Takács Lajos ( ) és Prékopa András ( ) emlékére.

Átírás

1 Haladvány Kiadvány Mely merev kör½u gráfok és hogyan használhaók valószín½uségi becslésekhez? Hujer Mihály hujer.misigmail.com Ajánlás. Takács Lajos ( ) és Prékopa András ( ) emlékére. Köszöne. BME DET-nek konferencia-részvéel ámogaásáér, Kovács Edih inspiráló konzulálásaiér.

2 Kivona. A merev kör½u gráfok vizsgálaá Hajós György, Gallai Tibor, Surányi János, Hajnal András kezdék el. A valószín½uségi becslések anulmányozása Prékopa András és aníványai munkáiban élénkül fel. Boros és Veneziani, illeve ½olük függelenül Dohmen ráalálak arra a fonos kapcsolara, mely a merev kör½u gráfok és az eseményúniók valószín½uségének fels½o becslése közö van. El½oadásunkban röviden áekinjük a fen ideze eredmények öréneé. Rámuaunk majd, hogy a leghasznosabb merev kör½u gráfok ulajdonságainak felárása mennyire indokol. A merev kör½u gráfok színezéseinek kérdésköré is érineni fogjuk.

3 Legyenek A 1 ; ; A n valószín½uségi események, melyek álalában nem függelenek. A híres-nevezees Bonferroni-becslés, vagy más néven Boole Bonferroni-egyenl½olenség a kövekez½o: P (A 1 [ [ A n ) P (A 1 ) + + P (A n ) (BB) Törénei megjegyzések. Bonferroni az javasola, hogy ha megbízhaósági szin½u dönés szerenénk hozni, de egymás uán n darab esze kell végeznünk, melyek egymásól nem függelenek, akkor szin helye =n szinen dönsünk. Legf½obb célunk. A (BB) egyenl½olenség eseében a jobb oldal minusz a bal oldal alsó (algorimikus) becslése (azaz a (BB) egyenl½olenség élesíése) felhasználva 1 i < j n és 1 r < s < n eseére a P (A i \A j ) és P (A r \A s \A ) számoka.

4 Jelölés. GAP = P (A 1 ) + + P (A n ) P (A 1 [ [ A n ) Téel (Huner 1976). Jelölje az f1; ; ng szögponhalmazon egy esz½oleges fa gráf élei T. Ekkor GAP X P (A i \ A j ) (HW) ij2t Törénei megjegyzések. (Huner½ol függelenül) Worsley is megalála a (HW) összefüggés. Az 1982-ben publikál eredménye Hunerénél nagyobb ismersége nyer, ezér sok kuaó a (HW) összefüggés Huner Worsley-becslésnek hívja. A (HW) becslés jobb oldala Kruskal híres algorimusával O(n 2 log n) lépésben maximalizálhaó.

5 Mivel az n = 2 eseben a (HW) egyenl½olenség egyenl½oséggel áll fenn, a ovábbiakban felesszük, hogy n 3.

6 A kövekez½o neghaározások az n 3 ponú egyszer½u gráfokra érelmezve ugyanaz a gráfcsaládo de niálják: 2-fák. alpas cseresznyefák. 3-színezhe½o merev kör½u gráfok n 2 darab háromszöggel, 2n 3 darab éllel. Mivel a gráfoszályba arozik a háromszög és a gyémán (azaz a 3-ponú eljes és a 4-ponú egy él híján eljes gráf), ezér mi a gráfoszály dela-diamond gráfoszálynak nevezzük. Egy gráfban szimpliciális ponnak nevezünk egy u pono, ha u és szomszédai eljes részgráfo indukálnak.

7 Tulajdonságok. Az n ponú dela-diamond gráfokoa a kövekez½ok jellemzik: 2-összefügg½ok, de n 4 eseén nem 3-összefügg½ok. Síkba rajzolhaók. 3 színnel színezhe½ok Minden indukál részgráfjuk perfek gráf, nevezeesen legfeljebb 3 színnel színezhe½o merev kör½u gráf. Minden n ponú, legfeljebb 3 színnel színezhe½o merev kör½u gráf részgráfja valemely n ponú dela-diamond gráfnak. (S½o a kiindulási dela-diamond gráfból egyesével hagyhaók el az élek.)

8 n = 3 eseén mindhárom pon szimpliciális, n 4 eseén van legalább ké összeköelen szimpliciális pon. n 4 eseén bármely szimpliciális pono elhagyva egy kisebb dela-diamond gráfo kapunk. Ha egy n ponú összefügg½o, merev kör½u részgráfjuk d darab háromszöggel bír, akkor a részgráfban az élek száma n + d 1. (Tehá a kiindulási gráfhoz képes pon annyival csökken az élek száma, min a háromszögeké.) A kövekez½o ké oldalon példáka muaunk 8; 7; 6; 5; 4 ponú dela-diamond gráfokra. A fen elsorol ulajdonságok jól meg gyelhe½ok. A kés½obbi ábra-oldalon a 6; 5; 4 ponú dela-diamond gráfok eljes lisájá lájuk.

9 H HHHH H HH H HHHH H HH H HHHH H HH A A A H HHHH H HH H HHHH H HH A A A A A A H HHHH H HH A A A

10 A A A H HHHH H HH A A A H HHHH H HH

11 A kövekez½okben rámuaunk a (HW) egyenl½olenség és a dela-diamond gráfok közöi legf½obb kapcsolara, melye lényegé ekinve (legalább) három egymásól függelen kuaócsopo is megalál: Bukszár József (aki Prékopa András, Szánai Tamás és Hujer Mihály kollégákkal soka konzulál), Klaus Dohmen, ovábbá Pierangela Veneziani (aki Boros Endre émaveze½ojével dolgozo).

12 Jelölje n 3 eseén egy konkré (de esz½oleges) dela-diamond gráf éleinek halmazá E és háromszögeinek halmazá D. Ekkor fennáll a kövekez½o: GAP X ij2e P (A i \ A j ) X rs2d P (A r \ A s \ A ) (D*) A jelen munka egyik legf½obb eredménye a kövekez½o éel, mely ado n 3 szögponra vonakozik. Téel. Minden T élhalmazzal ado fához alálhaó olyan E élhalmazú és D háromszöghalmazú dela-diamond gráf, melyben T E, ovábbá léezik ' : (ET )! D bijekció, melyre minden e 2 ET él az egyik éle a '(e) háromszögnek.

13 Kövekezmény. becslés. A legjobb (D*) becslés nem rosszabb, min a legjobb (HW) Algorimikus megjegyzés. A feni éel eseében T -b½ol E és D megkonsruálása nem igényel O(n 2 log n) lépésnél öbbe. A feni éel részleges bizonyíása. Az n = 4 ese riviális, az n = 5 ese is könny½u a kövekez½o oldalon láhaó ábrák alapján.

14 H HHHH H HH

15 A kövekez½okben az n = 4 esee vizsgáljuk alaposabban. Kiderül, hogy a (D*) egyenl½olenség jobb oldala akkor a lehe½o legnagyobb, ha az E halmazból az az rs pár hagyjuk ki a 6 leheséges pár közül, melyre f; wg = f1; 2; 3; 4gfs; g jelöléssel q s = P (A r \ A s \ A ) + P (A r \ A s \ A w ) P (A r \ A s ) éréke a lehe½o legnagyobb. Abból a célból, hogy jobban megérehessük ez a esee, ekinsük a kövekez½o konkré érékeke: ij P (A i \ A j ) rs P (A r \ A s \ A )

16 Tehá mos a kövekez½o 6 szám legnagyobbiká kell kikeresni. s q s A legnagyobba s = 1, = 2 eseére kapuk. Mindazonálal (D*) ez az alako nyeri: GAP (:24 + :14 + :22 + :14 + :21) (:11 + :10) = :74 Érdemes megvizsgálni, hogy vajon ez-e a lehe½o legnagyobb alsó becslés GAP érékére. Mármos z-vel jelölve éréké ezeke az adaoka nyerjük: P (A 1 \ A 2 \ A 3 \ A 4 ) rs; k 123,4 124,3 134,2 234,1 P ((A r \ A s \ A ) A k ) :14 z :06 z :11 z :10 z

17 és így :16 z (:14 z) (:06 z) = z :04 :24 z (:14 z) (:11 z) = z :01 :14 z (:06 z) (:11 z) = z :03 :22 z (:14 z) (:10 z) = z :02 :14 z (:06 z) (:10 z) = z :02 :21 z (:11 z) (:10 z) = z :00 mia ij; kl 12, 34 13, 24 14, 23 P (A i \ A j ) (A k \ A l ) z :04 z :01 z :03 ij; kl 23, 14 24, 13 34, 12 P (A i \ A j ) (A k \ A l ) z :02 z :02 z :00

18 Mármos ezekkel az adaokkal GAP ponos éréke és (z :04) + (z :01) + (z :03) + (z :02) + (z :02) + (z :00) = 6z :12 mia (:14 z) + (:06 z) + (:11 z) + (:10 z) = :41 4z (2 1) (6z :12) + (3 1) (:41 4z) + (4 1) z = z + :70 Mivel a feni z a ípusú és b z ípusú valószín½uségérékeknek mind nemnegaívnak kell lenni, ezér z érékére fenn kell állni, hogy 0 z :04. Mindazonálal a konkré eseben GAP lehe½o legnagyobb éréke: :70 + :04 = :74. Szerencsénk vol ehá, mer a (D*) becslés a lehe½o leger½osebb becslésnek bizonyul. A feni módszer ulajdonképpen lineráris programozás alkalmazása vol.

19 Mos megvizsgálunk egy másik konkré példá is. Legyen ovábbra is n = 4, és legyenek 0 p q :5 paraméerek, melyekre felesszük, hogy az A 1 ; A 2 ; A 3 ; A 4 események álal meghaározo 16 esemény-aom közül a releváns 11 aom valószín½usége úgy alakul, hogy ha egy aom k 2 darab eseményben benn van, de 4 k eseményben nincs benn, akkor a valószín½usége éppen p k q 4 k. Jelen eseben GAP = 6p 2 q 2 + 8p 3 q + 3p 4 = p 2 3p 2 + 8pq + 6q 2 Mos a q s számok mindegyikére ugyanaz kapjuk: q s = 2p 3 (p + q) p 2 (p 4 + 2p 3 q + p 2 q 2 ) Mindazonálal a (HW) becslés szerin GAP 3(p 4 + 2p 3 q + p 2 q 2 ) = 3p 2 (p + q) 2

20 A (D*) becslés szerin viszon GAP 5(p 4 + 2p 3 q + p 2 q 2 ) 2p 3 (p + q) = p 2 (p + q) (3p + 5q) Láhaó ehá, hogy ez eseben a (D*) becslés ennyivel jobb, min a (HW) becslés: p 2 (p + q) (3p + 5q) 3p 2 (p + q) 2 = 2p 2 q (p + q) Ugyanakkor a (HW) becslés és a (BB) becslés közi különbség: p 2 3p 2 + 8pq + 6q 2 3p 2 (p + q) 2 = p 2 q (2p + 3q) Néhány konkré p; q érékre ezeke a számoka áblázaokba foglaluk: p q HW D* GAP :5 :5 : :4 :5 :389 :533 :573 :3 :5 :173 :245 :267 :2 :5 :059 :087 :097 :1 :5 :011 :017 :019

21 p q HW D* GAP :4 :4 :307 :410 :435 :3 :4 :132 :183 :197 :2 :4 :043 :063 :069 :1 :4 :008 :012 :013 p q HW D* GAP :3 :3 :097 :130 :138 :2 :3 :030 :042 :046 :1 :3 :005 :007 :008 p q HW D* GAP :2 :2 :0192 :0256 :0272 :1 :2 :0027 :0039 :0043 :1 :1 :0012 :0016 :0017

22 Mos ráérünk az n 5 eseekre. A legjobb dela-diamond gráf megkeresése nagyon nehéz; vélhe½oen NP-nehéz probléma. Mindazonálal a Kruskal-féle algorimus minájára javasolhaunk egy haékony min½oségre számo aró módszer. Ennek a lényege az, hogy mindannyiszor, amikor a Kruskal-algorimus a (HW) becslés kiszámíásához ké komponense egyesí, egy él behúzása helye néha ké, néha három él húzunk be, de ha 2 él húzunk be, akkor 1 darab új háromszöge is lérehozunk, ha pedig 3 él is húzunk be, akkor 2 darab új háromszöge is lérehozunk. Az algorimus összesen n 1 lépésben dolgozik: Kezdeben n 1 darab szingleon komponens vol, végül egyelen dela-diamond gráf lesz. Mind az n 1 darab lépés uán minden egyes komponens külön-külön vagy egy szigleon, vagy egy él, vagy egy k 3 ponú dela-diamond gráf lesz. Minden lépésben az a ké kompense csaoljuk össze egyelen komponenssé, amely ké komponense a Kruskal-algorimus is összekapcsolná. Az összekapcsolás módja azonban 3 féle lehe:

23 Ha ké szingleon összekapcsolása van napirenden, akkor ugyanaz csináljuk, mind a Kruskal-algorimus, azaz egyelen él húzunk be a ké szingleon közö. Ha egy szingleon és egy nem szingleon összekapcsolása van napirenden, akkor a nem szingleon egyik élével és a szingleonnal alkounk egy új háromszöge. Olyan új rs háromszög lérehozása örénik, ahol s maga a szingleon, r egy már meglév½o él a nem szingleonban, ovábbá P (A r \ A s ) + P (A s \ A ) P (A r \ A s \ A ) éréke a lehe½o legnagyobb. Ennek megfelel½oen kell megválaszani a nem szingleonban az r él. Ha ké nem szingleon összekapcsolása van napirenden, akkor a meglév½o gráfunkra ráúniózunk egy olyan diamond gráfo, melynek egyik függelen élpárja

24 egyik éle az egyik meglév½o nem szingleon komponensb½ol legyen, a másik éle a másik meglév½o nem szingleon komponensb½ol. Olyan diamond kiválaszása szükséges, melyre ha ij jeleni az egyik régi él, r jeleni a másik komponensb½ol a régi él, akkor P (A i \A r )+P (A j \A r )+P (A j \A ) P (A i \A j \A ) P (A j \A r \A ) éréke a lehe½o legnagyobb legyen. A mos javasol algorimus diamond-kruskal algorimusnak nevezzük. Könnyen láhaó, hogy lépésigénye O(n 3 ). Gyakorlai alkalmazások álal kelekezee adahalmazokon ovábbi vizsgálaok kívánaosak.

25 Végezeül kimondjuk a diamond-kruskal algorimus m½uködésé garanáló éel: Téel. A fen de niál diamond-kruskal algorimus fennarja minden egyes lépése uán az a helyzee, hogy az összes összefügg½oségi komponens különkülön vagy egy szingleon, vagy egy él, vagy egy háromszög, vagy egy gyémán, vagy egy legalább 5 ponú dela-diamond gráf.

26 Hivakozások. Alajaji,F., Kuai,H., and Takahara,G., A lower bound for he probabiliy of a nie union of evens, Discree Appl. Mah. 215 (2000) Boros,E., and Veneziani,P., Bounds of degree 3 for he probabiliy of he union of evens, Rucor Research Repor 3-02 (2002). Bukszár,J., and Prékopa, A., Probabiliy bounds wih cherry rees, Mah. Oper. Res. 26 (2001) Bukszár,J., and Szánai, T., Probabiliy bounds given by hypercherry rees [in Hungarian], Alkalmaz. Ma. Lapok 19 (1999)

27 Bukszár, J., Szánai,T., Probabiliy bounds given by hypercherry rees, Opimizaion Mehods and Sofware 17 (2002) Dawson,D.A., and Sanko,S., An Inequaliy for Probabiliy, Proc. Amer. Mah. Soc. 18 (1967) Huner,D., An upper bound for he probabiliy of he union, J. Appl. Prob. 30 (1975) Kounias,S., and Marin,J., Bes linear bonferroni bounds, SIAM J. Appl. Mah. 30 (1976), Kruskal,J.B., On he shores spanning subree of a graph and he ravelling salesman problem. Proc. Am. Mah. Soc. 7 (1956)

28 Prékopa,A., Boole-Bonferoni inequaliies and linear programming, Operaions Research 36 (1988) Prékopa,A., Sharp bounds on probabiliies using linear programming, Operaions Research 38 (1990) Prékopa,A., Vizvári, and Reg½os,G., Lower and upper bounds on probabiliies of Boolean funcions of evens, Rucor Research Repor, (1995). Takács,L., On he mehod of inclusion and exclusion, J. Am. Sa. Assoc. 62 (1967) Veneziani,P., Upper bounds of degree 3 for he probabiliy of he union of evens via linear programming, Discree Appl. Mah. 157 (2009)

29 Vizvári,B., New upper bounds on he probabiliy of evens based on graph srucures, Mah. Inequal. Appl. 10 (2007) Worsley,K.J., An improved Bonferroni inequaliy and applicaions, Biomerika 69 (1982)