. Htároztln és htározott integrál Tnulási cél: Megismerni htároztln és htározott integrál oglmát. Elsjátítni z lpintegrálokt, és z egyszerűbb integrálási tételeket, vlmint Newton-Leibniz-ormulát. Ezen ismereteket lklmzni területszámítási és orgástestek térogtár vontkozó eldtokbn. Motivációs péld: Egy ház h 0 mgsságbn lévő blkán kinyúlv elhjítunk egy testet üggőlegesen elelé kezdeti sebességgel. Adjuk meg test sebességét és tljtól vló távolságát z idő üggvényében. A légellenállást hnygoljuk el, tekintsük úgy, hogy csk grvitációs erő ht testre. A megoldás során Newton II. törvényéből indulhtunk ki, mely szerint F m. Mivel testre most csk grvitációs erő ht, így F mg. Ezt elhsználv mg m, miből kpjuk, hogy g, zz gyorsulás állndó, és értéke minden pillntbn grvitációs gyorsulássl egyenlő. Így lényegében egy üggvényünk vn, mi gyorsulást írj le z idő üggvényében. Fiziki tnulmányinkból tudjuk, hogy gyorsulás-idő üggvény sebesség idő üggvény deriváltj. H tehát gyorsulás ismeretében szeretnénk leírni sebességet, kkor olyn üggvényt kell keresnünk, minek z ismert gyorsulás-idő üggvény deriváltj. H sikerül ilyen üggvényt tlálnunk, kkor továbbléphetünk, mert zt is tudjuk izikából, hogy sebesség-idő üggvény z elmozdulás-idő üggvénynek deriváltj. A sebesség-idő üggvény ismeretében tehát olyn üggvényt kell keresnünk, minek sebesség idő üggvény deriváltj. Amint láthtó, kétszer is olyn problémávl tláljuk mgunkt szembe, melyben ismerünk egy üggvényt, és olyn üggvényt kell keresnünk, minek ez z ismert üggvény deriváltj. Az lábbikbn ezzel problémávl ogllkozunk mjd. v 0 Elméleti összeoglló: Deiníció: A F. F üggvényt üggvény primitív üggvényének nevezzük, h cos üggvényt. Ennek nyilván primitív üggvénye F sin Egy sin üggvénynek nem csk egy primitív üggvénye vn. Tekintsük például cos. De primitív üggvény lesz sin sin cos 0 cos. Sőt, h ezt így meggondoltuk, kkor zt mondhtjuk, F sin üggvény is, mert üggvény, hiszen -nek végtelenül sok primitív üggvénye vn, mert bármilyen konstnst hozzádhtunk sin -hez, mindenképpen olyn üggvényt kpunk, minek deriváltj cos, hiszen konstns deriváltj 0 lesz. Ezek lpján z lábbi tételt oglmzhtjuk meg. Tétel: H z F üggvénynek primitív üggvénye F üggvény, kkor bármely c üggvény is primitív üggvénye, hol c.
Felvetődik zonbn kérdés, hogy ilyen módon megkphtunk-e minden olyn üggvényt, mi primitív üggvénye -nek? A válsz erre igen, ezt is megoglmzhtjuk egy tételben. Tétel: H üggvény. F és F is primitív üggvénye -nek, kkor F F konstns Amint láthtjuk, egy üggvény primitív üggvényei egy hlmzt lkotnk, s ezen hlmz bármely két eleme csk egy konstnsbn tér el egymástól. Elég tehát egy elemet ismernünk ebből hlmzból, mert kkor z összes elemet megkphtjuk ezen elemből különböző konstnsok hozzádásávl. Mivel primitív üggvények hlmzát ilyen egyszerűen megkphtjuk, ezért egy oglmt deiniálunk. Deiníció: Az htároztln integráljánk nevezzük, és üggvény primitív üggvényeinek hlmzát z d -szel jelöljük. üggvény H F konstns. egy primitív üggvénye d F c, hol c -nek, kkor tetszőleges Amint entiekből láthtó, htároztln integrálás vgy másképp primitív üggvény keresés deriválás megordításánk tekinthető. Ezért továbbikbn úgy hldhtunk, hogy tekintjük z lpderiváltkt, és zokt megordítv z úgynevezett lpintegrálokt kpjuk. Például zt z lpderiváltt, hogy sin cos z cos d sin c ormábn ordítjuk meg, és írjuk lpintegrálként. Néhány esetben megordításon egy kicsit lkítunk. Például h cos sin lpderiváltból indulunk ki, kkor z egyszerű megordítás sin d cos c lenne, de ezt inkább sin d cos c ormábn írjuk, hiszen nyilván cos sin is igz. Hsonlón ctg lpderiváltból z sin d ctg c lpintegrált kpjuk. sin Vnnk olyn elemi lpüggvényeink, melyeknek deriváltj csk előjelben különbözik. Ilyen például z rcsin és z rccos. Ilyenkor nem szükséges mindkettőt megordítnunk, hnem elég csk z egyiket. Az d rcsin c lpintegrál mellé nem szükséges még z d rccos c is. Ugynígy elegendő z rc tg és rc ctg lpderiváltk megordításából z d rc tg c lpintegrált írni.
Az így kpott lpintegrálokt egy tábláztbn oglljuk össze. Ez lényegében z lpderiváltk tábláztánk megordítás, olyn próbb változttásokkl, mikről entebb írtunk. Az lpintegrálok táblázt: k d k c, k e d e c d c, d c ln sin d cos c cos d sin c sin d ctg c d rcsin c d ln c cos d tg c d rctg c sh d ch c ch d sh c sh d cth c rsh d c rth c, h d rcth c, h d th c ch d rch c, Néhány lpintegrálll kpcsoltbn szeretnénk megjegyzést tenni. Az egyik htványok integrálásr vontkozó d c, lpintegrál. Itt rr hívjuk el nyomtékosn igyelmet, hogy -edik htvány kivétel. Bár htványokt áltlábn úgy integráljuk, hogy kitevőt eggyel megnöveljük, és osztunk z új kitevővel, -edik htvány esetén nem ez történik. Mivel természetes lpú logritmus, zz ln deriváltj, ezért z d ln c lpintegrált kpjuk. Ez csk pozitív -ekre igz, hiszen logritmus csk ekkor értelmezhető. Beláthtó zonbn, hogy negtív -ek esetén
d ln c igz, s ezt együttesen d ln c ormábn ogllhtjuk össze. Ez így már pozitív és negtív -ekre is igz. rth c, h Az utolsó lpintegrál d, zért ilyen bonyolult, mert z rcth c, h rth -nek és rcth -nek megegyezik deriváltj, mindegyiknek. A két üggvény zonbn máshol értelmezhető, ezért szerepel z integrálás eredményében értékétől üggően vgy z egyik, vgy másik üggvény. Szerencsére ez bonyolult lpintegrál ki is kerülhető. A későbbiekben megismerünk mjd egy olyn módszert, minek segítségével másképp tudjuk integrálni ezt üggvényt. Az lpintegrálok megismerése után jó lenne, h hhoz hsonló szbályokt is megoglmzhtnánk, mint milyenek deriválásnál szerepeltek, mert kkor z lpintegrálokból műveletekkel képezett üggvényeket is tudnánk integrálni. Nézzük milyen szbályok igzk primitív üggvényekre. Tétel: H z üggvénynek létezik primitív üggvénye, kkor k, k k d k d. üggvénynek is létezik primitív üggvénye, és Bizonyítás: Legyen F egy primitív üggvénye -nek, zz F másképp d F c. Ekkor nyilván k F k k F egy primitív üggvénye k -nek, zz k d k F c k d., vgy, mi zt jelenti, hogy A tétel másképp úgy oglmzhtó, hogy integrálás során konstns szorzó kiemelhető z integrálból. és g üggvényeknek létezik primitív üggvénye, kkor z üggvénynek is létezik primitív üggvénye, és g d d g d Tétel: H z g. Bizonyítás: Legyen F z és G g egy-egy primitív üggvénye, tehát F és G g, vgy d F c és g d G c nyilván F G F G g, zz F G primitív üggvénye g -nek, tehát g d F G c d g d.. Ekkor Ezt tételt oglmzhtjuk meg úgy is, hogy üggvények összegét tgonként integrálhtjuk. A enti két tételből nyilván z is következik, hogy üggvények különbsége esetén g d d g d.
A deriválásnál ezután z következett, hogy üggvények szorztár, hánydosár és z összetett üggvényekre is sikerült deriválási szbályt tlálnunk. Ezek deriválási szbályok bármilyen szorzt, tört vgy összetett üggvény esetén lklmzhtók voltk. Sjnos z integrálásnál ilyen szbályok nincsenek. Nem lehet kimondni olyn összeüggést, melynek segítségével bármilyen üggvények szorzt, vgy hánydos, vgy kompozíciój integrálhtó lenne. A későbbiekben megismerünk mjd szbályokt, melyek segítségével üggvények szorztát integrálhtjuk, de ezek szbályok nem lklmzhtók bármilyen üggvények szorzt esetében, csk bizonyos speciális esetekben. Megismerünk mjd olyn szbályt is, mit üggvények hánydosánk integrálásár hsználhtunk, de csk bizonyos speciális törtekre lklmzhtó. Speciális összetett üggvényekre is lesz mjd integrálási szbály, de zt sem lehet áltlánosn lklmzni minden összetett üggvényre. Éppen ezért z integrálás több tlálékonyságot igényel mjd, mint mire deriválásnál szükség volt. Kidolgozott eldtok:. eldt: Htározzuk meg z zz e d -et! sin 8 e sin 8 üggvény htároztln integrálját, Megoldás: Mivel üggvények összegét illetve különbségét kell integrálnunk, ezért tgonként végezhetjük el z integrálást. Így három integrált kpunk. sin 8e d d sin d 8e d Az egyes integrálokból konstns szorzókt kiemelhetjük. d sin d 8e d d sin d 8 e d Már csk lpintegrálok szerepelnek, melyeket egyszerűen behelyettesítünk. Az első részben egy htványüggvényt kell integrálnunk, így itt z d c, lpintegrálr hivtkozv eggyel megnöveljük kitevőt, s osztunk z új kitevővel. A második részben z sin d cos c, hrmdikbn pedig z e d e c lpintegrálr hivtkozunk. d sin d 8 e d cos 8e c cos 8e c Nem írjuk ki mindegyik rész integrálásánál külön-külön c integrációs konstnst, mert c bármilyen vlós értéket elvehet. H többször szerepelne, kkor konstnsok összege is egy konstns lenne, mi bármilyen vlós értéket elvehetne. Ezért elég mindig csk egyetlen konstnst írnunk primitív üggvény után.. eldt: 7 d Megoldás: Első lépésként konstns szorzót emeljük ki z integrálból. 7 d 7 d Az lpintegrálok között különböző gyökök htványokbn szerepelnek. A deriválásnál is z történt, hogy gyököket törtkitevős htványként írtuk, és htványként elírt lkot deriváltuk. Most ugynígy járunk el z integrálás során is.
7 d 7 d Ezután már hivtkozhtunk z d c, 8 8 d c c c c lpintegrálr. 7 7 7. Az eredményt írhtjuk törtkitevős htványként, vgy gyökös ormábn is.. eldt: 6 d Megoldás: Kezdjük most is konstns szorzó kiemelésével. 6 d 6 d Az integrálndó üggvényben, mit integrndusnk is szoktk hívni, most egy htvány reciprokát látjuk. Ezt elírhtjuk negtív kitevős htvány ormájábn, s így ismét csk egy htványt kell mjd integrálnunk. Ugynígy járhttunk el z ilyen üggvények deriváláskor is. 6 d 6 d A htvány integráláskor most is növeljük eggyel kitevőt, és osztunk z új kitevővel. 6 6 d 6 c 6 c c c Az eredményt most írhtjuk negtív kitevős htvány, vgy tört ormájábn is.. eldt: d Megoldás: Az integrálást ebből z lkból nyilván nem tudjuk végrehjtni, ezért először átlkítjuk z integrálndó üggvényt. A gyököket írjuk át törtkitevős htvánnyá, mint zt egy korábbi eldtbn tettük. d d Végezzük el zárójelen belül szorzást. Azonos lpú htványok szorzás esetén egyetlen htványt kpunk, melyben kitevők összedódnk. d d d Most egy htványt tovább htványozunk. H ezt egyetlen htványként írjuk, kkor kitevők szorzódnk. 0 d d d Az integrndust sikerült egyetlen htvánnyá lkítunk, így végre tudjuk hjtni z integrálást.
0 0 0 0 0 0 0 d c c c c 0 0 Az eredmény most is több lkbn írhtó. Hgyhtjuk törtkitevős htványként, de írhtjuk gyökös ormábn is. A eldtból láthtó, hogy z integrndus megdott lkjából nem lehet elvégezni z integrálást. De z átlkítások után már olyn ormábn kpjuk meg üggvényt, mi egyetlen lpintegrál. Az integrálási eldtokbn ngyon sokszor nem z okozz ejtörést, hogy mgát z integrálási lépést hogyn hjtsuk végre, hnem hogyn készítsük elő z integrálást, zz milyen módon lkítsuk át z integrndust z integrálás előtt. Az átlkítások során ngyon gykrn olyn zonosságokr hivtkozunk, melyek középiskolából ismertek. Különösen szeretnénk kiemelni htványozás zonosságit, mert htványok gykrn ordulnk elő, s átlkításukr több zonosságot is ismerünk.. eldt: 8 d Megoldás: Az integrndusunk most egy szorzt. Amint z korábbn szerepelt, ilyen esetben nincs áltlánosn lklmzhtó integrálási szbály. Át kellene ezért lkítnunk úgy üggvényt, hogy már ne szerepeljen szorzás. Amint korábbikbn, írjuk át most is gyököket törtkitevős htvánnyá, mjd végezzük el szorzást, zz bontsuk el zárójelet. 8 d 8 d 8 d Az integrndus mindkét tgjábn zonos lpú htványok szorzt áll, melyeket egyetlen htványként is írhtunk. A kitevők ekkor összedódnk. 6 8 d 8 d 8 d Sikerült elérnünk, hogy már nincs üggvények szorzás, hnem csk különbsége. Ekkor tgonként integrálhtunk. Az egyes tgokból konstns szorzókt kiemelhetjük. 6 6 6 8 d 8 d d 8 d d A két htványt immár külön-külön integráljuk. 6 6 0 6 6 6 0 6 d d c c c 8 8 6 Mivel törtkitevős htványokt integráltunk, z eredmény most is írhtó htványként és gyökös lkbn is. 9 6 6. eldt: d Megoldás: Az integrálndó üggvény most egy tört. Sjnos törtekre sincsen minden esetben hsználhtó integrálási szbály. A üggvényt ezért ismét átlkítjuk z integrálás előtt. Első lépésben gyököt írjuk htványként.
9 6 9 6 d d Mivel tört számlálójábn összeg illetve különbség áll, törtet több törtre bonthtjuk úgy, hogy z egyes tgokt külön-külön osztjuk nevezővel. 9 6 9 6 d d d d A konstns szorzókt ezután kiemelhetjük z egyes integrálokból. 9 6 d d d d 9 d 6 d Az első két tgbn zonos lpú htványok hánydos áll, miket egyetlen htvánnyá lkíthtunk. Ekkor kitevők különbségét kell vennünk. A hrmdik tgbn egy htvány reciprok szerepel, mit negtív kitevős htványként írhtunk. d 9 d 6 d d 9 d 6 d d 9 d 6 d Már csk egy-egy htványt kell integrálnunk. Vigyázzunk zonbn, mert z első tgbn éppen áll, minek integrálás különbözik többi htvány integrálásától. Éppen ezért, ez ne is írjuk htványként, hnem inkább d 9 d 6 d Most hjtsuk végre z integrálásokt. lkbn. d 9 d 6 d ln 9 6 c ln 9 6 ln 8 6 ln 8 6 c c c Mint áltlábn z ilyen eldtoknál, z eredmény most is több lkbn dhtó meg. Most pedig térjünk vissz hhoz motivációs példához, mivel lecke indult, és djunk válszt z bbn eltett kérdésekre. 7. eldt: Egy ház h 0 mgsságbn lévő blkán kinyúlv elhjítunk egy testet üggőlegesen elelé kezdeti sebességgel. Adjuk meg test sebességét és tljtól vló távolságát z idő üggvényében. A légellenállást hnygoljuk el, tekintsük úgy, hogy csk grvitációs erő ht testre. v 0 Megoldás: Amint zt korábbikbn megállpítottuk, test gyorsulását z idő üggvényében z t g konstns üggvény írj le. A iziki példábn megszokott jelölésekhez képest nnyi z eltérés, hogy üggvényt nem jelöli hnem, változót pedig nem jelöli
hnem t. (Természetesen h vlkit ez zvr, kkor hsználj z g jelölést.) Mivel gyorsulás sebesség idő szerinti deriváltj, így ezt integrálnunk kell sebesség-idő üggvény meghtározásához. Az integrálás során t lesz változó, így most nem d szerepel mjd z integrálbn hnem dt. v t t dt g dt Mivel g kpjuk: g dt gt c konstns, hivtkozunk z k d k c, k lpintegrálr, s így z lábbit Megkptuk tehát sebességet időben leíró üggvényt, mely v t gt c lett. Ez zonbn nem egyetlen üggvényt jelent, hnem végtelen sokt, hiszen c integrációs konstns bármilyen vlós értéket elvehet. Ez így nyilván nincs rendben, hiszen mi egy konkrét üggvényt keresünk most, mi ennek konkrét mozgásnk sebességét írj le. Itt ne eledkezzünk el rról, hogy test sebessége dott mozgás kezdetén, zz tudjuk, hogy időpillntbn. A negtív t 0 v 0 sebesség elelé. Ezt úgy is írhtjuk, hogy v 0 v előjel zért vn, mert mikor zt mondtuk gyorsulás g, kkor hllgtólgosn kijelöltük mozgás leírásábn pozitív irányt. Mivel gyorsulást vettük pozitívnk, mi leelé mutt, így elelé irány negtív lesz. Ezért elelé irányuló ngyságú kezdeti sebességet kell írnunk. Helyettesítsünk sebességet leíró üggvénybe t helyére 0 -t. v 0 g 0 c c -t, s kpjuk c v0. Ezután elírhtjuk zt konkrét üggvényt, mi z dott mozgás sebességét leírj. v t gt v Tegyük egyenlővé kétéle módon kpott 0 v 0 v 0 0 v 0 -ként Egy középiskolából ismert összeüggést kptunk, melyet ott üggőleges hjítások kinemtikáj során ismertünk meg. H most továbbmegyünk, és le szeretnénk írni test tljtól vló távolságát is z idő üggvényében, kkor ezt üggvényt is integrálnunk kell, hiszen sebesség z elmozdulás idő szerinti deriváltj. s t v t dt gt v dt 0 Az integrálást természetesen tgonként hjtjuk végre, s z első tgból konstns g szorzó kiemelhető. t gt v0 dt g t dt v0 dt g v0t c t Megkptuk tehát z elmozdulást z időben leíró üggvényt, mi s t g v0t c lett. Ebben is szerepel zonbn egy integrációs konstns, mit most c -gl jelöltünk, hogy megkülönböztessük z előző konstnstól. Nyilván most ennek konstnsnk is konkrét értéke kell legyen. Tudjuk, hogy kezdetben h 0 mgsságbn vn test, zz ennek üggvénynek h z értéke. Jelölésben h0 t 0 esetén s 0 0 üggvényben t helyére 0 -t helyettesítünk. 0 s 0 g v0 0 c c. De s 0 -t úgy is megkphtjuk, hogy z st
Tegyük egyenlővé kettőt, s zt kpjuk:. Ezek után elírhtjuk zt konkrét üggvényt, mely z dott mozgás során test helyét írj le z idő üggvényében. t s t g v0t h0 Ismét olyn összeüggést kptunk, mi már középiskolából ismert. Ellenőrző kérdések: c h 0. kérdés: 9 7 d Válsz: Válsz: Válsz: Válsz: 7 c ln 7 6 7 c(helyes) ln 7 7 ln 7 c 6 7 ln 7 c. kérdés: d Válsz: Válsz: Válsz: Válsz: c c 8 c(helyes) 8 c. kérdés: d Válsz: c (helyes) Válsz: c Válsz: c Válsz: c. kérdés: d
Válsz: Válsz: Válsz: Válsz: c c c c (helyes). kérdés: d Válsz: Válsz: Válsz: Válsz: c (helyes) 0 c c 0 c 6. kérdés: 6 d Válsz: Válsz: Válsz: Válsz: c ln c c ln c (helyes) Motivációs péld: Mennyi munkát kell végeznünk hhoz, hogy egy m tömegű űrhjót h távolságr juttssunk Föld elszínétől? Egy látszólg egyszerű eldttl állunk szemben, hiszen munkát, mint zt középiskolábn izikából tnultuk, z erő és z erő irányáb eső elmozdulás szorztként számolhtjuk. Ezért először rr gondolhtunk, hogy meghtározzuk z űrhjór htó grvitációs erőt, és ezt megszorozzuk h -vl, hiszen grvitációs erővel párhuzmos elmozdulás pontosn z, mennyivel z űrhjó eltávolodik Föld elszínétől. De vn egy kis gond, mi mitt ez mégsem ilyen egyszerű. Mivel h ngy, ezért z űrhjór htó grvitációs erő nem tekinthető állndónk, hnem változik Föld középpontjától vló távolság üggvényében. Márpedig munkát csk kkor számolhtjuk enti egyszerű módon, h z erő állndó. Változó erő munkájáról középiskolábn zt tnultuk, hogy z erő-elmozdulás grikon ltti lkzt területe dj meg z ilyen erő munkáját. Ennek jól ismert esete rugó nyújtás. Ekkor tudjuk, hogy rugó nyújtásához szükséges erő egyenesen rányos rugó megnyúlásávl. Ezt írj le
z Frugó D l összeüggés, melyben D rugóállndó, pedig rugó megnyúlás. H ábrázoljuk z erőt megnyúlás üggvényében, kkor egyszerű lineáris üggvényt kpunk. l H rugót nyújttln állpotból l -lel megnyújtjuk, kkor közben végzett munk z ábrán kékkel jelzett lkzt területe. Ez most könnyen meghtározhtó, hiszen egy derékszögű háromszög területét kell kiszámolni. W Frugó l Dl l D l Az űrhjó esetén zonbn Föld áltl z űrhjór kiejtett grvitációs erő nem lineáris távolság üggvényében, hnem Föld középpontjától mért távolság négyzetével ordítv rányos. A grvitációs erőre z lábbi törvény ismert: Mm Fgrv k. r m Ebben k grvitációs állndó k 6.670, M Föld tömege M 6 0 kg, kg s z űrhjó tömege, r z űrhjónk Föld középpontjától mért távolság. Most r tölti be változó szerepét, zz grvitációs erő r -nek üggvénye. Jelölésben ezt z lábbi módon ejezhetjük ki: Mm Fgrv Fgrv r k. r H most ábrázoljuk z erőt Föld középpontjától mért távolság üggvényében, kkor z lábbit kpjuk. m Ezen z ábrán kékkel jelzett lkzt területe dj meg zt munkát, mi hhoz szükséges, hogy z űrhjó Föld elszínétől h mgsságr távolodjon el. Most egy olyn lkzt területét kell meghtároznunk, melyet egyik oldláról vízszintes tengely egy szksz, két
másik oldláról üggőleges tengellyel párhuzmos szkszok, negyedik oldláról pedig egy üggvény grikonj htárol. Mivel például változó erő munkájánk számoláshoz szükség volt ilyen lkztok területének meghtározásár, ki kellet dolgozni egy módszert, mivel ilyen görbe vonlú lkztok területe egzkt módon meghtározhtó. Ez vezetett el htározott integrál oglmához, mivel z lábbikbn ismerkedünk meg. Elméleti összeoglló: Induljunk ki tehát bból, hogy dott egy melyre >0 teljesül z és z b b, b, -n értelmezett olytonos -n, és szeretnénk meghtározni z y üggvény,, z y 0 görbék áltl htárolt lkzt területét. Ez z lkzt láthtó z lábbi ábrán., z Osszuk el z b, intervllumot n részre vlmilyen Fn 0,,,, n hlmzt z, hlmzzl, melyre 0 n b teljesül. Ezt z b intervllum egy elosztásánk nevezzük. Egy-egy részintervllum hosszát szomszédos osztópontok különbségeként kphtjuk meg. Az i -edik részintervllum hossz például i i, melyet i -vel is jelölünk. (A részintervllumok nem eltétlenül egyorm hosszúk.) A elosztás inomságánk nevezzük leghosszbb részintervllum hosszát, zz m i -t. Válsszunk ki mindegyik i részintervllumból egy számot. Emeljünk mindegyik, i részintervllum ölé i mgsságú tégllpot. i F n
Ezen tégllpok területének összegével közelítjük meghtározndó területet. Ezt z összeget z dott elosztáshoz trtozó közelítő összegnek nevezzük, és -nel jelöljük. Írjuk el ezt z összeget. Az első tégllp területe: T 0 területe T, z i -edik tégllp területe Ti i i i i i. Ezek lpján közelítő összeg következő: n T T Tn 0 n n n n n. n, második tégllp Ugynezt rövidebben is írhtjuk: n n n T. n i i i i i i i i i Növeljük elosztásbn részintervllumok számát, így újbb és újbb elosztásokt kpunk. H z osztópontok számát minden htáron túl növeljük kkor így elosztásoknk egy soroztát kpjuk. Várhtón z egyre több osztóponttl rendelkező elosztások egyre pontosbbn ogják közelíteni z lkztot, melynek területét meghtározni szeretnénk. Ez zonbn csk kkor lesz igz, h elosztás z osztópontok számánk növelésével egyre inomodik is, zz nem mrd benne sehol túl hosszú részintervllum. Ezt ejezzük ki zzl, hogy olyn elosztássoroztot készítünk, miben elosztás inomság nullához trt, zz. Nem történhet meg olyn elosztássoroztbn, hogy z, m 0 i b intervllum egyik részén egyre sűrűsödik elosztás, de vlhol máshol benne mrd egy hosszbb
részintervllum. Az ilyen elosztássoroztokt végtelenül inomodó elosztássoroztoknk nevezzük. Az lábbi ábrákon ilyen egyre inomodó elosztások láthtók. Deiníció: Azt mondjuk, hogy z b, -n értelmezett üggvény Riemnn-integrálhtó z b, -n, h közelítő összegek sorozt minden végtelenül inomodó elosztássorozt n estén konvergens, és ugynhhoz számhoz trt. Ekkor ezt számot z b, -n vett Riemnn-integráljánk, vgy htározott integráljánk nevezzük és szel jelöljük. Ez rövidebben z lábbi jelölésekkel írhtó: b n n lim lim d. n i i i n i i i i m i0 m i0 üggvény b d - Itt kell megjegyeznünk, hogy z egyszerűség kedvéért z elején olyn üggvényről beszéltünk, mi z b, -n pozitív értékeket vesz el. Ekkor enti deiníció vlóbn üggvény grikonj és z -tengely között elhelyezkedő lkzt területét dj meg z b, - n. H zonbn üggvény negtív értékeket is elvehet, kkor tégllpokkl történő szorzt z i -edik tégllp területét közelítésben i is lehet negtív, így z előjelesen dj meg. H i 0, közelítésben tégllp z -tengely elett helyezkedik el. Ekkor i i pozitív, tehát vlóbn tégllp területét kpjuk. De h i 0, tégllp z -tengely ltt helyezkedik el. Ekkor negtív, s tégllp területének -szeresével egyenlő. Ebből következően, z integrál üggvény grikonj és z -tengely között elhelyezkedő lkzt területét előjelesen dj meg. H üggvény pozitív, zz grikonj z -tengely elett hld, kkor vlóbn területet kpunk, de h üggvény negtív, kkor terület -szeresét kpjuk. Ezért kpjuk zt, hogy h egy üggvény előjele megváltozik z b, belsejében, és pozitív illetve negtív részen egyenlő ngyságú i i i i
terület üggvény grikonj és z -tengely között, kkor null üggvény integrálj z intervllumon. Erre péld mondjuk z cos -n. b, üggvény 0, Amint z ábrán láthtó, pirossl illetve kékkel jelölt lkztok szimmetri mitt egyenlő területűek, de míg piros z -tengely elett, kék z -tengely ltt helyezkedik el. Az integrálás így piros lkzt területét, kék lkzt területének pedig -szeresét dj. Így intervllumon ezek összeg, zz null lesz. üggvény integrálj teljes 0, A Riemnn-integrál hosszdlms deiníciój után elvetődik z kérdés, hogy milyen üggvények integrálhtók. Ezzel kpcsoltbn két tételt mondunk ki bizonyítás nélkül. Tétel: H z üggvény integrálhtó z [, b] intervllumon, kkor ezen z intervllumon korlátos. A korlátosság tehát szükséges eltétele z integrálhtóságnk. (Nem minden b, -n korlátos üggvény integrálhtó b, -n.) Tétel: H z üggvény olytonos z b, intervllumon, kkor integrálhtó is b, -n. A olytonosság tehát elégséges eltétele z integrálhtóságnk. (Nem minden b, -n integrálhtó üggvény olytonos b, -n.) A htározott integrálr vontkozón sok tétel bizonyíthtó. Ezeket szokták htározott integrál tuljdonságink nevezni. Vnnk köztük olynok, melyek hsonlók, mint htároztln integrál tuljdonsági. és b, -n, k, és g üggvények is integrálhtók, Tétel: H k g b b g integrálhtók z k d k d b b b g d d g d b b b g d d g d. pedig tetszőleges vlós szám, kkor b -n, és Tehát mint htároztln integrálnál, úgy htározott integrálnál is konstns szorzó kiemelhető z integrálból, vlmint összeget és különbséget tgonként integrálhtunk. A különbségre vontkozó állítás másik kettőből már egyszerűen következik.
A htározott integrálnk vnnk olyn tuljdonsági is, melyekben z integrálási intervllumnk ontos szerepe vn. A htároztln integrálnál ilyen tuljdonságok nyilván nem voltk. Tétel: H b b integrálhtó -tól b -ig, kkor integrálhtó b -től -ig is, és d d. Azz h elcseréljük z integrálási htárokt, z integrál -szeresét kpjuk. Tétel: H is. integrálhtó z b, -n, kkor integrálhtó [, b] bármely részintervllumán Tétel: H b c b integrálhtó z d d d. c b, -n, és c b, kkor Ezt oglmzhtjuk úgy is, hogy z integrálás z b, -n részletekben is végrehjthtó. Pozitív értékű üggvény esetén szemléletesen rról vn szó, hogy üggvény grikonj és z -tengely közti terület z -n úgy is meghtározhtó, hogy vesszük területet z - n, és hozzádjuk területet cb, -n. (Az b, intervllumon terület piros és kék lkzt területének összege.) b, c, Tétel: H intervllumon is, és integrálhtó z, b c b d d d. c Tétel: H b d 0. c és cb, intervllumokon, kkor integrálhtó z b, integrálhtó z b, -n, és 0 minden, b H nem negtív üggvényt integrálunk, kkor z integrál sem negtív. esetén, kkor
Tétel: H esetén, kkor b b és g d g d. integrálhtók z b, -n, vlmint g minden Más megoglmzásbn zt mondhtjuk, hogy nem kisebb értékű üggvény integrálj sem kisebb. Tétel: (Az integrálszámítás középértéktétele) H leglább egy b b, d b., melyre igz, hogy olytonos z Pozitív értékű üggvény esetén szemléletes rról vn szó, hogy z tudjuk metszeni olyn vízszintes egyenessel, mi ltt z b, b, -n, kkor létezik, b üggvény grikonját -n pontosn kkor területű tégllp vn, mint üggvény és z -tengely közti lkzt területe z b, -n. Az ábrán kékkel jelölt tégllp területe b, mely megegyezik üggvény grikonj és z - tengely közti területtel. Tétel: (Newton-Leibniz-ormul) H primitív üggvénye b d F b F. -nek, kkor integrálhtó z, b -n, és Az F b F különbség rövidebb írásár gykrn hsználtos z F b F egy tetszőleges jelölés. Ezt tételt gykrn nevezik z integrálszámítás lptételének is, mert htározott integrál és primitív üggvény közötti kpcsoltot mondj ki. Ezzel lehetővé teszi számunkr htározott integrál pontos kiszámolását olyn esetekben, mikor deiníció lpján ezt nem tudnánk elvégezni. Márpedig deiníció lpján csk ngyon kevés esetben számolhtó ki pontosn htározott integrál, s áltlábn kkor is ngyon nehézkes. Kidolgozott eldtok:
8. eldt: Htározzuk meg z lkzt területét 0, intervllumon. üggvény grikonj és z -tengely közötti Megoldás: Készítsünk egy ábrát z lkztról. Amint láthtó, egy olyn háromszöghöz hsonló lkzt területe kérdés, mit elülről z üggvény grikonj, zz egy prbol htárol. Mivel üggvény intervllumon nem vesz el negtív értéket, így területet megkpjuk, h üggvényt integráljuk ezen z intervllumon. T d 0 Meg kell htároznunk 0, egy primitív üggvényét, így először htároztlnul integrálunk. Htványt integrálunk, tehát eggyel növeljük kitevőt, és osztunk z új kitevővel. d c Mivel csk egy primitív üggvényre vn szükségünk, így c -t tetszőlegesen megválszthtjuk. Legegyszerűbb 0 egy primitív üggvénye c válsztás. Így kpjuk, hogy F. Ezután helyettesítünk Newton-Leibniz-ormuláb. 0 8 T d 0 0 A kérdezett terület tehát 8 egységnyi. A későbbiekben z ehhez hsonló eldtok megoldását rövidebben írjuk mjd. A primitív üggvényt nem htározzuk meg külön, hnem htározott integrál után egyből írjuk primitív üggvényt -ben, eltüntetve zárójel után z integrálási htárokt. Így megoldás lényegében csk z utolsó sorból áll mjd. H primitív üggvény meghtározás nem ilyen egyszerű mint most, kkor célszerű lehet külön elvégezni htároztln integrálást, és után vissztérni htározott integrálhoz. 9. eldt: Htározzuk meg z d htározott integrált!
Megoldás: A megoldás során először primitív üggvényt kell keresnünk, mihez lkítsuk át z integrndust úgy, hogy egyetlen htványt kpjunk. d d d d Adjuk meg primitív üggvényt, hivtkozv htványok lpintegráljár, zz növeljük eggyel kitevőt, és osztunk z új kitevővel. A primitív üggvényt tegyük -be, és tüntessük el mögötte z integrálási htárokt. A primitív üggvényt írjuk minél egyszerűbb lkbn. d d Helyettesítsük be primitív üggvénybe első integrálási htárt, mjd vonjuk ki belőle z lsó htár helyettesítési értékét, és végezzük el műveleteket. 6 d. 0. eldt: 8 d Megoldás: Járjunk el úgy mint z előző eldtbn, zz írjuk htványként z integrálndó üggvényt. 8 8 d d Htározzuk meg primitív üggvényt, s hozzuk minél egyszerűbb lkr. 8 8 8 8 d d Helyettesítsük be z integrálási htárokt, és vegyük két helyettesítési érték különbségét. A első htár helyettesítési értékéből vonjuk z lsó htár helyettesítési értékét. A műveleteket ezután végezzük el. 8 8 9 d 8. H primitív üggvényben szerepel vlmilyen konstns szorzó, mint jelen esetben kkor zt htárok behelyettesítésekor rögtön kiemelhetjük, így nem kell kétszer leírnunk.. eldt: Htározzuk meg z cos üggvény grikonj és z -tengely közötti lkzt területét, intervllumon. Megoldás: Készítsünk ábrát üggvényről és kérdéses lkztról.,
Amint láthtó, üggvény megdott intervllumon negtív értékeket és 0-t veszi el, így z lkzt területe üggvény integráljánk -szerese lesz. Persze ezt úgy is mondhtnánk, hogy z integrál bszolút értéke lesz terület. T cos d cos d Htározzuk meg primitív üggvényt. T cos d sin Helyettesítsük első integrálási htárt, mjd vonjuk ki belőle z lsó htár helyettesítési értékét, és végezzük el műveleteket. T sin sin sin 0 A kérdezett terület tehát pontosn egységnyi.. eldt: Htározzuk meg z lkzt területét, intervllumon. üggvény grikonj és z Megoldás: Most is egy ábrávl célszerű kezdenünk megoldást. -tengely közötti Amint láthtó, üggvénynek z 0,0 intervllumon negtív, 0, pedig pozitív. A területet így két részletben kell számolnunk. Integráljuk egyrészt -nál zérushelye vn, s
üggvényt,0 intervllumon, és ennek z integrálnk vesszük z bszolút értékét, mert itt üggvény negtív vgy 0. Ezzel megkpjuk üggvény és z,0 intervllumon. Vlmint vesszük üggvény integrálját -tengely közti területet intervllumon, mi megegyezik itt üggvény és z -tengely közti területtel, mert üggvény itt pozitív vgy 0. A teljes területet pedig két terület összegeként kpjuk. 0 0 T d d d d 0 0 Htározzuk meg primitív üggvényt. 0 0 T d d 0 0 Mindkét esetben helyettesítsük z integrálási htárokt, és első htár helyettesítési értékéből vonjuk ki z lsó htár helyettesítési értékét. A számolásokt ezután végezzük el. 0 0 0 7 T 0 0. 0 A kérdezett terület tehát. egység.. eldt: Htározzuk meg z lkzt területét, intervllumon. 0, üggvény grikonj és z -tengely közötti Megoldás: Most is célszerű ábrázolni üggvény dott intervllumb eső részét. Mivel másodokú üggvényt kell ábrázolnunk, célszerű meghtározni zérushelyeket. Emeljünk ki -et, mert így zt kell vizsgálnunk, hogy egy szorzt mikor egyenlő nullávl. 0 0 0 vgy 0 A zérushelyek tehát 0 és. Ezek ismeretében már könnyen ábrázolhtó prbol. Mivel együtthtój negtív, ezért konkáv prbolát kell rjzolnunk. A kérdéses lkzt most három részből áll, mivel üggvény két helyen is metszi z - tengelyt z dott intervllumon belül. Az első rész,0 intervllumhoz trtozó rész, második, intervllumhoz trtozó 0, intervllumhoz trtozó rész, s hrmdik
rész. Mivel z első és hrmdik részen üggvény nem pozitív, így terület meghtározásához ezeken részeken üggvény integráljánk bszolút értékét kell venni. 0 0 T d d d d d d 0 0 Htározzuk meg primitív üggvényt. 0 0 T d d d 0 0 Helyettesítsük mindhárom estben z integrálási htárokt Newton-Leibniz-ormulánk megelelően, mjd hjtsuk végre műveleteket. 0 T 0 0 0 0 0 8 6 8 6 8 0 0 6 Amint láthtó, minél több helyen metszi üggvény grikonj z dott intervllumon belül -tengelyt, nnál több részben kell számolnunk területet. Mindig igyeljünk od rr, hogy mely részintervllumokon hld üggvény grikonj -tengely ltt. Ezeken részeken z integrál bszolút értékét kell vennünk, zz szorozni kell z integrált -gyel. Ezek után térjünk vissz hhoz motivációs példához, mi htározott integrál bevezetése előtt szerepelt.. eldt: Mennyi munkát kell végeznünk hhoz, hogy egy m juttssunk Föld elszínétől? tömegű űrhjót h távolságr Megoldás: Amint z korábbn szerepelt, z űrhjór Föld áltl kiejtett grvitációs erő ht, Mm mit Fgrv Fgrv r k összeüggéssel írhtunk le Föld középpontjától mért távolság r üggvényében. A munk z R, R h F r üggvény grikonj ltti terület z grv intervllumon. Amint z egy korábbi ábrán láthtó volt, üggvény pozitív értékeket vesz el, így terület üggvény ezen intervllumon vett integráljávl egyenlő. A változó szerepét most r tölti be, így r szerint integrálunk. Rh Mm W k dr r R Mivel k, M, m konstnsok, így kiemelhetők z integrálból. Rh W kmm dr r R Az integrndust ezután írjuk negtív kitevős htvány ormájábn. Így már könnyen meghtározhtó primitív üggvény, mit hozzunk minél egyszerűbb lkr.
Rh Rh r W kmm r dr kmm kmm R R r R Helyettesítsük be ezután z integrálási htárokt, s vegyük két helyettesítési érték különbségét. Rh W kmm kmm kmm r R R h R R R h Ezzel olyn összeüggést kptunk munkár, mibe csk z űrhjó tömegét és elszíntől vló eltávolodását kell behelyettesíteni. H ezeket z dtokt ismerjük, munk pontosn kiszámolhtó. Ellenőrző kérdések: 7. kérdés: Htározzuk meg z lkzt területét 0,8 Válsz: 9 Válsz: 0 Válsz: (helyes) Válsz: intervllumon. Rh üggvény grikonj és z -tengely közötti 8. kérdés: 6 d Válsz: 97 9 Válsz: 0 9 Válsz: 096 9 Válsz: 0 9 (helyes) 9. kérdés: Válsz: 9 d Válsz: 0 Válsz: (helyes) Válsz:
0. kérdés: Htározzuk meg z sin üggvény grikonj és z -tengely közötti lkzt területét, intervllumon. Válsz: (helyes) Válsz: Válsz: Válsz:. kérdés: Htározzuk meg z lkzt területét 0, intervllumon. üggvény grikonj és z -tengely közötti Válsz: Válsz: Válsz: 6 Válsz: (helyes) üggvény grikonj és z -tengely közötti lkzt területét, intervllumon.. kérdés: Htározzuk meg z Válsz: 6 Válsz: 8 (helyes) Válsz: Válsz: Elméleti összeoglló: A htározott integrál nem csk olyn lkztok területének meghtározását teszi lehetővé, melyek egy üggvény grikonj és z -tengely között helyezkednek el, hnem más görbékkel htárolt lkztokét is. H például olytonos és g üggvények grikonji nem metszik egymást z b, intervllum belsejében, kkor üggvények grikonji, vlmint z és b egyenesek áltl htárolt síkrész területe, vgy máképp oglmzv üggvények grikonji közti terület z b, intervllumon következő: b T g d. b, -n g nem negtív értékű üggvény z, H tudjuk, hogy z g, kkor z bszolút érték elhgyhtó, hiszen b -n. Az állítás helyességét z egyszerűség
kedvéért láthtjuk be. és g b, -n pozitív üggvények esetén z lábbi ábr segítségével Ezen láthtó, hogy z összegét, z b g d b d megdj pirossl és kékkel jelölt lkztok területének pedig csk piros lkzt területét. A kékkel jelölt síkrész területe így kettő különbsége, tehát: b T d g d b. A htározott integrál tuljdonsági között szerepelt, hogy zonos intervllumon vett integrálok különbsége megegyezik üggvények különbségének integráljávl, zz: b b b. T d g d g d Két üggvény grikonj közti területet tehát úgy kpjuk, hogy nem kisebb üggvényből kivonjuk nem ngyobbt, s különbséget integráljuk. H két üggvény grikonj metszi egymást z b, intervllum belsejében, kkor grikonok közti területet részletekben számolhtjuk. Az lábbi ábrán láthtó, hogy z és g üggvények grikonji metszik egymást c helyen. Az, integráljuk, míg c intervllumon g, így ezen részintervllumon g cb, intervllumon g -et integráljuk. A terület tehát következő: g, így ezen részintervllumon -et
c. T g d g d b c Amennyiben nem szeretnénk vizsgálni, hogy z egyes részeken melyik üggvény vesz el ngyobb értékeket, kkor megtehetjük zt is, hogy tetszőlegesen vesszük két üggvény különbségét, zt integráljuk z egyes részeken, s z integráloknk vesszük z bszolút értékét. Ezt z lábbi módon írhtjuk. c T g d g d b c H üggvények grikonji nem csk egy helyen metszik egymást, kkor természetesen több részletben kell számolnunk. Lényegében ugynígy járhtunk el, h két üggvény grikonj áltl közrezárt síkrész területe kérdés. Az ilyen lkzt grikonok metszéspontji között helyezkedik el, mint z lábbi ábrán láthtó. Ilyenkor először meg kell oldnunk z g egyenletet. Ezzel kpjuk meg metszéspontok helyét, zz -t és b -t. Ezek után z, kivonjuk nem ngyobbt, s különbséget integráljuk b, -n. b -n nem kisebb üggvényből A görbe vonlll htárolt lkztok területének számolás htározott integrál legkézenekvőbb lklmzás. De htározott integrál nem csk erre jó. Az lábbikbn orgástestek térogtánk meghtározásár ismerünk meg egy lklmzást. Tekintsük z b, intervllumon nem negtív, olytonos üggvényt. Az grikonj, z -tengely, z és b egyenes áltl htárolt lkztot orgssuk meg z -tengely körül, így egy orgástestet kpunk. Ez láthtó z lábbi ábrákon.
Htározzuk meg ennek orgástestnek térogtát. Hsználjuk ehhez zt z eljárást, mit intervllumot n részre. Az terület meghtározáskor lklmztunk. Osszuk el z b, intervllum elosztás orgástestet vékony rétegekre bontj. A vékony rétegekben htározzuk meg közelítőleg térogtot úgy, hogy lpos hengerrel közelítünk. Tekintsük k -dik részintervllumot, melynek szélessége. Válsszunk részintervllumból egy számot, legyen ez c k. Hnygoljuk el üggvény változását részintervllumon, és tekintsük úgy, minth z egész részen z értéket venné el üggvény. A orgtás során így z ívelt oldlú rétegből egy lpos henger lesz, melynek sugr -vl egyenlő, mgsság pedig. Ez láthtó z lábbi ábrán. c k k c k k Hjtsuk végre ezt közelítést minden részintervllumon, így orgástestet egymás melletti lpos hengerek sokságávl közelítjük. Írjuk el, hogyn számolhtó ki egy ilyen lpos henger térogt. Mivel k -dik henger sugr c k, mgsság pedig k térogt z lábbi: V c. k k k Összegezzük ezután hengerek térogtát, ezzel egy közelítést kpunk orgástest térogtár.
n n k k k k k V V c Ebben z összegben elismerhető, hogy üggvény integrálközelítő összege. A közelítés nyilván nnál pontosbb lesz, minél lposbbk hengerek. Növeljük ezért z osztópontok számát, s vegyük enti összeg htárértékét n esetén, miközben elosztás inomság egyre kisebb lesz, zz m 0. H létezik htárérték, megkpjuk k pontosn test térogtát. A közelítő összeg htárértéke pedig nem más, mint üggvény htározott integrálj z b, intervllumon. n n b lim k lim n n k k k k m k0 m k0 V V c d A konstns kiemelhető z integrálból, s így orgástest térogtár z lábbi összeüggést kpjuk: b V d. Ezzel olyn képlethez jutottunk, mibe egy konkrét eldt esetén csk be kell helyettesítenünk z dott üggvényt és z intervllum htárit, mjd végre kell hjtnunk z integrálást. A enti eljárás segítségével sok más dologr lehet olyn képletet levezetni, miben integrál szerepel. Ilyenek például görbe ívhossz, orgástest plástjánk elszíne, kiterjedt test tömegközéppontj és tehetetlenségi nyomték. Kidolgozott eldtok:. eldt: Mekkor z és g terület z, intervllumon. üggvények grikonji közötti Megoldás: Készítsünk egy ábrát két üggvényről megdott intervllumon. H kiszámoljuk két üggvény értékét z intervllum végpontjibn, kkor görbék jelleg lpján könnyű elkészíteni z ábrát. g g Az grikonj egy konkáv prbol, görbéket meghtározott pontokr. g grikonj pedig hiperbol. Illesszünk ilyen
Amint láthtó, megdott intervllumon belül nem metszi egymást két üggvény. Így egyszerűen vennünk kell két üggvény különbségét, s zt kell integrálnunk megdott g, így h z intervllumon. Mivel tudjuk, hogy z dott intervllumbn g különbséget vesszük, kkor nincs szükség bszolút értékre. T d Htározzuk meg primitív üggvényt. T d ln Helyettesítsük be z integrálási htárokt, és vegyük helyettesítési értékek különbségét, és végezzük el műveleteket. T ln ln ln 6 ln 0 ln 0.6 A kérdéses terület tehát közelítőleg 0.6 egység. 6. eldt: Htározzuk meg z e és területet, intervllumon. g üggvények grikonji közti Megoldás: Készítsünk most is ábrát két üggvényről. Célszerű most is meghtározni üggvények értékét megdott intervllum végpontjibn. e 0.7 e e e.7 0 eponenciális üggvény, g g Az lpján így már könnyű ábrázolni üggvényeket. g pedig másodokú tehát prbol. A görbék jellege
Az ábráról úgy látszik, két grikon helyettesítéssel könnyen ellenőrizhetjük. 0 0 e g 0 0 0 0 -nál metszi egymást. Ezt üggvényekbe Mindkét üggvény -et vesz el, tehát z helyen vlóbn metszik egymást. Más metszéspont nincs. A kérdezett területet metszéspont mitt most két részletben integrálv tudjuk meghtározni. Az első részen g g üggvényt integráljuk, második részen 0 és 0 0 között, így itt és között g, ezért itt z g üggvényt integráljuk, mjd két integrált összedjuk. Így nem szükséges z bszolút értékét venni egyik integrálnk sem. 0 T e d e d 0 Htározzuk meg primitív üggvényeket. 0 T e e 0 Helyettesítsük Newton-Leibniz-ormulánk megelelően z integrálási htárokt, és hjtsuk végre műveleteket. 0 0 0 0 T 0 0 e e e e 0 0 e e.09 e e A kérdéses terület tehát közelítőleg.09 egység. 7. eldt: Mekkor területű síkrészt zárnk közre z és g üggvények grikonji? Megoldás: Mivel két görbe áltl közrezárt síkrész területe kérdés, ezért meg kell g egyenletet. htároznunk metszéspontjikt. Oldjuk meg tehát z 0,
A kérdezett területet ezután úgy kphtjuk, hogy két üggvény különbségét integráljuk két intervllumon, s vesszük z integrál bszolút értékét. H metszéspont között, zz, zonbn el tudjuk dönteni, melyik üggvény ngyobb z intervllum belsejében, és ngyobb értékű üggvényből vonjuk ki kisebb értékűt, kkor nincs szükség z bszolút értékre. H készítünk egy ábrát, kkor rról ezt le tudjuk mjd olvsni. Az intervllum végpontjibn két üggvény most ugynzon értékeket veszi el. Mivel z egyszerűbb, így ebbe célszerű helyettesíteni. g Az g 0 g másodokú üggvény, grikonj konve prbol, egyenes. Ezek után már könnyű egy jó ábrát készíteni. g elsőokú, grikonj A, g integráljuk, s így nem lesz szükség bszolút értékre. intervllum belsejében láthtón, ezért g T d d Htározzuk meg primitív üggvényt. üggvényt T d Helyettesítsük htárokt, és vegyük helyettesítési értékek különbségét, és végezzük el műveleteket. T 8. A két grikon áltl közrezárt terület tehát. egység. 8. eldt: Forgssuk meg z -tengely körül z üggvény 0,8 intervllumhoz trtozó íve és z -tengely közötti síkrészt, és htározzuk meg keletkező orgástest térogtát. Megoldás: A megdott üggvényt és intervllumot helyettesítsük be orgástest térogtánk képletébe, mit z elméleti összeogllóbn ismertünk meg.
b V d d 8 0 Alkítsuk át z integrndust egyetlen htvánnyá, mjd htározzuk meg primitív üggvényt. 8 8 8 8 8 V d d d 0 0 0 0 0 Helyettesítsük első htárt, és vonjuk ki belőle z lsó htár helyettesítési értékét. Azután végezzük el műveleteket. 8 96 V 8 0 0 60. 0 A keletkező orgástest térogt tehát közelítőleg 60. egység. 9. eldt: Forgssuk meg z -tengely körül z üggvény intervllumhoz trtozó íve és z -tengely közötti síkrészt, és htározzuk meg keletkező orgástest térogtát. Megoldás: Mint z előző eldtbn, most is behelyettesítünk orgástest térogtánk képletébe. b V d d 0 Végezzük el négyzetre emelést. V d 0 Bontsuk el törtet két tört összegére, és végezzük el külön-külön z osztást. V dv d d 0 0 0 Htározzuk meg primitív üggvényt. V d ln ln 0 0 0 Helyettesítsük z integrálási htárokt Newton-Leibniz-ormul szerint, és végezzük el műveleteket. V ln ln ln ln 0 0 ln 7.7 A orgástest térogt közelítőleg 7.7 egység. Ellenőrző kérdések:,
. kérdés: Mekkor z lkzt területe Válsz: Válsz: Válsz: e e 0, e (helyes) e és intervllumon? g üggvények grikonji közti Válsz: e. kérdés: Mekkor z területe 0, intervllumon? és g üggvények grikonji közötti síkrész Válsz: 8 Válsz: Válsz: Válsz: 9 6 0 (helyes). kérdés: Mekkor területű síkrészt zárnk közre z és g grikonji? Válsz: Válsz:. Válsz: Válsz:. (helyes) üggvények 6. kérdés: Forgssuk meg z -tengely körül z üggvény intervllumhoz trtozó íve és z -tengely közötti síkrészt. Mekkor keletkező orgástest térogt?, Válsz: Válsz: Válsz: (helyes) Válsz:
7. kérdés: Forgssuk meg z -tengely körül z üggvény intervllumhoz trtozó íve és z -tengely közötti síkrészt. Mekkor keletkező orgástest térogt? Válsz: Válsz: 7 6 Válsz: Válsz: 7 (helyes) További kidolgozott eldtok:, 0. eldt: cos d cos sin Megoldás: Egy csúny törtet kellene integrálnunk, és törtek integrálásr nincs áltlános integrálási szbály. Ezért át kell lkítnunk vlhogy z integrndust. Középiskolából ismert cos cos sin zonosság. Hsználjuk el elsőként ezt. cos cos sin d cos sin cos sin d A számlálóbn elismerhetjük, hogy egy cos, b b típusú kiejezés, miben szerepét most b b b, számlálót szorzttá szerepét pedig sin tölti be. Mivel tudjuk lkítni. cos sin cos sin cos sin d d cos sin cos sin Ezek után pedig egyszerűsíthetjük törtet cos sin -szel. cos sin cos sin d cos sin d cos sin Ezzel nincs többé tört, hnem csk két lpintegrál összege szerepel, melyeket tgonként integrálunk. cos sin d cos d sin d sin cos c. eldt: sin sin d Megoldás: Mivel számlálóbn egy különbség áll, törtet elbonthtjuk két tört különbségére. sin sin d d sin sin sin Mindkét tört egyszerűsíthető, z első -tel, második sin -szel.
sin d d sin sin sin A második törtben egy htvány reciprok áll, mit írjunk inkább negtív kitevős htványként. d d sin sin Így már csk lpintegrálok különbsége szerepel, melyeket külön-külön integrálunk. d ctg c ctg c sin. eldt: d Megoldás: Az integrndus egy elég bonyolult tört, zonbn észrevehető, hogy számláló olyn összegre bonthtó, melynek egyik tgj nevező egyik tényezőjének, másik tgj pedig nevező másik tényezőjének szám szoros. d d Ez zért jó, mert így törtet két tört összegére bonthtjuk, és keletkező törteken belül egyszerűsíthetünk. d d d Az összeget természetesen tgonként integráljuk, konstns szorzók pedig kiemelhetők. d d d d d Az első tg lpintegrál, második tgbn pedig reciprok helyett írjunk inkább negtív kitevős htványt. d d d d Ezután már csk be kell helyettesítenünk megelelő lpintegrálokt. d d rctg c rctg c. eldt: Htározzuk meg zon véges síkrész területét, melyet koordinátrendszer két tengelye és z 8 üggvény grikonj htárol. Megoldás: Készítsünk egy ábrát üggvényről, hogy láthssuk, hogyn is helyezkedik el kérdéses lkzt koordinátrendszerben. Az ábrázolás könnyű, hiszen z grikonját kell 8 -cl leelé eltolnunk z y -tengely mentén.
Amint láthtó, negyedik síknegyedben vn olyn síkrész, mi eldt eltételeinek megelel. Nyilván szükségünk vn rr, hogy meghtározzuk, hol metszi üggvény grikonj z -tengelyt. Az ábráról sejthető, hogy zérushely, s ez üggvénybe helyettesítéssel könnyen ellenőrizhető is. Természetesen z egyenletet is megoldhtjuk, s ezzel is igzolhtjuk, hogy -nél vn metszéspont. Így egyértelmű, hogy z intervllumon tlálhtó. Mivel itt üggvény negtív értékeket vesz el, így lkzt 0, területet üggvény ezen intervllumon vett integráljánk T 8d 0 Htározzuk meg primitív üggvényt. 80 -szerese dj. T 8 0 Helyettesítsünk Newton-Leibniz-szbályb, és hjtsuk végre műveleteket. 0 T 8 80 6 0. eldt: Mekkor területű véges síkrészt zárnk közre z és g üggvények grikonji? Megoldás: Mivel két üggvénygrikonj áltl közrezárt síkrész terülte kérdés, így először g meg kell htároznunk, hol metszik egymást grikonok. Oldjuk meg z egyenletet. 0 0 H z első tényező null, kkor z 0 megoldást kpjuk. H második tényező null, kkor, miből vgy vgy. A két üggvény grikonj tehát helyen is metsz egymást. Ez zt jelenti, hogy két grikon áltl közrezárt lkzt két részből áll, mert vn közrezárt lkzt z első két metszéspont és második két metszéspont között is. Ezt jól láthtjuk, h ábrázoljuk két üggvényt. Az ábrázoláshoz célszerű meghtározni üggvények értékét metszéspontokbn. Ezeken
helyeken két üggvény zonos értéket vesz el. Mivel célszerű bb helyettesítve számolni. g 0 0 g0 0 0 g 0 g z egyszerűbb üggvény, így A kérdéses területe két integrálll htározhtjuk meg. Mivel g, ezért ezen z intervllumon integráljuk z g üggvényt, s mert 0, intervllumon g, ezért ezen z intervllumon integráljuk z g üggvényt. A terület két integrál összege lesz. 0 0,0 T d d d d 0 0 Htározzuk meg primitív üggvényeket. 0 0 intervllum belsejében T d d 0 0 Helyettesítsük z integrálási htárokt megszokott módon, és végezzük el műveleteket. 0 0 T 0 0 0 8 8 0 8 A közrezárt lkzt területe tehát 8 egység. A eldtot egy integrál kiszámolásávl is megoldhtjuk, h kihsználjuk zt, hogy közrezárt lkzt két része szimmetrikus z origór. Ekkor elég z egyik integrált kiszámolnunk, és nnk dupláját venni. Szimmetrikus lkztok esetén így csökkenthetjük számolás mennyiségét.. eldt: Mekkor területű véges síkrészt htárolnk z lábbi üggvények grikonji?, g, h 6 Megoldás: Most meg kellene keresnünk z összes olyn pontot, hol két üggvény grikonj metszi egymást. Ehhez három egyenletet is meg kéne oldnunk, hiszen bármely két üggvényt egyenlővé kellene tennünk egymássl. Készítsünk inkább egy ábrát három üggvény
grikonjáról és olvssuk le z ábráról metszéspontok helyét. Az ábrázolás során zt hsználjuk ki, hogy ismerjük üggvények jellegét. Az egy konkáv prbol lesz egységgel eltolv z egységgel eltolv z z y -tengelyt, s meredeksége 6. y y -tengely mentén. A g -tengely mentén. A h 6 konve prbol szintén pedig egyenes, mi -ben metszi Az ábráról leolvshtó, hogy öt közös pont vn, s ezek z, 0,,, helyeken vnnk. Az is láthtó zonbn hogy három üggvény grikonj áltl htárolt lkzt szempontjából csk z 0,,,0 és helyeken lévő metszéspontok érdekesek, mert intervllumokon csk két üggvény grikonj áltl htárolt lkzt lkul ki. Ngyítsuk el ezután z ábr lényeges részét. Az lkztot z helyen két részre kell bontnunk, mert más üggvény grikonj htárolj lulról és más z intervllumon. Ebből következik, hogy területet két integrál összegeként kphtjuk meg. A 0, intervllumon g üggvényt kell integrálnunk, míg z, intervllumon g h üggvényt. 0,, T d 6 d d 6 8d 0 0 Htározzuk meg primitív üggvényeket. T d 6 8d 8 0 0 Helyettesítsük z integrálási htárokt, és végezzük el műveleteket.
T 8 0 8 8 0 8 7 6 8 A három üggvény grikonj áltl htárolt lkzt területe tehát 7 egység. 6. eldt: Forgssuk meg z -tengely körül z ctg üggvény, 6 intervllumhoz trtozó íve és z -tengely közötti síkrészt. Htározzuk meg keletkező orgástest térogtát. Megoldás: Helyettesítsünk be orgástestek térogtánk képletébe. V 6 ctg d Az integrndus egy összetett üggvény, s z összetett üggvényekre nincs áltlános integrálási szbály. Mivel várhtón nem lesz egyszerű primitív üggvényt tlálni, ezért végezzük el külön htároztln integrálást. Próbáljuk átlkítni úgy z integrndust, hogy integrálhtó üggvényt, vgy zok összegét kpjuk. Induljunk el legegyszerűbb szób jöhető cos összeüggésből, mely szerint ctg, és írjuk ezt be z integrndusb. Mivel így egy sin tört négyzetét kpjuk, ezután úgy lkíthtunk tovább, hogy külön emeljük négyzetre számlálót és nevezőt. cos cos ctg d d d sin sin Még nem látszik pontosn miért jó ez z átlkítás, de középiskolából több olyn összeüggés is ismert, melyben sin és cos szerepel, így ebben z iránybn tovább lkíthtó üggvény. Ismét legegyszerűbb összeüggésből menjünk tovább, mi sin cos zonosság. Rendezzük ezt át cos sin lkr, és helyettesítsünk be z integrndus számlálójáb. cos sin d d sin sin Bontsuk el ezután törtet két tört összegére záltl, hogy külön osztjuk el számláló tgjit, mjd egyszerűsítsünk, melyik törtben erre lehetőség vn. sin sin d d d sin sin sin sin Ezzel sikerült elérnünk, hogy z integrndus két lpintegrál különbsége lett. A tgokt külön-külön integrálhtjuk, s z lpintegrálokt egyszerűen be kell helyettesítenünk. ctg sin d sin d d c A primitív üggvényt sikerült meghtározni, de tlán z olvsóbn elvetődik z kérdés, miért nem nevezőben álló sin helyére helyettesítettünk cos -et, hiszen ezt is megtehettük voln. Természetesen ez z átlkítás sem lett voln hibás, de ekkor nem tudtuk voln tovább lkítni z integrndust. A törtek esetében többször hjthtunk végre olyn átlkítást, hogy külön osztjuk el számláló tgjit. Ehhez rr vn szükség, hogy