Járványterjedési modellek nem-markov hálózati folyamatokra. Doktori értekezés tézisei

Átírás

1 Járváyterjedési modellek em-markov hálózati folyamatokra Doktori értekezés tézisei Vizi Zsolt Témavezetők: Dr. Karsai Jáos egyetemi doces Dr. Röst Gergely tudomáyos főmukatárs Matematika- és Számítástudomáyok Doktori Iskola Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Szeged 2016.

2

3 Bevezetés A hálózatok (vagy gráfok) olya struktúrák, amelyek lehetőséget yújtaak a populáció tagjai közötti kapcsolatok heterogeitásáak feltárására, modellekbe törtéő beépítésére [1], [9]. Számos modell, amely korábba feltételezte a klasszikus rekeszredszeres megközelítéshez tartozó egyeletes (homogé) keveredést, a hálózatok alkalmazásával fejlődött tovább [7], [14]. A struktúra rugalmasságát fémjelzi, hogy a csúcsok az egyedek mellett csoportokat és területeket is reprezetálhatak. Hasolóa, az összeköttetések (élek) az egyedek közötti kapcsolatoko túl, csoportok közötti iterakciót és földrajzi helyek közötti útvoalakat is jelethetek. A legtöbb SIR (fogékoy (susceptible)-fertőzött (ifected)-felgyógyult (recovered)) típusú hálózatos járváyterjedési modell a fertőzési és felgyógyulási folyamatot egyarát Markovak (memória élküliek) feltételezi [16]. Ez a feltétel túlságosa erősek bizoyul, például az epidemiológia esetébe, ahol kimagasló jeletőséggel bír a fertőzési periódus eloszlása és számtala esetbe a mérési adatokból yert empirikus eloszlásokat em-expoeciális eloszlással közelítik. Napjaikba újra előtérbe került a em-markov folyamatok vizsgálata, külööse járváyterjedés hálózato törtéő modellezéséél [5], [12], [17], [2]. Egy lehetséges megközelítés az átlag-tér (mea-field) és párokéti (pairwise) modellek alkalmazása: míg előbbi a rekeszredszerek elvé alapul, utóbbival eredméyese közelíthetők a hálózatos sztochasztikus járváyterjedési folyamatok [15]. A disszertáció célkitűzése a párokéti modellek kidolgozása em-markov járváyterjedési diamikára, ahol a fertőzés Markov marad, de a felgyógyulási folyamatba a fertőzéstől a felgyógyulásig eltelt idő tetszőleges eloszlású lehet. A kapott redszerek teljes aalízise eseté a megoldások pozitivitására, a modellekhez tartozó reprodukciós számokra és a végállapot-egyeletekre összpotosítuk. A modellek érvéyességét egyrészt explicit sztochasztikus szimulációk, másrészt umerikus megoldó algoritmusok implemetálásával vizsgáljuk. A disszertáció az alábbi három, Röst Gergellyel és Kiss Istváal közös publikációra épül: Kiss, I.Z., Röst, G. ad Vizi, Z., Geeralizatio of pairwise models to o-markova epidemics o etworks. Physical review letters, 115(7), p Röst, G., Vizi, Z. ad Kiss, I.Z., Impact of o-markova recovery o etwork epidemics. I I BIOMAT 2015, World Scietific, pp Röst, G., Vizi, Z. ad Kiss, I.Z., Pairwise approximatio for SIR type etwork epidemics with o-markova recovery. arxiv preprit arxiv:

4 Reprodukciós szám és végállapot-egyelet Expoeciális eloszlású fertőzési és felgyógyulási időtartam eseté homogé hálózatokra az alábbi SIR típusú átlag-tér modell írható fel: [S](t) = τ N [S][I](t) [I](t) = τ [S][I](t) γ[i](t) (1) N [R](t) = γ[i](t), ahol egy N csúcsú, k = fokszámeloszlású hálózatot feltételezük, τ a fertőzési ráta, γ a felgyógyulási ráta és a fogékoy, fertőzött és felgyógyult csúcsok várható számát/aráyát a t időpotba redre [S](t), [I](t) és [R](t) jelöli. Az [XY ](t) és [XY Z](t) jelöléseket az X Y élek és X Y Z hármasok számáak várható értékére bevezetve, a következő párokéti modellt írhatjuk fel: [S](t) = τ[si](t) [I](t) = τ[si](t) γ[i](t) [SS](t) = 2τ 1 [SS](t)[SI](t), [S](t) (2) [SI](t) = τ 1 [SS](t)[SI](t) τ 1 [SI](t)[SI](t) τ[si](t) γ[si](t). [S](t) [S](t) A járváy egy adott fertőző betegségek a vártál szigifikása gyakoribb vagy egy meghatározott küszöbszitet meghaladó előfordulása egy adott területe, illetve közösségbe, egy meghatározott, viszoylag rövid időtartam alatt. A járváyok gyakra a populáció számos tagját em éritik. A meg em fertőzött egyedek számát a végállapot egyelettel tudjuk leíri, amely kapcsolatot teremt a járváyba megbetegedettek és a leíró modellhez tartozó reprodukciós szám között. A reprodukciós számok alapvető jeletőséggel bírak a matematikai epidemiológiába és egy teljese fogékoy populációba érkező átlagos beteg egyed által a felgyógyulásig eltelt időtartam alatt megfertőzöttek várható számával defiiálhatók. Világos, hogy ez a defiíció az egyedek szitjé va megfogalmazva. Míg az átlag-tér megközelítés a csúcsok szitjé felírt egyeletekkel vizsgálja a fertőzés terjedését, addig a párokéti modellek a fogékoy (S S) és fertőző (S I) élek közötti diamikát írják le. Ez az észrevétel vezet az alap és párokéti reprodukciós számok fogalmához. Precízebbe, a következő két meyiséget külöböztetjük meg: (a) az alap reprodukciós szám az I csúcsok várható élettartamáak és az egységyi idő alatt újoa fertőzött csúcsok számáak szorzata (jelölésbe R 0 ), 3

5 (b) a párokéti reprodukciós szám az S I élek várható élettartamáak és az egységyi idő alatt újoa keletkező S I élek számáak szorzata (jelölésbe R p 0). Az R 0 és R p 0 legfotosabb értékeit a 1. táblázat foglalja össze. Markov Kostas Általáos R 0 R p 0 τ [S] N γ 0 τσ[s] N 0 τe(i)[s] N N τ [S] τ+γ 0 (1 N e τσ )[S] 0 1 (1 L[f N I](τ)) [S] 0 1. táblázat. Az alap és párokéti reprodukciós számok formulája a felgyógyulási időtartam külöböző eloszlásai eseté. Itt L[f I ](τ) jelöli a felgyógyulási folyamathoz tartozó f I sűrűségfüggvéy Laplace traszformáltját a τ helye. Az (1) egyeletekből számolható d[i]/d[s] háyados itegrálásával kapjuk a következő egyelőséget: l ( ) [S] [S] 0 ( ) [S] = R 0 1. [S] 0 A következőkbe haszáli fogjuk az s = [S] [S] 0 jelölést (az 1 s aráyt megbetegedési aráyak/attak rátáak evezzük). A feti formulákat haszálva kapjuk, hogy l s = R 0 (s 1). (3) Ezt az egyeletet végállapot egyeletek evezzük és implicit módo adja meg a járváy utá megmaradt fogékoy populáció aráyát. Világos, hogy agyobb reprodukciós számhoz kisebb s (így agyobb attak ráta) tartozik. A (2) redszer eseté sokkal több számolással kapjuk az alábbi összefüggést (ezt az általáos esetre adott bizoyítás is mutatja): s = R p 0 ) (s 1 1. (4) Az eloszlás hatása a járváyterjedésre Vegyük észre, hogy míg R 0 csak a várható értéktől függ (lásd 1. táblázat, Általáos eset), az R p 0 párokéti reprodukciós szám meghatározásához a teljes sűrűségfüggvéyt felhaszáljuk, vagyis a fertőzési periódus átlagos hossza em határozza meg egyértelműe R p 0 értékét. Emiatt egy járváy eseté arra kell törekedük, hogy az eloszlás alakját miél potosabba meghatározzuk. A következőkbe éháy kokrét esetet vizsgáluk. 4

6 1. ábra. (a) Az explicit sztochasztikus szimulációk átlagolásából kapott járváygörbék em-markov esetbe, ahol a fertőzési ráta τ = 0.3 és a fogékoyak száma kezdetbe [S] 0 = 999 egy homogé N = 1000 csúcsú hálózato = 15 csúcsokéti fokszámmal. A körök/égyzetek/rombuszok redre az (a, b) = (2, 0.5)/(1, 1)/(0.5, 2) paraméterű gamma eloszlású felgyógyulási időtartamhoz tartozak. (b) A folytoos voal az R p 0 reprodukciós számot ábrázolja, mit a v variacia függvéye rögzített m = 1 átlagra és a körök/égyzetek/rombuszok az (a) ábrá látható eseteket reprezetálják. A belső ábra az előző esetekhez tartozó sűrűségfüggvéyeket mutatja. A gamma eloszlás az epidemiológiába egyik leggyakrabba haszált eloszlástípus, amelyet empirikusa megfigyelt látes és fertőzési periódus közelítésére is alkalmazak. Determiisztikus esetbe például többfázisú megbetegedést leíró közöséges differeciálegyeletekkel jól modellezhető olya járváy, ahol a felgyógyulásig eltelt időtartam gamma eloszlással közelíthető. Ha az I fertőzési periódust a és b paraméterű gamma eloszlásúak feltételezzük, (vagyis I Gamma(a, b)), akkor igazolható a következő állítás: Állítás. Tegyük fel, hogy I 1 Gamma(a 1, b 1 ) és I 2 Gamma(a 2, b 2 ) véletle változók úgy, hogy E(I 1 ) = E(I 2 ) és Var(I 1 ) Var(I 2 ). Ekkor ha I 1 és I 2 a felgyógyulási időtartamokat reprezetálja, akkor a reprodukciós számokra az R p 0,I 1 R p 0,I 2 reláció teljesül (azaz adott várható értékű gamma eloszlású változók eseté agyobb variacia kisebb párokéti reprodukciós számot eredméyez). A reprodukciós szám variaciabeli mootoitását az 1(b) ábrá szemléltetjük. Adott átlag és külöböző variacia eseté, az átlagolással kapott járváygörbék is külöbözek egymástól (lásd 1(a) ábra). Az egyeletes eloszlás az egyik legalapvetőbb eloszlásfajta, egyszerűsége lehetőséget ad a reprodukciós szám és a betegség diamikája közötti kapcsolatot leíró aalitikus eredméyek levezetésére. Egyeletes eloszlású ikubációs és fertőzési periódust alkalmaztak például madáriflueza modellezéséél. Jelölje Uiform(a, b) az [a, b] itervallumo egyeletes eloszláscsaládot, ahol a 0, b > a. A következő állítás az előbb látott mootoitási tulajdoságot fogalmazza meg egyeletes eloszlás 5

7 eseté: Állítás. Tegyük fel, hogy I 1 Uiform(a 1, b 1 ) és I 2 Uiform(a 2, b 2 ) véletle változók úgy, hogy E(I 1 ) = E(I 2 ) és Var(I 1 ) Var(I 2 ). Ekkor ha I 1 és I 2 a felgyógyulási időtartamokat reprezetálja, akkor a reprodukciós számokra az R p 0,I 1 R p 0,I 2 reláció teljesül (azaz adott várható értékű egyeletes eloszlású változók eseté agyobb variacia kisebb párokéti reprodukciós számot eredméyez). Általáosabba, tekitsük az I véletle változót, amely a felgyógyulási időtartamot írja le f I (t) sűrűségfüggvéyel, F I (t) = t 0 f I(s)ds eloszlásfüggvéyel és az ehhez tartozó F I (t) = t 0 f I(s)ds területfüggvéyel. A következő tétel elégséges feltételt ad a párokéti reprodukciós szám variaciabeli mootoitására Tétel. Tekitsük az I 1 és I 2 véletle változókat úgy, hogy E(I 1 ) = E(I 2 ) <, (5) és Tegyük fel, hogy és mide t > 0-ra, Var(I 1 ) < Var(I 2 ) <. (6) lim t t3 f I (t) = 0 (7) F I1 (t) F I2 (t). (8) teljesül. Ha I 1 és I 2 reprezetálják a felgyógyulási időtartamot, akkor a párokéti reprodukciós számokra az R p 0,I 1 > R p 0,I 2 teljesül. Modellek kostas felgyógyulási időtartam eseté Tekitsük a em-markov járváyterjedési folyamatok speciális esetét, amikor a felgyógyulási időtartamot kostas σ-ak vesszük. Ha a fertőzési folyamatot Markovak feltételezzük, akkor az [S](t)-re és az [SS](t)-re felírt egyeletek éppe a (2) megfelelő egyelőségeit kapjuk. Ebbe a részbe feltételezzük, hogy kezdetbe frisse fertőzött egyedek érkezek a populációba, vagyis 0 t < σ időitervallumo em törtéik felgyógyulás, így az [I](t) és [SI](t) változását leíró egyeletek külöbözi fogak 0 t < σ és t > σ eseté. Némi számolás utá a következő modellt 6

8 vezethetjük le: ha 0 t < σ és [S](t) = τ[si](t), [I](t) = τ[si](t), (9a) (9b) [SS](t) = 2τ 1 [SS](t)[SI](t), [S](t) (9c) [SI](t) = τ 1 [SS](t)[SI](t) τ[si](t) τ 1 [SI](t)[SI](t), [S](t) [S](t) (9d) [S](t) = τ[si](t), [I](t) = τ[si](t) τ[si](t σ) (10a) (10b) [SS](t) = 2τ 1 [SS](t)[SI](t), (10c) [S](t) [SI](t) = τ 1 [SS](t)[SI](t) τ[si](t) τ 1 [SI](t)[SI](t) [S](t) [S](t) τ 1 [SS](t σ)[si](t σ) e t τ 1 [SI](u) t σ [S](u) +τdu, (10d) [S](t σ) ha t > σ teljesül. A (9) egy közöséges differeciálegyelet-redszer, amelyek egyértelmű megoldása létezik, ha megadjuk az [S] 0, [I] 0, [SS] 0 és [SI] 0 kezdeti értékeket t = 0-ba. Jelölje (9) megoldását a [0, σ] itervallumo X (t) = ([S] (t), [I] (t), [SS] (t), [SI] (t)). Ha t = σ, a kezdeti fertőzöttek impulzusszerűe felgyógyulak, egy elsőredű szakadás jeleik meg és a t > σ-ra vett megoldás kezdeti értéke X = ([S] (σ), [I] (σ) [I] 0, [SS] (σ), [SI] (σ) [SI] 0 ). A kostas felgyógyulási időtartamra felírható átlag-tér modell a következő alakú [S](t) = τ N [S](t)[I](t), [I](t) = τ N [S](t)[I](t), (11a) (11b) ha 0 t < σ és [S](t) = τ N [S](t)[I](t), [I](t) = τ N [S](t)[I](t) τ [S](t σ)[i](t σ), N (12b) (12a) 7

9 ha t > σ teljesül. Itt X m(t) = ([S] (t), [I] (t)) jelöli a (11) egyeletredszer megoldását t [0, σ] itervallumo [S] 0, [I] 0 kezdeti értékek eseté és a (12) egyelethez szükséges kezdeti függvéy X m(t), ha 0 t < σ és ([S] (σ), [I] (σ) [I] 0 ), ha t = σ. A (9)-(10) redszerhez felírt első itegrál segítségével csökkethetjük a modell dimezióját Állítás. Az U(t) = [SS](t) [S] 2 1 (t) függvéy a (9)-(10) modellbe első itegrál. Eze ivariás segítségével a következő összefüggést írhatjuk fel: [SS](t) = N [S] 2 0 [S] 2 1 (t). (13) Alkalmazva a (13) formulát, az alábbi kétdimeziós redszert kapjuk: [S](t) = τ[si](t), [SI](t) = τ 1 N [S] 2 0 [S] 2 1 (t)[si](t) τ[si](t) τ τ 1 N [S] 2 0 [S] 2 t (t σ)[si](t σ)e τ 1 t σ [SI](t) [S](t) [SI](t) [SI](u) [S](u) +τdu. (14) A (9)-(10) redszer biológiailag iterpretálható megoldásait tekitjük. A következő állítás azt mutatja, hogy a megoldások emegatívak maradak, ha a kezdeti értékek emegatívak Állítás. Ha a (9) és (11) egyeletekhez defiiált [S] 0, [SS] 0, [I] 0 és [SI] 0 kezdeti értékek emegatívak, akkor [S](t) 0, [SS](t) 0, [I](t) 0 és [SI](t) 0 teljesül t 0-ra a (11)-(12) átlag-tér és a (9)-(10) párokéti modellekre. Ahhoz, hogy megértsük a reprodukciós számok és a járváykitörés közötti kapcsolatot, a következő defiíciót haszáljuk: 1. Defiíció. Egy járváyterjedési modellbe, ahol a demográfiai változásokat elhayagoljuk, em tör ki járváy ha a teljese fogékoy populációt feltételező egyesúlyi helyzet (lokálisa) aszimptotikusa stabil és va kitörés ha ez az egyesúly istabil. Ezt a kocepciót haszálva a következő tételt fogalmazhatjuk meg: Tétel. A (11)-(12) modellbe akkor és csak akkor va játváykitörés, ha R 0 > 1, ahol az alap reprodukciós szám R 0 = τ N [S] 0σ. A (9)-(10) párokéti modell eseté hasoló számolás vezet a következő tételhez: Tétel. A (9)-(10) modellbe akkor és csak akkor va játváykitörés, ha R p 0 > 1, ahol a párokéti reprodukciós szám R 0 = 1 N [S] 0(1 e τσ ). 8

10 A legfotosabb eredméyeik a végállapot egyeletekre voatkozó tételek Tétel. A (11)-(12) átlag-tér modellhez tartozó végállapot egyelet l (s ) = R 0 (s 1), (15) ahol az alap reprodukciós szám R 0 = τ [S] N 0σ Tétel. A (9)-(10) párokéti modellhez tartozó végállapot egyelet s = R p 0 ) (s 1 1, (16) ahol a párokéti reprodukciós szám R p 0 = 1 N [S] 0(1 e τσ ). Tetszőleges eloszlású felgyógyulási időtartam A következőkbe tetszőleges eloszlású felgyógyulási időtartamot tekitük és felírjuk az átlag-tér és párokéti modelleket. Jelölje i(t, a) az a ideje fertőzött csúcsok sűrűségét a t időpotba. Ekkor [I](t) = 0 i(t, a)da. Hasolóa, Si(t, a) és ISi(t, a) jelöli az S i élek és I S i hármasok sűrűségét, ahol az i fertőzött csúcs a időt töltött a betegségbe a t időpotba. Így [SI](t) = 0 Si(t, a)da és [ISI](t) = ISi(t, a)da teljesül. Tegyük fel, hogy az S I él meté törtéő fertőzés rátája 0 τ > 0 és a felgyógyulási folyamat em-markov F I (a) eloszlásfüggvéyel és f I (a) sűrűségfüggvéyel. A következőkbe haszáli fogjuk az ξ I (a) = 1 F I (a) túlélési függvéyt és h I (a) = ξ I (a(a) ξ I = f I(a) (a) ξ I hazárd függvéyt. Ezekkel a jelölésekkel az (a) alábbi modell írható fel: [S](t) = τ[si](t), ( t + ) i(t, a) = h I (a)i(t, a), a [SS](t) = 2τ[SSI](t), ( t + ) Si(t, a) = τisi(t, a) (τ + h I (a))si(t, a), a (17a) (17b) (17c) (17d) az alábbi peremérték-feltételekkel i(t, 0) = τ[si](t), Si(t, 0) = τ[ssi](t), (18a) (18b) 9

11 és kezdeti feltételekkel [S](0) = [S] 0, [SS](0) = [SS] 0, i(0, a) = ϕ(a), Si(0, a) = χ(a) N [S] 0i(0, a) = N [S] 0ϕ(a). (19a) (19b) Feltesszük, hogy lim a ϕ(a) = 0 (ami biológiailag is értelmes feltevés). A magasabb redű mometum közelítésére az alábbi formulát alkalmazzuk: így ISi(t, a) eseté az [XY Z] = 1 ISi(t, a) = 1 [XY ][Y Z]. (20) [Y ] [SI](t)Si(t, a). (21) [S](t) összefüggést kapjuk. Ahhoz, hogy az [S], [SS], [I] és [SI] változókra írjuk fel egy modellt, további számolásokra va szükség, amelyek a következő itegro-differeciálegyeletet adják: [S](t) = τ[si](t) [SS](t) = 2τ 1 [SS](t)[SI](t) [S](t) t [I](t) f I (a) = τ[si](t) τ[si](t a)f I (a)da ϕ(a t) 0 t ξ I (a t) da [SI](t) = τ 1 [SS](t)[SI](t) τ 1 [SI](t) [SI](t) τ[si](t) [S](t) [S](t) t τ 1 [SS](t a)[si](t a) e t τ 1 [SI](s) t a [S](s) +τds f I (a)da 0 [S](t a) t N [S] 0ϕ(a t)e t τ 1 [SI](s) 0 [S](s) +τds f I (a) ξ I (a t) da. (22a) (22b) (22c) (22d) A (22) egyeletből az [XY ](t) = [X](t)[Y ](t), (23) N lezárási formula segítségével az alábbi átlag-tér modellt kapjuk: [S](t) = τ N [S](t)[I](t) [I](t) = τ t N [S](t)[I](t) τ N [S](t a)[i](t a)f I(a)da t f I (a) ϕ(a t) ξ I (a t) da. 0 (24a) (24b) 10

12 Világos, hogy az állítás a (22) párokéti redszerre is teljesül, így a következő kétdimeziós redszert kapjuk: [S](t) = τ[si](t), [SI](t) = τ 1 N [S] 2 0 [S] 2 t 0 t 1 (t)[si](t) τ[si](t) τ τ 1 N [S] 2 0 [S] 2 t (t a)[si](t a)e N [S] 0ϕ(a t)e t τ 1 [SI](s) 0 [S](s) +τds f I (a) ξ I (a t) τ 1 t a [SI](t) [S](t) [SI](t) [SI](s) [S](s) +τds f I (a)da da. (25) A következő állítása szerit emegatív kezdeti feltételek eseté a megoldások is emegatívak leszek Állítás. Ha [S] 0, [SS] 0 kezdeti értékek emegatívak és ϕ(a) 0, ha a 0, akkor [S](t) 0, [SS](t) 0, [I](t) 0 ad [SI](t) 0 teljesül t 0 eseté. Igazolható, hogy a (15) és (16) formulák tetszőleges eloszlású felgyógyulási időtartam eseté is teljesülek Tétel. A (24) átlag-tér modellhez tartozó végállapot-egyelet ahol az alap reprodukciós szám R 0 = N τ[s] 0E(I). l (s ) = R 0 (s 1), (26) Tétel. A (22) párokéti modellhez tartozó végállapot-egyelet s = R p 0 ) (s 1 1, ahol a párokéti reprodukciós szám R p 0 = 1 N (1 L[f I](τ)) [S] 0. A (22) és (24) itegro-differeciálegyeletek umerikus megoldásához egy kollokációs módszere alapuló algoritmus implemetáltuk, ehhez az [3]-be leírt sémákat vettük alapul. A 2. ábrá 100 homogé hálózato vett sztochasztikus szimuláció átlagát hasolítjuk össze a (24) átlag-tér és (22) párokéti modellek umerius megoldásával. Ha feltesszük, hogy kezdetbe frisse fertőzött egyedek érkezek a populációba, I Exp(γ) (vagyis expoeciális eloszlású I fertőzési periódus) eseté megkapjuk az (1) és (2) modelleket kapjuk. Ha a felgyógyulási időtartam kostas, a (11)-(12) és (9)-(10) redszereket kapjuk vissza. A [13]-be található többfázisú modell gamma 11

13 2. ábra. Sztochasztikus és umerikus szimulációk külöböző eloszlású felgyógyulási időtartamok eseté N = 1000 csúcsú homogé hálózatot és τ = 0.35 fertőzési rátát feltételezve. A égyzetek, körök és rombuszok 100 szimuláció átlagát mutatja k = 15 egyeletes fokszámeloszlású véletle hálózatoko, redre λ = 2 3 paraméterű expoeciális eloszlásra (átlag = 3 2,variacia = 9 4 ), α = 3 és β = 2 paraméterű gamma eloszlásra (átlag = 3 2,variacia = 3 4 ) és [a, b] = [1, 2] itervallumo vett egyeletes eloszlásra (átlag = 3 2,variacia = 1 12 ). A (24) átlag-tér és (22) párokéti modellek umerikus megoldását redre szaggatott és folytoos voal jelzi. eloszlás alkalmazása eseté vezethető le. Ha I Uiform(A, B), akkor a következő egyeletek írhatók fel: [I](t) = τ[si](t) max(0,t A) max(0,t B) τ[si](u) B A du [I] 0 B A ι [A,B](t), ahol ι [A,B] (t) az [A, B] itervallumo vett idikátorfüggvéy. Hasolóa kapjuk az S I élekre felírt egyeletet: [SI](t) = τ 1 [SS](t)[SI](t) τ 1 [SI](t) [SI](t) τ[si](t) [S](t) [S](t) max(0,t A) τ 1 [SS](u)[SI](u) e t τ 1 u max(0,t B) B A [S](u) N [S] 0e t τ 1 0 [SI](s) [S](s) +τds [I] 0 B A ι [A,B](t). [SI](s) [S](s) +τds du Látjuk, hogy t > B eseté az egyeletek késleltetett differeciálegyeletek. Irodalomjegyzék [1] Barabási, A.L. ad Albert, R., Emergece of scalig i radom etworks. sciece, 286(5439), pp [2] Boguñá, M., Lafuerza, L.F., Toral, R. ad Serrao, M.Á., Simulatig o- Markovia stochastic processes. Physical Review E, 90(4), p

14 [3] Bruer, H., Collocatio methods for Volterra itegral ad related fuctioal differetial equatios (Vol. 15). Cambridge Uiversity Press. [4] Burto, T.A., Volterra itegral ad differetial equatios (Vol. 202). Elsevier. [5] Cooper, F., No-Markovia etwork epidemics (MA Thesis, www. dtc. ox. ac. uk/people/13/cooperf/files/ma469thesisferguscooper. pdf). [6] Smith, H., A itroductio to delay differetial equatios with applicatios to the life scieces (Vol. 57). Spriger Sciece & Busiess Media. [7] Keelig, M.J. ad Eames, K.T., Networks ad epidemic models. Joural of the Royal Society Iterface, 2(4), pp [8] Kiss, I.Z., Röst, G. ad Vizi, Z., Geeralizatio of pairwise models to o- Markovia epidemics o etworks. Physical review letters, 115(7), p [9] Newma, M.E., Spread of epidemic disease o etworks. Physical review E, 66(1), p [10] Röst, G., Vizi, Z. ad Kiss, I.Z., Impact of o-markovia recovery o etwork epidemics. I Biomat 2015: Proceedigs of the Iteratioal Symposium o Mathematical ad Computatioal Biology. [11] Röst, G., Vizi, Z. ad Kiss, I.Z., Pairwise approximatio for SIR type etwork epidemics with o-markovia recovery. arxiv preprit arxiv: Vacouver [12] Sharkey, K.J., Determiistic epidemiological models at the idividual level. Joural of Mathematical Biology, 57(3), pp [13] Sherbore, N., Blyuss, K.B. ad Kiss, I.Z., Dyamics of multi-stage ifectios o etworks. Bulleti of mathematical biology, 77(10), pp [14] Simo, P.L., Taylor, M. ad Kiss, I.Z., Exact epidemic models o graphs usig graph-automorphism drive lumpig. Joural of mathematical biology, 62(4), pp [15] M. Taylor, P. L. Simo, D. M. Gree, T. House, ad I. Z. Kiss. From Markovia to pairwise epidemic models ad the performace of momet closure approximatios. J. Math. Biol., 64: ,

15 [16] Wilkiso, R.R. ad Sharkey, K.J., Message passig ad momet closure for susceptible-ifected-recovered epidemics o fiite etworks. Physical Review E, 89(2), p [17] Wilkiso, R.R., Ball, F.G. ad Sharkey, K.J., The relatioships betwee message passig, pairwise, Kermack-McKedrick ad stochastic SIR epidemic models. arxiv preprit arxiv: