Itegrálszámítás Gykorló feldtok Progrmtervező mtemtikus szkos hllgtókk z Alízis. című tárgyhoz Összeállított Bese Atl, Csillg Dávid, Kiss Blázs, Mátyás Gergely, Szili László 4. október
Trtlomjegyzék I. Feldtok 5. Primitív függvéyek htároztl itegrálok........... 7.. A defiíciók egyszerű következméyei.................. 7.. Primitív függvéyek meghtározásár votkozó módszerek................................. 8... Alpitegrálok.......................... 8... Alpitegrálokr vezető típusok................. 8... Itegrálás ügyese.........................4. Prciális itegrálás..........................5. Itegrálás helyettesítéssel.......................6. Rcioális függvéyek itegrálás..................7. Rcioális függvéyek itegrálásár vezető helyettesítések........................... 4. A htározott itegrál........................... 6.. A htározott itegrál értelmezése.................... 6.. A htározott itegrál tuljdosági és kiszámítás........... 7.. A htározott itegrál lklmzási.....................4. Improprius itegrálok........................... 4.5. Kiegészítések differeciálszámításhoz és z itegrálszámításhoz... 8 II. Megoldások 9. Primitív függvéyek htároztl itegrálok............. A defiíciók egyszerű következméyei.................... Primitív függvéyek meghtározásár votkozó módszerek.................................... Alpitegrálok............................. Alpitegrálokr vezető típusok.................... Itegrálás ügyese....................... 6..4. Prciális itegrálás........................ 8
Trtlomjegyzék..5. Itegrálás helyettesítéssel..................... 4..6. Rcioális függvéyek itegrálás................ 4..7. Rcioális függvéyek itegrálásár vezető helyettesítések........................... 46. A htározott itegrál........................... 48.. A htározott itegrál értelmezése.................... 48.. A htározott itegrál tuljdosági és kiszámítás........... 5.. A htározott itegrál lklmzási.................... 57.4. Improprius itegrálok........................... 57.5. Kiegészítések differeciálszámításhoz és z itegrálszámításhoz... 57
4 Trtlomjegyzék
I. rész Feldtok 5
. Primitív függvéyekhtároztl itegrálok 7. Primitív függvéyek htároztl itegrálok.. A defiíciók egyszerű következméyei F. Htározz meg z lábbi függvéyek összes primitív függvéyét: f :, + ; b f :, ; c f :, π ; d f : R. si + F. Htározz meg z f : I R függvéy I potb eltűő primitív függvéyét, h f : cos R, : π 4 ; b f : R +, : 8. F. Keresse meg zt f függvéyt, melyre f R+, f4 ; b f >, f ; + c f R, f, f ; d f R +, f, f ; e f e + 5 si R, f, f ; f f si, R, f, f, f. F4. Igzolj, hogy sig függvéyek ics primitív függvéye. F5. Bizoyíts be, hogy h z I R itervllumo értelmezett f : I R függvéyek z F, F : I R primitív függvéyei, kkor c R, hogy F F c I.
8. Primitív függvéyekhtároztl itegrálok b Mutss meg, hogy z előző állításb z feltétel, hogy D f itervllum legye, léyeges: Adjo meg oly emüres H R yílt hlmzt, oly F, F : H R differeciálhtó függvéyeket, melyre F F teljesül mide H eseté, ugykkor F és F em kostsb külöbözek egymástól... Primitív függvéyek meghtározásár votkozó módszerek... Alpitegrálok F6. Számíts ki z lábbi htároztl itegrálokt z dott I itervllumoko: 6 8 + d, I : R; c d, I : R + ; b + d, I : R + ; + d d, I : R + ; f f e + 5 d, I :,.... Alpitegrálokr vezető típusok lkú itegrálok F7. Mutss meg, hogy h f : I R pozitív és differeciálhtó z I itervllumo, kkor f f d l f + c I. F8. Az előző feldt segítségével számíts ki z lábbi htároztl itegrálokt z dott I itervllumoko: d, I : R; + b d, I : R; 6 + 7 c tg d, I : π, π e ; d d, I : R; e + 5 d e, I :, ; l f d, I :, + ; l
.. Primitív függvéyek meghtározásár votkozómódszerek 9 f α f lkú itegrálok F9. Tegyük fel, hogy z f : I R függvéy pozitív és differeciálhtó z I itervllumo és α vlós szám. Mutss meg, hogy f α f d f α+ α + + c I. F. Az előző feldt eredméyéek felhszálásávl számíts ki z lábbi htároztl itegrálokt z dott I itervllumoko: +4 4 d, I : R; b 6 + 4 d, I : R + ; c e e d, I : R; d si cos d, I : R; l 5 rsh e d, I : R+ ; f + d, I : R+ ; 4 + 7 g + 7 + 5 d, I : 5, + ; 5 h 4 cos tg d, I :, π ; f + b d lkú itegrálok F. Legye I R egy itervllum és F : I R f : I R függvéyek egy primitív függvéye. Mutss meg, hogy ekkor bármely R \ {}, b R eseté F + b f + b d + c I. F. Az előző feldt eredméyéek felhszálásávl számíts ki z lábbi htároztl itegrálokt: d > ; b d < ;
. Primitív függvéyekhtároztl itegrálok c d R; d + d > ; e d < ; f d >. F. Számíts ki z lábbi htároztl itegrálokt: d d R; b + + + 6 d c R; + + d d 5 < < + 5. 4 + f g g d lkú itegrálok F4. Tegyük fel következőket: i g : I R függvéy deriválhtó z I itervllumo, ii J R egy itervllum és R g J, iii z f : J R függvéyek létezik primitív függvéye. Ekkor z f g g függvéyek is létezik primitív függvéye és f g g d F g + c J, R; hol F f egy primitív függvéye. Godolj meg, hogy ez z állítás speciális esetkét trtlmzz z F7., F9. és F. feldtok eredméyeit! F5. Az előző feldt segítségével számíts ki z lábbi htároztl itegrálokt z dott I itervllumoko: si d, I : R; sh b d, I : R + ; c 6 + si + d, I : R; d + l d, I : R+ ;
.. Primitív függvéyek meghtározásár votkozómódszerek e cos + tg d, I : π, π ; e tg f cos d, I : π, π.... Itegrálás ügyese F6. Az itegrdus lklms átlkítás utá számíts ki z lábbi htároztl itegrálokt megdott I itervllumoko: + d, I : R; b d, I :, + ; + c d, I : R; d + 4 + d, I : R; 4 e tg d, I : π, π ; f tg d, I : π, π ; g si d, I : R; h cos d, I : R; i si cos 7 d, I : R; j cos cos d, I : R; k si d, I :, π; cos 5 l + cos d, I : π, π; m d, I :, π; si o si cos d, I : R; p cos d, I : π, π ; si cos 4 d, I : R. q + tg tg d, I : π 4, π 4...4. Prciális itegrálás F7. A prciális itegrálás szbályát lklmzv számíts ki z lábbi htároztl itegrálokt megdott I itervllumoko:
. Primitív függvéyekhtároztl itegrálok e d, I : R; b si d, I : R; c e si d, I : R; d e ch d, I : R; e l d, I : R + ; f rctg d, I : R; g l d, I : R + ; h 5 e d, I : R. F8. Számíts ki z lábbi htároztl itegrálokt megdott I itervllumoko: cos + e + d, I : R; b d, I : R; c 4 + rcsi d, I :, ; d cosl d, I : R + ; e l d, I : R + ; f cos lsi d, I :, π; l g d, I : R+ ; h l d, I : R +. F9. Legye N, és tegyük fel, hogy z f, g :, b R függvéyek -szer deriválhtók és f, g folytoosk. Mutss meg, hogy fg fg f g + + f g. F. Igzolj, hogy tetszőleges,,... eseté si d cos si + cos d si cos + si d cos d.
.. Primitív függvéyek meghtározásár votkozómódszerek..5. Itegrálás helyettesítéssel F. Állíts elő helyettesítéses itegrálássl következő htároztl itegrálokt: d, ; b + d R; c d > ; d d < ; e + d R; f + 5 d R; g + b + c d, b, c R...6. Rcioális függvéyek itegrálás F. Számíts ki z lábbi htároztl itegrálokt megdott itervllumoko: d, > ; b d, < ; + + c d, I : R; d d, I : R; + + + + + 5 e d, I : R; f d, I : R; + + + 5 6 g d, I : R; h d, I : R; + 7 + F. Igzolj, hogy tetszőleges,,... eseté d + + + + + d. F4. Prciális törtekre botássl számíts ki következő htároztl itegrálokt megdott itervllumoko: d, I :, 4; 4 b d, I :, + ; c d, I :, ;
4. Primitív függvéyekhtároztl itegrálok 4 d 5 d, I :, 5 ; e + 4 d, I : R+ ; f + d, I :, + ; 4 8 g + d, I :, ; 4 8 h d, I :, + ; + i d, I : R; + 4..7. Rcioális függvéyek itegrálásár vezető helyettesítések F5. Alklms helyettesítéssel vezesse vissz z lábbi itegrálokt rcioális függvéyek itegráljár: + d > ; b d > ; + c + 4 d > ; / d d > ; + /7 + e d < ; f d < < ; g d > ; h d < ; i d < <. + F6. Alklms helyettesítéssel számíts ki z lábbi htároztl itegrálokt úgy, hogy visszvezeti rcioális függvéyek itegráljár: + si d < < π; cos
.. Primitív függvéyek meghtározásár votkozómódszerek 5 cos b d π < < π; + cos c + tg d < < π. F7. Oldj meg z előző feldtot ügyese is. Alklmzz következő zoosságokt: + si cos cos + si cos si + si cos ; cos b + cos + cos cos ; c + tg cos cos + si si + cos +. 5 cos + si A végeredméyeket hsolíts össze z előző feldtb kpott végeredméyekkel. F8. Számíts ki z lábbi htároztl itegrálokt: + si + cos d π < < π; b + si + cos d π < < π; c + 5 cos d < < π; d L-Sch 64. oldl 8. feldt. F9. Alklms helyettesítéssel számíts ki z lábbi htároztl itegrálokt úgy, hogy visszvezeti rcioális függvéyek itegráljár: 4 d > l ; e 4 b e d R; e + e + 4 c d R; e + 4e + Elemi függvéyek
6. A htározott itegrál. A htározott itegrál.. A htározott itegrál értelmezése F. Mutss meg, hogy Dirichlet-függvéy em Riem-itegrálhtó [, ] itervllumo. F. Adjo meg oly f : [, b] R függvéyt, melyik em Riem-itegrálhtó [, b]-, de f már Riem-itegrálhtó [, b]-. F. A defiíció lpjá számíts ki következő htározott itegrálokt: d, b d. F. Mutss meg, hogy z f : [, b] R korlátos függvéy kkor és csk kkor Riem-itegrálhtó kompkt [, b] itervllumo, és z itegrál értéke z I vlós szám, h z [, b] itervllumk v oly felosztássorozt, melyhez trtozó lsó- és felső közelítő összegek sorozt koverges, és midkettőek z I szám htárértéke. Jelekkel: { b h [, b]-ek τ felosztássorozt, melyre f R[, b] és f I F4. Az előző feldt állítását felhszálv igzolj, hogy b b b b e d e b e α d bα+ α+ α + < b; lim sf, τ lim Sf, τ I. + + < < b, α vlós szám; c d l b l < b. F5. Mutss meg, hogy h f kkor és csk kkor Riem-itegrálhtó kompkt [, b] itervllumo és z itegrál értéke I, h bármely mide htáro túl fiomodó τ felosztássorozt eseté lim s f, τ lim S f, τ I. + +
.. A htározott itegrál tuljdosági és kiszámítás 7 F6. Bizoyíts be, hogy + + + + l. F7. Láss be, hogy z, h R \ Q f : q, h p Q \ {}, p, q q, h Riem-függvéy Riem-itegrálhtó [, ]-e és f... A htározott itegrál tuljdosági és kiszámítás F8. Adjo meg oly Riem-itegrálhtó függvéyt, melyikek ics primitív függvéye. F9. Mutss meg, hogy h f folytoos z [, b] itervllumo és itt f, kkor b f f z [, b]-. F4. A Newto Leibiz-tétel felhszálásávl számíts ki z lábbi htározott itegrálokt: c e g 5 4 π 5 d 5 + 4 ; d + ; e si d; d + + ; b e d f h e l sil d; d + 4 + 5 ; l d; e d.
8. A htározott itegrál F4. Alklms megválsztott függvéyek htározott itegrálják felhszálásávl számíts ki z lábbi htárértékeket: lim + k + k ; b k 9 ; c d lim + lim + lim + k + + + + + + + + + + + ; + ; α + α + + α e lim α >. + α+ F4. Cuchy Buykovszkij Schwrz-egyelőtleség: Tetszőleges f, g R[, b] függvéyek eseté b b b fg d f d g d. F4. Számíts ki z I : d,,,... itegrálokt. Keresse I -re rekurziós formulát. F44. Bizoyíts be, hogy h f folytoos [, ] itervllumo, kkor f d f d. F45. Láss be, hogy m d m d m, N.
.. A htározott itegrál tuljdosági és kiszámítás 9 F46. Bizoyíts be, hogy Bm, : m d m!! m + +! m, N. F47. Igzolj, hogy h f : [, ] R egy folytoos függvéy, kkor fu u du u ft dt du. F48. Bizoyíts be z lábbi egyelőtleségeket: b c e π 8 + 6 d 4, e r si d π r e r, si + d, 7, d π π 4 si d 6. F49. Htározz meg z lábbi miimumokt: mi { c d : c R } ; b mi { π/ π/ si b d :.b R }. hol r > vlós szám, + 4 d 6 5, F5. Keresse meg zokt z < b vlós számokt, melyekre z b + d itegrál értéke mimális. F5. Igzolj, hogy f D[, ], f > eseté { mi } f c : c R f f.
. A htározott itegrál F5. Keresse meg következő htárértékeket: +h lim + t dt, h h b lim si t t dt. F5. Mutss meg, hogy z f : sit dt R függvéy deriválhtó, és számíts ki deriváltfüggvéyt. F54. Tegyük fel, hogy f : R R oly folytoos függvéy, melyre si π ft dt R teljesül. Meyi z f értéke 4 potb? F55. Bizoyíts be következő állításokt: H f mooto övekedő, kkor f d k f k f f N. b H f differeciálhtó és f korlátos [, ] itervllumo, kkor v oly -től függetle c > vlós szám, mellyel z f d k f c k egyelőtleség mide N számr teljesül. Síkidom terülte.. A htározott itegrál lklmzási A H korlátos f : [, b] R függvéy Riem-itegrálhtó z [, b] itervllumo és f [, b], kkor z f grfikoj ltti A : {, y R b, y f}
.. A htározott itegrál lklmzási síkidom területét így értelmezzük: ta : b f d. H f z [, b] itervllumo, kkor B : {, y R b, f y } síkidom területe: B Legye tb : b f d. ϕ t y ϕ t t [α, β], t [α, β] sim elemi Γ R görbe egy prméteres előállítás. Tegyük még fel zt is, hogy ϕ szigorú mooto övő és ϕ t t [α, β]. Ekkor C : {, y R ϕ t, y ϕ t, t [α, β]} síkidom területe: C Az tc r ϱϕ, β α ϕ tϕ t dt. α ϕ β polárkoordiátás lkb megdott görbe áltl meghtározott E : {, y R r cos ϕ, y r si ϕ; r ϱϕ, α ϕ β} szektorszerű trtomáy területe, h ϱ itegrálhtó: T E β α ϱ ϕ dϕ. F56. Számolj ki z y egyeletű egyees és z y + 6 egyeletű prbol áltl közrezárt síkidom területét.
. A htározott itegrál F57. Htározz meg z y 4 és z y 4 görbék áltl meghtározott síkidom területét. F58. Htározz meg z y 4 és z y görbék áltl meghtározott síkidom területét. F59. Számíts ki z lábbi síkbeli hlmzok területét: {, y R 4, y 4 4 }, b {, y R e, y l }, c {, y R + y,, b > }. b F6. Htározz meg z f ás g függvéyek grfikoj áltl htárolt síkrész területét: f : p >, p >, g : p R, p > ; b f : R, g : 4 R. F6. Szemléltesse z lábbi prméteres lkb megdott síkbeli görbéket: ϕ t : cos t t [, π, y ϕ t : si t t [, π sztrois; b ϕ t : cos t cos t t [, π, y ϕ t : si t si t t [, π krdiodid; Számíts ki görbék áltl meghtározott síkidomok területét. F6. Szemléltesse z lábbi polárkoordiátákb megdott síkbeli görbéket: r ϱϕ : cos ϕ ϕ [ π, π ] kör; b r ϱϕ : cos ϕ ϕ [ π 4, π 4 ] lemiszkát. Számíts ki görbék áltl meghtározott síkidomok területét. Síkbeli görbe ívhossz B Legye Γ R egy sim elemi görbe és ϕ ϕ, ϕ : [α, β] R Γ egy prméterezése. Ekkor Γ görbe rektifikálhtó, és Γ ívhossz: lγ β α [ϕ t ] + [ ϕ t ] dt.
.. A htározott itegrál lklmzási A Legye Γ z f : [, b] R folytoos differeciálhtó függvéy grfikoj. Ekkor Γ görbe rektifikálhtó, és ívhossz: lγ b + [ f t ] dt. C H ϱ : [α, β] R folytoos differeciálhtó, kkor z r ϱϕ α ϕ β polárkoordiátás lkb megdott Γ görbe rektifikálhtó és z ívhossz: lγ β α ϱ ϕ + [ ϱ ϕ ] dϕ. F6. Htározz meg z lábbi függvéyek grfikoják hosszát: f, b f / 5, c f l 8 4, d f 6 +. F64. Számíts ki z lábbi prméteres lkb megdott görbék ívhosszát: ϕ t : e t si t, y ϕ t : e t cos t t [, π/; b ϕ t : cos t, y ϕ t : si t t [, π/. F65. Htározz meg z lábbi polárkoordiátás lkb megdott görbék ívhosszát: Forgástest térfogt r ϱϕ : si ϕ ϕ [, π]; b r ϱϕ : ϕ [π/, π]. ϕ Legye f : [, b] R folytoos függvéy és tegyük fel, hogy f z [, b] itervllumo. Az f grfikoják z -tegely körüli forgtásávl dódó H : {, y, z R b, y + z f}
4. A htározott itegrál forgástest térfogt: V H : π b f d. F66. Htározz meg z f : [, b] R függvéy grfikoják z -tegely körüli megforgtásávl dódó forgástest térfogtát: f : [, ]; 4 Forgástest felszíe b f : si [, π]; c f : e [, ]. Legye f : [, b] R egy folytoos differeciálhtó függvéy és tegyük fel, hogy f z [, b] itervllumo. Az f grfikoják z -tegely körüli forgtásávl dódó H : {, y, z R b, y + z f} forgásfelület felszíe: F H : π b f + [ f ] d. F67. Htározz meg z f : [, b] R függvéy grfikoják z -tegely körüli megforgtásávl dódó forgástest felszíét: f : [, ]; b f : si [, π]; c f : [, 4]..4. Improprius itegrálok D. Tegyük fel, hogy z f függvéy Riem-itegrálhtó tetszőleges, b R itervllum lehet és b lehet + is mide kompkt [α, β], b részitervllumá, és legye c, b egy tetszőleges, de rögzített pot. Az f függvéyt improprius itegrálhtók evezzük z, b itervllumo
.4. Improprius itegrálok 5 vgy zt modjuk, hogy f improprius itegrálj koverges, b-, h létezek és végesek z lábbi htárértékek: lim t + c t f d és lim s b s és f improprius itegráljá ezek összegét értjük: b f d : lim t + c t f d + lim s b c f d, s c f d. T. H f improprius itegrálhtó z, b itervllumo, kkor z improprius itegrálják z értéke függetle defiíciójáb szereplő c, b pot megválsztásától. T. Tegyük fel, hogy korlátos f függvéy Riem-itegrálhtó kompkt [, b] R itervllumo. Ekkor f improprius is itegrálhtó, b- és eze z itervllumo z improprius itegrálj megegyezik z f függvéy [, b]- vett Riem-itegráljávl. F68. Vizsgálj meg z lábbi improprius itegrálok kovergeciáját. H koverges, kkor htározz meg z értékét: c e + + d α R, b α d α R, d α + d, f d α R, α + d, d. F69. Dötse el, hogy z lábbi improprius itegrálok közül melyek kovergesek. A kovergesek eseté számolj ki z itegrál értékét. c e e d, l, d, l d, b d f e d, l d, l p d p R.
6. A htározott itegrál T. Az összehsolító kritérium: Legye, b R hol lehet és lehet b +, és tegyük fel, hogy f is és g is Riem-itegrálhtó, b-ek mide kompkt részitervllumá, továbbá f g, b. H z b g d improprius itegrál koverges, kkor z b f d improprius itegrál is koverges mjoráskritérium. H z b f d improprius itegrál diverges, kkor z b g d improprius itegrál is diverges mioráskritérium. F7. Dötse el, hogy z lábbi improprius itegrálok kovergesek-e: c e + e d + + 4 +, b cos + d, D. Akkor modjuk, hogy z f d improprius itegrál bszolút koverges, h z T4. H z is. b b d, d b f + + d + + + 5, + d, 5 + d. f d improprius itegrál koverges. f d improprius itegrál bszolút koverges, kkor koverges F7. Mutss meg, hogy z lábbi improprius itegrálok kovergesek: cos d, F7. Bizoyíts be, hogy + si b d koverges, b + + si d. si d diverges.
.4. Improprius itegrálok 7 T5. Tegyük fel, hogy z f : [, + R + függvéy folytoos, mooto csökkeő. Mutss meg, hogy f számsor koverges vgy diverges szerit, hogy z + f d improprius itegrál koverges vgy diverges. A tétel érvéybe mrd bb z esetbe is, mikor f feti tuljdoságokkl [k, + itervllumo k N redelkezik. Ebbe z esetbe + f, illetve f d helyébe + f, illetve f d értedő. k F7. Az előző tétel felhszálásávl vizsgálj meg kovergeci szempotjából z lábbi számsorokt: α R; b α l. k F74. Mutss meg, hogy z + e d improprius itegrál koverges. Később mjd meg fogjuk mutti zt, hogy + e d π. F75. Bizoyíts be, hogy mide > vlós számr z + t e t dt improprius itegrál koverges. A Γ : + függvéyt gmmfüggvéyek evezzük. t e t dt R + b Igzolj, hogy i Γ + Γ R +, ii h,,,..., kkor Γ +!.
8. A htározott itegrál.5. Kiegészítések differeciálszámításhoz és z itegrálszámításhoz F76. A biomiális sor. Tetszőleges α R eseté z α αα α k + : k,,,... k k! biomiális együtthtókkl képzett k α k k htváysor ezt evezzük biomiális sork mide < eseté koverges, és z összegfüggvéye z + α, függvéy: + k α k + α,. k F77. A Wllis-formul: lim + 4 + π. F78. A Stirlig-formul: lim +! e π, zz! közelítésére z lábbi formul érvéyes:!, π h +. e F79. Mutss meg, hogy π irrcioális szám.
II. rész Megoldások 9
. Primitív függvéyekhtároztl itegrálok. Primitív függvéyek htároztl itegrálok.. A defiíciók egyszerű következméyei M. d l + c, + ; b d l + c, ; c si d ctg + c; d d rctg + c. + M. cos d si + c és si π + c c ; 4 cos d si. 4 π b d + c. M. f d f + c és f4 4 + c + c c, zz f. b f + d f l + + c és f + l + + c + c c, zz f l + +. c f d f + c és f + c c és f + + d f + + c és f 6 + + c c és f 6 +.
. Primitív függvéyekhtároztl itegrálok d f d f + c és f + c c és f + + d f l + + c és f l + + c c és f l +. e f e + 5 si e + 5 si d f e 5 cos + c és f e 5 cos + c c 4 és f e 5 cos + 4 e 5 cos + 4 d f e 5 si + 4 + c és f e 5 si + 4 + c c és f e 5 si + 4. f f si si d f cos + c és f cos + c c és f cos + cos d f si + c és f si + c c és f si + si + d f + cos + + c és f + cos + + c c és f + cos +... Primitív függvéyek meghtározásár votkozó módszerek... Alpitegrálok M6. 6 8 + d 4 + + c, b + d + 4 + c, 4 c d 7 8 d 5 8 5 + c, 8
.. Primitív függvéyek meghtározásár votkozómódszerek + d d + + d 5 + 4 + + c, 5 f f e + 5 d d+5 d +5 rcsi +c.... Alpitegrálokr vezető típusok lkú itegrálok M7. Az f függvéy egy primitív függvéye l f, mert l f f. Mivel f f f f itervllumo értelmezett, ezért mide primitív függvéye l f-től egy kostsb külöbözik. M8. + d + d l + + c, b 6 + 7 d 6 6 + 7 d l 6 + 7, si si c tg d cos d d lcos + c, cos e d e + 5 d e e + 5 d le + 5 + c, d e l d l l + c, l d f l d l l + c. l f α f lkú itegrálok M9. M7-hez hsoló. M. + 4 4 d 6 b 6 + 4 d 8 c e e d, 6 + 4 4 + 4 5 + c, 6 5 8 6 + 4 d 6 + 4 8 e e d e 4 + c, 4 + c,
4. Primitív függvéyekhtároztl itegrálok d si cos d si cos d si4 + c, 4 l 5 e d l5 d l6 + c, 6 rsh f + d, rsh rsh d + + c rsh + c, 4 + 7 g + 7 + 5 d 4 + 7 + 7 + 5 5 5 4 d h 4 4 4 + 7 + 5 + c, cos tg d f + b d lkú itegrálok M. M7-hez hsoló. M. d b d c + d rctg + c, d d rth + + cos tg d + c d 4 4 + c, + d d tg + c. + c, +c 4 4 +c, d + d
.. Primitív függvéyek meghtározásár votkozómódszerek 5 e d d rcsi +c, f M. d d + 5 5 5 rctg 5 + d 5 + c, 5 d b + + 6 4 [ + 4 ] + c d d + + 8 [ + 8 ] + d 4 + 5 [ 5 ] f g g d lkú itegrálok d rch + c. 6 + d [ 5 ] + + 4 + 6 d + 5 d d rctg + + c, + + 8 d d + + 4 d d rsh 8 + + c, + 5 d d rcsi 5 + c. M4. M7-hez hsoló. M5. si d si cos d + c,
6. Primitív függvéyekhtároztl itegrálok sh b d sh d ch + c, c 6 + si + d cos + + c, d + l d d rctgl + c, + l e d rshtg + c, cos + tg f e tg cos d cos etg d e tg + c.... Itegrálás ügyese M6. + d + d d rctg+c, + + + 4 + 7 b d d + 7 d d + 7 d + 7 l + c, c 4 + d 4 4 + 4 + 4 4 rctg + c, d + d [ + ] + d + + d + d + 4 d + d + 7 7 + 4 4 + c, si si e tg d cos d d l cos + c, cos si f tg cos d cos d d cos cos d tg + c, cos cos g si d d d d si +c, 4
.. Primitív függvéyek meghtározásár votkozómódszerek 7 h cos d cos cos d cos si d cos d cos si d si si + c, siα + β + siα β i si α cos β zoosság lpjá si + si 4 si cos 7 d d si si4 d si d si 4 d cos cos 4 + c, 4 cosα + β + cosα β j most cos α cos β zoosságot lklmzzuk: cos cos d [cos + + cos ] d 5 si 5 6 + si 6 + c, k si d si cos d cos + si si cos d si cos d si { cos cos si, h π d 4 si cos, h π π ; { 4 si + cos, h π 4 z f : cos si +, h π π 4 függvéy egy primitív függvéy. cos 5 l + cos d cos 5 cos + si + cos si d cos 5 cos d cos cos d 5 cos d 5 tg + c, m si d si cos d d cos tg d ltg + c. si cos cos
8. Primitív függvéyekhtároztl itegrálok..4. Prciális itegrálás M7. e d f f, g e g e e e e d 4 e + c. b si d f f, g si g cos + cos d f f, g cos g cos + [ si ] si d cos + 9 si + cos + c. 9 c e si d cos si f e f e, g si g cos e cos + e cos d f e f e, g cos g si e cos + e si e si d; redezés utá kpjuk, hogy e si d e cos + e si + c. d e ch d prciális itegrálássl is meghtározhtó, de egyszerűbb következő: e ch d e5 e + c; e e + e e 5 d + e d
.. Primitív függvéyek meghtározásár votkozómódszerek 9 e l d l d g, g ; f l, f l d l + c; f rctg d rctg d g, g, f rctg, f + rctg + d rctg 8 6 + 9 d rctg l + 6 9 + c; g l d g, g ; f l, f l d l 9 + c; h 5 e d e d g e, g e ; f, f e d e e d e + c. M8. cos + e + d f e +, f e + ; g si + cos +, g e+ si + e + si + d f e +, f e + ; g cos + si +, g + si + e [ e + cos + e + cos + d ] + si + e + 4 e+ cos + 9 e + cos + d, 4
4. Primitív függvéyekhtároztl itegrálok redezés utá zt kpjuk, hogy cos + e + d e+ si + + e + cos + + c; b + 4 4, c rcsi d rcsi d g, g ; f rcsi, f rcsi d rcsi + d rcsi + + c; d cosl d cosl d g cosl, g sil ; f, f sil sil d sil + sil d g sil, g cosl ; f, f sil + cosl cosl d cosl d sil + cosl + c; e l d l d l d l +c F 7/e; f cos lsi d g cos, g si ; f lsi, f cos si si lsi si cos d si lsi cos d si si lsi si + c; g l d l d l + c;
.. Primitív függvéyek meghtározásár votkozómódszerek 4 h l d ; l l d l l d g, g f l, f l g, g l l d l l + 4 + c...5. Itegrálás helyettesítéssel M. Az elkövetkező feldtok megoldásához z lábbi összefüggés yújt segítséget: f d fgtg t dt tg Itt f egy I itervllumo dott pl. folytoos függvéy, g : J I pedig egy szigorú mooto övekedő vgy csökkeő differeciálhtó függvéy J itervllumo. Ilyekor zt modjuk, hogy z gt helyettesítést lklmzzuk. Figyeljük mjd g helyettesítő függvéy szigorú mootoitásák z elleőrzésére! Most z si t : gt helyettesítést lklmzzuk. Mivel, ezért, h g-t π, π itervllumo tekitjük, kkor itt g szigorú mooto övekedő, ezért feti képlet lklmzhtó: d si t cos t dt cos t trcsi trcsi t rcsi si t 4 + c rci sircsi cosrcsi + c trcsi b Itt z + c sh t : gt t R; g, g t ch t t R helyetesítést lklmzzuk:
4. Primitív függvéyekhtároztl itegrálok ch + d + sh t ch t dt t ch t dt trsh trsh ch t + dt sh t trsh 4 + t ch t sh t +c + t trsh +c trsh ch rsh + rsh + c + + rsh + c; c Az d > itegrál kiszámításához lklmzz z ch t : gt t > helyettesítést. f Alklmzhtjuk z sh : gt t R helyettesítést. A feldtot megoldhtjuk z 5 4 [ + + + ] zoosság felhszálásávl is...6. Rcioális függvéyek itegrálás M. d l + c, h, +, b d l + c, h,, + c + + d + + + d l + + + c, + + d + + d + + + d + + l + + + + + d l + + + + [ + ] + d l + + + rctg + + c, e + + d + + d 4 [ ] d 4 4 + + [ rctg + ] + c, + 5 f + 5 d + + 5 d [ d + + 5 + 5 d] [l + 5 +
.. Primitív függvéyek meghtározásár votkozómódszerek 4 + + 9 d] [l + 5 + 4 + 4 9 [ 9 ] + d] l + 5 + 9 + rct[ 9 9 ] + c, 6 + g + 7 d + 7 d [ + 7 d + + + 6 d] [l +7 + 6 [ 6 ] + d M.... l + 7 + 6 rct[ 6 ] + c. M4. Az itegrdus felbotás kis próbálkozássl is meghtározhtó:... 4... 4, 4 de biztos módszert is lklmzhtjuk: z 4 A + B A 4 + B 4 4 A + B 4A + B 4 lpjá A + B, 4A + B dódik, miből A, B következik. Ezért 4 d d + 4 d l + l4 + c, h < < 4. e Az itegrdus így bothtó fel:... + 4 +... + 4 4. + 4
44. Primitív függvéyekhtároztl itegrálok Ezt felbotást biztos módszerükkel így htározhtjuk meg: z + 4 A + B + C + 4 A + 4 + B + C + 4 A + B + C + 4A + 4 lpjá A + B, C, 4A, zz A, B. Ezért 4 4 + 4 d 4 d 8 + 4 d 4 l 8 l + 4 + c, h >. h Az itegrdus felbotás: 4 8 + A + A + B + C + + B + C +. Közös evezőre hozás, mjd számlálób változó együtthtóik összehsolítás utá egy 6 ismeretlees egyeletredszert kpuk z A i, B i, C i ismeretleekre. A szób forgó felbotást zob így is meghtározhtjuk: [ ] 4 8 + 4 + + 4 + + + 4 + + + + + + 4 + + + + + + + + 4 +. Az egyes tgok primitív függvéyei ie már szokásos módo htározhtók meg.
.. Primitív függvéyek meghtározásár votkozómódszerek 45 i Először evezőt kell felboti tovább már em bothtó vlós téyezők szorztár. A felbotásb elsőfokú téyezők yilvá em leszek z + 4 egyeletek ui. ics vlós gyöke, ezért + 4 összeget két másodfokú téyező szorztár kell felbotuk. Ezt émi ügyeskedéssel így tehetjük meg: Így + 4 + + 4 + miből szokásos módszerrel dódik. Ezért + d 4 + + +. + A + B 4 + + C + D + +, A, B, C, D + + d + + + + d + + + + d + d 4 l + + + d+ + 4 l + + + + + d 4 l + + + + + + d + + + + d 4 l + + + + rctg + rctg + + c.
46. Primitív függvéyekhtároztl itegrálok M5. b..7. Rcioális függvéyek itegrálásár vezető helyettesítések d + + 6 d t : 6 ; t 6 : gt t > ; g t 6t 5 t >, g t t + t 6t5 dt 6 t 6 + t dt t 6 t + 6 dt t + t 6 t t + dt 6 t + t 6 6 t 6 t + 6t 6 l + t + c t 6 6 6 + 6 l + 6 + c; c + 4 d 4 + 4 d t : 4 ; t 4 : gt t > ; g t 4t t > ; g t t + t 4t dt + t 4 t dt 4 t + t 4 4 t + t dt t 4 t t dt 4 t + t 4 4 t 4 t t + dt 4 t 4 t 4 lt + + c t 4 4 4 4 l 4 + + c g Tudjuk, hogy t helyettesítés rcioális törtfüggvéy itegrálásár vezet. H >, kkor yilvá < t <, mi zt jeleti, hogy z t : gt t,
.. Primitív függvéyek meghtározásár votkozómódszerek 47 helyettesítő függvéyt lklmzzuk. Mivel g t 6t t > t,, ezért g szigorú mooto övekedő, így htároztl itegrálokr votkozó második helyettesítési szbályuk vlób lklmzhtó: t d 6t t t dt t. Mivel t ezért 6t t t dt t + 4 t t dt + + dt t + l t + t 4 t dt + t + t + c, t d + l + + c >.
48. A htározott itegrál M..... A htározott itegrál.. A htározott itegrál értelmezése M. Legye f, h [, b] Q és f, h [, b] Q. M. A feldt részébe tekitse z [, ] itervllum egyeletes felosztásit. A b részbe mide N eseté vegye z [, ] itervllumk zt felosztását, melyet z i i,,,..., potok htározk meg. b megoldás: Legye f : [, ], q :, és tekitsük z [, ] itervllum τ : { i : q i i,,..., } felosztását. Az ehhez trtozó lsó közelítő összeg: sf, τ q q i f i i i i q i q i, q i q i q i Hsoló τ felosztáshoz trtozó felső közelítő összeg: Sf, τ q i f i i i i i h +. q i q i q i i q q, h +. Mivel lim sf, τ I f I f lim Sf, τ + +, ezért I f I f. Az f függvéy tehát itegrálhtó z [, ] itervllumo, és f.
.. A htározott itegrál értelmezése 49 M. H f R[, b] és b f I, kkor I f I f I, ezért mide N számhoz létezik [, b]-ek oly τ felosztás, melyre I sf, τ I f I f Sf, τ I +. A τ felosztássoroztr tehát lim sf, τ lim Sf, τ I teljesül. + + H [, b]-ek v oly τ felosztássorozt, melyre teljesül, kkor z I lim sf, τ lim Sf, τ I + + lim sf, τ I f I f lim Sf, τ I + + egyelőtleségekből következik, hogy I f I f I, zz f Riemitegrálhtó z [, b] itervllumo és b f I. M4. A feldt részébe tekitse z [, b] itervllum egyeletes felosztásit. A b és c részbe mide N eseté vegye z [, b] itervllumk zt felosztását, melyet z b i i,,,..., potok htározk meg. c megoldás: Legye f : [, b], q : b, és tekitsük z [, b] itervllum τ : { i : q i i,,..., } felosztását. Az ehhez trtozó lsó közelítő összeg: sf, τ f i i i i i q i q i. q i q b A sorozt htárértékéek meghtározásához vegyük észre, hogy b b, és eek htárértéke g : b R epoeciális függvéy potbeli deriváltjávl hozhtó kpcsoltb. Mivel g D{} és g l b, ezért lim sf, τ lim g l + + b b l b.
5. A htározott itegrál M5.... A τ felosztáshoz trtozó felső közelítő összeg: Sf, τ f i i i i i q i q i q b q i. Mivel h : b R függvéy deriválhtó, és h l b, ezért lim Sf, τ lim b / lim h l b + + b + /. Azt kptuk tehát, hogy z [, b] itervllumk v oly felosztássorozt, - melyhez trtozó lsó- és felső közelítő összegek sorozt ugyhhoz számhoz trt. Alklmzzuk most z előző feldt állítását. M6. A sor Leibiz-típusú sor, tehát koverges. Itt hgsúly z összeg meghtározásá v. Ehhez tekitse következő cseles átlkításokt: + 4 + + + + + + 4 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Ez utóbbi z R+ függvéyek z [, ] itervllum egyelő részre vló felosztásávl vett lsó közelítő összege. Az F4. feldt c része lpjá ez függvéy itegrálhtó, és d l. Az előző feldt állítását felhszálv kpjuk bizoyítdó egyelőséget. M7. Mivel mide itervllumb v irrcioális szám és így oly, hol f értéke, ezért [, ] itervllum tetszőleges τ felosztás eseté sf, τ, tehát I f sup{sf, τ τ F[, b]}. Azt kell megmutti, hogy is igz. I f zt jeleti, hogy I f if{sf, τ τ F[, b]} ε > -hoz τ F[, ] : Sf, τ < ε..
.. A htározott itegrál tuljdosági és kiszámítás 5 Adott ε > számhoz egy ilye τ felosztást következőképpe dhtuk meg. Vegyük egy oly N számot, melyre < ε teljesül. Vegyük észre, hogy függvéy -él gyobb értéket -él kevesebb helye veszi fel. Ugyis, h f, kkor p és q kell, hogy legye, márpedig q mide q -hez -él kevesebb p v, melyre < p < és p, q. q Ezért tekitsük [, ]-ek z egyelő részre vló τ felosztását. Mutss meg, hogy Sf, τ <... A htározott itegrál tuljdosági és kiszámítás M8.... M9.... M4. d 5 + 4 5 d rcsi + c, 9 d [ rcsi ] 5 5 + 4 rcsi rcsi π. b sil d cosl + c, e sil d cos. g Először z itegrdus primitív függvéyeit htározzuk meg. Alklmzzuk t +, 5, t 4 helyettesítést, zz tekitsük z t : gt t 4 helyettesítő függvéyt. A g függvéy szigorú mooto övekedő z [, 4] itervllumo, deriválhtó és g t t t [, 4], ezért htároztl itegrálokr votkozó második helyettesítési szbályt lklmzhtjuk: d + + t + t t dt. t +
5. A htározott itegrál Mivel ezért t + t t dt t t + t dt [ A t + B t + t dt + 4 5 5 ] dt t t t + dt t + dt 5 lt + 4 lt + + C, 5 d + + d 5 l + + 4 5 l + + + C. A Newto Leibiz-tétel lpjá tehát 5 d + + d [l + + 4 l + + ] 5 5 h Először z itegrdus primitív függvéyeit htározzuk meg. Most t e, l, t helyettesítéssel próbálkozuk, zz vesszük z l + t : gt t l. 5 helyettesítő függvéyt. A g függvéy deriválhtó és g t t t [, ], g +t tehát szigorú mooto övekedő. A htároztl itegrálokr votkozó második helyettesítési szbály tehát lklmzhtó: e t d t + t dt dt t e + t t e t rctg t t e rctg e + C. e A Newto Leibiz-tétel lpjá tehát l e d [ e rctg ] l e π.
.. A htározott itegrál tuljdosági és kiszámítás 5 M4. megoldás: Mivel + + + + + + + + +, + + + ezért ezt z összeget felfoghtjuk úgy is, mit z f : + > függvéyek [, ] itervllum egyeletes felosztásához trtozó közelítő összege. Sőt ez f mooto csökkeése mitt egy lsó közelítő összeg. Az f függvéy folytoos, tehát itegrálhtó, és + d. Az F5. feldt állítását felhszálv kpjuk, hogy kérdezett sorozt htárértéke. e megoldás: Mivel ezért : α + α + + α α+ i α, lim α d + + α. Megjegyzés. Ez z eredméy zt jeleti, hogy mide ε > vlós számhoz létezik oly N ide, hogy mide természetes számr feállk z ε α+ α + α + α + + α + ε α+ α + egyelőtleségek. Ngy -ekre tehát z α + α + + α összeg z α+ α+ számml jól közelíthető. Ezt úgy is ki szoktuk fejezi, hogy α + α + + α szimptotikus egyelő α+ α+ -gyel, h +, és ezt rövide így szokás jelöli: α + α + + α α + α+ i +.
54. A htározott itegrál Vgy zt modjuk, hogy z α + α + + α összeg α+ gyságredű. Figyelje meg, hogy h α, vgy, kkor szób forgó összegeket zárt lkb is fel tudjuk íri, és ebből kphtuk iformációt rról, hogy z összeg gy -ekre mekkor. Más α-kr pl. α zárt lk vgy ics vgy pedig eheze dhtó meg. A feldtb muttott egyszerű eszközökkel tehát mide α > vlós szám eseté zárt lk ismerete élkül kptuk iformációt z összeg gy -ekre vló viselkedéséről. M4. H b f b g, kkor z fg f + g [, b] egyelőtleségből b b fg d fg d [ b f d+ következik, tehát ekkor igz z állítás. b ] g d Tegyük fel, hogy b f és b g közül leglább z egyik -tól külöböző, például b f >. Mide λ vlós prméter eseté z F : λf + g függvéy itegrálhtó [, b]-, és z itegrálj emegtív, zz b b λf + g λ f + λ b fg + b g λ R. A jobb oldl λ-k egy másodfokú poliomj, és ez poliom mide λ R eseté emegtív, mi csk úgy lehetséges, h diszkrimiás, zz b b b fg 4 f g, miből már következik z állítás. M4. I d. H, kkor I I + d I I + [ ] d d d I I,
.. A htározott itegrál tuljdosági és kiszámítás 55 zz Ezért I I + I,,.... +,,.... M44. Végezze el z t gt t [, ] helyettesítést. M45.... M46. Prciális itegrálv zt kpjuk, hogy [ m+ m + Ezért Bm, ] Bm, + m + Bm +, m +! m + m + m d m+ d Bm +,. m + m + m + Bm +, m + m+!m! d m + +!. M47. Itegráljo prciális. M48. d + 6 d 4. b Mivel si [, π ], ezért π π e r si d π d er si π e r π d π r [ ] e r π π π r e r. c Az itegrálszámítás középértéktétele szerit létezik oly ξ [, ], mellyel si d si ξ + + d si ξ[ rctg ] π 4 si ξ π si <, 7. 4
56. A htározott itegrál d A Cuchy Buykovszkij-Schwrz-egyelőtleség lpjá 6 + 4 d + 4 d d 5. e Legye f : si, π. Mivel f cos tg, π és tg mide, π potb tg függvéy ui. kove, π/- e és grfikoják z éritője potb z y egyees, ezért f mooto csökkeő, π/-e, ezért 8 f π π π 4 π π 4 si M5. Az itegrdus folytoos, ezért z F : d f π π 4 π 4 + t dt R 6. itegrálfüggvéye mide R potb differeciálhtó és F + R, következésképpe F lim h F + h F h h lim h h +h + t dt. M55. b Jelölje M z f egy felső korlátját: f M [, ]. Legye egy rögzített természetes szám, és tekitsük [, ] itervllum k k,,,..., osztópotokkl vett egyeletes felosztását. Ekkor ezért : f d k k k [ k f d f k k k f f k ] d k k k k k f d, f d k k k k k f f k f k d d.
.. A htározott itegrál lklmzási 57 Alklmzzuk most z f függvéyre [ k, k ] itervllumo Lgrge-féle középértéktételt: v oly ξ [ k, k ], melyre Az f korlátosság mitt k k f f k f ξ k. k f f d M k k Ezért M M egyelőtleség mide N eseté teljesül. k t dt M... A htározott itegrál lklmzási.4. Improprius itegrálok.5. Kiegészítések differeciálszámításhoz és z itegrálszámításhoz M76. H α emegtív egész szám, kkor tgok bizoyos idetől kezdve -vl egyelők, így sor koverges. H α em ilye, kkor egyik együtthtó sem, ezért D Alembert-féle háydoskritérium és α α k α k + k + k lpjá α k+ α k k+ k α α k k α kk+ α k k +, h k +, ezért sor vlób koverges mide, eseté. Jelöljük f-fel sor összegét: f : + k α k,. k
58. A htározott itegrál Megmuttjuk, hogy f hsoló deriválási szbály érvéyes, mit z + α < függvéyre. Erre függvéyre ugyis + α α + α, zz + + α α + α teljesül mide, potb. Ehhez hsoló feáll z + f αf, egyelőség. Ez htváysor deriválásár votkozó állítás és felhszálásávl így igzolhtó: + α + α + f + k k k k k k k + [ α α ] k + + k k α k + k k + k + α k + k k k α k αf. k k Ebből most már z f + α egyelőség köye bizoyíthtó. Legye ugyis g : f,. + α A g függvéy deriválhtó és mitt g f + α fα + α + α + f αf + α, ezért g álldó, -e. Az potb g, ezért vlób feáll z f + α, egyelőség. M77. Az állítást z I : π si d,,,... itegrálok kiszámításá keresztül látjuk be. Világos, hogy I π d π és I π si d [ ] π cos.
.5. Kiegészítések differeciálszámításhoz és z itegrálszámításhoz 59 h >, kkor prciális itegrálv zt kpjuk, hogy I miből dódik. π cos si d I [ si ] π I cos π π cos si cos d si si d I I, I I,,... I I I π, I + + I I. Mivel mide természetes számr si + si + si, π/, ezért zz I + I + I N, + + π + π. Ebből + + π 4 + π M78. Az lpötlet z, hogy z l d itegrált, zz z l függvéy [, ] itervllumo vett grfikoj ltti területet beírt trpézok területéek összegével közelítjük. A szób forgó itegrál köye meghtározhtó: l d [ l ] l + l l e +l e l e e.
6. A htározott itegrál Tekitsük most z l kokáv! függvéy grfikojáb beírt zo töröttvolt, melyek szögpotji görbe,,..., bszcisszákhoz trtozó potji. Az e töröttvol ltti síkidom területe egy háromszögek és trpézk területéből tevődik össze, és z értéke: l + l + l + + l + l l + l + + l l l!, ezért területek külöbsége: : l e! e e l l > N. e! zért pozitív, mert z l függvéy kokáv z egész R + -o. A geometrii trtlomból yilvávló, hogy sorozt mooto övekedő. Egy szellemes geometrii megfotolásból z is következik, hogy sorozt felülről korlátos és l mide N eseté. Ezért sorozt koverges. Az ep függvéy szigorú mooto övekedő, ezért z e e e! sorozt is koverges, és htárértéke pozitív. A sorozt reciprok, tehát z! : N e sorozt is koverges. Feldtuk htárértékéek kiszámolás. Ehhez két észrevételt érdemes megjegyezi: egyrészt zt, hogy < lim lim, mi z és lim lim yilvávló következméye. A másik észrevétel z, hogy Wllis-formulávl hozhtó kpcsoltb: [! ] [ 4 6 ] [! ] e e!! 4 6 + +.
.5. Kiegészítések differeciálszámításhoz és z itegrálszámításhoz 6 A Wllis-formul lpjá ezért lim + lim + 4 6 lim lim + 4 6 π +,! e lim + + π π, mi zt jeleti, hogy lim +! e π. M79. Elég igzoli zt, hogy π irrcioális. Ezt idirekt módo látjuk be. H π rcioális lee, kkor létezéek oly p, q N számok, melyre π p q teljesüle. Vegyük most egy oly N számot, melyre ilye v, miért?, és tekitsük z πp <! f :! R függvéyt. Az iderekt feltételt felhszálv prciális itegrálássl mutss meg, hogy A : πp f si π d egy egész szám. Ez viszot elletmodás, mert < A πp! d πp! <.