) négydimenziós eseményekre felírt

Átírás

1 KÁLMÁN P-TÓTH A: Relaiiáselmélei beeeő/ kibőíe óraála A négdimeniós éridő A Galilei ransformáió a idő nem ransformálja, a időadaok a érkoordináákól függelenek Eel semben a Loren-ransformáió a idő is ransformálja, a idő- és érkoordináák egmással igen soros, kölsönös kapsolaban annak E a oka annak, hog a relaiiáselméleben eg ado ponban, ado időben leajló esemén jellemésére a három érkoordinááho negedikkén a idő is hoáeék, és a jellemésre a,,, menniségeke hasnálják Ennek alapján formálisan beeeheő eg négdimeniós éridő, aminek min később láni fogjuk a jelenségek árgalásánál sámos előne an A,,, adaoka ekinhejük eg esemén koordinááinak a éridőben, agis eg esemén a négdimeniós éridőben eg ponnak felel meg Ha a időadao megfelelően álasjuk meg, akkor a íg kapo nég komponensű menniség eg négdimeniós ekor les, ami négesekornak neenek Inariáns inerallumnége, négesekorok A fiikában a 3 dimeniós érben a ekor minájául a heleekor solgál, és ekornak neeünk minden olan három komponenssel megado mennisége, amelnek komponensei a koordináarendser elforgaásakor úg ransformálódnak, min a heleekor koordináái A skaláris menniségek éréke nem függ a koordináarendser álasásáól Ennek a köekeméne a, hog ké ekor skaláris soraa és ké pon s áolságának négee inariáns a koordináaransformáióal semben: s + + ' + ' + ' s' Ennek minájára a néges állapoekor úg definiálhajuk, hog a ekor komponensei a Loren-ransformáióal ransformálódjanak, és ké esemén kööi négdimeniós áolság inerallum négee inariáns legen a Lorenransformáióal semben Alább bebioníjuk, hog a,,, és,,, négdimeniós eseménekre felír s ún inerallumnége ag néges áolságnége inariáns a Lorenransformáióal semben Ennek alapján negedik koordináának a idő aralmaó, de áolság jellegű mennisége álashajuk Visgáljuk meg a inerallumnége inarianiájá a speiálisan álaso K és K koordináarendserekben, ameleknek köös a -engele, párhuamos a - és - engele, és a K rendser sebességgel ' moog a K-ho képes a poií - engelek iránában ábra,,, ', ', ', ' Tegük fel, hog a K-ban rögíe helen beköekeik ké esemén, K K' ameleknek néges-koordináái,' O O',,, és,,, Uganeen ' ké esemén a K rendserben a ',',',' és ',',',' adaok jellemik A megáloások a ké rendserben:

2 KÁLMÁN P-TÓTH A: 544 Relaiiáselmélei beeeő/ kibőíe óraála ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' A koordináarendserek speiális álasása mia ' ' Írjuk fel a inerallumnége feni kifejeésé a K rendserben és ransformáljuk á a K-ba a ', ' Loren-ransformáióal Ekkor a kapjuk, hog ' ' ' ' + + E a jeleni, hog alóban iga, hog a s inerallumnégere ag áolságnégere fennáll, hog inariáns s A, hog a négdimeniós ér ag gakori elneeéssel négdimeniós ilág nem egésen olan, min a köönséges három dimeniós ér, öbbek köö a muaja, hog a inerallumnége lehe negaí is A K rendserben érénes,,, sámnéges négesekor alko, és a ennek megfelelő K rendserbeli négesekor a Loren-ransformáióal kapjuk meg Ennek minájára négesekor minden olan menniség, ami a koordináarendser megáloaásakor a Loren-ransformáióal ransformálódik Ebből a meghaároásból köekeik, hog ké négesekor skalársoaa is inariáns Állapoáloás a néges érben, sajáidő Ha a eseméneke a eddig hasnál speiális koordináarendserekben isgáljuk, akkor lénegében a néges érnek ag ahog gakran neeik, a néges ilágnak eg síkjában agunk Een a síkon eg esemén eg ponnak felel meg, a esemének egmásuánja eg onala rajol ki, ami a ado áloás mogás

3 KÁLMÁN P-TÓTH A: 544 Relaiiáselmélei beeeő/ kibőíe óraála ilágonalának neenek A ilágonala ábráolhajuk a koordináarendserben A mellékel ábrán eg ilen koordináarendser láhaó, amelben felüneük eg önkénesen álaso áloás ilágonalá, és a fén ilágonalá, amel a ± össefüggésnek megfelelően egenes nég dimenióban e eg kúpfelüle, ami fénkúpnak neenek A fén ilágonala a különböő ineriarendserekben ülő megfigelők sámára ugana Ehhe hasonlóan, eg állandó sebességgel mogó ömegpon ilágonala egenes Aok a esemének, ameleknek ilágonala párhuamos a -engellel, aonos helen de különböő időponokban jásódnak le, aok pedig, ameleknek ilágonala párhuamos a -engellel, aonos időben de különböő heleken ajlanak Ebben a ábráolási módban a feni K rendserhe képes a sokásos speiális, sebességgel mogó K rendser a ábrán láhaó módon helekedik el A engel heleé a ábrán felünee eljárással kapjuk, a engel heleé pedig úg kell megálasani, hog a fén ilágonala ugana maradjon, és érénes legen rá a ' ' össefüggés A néges ilágnak különböő jellegű arománai annak Eeke úg lehe osáloni, hog meghaárouk, hog milen a előjele eg onakoaási esemén a ábrán A és a isgál arománba eső esemén össeköő s inerallumnégenek A ábrán felünee B, C és D esemének a A eseménhe és a fén ilágonaláho képes különböő heleben annak, és a emlíe inerallumnégeek elérő jellegűek A B eseménre, és minden olan eseménre, amel a sürke fénkúp-arománokban an, fennáll, hog - s AB > Eekhe a eseménekhe lehe alálni olan időserű a eredeihe képes állandó sebességgel mogó koordináarendser, amelben a A és a kérdéses pl B esemén aonos helen an, sak a időponjuk más E a jeleni, hog a engel ámeg a A és B ponon Ekkor a eseméneke a időponjuk serin lehe séálasani, eér e a aromán időserűnek neeik A C eseménre, és minden olan eseménre, amel a fén ilágonalán a fénkúpon an, érénes, hog s AB A ilen eseméneke, amelek a fén elekromágneses hullám erjedéséel kapsolaosak, fénserűnek neeik - '-' érserű O B időserű A ilágonal C ' '' ' fén ilágonala D érserű fén ilágonala

4 KÁLMÁN P-TÓTH A: 544 Relaiiáselmélei beeeő/ kibőíe óraála Végül a D eseménre, és minden olan eseménre, amel a sürke fénkúparománokon kíül an, fennáll, hog s AB < Eekhe a eseménekhe lehe alálni olan a eredeihe képes állandó sebességgel mogó koordináarendser, amelben a A és a kérdéses pl D esemén aonos időben ajlik, sak a helük más E a jeleni, hog a engel ámeg a A és D ponon Ekkor a eseméneke a helük serin lehe séálasani, eér e a aromán érserűnek neeik Ha a esemén eg ömegpon mogása, akkor a néges érben ábráola a mogás olan ponok össessége, amelek mindegike a adja meg, hog ado időben a pon hol an Eek a ponok kirajolják a ömegpon ilágonalá a ábrán AB Miel a ömegpon sebessége áloha, a ömegponho nem rendelheő hoá egelen ineriarendser, hanem a anani sebességének megfelelően mindig más és más B fén ineriarendserben an nugalomban Ilenkor a ömegponho rendelheő sajáidő a mogás során állandóan áloik, eér a ilágonala elemi sakasokra kell bonani ábra, és a sajáidő eekre kisámíani E a elemi sajáidő a ds inariáns inerallumnége segíségéel a ds d d d d A össefüggéssel kapjuk meg A kifejeésből láhaó, hog a elemi sajáidő is inariáns, hisen a inariáns inerallumnége gökéből eg inariáns skalárral aló osással kapuk A kifejeés árendee a kapjuk, hog d d d d d + + d d d Ebből a eljes AB áloásra onakoó inariáns makroskopikus sajáidő a elemi sajáidők össegéséel kapjuk: B τ d A A relaiisikus dinamika alapjai A klassikus fiikában an néhán alapeő fonosságú menniség, amelre megmaradási éel érénes Ilen például a energia és a impulus lendüle Felmerül a kérdés, hog a relaiisikus mehanikában annak-e eeknek a menniségeknek megfelelő megmaradó menniségek, és eek hogan definiálhaók A energia és impulus relaiisikus alakjá a korábban beeee négesekorok segíségéel formálisan nagon egserűen megkaphajuk Visgáljunk eg mogó ömegpono, amelnek a ömegponho rögíe rendserben mér ún nugalmi ömege m A ömegpon mogásának jellemésére eessünk be eg új

5 KÁLMÁN P-TÓTH A: Relaiiáselmélei beeeő/ kibőíe óraála négesekor úg, hog a d,d,d, d menniségeke a megsorouk i a ákuumbeli fénsebesség, d τ a elemi sajáidő Ekkor a m d md md md ; ; ; m inariáns skalárral menniségeke kapjuk Felhasnála a d össefüggés, és a, hog d d d ; ;, égül a d d d m m m m ; ; ; négesekor kapjuk A impulus lendüle, a ömeg és a mogásegenle Ha megisgáljuk a fen beeee új négesekornak a uolsó három komponensé, akkor aonnal lásik, hog eek a << nem relaiisikus esere aló áérésnél a köönséges impulusekor p m ; p m ; p m három komponensé adják Ennek alapján a relaiiáselméleben a impulus lendülee a m p össefüggéssel definiálhajuk Eserin a ömegnek a m m kifejeés felel meg E a jeleni, hog a ömeg függ aól, hog a ömegpon milen sebességgel moog a megfigelőhö képes: a ömegpon ömegé mindig nagobbnak aláljuk, ha hoánk képes moog, min ha hoánk képes nugalomban an Erre a relaiisikus ömegnöekedésre is érénes aonban, hog sak a fénsebessége megköelíő sebességeknél sámoeő, a << eseben issakapjuk a klassikus mehanika mm össefüggésé A ömegnöekedés öbb direk kísérle igaolja, de köee a a én is, hog a nag sebességű réseskéke előállíó gorsíók sak akkor működnek, ha ereésüknél figelembe eék e a össefüggés A ömeg sebességfüggése alapján árhaó, hog a dinamika alapegenlee sem alkalmahaó a sokásos Fma alakban Valóban kimuahaó, hog a mogásegenle a Loren-ransformáióal semben akkor inariáns, ha a dp d m F d d d d m

6 KÁLMÁN P-TÓTH A: Relaiiáselmélei beeeő/ kibőíe óraála formában hasnáljuk A << eseben ebből a alakból issakapjuk a mogásegenle sokásos alakjá, hisen ekkor a ömeg gakorlailag állandó: m m, és íg érénes a F m a egenle *************** ************** *************** A relaiisikus mogásegenle köekeménei jól illusrálja a állandó F erő haására beköekeő mogás esee Ha a kedősebesség nulla, akkor a klassikus mehanika serin F m, ehá a sebesség a időel aránosan nöekede esőlegesen nag éréke ehe fel A d m F d relaiisikus mogásegenle idő serini inegrálásából ison a m F össefüggés kapjuk, amiből m + F adódik A sebesség a idő előrehaladáal egre lassúbb üemben nöeksik, és a eseben a haárérékhe ar nem pedig haáralanul nő Terméseesen ha <<, akkor m F m, ehá issakapjuk a klassikus össefüggés A relaiisikus mogásegenle feni alakjának helességé ugansak a nagsebességű réseskék előállíására solgáló réseskegorsíók működése igaolja, ameleknek ereésénél e a örén hasnálják *************** ************** *************** A energia, a ömeg-energia össefüggés a relaiiáselméleben Annak érdekében, hog a fen beeee négesekor első, m komponensének fiikai érelmé kiderísük, írjuk fel a klassikus mehanika munkaéel néen ismer össefüggésé, amel serin eg ömegponra haó erők eredőjének munkája a ömegpon mogási energiájának megáloásáal egenlő: W edr m m Em Em Em F Ha a ömegponnak nins helei energiája, akkor e a E E E W

7 KÁLMÁN P-TÓTH A: Relaiiáselmélei beeeő/ kibőíe óraála alakba írhaó, ahol E a eljes energia Sámísuk ki mos e a munkaégés a relaiisikus mehanikában, abban a egserűsíe eseben, amikor a ömegponra egelen F erő ha és e párhuamos a sebességgel egenes onalú mogás A ömegponra haó F erő a ponból a ponba aló ámene során dp W Fdr dr dp p dp d munká ége A sámíás elégéséhe meg kell haáronunk a p függén E a m p össefüggés segíségéel ehejük meg: p p p p m p m +, m p + amiből a kapjuk, hog p p m + p Beheleesíe e a munka kifejeésébe, a inegrálás können elégeheő, és a alábbi eredmén kapjuk W + m + p m p E a jeleni, hog, ha nins helei energia, akkor a munkaéel alapján a energiának a E m + p kifejeés felel meg Alkalmaa a impulus relaiisikus kifejeésé, ebből a kapjuk, hog E amiből köekeik, hog m m +, E m m m + m Néük meg mos, hog mi kapunk ebből a << eseben Veessük be a áloó, amelre eljesül a << feléel, íg ha a kifejeés a áloó serin sorbafejjük, akkor megállhaunk a második agnál, ehá a kapjuk,

8 KÁLMÁN P-TÓTH A: Relaiiáselmélei beeeő/ kibőíe óraála hog + << köelíésben a Ennek megfelelően + Eel a energiára a E m + m össefüggés kapjuk, aminek megáloása alóban a klassikus mogási energia megáloásáal egenlő: E E m m Eserin a m E, m illee a ömegre onakoó m össefüggés felhasnálásáal kaphaó E m mennisége ekinhejük a ömegpon energiájának Eel a ömegponon ége munka a W m m m m alakban írhaó fel Figelemre méló, hog a energia megáloása a ömeg megáloásából adódik, hisen a E m össefüggés serin a energia a es ömegéel an egérelmű kapsolaban Ebből köekeik, hog m ömeg egben m energiaaralma jelen, és fordía, minden E energiaaralom E/ ömeggel eheelenséggel jár egü A össefüggésből a is köekeik, hog eg rendserben a energia és a ömeg áloása mindig egü, egmással aránosan örénik a E m össefüggésnek megfelelően A nugalmi energia és a ömeghián A klassikus köelíésben kapo E m + m össefüggésből lásik, hog a relaiiáselméleben a klassikus mogási energiának megfelelő kifejeés: Em m m E a energia a eseben a klassikus mogási energiáho hasonlóan nulla les E a kifejeés és a energiára beeee E m össefüggés felhasnála a energia a E Em + m alakba írhaó Ebből láhaó, hog a relaiiáselméleben eg nugalomban léő es E m is rendelkeik E m

9 KÁLMÁN P-TÓTH A: Relaiiáselmélei beeeő/ kibőíe óraála energiáal, ami a es nugalmi energiájának neenek A apasala a muaja, hog e a nugalmi ömeghe rendel sajáenergia nem pusán maemaikai konsans, hanem alóban fiikai realiással bír: a nugalmi energia résben ag egésben á ud alakulni másfaja energiáá pl elekromágneses sugárássá, s ilenkor a nugalmi ömeg is a E m össefüggésnek megfelelő módon áloik meg Ennek kísérleileg is ellenőriheő esee a aommagok ömeghiánáal kapsolaos A aommagok ömegének méréséből a derül ki, hog eg aommag ömege kisebb, min a mago alkoó sabad nukleonok proonok és neuronok ömegének össege E a ömegkülönbsége ömeghiánnak ag idegen sóal ömegdefekusnak neeik Ha a aommag nugalmi ömegé M -lal, a proon nugalmi ömegé m p -lal, a neuroné m n -lal jelöljük, akkor a aommag ömeghiána m Nmn + Zm p M Z proonok-, N a neuronok sáma a magban A jelensége a relaiisikus ömegformula segíségéel lehe megmagaráni, a aommag energiája uganis más köö nukleonok eseén, min nukleonokra sésede állapoában Ennek oka a köekeő A aommago alkoó nukleonok aér maradnak a aommagban, mer onák egmás E a jeleni, hog a magnak különálló nukleonokra aló sésedéséhe munká kell égeni, ehá a nukleonokra sésede rendser energiája nagobb, min a aommagé a öbble a befekee munkából sármaik A köö állapoban léő rendser a aommagban köö nukleonok E mag energiája-, és a sésede rendser sabad nukleonok E nukl energiája köi Ek Enukl Emag különbsége a illeő aommag köési energiájának neeik Ennek alapján a nukleonok sabad és köö állapoa köi m ömegkülönbség a ömeghián a ké állapo köi Ek energiakülönbségnek felel meg, ami a Ek m össefüggéssel udunk sámserűen is érelmeni Miel a aommag és a nukleonok ömege is mérheő, e a össefüggés módo ad a aommagok köési energiájának egserű meghaároására: E m Nm + Zm M k n A négesimpulus, a energia és a impulus össefüggései A feni meggondolások serin a energia és a impulus három komponense, agis a m m m m E ; p ; p ; p menniségek négesekor alkonak, amele gakran négesimpulusnak neenek Ebből köekeik, hog a E p p p menniség inariáns a Loren-ransformáióal semben Kimuahaó, hog eg kölsönhaások nélkül mogó ömegponra a négesimpulus állandó, ami a jeleni, hog E állandó és p állandó, p

10 KÁLMÁN P-TÓTH A: Relaiiáselmélei beeeő/ kibőíe óraála agis a energia- és impulusmegmaradás öréne egelen megmaradási örénné olad össe Emelle a ömegmegmaradás öréne maga uán onja a energiamegmaradás öréné is, ami a E m össefüggésből köekeik A energia beeeésénél a energia és a impulus nagságának össefüggésére a E m m + kifejeés kapuk Visgáljuk meg e a össefüggés abban a speiális eseben, ha a isgál objekumnak nins nugalmi ömege pl elekromágneses sugárás Ekkor a energia és a impulus köö a E p össefüggés érénes E a össefüggés a elekromágnességan öréneiből is le lehe eeni, ami nem meglepő, hisen a relaiiáselméle a elekromágnességan örénei nem módosíja A Em és a E p össefüggésekből köekeik, hog eg nugalmi ömeg nélküli objekum pl foon, lásd később impulusa sak p m lehe, agis sak fénsebességgel moogha A fordío állíás is iga: eg fénsebességgel mogó objekumnak nem lehe nugalmi ömege E a m m + p és a p m össefüggések felhasnálásáal láhajuk be A ké össefüggésből kapo m m + m egenle négere emelése uán a kapjuk, hog m m + m, agis m A körfrekenia-hullámsám négesekor A négesimpulusból elemi kanumelmélei össefüggések felhasnálásáal können kaphaunk eg új négesekor, ami a hullámanban hasnálhaunk fel A kanumelméle serin a elekromágneses hullámban erjedő foonok energiájára és impulusára a E hω ; p hk össefüggések érénesek, ahol ω a hullám körfrekeniája, k pedig a hullámsámekor Íg a E, p négesekorból a inariáns skalár h-al aló osással kapjuk a ω, k négesekor Miel a négesekorok skalársoraa inariáns, a ω, k és a, r négesekorok skaláris soraára fennáll, hog ω k k k inariáns A íg kapo menniség nem más, min a hullámfüggén argumenuma, ami eek serin különböő ineriarendserekben aonos p

11 KÁLMÁN P-TÓTH A: Relaiiáselmélei beeeő/ kibőíe óraála A négdimeniós éridő 9 Inariáns inerallumnége, négesekorok 9 Állapoáloás a néges érben, sajáidő A relaiisikus dinamika alapjai A impulus lendüle, a ömeg és a mogásegenle 3 A energia, a ömeg-energia össefüggés a relaiiáselméleben 4 A nugalmi energia és a ömeghián 6 A négesimpulus, a energia és a impulus össefüggései 7 A körfrekenia-hullámsám négesekor 8