Kétváltozós függvéek Tartalomjegzék Többváltozós függvéek... Kétváltozós függvéek... Nevezetes felületek... 3 Forgásfelületek... 3 Kétváltozós függvé határértéke... 4 Foltoos kétváltozós függvéek... 6 A parciális deriváltak... 7 A parciális deriváltak geometriai jeletése... 7 Parciális derivált függvé... 8 Kétváltozós függvé deriváltja (gradies vektor... 8 A gradies vektor létezéséek elégséges feltétele... 9 A differeciálhatóság geometriai jeletése... Kétváltozós függvé irámeti deriváltja... Veges másodredű parciális deriváltak egelősége... A kétváltozós függvé lokális szélsőértéke... 3 A szélsőérték létezéséek szükséges feltétele... 3 A szélsőérték létezéséek elégséges feltétele... 3 A szélsőérték jellege... 4 A kétváltozós függvé tartomái szélsőértéke... 7
Többváltozós függvéek Lege D eg dimeziós pothalmaz, és f egértelmű hozzáredelés, mel mide (,,... D dimeziós pothoz eg valós u számot redel. Jelölése: u f (,,..., a függvé az értelmezési tartomáa D. Ha D kétdimeziós, akkor f kétváltozós, a szokásos jelölés z f (,, ha D három dimeziós akkor f három változós, a szokásos jelölés u f (,, z Ezekkel a speciális esetekkel foglalkozuk. Kétváltozós függvéek Geometriai iterpretáció A z f (, függvé geometriai iterpretációját, hasolóa az egváltozós függvéek grafikojához, a háromdimeziós Descartes koordiátaredszerbe úg kapjuk, hog az {, } merőlegese. Az (,, f(, síkba az (, koordiátájú potokhoz az f által hozzáredelt z értéket mérjük fel potok által meghatározott alakzat a függvé geometriai megfelelője. Ha f (, foltoos (lásd később akkor ezt felületek modjuk. Szitvoalak Sokszor a felületet ehéz elképzeli. Ebbe segíteek a koordiáta síkokkal való metszetgörbék és a szitvoalak. Defiíció: A z C egeletű, {, } metszésvoalát szitvoalak evezzük. Segíteek a függvét elképzeli. Ha a szitvoalakat az {, } mit a domborzati térképe szokás. síkkal párhuzamos síkak és a felületek a síkra vetítjük, akkor két dimezióba is ábrázolhatjuk a felületet
Nevezetes felületek Forgásparaboloid, az { z, } és a {, } z koordiátasíkkal való metszetei parabolák, szitvoalai kocetrikus körök f, + Egelete: ( Hiperbolikus paraboloid f, Ha az Egelete: ( egeletű {, } z koordiátasíkkal metszük el a felületet, akkor a metszetgörbe egelete z, ha az egeletű {, } z koordiátasíkkal metszük el a felületet, akkor a metszetgörbe egelete z, Ha az Ha z egeletű {, } síkkal párhuzamos síkkel metszük el a felületet, akkor a metszetgörbe egelete z egeletű hiperbola Forgásfelületek Ha az síkbeli z f( u egeletű görbét a z-tegel körül megforgatjuk, a kapott forgásfelület egelete z f ( + Nevezetes forgásfelületek Félgömb Egelete: z R ( + Forgási hiperboloid (két köpeű Egelete: z + + Forgási hiperboloid (eg köpeű Egelete: Kúp Egelete: z + z + 3
Ábrázoljuk a z z felületet és határozzuk meg a 75 síkkal való metszésvoalát. (szitvoal f, értelmezési tartomáát Határozzuk meg az ( : Az f (, értelmezési tartomáa az a tartomá, ahol > Kétváltozós függvé határértéke Az egváltozós függvéek határértékére voatkozó lehetséges defiíciók közül a következőt általáosítjuk: lim f ( A, akkor és csak akkor, ha mide potsorozatra ( Általáosítva: (, (, ( lim f, A (, f A (, (,, akkor és csak akkor, ha mide f A potsorozatra A defiíció közvetle következméei Függvéek kostas-szorosáak, összegéek, szorzatáak, háadosáak (ha a evező em ulla, racioális kitevős hatvááak a határértéke a határértékek kostas-szorosa, összege, szorzata, háadosa, racioális kitevős hatváa. 4
Létezik-e a következő függvé határértéke a (-,3 potba és ha ige mei? + 3 f(, 4 + 5,ahol a evező em ulla, ott a létezik határértéke és lim + 3 ( + 3 3 5 4 + 5 4( + 5 3 7 (, (,3. Létezik-e ugaeek a függvéek a határértéke a (, potba, és ha ige mei? + 3 Az 4 + 5 függvéek ics határértéke (, potba, mert létezik két külöböző potsorozat (rövide út, mel meté közelítve az origóba külöböző határértéket kapuk. Pl. az - tegele közelítve az origóba, azaz (, (, 3 + eseté 4 + 5 az - tegele közelítve az origóba, azaz (, (, + 3 eseté 4 + 5 5., Létezik-e határértéke az origóba az ( f + függvéek Nem létezik, mert az tegel meté a határértéke, hisze lim lim, + + egees meté lim lim (, (, (, (, + + (, (, (, (, de az 3. Létezik-e határértéke az origóba az f (, függvéek + Láthatjuk, hog mid a tegelek meté, mid az azt sejtjük, hog va határértéke. Ezt a következőképpe láthatjuk be: egees meté a határértéke, 5
Eg tetszőleges (, hoz tartó (, segítségével: melek a ( Azaz potsorozatot felírható polár-koordiáták rcosϕ, és rsiϕ, -hoz tartásához elegedő az r feltétel a ϕ sorozattól függetleül. 3 ( r cosϕ rsi ϕ r cosϕsiϕ r (, (, ϕ ϕ ( cos ( si + r r r r r ϕ + r ϕ lim lim lim lim cos si Jó taács: ha ugaezt a módszert megpróbáljuk alkalmazi az előző példáál, akkor ( ( r cosϕ ( r siϕ rcosϕ rsi ϕ r cosϕsiϕ (, (, + r r r r + lim lim lim lim cosϕ siϕ mert a határérték, ha cosϕ siϕ si ϕ függ a π ϕ, akkor pedig 4, stb ϕ sorozattól. Ha ϕ akkor a limes Foltoos kétváltozós függvéek Ha a z f (, (, potba és a kettő egelő, akkor ott a függvé foltoos (, függvéek létezik helettesítési értéke és határértéke eg azaz ha lim f (, f(, (, (,. Foltoos-e a következő függvé: f (, ha (, (, + ha (, (, potba. : Nem foltoos, hisze ics határértéke az origóba (lásd:5. oldal. példa ha (, (, Foltoos-e a következő függvé: f (, + ha (, (, : Ige, foltoos, mert a függvéek va határértéke (lásd:5. oldal 3. példa és az megegezik a helettesítési értékével. 6
A parciális deriváltak Az szeriti parciális derivált defiíciója: f ( Az szeriti parciális derivált defiíciója: f ( ( +, (, f h f, (, lim, h h, f, + h f, lim h h (, ( ( Vagis a kétváltozós függvé egik változóját kostasak tekitve a másik változója szerit deriváljuk. A parciális deriváltak geometriai jeletése Az f (, függvé (, potbeli változó szeriti parciális deriváltjáak a geometriai jeletése a z f (, felület és az egeletű sík metszésvoala z f, görbe éritőjéek a meredeksége. ( ( Az f (, függvé (, geometriai jeletése a z f (, ( z f (, potbeli változó szeriti parciális deriváltjáak a felület és az egeletű sík metszésvoala görbe éritőjéek a meredeksége. 7
Parciális derivált függvé Ha tetszőleges (, potba képezzük a z f (, változó szeriti parciális deriváltját, akkor az változó szeriti parciális derivált függvét kapjuk (ahol létezik ( f ( + h, f, f f (, lim, szokásos jelölés még h h, z z, vag Ha tetszőleges (, z f, változó szeriti parciális potba képezzük a ( deriváltját, akkor az változó szeriti a parciális derivált függvét kapjuk (ahol létezik ( f (, + h f, f (, lim, szokásos jelölés még h h f, z vag z Határozzuk meg a z z si, z cos Határozzuk meg a z cos, z cos si függvé és szeriti parciális derivált függvéeit! z si függvé és szeriti parciális derivált függvéeit! Határozzuk meg a z függvé és szeriti parciális derivált függvéeit! z z l Határozzuk meg a, mert szerit hatváfüggvé,, mert szerit epoeciális függvé z cos függvé és szeriti parciális derivált függvéeit! +, mert szerit szorzatfüggvé, z cos ( si( z ( si(, mert szerit em szorzat függvé, hisze kostas. Kétváltozós függvé deriváltja (gradies vektor Defiíció: 8
A függvé z f (, gradiese eg adott potba a parciális deriváltakból, mit koordiátákból alkotott vektor: gradf ( f (,, f (, Defiíció: Az (, létezik a gradies vektora. Azaz f kétváltozós függvé differeciálható az (, (, (, ((,( f f gradf, potba (totálisa, ha a közelítőleg egelő itt azt jeleti, hog a két oldal eltérése a megváltozás hosszával osztva ullához tart. Tétel Ha eg kétváltozós függvé differeciálható eg potba, akkor ott foltoos. Bizoítás (, (, ((,( f f gradf miatt a baloldal ullához tart, ami a foltoosság defiíciója. Megjegzés Abból, hog eg függvéek létezek a parciális deriváltjai, em következik, hog differeciálható. Például, a következő függvéek az origóba létezik mid mid szerit a parciális deriváltja és midkettő, de em differeciálható, hisze még csak határértéke sics az origóba. Ez a függvé léegébe z, vagis az {, } meté em, haem a függvé értéke. sík csak az -tegel és az -tegel A gradies vektor létezéséek elégséges feltétele Tétel: A gradies vektor létezéséek elégséges feltétele, ha az adott potba a parciális derivált függvéek foltoosak. 9
A differeciálhatóság geometriai jeletése Az f (, kétváltozós függvé differeciálható az (, létezik éritő síkja, melek egelete z z f (, ( + f (, ( Tehát: ( Az f (, függvé P,, f (, ( f (,, f (,, potba (totálisa, ha potbeli éritősíkjáak a ormál vektora Bizoítás vázlat Ha a függvé differeciálható, akkor a függvé megváltozása közel lieáris, azaz (, (, ((,( f f gradf, másképpe írva zz f (, ( + f (, (, az éritősík egelete tehát: z z f (, ( + f (, ( Adjuk meg az f (, 9 ( egeletét! + függvé (, potjába az éritősík Az éritősíkhoz ormálvektora: ( f (,, f (,, (,, (, 4, ( eg potja P f ( ( ( ( z, (,,,, (,,4, tehát az éritősík egelete: 4 4, azaz + 4+ z 4
Kétváltozós függvé irámeti deriváltja Defiíció: Az f (, függvé e irába vett irámeti deriváltjáak evezzük a f ( + eh, + eh f (, következő határértéket: f e (, lim h h Azaz az (, potból eg előre rögzített egségvektor e ( e, e ézzük a függvéérték megváltozását és íg képezzük a ( e iráába f ( + eh, + eh f (, h külöbségi háadost, majd eek vesszük a határértékét midő a megváltozás ullához tart. Szokásos jelölés még: f e Tétel Ha létezik a függvé gradiese, akkor az irámeti derivált a gardies vektor és a megadott irába mutató egségvektor skaláris szorzata: Határozzuk meg az ( deriváltját a P (, potba! f e gradf e f, függvé v ( 3,4 iráába eső irámeti Az irámeti deriválthoz szükséges a gradies vektor az adott potba és eg egség hosszú vektor mel a keresett irába mutat. gradf (,, gradf ( 4,4 (, Tekitve, hog v ( 3 + 4 5, az iráába mutató egségvektor 3 4 e, 5 5 Tehát f gradf e e f 3 4 6 4 4,4, + e 5 5 5 5 5, azaz ( Határozzuk meg az f (, irámeti deriváltját a ( 5 +, 3 P potba! függvé + 3 5egees iráába eső
Az irámeti deriválthoz szükséges a gradies (ha létezik az adott potba és eg egség hosszú vektor mel a keresett irába mutat. 3 ( + + ( 3 ( + 5 5 f f (, 36, (, 3 f, gradf ( 36,3 Az egees egeletéek átalakításával, ( + + ( 3 ( + 5 5 3 f 3 5 látható, 3 3 hog az egees meredeksége m és az egees iráába mutató vektor v ( 3,, 3 a szükséges egségvektor az irámeti derivált tehát : v 3 e, v, f 3 8 3 76 gradf e ( 36,3, + e Tétel A gradies a függvé legagobb övekedéséek iráába mutat. Ez azt jeleti, hog az irámeti derivált a gardies vektor iráába a legagobb! Ekkor az irámeti derivált értéke a gardies vektor hosszával egelő. Bizoítás f gradf e e, gradf e gradf e cosα, ahol α a vektorok szöge. A skaláris szorzat akkor a legagobb, ha a két vektor által bezárt szög, hisze ekkor a szög kosziusza. Ekkor tehát gradf e gradf e gradf Veges másodredű parciális deriváltak egelősége Tétel: (Youg tétele : Ha a z f (, függvéei az A ( ab, pot A totálisa differeciálhatók, akkor ( ( kétváltozós függvé elsőredű parciális derivált I körezetébe létezek és a függvé az A potba f a, b f a b., Megjegzés. A parciális deriváltak foltoossága elégséges feltétele a függvé totális differeciálhatóságáak.
Tehát az is igaz, hog ha a másodredű parciális derivált függvéek foltoosak, akkor a veges másodredű deriváltak egelők, azaz értékük em függ a deriválás sorredjétől, f (, f, vagis ( A kétváltozós függvé lokális szélsőértéke Defiíció A z f (, függvéek az (, (, potak ola körezete, melbe az z f (, potba lokális maimuma va, ha létezik az A z f (, függvéek az (, (, potak ola körezete, melbe az z f (, a legagobb érték, potba lokális miimuma va, ha létezik az a legkisebb érték, A szélsőérték létezéséek szükséges feltétele A lokális szélsőérték (maimum vag miimum létezéséek szükséges feltétele: gradf f (,, f (,, Idoklás ( ( Ha a függvéek lokális szélsőértéke va az (, -ba és a függvé differeciálható, azaz létezik ott az éritősíkja és, akkor abba a potba az éritősík vízszites, a ormál vektora a z tegellel párhuzamos, vagis mivel ( f (,, f (,, adódik, hog gradf ( f (,, f (, (, ( Mide potba a gradies merőleges a poto áthaladó szitvoalra. A szélsőérték létezéséek elégséges feltétele A lokális szélsőérték (maimum vag miimum létezéséek elégséges feltétele: (, (, (, (, f f f f > Ha em teljesül, akkor ics szélső értéke a függvéek, akkor eregpotja va. Bizoítás élkül 3
A szélsőérték jellege A szélsőérték jellegét (maimum vag miimum az f (, állapíthatjuk meg. ( determiás D> f és előjele alapjá f előjele midig megegezik abba a potba ahol feti Ha f (, > akkor a függvéek miimuma va, ha f ( maimuma va. Megjegzés: f (,, hisze akkor D lee., < akkor Hol va lokális szélsőértéke a következő függvéek? ( f(, 4 + e 8 4 f e e e 8 8 e + + 44 ( ( ( ( 3 ( ( ( 4 ( ( 8 3 ( 4 f e + + e e e f, e ( 44 44, vag f, e ( 4 4, vag ( A megoldásokra:.. 4 4 3. 4 és, és, 4 4,, és A megoldások: (,,(, (,, (,,,(, 4
Tehát sorra kell vei ezeket a potokat és ki kell számoli D determiás értékét. f f f > f Megézi, hog D teljesül-e. Ha em, akkor ics szélső értéke a függvéek, akkor eregpotja va. f e e + e e + 8 + + 4 e + e e + + + f e e + e e + + + e + + + f e e + e ( ( 3 4 4 ( ( 4 4 3 ( 4 4 ( 3 3 3 ( ( 8 ( 8 6 ( 6 4 8 6 ( ( 3 8 ( ( 8 3 ( 8 6 4 4 ( 4 6 4 8 6 ( 6 4 8 ( ( 3 8 8 ( ( 8 8 3 ( 4 3 3 ( 6 4 ( ( 3 8 ( ( 8 3 + ( 6 3 3 3 3 ( 4 6 4 6 ( 6 4 e + + f e e e e + + e + + Az f deriváltat már feleslegese számoltuk ki, mert a Youg tétele szerit megegezik f -vel. Vizsgáljuk meg a D értékét azokba a potokba ahol a parciális deriváltak ullák.. (, 4 f (, e + 8 + + 4 8 ( 4 (, + + +, f (, e 6 4 8 3 3 ( ( ( f, f, e + 6 + 4 Tehát D f f függvéek.. (, ( f ( (, f (,,,, 8 6 >, vagis va lokális szélsőértéke a 5
( ( f (, e + 8 + + 4 e + 8 + 4 6e 4, ( ( f (, e + 6 + 4 + 8 e 8 6e 4, 3 3 ( ( ( f, f, e + 6 + 4 Tehát D ( ( (, f (,, f, f, 6e >, vagis va lokális szélsőértéke a f 6e függvéek az (, potba. Tekitettel arra, hog f (, <, ezért itt a függvéek lokális maimuma va. 3. (, ( f (, e 4 6e ( f (, e + 4+ 4e f ( f (,, Tehát D ( ( (, f (, f, f, 6e <, vagis ics lokális szélsőértéke a f 4e függvéek az (, potba. 4. (, f (, e + 8+ 4 6e f f (, 6 ( e ( f (,, Tehát D ( ( (, f (, f, f, 6e >, vagis va lokális szélsőértéke a f 6e függvéek az (-, potba. Tekitettel arra, hog f (, <, ezért itt a függvéek lokális maimuma va. 5. (, f (, e 4 6e ( f (, 4 e 6
f ( f (,, ( ( Tehát D f (, f (, függvéek a (, potba., f, f, 6e <, vagis ics lokális szélsőértéke a 4e Azt kaptuk, hog a ( és az (, potokba va lokális maimum, a (, potba pedig lokális miimum. A maimum értéket megkapjuk, ha behelettesítük a függvébe. f(, 4e,4764 f(, 4e,4764 f (, A kétváltozós függvé tartomái szélsőértéke Defiíció A z f (, függvéek az (, z f (, potba tartomái maimuma va, ha a legagobb érték az egész tartomába, A z f (, függvéek az (, z f (, potba tartomái maimuma va, ha a legkisebb érték az egész tartomába. A tartomái szélsőértéket a függvé vag a tartomá belsejébe vag a határá veszi fel. Ha a tartomá belsejébe veszi fel, akkor ott lokális szélsőértéke is va. Határozzuk meg a következő függvé tartomábeli legagobb és legkisebb értékét (másképpe tartomái vag globális szélsőértékeit a T égzete. ( f(, 4 + e 7
Két eset lehetséges:. A szélsőértéket a tartomá belsejébe veszi fel.. A szélsőértéket a tartomá határá veszi fel. Ha a globális szélsőértéke a tartomá belsejébe va, akkor ott lokális szélsőértéke is va a függvéek. Praktikus megjegzés: Azt azoba em kell vizsgáli, hog télegese va-e ott szélsőértéke, mert ha ics akkor aál kisebb vag agobb értéket a határo vesz fel.. Vagis meg kell ézi a függvé értékét azoko a heleke ahol f és. Ezeket az értékeket kell összehasolítai a határo felvett értékekkel. Ezek közül a legagobb a globális maimum, a legkisebb a globális miimum. A parciális deriváltak ullák a (,,(,,(,,(,,(, potokba.,4764, (, f(, f(, 4e Ezek közül a legkisebb a és a legagobb a a legagobb és a legkisebb értéket. f,, f (, f(, e f. 4e. A tartomá határá is meghatározzuk 4 A tartomá határai. egees. Eze a függvé f(, ( 6 e hog eek hol va a maimuma és a miimuma a [,] zárt itervallumo. Először (, - határozzuk meg az egváltozós függvé szélsőértékét. ( 4 ( 4 (, 6 ( 4 f e + + e e ( 5 + kérdés, Ahol ez a derivált ulla, ott lehet szélsőértéke. vag 5. Ezek közül a 4 6 tartomába a (, pot esik. Itt a függvé értéke f(, ( 6 e 4 e Hasolóa az egees meté a lehetséges szélsőérték 4 6 f(, ( 6 e,96648 4 e 4 Az f(, 4 + 4 e, egeese ( ( ( ( (,96648 4 4 4 3 4 f (, 8 e + e 4 + 4 8e 8 e 4 4 Ez csak a (, potba ulla, a függvé értéke itt f(, 4e,746 4 e 3 4 Az egeese f(, 8 e, mel csak a (, potba ulla, a függvé 4 4 értéke itt f(, 4e,746 4 e Végül meg kell ézi a égzet csúcspotjaiba 8 f(, f(, f(, f(, ( 6 + 4 e,6875 8 e 8
az íg kapott függvéértékek közül kell kiválasztai a legkisebbet és a legagobbat. A legagobb függvéérték a (, és (, potokba va az origóba va. 4e,4764, a legkisebb 9