2. A speciális relativitás elmélete

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "2. A speciális relativitás elmélete"

Ágnes Siposné
5 évvel ezelőtt
Látták:

1 László Isán Éíőérnök Fzka II. rész (Bdaes 4). A seáls relaás elélee.5 Eseének áolsága. Az íele. Teknsünk ké eseén a K nerarendszerben. Az egke a és z koordnáák jellezk a áska edg a és z koordnáák. Az s ( ) ( ) ( ) ( ) z z ennsége ezen ké eseén áolságának a négzeekén defnáljk. A négzegökonással kao s ennség a ké eseén áolsága. Ha a ké eseén koordnáá sak nfnezálsan (sak nagon ks ) külöböznek egásól akkor a ké eseén áolságának négzeé íele négzenek neezzük és alkalazzk a ds s d d és dz z z jelőlés. Íg az íelenégzere adódk: ds d d dz Ha ganazon ké eseénre felírjk a áolságnégzee llee az íele négzee a K nerarendszerben s akkor az kajk hog s s ( ds ds ) Az eseének áolsága (llee az íele ) Lorenzranszforáó haására naráns er a száéréke ne függ az nerarendszeről és koaráns s er ndegk nerarendszerben ganazon forláal kell kszáían. Az s > feléel kelégíő áolságo dőszerű áolságnak neezzük. Időszerű áolságokra lehe aláln olan nerarendszer aelben a ké eseén ganazon a helen - -

2 László Isán Éíőérnök Fzka II. rész (Bdaes 4) örénk. Ha edg s < akkor érszerű áolságról beszélünk. Ekkor edg olan nerarendszer lehe aláln aelben a ké eseén egdejű. 4.Példa Bzonísa be hog a ds íelenégze naráns a d d dz ' ' z ' z ' Lorenz-ranszforáó haására. Megoldás Legen ds s d d és dz z z alan ds s d d és dz z z Ekkor: ( ) ( ) ( ) ( z ) s z - -

3 László Isán Éíőérnök Fzka II. rész (Bdaes 4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z z ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z z ( ) ( ) ( ) ( ) s z z.6 A sajádő Mn elíeük dőszerű íeleekre ndg alálhaó olan nerarendszer aelben a ké eseén ganazon a helen örénk. Eg K nerarendszerhez kées állandó sebességgel ozgó eshez rögzíe K nerarendszer éldál len. A es K-ban sebességgel ozog K -ben edg ngaloban an. Ekkor az íelenégze naranájából köekezk: d ' dz d d ds τ. Ebből: τ dz d d dz d d d

4 László Isán Éíőérnök Fzka II. rész (Bdaes 4) 4 és íg d d dz Tehá az állandó sebességgel ozgó esen örén eseének d τ deje rödebbnek űnk ha a hozzá kées ngaloban léő K nerarendszerből érjük ganezen eseének dőkülönbségé. Ez a jelensége híják dődlaáónak. Ha a K nerarendszerhez kées eszőleges eseleg álozó sebességgel ozgó eshez rögzíe órán érjük a τ Idő akkor τ τ Az a τ dő ael alael ado árggal egü ozgó óra ér a szóban forgó árg sajádejének neezzük. 5.Példa A űonok ag ás néen ű ezonok kb. 47 agasságban kelekeznek a kozks sgárzás haására és 995 álagsebességgel ozognak. Kísérleleg egérék hog laboraórban a ű ezonok élearaa µ µ s. M a agarázaa hog a ű ezonok leérnek a Föld felszínére anélkül hog elbolanának? - 4 -

5 László Isán Éíőérnök Fzka II. rész (Bdaes 4) 5 Megoldás 6 Legen µ µ és íg s Ekkor s 6565 < 47. Ha azonban felesszük hog τ µ µ a ű ezon sajádeje és hozzánk kées sebességgel ozog akkor a Földhöz rögzíe nerarendszerben ér élearara s τ 3µ s adódk. Ekkor s 657 > 47. Tehá a ű ezonok leérnek a Föld felszínére ahog az a kísérleek s bzoníják. 6.6 A sajáhossz ag ngal hossz. A Lorenzkonrakó Eg rúd sajáhosszának neezzük a rúdnak abban az nerarendszerben ér hosszá aelben ngaloban an. Legen eg ado rúd sajáhossza l. Helezzük a K nerarendszer engelére. Tehá l z A K rendszerben úg djk egondan a hosszá hog eg ado ' dőllanaban egnézzük a ké égének a koordnáá. Mel - 5 -

6 László Isán Éíőérnök Fzka II. rész (Bdaes 4) 6 ' ' ' z z' írhajk hog ' ' ' ' ' ' Ezekből jön: l ' ' l ags l l - 6 -

7 László Isán Éíőérnök Fzka II. rész (Bdaes 4) 7 Ez az összefüggés híják Lorenz-konrakónak. A az jelen hog a fen ódon elheleze ozgó rda rödebbnek lájk n a ngaloban léő..7 A sebességek ranszforáója A Lorenz-ranszforáó ' ' ' z z' ' ' kéleéből köekezk hog d d' ' d d' dz dz' - 7 -

8 László Isán Éíőérnök Fzka II. rész (Bdaes 4) 8 d' ' d d Ezekből rendezéssel kajk az dz d' d' dz' z ' ' és ' z defníók ' ' ' alaján hog ' ' ' ' z ' z ' Lászk hog a sebesség ne a Lorenz-ranszforáó szern ranszforálódk. 6.Példa - 8 -

9 László Isán Éíőérnök Fzka II. rész (Bdaes 4) 9 Eg részeske sebessége K -ben ( ) részeske sebessége K-ban.. Menn ezen Megoldás Mel ' ' ' ' és ' z z ' ' oábbá ' ' adódk beheleesíéssel: z ' ' ' ' - 9 -

10 László Isán Éíőérnök Fzka II. rész (Bdaes 4) ' z ' z Tehá ( ) alakja K-ban s ( ) lesz..8 Táolság és dőérés A Lorenz-ranszforáó anlánozásakor az aaszalk hog a áolságok és dőaraok függnek a érésekhez használ nerarendszerekől. Ezen jelenség egnlánlásá ár lák az dődlaáó és Lorenz-konrakó anlánozásánál. Nézzük eg hog ezen ének daában hogan lehe nerarendszerekben a áolságoka és az dő egérn. Az a én fogjk felhasználn hog a fén nerarendszerekben ganazon sebességgel és zoró ódon erjed ags száéréke nerarendszeről és ránól függelenül. A K nerarendszer P és P onjanak r áolságá a köekező ódon haározzk eg. Helezzünk eg órá a P onba és eg ükrö a P -be. Ha a P -ből a P felé kbosáo fénjel a P -be heleze ükörről sszaerőde dő úla ér ssza P -be akkor legen r. Íg a K nerarendszer bárel ké onja közö eg djk érn a áolságo. Mán a áolságoka eghaározk érjünk rá az órák sznkronzálására. Igaz hog a áolság érésére s hasznáénk óráka de ne ol szükségünk azok sznkronzálására. Válasszk k a P onba heleze órá és állísk be a dőonra anélkül hog elndíanánk. Ehhez az órához fogjk gazían a öbb. Vgünk ndegk onba - -

11 László Isán Éíőérnök Fzka II. rész (Bdaes 4) r eg-eg órá és a P -be e állísk -re. Indísnk el eg fénjele a P onból és ganebben a llanaban ndísk el az deheleze órá s. A öbb on órá edg ndísk el akor egérkezk oda a fénjel. Hasonló ódon sznkronzáljk a K órá s..9 A négesekorok A ehanka Newon-öréne a Galle-ranszforáó az elekroosság Mawell-egenlee edg a Lorenzranszforáó hagja álozalanl. A Lorenzranszforáó az álalánosabb er belőle a fénsebességhez kées ks sebességek eseén egkahaó a Galleranszforáó. Ebből az sejhejük hog a Newonörének s alalen sak ks sebességeknél érénes álozaa olan öréneknek aelek ne áloznak eg a Lorenz-ranszforáóra. Keressük eg ezeke a öréneke. Ezen rogra égrehajása éljából élszerű beezen a négesekoroka. Eg eseén ( z) koordnáá úg foghajk fel n a négdenzós ér eg helzeekorának nég koonensé. A dőkoordnáa hele a hosszúság denzójú ennsége ezeük be. E ekor koonense 3 és -el jelöljük ahol leheséges éréke 3 z Ezen néges helzeekor hosszának négzee 3 ( ) ( ) ( ) ( ) - -

12 László Isán Éíőérnök Fzka II. rész (Bdaes 4) Álalánosságban az A négesekornak neezzük az A 3 A A A nég ennség összességé ha azok a négdenzós koordnáarendszer ranszforáó során úg ranszforálódnak n az néges helzeekor koonense. Lorenz-ranszforáó eseén ehá: A A' A' A A' A' A 3 A A' A' 3 Az A négesekor négzeé az 3 ( A ) ( A ) ( A ) ( A ) összeg adja. Az írásód egszerűsíése érdekében élszerű beezen a köekező len ndeel ennségeke: A A A A A A A 3 3 A - -

13 László Isán Éíőérnök Fzka II. rész (Bdaes 4) 3 Az A az A négesekor konraaráns az A a koaráns felírásá jelen. Ezen négesekor négzee edg: 3 A A A A A A A A A A 3 3 A A Az összege élszerű A A alakban írn. Ha eg ado kfejezésben alael nde készer szereel akkor aszern az nde szern összegezn kell az összegezés jelé edg elhaghajk. ( Ensen konenó) Az A és B négesekorok skalárs szorzaa edg: A B A B A B A B A 3 B 3 Példál ha ( r) akkor ( -r) Ha beezejük a és - r. k ( ) g gk dag erks enzor aelnek sak a dagonáls elee különböznek nlláól akkor k k g A A k g A k A A A g A A k k g k A A k - 3 -

14 László Isán Éíőérnök Fzka II. rész (Bdaes 4) 4. A négessebesség Korábban belák hog az d d' ' és ' d dz' ' z forlákkal ' dz d' z ' ' defnál sebességek ne Lorenz-koaránsak. Mel 3 ( ) ( z) 3 ( d d d ) ( dddz) négesekor d s az. Ha eg négesekor eg Lorenz-naráns ennséggel osznk akkor az négesekor arad és az íg kao ennség Lorenz-koaráns lesz. Tda hog a sajádő s Lorenz- d naráns az forláal defnál négessebesség s d τ Lorenz-koaráns lesz. Tehá d τ ds d d d d d d d d d dz dz és d d - 4 -

15 László Isán Éíőérnök Fzka II. rész (Bdaes 4) 5 Ha sokkal ksebb n a fénsebesség akkor -ből eg olan négkoonensű ennsége kank aelnek az első koonense a fénsebesség az olsó háro koonense edg a klasszks sebesség.. A négeslzs Legen eg ado részeske ngal öege és négessebessége. Mel az Lorenz-ranszforáó haására a a ngal öeg naráns a ekor s négesekor és négeslzsnak neezzük. Legen az sebességgel ozgó részeske relaszks öege. Ekkor ( ) ( ) ahol az sebességű és öegű részeske lzsa. Annak érdekében hog egdjk el egenlő égezzük el a köekező áalakíásoka << feléelezéséel

16 László Isán Éíőérnök Fzka II. rész (Bdaes 4) ( ) E... E... kneks Azaz ( ) E Az E Összefüggés adja Ensen híres E összefüggésé. 7.Példa Bzonísk be a azonosságo. Megoldás Mel és írhajk hog

17 László Isán Éíőérnök Fzka II. rész (Bdaes 4) 7 8.Példa d Bzonísk be a azonosságo. Megoldás d d d d d d d d. A négeserő Az erő klasszks defníójából kajk a d K d τ négeserő. Mel ( ) - 7 -

18 László Isán Éíőérnök Fzka II. rész (Bdaes 4) 8 K d d d F d Mel adódk hog K Ebből d F K d F Ebből kajk hog és íg K F F - 8 -

Hasonló dokumentumok

A Lorentz transzformáció néhány következménye

A Lorentz transzformáció néhány következménye A Lorenz ranszformáció néhány köekezménye Abban az eseben, ha léezik egy sebesség, amely minden inercia rendszerben egyforma nagyságú, akkor az egyik inercia rendszerből az áérés a másik inercia rendszerre