Approximációs tételek a kupongyűjtő problémában. Doktori (Ph.D.) értekezés tézisei

Átírás

1 Approximációs tételek a kupogyűjtő problémába Doktori Ph.D.) értekezés tézisei Pósfai Aa Témavezetők: Dr. Csörgő Sádor egyetemi taár és Dr. Adrew D. Barbour egyetemi taár Matematika- és Számítástudomáyok Doktori Iskola Szegedi Tudomáyegyetem Bolyai Itézet 2010

2

3 1. Bevezetés 1.1. A kupogyűjtő probléma A kupogyűjtő probléma a valószíűségszámítás egyik klasszikus problémája. A probléma legegyszerűbb és mide bizoyal eredeti megfogalmazása a következő: Tegyük fel, hogy darab kupoból véletleszerűe visszatevéssel húzuk. Meyi aak a valószíűsége, hogy több, mit t húzásra va szükségük ahhoz, hogy megszerezzük mid az kupot. A probléma egyik legkorábbi tárgyalása Pólya evéhez fűződik [14]. Feller mukájába hétszer említik [9]. A problémáak számos változata és általáosítása létezik. Szoros kapcsolatba áll az ura problémákkal, illetve külöböző véletle jeleségek várakozási idejéek vizsgálatával pl. [12], [11], [1]). A dolgozatba a probléma következő változatával foglalkozuk: adva va 2 külöböző kupo, melyekből egy gyűjtő véletleszerű visszatevéses mitát vesz úgy, hogy mide egyes alkalommal az kupo bármelyikét azoos, tehát 1/ valószíűséggel szerzi meg. Valamely rögzített m {0, 1,..., 1} eseté a mitavételt addig folytatja, amíg előszörre potosa m külöböző kupot em gyűjtött. Jelölje W,m az ehhez szükséges ismétlések számát. Tehát a W,m véletle változó, amelyet a kupogyűjtő várakozási idejéek evezük, az m, m + 1, m + 2,... értékeket veheti fel, és megadja, hogy a gyűjtőek háyszor kell húzia ahhoz, hogy m darab kupo kivételével mide kupo a birtokába legye. Speciálisa, W,0 a teljes gyűjteméy megszerzéséhez szükséges várakozási idő. A dolgozatba a várakozási idő várható értékét µ = µ m) := EW,m ), szóráségyzetét pedig σ 2 = σ 2 m) := VarW,m ) jelöli Határeloszlás tételek a kupogyűjtő problémába Külöböző határeloszlás tételeket bizoyítottak W,m aszimptotikus eloszlására attól függőe, hogy az m = m) sorozat hogya viselkedik, amit. A továbbiakba mide kovergecia és aszimptotikus reláció mellett értedő. Az első eredméy Erdős és Réyi [8] evéhez fűződik, akik egy eltolt Gumbel-eloszlást kaptak határeloszláskét a teljes gyűjteméy esetére, amikor m mide N eseté 0. Ezt az eredméyt általáosította Baum és Billigsley [6], akik mide m = m) sorozat típust vizsgáltak. Négy külöböző határeloszlást határoztak meg: 1. Elfajuló eloszlás Ha m 0, akkor W,m m) D 0, 1) azaz a limesz valószíűségi mérték a 0-ra kocetrált. 3

4 2. Poisso eloszlás Ha m 2λ, akkor W,m m) D Poλ), 2) ahol Poλ) a λ paraméteres Poisso eloszlás: Poλ){k} = λk k! e λ, k = 0, 1, 2, Normális eloszlás Ha m és m, akkor W,m µ σ D N0, 1), 3) ahol N0, 1) a stadard ormális eloszlás, amelyek Lebesgue mértékre voatkozó 1 sűrűségfüggvéye 2π e x2 /2, x R. 4. Gumbel-típusú eloszlás Ha m kostas, akkor W,m µ D Gumbelm), 4) ahol Gumbelm) a későbbi 5) formula segítségével defiiált valószíűségi mérték, melyet m paraméteres Gumbel-típusú eloszlásak evezük Célkitűzések A dolgozatba fiomítjuk a feti, Baum és Billigsley evéhez fűződő határeloszlás tételeket. Céluk a megfelelőe cetralizált és ormalizált várakozási idő eloszlásáak jól ismert mértékekkel törtéő miél potosabb közelítése, és sok esetbe a kapcsolódó eloszlásfüggvéyek és valószíűségi potfüggvéyek aszimptotikus sorfejtése. A közelítő mértékeket öt külöböző mértékcsaládból választjuk. Ezek közül három a Poisso eloszlások, a ormális eloszlások és a Gumbel-típusú eloszlások olya mértékcsaládok, melyekek tagjai határeloszlásakét szerepelek Baum és Billigsley határeloszlás tételeibe. A egyedik approximáló mértékcsalád az összetett Poisso-eloszlásokak bizoyos {π µ,a : µ > 0, a > 0} osztálya. Tetszőleges µ > 0 és a > 0 eseté π µ,a a Z 1 + 2Z 2 véletle változó eloszlását jelöli, ahol Z 1 és Z 2 valamely közös valószíűségi mező defiiált függetle véletle változók, Z 1 Poµ) és Z 2 Poa/2). Valószíűségi geerátorfüggvéyéek segítségével köye elleőrizhető, hogy π µ,a valóba összetett Poisso eloszlás, azaz eloszlásba egyelő egy N X k alakú véletle változóval, ahol N, X 1, X 2,... közös valószíűségi mező értelmezett függetle véletle változók, melyek közül N Poisso eloszlású, X 1, X 2,... pedig azoos eloszlásúak. Az ötödik közelítő mértékcsalád a Poisso-Charlier előjeles mértékek osztálya. Tetszőleges pozitív valós λ, ã 1),..., ã S) és S N eseté a ν = νλ, ã 1),..., ã S) ) Poisso-Charlier előjeles mérték az az előjeles mérték, amely a emegatív egészekre va kocetrálva, és S ) ν{j} = Po{j}λ) 1) r ã r) C r j, λ), j N, r=1 4

5 ahol C r j, λ) az r-edik Charlier poliom [7] 170. o.). 2. Módszerek valószíűségi mértékek közelségéek mérésére Legyeek µ és ν az R, B) mérhetőségi tére értelmezett valószíűségi mértékek, ahol B a valós egyees Borel-halmazaiak σ-algebráját jelöli. A dolgozatba a két eloszlás közelségéek mérésére a Kolmogorov távolságot és a d K µ, ν) = sup x R teljes variációs távolságot haszáljuk. µ, x]) ν, x]) d TV µ, ν) = sup µb) νb) B B A dolgozat bizoyításaiba haszált fő eszközök között szerepelek külöböző karakterisztikus függvéyeket alkalmazó techikák, a Stei-módszer, csatolásos módszerek és bizoyos elemi kombiatorikai megfotolások. 3. Gumbel-típusú approximáció Ebbe a fejezetbe az 1 F,m x) := P W,m k=m+1 ) 1 k x, x R, eloszlásfüggvéy aszimptotikus viselkedését vizsgáljuk abba az esetbe, amikor m mide -re rögzített kostas és. A 4) potbeli gyege kovergecia felírható lim F,mx) = F m x) := 1 m! x e m+1)y+c m) e e y+c m)dy, x R, 5) alakba, ahol C m := γ m 1 és γ = lim 1 k log ) = 0, k A disszertációba mide m eseté olya F m + G,m egytagú aszimptotikus sorfejtést aduk, amely egyeletese 1/ redbe közelíti az F,m eloszlásfüggvéyt, továbbá az explicit módo megadott G,m függvéyek sorozata egyeletese log )/ redű. Ezáltal speciálisa azt is bizoyítjuk, hogy 5)-be a kovergeciasebesség redje log )/. Mide m + 2 eseté bevezetjük a G,m x) = k=m+1 1 x [f k m h k ]u) du, x R, 5

6 függvéyeket, ahol f m x) := F mx) a határeloszlás sűrűségfüggvéye, h k x) = e kx, x > 0, az 1/k várható értékű expoeciális eloszlás sűrűségfüggvéye, és a kovolúciót jelöli. Fő eredméyük a Tétel. Bármely rögzített m {0, 1, 2,...} eseté sup F,m x) [F m x) + G,m x)] ) 1 = O, 6) x R továbbá a G,m függvéyekhez létezik olya m-től függő K m > 0 kostas, x m R pot, c m ) pozitív függvéy és m ) N küszöbfüggvéy, hogy sup x R G,m x) Km log, m + 2, ugyaakkor G,m x) cm x) log, x, x m), valaháyszor m x). A dolgozatba azt is belátjuk, hogy 6)-ba a hibared éles, és hogy semmilye a 6) potba megadott sorfejtésél hosszabb aszimptotikus sorfejtés eseté em kaphatuk az 1/ redél kisebb hibaredet. A fejezet eredméyei publikálásra kerültek [19]-be. 4. Normális approximáció A dolgozat eze fejezetébe felső becslést aduk a kupogyűjtő várakozási idejéek ormális eloszlással való közelítéséek hibájára. Bevezetjük az ) W,m µ F,m x) := P x, x R, eloszlásfüggvéyt, és igazoljuk az alábbi tételt Tétel. Mide 3 és 1 m 2 eseté σ sup F,m x) Φx) C x R m ahol Φ a stadard ormális eloszlásfüggvéy és C = Elleőrizhető, hogy a Tétel által adott felső becslés potosa akkor tart ullához, ha m végtelebe megy, de elég lassa ahhoz, hogy a m)/ sorozat is végtelebe tartso, ami éppe a 3) határeloszlást adja. A fejezet eredméyei publikálásra kerültek [18]-ba. 6 1, σ

7 5. Poisso approximáció 5.1. Poisso approximáció egy általáos Poisso határeloszlás tételbe Az 5. fejezet első alfejezetébe általáos függetle emegatív egészértékű véletle változók összegeiek eloszlását közelítjük Poisso eloszlással. Az alábbi Gedeko és Kolmogorov [10] 132. o.) evéhez fűződő Poisso határeloszlás tételt fiomítjuk Tétel. Gedeko, Kolmogorov) Legye {Y 1, Y 2,..., Y r } N sorokét függetle, emegatív egészértékű véletle változókból álló szériasorozat, melyre mi PY k = 0) 1,, 1 k r r r PY k 1) λ, λ > 0 kostas, PY k 2) 0,. Ekkor Y := r Y k D Poλ), amit. Tetszőleges sorokét függetle, emegatív egészértékű véletle változókból álló szériasorozat tekitük, és mide eseté az -edik sorösszeg eloszlását olya Poisso eloszlással közelítjük, melyek λ várható értéke csak az adott sorba szereplő változók eloszlásától függ, de em követeljük meg mometumok létezését: λ = r PY k 1). A közelítés hibájára alsó és felső korlátot is aduk, melyek redje kostas szorzótól eltekitve megegyezik, feltéve, hogy a λ paraméterek korlátosak. Ezáltal jobb közelítését adjuk az Y változókak, mit amit a kézefekvő, határeloszlással törtéő approximáció jelet Tétel. Felső korlát.) Ha {Y 1, Y 2,..., Y r } N sorokét függetle, emegatív egészértékű véletle változókból álló szériasorozat, akkor d TV DY ), Poλ )) r [ PYk 2) + PY k 1) 2]. 7

8 Tétel. Alsó korlát.) Ha {Y 1, Y 2,..., Y r } N olya sorokét függetle, emegatív egészértékű véletle változókból álló szériasorozat, hogy mi 1 k r PY k = 0) 3 4 mide N eseté, akkor d TV DY ), Poλ )) 1 10 r ) r [ PY k = 0) PYk 2) + PY k 1) 2]. Az és Tételekből következik, hogy az Tételbe szereplő véletle változók feti Poisso approximációja eseté a hiba redje r [ PYk / {0, 1}) + PY k 1) 2]. Barbour és Hall a Stei-módszer segítségével hasoló eredméyeket igazoltak [3]-ba: függetle emegatív egészértékű véletle változók j=1 Y j összegeit olya Poisso eloszlású véletle változóval közelítették, melyek várható értéke j=1 PY j = 1) vagy j=1 EY j). Megjegyezzük, hogy az általuk alkalmazott approximációba a közelítő Poisso eloszlás paramétere e két érték között va.) Az általuk megadott korlátok más alakúak és szerepelek beük az Y j változók második mometumai. Továbbá alsó korlátaik sokkal boyolultabb kifejezések, melyek em adak haszálható iformációt abba az esetbe, amikor a kupogyűjtő várakozási idejére alkalmazzuk őket Következméy. Az Tételbe szereplő határeloszlásba a kovergecia sebessége r [ d TV DY ), Poλ)) PYk 2) + PY k 1) 2] r + PY k 1) λ Kupogyűjtés közel Poisso eloszlású várakozási idő eseté az általáos eredméyek alkalmazása Eze alfejezetbe először megvizsgáljuk, hogy a kupogyűjtő probléma hogya illeszkedik az előző alfejezetbeli felálláshoz. Belátható, hogy a W,m := W,m m) eltolt várakozási időre teljesül a W D,m = X,i 7) i=m+1 eloszlásbeli egyelőség, ahol az X,i véletle változók függetleek, és X,i + 1 geometriai eloszlású i/ siker-valószíűséggel, i {m + 1,..., }, N. Elleőrizhető, hogy a { X,m+1,..., X, } N szériasorozat kielégíti az Tétel feltételeit. Látjuk tehát, hogy a 2) határeloszlás tétel speciális esete a Gedeo Kolmogorov tételek. Ha az előző alfejezet eredméyeit alkalmazzuk W,m -re, a következőket kapjuk. 8

9 Következméy Ha {m = m)} N olya egészekből álló sorozat, amely teljesíti a 2) Poisso határeloszlás tétel feltételeit, akkor a kupogyűjtő W,m eltolt várakozási idejéek λ = i=m+1 1 i ) paraméteres Poisso eloszlású Nλ véletle változóval törtéő közelítése eseté a hiba redje ) i=m+1 1 i 2. Sőt, ha i mim+1 i 3 mide -re, 4 akkor ) 1 i 1 i 2 d TV D W,m ), DN λ )) ) i 2. ) i=m+1 i=m+1 i=m Következméy A 2) Poisso határeloszlás tételbe a kovergeciasebesség redjére a következő felső korlát adható: d TV D W,m ), DN λ )) 2 1 ) i i ) λ. i=m+1 i=m+1 A fejezet első két alfejezetéek eredméyei publikálásra kerültek [17]-be Kupogyűjtés közel Poisso eloszlású várakozási idő eseté kombiatorikai megközelítés A dolgozat eze alfejezetébe a kupogyűjtő probléma kombiatorikai struktúrájára építük. Egy kombiatorikai megfotolásokra támaszkodó módszer segítségével erősebb eredméyt tuduk igazoli, mit az Következméybe: a P W,m = k), k = 0, 1,..., valószíűségek megfelelő Poisso valószíűségekkel törtéő közelítését potosítjuk az első korrekciós tag meghatározása révé. Az eredméyt a Tétel tartalmazza. Megjegyezzük, hogy a bizoyításba alkalmazott módszer elméletbe az aszimptotikus sorfejtés magasabb redű tagjaiak meghatározására is alkalmas. Legye λ,j := i=m+1 1 i ) j, j = 1, 2,.... 8) Belátható, hogy ha {m = m)} N olya egészekből álló sorozat, amely teljesíti a 2) Poisso határeloszlás tétel feltételeit, akkor λ λ és λ,j 0, j = 2, 3,..., továbbá λ,2 = 2λ ) 3/2 3 + O 1 ) Tétel. Ha {m = m)} N olya egészekből álló sorozat, amely teljesíti a 2) Poisso határeloszlás tétel feltételeit, és λ valamit λ,2 a 8) formulával vaak defiiálva, 9

10 akkor P W,m = 0) = e λ e λ λ ), O, ) P W,m = 1) = e λ λ e λ λ,2 1 λ 2 + O, ) P W,m = k) = e λ λk λ k 2 k! + e λ k 2)! λk λ,2 k! 2 + O 1 ), k 2. Eze alfejezet eredméyei szerepelek [17]-be, a részleteket [16] tartalmazza Poisso approximáció a várható érték illesztése Az 5. fejezet utolsó alfejezetébe a kupogyűjtő W,m = W,m m) eltolt várakozási idejét egy újabb Poisso eloszlású véletle változóval közelítjük, méghozzá olyaal, amelyek várható értéke megegyezik W,m várható értékével. Kiszámolható, hogy azo és m paraméterértékek eseté, melyekre érvéyes a 2) Poisso határeloszlás tétel, az approximáció hibája a leti Tételbe 1/, ami kisebb, mit az ugyaeze esetbe az Következméybe vagy az Tételbe bizoyított 1/ -es hibared. Az Tétel bizoyítása a Stei-módszere alapszik, és kihaszálja azt a téyt, hogy az összehasolított eloszlások várható értékei egyelőek. Megjegyezzük, hogy az Tétel bizoyításába alkalmazott érvelés ebbe az esetbe em működe Tétel Ha λ = E W,m ) = i=m+1 1), akkor i ) d TV D W,m ), Poλ 2 )) 8 1 eλ i=m+1 ) 3 i. i 6. Összetett Poisso approximáció 6.1. A Mieka csatolási egyelőtleség egy általáosítása Ige agy irodalma va a függetle egészértékű véletle változók összegeiek összetett Poisso approximációjáak. A Stei-módszer segítségével az [5] és [2] dolgozatok ilye típusú approximációk teljes variációs távolságba mért hibáira adak felső korlátokat. Ezek a korlátok az X 1, X 2,..., X összeadadók első három mometumáak és a d TV D W ), D W + 1)) kifejezések függvéyei, ahol W = j=1 X j. A d TV D W ), D W + 1)) kifejezést általába a Mieka-csatolás [13] segítségével lehet becsüli, ami tipikusa 1/ redű eredméyt ad. Ha az X j véletle változók agyjából azoos szórásúak, akkor ez az eredméy közel va a cetrális határeloszlás tétel eseté 10

11 elvárt O1/ VarW ) hibaredhez. Azoba ha az X j véletle változók eloszlásai egyre laposabbak, amit j ő, akkor VarW őhet gyorsabba, mit, és ekkor 1/ jóval agyobb lesz, mit az elvárható 1/ VarW -es red. Potosa ez a helyzet, ha W -ek a kupogyűjtő várakozási idejét választjuk Lemma. Legyeek U 1, U 2,..., U r, r 2, függetle azoos eloszlású véletle változók, melyek valamely l 1 eseté egyeletes eloszlásúak az {1, 2,..., 2l 1, 2l} véges halmazo. Ha V r = r j=1 U j, akkor d TV DV r ), DV r + 1)) 1 l r. A Lemma megjavítja a Mieka-csatolás által ugyaerre a kifejezésre adott 1/ 2r) korlátot. A Állítás segítségével megmutatjuk, hogy a függetle diszkrét egyeletes eloszlású véletle változókra voatkozó lemma eredméye hogya alkalmazható tetszőleges függetle egészértékű véletle változók összegeire voatkozó hasoló eredméyek bizoyítására. Az alapötelet az, hogy az egyeletes eloszlású változókat ágyazzuk be azokba, amelyekre az eredméyt igazoli szereték Állítás. Ha X 1, X 2,..., X, 2, függetle egészértékű véletle változók és W = j=1 X, akkor d TV DW ), DW + 1)) 4 l lp + 8d lp, ahol l {2, 4, 6,...} valamit p mi{px j = k) : k = 1,..., l, j = 1,..., } tetszőlegesek és d = d TV DX ), DX + 1)). A dolgozatba megállapítjuk, hogy az állításba az általáosság megszorítása élkül feltehettük, hogy az l-itervallumok 1-él kezdődek, és hogy a p, l) paraméterek megválasztása agymértékbe függ az adott problémától. Azt is megjegyezzük, hogy az állítás által adott felső korlátba szereplő kostas javítható a bizoyításba alkalmazott módszer fiomításával: az X j véletle változókba emcsak egy, haem több diszkrét egyeletes eloszlású változót is be lehet ágyazi, ha a valós egyeest felbotjuk l-hosszú itervallumokra, és eze {m 1)l,..., ml}) m Z blokkok midegyikéhez defiiáluk egy egyeletes eloszlású változót Összetett Poisso approximáció a cetrális és Poisso határeloszlás tételek tartomáyába Ebbe az alfejezetbe a kupogyűjtő megfelelőe cetralizált várakozási idejéek eloszlását a bevezetésbe defiiált π µ,a összetett Poisso eloszlással közelítjük. A 7) eloszlásbeli egyelőségre alapozva, függetle egészértékű véletle változók összegeire voatkozó általáos összetett Poisso approximációs eredméyeket és az új csatolásukat alkalmazzuk. Belátjuk, hogy a W,m várakozási idő jól közelíthető összetett Poisso eloszlással 11

12 abba az esetbe, amikor az és m paraméterek teljesítik a 3) cetrális vagy a 2) Poisso határeloszlás tétel feltételeit Tétel. Bármely rögzített 2 és 2 m 4 eseté ha µ = σ 2 2 σ 2 µ, a = σ 2 µ c = σ 2 µ, ahol x, illetve x az x valós szám tört-, illetve egészrészét jelölik, akkor létezik olya pozitív C kostas, hogy ) d TV D W,m + c), π µ,a C ) σ 2 µ m) m)2 +. σ σ 2 m és A Tétel eredméyeit a µ, σ és a,2 := σ 2 µ m) meyiségekre voatkozó aszimptotikus formulák segítségével egyszerűbb alakba is kifejezhetjük: ) O 1 m, ha m ) ) 0; 1 d TV D W,m + c ), π µ,a = O, ha m c 0, 1] és lim if,m a 2 > 1; O ) m, ha lim sup,m a 3/2 2 < 1. A fetieket, illetve a Tétel eredméyét összehasolítva látjuk, hogy az itt bevezetett diszkrét approximáció ugyaolya, vagy jobb közelítését jeleti a várakozási időek, mit a ormális approximáció. Ráadásul a közelítés hibáját itt a Kolmogorov távolságál sokkal erősebb teljes variációs távolságba mérjük. Megjegyezzük, hogy a tételbe a paraméterek úgy lettek megválasztva, hogy az összehasolított eloszlások π µ,a és DW,m + c) első két mometuma megegyezze. A fejezet két alfejezetéek eredméyei publikálásra kerültek [15]-be. 7. Poisso-Charlier sorfejtések A dolgozat utolsó fejezetébe a kupogyűjtő W,m = W,m m) eltolt várakozási idejét Poisso-Charlier előjeles mértékekkel közelítjük teljes variációs távolságba. A [4]- be bevezetett karakterisztikus függvéyeket haszáló módszert alkalmazzuk. Legye µ = D W,m + c), ahol c = Var W,m E W,m. Bevezetjük az a,j := k=m+1 ) j k, j = 1, 2,..., k 12

13 sorozatokat és a ) ) w 2 R h R w) = a,2 a,2 w + a,2 a,2 2 + valamit H R w) = { R h l R w) l=0 3R 2 l=0 r=3, if a l!,2 > 1; h l R w), if a l!,2 < 1, ) w a,r + 1) r+1 r a,2 r, w C, poliomokat. A µ valószíűségi mértéket a véges ν R = ν R σ, 2 ã 1),m,..., ã R2 ) előjeles mértékkel közelítjük, melyet ) S ν R {j} = Poσ){j} ) r+1 ã r),mc r j, σ) 2, j N, r=1 defiiál, ahol S = degh R w)), ã r),m az e it 1) r tag együtthatója a H R e it 1) poliomba, és C r j, σ 2 ) az r-edik Charlier poliomot jelöli Tétel. Feltesszük, hogy a,2 > 1. Tetszőleges R 3 eseté létezek olya R-től függő m R és R küszöbszámok valamit C R kostas, hogy ha m m R és R, akkor,m ) és ) R 1 sup µ{k} ν R {k} C R, ha m k Z m 2 1, sup k Z ) R 2 µ{k} ν R {k} C R m), ha m R Tétel. Feltesszük, hogy a,2 < 1. Tetszőleges R 3 eseté létezik olya R-től függő R küszöbszám és C R kostas, hogy ha R, akkor 1 sup µ{k} ν R {k} C R k Z ). R A kapcsolódó teljes variációs távolságra voatkozó eredméyek kimodása előtt meghatározzuk az egymást követő R értékekhez tartozó közelítő mértékek külöbségéek teljes variációs ormáját: ν R+1 ν R T V C R 1 m) R 1, a Tétel eseté, ha m 2 1; C ) R 3 R m C R, m) R 2 a Tétel eseté, ha m ; 2, ) R+1 a Tétel eseté Következméy. Mide olya és m eseté, melyre a Tétel érvéyes, d TV µ, ν R ) C R σ log σ 1 m ) R, ha m 2 1, 13

14 és ) R 3 d TV µ, ν R ) C R m), ha m R 2 2 ; továbbá, mide olya és m eseté, melyre a Tétel érvéyes, ahol C R R-től függő pozitív kostas. m d TV µ, ν R ) C R ), R+1 Ha összehasolítjuk a Következméyt és a ν R+1 ν R T V ormára kapott korlátokat, látjuk, hogy eredméyeik em optimálisak az m /2 1 esetbe abba az értelembe, hogy a ν R -rel törtéő approximáció hibájáak redje em egyezik meg az R + 1)-edik korrekciós tag ν R+1 ν R T V teljes variációs ormájáak redjével. Érdekes yitott probléma, hogy d TV µ, ν R ) C R / m) R 1 elérhető-e m /2 1 eseté. A dolgozat végé összehasolítjuk az utolsó fejezet eredméyeit a 6. fejezetbe az összetett Poisso approximáció eseté kapottakkal. Hivatkozások [1] Baderier, C. ad Dobrow, R. P., A Geeralized Cover Time for Radom Walks o Graphs, Proceedigs of FPSAC 00, [2] Barbour, A.D. ad Cekaavicius, V, Total variatio asymptotics for sums of idepedet iteger radom variables, The Aals of Probability ), [3] Barbour, A.D. ad Hall, P., O the rate of Poisso covergece, Math. Proc. Cam. Phil. Soc ), [4] Barbour, A. D., Kowalski, E., Nikeghbali, A., Mod-discrete expasios, arxiv: v1 [math.pr], [5] Barbour, A.D. ad Xia, A., Poisso Perturbatios, ESAIM Probab. ad Statist ), [6] Baum, L.E. ad Billigsley, P., Asymptotic distributios for the coupo collector s problem, A. Math. Statist ), [7] Chihara, T. S., A itroductio to orthogoal polyomials, Gordo ad Breach, New York, [8] Erdős, P. ad Réyi, A., O a classical problem of probability theory, Magyar Tud. Akad. Mat. Kutató It. Közl ), [9] Feller, W., A Itroductio to Probability Theory ad its Applicatios, Joh Wiley & Sos,

15 [10] Gedeko, B. V. ad Kolmogorov, A. N., Limit Distributios for Sums of Idepedet Radom Variables, Addiso-Wesley Publishig Compay, Cambridge, Mass., [11] Gut, A. ad Holst, L., O the waitig time i a geeralized roulette game, Statistics & Probability Letters, ), [12] Holst, L., The geeral birthday problem, Proceedigs of the sixth iteratioal semiar o Radom graphs ad probabilistic methods i combiatorics ad computer sciece, Joh Wiley & Sos, [13] Lidvall, T., Lectures o the Couplig Method, Dover Publicatios, [14] Pólya, G., Eie Wahrscheilichkeitsaufgabe zur Kudewerbug, Z. Agew. Math. Mech., ), [15] Pósfai A., A extesio of Mieka s couplig iequality, Electroic Commuicatios i Probability, ), [16] Pósfai, A., A supplemet to the paper Poisso approximatio i a Poisso limit theorem ispired by coupo collectig, arxiv: [math.pr], [17] Pósfai A., Poisso approximatio i a Poisso limit theorem ispired by coupo collectig, Joural of Applied Probability, ), [18] Pósfai, A., Rates of covergece for ormal approximatio i icomplete coupo collectio, Acta Scietiarum Mathematicarum Szeged) ), [19] Pósfai, A. ad Csörgő, S., Asymptotic approximatios for coupo collectors, Studia Scietiarum Mathematicarum Hugarica, ),