél rúdserkeetek determnstkus modelleése.4 A kerestmetset modell a fesültségek eloslása smmetrkus a övön és a gerncen s A gerncek köepén s általában nomás alakul k, ám ömökebb selvéneknél, ahol a gernc s vastagabb a gernc végg húott maradhat. A s vtás, hog a maradó fesültségek értéke mennre függ a anag folás fesültségétől. Eges vsgálatok telesen független váltoóként állapították meg [8], am at elent, hog mnél nagobb a foláshatár, annál ksebb a saátfesültségek elentősége. E a feltevés megkérdőelehető, ha arra gondolunk, hog a maradó alakváltoások kalakulása, és mennsége a anag (magas hőmérsékleten megelenő) foláshatárának függvéne. Eért általában a saátfesültségek mamáls értéket a foláshatár függvéneként adák meg. Eeket a fesültségértékeket termésetesen nagon befolásola a gártás folamat, a hűlés sebesség, a esetleges utókeelések, íg gen tág határok köött mooghatnak. A továbbakban megvsgálom a IPE és HEA selvénekhe aánlott saátfesültség-eloslásokat, eek hatását a teherbírásra. A saátfesültségek eg-eg lemeelem ment eloslására általában a konstans, lneárs, vag parabolkus köelítés hasnálatos. A sámítás modellben feltételeett köelítő fesültségeloslást úg kell meghatáron, hog kelégítse a alább egensúl egenleteket [3]: N σ da ; M σ da ; M σ da A A A ( ) aa a saátfesültségek (σ ) eredőe nem okohat a kerestmetseten nomást vag kétránú halítást. Három különböő, a ( ) egenleteket kelégítő, numerkus sámításokban gakran alkalmaott saátfesültség eloslást vsgáltam meg, eeket a.8 ábra mutata be. A B C.8 ábra Különböő saátfesültségeloslások: A Young-féle [8], B ECCS-féle [6], C Galambos-féle [7]

29 . Acél rúdserkeetek determnstkus modelleése.4 A kerestmetset modell A Young-féle fesültségeloslás a öv és a gernc mentén s másodfokú parabola alakot feltétele, amelnek ellemő értéket Young mérések alapán határota meg, a alább képletek sernt: σ σ c c ht w 65.4bt htw.5.4bt ht σ t.7 bt w f f f ( ) ahol σ c, σ c és σ t a övek sélen, a gernc köepén valamnt a övek és a gernc csatlakoás pontában keletkeő fesültségérték, melnek mértékegsége N/mm (a negatív előel nomást, a potív húást elent). Eekkel a össefüggésekkel meghatároott fesültségeloslás kelégít a ( ) egensúl egenleteket, és csak a kerestmetset nég ellemő méretétől függenek. A ECCS aánlása sernt eloslás a legegserűbb, s mvel a előőekben leírt három ellemő pontában aonos fesültségértéket feltétele, automatkusan kelégít a egensúl egenleteket. A Galambos-féle eloslásnak két ellemő ponta van, mvel a gerncen állandó értékű. A egensúl egenletek kelégítéséhe eek köött a alább össefüggésnek kell telesülne: σ t bt ( bt ht ) f f σ c w (.5) Melőtt megvsgálnánk a különböő saátfesültség-eloslások teherbírásra gakorolt hatását, meg kell egen, hog mndegk típusú eloslást melegen hengerelt acéloslopok khalásának kutatása célából felestették k. E aért fontos, mert a khalás esetén nem lépnek fel csavarásból sármaó fesültségek, de pl. a általam s vsgált kfordulás esetén már gen. Ennek követkeméneként a saátfesültségeknek a ( ) egensúl egenleteken felül a alább össefüggéseknek s eleget kell tennük: M ω θ σ ωda ; Tω K A (.5-.5) ahol M ω a öblösödés normálfesültségek eredőe a un. bnomaték, T ω a Wagner hatás (a öblösödés normálfesültségek ránának megváltoása) követkeméneként létreövő csavarónomaték [], amelben K s a σ tds s ( ) ( ) ) σ tds D D (.53)

30 . Acél rúdserkeetek determnstkus modelleése.4 A kerestmetset modell a Wagner téneő, a a kerestmetset adott pontának távolsága D csavarás köépponttól, t a adott pontban a lemeelem vastagsága. Látható hog a Wagner téneő függ a kerestmetseten létreövő normálfesültségektől s, íg fesültségeredő ellegű mennség, amel megelenk a (.6) sernt geometra merevség mátrban s. Amennben a kerestmetsetek hosstengel körül elfordulás söge (θ ) a hosstengel mentén nem lneársan váltok, a (.5) egenlet csak úg elégíthető k, ha a Wagner téneő érus. A bemutatott saátfesültség-eloslásoknál a bnomaték a két főtengelre való smmetra matt mndíg érusra adódk, ám a (.5) egenlet nncs kelégítve, mvel a (.53) sernt Wagner téneő nem adódk érus értékűnek. Ennek a elenségnek mnt mad később bemutatom elentős hatása lehet a kfordulás teherbírásra, eért leveettem eg olan fesültségeloslást, amel a Wagner téneőt s érussá tes. A eloslást a övek és a gernc mentén s parabolkusnak feltételetem a alább formában: f() f() w().9 ábra A eloslásho tartoó tengelek f ( ) c w( ) c ( ) ahol f és w a övekhe és a gernche tartoó eloslás értékek, és a.9 ábra sernt felvett tengelek, c f, a f, c w és a w pedg meghatároandó egütthatók. Mvel a tengelek heletéből, valamnt a f és w függvének alakából adódóan a eloslás smmetrkus a ks és nagtengelre s, a ( ) sernt nomaték egensúl egenletek automatkusan telesülnek. A egütthatók meghatároásáho sükséges nég egenlet tehát a követkeő les: a normálerő és a Wagner téneő érusértékét kfeeő egenletek ( ), a övek és a gernc csatlakoásánál létreövő fesültségértékek egenlősége (.58), valamnt a övek sélen megadható tetsőleges fesültségérték (.59). Eekután, feltételeve, hog a vasagságok mentén állandóértékű a eloslás a fent leírt nég egenlet a követkeő formát ölt: f w a a f w t b / f b / f ( ) d t b / h t f b 4 / f () g( h / ) f ( b / ) αf h / w h / w( ) d f ( ) d t h / w h / w( ) d (.56) (.57) (.58) (.59) A fent egenletekben a smert elöléseken túl α elöl a övek sélen létreövő saátfesültség és a f foláshatár hánadosát, általában e a érték határoa meg a fesültségeloslást. Behelettesítve a ( ) egenletekbe a eloslásfüggvének

31 . Acél rúdserkeetek determnstkus modelleése.4 A kerestmetset modell 3 ( ) sernt alakát, elvégeve a ntegrálást és néhán egserűsítést elvégeve a alább négsmeretlenes lneárs egenletrendserre utunk: (.6-.63) Et a egenletrendsert megoldva megkapuk a keresett egütthatókat a kerestmetset mérete és a övek sélen defnált fesültségérték függvénében: ( ) Íg tehát megkaptuk eg olan parabolkus saátfesültség-eloslás paraméteret, amelek a csavarást tartalmaó feladatoknál sem okohatnak avart a belőlük sármaó Wagner hatás matt. A. ábra bemutata a leveetett fesültségeloslást a öveken és a gerncen a két vsgált kerestmetset esetén össehasonlítva a.8 ábra sernt eloslástípusokkal, 6 N/mm fesültséget feltételeve a övek sélen. A ábrákon a övek esetében a függőleges tengelen a gerncnél a vísntes tengelen serepel a fesültségérték [N/mm ] a dmenó nélkül övsélesség és gerncmagasság függvénében. Látható, hog míg a HEA selvén esetében a öveknél nagából aonos a fesültségértékek megoslása, a IPE kerestmetset övenél elentős eltérés van, főként a Young-féle eloslás övköépen megelenő gen nag értéke különbök a többtől, amel elér a HEA értékének a kétseresét s. E aért kevéssé hhető, mert a IPE kerestmetset öve sokkal keskenebb a HEA övénél, íg nkább a a valósínűbb, hog ksebb saátfesültségek keletkenek. A gerncek esetében a Galambos-féle eloslás alapvetően különbök a többtől, et nkább vastagabb gerncű selvéneknél alkalmaák. A IPE kerestmetsetnél sntén a többnél óval nagobb értéket mutat a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f f w w f w w w w f f f f f w w w w f f f f f b a c h a c c t h a t h c t h b t b a bt h b c t h a ht c t b a bt c α ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) w f f w w w f f w w f f w w w f f w w f f w f f f w f f f f t h t bh t b t h t h t bh t b bt f a t h t bh t b ht t h t bh t b bt f c t h t bh t b b t h t bh t b f a t h t bh t b h b bt f c α α α α

32 . Acél rúdserkeetek determnstkus modelleése.4 A kerestmetset modell 4 IPE4 Övek Sala Young Galambos ECCS HEA Övek Sala Young Galambos ECCS IPE4 Gernc Sala Young Galambos ECCS HEA Gernc Sala Young Galambos ECCS ábra Saátfesültségértékek össehasonlítása Young-féle eloslás, am most megmagaráható a valamvel nagobb gerncmagassággal. A HEA selvénnél uganakkor a gernc esetében s hasonló értékeket ves fel a három eloslás. A előő pontokban bemutatott kerestmetset modellben gen können, a kerestmetset segmensek köéppontában megelenő kedet alakváltoásként lehet defnáln bármlen típusú saátfesültség-eloslást. Eután bármelk fesültségeredő a bemutatott numerkus ntegrálással sámítható a kerestmetseten, ám a növekmén lépésekben egre növekvő σ normálfesültségekhe hoáadódk a sámítások során végg konstans σ saátfesültség. A kerestmetset dskretálása matt termésetesen nem kapunk pontosan érust mnden fesültségeredőre, de a ( ) valamnt (.5) egenletek sernt normálerő, halítónomatékok, és öblösödés nomaték elhanagolható értéket ad mndegk eloslás esetén, ahog e várható s. Uganakkor a Wagner téneő numerkus meghatároásában gen nag különbségek adódnak, et foglala össe a. tábláat a két selvén esetén a általam leveetett eloslásho vsonítva.. tábláat A Wagner téneő vsonított értéke Sala Young Galambos ECCS IPE HEA

33 . Acél rúdserkeetek determnstkus modelleése.4 A kerestmetset modell 5 Látható, hog a numerkus sámításban sereplő értékek a Wagner téneőre a hagomános eloslások esetén gen elentősek eg-két nagságrenddel s nagobbak a avasolt eloslásnál. Legnagobb eltérést a Young-féle eloslás IPE selvénnél mutat a már említett nag övköép fesültségérték matt. A továbbakban vsgáluk meg a különböő saátfesültség-eloslások numerkus sámítással meghatároott teherbírásra gakorolt hatását. A Függelék F.-F.4 ábrá a különböő saátfesültség-eloslások esetén ábráolák a két selvén khalás és kfordulás teherbírását a karcsúság függvénében, átlagos kedet görbeséggel, rugalmasság modulussal és foláshatárral sámolva (eek meghatároása a 3.3 feeetben történk). A különböő eloslások hatásának semléltetésére a Függelék megfelelő ábráho meghatárotam a relatív különbségek grafkonat s a karcsúság függvénében, a alább dmenó nélkül értéket ábráoltam: L L u ur φ (.68) L ur ahol L u és L ur elent a vsgált elem teherbírását a saátfesültségek fgelembevétele nélkül, lletve a adott saátfesültség eloslás fgelembevételével. Eek a különbséggörbék a. és. ábrákon láthatók a khalás és a kfordulás esetére. Mnt más tökéletlenségeknél a saátfesültségeknek s a köepes karcsúságoknál (λ 9 ) van a legnagobb teherbírás-csökkentő hatása, míg elvleg a képléken teherbírást (λ ) nem befolásola mvel egensúl fesültségrendsert alkot, és úgsntén nem lehet hatással a tstán rugalmas teherbírásra (λ ). Mndkét selvén esetén ól megfgelhető, hog a khalásnál valóban mndegk eloslás esetén a két sélső karcsúságértékhe haladva csökken a saátfesültségek hatása. Továbbá khalás esetén a avasolt eloslás snte telesen egeő eredmént ad a Young-féle saátfesültségek feltételeésével kapott görbével, legobban a Galambos-féle eloslás csökkent a teherbírást. Kfordulás esetén a HEA selvénnél sntén a Young eloslás fut egütt a avasolttal, am nem s meglepő, hsen a. ábrán látható módon ennél a kerestmetsetnél gen hasonló fesültségeloslást eredméne a két módser, főleg a teherbírás sempontából lénegesebb övek esetén. Uganakkor már tt s megfgelhető, hog a avasolt eloslás kvételével a görbék elentős eltérést mutatnak a saátfesültségektől mentes kerestmetsethe képest ks karcsúság esetén s. A IPE selvén esetén még nagobb e a eltérés a három hagomános eloslásnál. E a elméletleg heltelen vselkedés pontosan a saátfesültségekből eredő nem érus Wagner téneőnek kösönhető, amel a teherbírás köelében a növekvő elmodulásoknál elentős avarokat okohat a konvergencában. Et a feltevést a s alátámasta, ha megnéük a. tábláat sernt Wagner téneő vsonított értéket, hsen pontosan et a sorrendet követve növeksk a ks karcsúságnál a eges saátfesültség-eloslások teherbírásra gakorolt hatása, amelnek tt már nem lenne sabad nag eltérést okona. Tovább érdekesség, hog a Young-féle eloslás IPE

34 . Acél rúdserkeetek determnstkus modelleése.4 A kerestmetset modell 6 selvén esetén a nagobb karcsúságok felé nagobb teherbírást eredméne, mnt a saátfesültségektől mentes rúd teherbírása, e a övekben megelenő gen nag húófesültségeknek kösönhető (. ábra), amelek stablálák a nomott övet. A bemutatott vsgálatok alapán megállapítottam, hog a általános esetben a teherbírás numerkus vsgálatáho a általam kfelestett saátfesültség eloslás solgáltata a legmegfelelőbb eredmént, íg a tovább sámításokban et alkalmatam. Sala ECCS Young Galambos Proposed Sala ECCS Young Galambos Proposed HEA.8 IPE4 φ.6 φ λ λ. ábra A különböő saátfesültségek hatása a khalás teherbírásra Sala ECCS Young Galambos Proposed Sala ECCS Young Galambos Proposed...8 HEA φ φ IPE λ λ. ábra A különböő saátfesültségek hatása a kfordulás teherbírásra

35 . Acél rúdserkeetek determnstkus modelleése.5 Megoldás elárás 7.5 Megoldás elárás Adott tehát a numerkus modell mechanka leírása, amel alkalmas a kutatás során vsgált acélserkeetek leírására. A feladat a továbbakban a reáls teherbírás meghatároása, amel a nemlneartások matt eplct formában nem állítható elő, és saátérték-feladat megoldásaként sem öhet sóba. Ilenkor a megoldás eg olan foltatólagos módser, amel véggkövet a egensúl utat kelégítve mnden pontában a (.6) egenletet a csomópont elmodulások és erők által defnált térben. A serkeet analísben legséleskörűbben hasnált len elárás: a Newton-Raphson módser. Bár e a lépésről lépésre törénő sámítás módser elég dőgénes lehet a megsmételt sámítások matt, sámos előnös tuladonsággal rendelkek. A serkeet egensúl heletét leíró nemlneárs egenletrendsernek gen sok matematkalag heles megoldása lehet, ám eek köül csak egnek van valós fka tartalma. Ha lépésről lépésre követük a egensúl állapotokat könnebb a valós vselkedést leíró utat megkülönbötetn a esetleges heltelen megoldásoktól. Bár a teherbírásvsgálat során tuladonképpen csak a stabltásvestéshe tartoó megoldásra van sükség, a egensúl út véggkövetése hasnos betekntést nút a serkeet vselkedésébe, emellett képléken anagmodell esetén a vselkedés nem útfüggetlen. Mndemellett fontos megegen, hog a elárás köelítő megoldást ad, melnek pontossága sok össetevőtől függ, és gakran neheen megállapítható (különösen a teherbírásvestés, aa a sngulartás köelében). Másodsorban pedg a Newton-Raphson módser gen éréken néhán veérlő paraméterre, amelek a megoldáskeresés gorsaságáért és stabltásáért felelősek, íg eg megfelelően hatékon elárás különböő problémákra való automatálása nem könnű feladat. Mndeekből követkek, hog stochastkus sámításoknak gen fontos össetevőe a determnstkus megoldásokat kereső elárás, amel nagmértékben befolásola a eredmének pontosságát és a teles sámítás hatékonságát. Eeket fgelembe véve munkám során különös gondot fordítottam a legmegfelelőbb megoldás elárás kválastására lletve felestésére, a továbbakban [4, 5, 6] ckkekre épülve mutatom be a általam kfelestett, specálsan rúdserkeetek rugalmas-képléken stabltásvsgálatára solgáló növekmén-terácós módsert..5. Általános leírás A továbbakban egparaméteres, konervatív rendserekről les só, melek állapota mndg ellemehető a teles potencáls energával Π(u, λ), amel a elmodulásvektor (u) és a teherparaméter (λ) függvéne. A serkeet egensúlának feltétele, hog a potencáls energa staconárus legen a elmodulásmeő felett, aa: Π u ( u, λ) r ( u, λ) (.69)

36 . Acél rúdserkeetek determnstkus modelleése.5 Megoldás elárás 8 ahol r, a potencáls energa gradense, elent a kegensúloatlan erők vektorát, amel egensúl esetén érus. Amennben a serkeet belső fesültsége csak a elmodulástól függnek, a külső erők nagságát pedg csak a teherparaméter határoa meg, a (.69) egenlet sétbontható: r ( u,λ) f ( λ) p( u) (.7) tehát a kegensúloatlan erők vektora előállítható a külső erők és a belső erők különbségeként. A fent egenletek megoldása eg N dmenós térgörbe a elmodulások és a teherparaméter által kfesített térben, ha a elmodulásvektor mérete N. A Newton-Raphson módser a térgörbe eg adott pontából köelít a követkeő pontot, és íg térképe fel pontonként a teles egensúl utat. A serkeet analísben a kedőpont mndg a egensúlban lévő terheletlen serkeet, nnen ndul a lépésről lépésre történő sámítás. Kedőlépésként a adott pontban lnearála a egensúl utat, am teherparaméterrel arános külső terhelés esetén a alább egenletekre veet: K T u q λ (.7) T p f K és q (.7-.73) u λ ahol K T a elmodulásoktól függő érntő merevség mátr, q pedg a külső terhelés ránát meghatároó referenca tehervektor. E a lnearált növekmén egensúl egenletrendser N darab egenletet tartalma, am alapán nem lehet egértelműen meghatáron a teherparamétert s tartalmaó N smeretlent, eért eg tovább skaláregenletre (úgneveett kénseregenlet) van sükség, hog határoottá tegük a feladatot, am általában sntén a elmodulás-teherparaméter térben van értelmeve: c( u, λ) (.74) E geometralag eg hperfelületet határo meg a N dmenós térben, e a felület mets k a egensúl útból a aktuáls megoldáspontot. Eekután a Newton-Raphson módser két fásban sámol: a növekmén (predktor) és a teratv (korrektor) fásban [7]. A növekmén résben a lnearált egenlet alapán meghatáro eg növekmén pontot, a terácó során pedg ennek a egensúl úttól való eltérését csökkent adott határ alá a (.74) hperfelületen moogva..5. Növekmén elárás A növekmén elárás során tehát a knduló pontban sámított derváltak alapán lehet meghatáron a növekmén ránát a elmodulások terében: v T ( K ) q (.75)

37 . Acél rúdserkeetek determnstkus modelleése.5 Megoldás elárás 9 ahol v a aktuáls érntő merevség mátrho tartoó érntő elmodulásvektor, melnek tehát csak a rána fontos. A növekmén nagságát a (.74) kénseregenlet határoa meg, amelre gen sok varácót felestettek k [8, 9]. Eek legsükségesebb feladata eg olan pont meghatároása a elmodulás-teherparaméter térben amel megfelelő kndulóponta lehet a terácóknak, tehát a egensúl út ún. lokáls konvergencaterében van []. E btosíta, hog a heles megoldástól való eltérés a terácóval elvleg tetsőleges mértékben redukálható. Stochastkus teherbírás sámításoknál emellett gen fontos olan optmáls növekmén keresése, amel mnmalála a megfelelően pontos teherbírás meghatároásáho sükséges össegett terácós sámot, és aáltal tes hatékonná a determnstkus megoldást. E a növekmén íg nem lehet sem túl nag, mert a nag hbát és sok terácós lépést, esetleg dvergencát okohat; sem túl kcs, mert akkor sükségtelenül sok növekmén lépésben lehetne csak elérn a teherbírást. E a optmáls növekmén nagság termésetesen a sámítás során nem aonos, acél rúdserkeeteknél a geometra és anag nemlneartások okota lágulás matt ellegetesen csökkenő tendencáú. Heles növekmén módser mndeeket fgelembe véve valamlen módon megbecsül a serkeet vselkedését, és ehhe saba a követkeő növekmént. E egrést a (.75) egenlet által történk, amel a egensúl utat elentő térgörbe mnden pontában annak érntőét határoa meg, íg már fgelembe ves a nemlneartásokat, ám eek váltoását már nem tuda követn (pl. a anag folásának hatására megnduló hrtelen lágulás), eért a (.74) kénseregenlet a felelős. A alábbakban néhán gakorlatban alkalmaott kénseregenletet mutatok be a -edk növekmén nagságának meghatároására ( λ ): végg állandó tehernövekmén c λ λ (.76) eg elmoduláskomponens egenletes növelése T λb u ahol b vektor elöl k a meghatároott komponenst növekmén meghatároása állandó ívhoss alapán c c λ b T u T T ( λ ) v v ( ) v v λ (.77) (.78) növekmén meghatároása állandó merevség paraméter alapán c T T λ v q λ v q (.79) A össefüggésekben λ a legelső lépésben meghatároott tehernövekmént elent, amt mndg a felhasnálónak kell megállapítana. Aonos tehát a módserekben, hog a legelső lépésben meghatáro eg mennséget, melet aután állandó értéken tart a sámítások során. Egk hátrána eeknek a módsereknek, hog a állandó értékű mennség meghatároása során kever a különböő dmenóú elmodulás-(és teher-)

38 . Acél rúdserkeetek determnstkus modelleése.5 Megoldás elárás 3 komponenseket (kvéve a állandó tehernövekmén és elmoduláskomponensnél, amelek a legkevésbé hasnálatosak). Ennek követkeméneként a eges komponensek dmenóuktól függően különböő súllal kerülnek be a meghatároott mennségbe, am a hatások heltelen fgelembevételéhe veethet [] (a elfordulások általában eg-két, míg a öblösödéshe tartoó elmodulásparaméter három-nég nagságrenddel ksebb a eltolódásoknál). Ennek a problémának a csökkentése lehetséges a elmodulás- és tehervektorok megfelelő skáláásával, amre sámos módsert kdolgotak []. Stochastkus sámítások során a másk gen nag hátrán, hog a legelső teherfaktor mndg a felhasnáló döntése. E megakadáloa a különböő knduló paraméterekkel terhelt serkeet automatkus, de mégs hatékon sámítását, hsen (mnt mad példákban s bemutatom) a optmáls kedőteher gen különböő lehet, vag megfordítva eg adott kedőteher gen különböő hatékonságot mutathat a eges sámításoknál. Et a két hátránt küsöböl k a kfeeetten vékonfalú rugalmas-képléken anagú rúdserkeetekre általam kfelestett növekmén elárás. A módser alapgondolatának smertetésekor sükséges megegen, hog a kénseregenletek csak a növekmén nagságát határoák meg, ránukat mndg a érntő elmodulásvektor ada. Tehát eek a egenletek nem feltétlenül kell, hog sntén a elmodulás-teherparaméter térben legenek értelmeve. A módser a kénseregenleteket áthele a alakváltoás-teherparaméter térbe, amnek a alább előne vannak: rúdserkeet modelleésénél általában elég a tengelránú alakváltoások sámításba vétele (ahog a általam hasnált rúdvégeselem modellnél s) legtelesebben leíra a serkeet vselkedését, beleértve a geometra másodrendűséget, amel a (.-.4) sernt alakváltoás-defnícóból fakad, lletve a nemlneárs anagmodellt, am sntén a alakváltoások terében van defnálva telesen kküsöböl a elmodulás- és tehervektor komponensenek dmenóbel különbségéből adódó problémákat, hsen a hatásak a alakváltoás sntén koherens módon össegehetőek A tengelránú alakváltoásmeő eg háromdmenós vékonfalú rúdelem felett kfeehető a tengel elmodulásfüggvéne segítségével []: (,, ) u v w ωθ ε (.8) ahol a elölések megegenek a előő feeetekben leírtakkal. Íg tehát a elem foltonos elmodulásmeőe mnden pontban egértelműen meghatároa a tengelránú alakváltoást. A elmodulásmeő fntálásáho hasonlóan a alakváltoásmeő s fntálható, mégpedg a már leírt módon a rúdelemek végpontan kellő fnomságban felostott kerestmetset segmense köéppontában sámított alakváltoásértékeket véve alapul: ε A u ( n nr ) (n nr ( n ) nc) (( n ) nc) (.8)

39 . Acél rúdserkeetek determnstkus modelleése.5 Megoldás elárás 3 ahol n, nr, nc a vektorok és a mátr mérete (rúdelemek sáma, alsegmensek sáma eg kerestmetsetben, és a elmodulás sabadságfokok sáma eg csomóponton), ε a u elmodulásvektorho tartoó alakváltoásvektor, A pedg a egüttható mátr amel csak a serkeet geometra ellemő függvéne [3]. Mvel a (.8) össefüggés lneárs kapcsolatot teremt a elmodulások és a alakváltoás köött a növekménterácós elárásho sükséges bármelk elmodulásvektornak előállítható a alakváltoásvektor pára a alábbak sernt: ε Au ε ε t r Av Au r (.8-.84) ahol ε és u a teles, ε t és v a érntő, ε r és u r pedg a kegensúloatlan alakváltoásvektor és elmodulásvektor. Továbbakban a tt leírt alakváltoásvektorokkal és aok különböő normával dolgounk. A alakváltoás vsgálatán alapuló módser alapa eg átlagos (tökéletlenségekkel s terhelt) rúdserkeet egensúl útának vsgálata. A egensúl út mndg eg köel lneárs sakassal ndul, mad a növekvő elmodulások egre növelk a geometra másodrendűség hatását, am a merevség folamatos csökkenését okoa. Mkor a legkhasnáltabb kerestmetset sélső sálaban a fesültség elér a foláshatárt, a képléken ónák gors teredésével a merevség még gorsabban ked csökkenn, és asmptotkusan elér a érus értéket (sngulárs merevség mátr). Itt történk a képléken stabltásvestés, mad a postkrtkus sakasban a elmodulások nagságrenddel megnőnek és a legkhasnáltabb kerestmetset teles megfolásával a sámítás véget ér. A alakváltoás meő megfelelő keelésével mndeen hatások pontosan nomon követhetőek, sőt megósolhatóak, am gencsak megkönnít a megfelelő növekmén meghatároását. A ú növekmén módser eért a alakváltoás meő mamumát vsgála, am a fntált alakváltoásvektor mamum vag végtelen normáaként sámítható ( ε ). Továbbá nem ennek a mennségnek a állandóértékűségéből sámíta a tehernövekméneket, mnt a rodalomban megtalálható módserek, hanem a egensúl utat a mamáls alakváltoásteherparaméter térben a korábban ksámított egensúl pontokra és derváltakra heleett, megfelelő formáú függvénnel köelít. Íg a vselkedést legnkább befolásoló különböő hatások (első megfolás, stabltásvestés) gen ól megósolhatóak, és megkívánt sámú teherlépésben elérhetőek. Gakorlat megfontolásokból, és a bonolult köelítő függvénalak elkerülése célából a egensúl utat három résre bontottam: a rugalmas, rugalmas-képléken, és a postkrtkus résekre, és külön-külön megvsgálva eekre állapítottam meg a megfelelő köelítő függvént (.3 ábra, ahol λ és λ u a első megfolásho és a teherbírásvestéshe tartoó teherparaméter, ε r a gártás saátfesültségből sármaó maradó alakváltoás, ε pedg a foláshatárho tartoó alakváltoás).

40 . Acél rúdserkeetek determnstkus modelleése.5 Megoldás elárás 3 λ hperbolkus köelítés a rugalmas-képléken és a post-krtkus sakasban λ u λ egensúl út másodfokú parabola köelítés a rugalmas sakasban ε r ε ε.3 ábra A egensúl út köelítése a mamáls alakváltoás-teherparaméter térben A rugalmas résben még csak a geometra másodrendűség hatását kell fgelembe venn. Bergan and Sørede [7] növekmén elárásában a teherparamétert a elmodulásvektor euklédes-normáának függvénében másodfokú parabolával köelít, én s et a össefüggést alkalmatam. Tehát a rugalmas sakasban a alább alak köelít a egensúl utat: λ ε b ε a c (.85) ahol λ a teles teherparaméter a -edk növekmén lépésben, a, b, c pedg a aktuáls egütthatók a -edk lépésben, eeket a utolsó két egensúl pontból, és a utolsó pontho tartoó dervált értékéből lehet meghatáron a alább egenletekből: λ λ λ ε a a ε ε ε ε,,, b b ε ε ε, t,, c c a ε, b ( ) ahol a smert elöléseken túl ε t elent a érntő alakváltoásvektor (amelet a (.85) sernt érntő elmodulásvektorból lehet meghatáron, e tehát a adott pontban a egségn tehernövekménhe tartoó alakváltoásvektor) végtelen normáát. Et a gakorlat alkalmaáskor mndg abban a segmensben sámítuk ahol a teles

41 . Acél rúdserkeetek determnstkus modelleése.5 Megoldás elárás 33 alakváltoásvektor mamuma van (általában e megegek a valód mamummal s). A egütthatók tehát: (.89-.9) A össefüggésben a konstans egüttható c a gártás saátfesültségek fgelembevétele matt sükséges, a lneárs egüttható b képvsel a kedet merevséget, míg a kvadratkus tag egütthatóa a mndg negatív a merevségcsökkenés követkeméneként. A sámítás kedetén a köelítéshe hasnált első pontot érus teherparaméter és a maradó alakváltoás mamuma ada, míg a másodkat eg tetsőlegesen ks tehernövekménnél sámított eredménből nerhetük. Ebből a két pontból már elkésíthető a első parabolkus köelítő függvén, és a mamum alakváltoás megkívánt növeléséhe ksámítható a teherparaméter, amel tuladonképpen eg automatkusan meghatároott első teherlépésnek felel meg. A mamum alakváltoás lépésköet a modell bármel telesen különböő kedet paraméterevel defnált feladatho egségesen rögíthetük, hsen tt mnden hatás össegődk. Gakorlat tapastalatok alapán a mamum alakváltoás lépésköet a megfolásho tartoó alakváltoásho vsonítva a alábbak sernt állapíthatuk meg: (.9) ahol ε a lépéskö, σ a folás fesültség és E a rugalmasság modulus. Íg tehát nncs sükség a legelső megfelelő teherparaméter beállítására, hsen a első teherlépcső után a növekmén módser automatkusan beállíta a heles teherlépésköt, amel a alkalmaott köelítő függvén által a megkívánt alakváltoás-növekedést okoa. A rugalmas-képléken résen a köelítő függvén alakát a nomott-halított rugalmasképléken rudak általános nomaték-elfordulás össefüggéséből kölcsönötem [3], amel ól modelle a képlékenedés matt asmptotkus merevségcsökkenést: (.93) ahol a, b a előőekhe hasonlóan sntén a alább egenletrendserből határoható meg: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, / / / / / t t t t t c b a ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε λ λ λ λ λ λ λ ( ) 5 5,, E σ ε ε ε ε ε b a λ

42 . Acél rúdserkeetek determnstkus modelleése.5 Megoldás elárás 34 λ λ ε a ε b, ε t b ε 3 ε ε,,, ( ) A egütthatók tehát: a b λ ε 3, ( ) Ebben a sakasban a növekmén módser foltatódk tovább a eddg leírt módon a ú hperbolkus köelítő függvén alkalmaásával. A b egüttható tt mndg negatv, íg e a függvén alulról asmptotkusan köelít a konstans a egüttható értékét, am a teherbírásvestéshe tartoó teles teherparaméter értékét köelít. A postkrtkus sakasban, ahol a teher csökkenn ked, íg a növekmén negatívvá válk, sntén a (.88) sernt hperbolkus köelítő függvént alkalmatam. A teherbírás határpont után a K T érntő merevség mátr negatív defntté válk, íg a (.75) képlettel értelmeett érntő elmodulásvektorból sámított érntő alakváltoásvektor normáa előelet vált, am a b egütthatót negatívvá tes, íg a hperbola a határpont után automatkusan megfordul a.3 ábra sernt és negatív teherparamétert ad. Íl módon a postkrtkus út automatkus követése s lehetővé válk, bár a teherbírás meghatároásáho a későbbek folamán erre nem les sükségünk. ε, ε t, ε t,.5.3 Iterácós elárás Nemlneárs serkeet analís során a lnearált növekmén lépés után a (.69) össefüggéssel kfeeett egenúl nem áll fenn: r ( u λ v λ λ ) r, (.98) A képletben sereplő alsó nde elent eentúl a növekmén lépés sámát, míg a felső nde a terácós lépés sorsámát. A Newton-Raphson terácós elárás a egensúl rendser Talor-sorának elsőrendű tagan alapul, a utolsó egensúl pont körül sorbafetve (mvel a követkeő egenletek mnd a -edk növekmén lépés után vannak értelmeve, a alsó ndeet a továbbakban elhagom): r ( u u ) ( λ λ ) r r r u λ (.99)

43 . Acél rúdserkeetek determnstkus modelleése.5 Megoldás elárás 35 am, a smert össefüggéseket felhasnálva felírható a alább formában s: T ( K ) r vδλ T K δu qδλ r vag δu (.) ahol K T, a kegensúloatlan erők vektorának Jacob mátra, a érntő merevség mátr a -edk terácós lépésben, v a már leírt érntő elmodulásvektor, amelet a terácós lépésben aktuáls merevség mátrból sámíthatunk, δu és δλ pedg a terácós váltoás a elmodulásvektorban és a teherparaméterben. Íg tehát a elmodulások megváltoása a terácó során, mndg felírható a kegensúloatlan és a érntő elmodulásvektorok lneárs kombnácóaként. A klasskus Newton-Raphson módser a terácón belül s mndg úrasámola a érntő merevség mátrot, míg a módosított veróban csak a ú növekmén lépésben. u meghatároásáho tt s sükség van (.74) kegésítő egenletre, am elen esetben δλ meghatároására solgál. A legsmertebbeket a alábbakban foglalom össe: terácó állandó teherparaméter mellett [] c δλ (.) terácó eg állandó elmoduláskomponens mellett [] T c b u r δλ b T (.) terácó állandó ívhoss mellett [4] T ( u r δλ v) ( u r δλ v) λ v v T c u a u a l (.3) ahol u a a -edk terácós lépésg felhalmoódott elmodulásváltoás, l a ívhoss paraméter amelet a növekmén lépésben határotunk meg a képlet sernt terácó állandó külső munka mellett [5] T c q T u r δλ q T v (.4) terácó mnmáls kegensúloatlan elmodulásnorma mellett [6] c δλ T T T ( δu δu ) v u δλ v v r (.5) Itt s eg meghatároott mennség állandóértékűsége mellett történk a terácó, amt megnt csak a kénseregenlet által meghatároott hperfelület határo meg. A.4 ábrán a módosított Newton-Raphson terácós elárás általános geometra semléltetése látható. Eeknek a terácós elárásoknak sntén megvan a már említett vektorokon belül, dmenókban való különbségből sármaó hba, amel elen esetben lassú konvergencát, vag dvergencát s okohat.

44 . Acél rúdserkeetek determnstkus modelleése.5 Megoldás elárás 36 λ Hperfelület c δλ λ λ K T egensúl út λ - egensúl pontok u u - Ha a kénseregenlet értelmeés tartománát smét átheleük a alakváltoásteherparaméter térbe, úra eg et kküsöbölő, konstens terácós elárást kaphatunk. A alábbakban bemutatásra kerülő módserek, tuladonképpen a fent egenletek (némelkének) alakváltoás-térben való értelmeése. Fontos tuladonságuk úra a automatkus alkalmahatóság, amel a alakváltoás veérelte növekmén módserrel egütt eg gen hatékon elárást eredméne (pl. a első módser esetén, amel a állandó elmoduláskomponens mellett terácó megfelelőe, nncs sükség a megfelelő komponens meghatároására, hsen a mamáls alakváltoás mnden vsgált feladatnál egértelmű). terácó állandó mamáls alakváltoás mellett u.4 ábra Módosított Newton-Raphson módser c ε δλ ε Au δλ Av r terácó állandó alakváltoás-ívhoss mellett c t T T ε a ε a lε r T ( ε r δλ ε t ) ( ε r δλ ε t ) λε t ε t (.6) (.7) terácó mnmáls kegensúloatlan alakváltoásnorma mellett c ε ε δλε ε T t r T t t (.8) A teratív sámítások sohasem solgáltatnak telesen pontos megoldást, eért addg foltatódnak, amíg a megoldás hbáa nem csökken eg elfogadható snt alá. Et

45 . Acél rúdserkeetek determnstkus modelleése.5 Megoldás elárás 37 mnden terácós lépést követően eg alkalmas konvergencatesttel ellenőrhetük. Igen fontos, a pontosságot és a hatékonságot nagmértékben befolásoló össetevők a terácós elárásnak eek a testek. Feleslegesen sgorú krtérum elentősen megnövelhet a sükséges terácók sámát, íg a futás dőt s, emellett a teherbírás kmerülése előtt leállíthata a sámításokat, míg túl genge krtérum pontatlan megoldásho veethet. Mndegk ellenőrés a hbát elentő kegensúloatlan mennségek valamel mértékét ves alapul, és normalált értékét hasonlíta össe eg előre megsabott krtérummal. Általában három különböő formulát alkalmanak []: elmodulás test u r u u T r u T u u r γ d (.9) erő test r λ q γ r (.) munka test r T u r λ uq γ w (.) ahol γ d, γ r, γ w gondosan megválastott toleranca értékek. Itt talán a legnagobb mértékű a különböő dmenók okota hba. Eg kfordulás problémánál például a öblösödésből sármaó kegensúloatlan bmoment sámserű értéke több nagságrenddel s nagobb lehet a több kegensúloatlan teherfatánál. E egrést megnt a hatások nem egséges fgelembevételéhe veet, másrést megntcsak lehetetlenné tes a automatkus alkalmaást, hsen különböő feladatokra különböő konvergenca-krtérumok tesk hatékonná a futást. Et a problémát s kküsöböl a alakváltoásmeőben értelmeett konvergenca testek alkalmaása: alakváltoás végtelen normáán alapuló ε r ε γ ε alakváltoás euklédes normáán alapuló (.) ε r ε γ ε (.3) A terácót még tovább btonság előírásokkal lehet stablabbá tenn, íg defnáln lehet a mnmáls és mamáls terácós sámot, a mnmáls tehernövekmént,

46 . Acél rúdserkeetek determnstkus modelleése.5 Megoldás elárás 38 vsgáln lehet a dvergencát, vssalépést és úrasámolást lehet meghatáron a növekmén csökkentésével. Íg tehát eg egséges, telesen automatkus, alakváltoás alapú növekmén-terácós elárást kaptunk, amel hatékon megoldás módsere lehet a előő feeetekben leírt rúdvégeselemes modellel való teherbírásvsgálatnak. A módser nem génl a serkeet vselkedés megváltoásából adódóan a megoldást veérlő paraméterek úradefnálását, íg hatékon determnstkus futásokat tes lehetővé a stochastkus sámítások során..5.4 Össehasonlító példák A ú alakváltoás alapú megoldás elárás legnagobb előne tehát, hog automatkusan megtalála a optmáls tehernövekmént, és mentes a dmenókülönbségekből fakadó hbáktól. A optmáls tehernövekmén legnkább a végső teherbírástól és a egensúl út alakától függ, hsen a növekmének a egensúl térgörbe ponta köött defnálnak egfata állandó távolságmértéket, és e alapán térképek fel a egés görbét. Adott nagságú tehernövekmén esetén nlvánvaló, hog mnél magasabb a végső tehersnt annál több teherlépcsőre van sükség. Acél rúdserkeetek esetén a véletlen váltoóként keelt kerestmetset méretek és anagmodell paraméterek gen elentősen befolásolhaták a végső teherebírást a stochastkus sámítások során. Uganakkor a legtöbb növekmén módser valamlen módon a egensúl út mentén haladva ada meg a tehernövekmént (pl. a görbe ment ívhoss alapán), amt már elentősen befolásol a út alaka a elmodulás-teherparaméter térben. Rúdserkeetek kedet tökéletlenségenek váltoása gen nag befolással lehet a egensúl útra, nagából aonos teherbírás mellett s a madnem tökéletes serkeet elmodulásanak nagsága törtrése lehet a nag mperfekcókat tartalmaó serkeetének. Végül teles valósínűségelmélet vsgálatnál, ahol a terhelés s véletlen váltoó (pl. Monte-Carlo módser alkalmaásakor), eg nomásra génbevett serkeet elemből a sámítások során könnedén halított, vag csavart rúd lehet, am termésetesen (a eltérő dmenókból s adódóan) telesen más növekmén-terácós veérlő paramétereket génel, amelek a automatkus sámítások során nem defnálhatók úra. Eeknek a problémáknak a llustrálására két példát mutatok be, nég különböő növekménterácós elárást alakalmava, ameleket a.3 tábláat mutat be..3 tábláat Alkalmaott elárások módser növekmén elárás terácós elárás kovergenca test ívhoss ívhoss munka merevség paraméter mnmum kegensúloatlan elmod. munka 3 elmoduláskomponens elmoduláskomponens munka 4 alakváltoás alakváltoás-ívhoss alakváltoás norma

47 . Acél rúdserkeetek determnstkus modelleése.5 Megoldás elárás 39 A össehasonlítás során két utat lehet követn, vag eg adott kndulás teherparaméter esetén vsgálom meg a megoldásho sükséges össes terácós lépést, vag a különböő feltételek esetén határoom meg a optmáls knduló teherparamétert, amel eg meghatároott terácós lépéssámot eredméne mnden esetben. Én a első módsert alkalmatam, elősör meghatárotam at a legnagobb tehernövekmént amel még mnden esetben pontos eredmént ad, és a továbbak folamán mnd a nég növekmén-terácós módser esetén, mnden feladatho e lett a knduló teher Váltoó terhelés hatása Mndkét példában eg HEA melegen hengerelt selvénű, 4 méter hossúságú, kétcsuklós rudat vsgáltam, a leírt trlneárs anagmodellel. A első példában a rudat egenletes nomóerő terhel váltoó nagságú nagtengel körül halítás mellett. A.5 ábra mutata a egensúl utakat a teherbírásg a különböő nterakcós terhelésre, átlagos tökéletlenségeket feltételeve (elölések: N a nomóerő, m M/M cr a nomaték khasnáltság, u a köépső kerestmetset oldalránú elmodulása). 9 N [kn] u [mm].5 ábra Interakcós egensúl utak m.75 m.35 m.55 m.7 m.875 Látható, hog ha a kndulás teherparaméter a nomóerőhö kötött, a nomaték hatására elentősen lecsökken a végső érték, uganakkor a elmodulások nagsága csak kssé váltok. A.6 ábra a nég módserhe sükséges össesített terácós lépést ábráola a nomaték khasnáltság függvénében. Míg a alakváltoás alapú elárás lénegében éréketlen a terhelésváltoásra, a több módsernél léneges váltoás fgelhető meg. Mvel tt a teherbírás végső értéke a legelentősebb váltoás, mnd a három módsernél a legnagobb nomaték terhelésnél elentkek a legksebb knduló teher, amelet a pontosság eléréséhe alkalman kell. Legnkább a

48 . Acél rúdserkeetek determnstkus modelleése.5 Megoldás elárás össes terácó sáma m.6 ábra A terácós lépések váltoása. elárás (ívhoss) esetén nőnek meg a terácós lépések, mvel a első teherlépcsőnél ksámított ívhoss a nomatékok csökkenésével egre ksebb, mégs kb. aonos görbehossúságot kell befutna. A. módser terácós lépése lneársan váltonak, íg elen feladatnál snte telesen úg működk mntha egenletes teherlépcsőkkel sámolna. A 3. módsernél a legobb a eredmén, de tt meg kellett találn a megfelelő elmodulásparamétert, amel ól tükrö a másodrendűségből adódó hatásokat (a köépső kerestmetset nagtengel ránú elmodulása) Váltoó tökéletlenségek hatása Most s a első példában smertetett rúdat vsgáluk, a terhelés tt csak egenletes nomás, tehát egserű képléken khalás probléma. Két tökéletlenség hatását vsgáltam: a kedet görbeségét (genge tengel körül), és a saátfesültségét. A kedet görbeség snus alakú, és a köépső kerestmetsetnél mért ampltúdó váltok, a saátfesültség pedg lneársan váltok a övekben, és konstans a gernc mentén (Galambos-féle fesültségeloslás), tt a övleme sélen elentkeő fesültségérték a váltoó. Nég esetet vsgáltam meg a madnem tökéletes és a erősen tökéletlen serkeetek köött, mnd a két véglet reáls értékeken alapul. Eg ún. tökéletlenség paraméter sabáloa a két mperfekcót a alább össefüggések alapán: e σ l r, ma (35 5 p). pf ahol e a kedet görbeség ampltúdóa, l a rúdhoss, σ r,ma a saátfesültségérték a övleme sélen, f a foláshatár és p a tökéletlenség paraméter. A.7 ábra mutata a

49 . Acél rúdserkeetek determnstkus modelleése.5 Megoldás elárás 4 íg sámított össetartoó tökéletlenségekhe tartoó egensúl utakat a előő példáho hasonlóan. 4 N [kn] e l/35 ; σ r,ma. f e l/5 ; σ r,ma. f e l/5 ; σ r,ma.4 f e l/5 ; σ r,ma.6 f u [mm].7 ábra Különböő tökéletlenségű egensúl utak Most s elentős különbség van a teherbírás értékekben, de most már ól látható a mperfekcók okota eltérés a egensúl utak alakában. Míg a ks tökéletlenséggel rendelkeő rúd csak ks elmodulásokat vége a tönkrementelg, a egre nagobb tökéletlenségek egre növekvő elmodulásokat eredménenek. Ennek hatását ól látn 3 4 össes terácó sáma p - tökéletlenség paraméter.8 ábra A terácós lépések váltoása

50 . Acél rúdserkeetek determnstkus modelleése.5 Megoldás elárás 4 a.8 ábrán, ahol a görbe ment ívhosson alapuló. módser terácós lépésenek a sáma elentősen megnöveksk a nagobb tökéletlenséggel rendelkeő, nagobb elmodulásokat végő serkeet sámításánál. Eel semben a. módser éppen tt sámol a legkevesebb terácóval, érus tökéletlenség paraméter esetén kétser ann lépésben ut el a megoldásg, mnt a alakváltoás veérelt elárás, amel láthatóan a tökéletlenségekre sem éréken. Most s a előő példában alkalmaott elmoduláskomponens volt a 3. módser alapa, amel sntén nagából aonos eredmént ad a különböő egensúl utaknál.

51 . Acél rúdserkeetek determnstkus modelleése.6 A determnstkus modell kalbrácóa 43.6 A determnstkus modell kalbrácóa A determnstkus modell működésének testelése, gaolása célából néhán ellegetesebb feladatra kalbrácós futtatásokat végetem, ameleket kísérlet eredménekkel, és magasabb sntű numerkus modell eredménevel hasonlítottam össe. A kalbrácó végső céla annak bonítása, hog a leírt determnstkus modell alkalmas acél rúdserkeetek teherbírásának pontos sámítására. Tehát a legfontosabb a teherbírások végső értékenek ellenőrése, a heles működés gaolása célából gekeetem a teles egensúl út össehasonlítására alkalmas példákat futtatn. Eért kemelten fontos volt a determnstkus modellben paraméterként sereplő és mérhető értékek (pl. a kerestmetset mérete, kedet görbeség, foláshatár) egeése mnd a magasabb sntű numerkus modell paraméterevel, mnd a kísérletnél mért adatokkal. Mvel a rodalomban nem találtam megfelelő mélségben leírt példákat, eért saát nem túl nag sámú, de alapos vsgálatokon alapuló numerkus és kísérlet eredméneket hasnáltam a kalbrácóho. A kísérlet eredméneket a BME Hdak és Serkeetek Tansékén -ben elndított kísérletsoroat eg rése képete, amelek melegen hengerelt IPE4 és HEA selvénű rudak khalás és kfordulás nterakcós vsgálatát célota meg. A kísérletek több karcsúság és nomóerő-halítás arán mellett foltak, mnden konfgurácó esetén két-két próbatesttel. A terhelés és támasvsonok a.9 ábrán látható modell sernt lettek kalakítva, tehát egenletes nomás és váltoó nomaték terhelte a rudat, végen csuklós-vllás megtámastást alkalmatunk, mel a alkotó lemeek öblösödését s teles mértékben meggátolta. F N L/ L/.9 ábra A kalbrácós feladat általános modelle Ennek megfelelően a kísérlet elrendeést mutata a. ábra. A egparaméteres konervatív erőrendsert a két sató (függőleges húó, obb oldal vísntes nomó) eg olakörre kötésével, valamnt a függőleges satónál alkalmaott un. erő-smulátorral a rúdköép oldalránú elmodulását követve mndg megtarta a függőleges ránt btosítottuk. Különös gonddal kellett kalakítan a csuklós-vllás támasokat (. ábra).

52 . Acél rúdserkeetek determnstkus modelleése.6 A determnstkus modell kalbrácóa. ábra Kísérlet elrendeés gömbcsukló tengele erőmérő vllák függőleges támas nomósató öblösödést gátló végleme. ábra Támasok gakorlat megvalósítása 44

53 . Acél rúdserkeetek determnstkus modelleése.6 A determnstkus modell kalbrácóa 45 A próbadarabra a erő eg vastag véglemeen kerestül adódk át, amel egenletesen elosta a nomást a kerestmetseten és termésetesen a öblösödést s meggátola. A véglemere merőlegesen ráhegestett két leme tarta a 4 mm átmérőű tengelt, amelen a gömbcsukló helekedk el, megengedve a végkerestmetset tengelránú függőleges és vísntes síkú elfordulását. A tengelránú elfordulást a két lemet sorosan körefogó, a gömbcsukló tengelének vonalában elhelekedő két vlla akadáloa meg, ameleken két-két csapág enged a több elmodulást. Végül a függőleges támast eg, a gömbcsukló alatt található köpontosított acélgömb képe. Eáltal a csapágak surlódását lesámítva pontosan a leírt elmélet támas került megvalósításra, aal a kegésítéssel, hog a elmélet támaskö megnőtt a próbatest vége és a gömbcsukló tengele köött távolság kétseresével, amelet a sámítások során termésetesen fgelembe vettem. A erőket több módon s mértük, vag sámítottuk (erőmérő cella, núlásmérő bélegek, olanomás mérése), továbbá a köépső kerestmetset függőleges lehalását és a alsó és felső övek vísntes eltolódását mértük. Knduló adatokként megmértük a kerestmetset ellemő méretet (selvénmagasság, övsélesség, gerncvastagság, övvastagság), a próbadarab kedet görbeségét, lletve a övekből vett anagmntából előállítottuk a acélanag teles σ-ε görbéét. A kalbrácós feladatként kválastott kísérletek főbb paramétere a követkeők voltak: selvén: HEA karcsúság (λ ): elmélet támaskö: 64 mm három fata terhelés: F/N. ;. ;.5 Tehát tuladonképpen három különböő esetet vsgáltam, mndegknél két-két kísérlettel. Aért a HEA selvént válastottam, mert séles öve matt már ksebb aránú halítás elenléténél s megelenk a kfordulás elensége, tehát gen alkalmas a nterakcós tönkrementel megfgelésére. Íg már a első teheresetnél (F/N.) s bár még a khalás a domnáns teherbírásvestés mód, a köépső kerestmetset elentősen elfordul, a utolsó teheresetnél pedg snte már csak a kfordulás fgelhető meg (. ábra). A karcsúság úg lett megválastva, hog a teherbírásvestés már a első megfolás után, tehát a képlékenség hatását s tartalmava történék, a numerkus sámításam s kmutatták, hog a nomott övnek a egk fele már telesen megfolk mre a kfordulás bekövetkek. A rúdhoss megválastásának másk kéenfekvőbb magaráata a elmodulások nagságának mérhetősége, valamnt a terhelő erők nem rreálsan nag értéke. A magasabb sntű numerkus sámításokat a ANSYS [7] programmal végetük. A SHELL43 nevű hé végeselemből építettük fel a próbatestet a valóságos, mért geometra adatokkal. A öveket nolc a gerncet hat héelem alkotta, a elemek tovább sűrítése nem okoott léneges váltoást a eredménben. A rúdtengel sámításba vett kedet görbeségét a első saátalak határota meg, amel mnden esetben a kstengel körül khalásnak megfelelő félsnushullám volt, melnek ampltudóát a mért görbeség alapán vettük fel. A anagmodell rugalmas-képléken blneárs volt, a

54 . Acél rúdserkeetek determnstkus modelleése.6 A determnstkus modell kalbrácóa 46 aktuálsan mért foláshatárral és (nem mért) E N/mm rugalmasság modulussal. A nehékes kvteleés matt a sámítás során a ANSYS programban maradó belső fesültségeket nem vettünk fgelembe.. ábra F/N.5 terheléshe tartoó kfordulás A előőekben leírt determnstkus rúd-végeselem modell s eeket a knduló paramétereket tartalmata, aal a különbséggel, hog kerestmetset a.4 pontban leírt módon fnomabban lett felostva (övek és a gernc s 6 résre, a vastagság mentén pedg nég résre). A kísérlet, héelemekkel és rúdelemekkel sámolt eredméneket tartalmaák a Függelék F.5-F. ábrá, a megfelelő terhelés esetet s megelölve. Két egensúl utat hasonlítottam össe: a rögtön ks meredekséggel nduló egenes út mndg a köépső kerestmetset lehalása; a meredeken nduló, mad a lesállóágban egre nagobb elmodulásokat mutató görbe a köépső kerestmetset felső övének oldalránú eltolódása, amel íg tartalmaa a tengel oldalránú eltolódását és a kerestmetset elfordulását s. A ábrákról általánosságban sólva meg kell egen, hog bár geketem mnden fontosabb befolásoló hatást fgelembe venn, mndaonáltal sámos eltérés egértelműen megmagaráható a sámításba nem vett téneők hatásával. A egk len fontos hatás a gömbcsukló surlódása, am tuladonképpen eg kedet rugalmas befogást elent, eel magaráható, hog a kísérlet lehalás görbe mnden esetben meredekebb a numerkus eredméneknél. A oldalránú elmodulás gakor lépcsőserű ugrása, lletve a F.7 ábránál a teles beragadása s a csukló nem egenletes forgásának kösönhető. Eért s volt fontos, hog

55 . Acél rúdserkeetek determnstkus modelleése.6 A determnstkus modell kalbrácóa 47 a elmodulások (főleg a lateráls eltolódások) kellően nagok legenek, hsen akkor ksebb a esél arra, hog a csukló surlódása elentős hatást fet k a egensúl útra, lletve a végső teherbírásra (mnt ahog a F.7 ábrán láthatóan a kedet befogás növelte meg a próbadarab teherbírását). Eeken kívül a kísérlet eredméneket elentősen befolásolták a mérés bontalanságok s. Íg, bár a erőket többféleképpen s mértük, néha gen elentős eltérés volt tapastalható a eges adatsorok köött. Továbbá termésetesen a acélanag σ-ε görbéének előállítása, és ebből a blneárs anagmodellhe sükséges foláshatár meghatároása sem eg egértelmű feladat, mnt at mad a pontban résletesebben bemutatom. Tovább nem mérhető, és a numerkus sámítások során íg fgelmen kívül hagott bontalanságot elentett a erők esetleges külpontossága, a kerestmetset alakának tökéletlensége (a modellben sámítottól való eltérése) és a saátfesültségek. Eek a esetek többségében valósínüleg nem okotak elentős különbséget a numerkus eredménekhe képest, de a F.9-F. ábrákon látható léneges eltérés a teherbírásban eekkel a bontalanságokkal magaráható. Mndaonáltal a F.5, F.6 és F.8 numerkus sámítással kapott grafkona gen ó egeést mutatnak a kísérletekkel mnd a teherbírás értékében, mnd pedg a egensúl út formáában, am megenged at a követketetést, hog a leglénegesebb váltoók megfelelően lettek modelleve a sámításokban. A F.9-F. ábrákon tapastalható különbségek a kfordulás elenségének óval neheebb kísérlet vsgálatát s elk, nem hába lénegesen kevesebb a megfelelő publkált eredmén een a téren mnt pl. a khalásnál. A F.9 ábrán a kísérlet oldalránú elmodulás végg kb. a kétserese a sámítottnak, amt a tartóköép erő külpontossága, a rugalmasság modulus ksebb értéke, vag saátfesültségek elenléte magaráhat. A korábban történő stabltásvestést a előőeken kívül esetleg a foláshatár alacsonabb értéke s okohatta. A F. ábrán hasonló a helet, tt a rúd-végeselemes sámítást ksebb rugalmasság modulussal és saátfesültségek fgelembevételével megsmételtem (üres háromsög), ól látható a kedet sakas lénegesen obb egeése. Végül sóln kell még a két numerkus sámítás köött különbségekről. Általában elmondható, hog a rúdvégeselemes modell gen ól vssaada a héelemekkel sámított eredméneket. Egetlen lénegesebb eltérés, hog a nagobb halítás aránoknál, a teherbírásvestés körneetében a héelemekből épült modellnél a stabltásvestés hrtelen, gorsabb módon történk, a rúdelemes modellnél eg egenletesebben láguló sakas elő meg a tönkremenetelt, amel íg magasabb teherbírást eredméne. A különbség legvalósínűbb magaráata, hog a rúdvégeselemekben a kerestmetset sokkal fnomabban került modelleésre, íg obban tuda követn a vastagság mentén teredő megfolt réseket, mnt a vastagságot csak eg héelemmel modelleő sámítás. Et támasta alá, hog a kísérlet eredmének s általában mutatnak eg len láguló sakast a stabltásvestés előtt. Mvel e khalás esetén kevésbé elentős (ott a megfolás nkább a övek sélessége mentén történk) a első ábrákon obb a egeés. Össefoglalva tehát elmondható, hog a bemutatott determnstkus rúdvégeselem modellel a kalbrácós példákban skerült kellő pontossággal megsmételn a kísérlet és magasabb sntű numerkus eredméneket, íg a modell alkalmas melegen hengerelt acélrudak teherbírásának reáls vsgálatára.

56 . Acél rúdserkeetek determnstkus modelleése.7 Össefoglalás 48.7 Össefoglalás A. feeetben a acél rúdserkeetek determnstkus vsgálatának általam alkalmaott és felestett módserét mutattam be. A dssertácó témáának sempontából fontos rugalmas-képléken stabltásvestés fka tartalmának modelleéséhe eg 5 sabadságfokú rúd-végeselemet alkalmatam. A végeselem alkalmas a rúd geometra másodrendűségének leírására a vékonfalú selvéneknél elentős öblösödés hatásának fgelembevételével. A végeselem modellhe rugalmasképléken anagmodellt defnáltam, amel sámításba ves a anag vselkedésének rugalmas vssaterhelés hatására beálló váltoását. A anagmodell térbel fgelembevétele eg specáls kerestmetset modell alkalmaását követelte meg, amel khasnála a vsgált selvének lemeelemenek nag karcsúságát (vékonfalú kerestmetset köelítése), uganakkor a képléken rések teredésének a lemevastagság mentén való követését s lehetővé tes. A melegen hengerelt selvéneknél elentős gártás saátfesültségek modelleésére ú módsert dolgotam k. Ennek során a csavarásból sármaó fesültségeket s fgelembe vettem a saátfesültségek eloslására felírt követelmének köt. Eáltal eg olan fesültségeloslást kaptam, amel a általam vsgált problémák esetén reálsabb módon modelle a rugalmas-képléken kfordulás problémát. A rugalmas-képléken stabltás feladatok hatékon megoldására eg ú, kfeeetten rúdelemek sámításáho gaodó növekmén-terácós megoldás elárást felestettem. A megoldás módser különösen alkalmas váltoó kedet paraméterekkel ellátott problémák automatkus keelésére. E a tuladonság gen fontos a valósínűség sámítások esetén, hsen ekkor a feladat paramétere véletlen váltoók. Végül a bemutatott determnstkus végeselemes elárás megoldásat általam végett kísérletek eredménevel vetettem össe, mel során gaoltam a modell heles működését.

57 3. Acél rúdserkeetek valósínűségelmélet modelleése 3. Beveetés 49 3 ACÉL RÚDSZERKEZETEK VALÓSZÍNŰSÉGELMÉLETI MODELLEZÉSE 3. Beveetés Serkeetek determnstkus vsgálatánál a knduló és sámítandó paraméterek köött fka kapcsolat leírása a cél. A sámítások alatt mnden mennség adott értékkel serepel. A mérnök terveés során aonban am eg akkor még nem léteő serkeet vselkedését vsgála eeknek a mennségeknek a pontos értéke sohasem adható meg. A eges adottságokat modelleő paraméterekre pl. terhek a mérnök termésetesen még csak elentősebb befolással sem lehet, eek értéke általában előetes mérések statstka kértékelése alapán határoható meg. A terveés paramétereket pl. geometra, anagok elő lehet írn, ám csak rreáls költségek mellett btosítható megfelelően pontos betartásuk, eért eek bontalanságanak előetes fgelembevétele a gadaságosabb. Serkeetek valósínűségelmélet modelleése során tehát a fka kapcsolatokon túl a knduló paraméterek bontalanságat s sámításba vessük, íg a eredmén s véletlenserűséget fog mutatn. Ekkor már a sámítandó mennségekhe tartoó valósínűség vag valósínűség eloslás s a végeredmén fontos rése. Serkeetek valósínűségelmélet megköelítésére a gakorlatban a ún. megbíhatóság sámításoknál van sükség. Eeknek a sámításoknak a végső céla annak gaolása, hog a építendő serkeet terveett élettartalma alatt végg rendelkek megfelelő btonsággal a terveettől eltérő vselkedés ellen. Termésetesen ennek maradéktalan bonítása még egserűbb modellek esetén s rendkívül komple és általában megoldhatatlan feladat, eért sámos, különböő egserűsítő feltételeéseken alapuló elárást felestettek k. A továbbak során eeket a módsereket mutatom be a eges modelleknél beveetett egserűsítések adta veérfonal mentén. A legfontosabb egserűsítés a dőténeő kktatása, tehát a serkeetet eg adott dőpontban vsgáluk, nem vessük fgelembe a dőnek a váltoókra, a bontalanságokra és a serkeet működésére gakorolt hatását. Tovább fontos egserűsítés, hog a serkeetek btonságát csak bonos határállapotokban, és aon belül s csak meghatároott tönkremenetel módok esetén sámítuk. Ennek során feltételeük, hog a serkeet teherbírásvestése csak bonos módon történhet, et a formát íra le a úgneveett tönkremenetel függvén: g( X) (3.) am a X teher és ellenállás oldal valósínűség váltoókat tartalmaó vektortól függ. A tönkremenetel függvén tuladonképpen eg m-dmenós hperfelület, am két résre osta a m véletlen váltoó által defnált teret. Ahol potív értékű, tehát g(x) >, ott nem követkek be a tönkremenetel, vags ebbe a térrésbe olan valósínűség

58 3. Acél rúdserkeetek valósínűségelmélet modelleése 3. Beveetés 5 váltoó konfgurácók tartonak, amelek esetén a serkeet teherbírása nem merül k. Ahol a függvén nem potív, ott bekövetkek a tönkremenetel. Íg ha a össes váltoó adott értékű, akkor meg lehet határon a vsgált konfgurácó távolságát a tönkremenetel hperfelülettől, am ennek a determnstkus feladatnak egfata btonság mértékét elent, a ún. megbíhatóság rést (relablt margn, [8]). Amennben a váltoók véletlenserűek, termésetesen a megbíhatóság rés s véletlenserű les, amelnek valósínűség paraméterenek meghatároása elent a megbíhatóság analís tárgát. A legfontosabb és legtöbbsör alkalmaott, mndaonáltal gakran a legneheebben sámítható mennség a serkeet adott formában történő tönkremenetelének a valósínűsége, amelet a követkeő ntegrál defnál [9]: P f... g ( X) f X (, ) dx,..., m (3.) ahol f X a véletlen váltoók egüttes sűrűségfüggvéne. A (3.) képlet a megbíhatóság sámítások alapössefüggése, melnek a analtkus de még a numerkus megoldása még a legegserűbb esetekben sem lehetséges, eért több, különböő pontosságú köelítő módsert dolgotak k a tönkremenetel valósínűség meghatároására. Eek ostáloása több sempontból s lehetséges, a egk elteredt ostáloás mód a véletlen váltoók valósínűségelmélet keelése alapán határoa meg a különböő snteket [3]. Esernt I. sntű megbíhatóság módser, ameleknél a váltoók eg bonos (karakterstkus, terveés, nomnáls stb.) értéke ves rést a determnstkus sámításokban. Ebbe a kategórába tartonak a sabvános méreteés elárások, ahol a megfelelő btonságot eek a értékek tartalmaák. A II. sntű megbíhatóság módsereknél már két értékkel vessük fgelembe a véletlen váltoókat, eek rendsernt a köépérték és a sórás, vag a korrelácós egütthatók. Ide tartonak a megbíhatóság ndeen alapuló módserek (FORM/SORM, elsőrendű/másodrendű megbíhatóság módserek [8]), amelek tuladonképpen a megbíhatóság rés köépértékét és sórását határoák meg, és ebből sámíták a megbíhatóság ndeet, am eek hánadosa. A III. sntű megbíhatóság módserek már egenesen a (3.) össefüggésben defnált tönkremenetel valósínűséget sámíták, valamlen módon keelve a váltoók egüttes sűrűségfüggvénét. Ilen módser a Monte-Carlo smulácó [3], ahol a véletlen váltoók nag sámban, megfelelően generált kombnácó által meghatároott pontok alapán történk a ntegrál köelítése. Termésetesen rögtön látsk, hog mnél magasabb sntű a elárás, annál pontosabb eredmént solgáltat, uganakkor ennek eléréséhe annál nagobb követelméneket támast mnd a véletlen váltoók statstka mntá, mnd a sámítás költségek, mnd pedg a determnstkus modellel semben. Eért a gakorlat alkalmaásoknál lénegében csak a I. sntű módserek elennek meg, hsen eek, a többhe képest rendkívül kevés gakorlatlag determnstkus sámítást génelnek. Hátránuk uganakkor, hog a egserűsített sámítások rendkívül sok valósínűségelmélet pontatlanságot tartalmanak, íg a serkeetek tönkremenetel ellen btonsága valóában nem aonos a megkívánt értékkel, am gadaságtalan vag nagobb kockáatot tartalmaó terveéshe veethet. Emellett eltérő tönkremenetel módokho,

59 3. Acél rúdserkeetek valósínűségelmélet modelleése 3. Beveetés 5 amelek aonban aonos megkívánt btonság snthe tartonak, rendsernt eltérő tönkremenetel ellen btonságot solgáltatnak. Mvel aonban elenleg nem reáls a magasabb sntű módserek általános alkalmaása a terveés során, a I. snthe tartoó sabvános méreteés elárások felestése, fnomítása a egk legfontosabb feladata a magasabb sntű megbíhatóság elárások kutatásának, alkalmaásának. A másk legfontosabb ostáloása a megbíhatóság módsereknek a g(x) tönkremenetel függvén sámítása alapán történk. E a ostáloás tehát valóában a determnstkus modell, aa a fka tartalom sernt kategorála a módsereket. Mvel e gen váltoatos lehet, a továbbakban csak a munkámho köelebb álló, és elentősebb alkalmaásokra térek k. A legmagasabb sntet, ahol a legtöbb véletlen váltoó mnél kevesebb egserűsítést tartalmaó fgelembevétele lehetséges, általános esetben (tehát nem eg bonos problémára koncentrálva) a megfelelően fnomított, numerkus determnstkus modellek elentk, amelek a esetek többségében végeselemes elárások. Eeket alkalmava a Monte-Carlo smulácóban elent ma a lehető legpontosabb megbíhatóság módsert, amel mnden más elárás kalbrálásaként soglálhat [3]. Egetlen, de gen léneges hátrána a rendkívül nag sámítás dőgén, ematt gakorlatlag csak ksebb problémák megoldására alkalmas. A II. sntű megbíhatóság módserek köött leggakrabban alkalmaott FORM/SORM elárások megkövetelk a tönkremenetel függvén véletlen váltoók sernt első lletve másodk parcáls derváltat. E gen erős követelmén a tönkremenetel függvénnel semben, eért általában csak nag egserűsítéseket tartalmaó, eplct alakban leírható függvének felelnek meg. Een próbálnak avítan a úgneveett stochastkus végeselem módserek [3, 33, 34]. Eek egesíten próbálák a végeselemes módser pontosságát a FORM/SORM elárásokkal, ol módon, hog a íg felépített determnstkus modell olan sámítás folamatokat tartalma, amelek során a parcáls derváltak a lánc-sabálnak megfelelően előállíthatók [35]. A modell leveetésénél termésetesen erős megkötést elent a derválhatóság, íg eek a modellek egserűbbek kell, hog legenek, és a sámításba vett véletlen váltoók sem lehetnek túlságosan résleteve, mégs óval pontosabb és általánosabb feltételekkel alkalmaható elárást elent, mnt a eplct függvének hasnálata. Példaként lehet említen acél rúdserkeetek esetén a kerestmetset modelleését. A stochastkus végeselemes modellben a kerestmetsetet a ellemővel helettesítük (terület, halítás, csavarás nerca), mert eek solgálnak véletlen váltoóként, és a kerestmetset ellemők sernt derváltak általában előállíthatók [35]. Termésetesen íg már nem követhető nomon a kerestmetset résleges megfolása, csak a képléken csukló módsere hasnálható a sámításban. Míg ha a kerestmetsetet elemenként modelleük (alsó, felső öv, gernc), és eek a véletlen váltoók, akkor már nem állíthatók elő a derváltak, íg nem alkalmaható a FORM/SORM analís, bár e a modell már sokkal pontosabban leíra a acél rúdserkeet rugalmas-képléken vselkedését. Stochastkus végeselem modellben nem nagon defnálhatók tökéletlenségek sem (görbeség, saátfesültség), mnt véletlen váltoók, sntén derválás nehéségek matt, pedg gakran (pl. a karcsúbb rúdserkeetek esetén) gen nagmértékben befolásolhaták a végeredmént. A derválhatóság problémáának másk oldalról való megköelítését elent a úgneveett válasfelület módser [36, 37,

60 3. Acél rúdserkeetek valósínűségelmélet modelleése 3. Beveetés 5 38]. Itt a tönkremenetel függvén nem mplct módon a végeselem módser algortmusa alapán van defnálva, hanem a végeselemes analís bonos pontokban sámított eredménére llestünk valamlen módon eg ól derválható függvént, és e foga képvseln a továbbakban a válasfelületet (am e esetben a g(x) függvén), amelen a FORM/SORM lépése végrehathatóak. A köelítő függvén általában valamlen polnom sokott lenn [39], amelnek foka termésetesen megsaba a mnmáls sámát a lleskedés pontoknak. A tönkremenetel függvén sámításánál s a sabvános, eplct formulák elentk a legalacsonabb sntű, legpontatlanabb, de mégs a legsélesebb körben alkalmaott elárást. Eek egk legfontosabb egserűsítése, amel magasabb snteken s gen gakran fgelembe vett köelítés, hog a terhelő hatásokat elkülönítve sámíták a serkeet ellenállásától, aa a tönkremenetel függvén sétbomlk két résre [8]: g ( X) R( X ) L( X ) (3.3) ahol L és R elképek a terhelést és a teherbírást, és a véletlen váltoók X vektora s sét van bontva a terheléshe tartoó váltoók X L és a teherbírást befolásoló váltoók X R vektorává. Eáltal tehát a terhelés és a teherbírás mnden tekntetben külön vsgálható, és a megfelelő, konstens formára hoott értékek különbségeként állítható elő a tönkremenetel függvén. Mvel a tönkremenetel akkor követkek be mkor g(x), ennek ekvvalans megfogalmaása (3.3)-at felhasnálva a tönkremenetel feltételére: R X L X (3.4) E a forma eg skaláregenlőséghe veet (pl. meghatároott konfgurácóú erőrendser skalár paraméterrel ellemett nagsága és a ehhe tartoó egparaméteres konervatív erőrendsert feltételeő teherbírás össehasonlítása), íg a terheléshe és teherbírásho tartoó sűrűségfüggvén, és a tönkremenetel valósínűsége semléltethető e skalárparaméter függvénében a 3. ábra sernt. R ( ) ( ) R L L f(λ) λ -he tartoó tönkremenetel valósínűsége: A *A F R (λ )*f L (λ )*dλ terhelés sűrűségfüggvéne teherbírás sűrűségfüggvéne dλ λ λ skalár paraméter 3. ábra Egparaméteres terhelés megbíhatóság modelleése

61 3. Acél rúdserkeetek valósínűségelmélet modelleése 3. Beveetés 53 Tehát a tönkremenetel valósínűsége a alább egserűsített össefüggés alapán sámítható, feltételeve, hog a terhelés és a teherbírás egmástól független valósínűség váltoó: P f ( R L ) F ( λ) f ( λ) dλ P R L (3.5) ahol F R és f L a teherbírás eloslásfüggvéne és a terhelés sűrűségfüggvéne, amennben eek smertek, a tönkremenetel valósínűsége már óval egserűbben sámítható, mnt a (3.) egenlet sernt alakból. Tovább léneges egserűsítése a sabvános megbíhatóság módsereknek a serkeet elemek elkülönítése. Mvel a lehetséges össes serkeet konfgurácóra nem adható méreteés elárás, a sabván a serkeetet alapelemekre bonta, eek kellő btonságot tartalmaó méreteés elárását ada meg. A teles serkeet vsgálatakor tehát a serkeettől megfelelő peremfeltételek megválastásával el kell különíten eeket a alapelemeket, és eekre kell alkalman a méreteés formulákat, íg eek a méreteett alapelemek btosíták a teles serkeet sámára a megfelelő btonságot a vsgált tönkremenetel mód ellen. A terhelést vag tönkremenetel módot tekntve a sabvánok et s alapesetekre veetk vssa. Íg defnálák a tsta tehereseteket, és tönkremenetel módokat, mnt pl. rúdserkeetek stabltás teherbírása esetén a tsta nomóerő-khalás, tsta nomaték-kfordulás. Amkor a elkülönített serkeet elemre eek kombnácóa hat, akkor a tsta esetekhe tartoó teherbírások nterakcóából lehet meghatáron a teherbírást [4]. Fontos megemlíten at a legúabb sabvánterveetekben megelenő [4, 4] általános méreteés elárást, amel a adott serkeetet vag serkeet rést a aon lévő teles terheléssel egütt eg egségként keel, és erre íra fel a méreteés képleteket. A módser a ma már gakorlat terveés során s elteredt végeselemes sámítások eredménet épít be formulába, és eg teles serkeetre sámított globáls redukált karcsúságból sámíta a általánosított stabltás csökkentő téneőt [4, 4]. A elárás kulcsfontosságú rése a stabltás csökkentő téneő megfelelő megválastása, amelnek alapa elenleg mnden esetben a európa stabltás görbék (European Bucklng Curves). A előőekben bemutatott különböő sntű megbíhatóság módsereken és egserűsítéseken alapuló elárások egk végső céla mndg a legegserűbb módsereket alkalmaó, de ebből fakadóan legsélesebb körben alkalmaott sabvános méreteés elárások megfelelő kalbrálása. A leírt egserűsítések termésetesen sámos problémát vetnek fel, melekre csak magasabb sntű valósínűségelmélet vsgálatok adhatnak válast. A terhelés és teherbírás (3.4) sernt sétválastása a két mennség külön vsgálatát tes lehetővé. A eges teherféleségek stochastkus leírása tuladonképpen a serkeet vselkedéstől függetlenül vsgálható, a régóta nteníven végett kutatások eredménevel sámos publkácóban találkohatunk [3, 43, 44]. A teherbírás esetén fontos kutatások tárgát képeték a serkeet elemek elkülönítéséből fakadó kérdések [45, 46, 47]. Ennek vsgálatáho sükséges a alapelemek valósínűség vselkedésének vsgálata különböő peremfeltételek esetén

62 3. Acél rúdserkeetek valósínűségelmélet modelleése 3. Beveetés 54 (csuklós, rugalmasan befogott, réslegesen befogott pl. öblösödés gátlása stb.), esetleg teles serkeetek valósínűségelmélet vsgálata. A gen kfnomult modelleést lehetővé tevő felett numerkus módserek elteredése a alapelemek egre pontosabb determnstkus vselkedésének meghatároásáho, és a eekből nert egre résleteettebb sabvános formulákho veettek [48, 49, 5, 5, 5]. Eek a kutatások órést a össetett terhelés esetek alapesetekkel történő megfelelő leírását tűték k célul egre bonolultabb nterakcós képletek felhasnálásával. Uganakkor elenleg kedődtek el mélebb vsgálatok a globáls serkeet karcsúságon alapuló módserek alkalmaásának kérdéseről [53, 54]. Végeetül meg kell említen a modern sabvánok mnden stabltásvsgálat módserének alapelemét, a valósínűség alapokon nugvó stabltás görbéket. Eeknek leírása tuladonképpen már régóta alapfeladatnak sámít, mndaonáltal publkált egakt kísérlet és elmélet megalapoottsága tuladonképpen csak a stochastkus khalás teherbírásnak van [55], fgelembe véve aonban, hog eek a kutatások órést a 7-es években foltak erősen korlátoott sámítás módserek és esköök hasnálatával. Rúdserkeetek kfordulása esetén a determnstkus vselkedés még most s több haa és nemetkö kutatóprogram tárga [56, 57, 58], de kellő mélségű valósínűségelmélet modelleésre nem találtam példát a rodalomban. A gártás, serelés, és egéb a serkeet működését befolásoló elárások váltoása, felődése matt egre bővülő és gakran váltoó statstka adatsor, és a eekből sámítható magasabb sntű megbíható mennségek (pl. a eloslás ferdeség paramétere, adatok köött korrelácó) fgelembevétele mndg aktuáls, eért s aánlott Tch [8] sernt a sabvánok formulának és btonság téneőnek dőről-dőre történő egre pontosabb felülvsgálata és kalbrácóa a megbíhatóság sntek mnél hatékonabb egségesítése érdekében. A fentek alapán megállapítható, hog a stabltás vsgálatok alapát képeő európa stabltás görbék séleskörű, naprakés statstkákon alapuló felülvsgálata korserű sámítás módserekkel már gen aktuáls lenne, aonban sem a nemetkö, sem a haa kutatás eredménet tartalmaó publkácóval nem találkotam a munkám során. Mndeeket fgelembe véve kedtem kutatásamat a sabvános elkülönített serkeet elem stochastkus vselkedésének valóságot köelítő, mnden fontosabb valósínűség váltoót fgelembe vevő vsgálatával. A. feeetben bemutatott determnstkus modell segítségével vsgáltam a tsta terhelés esetekhe tartoó stabltásvestés problémákat, és elemetem a magasabb rendű statstkák fgelembevételének hatását s. Termésetesen nem lehetett célom olan mennség munka elvégése mnd kísérlet mnd numerkus amel alapát solgáltatta a elenleg stabltás méreteés módsereknek, eért más ránban ndultam el. Ks sámú, de mndenképpen repreentatív, gakran alkalmaott esetet vsgáltam, eeken a valósínűségelmélet hatások mélebb tanulmánoása vált lehetővé, íg követketetésem termésetesen nem lehetnek mndg általános érvénűek, de a sabvános elárások elemésére, krtkáára alkalmasak. Mvel a általam vsgált sabvános formulák (pl. a Eurocode3-ban) órést melegen hengerelt I-selvének, een belül s főleg IPE (Európa I-profl) és HE (Európa sélesövű profl) kerestmetsetű rudak kísérlet és

63 3. Acél rúdserkeetek valósínűségelmélet modelleése 3. Beveetés 55 elmélet vsgálatán alapulnak [55], a dolgoatom alapmodelléül s e a két selvéntípus solgált: a.6. feeetben kísérlet úton s megvsgált IPE4 és HEA [59]. A alapmodell sntén a sabvánéval egeő kétcsuklós-vllás rúdelem, sabad öblösödéssel a végeken (3. ábra). Sámításamat hog lefedék a gakorlatban előforduló serkeet elemeket hat különböő karcsúságnál (λ kstengel körül khalásho tartoó) végetem, a eekhe tartoó megfelelő rúdhossakat tartalmaa a 3. tábláat. A valósínűségelmélet eredménemet íg túlnomó többségében a karcsúság függvénében adom meg. A íg meghatároott eredmének megteremtették a alapot a EC 3 acélserkeet sabván (3.5) képletre épülő alap méreteés elárása teherbírás oldal btonság koncepcóának eleméséhe, krtkááho, lletve esetleges felestés avaslatok kdolgoásáho. A dssertácó eredméne továbbá megadhaták a alapot, valamnt a módsert a előőekben felsorolt feladatokho tartoó nagobb volumenű és általánosabb eredméneket solgáltató kutatások foltatásáho, a sabvános és magasabb rendű méreteés elméletek megfelelő pontosításáho s. 3. tábláat Vsgált rúdhossak L[mm] λ IPE HEA IPE4, HEA N L M IPE4, HEA M L 3. ábra A vsgált rudak és teheresete

64 3. Acél rúdserkeetek valósínűségelmélet modelleése 3. Sámítás elárás Sámítás elárás Jelen feeetben a 3. pont megállapításat fgelembe véve bemutatom a általam alkalmaott valósínűségelmélet sámítás elárást, amel alkalmas a vsgált problémák mélebb feltárására kaknáva a determnstkus modellben relő résleteettséget. A paraméterek véletlenserűségét fgelembevevő stochastkus sámítás elárás bemutatása eleén fontos felhívn a fgelmet arra a későbbekben numerkus eredménekkel s alátámastott ténre, hog a véletlen váltoók terében defnált teherbírás felület (R(X) függvén) a váltoók által reálsan felvehető értelmeés tartománon belül ól köelíthető eg hpersíkkal. Másként mondva a teherbírás váltoása a eges véletlen váltoók függvénében megköelítőleg lneárs. Ekkor a teherbírás felírható a alább módon: R T ( X) R( X ) a ( X ) X (3.6) ahol X a véletlen váltoók vektora, X eg adott pont a véletlen váltoók által defnált térben, és a T a lneárs egüttható vektor transponálta. A X pontot célserű a váltoók köépértéke helén felvenn (X µ ), hsen a lehetséges realácók körülbelül köépponta e a pont les, amellett a köépérték mndenféle statstka vsgálódásnak alapmennsége, tehát mndg rendelkeésre áll. Eekután már csak a egüttható vektor meghatároása a feladat, amel a teherbírásfüggvén gradense a köépértékek által meghatároott pontban: (3.7) A egüttható vektor eleme tuladonképpen a teherbírás érékenség mérősáma a adott váltoóra, eek gen fontos eleme a alkalmaott módsernek, eért gondosan kell meghatáron őket. A vektor elemet a munkám során a. résben leírt determnstkus modell segítségével numerkusan határotam meg a adott váltoó köépérték körül reáls határokon belül váltotatásával ksámított teherbírás értékekből. A érékenség faktorok gen hasnosak a véletlen váltoók fontosságának megállapításakor, a elhanagolások vag egserűsítések hatásának vsgálatakor, és betekntést núthatanak a adott tönkremenetel mód stochastkus vselkedésébe. A végső cél perse a teherbírás teles valósínűség leírása, vags a köös eloslás vag a eloslás statstka paraméterenek meghatároása. A köös eloslás meghatároásáho pontosan tudn kell a véletlen váltoók eloslását, amt lleskedésvsgálattal lehet megállapítan, de legtöbbsör a statstka adathalma hánosságának és mérés bontalanságoknak kösönhetően e gen sok bontalanságot tartalma. Ha mégs meghatárouk a össes knduló paraméter eloslását, a (3.) össefüggés sernt köös eloslás a eges váltoók sűrűségfüggvénenek konvolúcós formáából sámítható, am árt alakban csak rtkán állítható elő. Eért munkám során a momentumok módserét alkalmatam [6], amel sokkal egserűbb és kénelmesebb sámításokat tes lehetővé, és mégs a knduló statstka adathalma ( X) a R X X X

65 3. Acél rúdserkeetek valósínűségelmélet modelleése 3. Sámítás elárás 57 résleteettségének megfelelő pontosságot btosít. A módserhe meg kell határon a teherbírás momentumat (mérnök alkalmaásoknál elegendő mamálsan a első nég), vag a eekből sámítható köépértéket, sórást, ferdeséget és lapultságot. Eek árt alakban előállíthatók a knduló véletlen váltoók alább statstka paramétereből [6]: várható érték : sórásnéget : ferdeség : lapultság : µ n α ε n σ n n n ( µ ) ( n )( n ) n( n ) ( n )( n )( n 3) n σ n 3 µ 4 µ σ 3( n ) ( n )( n 3) (3.8) (3.9) (3.) (3.) A fent képletekben a adott véletlen váltoó statstka mntáa, n a mnta nagsága. Megegendő, hog ha a leírt paramétereket mamálsan 5%-os relatív sórással akaruk meghatáron, akkor a mnmáls mntanagság a sórásho 5, a ferdeséghe 5, a lapultságho 4 [6]. Feltételeve a véletlen váltoók függetlenségét, a (3.6) lneárs össefüggéssel defnált teherbírás eloslásának megfelelő paramétere a alább össefüggésekből sámíthatók [63]: ( ) ( ) µ várható érték: µ R X R (3.) R m sórásnéget: σ a σ (3.3) R m ferdeség: a 3 3 α α (3.4) R σ 3 σ R m lapultság: a 4 4 ε ε (3.5) R σ 4 σ R ahol a a adott véletlen váltoóho tartoó lneárs egüttható; σ, α, ε a megfelelő váltoó statstka mntáából sámított sórás, ferdeség és lapultság, a fgelembe vett véletlen váltoók sáma pedg m. Eekután a teherbírás eloslása köelíthető megfelelő, általában három- vag négparaméteres smert eloslással, egenlővé téve a sámított és a smert eloslásho tartoó köépértéket, sórást, ferdeséget és lapultságot, és ebből a egenletrendserből meghatárova a smeretlen paramétereket. Eel meghatárotuk a teherbírás eloslását, amelből már mnden tovább adat (pl. kvantlsek) sámítható.

66 3. Acél rúdserkeetek valósínűségelmélet modelleése 3. Sámítás elárás 58 A kutatás során eeket a sámításokat a gakorlatban a követkeőképpen valósítottam meg. Elősör aokat a alapsámításokat végetem el a két vsgált selvénre a hat karcsúság esetén, amelek a elkülönített alapmodellen, a két tsta stabltásvestés (vag terhelés) khalás és kfordulás formáho tartonak. Eek során a hatások reáls semléltetése, a váltoók fontosságának heles megítélése érdekében a alább formáú érékenség faktorokat határotam meg: Φ R( X) X X X X R( X δ a ) µ µ R δ (3.6) ahol tehát Φ a -edk váltoóho tartoó érékenség faktor, µ a -edk váltoó köépértéke, δ pedg a -edk váltoó relatív sórása, aa δ σ / µ. Eáltal eg olan dmenótlan érékenség mérősámot kapunk, amel tartalmaa a adott váltoó váltoás halamát a relatív sóráson kerestül [64], vags a érékenség faktorok at mutaták, hog a adott paraméter megváltoása egségn sórásával a teherbírás mlen mértékű váltoását okoa. Eek a érékenség faktorok egébként nem mások, mnt a teherbírás relatív sórásának össetevő, hsen (3.3) és (3.6) alapán: δ R σ R µ R m a σ µ R m Φ (3.7) Íg a érékenség faktorok segítségével können ksámíthatuk a teherbírás relatív sórását, melre tovább sámításoknál s gen nag sükség les. A érékenség faktorok meghatároásáho elősör rodalm adatok és saát mérések ( ) sernt statstka kértékelése alapán meg állapítottam mnden valósínűség váltoó köépértékét és sórását. A a lneárs egütthatókat a determnstkus modell többsör futtatásának segítségével határotam meg, íg előálltak a megfelelő érékenség faktorok és a tsta stabltásvestés esetekhe tartoó teherbírás relatív sórása a két selvén és a hat karcsúság esetében. Eekból már meghatároható a tönkremenetel valósínűsége valamlen kétparaméteres (általában normáls) eloslást feltételeve. Uganlen módserrel vsgálható a össetett, nterakcós terhelés s. Magasabb rendű statstkák, lletve a váltoók korrelácóának fgelembevétele a íg sámított alaperedmének segítségével lehetséges, hsen pl. a teherbírás eloslásának ferdeségének (3.4) képlete íg írható fel: m 3 α (3.8) R Φ α 3 δ R Elegendő statstka adat hána és elhanagolható elentősége matt a továbbakban a lapultságot nem vesem fgelembe a sámításokban.

67 3. Acél rúdserkeetek valósínűségelmélet modelleése 3.3 Knduló sámítások Knduló sámítások 3.3. A véletlen váltoók halmaának megállapítása A legelső feladat tehát aoknak a modellparamétereknek a meghatároása, amelek a sámítások során véletlen váltoóként lesnek defnálva. Ehhe sükséges, hog a adott váltoót a determnstkus elárásban megfelelően tuduk keeln, vags a előő pontban smertetett a lneárs egütthatók (érékenség faktorok) megbíhatóan sámíthatók legenek. Fontos továbbá, hog valamlen sntű becslést tudunk adn a váltoó statstka paraméterere (netán a eloslására), különben nem tuduk modellen a valósághű véletlenserűséget. Eeket fgelembe véve érhető el a determnstkus modell, a véletlen váltoók halmaa és a kettőt össekapcsoló valósínűségelmélet elárás elősóban leírt egséges keelése. Serkeetek megbíhatóságának sámításakor a véletlen váltoókat általában nég, ól elkülöníthető kategórába lehet soroln: a terheléshe, a serkeet geometráho, a alkalmaott anagho és a kénserekhe (támasok, kapcsolatok) tartoó váltoók. A terhelés véletlen váltoók a eges tehertípusokho (pl.: sélteher, hóteher, önsúl) tartoó tehereloslás, ntentás, a hatás hele, továbbá e tehertípusok kombnácóának mértéke [pl. 6]. A numerkus végeselemes modelleés során (legalábbs rúdserkeetek esetén) eek csomópont erőkként realálódnak. Mvel a munkámban a teherbírás valósínűség vselkedését adott tönkremenetel mód, aa adott (determnstkus) terhelés esetén vsgáltam, a terheléshe tartoó leírt paraméterek nncsenek véletlen váltoóként defnálva. A geometra váltoókat a valóságban a serkeet építőelemenek a mérete, és eek össeállítása határoák meg. A numerkus modellben a végeselemek csomópont koordnátá, és a kerestmetset alaka és mérete, vags a eeket meghatároó kerestmetset csomópontok koordnátá által van fgelembe véve a geometra véletlenserűsége. Vsgálatamban meghatároott karcsúság esetén sámoltam eg rúd teherbírását, íg a rúd két végpontának koordnátá (aa a rúd hossa) nem véletlen váltoók, ellenben a rúd belső csomópontanak koordnátá (aa a rúd kedet alaka) gen, és termésetesen a kerestmetset alaka és mérete s. A véletlen váltoók köött a továbbakban önkénes módon meg fogom különbötetn, és tökéletlenségeknek fogom hívn aokat, amelek deáls értéke (nem pedg köépértéke) érus. Geometra váltoók tehát a deáls kerestmetset mérete, és geometra tökéletlenségek a rúd és a kerestmetset kedet alaka. Eek termésetesen a rúd hossa mentén váltohatnak, eért ésserű egserűsítések sükségesek, melek segítségével a gaán léneges hatásokat fgelembe véve a sámítás dő mégsem nő rreálsan meg. A anag váltoók a (.3) ábra sernt trlneárs anagmodellt leíró paraméterek, amelekből termésetesen nem mndegk befolásola lénegesen a teherbírást, eért tt s elentős egserűsítések érhetők el. A anagmodell paramétere s váltohatnak a hoss és a kerestmetset mentén, de ennek elhanagolása eg serkeet elem esetén nem oko léneges hbát [65]. A geometra váltoókho hasonlóan tt s fgelembe vettem anag tökéletlenséget, amelet a gártás melegen

68 3. Acél rúdserkeetek valósínűségelmélet modelleése 3.3 Knduló sámítások 6 hengerlés során keletkeő maradó fesültségek, úgneveett saátfesültségek okonak. Eek tuladonképpen a foláshatárt váltotaták meg a kerestmetset mentén, tehát ennek a anag paraméternek a egenlőtlen eloslása l módon kerül sámításba. Végül a sámítások során a kénserek sem serepeltek valósínűség váltoókként, hsen a sabván alapmodellét vsgáltam, ahol meghatároott a támasvson, kapcsolatok pedg nncsenek. A 3. tábláat össefoglala a fgelembe vett véletlen váltoók típusat a vsgált melegen hengerelt I kerestmetsetű acélselvénnél, abban a rendsereésben, amelben a követkeő feeetek résletesen smertetk. 3. tábláat Fgelembe vett véletlen váltoók ostáloása geometra a kerestmetset mérete: selvénmagasság, övsélesség, lemevastagság anag a anagmodell paramétere: rugalmasság modulus, Posson állandó, foláshatár tökéletlenségek geometra anag a rúd kedet alaka, a kerestmetset kedet alaka saátfesültség a kerestmetset mentén 3.3. Geometra váltoók A geometra váltoók tehát csak a kerestmetset méretevel kapcsolatosak. Bár a végeselemes modelleésben tuladonképpen csak a sármatatott kerestmetset ellemők terület, nercák serepelnek, a valód véletlen váltoókat a gártás befolásola, eek pedg melegen hengerelt I selvének esetén a eges lemeelemek mérete. Mvel eek a méretek megfelelően mérhetők, és íg van s kellő sámú statstka adat valósínűség paraméterekre, emellett a alkalmaott determnstkus modell s képes eek váltoásának fgelembevételére a.3 pontban leírt kerestmetset modell segítségével, eért sámításam során eek serepeltek geometra véletlen váltoókként. A 3.3 ábra mutata a alkalmaott kerestmetset modellt és a váltoókat: h selvénmagasság; b övsélesség, amel mndkét övre aonos; t w gerncvastagság; és t f övvastagság, sntén aonos a övekre. A követkeő feladat a valósínűség paraméterek meghatároása, kváltképpen a relatív sórást, amel a kndulás alapként solgáló érékenség faktorok sámításánál fontos. A 3.3 tábláat össefoglala a melegen hengerelt I selvének rodalomból vett, lletve saát mérések alapán sámított főbb statstka adatat. A tábláatban a köépértékek a egséges keelhetőség érdekében relatív adatok, a mntaköép és a adott selvén megfelelő nomnáls méretének a hánadosa.

69 3. Acél rúdserkeetek valósínűségelmélet modelleése 3.3 Knduló sámítások 6 t f h t w b 3.3 ábra Kerestmetset modell 3.3 tábláat Statstka adatok paraméter relatív mntaköép relatív sórás ferdeség Fakus et al. [66], IPE6-IPE4, mérések sáma: 37, dőpont:. h b t w t f Ansln [68], HEA, mérések sáma: 33, dőpont: 983. h b t w t f Saát, HEA-HEA, mérések sáma: 8, dőpont: 3. h b t w t f Saát, IPE-IPE4, mérések sáma: 38, dőpont: 3. h b t w t f

70 3. Acél rúdserkeetek valósínűségelmélet modelleése 3.3 Knduló sámítások 6 A selvénméretek hoáférhető statstka adathalmaa gen segénes, nncs megfelelő adatbás, amelet folamatosan lehetne bővíten, és a gártók sem adnak k megfelelő adatsorokat. Mndaonáltal Fakus et al. [66, 67] nemrégen publkált adata még a ferdeség sámításáho s elvleg kellő mennségű mérést tartalmanak. Bár a több adat kevés mérést tartalma, de ól mutat néhán eltérést a sélesebb (HEA) és a keskenebb övű (IPE) selvének köött. Eek köül a legfontosabbak, hog a HEA selvéneknél elentősebb a övvastagság köépértékének eltérése a nomnáls értéktől (akár 6% s lehet), uganakkor a gerncvastagság átlagosan %-kal nagobb a nomnálsnál, továbbá a IPE selvének lemevastagsága nagobb relatív sórást mutatnak. A általam kválastott két selvéntípus esetén mndeek a statstkák össhangban vannak a gártó ProflArbed cég által kadott katalógus hengerlés toleranca adataval. A továbbakban többsör s fogok hvatkon a JCSS (Jont Commttee on Structural Safet) aánlásara [69], amel általánosítan és standardáln próbála a megbíhatóság módsereket, kedve a véletlen váltoók felvétele és valósínűség leírásától, a alkalmaható módsereken át a megfelelő gakorlat alkalmaásokg. Melegen hengerelt selvének geometra bontalansága esetében a JCSS nag résben sntén a 3.3 tábláat első résében bemutatott adatok alapán ada meg a valósínűség paraméterekre a aánlást, uganakkor alkalmaásaban órést csak a kerestmetset terület, és a kerestmetset modulus serepel, tehát alacsonabb snten vég vsgálatat. Köépértékként mnden mennség esetében a nomnáls értéket elöl meg, am ugan gakran ellentmond a fent tábláat adatanak, de mvel a kerestmetset ellemők mndegke a nomnáls érték körül moog, íg nem oko léneges hbát. Mndeeket fgelembe véve a 3.4 tábláat tartalmaa a alapsámításho sükséges geometra értéket a két vsgált selvénnek. 3.4 tábláat Alkalmaott valósínűség értékek paraméter köépérték [mm] sórás [mm] relatív sórás IPE 4 h 4..5 b.. t w t f HEA h b.. t w t f.5.5

71 3. Acél rúdserkeetek valósínűségelmélet modelleése 3.3 Knduló sámítások 63 A (3.6) össefüggés sernt érékenség faktorok sámításáho adottak tehát a relatív sórások, íg a parcáls derváltakat kell még előállítan. Mnt már leírtam, eeket a. feeetben bemutatott determnstkus modell segítségével numerkus módon határotam meg, am aért s kéenfekvő, mert a váltoók reáls értelmeés tartománán belül a teherbírás ó köelítéssel lneársan váltok. Ennek llustrálására a 3.4 ábrán mutatom be a IPE4 selvénű rúd, khalás és kfordulás teherbírásának normalált váltoását a övvastagság relatív megváltoásának függvénében, különböő karcsúságok esetén. teherbírás relatív váltoása λ 3 λ 6 λ λ 3 λ 6 λ relatív övvastagság relatív övvastagság 3.4 ábra A khalás (bal) és kfordulás (obb) teherbírás megváltoása a övvastagság függvénében A fent ábra egeneset mnden karcsúságnál 9 pont határoa meg, a adott váltoó (elen esetben a övvastagság) köépértékénél, és a egseres, kétseres, háromsoros és négseres sórás levonásával, lletve hoáadásával kapott értéknél sámított teherbírások. Jól látható, hog még len tág értelmeés tartománon belül s (annak valósínűsége, hog a övvastagság een a tartománon kívül esk, normáls eloslást feltételeve.64, tehát gakorlatlag nem történhet meg) a teherbírás lneársan váltok mndegk karcsúság esetén. A apróbb hullámok a sámítás pontatlanság matt vannak, hsen gakran csak néhán sáalékn váltoást kell pontosan kmutatn a teherbírásban. A munka során tehát mnden váltoóho, terheléshe, selvénhe és mnden karcsúság esetén a fent leírt módon 9 pontból meghatárotam et a egenest, és e alapán a (3.6) sernt teherbírásfüggvén lneárs egütthatót, mad a (3.6) sernt érékenség faktorokat. A továbbakban eeknek a sámításoknak a fent ábráho hasonló egeneset nem fogom bemutatn (mvel e rengeteg ábra lenne), csupán a alapsámítások fő eredménének sámító érékenség faktorokat a karcsúság függvénében. Jelen esetben, tehát a kerestmetset dmenót tartalmaó geometra váltoóknál, eplct formában felírható a két sélső esethe tartoó teherbírás tehát a érus, lletve a nag karcsúságho, más sóval a kerestmetset képléken és a tökéletes, karcsú rúd rugalmas teherbírása e váltoók függvéneként, és a parcáls derválás s können elvégehető. Eáltal a eekhe tartoó érékenség faktorok egből meghatárohatók,

72 3. Acél rúdserkeetek valósínűségelmélet modelleése 3.3 Knduló sámítások 64 és e ellenőrés lehetőséget nút ksebb és nagobb karcsúságok esetében. Tsta nomás és nagtengel körül tsta halítás esetén a kerestmetset képléken teherbírása a követkeő képletekkel írható le: N M pl pl Af W pl, f (3.9) (3.) ahol A és W pl, a kerestmetset terület és a nagtengel körül képléken kerestmetset modulus, f a anag foláshatára. A tökéletes rúd rugalmas stabltásvestése pedg a alább erő és nomaték esetén követkek be: N cr π EI L (3.) M cr π EI L I I w L GI π EI t (3.) ahol I, I w, I t, a kerestmetset kstengel körül nercanomatéka, öblösödés és csavarás nercanomatéka, E és G a rugalmasság és nírás modulus, L pedg a rúd hossa. A képletekben sereplő öt kerestmetset ellemő a 3.3 ábra sernt kerestmetset modell esetén felírható a nég váltoó függvéneként: A W I I I t pl, w ( h t ) t t w 3 t f b 4 bt 3 ( b t )( h t ) t 3 3 ( t b ( h t ) t ) 3 f h 4 f f w ( h t ) 3 bt ( h t ) t 3 ( ) Eeket behelettesítve (3.9-3.) össefüggésekbe, a derválás elvégehető a nég véletlen váltoó sernt. A Függelék F.-F.8 ábrá tartalmaák a két sélső esethe analtkusan sámított érékenség faktorokat (üres néget IPE4, üres háromsög HEA), lletve a numerkus determnstkus modellből sámítottakat (tel néget IPE4, tel háromsög HEA) a kstengel körül karcsúság függvénében. Amt rögtön meg lehet állapítan, hog a numerkus eredmének grafkona mnden esetben köelítenek a képléken kerestmetset, lletve a rugalmas rúd érékenség faktoraho, tehát a determnstkus modell sélső esetekben vssaada a elmélet eredméneket. A grafkonok lefutása általában monoton, a selvén magassága és a gernc vastagsága a f w w f f w w f f

73 3. Acél rúdserkeetek valósínűségelmélet modelleése 3.3 Knduló sámítások 65 ks karcsúságok esetén elentősebb, míg a övvastagság és övsélesség a karcsúbb rudak esetén. Kvételt képenek a gerncvastagság grafkona kfordulás esetén, ahol nag karcsúság esetén legnagobbak a érékenség faktorok, köepes karcsúságnál vesk fel a mnmáls értéket, mad a képléken teherbírás felé smét növeksenek. A két selvén grafkona köött a khalás és selvénmagasság esetén legnagobb különbség, egébként általában nem elentős. A övvastagság faktora értékre és ellegre s snte aonosak, a selvénmagasság és gerncvastagság a IPE4 kerestmetsetnél elentősebb, míg a övvastagság a sélesebb övű HEA selvénnél. Végül érdemes megvsgáln, hog mlen a értékkéslete a eges érékenség faktoroknak, amel a váltoók elentőségét határoa meg. Látható, hog a legkevésbé fontos váltoó a gerncmagasság, hsen a grafkonok sehol sem érk el a. értéket, am at elent, hog amennban a gerncmagasság eg sórásnval megváltok ( a nomnáls érték.5 %-ával) a teherbírás megváltoása mndg %-on alul, sőt khalás esetén snte telesen elhanagolható. A övsélesség és a gerncvastagság váltoása (órést a nagobb relatív sórásnak kösönhetően) már elentősebb, -3%-os módosulást s eredménehet a teherbírásban. Végül a legelentősebb geometra váltoó a övvastagság. A érékenség faktorok már khalás esetén s.3-.5 köött moognak, de nag karcsúságú kfordulás esetén elérk a.8-.9 értéket s, vags a övvastagság reáls véletlenserűsége akár % fölött teherbírásváltoást s okohat Anag váltoók Serkeet acélok anaga esetén a JCSS a követkeő véletlen váltoók elkülönítését avasola: E rugalmasság modulus, ν Posson-állandó (harántkontrakcós téneő), f foláshatár, f u sakítóslárdság, ε u sakadás núlás. Mndaonáltal a általam stabltásvestés vsgált feladatoknál a sámításokat a sakítóslárdság és a sakadás núlás nem befolásola, hsen a stabltásvestés mndg előbb történk, mnthog a serkeet elem bármel pontában s a fesültség vag a alakváltoás elusson eekg a határokg. A harántkontrakcós téneő a rúdelem modellben csak a G nírás moduluson kerestül serepel, a ól smert össefüggés sernt: E G ( ν ) (3.8) Ennek hatása csak a elentős csavarást s tartalmaó feladatoknál elentkek (pl. kfordulásnál), de vsgálatam alapán tt s elhanagolható. Sntén megvsgáltam a.3 ábra sernt trlneárs anagmodellben a harmadk felkeménedő sakas hatását, de a stabltásvestés előtt tapastalatam sernt a alakváltoás nem halada meg a ehhe tartoó értéket, vags blneárs anagmodell alkalmaása nem oko különbséget. Íg ennek a anagmodellnek a két váltoóa maradt, mnt anag váltoó: a rugalmasság modulus és a foláshatár.

74 3. Acél rúdserkeetek valósínűségelmélet modelleése 3.3 Knduló sámítások 66 A rugalmasság modulus megfelelően pontos mérése nem egserű feladat, Galambos et al. [7] ckke tartalma ónéhán statstka adatot, ameleket több mnt 3 év alatt végett mérésekből állapítottak meg, eeket tartalmaa a 3.5 tábláat. 3.5 tábláat A rugalmasság modulus statstka adata mérések [db] köépérték [N/mm ] relatív sórás mérés dee Galambos et al. [7] a 94-ben késült méréseket tarta a legkörültekntőbben lebonolított vsgálatnak, mndamellett nagobb relatív sórást avasol alkalman, mert eeket a méréseket csak eg gárból érkeő, eg típusú selvénen végeték. A JCSS 97 után mérésekre hvatkova már csak 3%-os relatív sórást avasol. Mndeeket fgelembevéve a munkám során a rugalmasság modulust µ E 5 N/mm köépértékkel és δ E.4 relatív sórással vettem fgelembe. A Függelék F.9-F. ábrá mutaták a khalásho és kfordulásho tartoó érékenség faktorokat. A két sélső eset elmélet értéke most s sámíthatók, a képléken teherbírás termésetesen nem függ a rugalmasság modulustól, íg tt érus a érékenség faktor. A rugalmas stabltásvestésnél (amennben a nírás modulus s a váltoó rugalmasság modulus (3.9) sernt függvéneként van defnálva) pedg khalásnál és kfordulásnál s a δ E relatív sórás a elmélet érték. Látható, hog valóban e két érték köött moognak a grafkonok, uganakkor a két különböő stabltásvestés formánál elég eltérő a görbe alaka, míg a két kerestmetset köött nncs léneges eltérés. A másk sámításba vett anag véletlen váltoó tehát a blneárs rugalmas-képléken anagmodellhe tartoó foláshatár. A továbbakban csak a EC3 sernt S35 serkeet acél anagának folás fesültségével foglalkoom. Erre a paraméterre már évek óta rengeteg mérést végetek, íg elvleg megfelelő mennségű adat áll rendelkeésre snte bármlen statstkáho. A sámított statstkák, vag llestett eloslások mégsem egértelműek, hsen a eges publkácók más-más hengerlőüem terméket testelték, más elárással végeték a anagvsgálatokat, íg gakran gen különböő eredméneket kaptak a eges statstkákra. Általában kétféle kísérletet alkalmanak a foláshatár meghatároásáho: sabvános próbapálca sakítóvsgálatát (húás), és adott kerestmetsetű nagon rövd selvén nomás tönkremenetelének vsgálatát [6]. Már ennek a kétfata vsgálatnak s rendsernt elég eltérő a eredméne, nomás esetén magasabb folás határt kapunk, mnt a húóvsgálatoknál. Nem mndeg továbbá, hog a folás elenség körül fesültségek mel értékét tekntük statstka adatnak. A gakorbb és megbíhatóbb húóvsgálatok esetén

75 3. Acél rúdserkeetek valósínűségelmélet modelleése 3.3 Knduló sámítások 67 megkülönbötethetük ugans a 3.5 ábra sernt felső (f f ) és alsó (f a ), valamnt dnamkus (f d ) és statkus (f s ) foláshatárt [6]. σ f f f d f a f s ε 3.5 ábra S35 acélanag ellegetes fesültségalakváltoás görbée A legmagasabb értékű felső foláshatár elent a rugalmas tartomán végét, foltatva a húást eután hrtelen lecsökken a fesültség, e a alsó foláshatár. Növelve tovább a alakváltoást kalakul eg állandó fesültségsnt, am függ a alakváltoás növelésének a sebességétől, e elent a dnamkus foláshatárt. Amennben a alakváltoás sebessége érusra csökken, a fesültségsnt megállapodk a statkus foláshatáron. Jellegetesen statkus teherre méreteett serkeetek esetén e a statkus foláshatár a legfontosabb, íg et tekntük a statstka mennségek alapadataként. Tovább eltérések oka a kísérlet darab típusa. Lehet általánosan a hengerelt acél mnőségét vsgáln lemeekből vett mntával, ám ekkor sem mndeg a vsgált leme vastagsága. Ha meghatároott proflokat seretnénk vsgáln, célserűbb, ha eekből vessük a mntát, de tt s elentős eltérés adódhat a különböő helekről vett anagok köött. Példaképpen a 3.6 ábrán bemutatom saát sakítóvsgálatam egk eredménét, tt eg HEA melegen hengerelt sevén övéből és gerncéből vett mntának allítottam elő a fesültség-alakváltoás dagramát. Jól látható, hog míg a öv anaga sépen vssaada a várt, 3.5 ábrán s látható serkeet acélra ellemő görbét reáls foláshatárral, addg a gernc anaga ettől telesen eltérő módon vselkedk. Nncs s meg tuladonképpen a folás tartomán, a rugalmas rés pedg óval magasabb fesültségértékg tart. A teles görbét vsgálva nlvánvaló, hog a gernc anaga a gártás során akkora alakváltoást senvedett, hog a képléken rés telesen eltünt, és a anag már a felkeménedő sakasba utott, íg megváltoott a anagmodell. E magaráható a gernc vastagságának ksebb értékével, mvel íg a gernc gorsan hűl le és meg össe, és még meleg állapotban a övek lassabb hűlése matt len elentős húás fesültségek keletkenek anagában.

76 3. Acél rúdserkeetek valósínűségelmélet modelleése 3.3 Knduló sámítások 68 Öv Gernc σ [N/mm ] ε 3.6 ábra HEA selvén övének és gerncének anagvsgálata Mndeeket fgelembevéve állítottam össe a foláshatár statstka adatara történt fontosabb méréseket össefoglaló 3.6 tábláatot. Bár saát mérésem sáma nem elegendő bármféle statstka sámításáho, de eredméne még íg s hasonlóak a több mérés statstka értékehe. 3.6 tábláat A foláshatár statstka adata mérések [db] köépérték [N/mm ] relatív sórás ferdeség mnta típusa 9857 [7] mndenféle 53 [7] IPE6 öv húott 53 [7] IPE6 nomott 33 [68] HEA öv húott 33 [68] HEA gernc húott 33 [68] HEA nomott 56 [73] gerendaselvén húott 5493 [67] acéllme húott 56 [67] IPE6- öv húott 6 [saát] HEA öv húott 6 [saát] HEA gernc húott 5 [saát] IPE4 öv húott 3 [saát] IPE gernc húott 3 [saát] HEA gernc húott

77 3. Acél rúdserkeetek valósínűségelmélet modelleése 3.3 Knduló sámítások 69 A JCSS a foláshatár relatív sórására δ f.7 értéket avasola, köépértékre pedg a alább formulával sámítottat: ( uδ f ) µ f αe C f sp (3.9) ahol f sp a adott sabván által defnált karakterstkus foláshatár (elen esetben 35 N/mm ), α a vsgált helet fgelembevevő téneő (α.5 gerncnél, és α. övnél), u Gauss-eloslás sernt normalált váltoó, amel a megfelelő kvantls eléréséhe kell, értékét.5. köött avasola felvenn, C pedg a statkus foláshatárho tartoó csökkentő téneő (~ N/ mm ). Eeket behelettesítve a foláshatár köépértéke µ f köé adódk övek esetén és µ f köé gerncekre. Mvel aonban a gernc hatása a teherbírásvestésre óval ksebb mnt a öveké, valamnt a modelleés egserűsítése érdekében a kerestmetset mentén a foláshatárt állandónak tekntettem, valamnt a JCSS avaslata alapán a rúdhoss mentén s. Mndeeket fgelembevéve a munkám során a foláshatárt µ f 8 N/mm köépértékkel és δ f.7 relatív sórással vettem fgelembe. A Függelék F.-F. ábrá mutaták a khalásho és kfordulásho tartoó érékenség faktorokat. A sélső esetek tekntetében most fordított a helet mnt a rugalmasság modulusnál, a rugalmas tönkremenetelt tartmésetesen nem befolásola a foláshatár értéke, íg nagobb karcsúság esetén érus a érékenség faktor, a képléken teherbírásnál pedg δ f relatív sórás a elmélet érték. Ennek megfelelően tt s e két érték kötött moognak a grafkonok, aonban míg khalás esetén nncs léneges különbség a két selvénnél, kfordulásnál már elentős eltérés mutatkok a görbék alakában. A érékenség faktorok értéket tekntve látható, hog a övvastagság mellett eddg a legelentősebb véletlen váltoó a foláshatár, termésetesen főképp ksebb karcsúságú rudak esetén Tökéletlenségek Geometra tökéletlenségek A 3. tábláat sernt tehát a rúdtengel deáls egenestől való eltérése, lletve a kerestmetset sabvános alakától való eltérése képvselk vsgálatam során a geometra tökéletlenséget, eek értéke termésetesen deáls esetben érus. A két fata tökéletlenség sétválastása megnt önkénes módon történk, gaodva a numerkus modelleés folamatho (különválk a rúdelemek, és kerestmetsetek értelmeése), hsen a rúd többnre a kerestmetset súlpontán átmenő tengele eg valóában nem léteő, csupán a modelleés matt ktalált attrbútum. Íg lénegében a egés rúd, mnt eg adott formáú test deálstól való eltérését modelleük e két tökéletlenség össegeként. A rúdtengel köelítő alakát a súlpont nagtengel síkában általában a övek peremenek vonalával aonosíták [6], amelet aránlag können mérn lehet. A kstengel ránú tökéletlenséget a övek és a gernc csatlakoás vonalában lehet lemérn. Eáltal többféle dealált tengelalakot s fgelembe lehet venn [68]. Legáltalánosabb köelítés a khalás saátalakok (amelek megfelelő sámú és ránú

78 3. Acél rúdserkeetek valósínűségelmélet modelleése 3.3 Knduló sámítások 7 snushullámok) bonos kombnácóának fgelembevétele a kedet tengel alakának meghatároásakor. A vsgált típusú kétcsuklós rúd esetén a első saátalak mndg a kstengel körül félsnushullám (3.7 ábra). Tovább saátalakok a kstengel ránú snushullám, és a több hullámot tartalmaó alakok. A rúd vselkedése sempontából fontos serepe a nagtengel ránú tökéletlenségeknek van, hsen eek ndíták el a oldalránú elmodulásokat, amelek növekedése végül stabltásvestéshe veet. Eek a oldalránú elmodulások rendsernt óval meghaladák a kedet görbeség legnagobb ampltudóát (pl. a 3.7 ábrán f ), ebből követkek, hog a görbeség pontos alaka nem gakorol léneges f befolást a teherbírásra. Íg dolgoatomban a rúd nagtengel ránú kedet görbeségét a 3.7 ábrán látható félsnushullám alak sernt vettem sámításba, melnek a köépső pontho tartoó f ampltúdóa serepelt véletlen váltoóként. Ennek statstka paraméterere nncsen elegendő megbíható adat. A JCSS érus köépértékkel és.*l nagságú sórással avasola fgelembevenn (L rúdhoss). Ennek ellenére ndokolt a köépértéket érustól eltérően felvenn, ahog Stratng és Vos [7] mérése s gaolák. 3.7 ábra A rúdtengel alaka Emellett a potív lletve negatív ránú kedet görbeség aonos hatással van a teherbírásra, íg a érékenség faktorok sámításánál (mvel a teherbírásnak érus görbeségnél tetőpona van) érus értéket kapnánk. Eért, fgelembe véve Stratng és Vos [7] aánlásat, továbbá a ProflArbed [59] tolerancahatárat a nagtengel ránú görbeség ampltudóának köépértékére µ f.8*l, relatív sórására pedg δ f.5 értéket vettem fgelembe. Mvel numerkus vsgálatam alapán megállapítottam, hog a kstengel ránú görbeség (reáls értékek köött feltételeve) snte egáltalán nem befolásola a teherbírást, et elhanagoltam a sámítások során. A Függelék F.3-F.4 ábrá mutaták a rúd kedet görbeségének a khalásho és kfordulásho tartoó érékenség faktorat. Látható, hog tt már egértelműen a köépső karcsúságokho tartok a legnagobb érték, e (mad látn foguk) ga mnden típusú tökéletlenségre. Khalás esetén e a mamum kb. a λ 9 karcsúságnál van, tt a két kerestmetset köött lénegében nncs eltérés. Kfordulás esetén λ körnékén van a mamum, és ól látható, hog a IPE selvén érékenség faktora mndg kb. a kétser nagobbak a HEA kerestmetseténél, tehát kfordulásnál a keskenebb övű selvén teherbírása érékenebb a kedet görbeségre. Megállapítható továbbá, hog mndkét selvénnél (perse főleg a HEA esetén) khalás esetén óval elentősebb a kedet görbeség hatása, mnt kfordulásnál. A kerestmetset alak tökéletlenségevel általában nem foglalkonak főleg modelleés nehéségek matt, íg nncsenek s mérés adatok eekre a váltoókra. Mndaonáltal fontosnak láttam megvsgáln hatásukat, hsen a proflkatalógusok megemlítk, mnt

79 3. Acél rúdserkeetek valósínűségelmélet modelleése 3.3 Knduló sámítások 7 hengerlés pontatlanságból sármaó hbákat, és tolerancákat s megállapítanak értékükre. Eek alapán a 3.8 ábra sernt kerestmetset tökéletleségeket vsgáltam meg. A ProflArbed [59] sernt tolerancák a vsgált két selvénnél a A esetben k < mm, a B esetben e (b b )/ < 3.5 mm, és a C esetben f <.5 mm, eek a értékek adták a kndulás alapot a reáls tartománokon belül való vsgálatokho. A B C k k b b 3.8 ábra A kerestmetset alak tökéletlensége: A nem párhuamos övek, B gernc külpontossága, C gernc kardossága f A 3.3 pont sernt kerestmetset modell lehetőséget ad mndegk tökéletlenség vsgálatára, eek alapán megállapítottam, hog a A és a C típusú tökéletlenség a előőekben meghatároott tartománon belül hatása elentéktelen, eért elhanagolható. A B típusú tökéletlenség uganakkor résletesebb elemést kíván, mvel elentősebb befolással van a teherbírásra, aonban hatása (mnt mad látn foguk) nem különíthető el a kedet görbeség hatásától és íg nem keelhető a független váltoókból felírt lneárs modellen belül, eért vsgálatát eg később pontban (3.5.3) mutatom be, elen résben nem vesem fgelembe Anag tökéletlenségek Egetlen anag tökéletlenséget vsgáltam, a kerestmetset mentén megelenő saátfesültségeket. Eek hatását a teherbírásra, lletve eloslásukat a kerestmetset mentén a.4.4 pontban smertettem, ahol bemutattam a valósínűség sámításokban s alkalmaott modellt. A ehhe tartoó egetlen véletlen váltoó a övséleken megelenő fesültségérték vags a ( ) képletekben sereplő α, amel a folás fesültség függvénében ada meg et, hsen e telesen meghatároa a egés eloslást. Ennek valósínűség paraméterere nem áll rendelkeésre elégséges megbíható adat, és eek a adatok s nagrésben rég méréseken alapulnak, íg nem tartalmaák a esetleges felődéseket a gártás technológákban, amelek elentősen befolásolhaták a saátfesültségeket [74]. Stratng és Vos [7] munkáában átteknt a addg méréseket, és IPE selvénre eg nem túl konervatív köépértéket avasol, a bontalanságok matt aránlag nag relatív sórással. Munkámban a IPE4

80 3. Acél rúdserkeetek valósínűségelmélet modelleése 3.3 Knduló sámítások 7 kerestmetsetnél eeket a valósínűség ellemőket alkalmatam, tehát a saátfesültség folás fesültséghe vsonított α paraméterére µ αipe. köépértéket és δ α.5 relatív sórást vettem fgelembe. HEA selvén esetén a sakrodalom a sélesebb övek matt magasabb saátfesültséget avasol [8], eért a ECCS [9] aánlását követve tt µ αhea.3 köépértékkel és δ α.5 relatív sórással vettem sámításba. A Függelék F.5-F.6 ábrá mutaták a saátfesültség paraméterének a khalásho és kfordulásho tartoó érékenség faktorat. A görbék ellegükben gen hasonlóak a kedet görbeség eredménehe, khalás esetén a mamum tt s kb. a λ 9 karcsúságnál van, kfordulás esetén pedg a λ karcsúság körnékén. A khalásnál nagából megegek a két selvén vselkedése, kfordulásnál vannak elentősebb eltérések. A érékenség faktorok értékkéslete nagából aonos, íg megállapítható, hog mndkét stabltásvestésnél csak a mamum körnékén elentősebb a saátfesültségek hatása A tsta teherbírásvestés esetek össefoglalása A 3.8 tábláat össefoglala a kndulás sámításoknál fgelembe vett véletlen váltoók fentekben megállapított valósínűség paraméteret. 3.8 tábláat Véletlen váltoók valósínűség paramétere váltoó köépérték IPE4 HEA relatív sórás h selvénmagasság 4 mm 9 mm.5 b övsélesség mm mm. t w gerncvastagság 6. mm 6.5 mm.5 t f övvastagság 9.8 mm mm.5 E rugalmasság modulus 5 N/mm.4 f foláshatár 8 N/mm.7 e kedet görbeség.8*l.5 α saátfesültség paraméter..3.5 A sámítások során tehát nég geometra, két anag váltoó és két tökéletlenség véletlenserűségét vettem fgelembe. A knduló sámításokban a váltoókat függetlennek tekntem, továbbá több váltoó egüttes megváltoásának hatását s elhanagolom a teherbírásvsgálat során. A váltoó legfontosabb valósínűség értéke a bontalanságukat kfeeő relatív sórásuk. Een egserűsítéseket sem előtt tartva a két selvén khalás és kfordulás teherbírásának relatív sórása ksámítható a véletlen váltoók érékenség faktoraból a 3.7 képlet sernt. A 3.9 ábra mutata be a teherbírások relatív sórását a érékenség faktorokho hasonlóan a karcsúság függvénében (N khalás teherbírás, M kfordulás teherbírás).

81 3. Acél rúdserkeetek valósínűségelmélet modelleése 3.3 Knduló sámítások 73 N_IPE4 N_HEA M_IPE4 M_HEA δ g ábra A teherbírás relatív sórása A teherbírás relatív sórása gen látvános képet ad a eges tönkremenetel módok valósínűség vselkedéséről. Értékét teknve a relatív sórások kb. 7-% köött váltonak a vsgált esetekben. Rögtön sembetűnk, hog a kfordulásnak a köepes és nag karcsúságoknál lénegesen nagobb a relatív sórása (még a 3%-os különbséget s elér), mnt a khalásnak, valamnt tt a legnagobb a különbség a két selvén köött. E lénegében annak kösönhető, hog a övvastagság bontalansága óval nagobb mértékben befolásolák a kfordulást nagobb karcsúságoknál, főként a sélesebb övű selvéneknél. Ebből adódóan a kfordulás teherbírás bontalansága nagobb karcsúságnál megnőnek, míg a khalás teherbírásé nkább csökkennek, tt a kerestmetset képléken teherbírásának sóródása a legnagobb. Hasnos eredmén még a eges váltoók elentőségének megállapítása. Ennek sámítására többféle mód lehetséges, elen esetben at fogom vsgáln, hog a adott váltoó mennre befolásola a teherbírás sórásnégetét. Et gen egserű kfeen, hsen a 3.7 képlet sernt a teherbírás relatív sórásnégete nem más, mnt a véletlen váltoókho tartoó érékenség faktorok négetössege. λ

82 3. Acél rúdserkeetek valósínűségelmélet modelleése 3.3 Knduló sámítások tábláat A váltoók elentőségének sáalékos mérősáma N IPE4 λ h b t w t f E f e α N HEA λ h b t w t f E f e α M IPE4 λ h b t w t f E f e α M HEA λ h b t w t f E f e α Eek után a sáalékosan ksámítható, hog a -edk váltoó mennre befolásola a teherbírás sórásnégetét, a alább képlet sernt: [%] m Φ Φ (3.3)

83 3. Acél rúdserkeetek valósínűségelmélet modelleése 3.3 Knduló sámítások 75 E a mérősám termésetesen különböő a két selvénnél, és a két stabltásvestés módnál, valamnt a karcsúságtól s függ (akárcsak a érékenség faktorok). A 3.9 tábláat össefoglala eeket a sáalékos elentőség-mérősámokat. A tábláatban a obb átteknthetőség kedvéért vastagon sedve és bekereteve vannak aok a értékek, amelek meghaladák a 5%-ot, továbbá mnden karcsúságnál a legelentősebb érték sürke háttérrel elenk meg. Íg rögtön látsk, hog a két legelentősebb váltoó a övvastagság, és a foláshatár, eek egütt khalásnál ktesk a sórásnéget mnmum 5%-át, kfordulásnál pedg mnmum a 74%-át. Tuladonképpen csak e a két ellemő felelős a 6-nál ksebb karcsúságok esetén a teherbírás bontalanságaért. A selvénmagasság elhanagolása lénegében nem oko hbát, a gerncvastagság s csak a IPE selvénnél ér el a 5%-os határt. Legobban a khalásnál és köepes karcsúságoknál oslk meg a váltoók hatása, tt a előbb említett két váltoón kívül mndegknek elentős befolása van a teherbírásra. Tovább érdekesség, hog a khalás esetén óval nagobb a kedet görbeség hatása, mnt kfordulásnál, továbbá a rugalmasság modulus s elentősebb. A tökéletlenségeket tekntve, a IPE selvén esetén elentősebb a kedet görbeség, míg a HEA kerestmetsetű rúd a saátfesültségekre érékenebb.

84 3. Acél rúdserkeetek valósínűségelmélet modelleése 3.4 Váltoók köött korrelácó hatása Váltoók köött korrelácó hatása A eddg tárgalt módserek és eredmének egk alapvető feltételeése a volt, hog a valósínűség váltoók függetlenek. Bár e gen sok esetben elfogadott köelítés [pl.: 33, 35, 7], acélserkeetek teherbírás-vsgálatánál még csak megalapoatlan setések utaltak a váltoók köött statstka össefüggés lehetséges hatására [7]. Ennek legfőbb oka termésetesen most s mnt mnden pontosabb valósínűségelmélet vsgálatnál a véletlen váltoók valósínűség leírására rendelkeésre álló adatsornak a hánossága. Ann mndenesetre valósínűsíthető, hog elentősebb korrelácó csak a aonos kategórán (geometra, anag, tökéletlenség) belül váltoók esetén állhat fenn, hsen a gártás során eek kalakulását befolásolák hasonló téneők. Eek alapán elen feeet sem pontos eredmént ad a korrelácó hatásáról, hanem a eddg tárgalt valósínűség modellen belül megada a knduló paraméterek köött korrelácó fgelembevételének módserét, és et alkalmava megmutata a korrelácó lehetséges előfordulása hatásának elentőségét a teherbírás valósínűségelmélet leírásában Valósínűség modell A váltoók köött korrelácó eleméséhe megtartuk a (3.6) sernt lnearált össefüggést, ám a ebből sámított a teherbírás statstkára kapott (3.-3.5) képletek megváltonak, hsen eeknél feltételeés volt a váltoók függetlensége. Pontosabban a várható érték nem váltok, ám a több statstkát megváltotata a korrelácó. A sórásnéget a alábbak sernt alakul (D() a sórás általános ele, E() a várható érték általános elölése): σ R D E E T ( R( X) ) D ( R( X ) a ( X X )) E( R( X) E( R( X) )) T T T ( R( X ) a ( X X ) R( X )) E( a ( X X ) a ( X X )) m m T ( ) a ak ( )( k k ) a C a m a k k (3.3) A leveetés végén tehát megelentek a veges tagok, melek a eges váltoók köött korrelácót elentk, am a függetlenség matt a eddgek során érus volt. A végeredménben a C a váltoók köött kovaranca kétdmenós mátra (csak két váltoó össefüggését vsgáluk), amel főátlóában megelennek a eges váltoók sórásnégete. A gakorlat sámítás során most s a relatív sórást sámítuk a megfelelő érékenség faktorok segítségével. Mvel a váltoók köött kovaranca a sórásnégettel ellentétben negatív s lehet, eért a korrelácós érékenség faktor a teherbírás relatív sórásnégetéhe kapcsolódk, és a alább formát ölt:

85 3. Acél rúdserkeetek valósínűségelmélet modelleése 3.4 Váltoók köött korrelácó hatása 77 (3.3) ahol felhasnáltuk a két váltoó covarancáa (C k ) és korrelácóa (ρ k ) köött fennálló smert össefüggést: (3.33) Eek alapán a váltoópárok köött korrelácót s fgelembe vevő lnearált teherbírásmodell (3.7) sernt relatív sórásnégete a alább formára váltok: (3.34) ahol tehát a korrelácós érékenség faktorok negatív értéket s felvehetnek, am csökkent a teherbírás sórását. Fontos megegen, hog két adott váltoóra sámított korrelácós érékenség faktor kétseres értékkel serepel a relatív sórásnéget (3.34) sernt kfeeésben, és k felcserélhetősége matt (a kovaranca és a korrelácós mátr s smmetrkus). A teherbírás eloslásának ferdeségére vonatkoó (3.8) össefüggés pedg a alábbak sernt alakul: (3.35) ahol a utolsó két tag sármak a váltoók köött korrelácóból. Itt C k, és C kl,, többváltoós statstkában elöl a veges magasabbrendű centráls momentumokat. Mvel eek értékere nncsen semmféle statstka adat, a korrelácó ferdeségre gakorolt hatásával a továbbakban nem foglalkoom, a eredmének íg csupán a relatív sórás megváltoását tartalmaák. k k k k R k k R R k k corr k a a C a a ρ ρ δ µ µ δ µ µ µ Φ Φ Φ k k k C σ σ ρ Φ Φ m m k k corr k m g δ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) < < < < m m k k m l k l kl l k m m k k k k m R m m k k m l k l l l k k l k m m m k k k k k R T T T R R R C a a a C a a a X X X X X X a a a X X X X a a X X a E E R E R E 3,,, σ α σ σ σ σ α X X a X X a X X a X X

86 3. Acél rúdserkeetek valósínűségelmélet modelleése 3.4 Váltoók köött korrelácó hatása A vsgálatok eredméne A vsgálatokho nncs sükség úabb sámításokra, csupán a korrelácós mátrot kellene smern, és a meglévő érékenség faktorok alapán a korrelácós érékenség faktorok és a relatív sórás megváltoott értéke sámítható. Mnt a beveetőben már utaltam rá, legtöbb váltoó esetén nncs elegendő koherens adatsor korrelácó sámításáho, a egetlen, kellő sámú mntán alapuló statstkát IPE selvének geometra méretere találtam a rodalomban [66], ebből sámítható a korrelács mátr, amel a követkeő értékeket tartalmaa: ρ geo h b t w t f.989 h.68 b.45 tw t f (3.36) Bár eek a értékek sem teknthetők mnden I selvéntípusra általános érvénűnek, a követkeő valósínű össefüggéseket lehet levonn: a selvénmagasság nncs statstka össefüggésben egk geometra mérettel sem, enhe negatív korrelácó áll fenn a övsélesség és a lemevastagságok köött (mnél sélesebb a öv, annál vékonabbak a lemeek), enhe potív korrelácó áll fenn a gerncvastagság és a övvastagság köött. A teherbírás sórását tehát a övsélesség és lemevastagságok köött korrelácó csökkent, míg a gerncvastagság és a övvastagság köött korrelácó növel. A anag váltoókat tekntve a JCSS [69] aánlása sernt nncsen korrelácó a foláshatár és a rugalmasság modulus köött és a rodalomkutatás során máshol sem találtam erre vonatkoó utalásokat, mndaonáltal meg fogom vsgáln a negatív és potív korrelácó hatását. A tökéletlenségek esetén s hasonló a helet, bár Stratng és Vos [7] munkáában utalt pustán feltételeés sntén a kedet görbeség és a saátfesültségek nagsága köött statstka össefüggésre, et s mnd negatív és potív értékkel megvsgálom. A vsgálatoknál a geometra váltoók esetén a (3.36) sernt korrelácós értékekkel fogok sámoln, míg a anag váltoóknál és tökéletlenségeknél a /-.3 feltételeett korrelácó hatását vsgálom meg. Most s érdemes a előő feeetben s hasnált k mérősámot ksámítan, am at vsgála, mennre befolásola a adott váltoók korrelácóa (sáalékosan) a teherbírás relatív sórásnégetét. Et a mérősámot elen esetben tehát a alább össefüggés sernt lehet sámítan:

87 3. Acél rúdserkeetek valósínűségelmélet modelleése 3.4 Váltoók köött korrelácó hatása 79 corr k [%] m Φ corr k m m Φ k k Φ corr k m Φ Φ ρ m m Φ k k k k Φ Φ k ρ k (3.37) 3. tábláat A váltoók köött korrelácó elentőségének sáalékos mérősáma N IPE4 λ b-t f b-t w t w -t f E-f (-) E-f () e -α (-) e -α () N HEA λ b-t f b-t w t w -t f E-f (-) E-f () e -α (-) e -α () M IPE4 λ b-t f b-t w t w -t f E-f (-) E-f () e -α (-) e -α () M HEA λ b-t f b-t w t w -t f E-f (-) E-f () e -α (-) e -α ()

88 3. Acél rúdserkeetek valósínűségelmélet modelleése 3.4 Váltoók köött korrelácó hatása 8 E a mérősám tehát negatív értéket s adhat, amennben a eges érékenség faktorok előele különbök és potív a korrelácó, lletve aonos előelű érékenség faktorok és negatív korrelácó esetén. Jelen vsgálatoknál csak a másodk eset fordulhat elő, íg negatív korrelácó esetén les a mérősám s negatív, aa csökken a teherbírás sórása. A 3. tábláat a 3.3 feeet össefoglalóáho hasonlóan mutata a eges váltoópárok korrelácóáho tartoó sáalékos elentőség mérősámot a két selvénés két teheresetnél. A tábláatban smét kemeltem a 5%-nál nagobb értékeket, eek alapán megállapítható, hog a sámításba vett korrelácós értékek mellett a övsélesség és övvastagság köött korrelácónak gen nag (ótékon) hatása van a teherbírás sórására, főleg köép és nag karcsúságnál, ahol khalás probléma esetén %-kal s csökkenthet a teherbírás sórásnégetét. A másk két geometra korrelácónak nncs elentős hatása, míg a foláshatár és a rugalmasság modulus köött feltételeett /-.3 értékű korrelácó köepes karcsúságoknál léneges. Mvel a anag váltoók köött korrelácó nkább potív értékűnek feltételehető, eért valósínűbb a köepes karcsúságoknál a teherbírás sórásának enhe növekedése. A tökéletlenségek statstka össefüggése sntén köepes karcsúságok és khalás esetén a legnagobb hatású, ám tt s alg halada meg a 5%-ot. Megállapítható továbbá, hog általában a váltoók köött korrelácóra a khalás teherbírás óval érékenebb, mnt a kfordulás. A továbbakban, tekntettel a megfelelő statstka adatok hánára valamnt a ksebb elentőségre, a anag váltoók és a tökéletlenségek köött korrelácót nem vesem fgelembe, míg a geometra váltoók köött korrelácó hatásával korrgálom a teherbírás relatív sórásának értéket. Et a váltoást semléltetk a ábrák. IPE4 HEA korrelácó fgelembevétele nélkül δg korrelácó fgelembevételével ábra A khalás teherbírás relatív sórása a karcsúság függvénében a geometra váltoók köött korrelácó fgelembevételével és anélkül λ

89 3. Acél rúdserkeetek valósínűségelmélet modelleése 3.4 Váltoók köött korrelácó hatása 8 IPE4 HEA..95 korrelácó fgelembevétele nélkül δg korrelácó fgelembevételével ábra A kfordulás teherbírás relatív sórása a karcsúság függvénében a geometra váltoók köött korrelácó fgelembevételével és anélkül A ábrákból ól látható, hog a fgelembe vett korrelácó mnden esetben elentős mértékben csökkent a teherbírásho tartoó relatív sórást. A legnagobb váltoást a rugalmas stabltásvestés formáho tartoó nagobb karcsúságok felé lehet megfgeln, a korrelácó elhanagolása tehát ebben a sakasban növel legnkább a btonságot. λ

90 3. Acél rúdserkeetek valósínűségelmélet modelleése 3.5 A váltoók egmásra hatásának vsgálata A váltoók egmásra hatásának vsgálata A (3.6) össefüggésen alapuló lnearált modell, és a ebből sármatatott (3.-3.5) képletekkel leírt valósínűség ellemők a vsgált elemek serkeet vselkedésének csupán at a tuladonságát vesk fgelembe, hog a teherbírás külön-külön a eges véletlen váltoók reáls határokon belül függvéneként lneársan váltok. E a modell nem ad semmféle felvlágosítást arra néve, hogan váltok a teherbírás több véletlen váltoó egüttes megváltoásának hatására. Jelen feeetben et a hatást vsgálom meg, bemutatva befolását a teherbírás valósínűség paraméterere, lletve a elhanagolásából sármaó hbát Valósínűség modell A váolt probléma vsgálata megkívána, hog a teherbírás felület köelítésére alkalmaott függvénben megelenenek a veges magasabb rendű tagok. Íg a teherbírás eges váltoók sernt derválta a köépértékek által meghatároott pontban továbbra s konstans marad (hsen nncs tsta magasabbrendű tag), de megelennek a veges magasabbrendű derváltak, amelek váltoók egüttes hatását elképek. Csak másodrendű tagokat vsgálva (ennél magasabbrendű tagok vsgálata már gen megnövelné a sámítás géneket) ekkor a teherbírás felület a alább alakban írható fel: R T T ( X) R( X ) a ( X X ) ( X X ) B( X ) X (3.38) ahol B m m es mátr (m a véletlen váltoók sáma) a másodrendű tagok egütthatómátra, melnek főátlóában érus elemek vannak, íg csak a veges tagok maradnak meg. E a mátr tuladonképpen a teherbírás függvén Hesse-mátrának.5-söröse a köépértékek által meghatároott pontban, a főátló elemek nélkül, aa: B k ( X) R X X k X X (3.39) (Aért a.5-söröse, mert a teherbírásfüggvén Talor sorában a másodrendű tagnál megelenk a ½ soró, amt a (3.38) össefüggésnél a egserűség kedvéért belevontam a B mátrba.) A íg pontosított (3.38) sernt modellből úra ksámíthatók a (3.-3.5) össefüggésekhe hasonlóan a teherbírás fontosabb valósínűség ellemő a véletlen váltoók megfelelő statstká függvénében. A köépérték továbbra s a váltoók köépértékevel sámított teherbírás, íg a (3.) képlet nem váltok meg. A sórásnégetet és a ferdeséget aonban befolásola a teherbírás ú alaka, eekre a követkeő össefüggések adódnak [63]:

91 3. Acél rúdserkeetek valósínűségelmélet modelleése 3.5 A váltoók egmásra hatásának vsgálata 83 sórásnéget: m m m (3.4) σ a σ B σ σ R 4 k k k m m m 3 3 ferdeség: α R a σ α a ak B kσ σ 3 k (3.4) σ R k A gakorlat sámításban a lnearált modellhe hasonlóan (3.6 képlet) tt s meghatároható a váltoók nterakcóa fontosságának heles megítélése érdekében eg veges másodrendű (vag nterakcós) érékenség faktor a alább alakban (a sokásos elölésekkel): Φ nt k R( X) X X k X X X X k δ δ k B R( X ) k µ µ µ g k δ δ k (3.4) Íg megnt eg olan dmenótlan mérősámot kapunk, amel megmutata, hog adott váltoó hatására a teherbírás relatív értékének megváltoása mennre módosul, amennben a másk vsgált váltoó nem köépértékkel serepel a sámításokban. Eel a nterakcós érékenség faktorral (valamnt a 3.6 sernt lneárs érékenség faktorral) felírható a relatív sórás és a ferdeség pontosított értéke: m m a σ 4 B kσ σ k m m m σ R k nt relatív sórás: δ R Φ Φ k (3.43) µ µ R R m k m m m 3 nt ferdeség: α R Φ α 6 Φ Φ Φ 3 k k (3.44) δ R k A bemutatott mennségek sámítása a lneárs érékenség faktorok meghatároásáho hasonló módon, különböő paraméterek esetén sámított teherbírásokból numerkus módon történt. Íg elen modellnél a teherbírás eg hper-neregfelületként képelhető el a véletlen váltoók m dmenós terében, amelből a koordnátatengeleket tartalmaó síkok egeneseket metsenek k (e elent at, hog a eges váltoók lneárs függvéne), uganakkor a több metsete nem feltétlen egenes, hanem a veges másodrendű tagok matt hperbola alakú, mel görbeségének nagsága utal a eges váltoók nterakcóának fontosságára (3. ábra). A ábrán a teherbírás felület eg háromdmenós metsete látható két véletlen váltoó függvéneként, érékeltetve a felület nereg ellegét.

92 3. Acél rúdserkeetek valósínűségelmélet modelleése 3.5 A váltoók egmásra hatásának vsgálata 84 R(X) R R R(X ) R 4 µ - σ µ k - σ k µ σ µ µ k X R 3 µ k σ k X k 3. ábra A (3.46) sernt teherbírás felület háromdmenós metsete Adott két véletlen váltoó esetén a B egütthatómátr elemet (a veges derváltakat a köépérték pontban) a 3. ábra sernt nég a váltoók köépértékétől negatív és potív ránban kétseres sórással eltérő heleken sámolt teherbírás függvénértékből sámoltam a alább képlet sernt: B k R X X ( X) ( R R ) ( R R ) 4 3 k X X 4σ 4σ k (3.45) A képletből követkek termésetesen, hog a B mátr smmetrkus, íg elegendő csak a átló felett rést vsgáln. Eekután a (3.4) sernt nterakcós érékenség faktor előállítható a numerkus eredménekből: Φ nt k ( R R ) ( R4 R3 ) 6R( ) X (3.46)

93 3. Acél rúdserkeetek valósínűségelmélet modelleése 3.5 A váltoók egmásra hatásának vsgálata 85 mad a ( ) mennségek már können sámíthatók, és össevetve a lneárs modellhe tartoó értékekkel megállapítható a paraméterek egüttes hatásának elentősége A sámítások eredméne A első feladat annak meghatároása, mel váltoók esetén végeük el a sámításokat, amelek előreláthatólag elentősebb hatással lesnek a teherbírás valósínűségelmélet leírására. Termésetesen a váltoók egüttes hatására nem nagon lehet előre követketetn, de a (3.4) képletből ól látható, hog aoknál a paramétereknél, amelek váltoásának hatása eleve kcs a teherbírásra, a nterakcós érékenség faktor sem lehet túl nag, hsen tartalmaa a két váltoó varácós téneőt. Más savakkal eg ks hatásnak relatív nag megváltoása sem les elentős, íg eek vsgálatát elhanagoltam. Eek alapán a alább mátr semléltet mel paraméterpárokat vsgáltam (!), és meleket nem (X): h B b X t f X! t w X X X E X!! X f X X! X! e X X! X!! α X X! X!!! h b t t E f e f w α (3.47) A selvénmagasságot (h) és a gerncvastagságot (t w ) tehát elhanagolható hatásuk matt egáltalán nem vsgáltam, míg a övsélességet (b) csak a nagobb karcsúságoknál elentősebb váltoókkal (övvastagság (t f ) és rugalmasság modulus (E)). A eredmének a eges váltoók érékenség faktoraho hasonlóan a karcsúság függvénében értelmehetőek a két selvénhe lletve teheresethe. A vsgált paraméterpárok (3.46) alapán sámított nterakcós érékenség faktorokaból a F.-F.6 ábráho hasonló görbék állíthatók elő, eek nag sáma (össesen 48) matt eeket külön-külön nem mutatom be, hasnosabb elősör a (3.45) össefüggéshe hasonló alakban megvsgáln a váltoók egüttes váltoásának teherbírásra gakorolt hatásának elentőségét. E a mérősám tehát at vsgála, mennre befolásola a adott hatás (sáalékosan) a teherbírás relatív sórásnégetét. A váltoók nterakcóának vsgálatakor et a mérősámot a alább képlet határoa meg:

94 3. Acél rúdserkeetek valósínűségelmélet modelleése 3.5 A váltoók egmásra hatásának vsgálata 86 nt k [%] m Φ nt k m m Φ k Φ nt k (3.48) A mérősámok alapán megállapítható, hog egk vsgált paraméterpár egüttes váltoásának hatása sem elentős a teherbírás megváltoásának sempontából, hsen mnden esetben a %-os határ alatt maradnak. A legnagobb mérősámot a övvastagság-foláshatár esetén kfordulásnál kaptam, de e s csak. 98%. Eekután megvsgáltam még a össes paraméterpár egüttes hatását, vags a össes veges másodrendű tag fgelembevételének elentőségét, amelnek sáalékos mérősáma a (3.48) sernt k k össegéséből adódk. IPE4 selvén esetén et a mérősámot mutata a 3.3 ábra. Khalás Kfordulás.6.4. Σ k λ 3.3 ábra A össes vsgált paraméterpár egüttes váltoása fgelembevételének sáalékos hatása a teherbírás relatív sórására A ábrából ól látható, hog a paraméterek egüttes váltoása hatásának teles elhanagolásával gakorlatlag nem okounk hbát a sámított modellek esetén a teherbírás valósínűségelmélet vsgálatában (a sórásnégetben elentkeő legnagobb eltérés sem ér el a.5%-ot). Mndeek alapán kmondhatuk, hog a eges valósínűség paraméterek teherbírásra gakorolt hatása mellett eek egüttes váltoásának hatása elhanagolható, íg a tovább vsgálatokban nem s vesem fgelembe, aa a teherbírás felületet továbbra s a (3.6) sernt hpersíkkal modelleem.

95 3. Acél rúdserkeetek valósínűségelmélet modelleése 3.5 A váltoók egmásra hatásának vsgálata A kedet görbeség és a gernc külpontosságának egüttes vsgálata Mnt arra a pontban utaltam e két tökéletlenség nem keelhető külön-külön, csak abban a esetben, ha a egket érus értékkel vesem fgelembe, íg e a feeet a két véletlen paraméter egséges keelésének módát mutata be. E főként aért sükséges, mert nem mndeg, hog a kétfata tökéletlenség egmásho képest mlen előelű, aa arra görbül-e a rúd, amerre a gernce külpontos vag ellentétes ránba. Ettől függően ugans a teherbírásra gakorolt hatás mértéke lletve a előele s megváltohat, amt megfelelően fgelembe kell venn a valósínűség elemésnél. A probléma semléltetésére tekntsük a 3.4 ábrát, amel λ 9 karcsúságnál ábráola a két selvén khalás teherbírását a gerncleme e külpontosságának a függvénében, különböő f ampltúdóú kedet görbeség esetén. f mm f mm IPE4 HEA f mm f mm 9 N u [kn] f mm 8 7 f mm e [mm] 3.4 ábra A kedet görbeség és a gernc külpontosságának egüttes hatása a khalás teherbírásra A ábra alapán, valamnt több numerkus vsgálat elvégése után a alább megfgeléseket tettem: a teherbírás a gernc külpontossága vag a kedet görbeség függvénében ellegetes sátor formáú, smmetrkus görbe adott ampltúdóú kedet görbeségek esetén a gernc külpontosságának függvénében egbevágó, adott távolsággal vísntesen eltolt görbéket kapunk, valamnt ga e megfordítva s, vags a két váltoó függvénében a

96 3. Acél rúdserkeetek valósínűségelmélet modelleése 3.5 A váltoók egmásra hatásának vsgálata 88 teherbírást eg sátor alakú görbe meghatároott veérgörbe mentén való vísntes (a két váltoó síkával párhuamos) eltolásával létreött felület határoa meg (3.5 ábra) e a veérgörbe váltoók vsgált tartománán belül eg orgón átmenő egenes. N u sátor-görbe e f veéregenes 3.5 ábra A teherbírás felület alaka a gernc külpontossága (e ) és a kedet görbeség (f ) függvénében Eek után a sámítások menete a követkeő volt: elősör kerestem eg a teherbírás felületet a vsgált tartománban pontosan leíró analtkus függvénformát, ennek paraméteret a numerkus sámítások eredménet felhasnálva sámítottam, mad a íg matematka formában s leírt teherbírásfüggvén, valamnt a két véletlen váltoó valósínűség paramétere alapán meghatárotam a teherbírás köépértékét, sórását és ferdeségét, amel már tartalmaa a két váltoó fentekben váolt egmásra való befolásának hatását. A teherbírás függvén alakának meghatároásakor a feladat hasonlósága matt a rugalmas stabltáselméletből smert, tökéletlenség-érékenségre leveetett képletek egkét vettem alapul. E a formula eg kedet ferdeséggel terhelt, végtelen merev anagból késült, nomott rúd teherbírását íra le a kedet ferdeség nagságának függvénében. A rúd alsó támasa csuklós, felső csomópontáho pedg eg ferde rugó csatlakok (3.6 ábra). A leveetés mellőésével a fent modell tökéletlenség okota teherbírás-csökkenése a alább formulával írható le [75]: P a b ϕ cϕ (3.49) ma

97 3. Acél rúdserkeetek valósínűségelmélet modelleése 3.5 A váltoók egmásra hatásának vsgálata 89 ahol P ma a modell teherbírása (a mamáls nomóerő), ϕ a kedet ferdeség söge, a,b és c pedg a geometrától és a rugómerevségtől függő függvénparaméterek. A (3.49) képlet termésetesen csak nem-negatív kedet ferdeség esetén van értelmeve, ϕ P 3.6 ábra A tökéletlenség érékenség formula rugalmas mntamodelle uganakkor a kétfata tökéletlenség vsgálata éppen a egmásho vsonított előel matt sükséges, íg a kedet görbeség és a gernc külpontossága lehet negatív s. Mndeeket fgelembevéve a teherbírásra a alább össefüggést alkalmatam: R ( e a be cf d be cf (3.5), f ) ahol a, b, c és d a függvén meghatároandó paramétere, eeket megfelelő sámú numerkus sámítás eredménéből határotam meg. Példaképpen a IPE selvénű λ 9 karcsúságho tartoó rúd numerkus sámításokkal meghatároott khalás teherbírását és a erre llestett köelítő függvén két függőleges koordnátasíkkal (N u - e, N u -f ) való metsetét mutatom be a 3.7 ábrán. Látható, hog a köelítő függvén gen ól egek a numerkus sámítások eredménevel a vsgált tartománban. Ha már megvan a determnstkus vselkedést leíró modell, akkor lehet a két vsgált véletlen váltoó valósínűség paramétere alapán sámítan a teherbírás megfelelő valósínűség értéket, lletve a már meghatároott paraméterek korrgálását. A teherbírás relatív sórása sámításának eddg megsokott móda e esetben nem tartható, mvel a teherbírás a két váltoó függvénében már nem teknthető lneársnak, sőt törése van. Több nem lneárs függvénalakra létenek képletek a függvénérték valósínűség paraméterenek analtkus leírására [8], aonban a (3.5) alak specáls formáa matt nem volt lehetséges még a sórásnéget leveetése sem, eért a Monte Carlo módsert alkalmatam, melnek lépése a alábbak voltak:

98 3. Acél rúdserkeetek valósínűségelmélet modelleése 3.5 A váltoók egmásra hatásának vsgálata 9 IPE4 köelítő függvén N u [kn] e [mm] és f [mm] 3.7 ábra A alkalmaott köelítő függvén metsete. a kedet görbeség és gernc külpontosság valósínűség eloslásának meghatároása,. a kedet görbeség (f ) és gernc külpontosság (e ) értékének generálása a. lépésben meghatároott eloslás sernt [76], 3. a (3.5) képlet kértékelése, a kapott aktuáls teherbírás érték mentése (R ), 4. a. és 3. lépés smétlése kellően nag sámban (n) 5. a kapott n sámú eredménből a teherbírás valósínűség paraméterenek (köépérték, sórás, relatív sórás, ferdeség) meghatároása. Sámításam során n volt a futások sáma, am elegendő a teherbírás első három momentumának meghatároására. A korább vsgálatokho képest még a a léneges különbség, hog a Monte Carlo módserhe sükség van a véletlen váltoó teles valósínűség eloslására, nem elég a eloslás momentumanak smerete. Erre nem találtam megbíható statstka adatsort, egedül [7] ckkben fordul elő elfogadható sámú mérésen alapuló sűrűség-hstogram a kedet görbeség ampltúdóára, valamnt a gernc külpontosságára (a ckkben a nomóerő külpontosságaként serepel). A pontos eloslás smeretének a hána mégsem oko léneges problémát, hsen végeredménként nem a teherbírás valósínűség eloslására vagunk kíváncsak, csupán a eloslás első három momentumára, a teles eloslás, csak a sámítás esköként hasnált Monte Carlo módserhe sükséges. A feladat tehát a továbbakban eg olan kétdmenós eloslás keresése, amel megfelelően keel a két véletlen váltoó a alfeeet eleén már smertetett ellegéből fakadó előelproblémát. Rögtön le kell sögen, hog heltelen a a

99 3. Acél rúdserkeetek valósínűségelmélet modelleése 3.5 A váltoók egmásra hatásának vsgálata 9 rodalomban gakran alkalmaott megköelítés, amel mndkét váltoót adott, nem érus érték körül sóródó tökéletlenségként keel, egértelműen teherbírás-csökkentő elleggel felruháva (vags a véletlen váltoó növekedésével a teherbírás mndg csökken). E a modelleés annak a eredméne, hog a mérések során termésetesen nem fgeltek a kétfata alakhba egmásho vsonított előelére, vags tuladonképpen a tapastalat hstogramokat a váltoó absolút értéke alapán állították össe. Íg termésetesen a mérés eredmének eg potív köépérték körül sóródtak. A ebből fakadó hba ól látható a 3.4 ábrán s, hsen eg adott kedet görbeség esetén nem a érusértékű gernc külpontosságnál van a teherbírásnak mamuma, vags a gernc külpontosság absolút értékben való növekedése nem feltétlenül a teherbírás csökkenésével ár. Mndeeket fgelembe véve mégs érdemes semügre venn a [7] ckkben köölt sűrűség hstogramok alakát. A gernc külpontossága esetén elentős baloldal ferdeséggel rendelkeő Gamma eloslást llestettek a mérés eredménekre, hsen a sűrűség hstogram csúcsa a érus értékhe nagon köel esett. E, a előő meggondolások alapán ól magaráható aal, hog a gernc külpontossága valóában eg érus köépértékű normáls ellegű eloslást követ, íg a absolutértékek eloslása termésetesen eg fél-normáls, vags nag baloldal ferdeséggel rendelkeő eloslás. A kedet görbeség mérés eredménenél más a helet, a absolutértékek eloslása s eg potív köépértékű normáls eloslással köelíthető legobban, íg a valód eloslás e esetben b-normáls eloslással modellehető, mel sűrűségfüggvénének két, érus értékre smmetrkusan elhelekedő csúcsponta van. Eek alapán a két alakhba egüttes eloslását a 3.8 ábrán látható kétdmenós b-normáls eloslással modelletem, melnek valósínűség paramétere a követkeők voltak: µ e., σ e.5 mm; a kedet görbeség b-normáls eloslása haranggörbének paramétere pedg maradtak a pontban felvett értékek: µ f ±.8*L, relatív sórása δ f ábra A alkalmaott kétváltoós eloslás sűrűségfüggvéne A (3.5) köelítő függvén nég egütthatóának meghatároásáho nég numerkus teherbírás eredménre van sükség, eek sámítás helének megválastásakor fgelemmel voltam a két váltoó alkalmaott eloslására. Íg a sámításokat a több

100 3. Acél rúdserkeetek valósínűségelmélet modelleése 3.5 A váltoók egmásra hatásának vsgálata 9 váltoó köépértéke mellett a kedet görbeség és a gernc külpontosságának alább értékenél végetem el: (, ), (.8*L, ), (.9*L,.5), (.68*L, -.5), eek elhelekedése látható a 3.9 ábrán, ahol a két véletlen váltoó síkában a Monte Carlo sámítás során generált pontok s láthatók. e (.9*L,.5) (, ) (.8*L, ) (.68*L, -.5) f 3.9 ábra A Monte Carlo smulácó során generált pontok, valamnt a köelítő függvén sámításáho felvett nég pont helete a véletlen váltoók síkában A sámítások eredménet foglala össe a 3. tábláat. A két selvén és terhelés eset oslopa obbról a követkeő értékeket elöl: karcsúság (λ ), kedet görbeséghe tartoó érékenség faktor (Φ f ), elen sámításokkal meghatároott kedet görbeség és gernc külpontosság hatását tartalmaó érékenség faktor (Φ f e ), a teherbírás rég köépértéke (µ R(f) ), a teherbírás ú köépértéke (µ R(f e) ), a teherbírás rég relatív sórása (δ R(f) ), a teherbírás ú relatív sórása (δ R(f e) ), ferdeség (α R(f e) ). A tábláatból látható, hog a gernc külpontosságának fgelembevételéből sármaó hatások s a köepes karcsúságok esetén elentősebbek. Míg a teherbírások köépértéke csak ks mértékben váltoott, a érékenség faktorok gen elentős növekedése a relatív sórás sámottevő megváltoását okoa. E tehát at elent, hog a gernc (vag a teher) külpontosságának sámításba vétele a köepes karcsúságú elemek esetén nag mértékben megnövel a relatív sórást, ahog et a 3. és 3. ábra bemutata. E a növekedés termésetesen elentősebb a IPE selvén esetén, hsen ennek aonos mértékű gernckülpontossága a nagobb selvénmagasság és keskenebb övek matt nagobb befolással van a teherbírásra. A gernckülpontosság hatásának a fgelembe vételére a sabvános teherbírás meghatároásakor még vssatérek a 4. feeetben, ebben a pontban mndenesetre megmutattam a két hatás egüttes modelleésének módát, és a ebből fakadó követkeméneket.