SPORTFOGADÁSI ÉS PÉNZÜGYI PIACOK KAPCSOLATA

Átírás

1 SPORTFOGADÁSI ÉS PÉNZÜGYI PIACOK KAPCSOLATA MSc Diplomamunka Íra: Csikai Máyás Bizosíási és pénzügyi maemaika MSc Kvaniaív pénzügyek szakirány Eövös Loránd Tudományegyeem, Természeudományi Kar Budapesi Corvinus Egyeem, Közgazdaságudományi Kar Témavezeő: Badics Milán Csaba PhD Hallgaó, Budapesi Corvinus Egyeem, Befekeési és Vállalai pénzügyek Tanszék 2016

2 NYILATKOZAT Név: Csikai Máyás ELTE Természeudományi Kar, szak: Bizosíási és pénzügyi maemaika MSc NEPTUN azonosíó: GGIW5M Szakdolgoza címe: Sporfogadási és pénzügyi piacok kapcsolaa A szakdolgoza szerzőjekén fegyelmi felelősségem udaában kijelenem, hogy a dolgozaom önálló munkám eredménye, sajá szellemi ermékem, abban a hivakozások és idézések sandard szabályai kövekezeesen alkalmazam, mások álal ír részeke a megfelelő idézés nélkül nem használam fel. Budapes, a hallgaó aláírása 1

3 Taralom Bevezeés... 4 In-game sporfogadási ermékek... 7 Eredményre vonakozó fogadások:... 8 Gólokra vonakozó fogadások:... 9 Spread ípusú fogadások:... 9 Maemaikai kererendszer A fogadások árazása: Európai ípusú fogadások: A ermékek fedezése Modell kalibráció A függvény alakjának kalibrálása: Az inenziásfüggvény: Példamérkőzés: Újrakalibrálás Az alapprobléma: Fakorok kiválaszása: Suppor Vecor Machine módszer: SVM algorimus: SVM implemenálása: Leheséges álalánosíások Leheséges álalánosíások Összefoglalás Hivakozások Appendix

4 A A

5 Bevezeés A dolgoza émája a sporfogadási piac, szűkebben a fuball mérkőzések, meccs közbeni (in-game) fogadásainak árazásának és ezek fedezésére alkalmas maemaikai kererendszer áekinése. Ennek során öbb szemponból is vizsgálam a hasonlóságoka a sporfogadási és a pénzügyi piacok hasonlóságai. A pénzügyi piacra is eljesülő Eszközárazás Alapéele leheővé eszi, hogy arbirázs menes áraka udjunk adni a mérkőzéseken alapuló pénzügyi ermékekre. A éma akualiásának alapja, hogy a fogadások népszerűsége ugrás-szerűen nő az elmúl években. Továbbá élere hívo egy korábban nem léező piaco, melynek lényege, hogy a fogadásoka már nem csak a fogadóirodákkal köhejük, hanem a fogadók egymás közö is kereskedhenek. Az ezen belüli árazási módszerekkel kapcsolaban egyelőre kevés kuaás örén, így rengeeg módszerani kérdés merül fel. Az árazás alapja a lő gólok modellezése lesz, melyek eseében nem konsans inenziású, Poisson eloszlás veszek alapul. Az induló inenziás érékének és annak mérkőzésen belüli válozásainak becslése hisorikus adaok és sajá feléelezések alapján örén. Az in-game fogadások népszerűsége rengeege nő a közelmúlban. Azonban annak leheősége, hogy a fogadásoka nem csak a fogadóirodákkal köhejük, hanem akár a fogadók egymás közö is kereskedhenek ezekkel, sokaknak még ismerelen. Az első ilyen leheősége kínáló nemzeközi fogadó-oldal a befair.com vol. A honlap rengeeg fogadási leheősége kínál és őzsde oldalán minden élő fogadás kereskedheő is. A lényeges különbség például a bwin.com és hasonló oldalakkal szemben, hogy bár ezeken is eladhajuk élő fogadásainka, de ezekben az eseekben csak a fogadóirodával kereskedheünk egy álaluk meghaározo áron. Ezzel szemben a befair.com-on egy kereskedési könyvbe rakhajuk az álalunk eladni kíván fogadásainka, álalunk meghaározo áron, a könyv aralma ennek megfelelően dinamikusan válozik. A honlapon mindig az akuálisan legjobb eladási és véeli árak jelennek meg, melyekhez, a ermészees piaci feléelek alapján egy bid-ask spread is arozik. Ezen piacok rendszere sokban hasonlí a pénzügyi piacokhoz. Vannak azonban érdekes elérések is. 4

6 Mivel gyakoriak a nagy ugrások az árakban a mérkőzések folyamán, ezér minden gólesemény köveően rövid időre befagyaszják a könyve, hogy az eredmény módosulásának megfelelően az összes fogadás újraárazhassa kiírójuk. Később láni fogjuk, hogy a piac elméleben arbirázsmenes, azonban ilyen eseekben a valóságban jelenős arbirázsleheőségek jöhenének lére. Mivel ez a befagyaszás csak rövid ideig (nagyjából 1 percig) ar, a kereskedőknek szükségük lehe gyors és haékony árazó formulákra, melyek segíségével fogadásaika minél ponosabb áron udják visszaenni a kereskedési könyvbe a fagyaszás uán. Természeesen a piacon magáól is elég hamar visszaállnak a fair árak, melyek alapján később mindenki könnyebben udja meghaározni, hogy hogyan érdemes fogadásá érékelni, azonban ha valaki megfelelő árazási formulákkal is rendelkezik, piaci előnyre ehe szer. Emelle egyéb módokon is ellenőrzik az arbirázsok kialakulásá, a minél nagyobb echnikai haékonyság elérése érdekében. Az oddsoka a mérkőzésen örénő összes esemény módosíhaja, ermészeesen a legjelenősebb haás persze a gólesemények okozzák. A mérkőzés állásá ekinhejük egyfaja underlying erméknek, melyre az egyes sporfogadási leheőségek derivaívákkén is kezelheőek. Ennek megfelelően a legelerjedebb sporfogadási ermékeke megfelelehejük ado pénzügyi ermékeknek. A kövekező fejezeben ezek közül néhánya fel is sorolok. A sporfogadási piacok jellemzői dolgozák fel Peer Divos, Sebasian del Bano Rollin, Tomaso Ase és Zsol Bihary [2015], beláák, hogy eljesül rá az eszközárazás alapéele, ez alapján pedig a fogadások kockázamenes környezeben árazhaóak. Árazó modelljükben, mivel egy mérkőzésen ese gólok száma önmagában nem kereskedheő ermék, olyan helyeesíő ermékeke vezeek be, melyek éréke a mérkőzés végén megegyezik a csapaok álal szerze gólok számával. E ermékek előállíásának alapjául konsans inenziású Poisson eloszlású valószínűségi válozóka veek. Ezen valószínűségi válozók volak hivaoak leírni a mérkőzés ado pillanaában a meccs végére vonakozó gólok számának eloszlásá. Azonban apaszalai úon jogosnak űnik az a feléelezés, hogy ez az inenziásparaméer az idő múlásával 5

7 válozik, ső álalános jellemzője az, hogy a mérkőzés vége fele megnő. A paraméer hisorikus adaok alapján számíoák és nem csak a meccs időarama ala, hanem az ado csapa összes mérkőzésére is álalánosnak ekineék. Szakdolgozaom célja e ké feléelezés finomíása ovábbá egy nem konsans függvény illeszése. Először egy poziív együhaójú másodfokú polinomo szereem volna illeszeni, azonban a várakkal ellenében a modell nem bizonyul szignifikánsnak. Az ez köveően alkalmazo lineáris regressziós modell - ahol a magyarázó válozó az idő, a magyarázo válozó pedig a csapa álal az ado percben szerze gólok száma öbb meccsre ekinve már szignifikáns eredmény ado. A konsans ago úgy válaszoam, hogy a függvény időskála szerini inegrálja megegyezzen a hisorikusan becsülheő konsans inenziásfüggvény inegráljával. Ennek a feléelezésnek az az alapja, hogy csak a gólok meccsen belüli eloszlásán szereem volna finomíani, a öbb mérkőzésre vonakozó inenziás valószínűleg jól jellemzi az álagos gólszámo csapaonkén, így érdemes ehhez igazíanunk a becslésünke. 6

8 In-game sporfogadási ermékek Az elmúl években nagyban nő az in-game fogadások népszerűsége, egyes fogadóirodáknál meghalada a pre-game fogadások forgalmá, de már kifejezeen erre épülő fogadó irodák (min például a korábban emlíe befair.com) is jelen vannak a piacon. Az információs echnológia robbanásszerű fejlődésével nem jelen gondo az, hogy az akuális meccse akár mobilelefonon, vagy inerneen kövessük, és így bárhol bármikor fogadhassunk. Hagyományosan a sporfogadások eseében, a mérkőzés ideje ala örénő, a mérkőzéshez kapcsolódó, szine összes eseményre lehe fogadni. Ezek közül ermészeesen a meccs végeredményére szóló fogadások a legnépszerűbbek (azaz, hogy melyik csapa nyer illeve milyen arányban). A mérkőzésen ese gólok számáól kezdve, a hosszabbíások időaramán á, olyan egészen egyedi fogadásoka is lehe köni, min például a 2015-ös Super Bowlon, hogy Eli Manning legalább négyszer lesz-e muava a közveíés során a leláón, amíg báyja Payon Manning a pályán jászik. Természeesen, mi azon jellegű fogadásoka fogjuk vizsgálni, melyek alapermékéül a lő gólok száma szolgál valamilyen formában. Az in-game fogadások egyik jellemző elérése a pre-game fogadásokhoz képes, hogy a mérkőzésen örén események folyamaosan, nagymérékben válozahaják az akuális oddsoka. Ez ovábbi ké csoporra bonhaó: az odds fogadás és a spread fogadás. Az első ípusba az olyan fogadások aroznak, melyeknek egy ado esemény bekövekezése alapján definiál a kifizeésük, azaz ha az esemény bekövekezik, akkor egy bizonyos összege fizenek, ha nem akkor semmi, azaz a digiális opciókra hasonlíanak leginkább. Ezek közül is a fen emlíeek a legelerjedebbek. A spread ípusú fogadások olyanok, melyek eseén a nyeremény összege közel folyonosan válozha, példának okáér egy csapa labdabiroklási százaléká forinban kifizeő fogadás. Mi a ovábbiakban árazás szemponjából csak odds ípusú fogadásokkal foglalkozunk majd. 7

9 Ahogyan már emlíeem, az odds ípusú fogadások digiális opciókra hasonlíanak. Minden eseben egy előre fixál kifizeés örénik, amennyiben bizonyos feléelek eljesülnek, és az egyes fogadások ezekben a feléelekben érhenek el. A eljesség igénye nélkül az ismerebb fogadási ípusok: Eredményre vonakozó fogadások: Jáékidő eredménye: A legismerebb fogadás ípus. A mérkőzés végeredményére, min három érékű vekorra lehe fogadni, ahol az 1-es álalában a hazai, a 2-es a vendéggyőzelme, míg az X a dönelen jelöli. Akármelyik fogadás is esszük meg, lényegében a gólok relaív számára veszünk egy digiális opció. 1-es eseben arra fogadunk (azaz az opció akkor fize), hogy a hazai gólok száma nagyobb a vendég gólokénál és hasonlóan a öbbi eseben is. Hasonló ehhez a félidei eredmény, ahol ilyen formában ippelheünk a félidő eredményre. Dupla esély: Technikailag ez az előző ípus elleneje. A három leheséges kimeneel közül az egyik nem-bekövekezésére fogadunk. Tehá 12, X1, és X2 fogadásoka eheünk. DNB (Draw No Be): A dönelen kizárják a fogadásból, csak valamelyik csapa győzelmére fogadhaunk. Dönelen eseén ezér visszakapjuk a megjászo ée. Ez az előzőekhez képes abban ér el, hogy a kifizeési függvény három érékű: 0, ha a másik csapa nyer, az opció díja amennyiben dönelen, és az előre meghaározo nyeremény, ha jól ippelünk. eseén fize. Ponos eredmény: Ahogyan a neve is muaja, csak a ponos eredmény elalálása Félidő/Vége: A ké eredmény összeköve fogadjuk meg, így három helye kilenc kimeneel közül kell elalálnunk egye. (1/1; 1/2; 1/X; 2/1; 2/2; 2/X; X/1; X/2; X/X). Hendikep (Handicap): Ebben az eseben, valamelyik csapanak 1 vagy öbb gólos előny adnak. Ezzel végeredmény melle a gólkülönbségre eszünk még fogadás. Ha 8

10 például a Sporing Benfica meccsen a Benfica (+1) megjelölés ala lehe fogadni az {1,2,X}-es kimeneelekre, ebben az eseben az 1-es fogadás az jeleni, hogy a Sporing legalább 2 góllal nyer, a 2-es az, hogy a Benfica dönelen ér el, vagy nyer, az X pedig a Sporing 1 gólos győzelmére fogad. Így a megfelelő hendikepek melle az eredmények és gólkülönbség párok széles körére fogadhaunk. Gólokra vonakozó fogadások: Gólok ala/fele: A fogadás árgy, hogy egy előre meghaározo számnál öbb gól esik-e a mérkőzésen. Az odds fogadási ípuson belül ermészeesen i is előre meghaározo a kifizeés, ha a feléel eljesül, de leheséges lenne a gólok számának növekedésével növekvő kifizeésű fogadás is kiírni. Hagyományosan nem egész érékű számoka adnak meg haárkén (jellemzően n alakúaka) így bizosíva, hogy csak ké leheséges kimeneele legyen a fogadásnak. Gólok száma ponosan/hazai-/vendég csapanál: A meccsen ese összes gólok számára, illeve külön-külön a csapaok álal szerze gólokra is fogadhaunk. Gól szerző csapa: Ez a fogadás négy kimeneelű. Fogadhaunk arra, hogy mindké, egyik sem, vagy egy ado csapa szerez gól. Kövekező gól szerzője: A fogadás arra vonakozik, hogy a mérkőzésen eső kövekező gól melyik csapa fogja szerezni. Spread ípusú fogadások: Poin spread: A csapaok közöi gól/ponkülönbségől függ a kifizeés lineárisan. Első sorban nem a labdarúgásra, hanem nagyobb ponszámú jáékokra jellemző. Pénzügyi vonakozásában, ha az irányra is fogadunk, azaz, ha az egyik csapa szemszögéből nézve poziív és negaív különbségeke nézünk, inkább hasonlí a fogadás egy európai opcióra. A kifizeés 0, ha a csapaunk veszí, és a kifizeés a szerin nő, hogy mennyivel nyer. Leheséges kéirányú fogadás is enni, azaz csak a különbség mérékére vonakozik a kifizeés, arra nem, hogy melyik csapa nyer. Ekkor egy erpeszpozíciónak feleleheő meg a fogadásunk. 9

11 Goal minues: A kifizeés a gólok időponjainak (a meccs kezdeéől nézve, hányadik percben esnek) összegére vonakozik. Például, ha Sporing Benfica mérkőzésen a 32. és 68. percben esik gól, és úgy kööük a fogadás, hogy ezek összegének 100-szorosá kapjuk, akkor HUF lesz a kifizeésünk. Az oddsok jelölésére ké elerjed konvenció léezik. Mindkeőre jellemző az, hogy a fogadás, amire kiírják, olyan jellegű, hogy az esemény bekövekezése eseén fix összege fize, ellenkező eseben nem fize semmi. Az egyik eseben a neó kifizeés és a é arányá adja meg ez a mérőszám (frakcionális), a másik eseben pedig a bruó (ehá a eljes kézhez kapo összeg) és a é hányadosa ado (decimális). A becslésekhez felhasznál adaok öbbsége a decimális jelölési rendszer veszi alapul. A dolgoza folyamán az X jelöli majd időpillanaban azon akuális fogadás megköéséhez szükséges összege, amely a hozzá arozó esemény bekövekezése eseén ponosan 1 forino fize, amennyiben nem kövekezik be, akkor pedig 0-. Tehá az opciónk kifizeésé rögzíeük, ehhez fogunk egy fair ára meghaározni. 10

12 Maemaikai kererendszer A dolgoza során egy kockázamenes árazási modell fogunk alkalmazni az ingame fogadásokra. A szokásos módszeran szerin az underlying ermék dinamikájá fogjuk felírni, megfelelő valószínűségi mezőn. Korábban beláák, hogy a Termékárazás ké alapéele érvényes erre a piacra Divos e. al. [2015] alapján, ennek eredményeképp pedig léezik dela-hedge minden ezen a piacon kiír derivaívára. E éelek finomíásával és fejleszésével korábban foglalkozak még Cox és Ross [1976], Harrison és Kreps [1979], Harrison és Pliska [1981, 1983], Huang [1985], Duffie [1988], valamin Back and Pliska [1991]. Sajnos a gólok száma, min alapermék nem kereskedheő ezér olyan alaperméke kell alálnunk mellyel haásosan helyeesíhejük a feni (azaz érékük megegyezik a mérkőzés végén), és leheséges a kereskedése. A kövekezőkben felír ermékek jól alkalmazhaóak maemaikailag, azonban bármilyen ké lineárisan függelen fogadás alkalmas lenne alaperméknek. Megjegyzés: A Poisson eloszlás illeszésének jóságá a mérkőzés végeredményére öbben vizsgálák, bár korábban Moroney [1956], Reep and Benjamin [1968], Reep e. al. [1971] arra is alálak bizonyíéko, hogy a Negaív-binomiális eloszlás illeszése ponosabb. Maher [1982] azonban függelen Poisson, majd kéválozós Poisson eloszlások illeszésével is igen jó eredményeke ér el. Az in-game fogadásokra vonakozóan pedig Dixon és Robinson [1998] adak meg állapofüggő Poisson-modell, mely figyelembe vee az akuális állás vagy a hazai pálya előnyé is. Analiikai okokból sandard Poisson eloszlás alkalmazo Fi e. al. [2005], Spread ípusú fogadások vizsgálaára. 11

13 Vegyünk ehá egy (Ω, F, P) valószínűségi mező, valamin ké Poisson folyamao: N 1 -e és N 2 1 -, amik inenziásai rendre μ és μ 2, ahol {F [0,T] } a folyama álal generál filráció. Ezek a folyamaok hivaoak rendre a hazai és a vendégcsapa góljainak a számá reprezenálni. Jelölje T a jáék végének időponjá, és az akuális időpillanao. A valószínűségi méréknek a fizikai valószínűségi méréke ekinjük. Tekinsük a kövekező három erméke: B : A kockázamenes kövény S 1 : A hazai csapa góljainak számával megegyező érékű ermék S 2 : A vendégcsapa góljainak számával megegyező érékű ermék 1. Definícó: A modell dinamikájá az alábbi összefüggések írják ehá le: B = 1 S 1 = N 1 + λ 1 (T ) S 2 = N 2 + λ 2 (T ) Ahol λ 1 és λ 2 valós deerminiszikus függvények. A fogadások árazása: 2. Definíció (sraégia): Egy kereskedési sraégia egy olyan φ = (φ 0, φ 1, φ 2 ) vekor, amelyre φ i s ds 0 <, minden i є {0, 1, 2}. A vekor elemei rendre az jelölik, hogy ado időpillanaban mekkora mennyisége arsunk az ado ermékből a porfólióban. Ehhez ermészeesen szükséges, hogy -ben ismerjük az éréküke, ehá F -mérheőnek kell lenniük. Tehá az érékfolyama: V φ = φ 0 B + φ 1 S 1 + φ 2 S 2. Egy sraégia önfinanszírozó, ha: V φ = V φ 0 + φ 1 1 s ds 0 s + φ 2 2 S 0 ahol a feni inegrálok Lebesgue-Sieljes inegrálok [Fel Brémaud, 1981] 12

14 3. Definíció (arbirázs menesség): Egy modell arbirázs menes, ha nem léezik olyan kereskedési sraégia, amely egy valószínűséggel nem veszeséges, és poziív eséllyel profio eredményez, azaz: P[V φ V 0 φ 0] = 1, illeve P[V φ V 0 φ > 0] > 0 4. Definíció (fogadás): Egy fogadás egy, az F T szerin mérheő valószínűségi válozó, X T. 5. Definíció (eljesség): Egy modell eljes, ha minden fen definiál X T -hez léezik ő előállíó, önfinanszírozó sraégia. Azaz erre a sraégiára X T = V φ. 6. Téel (kockáza semleges mérék): Léezik olyan Q valószínűségi mérék (kockáza semleges mérék), amely ekvivalens a P mérékkel és eljesül rá: a) A ermékek B, S 1 2, S érékfolyamaa Q maringál. 1 1 b) A gólok számá leíró N és N folyamaok Q mérék szerin is Poissonfolyamaok λ és λ inenziásokkal (melyek álalában elérnek az eredeiekől). 1 2 c) Q és P ekvivalensek. d) Q egyérelmű. Bizonyíás: A léezés bizonyíása Girsanov egyik éelén alapulva kövekezik a 2., 3. és 8. éelekből (165., 166. és 64. old.), Brémaud [1981], az egyediség pedig a 27. éelen, Brémaud [1981] és a 9.5 feléelen, Tankov [2004] alapszik. 7. Megjegyzés: A mérékcsere során a Poisson-folyamaok eseében nem a drif ag válozik, hanem az inenziás. 8. Téel (arbirázs menesség): A modell arbirázs menes és eljes. 9. Kövekezmény: A fogadás -beli éréke megegyezik a kockáza semleges mérék szerini várhaó érékével a meccs végén, azaz T-ben. X = E Q [X T F ] Bizonyíás: Egyenesen kövekezik a Harrison és Pliska [1981] 3.31 feléeléből. 13

15 10. Kövekezmény: Ez az érék ovábbá megegyezik a hozzá arozó önfinanszírozó sraégia időponbeli érékével is. X = V φ = V φ 0 + φ 1 1 s ds 0 s + φ 2 2 S 0 Bizonyíás: Egyenesen kövekezik a Harrison és Pliska [1981] 3.32 feléeléből Definíció (lineáris függelenség): Z T és Z T fogadások lineárisan függelenek, ha az őke előállíó önfinanszírozó sraégiákhoz arozó φ 1 = (φ 10, φ 11, φ 12 ) és φ 2 = (φ 20, φ 21, φ 22 ) vekorok majdnem mindig lineárisan függelenek. Azaz minden є [0, T] re és c 1, c 2 є R konsansra: c 1 φ 1 c 2 φ 2, P mérék melle. 12. Téel: Minden X T fogadás replikálhaó ké lineárisan függelen fogadás (Z T 1 és Z T 2 ) dinamikus kereskedésével, az alábbi formában: X T = X 0 + ψ 1 1 s dz 0 s 0 + ψ 2 2 s dz s, ahol: ψ 1 1 s dz 0 s = ψ 1 s φ 11 1 s ds 0 s + ψ 2 s φ 12 ds 2 s, 0 és hasonlóan ψ 2 2 s dz 0 s, illeve a ψ 1 2 s, ψ s kielégíik a: ( φ φ φ φ ) (ψ s 2 ψ ) = (φ 2 s φ ) egyenlee. Bizonyíás: Behelyeesíve, hogy dz 1 = φ 11 ds 1 + φ 12 ds 2 és dz 2 = φ 21 ds 1 + φ 22 ds 2 valamin a 10. Kövekezményből és a 12. Téel első egyenleéből kövekezik az állíás. 14

16 Európai ípusú fogadások: 13. Definíció (Európai ípusú fogadás): Az európai opciókhoz hasonlóan, olyan fogadás, melynek az éréke csak a mérkőzés végi gólok számáól függ. Ilyenek például a Végeredmény, Ponos végeredmény, Hendikep, sb. X T = (N 1 (T), N 2 ()) Ahol ismer,n N R. 14. Feléel (árazó formula): Az európai ípusú fogadások -beli éréke explici formában megadhaó: X = (n 1, n 2 )P(n 2 N 1, λ 1 (T ))P(n 2 N 2, λ 2 (T )) n n 2 =N2 1 =N1 ahol P(N, Λ) = e Λ Λ N, ha N 0, illeve P(N, Λ) = 0 egyébkén. N! Bizonyíás: Közvelenül adódik a 13. definícióból és a 10. kövekezményből. 15. Definíció (greeks): A greekek a kövekező egyenleekből adódnak: δ 1 X (N 1, N 2 ) = X (N 1 + 1, N 2 ) X (N 1, N 2 ) δ 2 X (N 1, N 2 ) = X (N 1, N 2 + 1) X (N 1, N 2 ) X (N 1, N 2 1 ) = lim [X d 0 d +d(n 1, N 2 ) X (N 1, N 2 )] Ebben az eseben a δ 1, δ 2 a Delának, míg a a Theának megfelelő szerepe öli a Black-Sholes modell szerin. 16. Téel (Kolmogorov egyenle): Egy európai fogadás X (N 1, N 2 ), ado (N 1, N 2 ) kifizeéssel, kielégíi a kövekező Feynman-Kac reprezenáció [0, T]-n: X (N 1, N 2 ) = λ 1 δ 1 X (N 1, N 2 ) λ 2 δ 2 X (N 1, N 2 ) X (N 1, N 2 ) = (N 1, N 2 ) Bizonyíás: A bizonyíás megekinheő például Feller [1940] 13. egyenlee alapján. 15

17 Ez másnéven a Kolmogorov-egyenle. Megjegyzés: Ennek az egyenlenek kövekezménye az is, hogy minden dela-semleges (nem válozik az éréke, ha valamelyik csapa gól szerez) európai fogadásokból álló porfólió hea-semleges (azaz a gólok közö sem válozik az éréke). Megjegyzem ovábbá, hogy ez álalánosan minden fogadásra érvényes (nem bizonyíjuk). 17. Kövekezmény: Az X (N 1, N 2, λ 1, λ 2 ) európai ípusú fogadás érékére igaz az alábbi egyenle: λ i X = (T )δ i X ahol i {1,2}. Bizonyíás: Ez a 14. (árazó-formula) formulából kövekezik. 18. Feléel (porfólió súlyok): Az európai fogadás előállíó sraégia komponenseire: φ 1 = δ 1 X (N 1, N 2 ) φ 2 = δ 2 X (N 1, N 2 ) Bizonyíás: Felhasználva a korábbiak alapján, hogy X T = X 0 + φ 1 1 s ds 0 s + φ 2 2 s ds 0 s, a ds s i = dn i λ i d helyeesíés köveően: X = X 0 + (φ 1 λ 1 + φ 2 λ 2 )ds 0 N N 2 k=0, + k=0 φ 1 k + φ 2 k ahol φ i i s dn 0 s i N k=0 i = φ i k, ahol 0 i k a k. ugrás ideje (azaz a k. gól időponja) az N i folyama eseén i {1,2}-re. 16

18 A másik irányból pedig az Io-formulá alkalmazhajuk ugró folyamaokra (Tankov [2004], 8.15 feléel), mivel az árazó-formula folyonosan differenciálhaó: X = X 0 + s X s (N 1 s, N 2 s )ds 0 N 1 + δ 1 X 1 k (N 1 1 k, N 2 1 k ) k=0 N 2 + δ 2 X 2 k (N 1 2 k, N 2 2 k ) k=0 ahol k i arra ual, hogy a folyama éréké közvelenül az ugrás elő vesszük. Mivel e ké egyenlee minden ugrás időponra igaz, és így az összegek belseje is meg kell, hogy egyezzen. 17

19 A ermékek fedezése A korábbiakban bebizonyosodo, hogy az in-game sporfogadási piacra eljesül a Termékárazás ké alapéele. Ez alapján léezik fedezési sraégia a pozíciókra, az eredei feléeleink melle. Minden X ermék ezen a piacon előállíhaó ké, lineárisan függelen ermékből. Továbbá eljesülnie kell annak, hogy a replikáló porfólió érékének válozása meg kell, hogy egyezzen a sporfogadás érékválozásával, minden gól esemény köveően. Ebből adódnak a kövekezők: Legyen a ké lineárisan függelen ermék a piacon Z 1 és Z 2 : X = X 0 + ψ 1 1 s dz 0 s 0 + ψ 2 2 s dz s, ahol a ψ s 1, ψ s 2 kielégíik a: ( δ Z δ 1 Z 1 2 δ 2 Z δ 2 Z ) (ψ 2 ψ ) = (δ 1X ) egyenlee, δ 2 X ahol a δ 1 és δ 2 a véges első és második parciális differenciáloperáorok a 15. Definícióból. Érdemes a lineárisan függelen ermékeinknek az egyik, illeve másik csapa győzelmé reprezenáló ermékeke válaszani, mivel ezekre a függelenség riviálisan eljesül, illeve az egyik legsűrűbben kereskede ermékek. A fedezés lényegében analóg módon örénik a Black-Scholes modellben alkalmazoakkal. Ennek megfelelően hasonló problémák is felmerülhenek, min a pénzügyi piacokon a digiális opciókkal. A mérkőzés végéhez közeledve, vagy nagy 1 2 gólkülönbségek eseén a ovábbi gólokra, a fedezésül szolgáló Z és Z kevésbé lesznek i érzékenyek, min a fogadásunk. Ennek okán a ψ súlyok olyan nagyra nőhenek, amelyek már leheelenné eszik a fedezés, ezálal insabillá eszik a replikáció. Tekinsünk egy olyan példá, ahol a fogadásunk arra vonakozik, hogy a gólok száma 3,5 fölö lesz-e a 18

20 mérkőzés végén. A csapaok gólinenziásai rendre 1,5 és 1, illeve a hazai csapa 3-0-ra veze a 60. percben. Ebben az eseben igen kicsi a valószínűsége annak, hogy a hazai 2 csapa veresége szenvedjen akár esik gól akár nem, ehá a Z 60 közel érékelen. Azonban a jelenlegi fogadásunk kifizeése egy gólon múlik, akármelyik csapa is szerezze az. 19

21 Modell kalibráció A modellben használ inenziásfüggvény hisorikus adaok alapján haározuk meg. Az inenziás éréké úgy kapjuk majd meg, hogy ado csapa meccsenkén álagosan hány gól szerez. Ezzel konsans inenziás adnánk meg. A függvény alakjának becslésé álalánosnak ekineük a csapaokra nézve. Lineáris becslés adunk, majd ennek a becslésnek a konsans éréké haározuk meg úgy, hogy az visszaadja egy fikív, eljes mérkőzésre az ado csapara megfigyel gólinenziás. A függvény alakjának kalibrálása: Ahhoz, hogy csapaonkén egyedileg haározzuk meg az inenziás függvény alakjá, viszonylag kevés ada áll rendelkezésünkre (főleg olyan csapaok eseén, amelyek gólinenziása eleve kisebb). Továbbá feléelezéseink alapján álalánosan jellemző a növekvő gólinenziás, így úgy íélük meg, hogy a minden csapara azonos függvény is jól jellemzi a valóságo. Mivel ado időpillanara 0 valószínűséggel esik gól, ovábbá kevés is az olyan saiszikai ada, amely másodpercre ponosan muaná a gólesemények idejé, ezér az ado percre eső gólok számá veük figyelembe. Ennek előnye ovábbá az is, hogy a legöbb elérheő adabázisban ez szinén csak percre ponosan van megadva. Azaz minden a 32. percben ese gól a 32. perchez rendelünk. A kapo eredmények ovábbi kiegészíéseke venek fel, amelyeke mos csak érinőlegesen árgyalunk majd. 20

22 Az inenziásfüggvény: A függvény alakjá ehá a Premier League 2013/14 összes bajnoki mérkőzése alapján haározuk meg. Az eredmény az 1. ábrán láhajuk. 1. ábra Egy eljes Premier League szezon (2013/2014) összes gólja, csoporosíva a szerin, hogy melyik percben esek. Valóban megfigyelheő egy enyhe rend, azonban a gólok sűrűsége a 45. perc környékén a legmagasabb. Az adaoka az InSa saiszikai cégcsopor bizosíoa ( A becsül lineáris függvény, amelyhez ermészeesen a gólok számá újraskálázuk, annak megfelelően, hogy egy szezonban összesen 380 mérkőzés jászanak: Coefficiens: (Inercep) GoalDis$Minues A kapo eloszlás öbb ponon is elér a váról, nem egyérelműen emelkedik. Az egyik jellemző ellenmondás az előzees feléelezésekkel szemben, hogy a legmagasabb inenziás nem a mérkőzés végén figyelheő meg, hanem a félidő környékén. Ennek háerében ké ok feléelezheő: A jáékosok pszichéjére hasonlóan ha a félidő és a mérkőzés vége. Azaz az első félidő végéhez közeledve jobban hajanak a csapaok, ezzel a hiba és a gólszerzés leheősége is megnő. 21

23 A valószínűleg erősebb haás azonban az eredményezi, hogy az első félidő hosszabbíásában ese góloka hogyan könyvelik el. Eseünkben a hosszabbíás 2. percében ese gól 47. percbeli gólkén van elkönyvelve, akárcsak egy, a második félidő második percében ese. Tehá ez a 45. és 50. perc közöi inervallum (vagy egy része), gyakorlailag nagyobb súly kap a hisorikus becslésben. Érdemes lenne ez valamilyen formában szabályozni. Azonban a dolgoza kereein belül erre nem dolgozunk ki leheséges módszereke. A másik hasonló effekus, hogy a második félidő hosszabbíásában a gólok száma draszikusan el kezd csökkenni. Ennek igen ermészees magyarázaa van. Sok mérkőzésen nem is jászanak már a percekben. Ado csapara a konsans éréke úgy haározuk meg, hogy az álaluk mérkőzésenkén elér álagos gólszámo konsans inenziásnak veük. Ennek megfelelően válaszounk olyan konsans éréke, hogy a kapo függvény inegrálja megegyezzen a konsans függvény inegrálérékével. Az Arsenal csapaa például álagosan 1,816 gól szerze, ez úgy ekinjük, hogy 90 perc ala. A függvényünk meredeksége, pedig 0, Ez alapján ehá: μ A () = 0, , ahol μ A () jelöli a csapa gólinenziásá. 22

24 Példamérkőzés: A feni képlee és kalibrál inenziásparaméer egy ado példamérkőzésre alkalmazam. A vizsgál meccs április 17-én zajlo, az Arsenal ohonában, ahová a Crysal Palace együese láogao. A mérkőzés végeredménye 1-1 le, az Arsenal a 45. a Crysal Palace pedig a 82. percben szerze gól. A 4. ábrán láhaó a három vizsgál fogadásípus ára a mérkőzés folyamán, melyek a hazai, illeve vendég győzelem, valamin a dönelen. Természeesen a mérkőzés végén a dönelen ára 1 közeli, a másik ké fogadásé pedig 0-ra zuhan. A ké csapa gólinenziás függvényei meghaározva az alábbiaka kapjuk: μ 1 () = 0, , az Arsenal-é (hazai csapa), illeve μ 2 () = 0, , a Cryal Palace-é (vendég csapa). 2. ábra Az Arsenal Crysal Palace mérkőzés hazai (piros) és vendég (zöld) győzelemre, illeve a dönelenre (kék) vonakozó fogadásai. Az oddsoka a be365.com oldal alapján dolgozam fel. 23

25 Újrakalibrálás A második lépésben az előbb emlíe konsans éréken válozahaunk. Ado csapaok párba állíva más csapaokkal a rájuk jellemző jáékminőségől elérő produkálhanak. Egyes eseekben, ha nagyon nagy a fölény az egyik csapa számára a jáékerő ekinve, akkor előfordulha, hogy az álagosnál jóval öbb gól szereznek, míg ha a ké fél nagyjából egy színvonala képvisel, akkor eseleg mind a keen a megszokonál kevesebb gól fognak rúgni. Ez lehe megfogni úgy, hogy a mérkőzés kimeneelére (azaz ado csapaok közül ki győz, ki veszí) való becslés felhasználom a gólinenziás függvény elolására is. Ugyanis, ha valamely jól használhaó modell alapján, nagy valószínűséggel az A csapa nyer, akkor a valóságo kevésbé jól írja le, ha mégis a B csapa gólinenziásá ekinenénk magasabb paraméerűnek. Ennek bemuaására, megvizsgálam, hogy egy csapa hogyan eljesí a nála jobb, vagy egyszinű, illeve a nála gyengébben rangsorol csapaokkal szemben. A rangsorolás az InSa adaai alapján örén, akik sajá indexe alkalmaznak a csapaok eljesíményének mérésére és ez alapján 1-7-ig erjedően rangsorolják a csapaoka. Az Arsenal ez alapján a 2. csoporba esik, míg a Premier League 2013/14-es szezonjának minden csapaa 1-4-ig besorolásra kerül. Ado évre megnézve, hogy az Arsenal álagban hány gól szerez a különböző besorolású csapaok ellen az eredmény a 3. ábrán láhaó. 3. ábra Az Arsenal álagos gólszáma különböző szinű csapaok ellen. Az 1. szinhez az olyan csapaok aroznak, min például a Chelsea, vagy a Mancheser Ciy. A eljes mezőny ekinve a leggyengébb csapaok is legalább 4-es besorolásúak. Az Arsenal e szerin a rangsorolás szerin a 2. oszályba arozik. A rangsorolás alapja az InSa eljesíményindexe. 24

26 Ponosabban megvizsgálva, hogy valóban elér-e a 1. és 2. kaegóriába eső csapaok ellen szerze gólok álaga a 3. és 4. kaegóriába esők ellen szerzeekéől: A függelen minás -próba eredménye szerin minden szignifikancia szin melle elveheő az egyezés: daa: Ars.GoalsAgains$Goals by Ars.GoalsAgains$Bin.Level = , df = , p-value = mean in group 0 mean in group ahol a group 0 alá esnek az 1. és 2. kaegóriás csapaok. Az végeredmény becslésére az SVM (Suppor Vecor Machine) módszer alkalmazuk, mely egy Machine Learning módszer, melye számos eseben használak már ilyen jellegű becslésekre. Például A. Tsakonas e al. [2002], illeve N. Vlasakis e al. [2007] foglalkozak e módszer ponosságának vizsgálaával, a korábbi becslő módszerekhez (például Poisson-számláló regresszió) képes. Ezek a cikkek a mérkőzéseke 2 kimeneűnek válaszoák: {1, -1}, ahol az 1 felel meg a hazai csapa győzelmének, a -1 pedig annak, hogy nem nyer, azaz ezen belül kezeljük a dönelen és a vendégcsapa győzelmé is. Végül a mérkőzés kimeneelére vonakozó becslés szerin, a győzesnek jósol csapa gólinenziásá megemelhejük, a veszesé pedig lenebb olhajuk, szem elő arva az is, hogy a végső eseben nem szereük volna, hogy sérüljön az a feléel, miszerin a győzes csapaól magasabb gólinenziás várunk el, min a veszesől. Az alapprobléma: Több eseben foglalkozak már korábban mérkőzések kimeneelére vonakozó előrejelzésekkel, nem csak labdarúgás kapcsán. Kosárlabdával kapcsolaban J. B. Yang és C. H. Lu [2012] foglalkozak Suppor Vecor Machine használaával, a rájászás mérkőzéseinek kimeneelének becslésére. A. Somboonphokkaphan, S. Phimolares és C. Lursinsap [2009] pedig hisorikus adaokra illesze neurális modellel, ezen belül is 25

27 Mulilayer Percepron (MLP) modellel próbála eniszmérkőzések végeredményé jósolni. Természeesen e módszereke a labdarúgásnál is alkalmazák. A. Tsakonas, G. Dounias és S. Shovba [2002], illeve N. Vlasakis, G. Dosis és R. N. Markellos [2007] is SVM segíségével adak előrejelzéseke meccsek kimeneelére vonakozó fogadásokkal kapcsolaban. K. Y. Huang és K. J. Chen [2011] pedig MLP modell illeszeek a 2006-os világbajnokság mérkőzéseinek végeredményeire. Emelle széles körben alkalmazak még Bayes-i hálóka ilyen jellegű problémákra. N. E. Fenon, M. Niel és A. Joseph [2005], A. C. Consaninou, N. E. Fenon és M. Niel [2012] illeve F. Owramipur, P. Eskandarian és F. S. Mozneb [2013] is ezzel a módszerrel próbálák jósolni ado meccsek kimeneelé. A fen emlíe kérdések kezelése szoros kapcsolaban van más valós problémákra vonakozó dönéshozási echnikákkal, illeve előrejelzési módszerekkel, melyek végrehajásához csak korláos minőségű és mennyiségű ada áll rendelkezésre. Az ehhez hasonló problémák megoldására alkalmazo inelligens echnikák közé arozik a kövekezőkben alkalmazo SVN módszer is. Ez a módszer jól alkalmazhaó olyan eseekben, amikor kevés ada elérheő és az is bizonyalan, hogy milyen fakorok befolyásolják a végkimeneel. A probléma leegyszerűsíheő arra a feladara, hogy aláljunk egy megfeleleés, mely az alábbiaka kielégíi: x = (x 1, x 2,, x n ) y {d 1, d 2, d 3 }, ahol az x jelöli azon fakorok vekorá, melyek haással lehenek a mérkőzés kimeneelére (pl.: jáékosállomány, hazai/vendégcsapa, akuális forma, sb.). Továbbá az y jelöli a mérkőzés kimeneelé, jelölés szerin: d 1 : A hazai csapa nyeri a mérkőzés. d 2 : Dönelen. d 3 : A vendégcsapa nyeri a mérkőzés. 26

28 Azonban az SVM alkalmazásához ké dimenziós eredményvekorra van szükségünk, így a gyakorlaban az alábbi függvény fogjuk keresni: x = (x 1, x 2,, x n ) y { 1,1}, ahol az x ugyan az, min korábban, azonban az y érékei az alábbiaka jelenik: 1: A hazai csapa nem nyeri meg a mérkőzés. 1: A hazai csapa nyeri meg a mérkőzés. 27

29 Fakorok kiválaszása: A mérkőzés kimeneelének előrejelzésére használ befolyásoló ényezők kiválaszása szubjekív ermészeű. Természeesen vannak olyanok, melyek használaa álalánosnak ekinheő, ilyenek például a hazai fakor, vagy a csapaok rangsorolása. Eseünkben ermészeesen nem szereünk volna olyan fakoroka a becslésben felhasználni, amelyek közvelenül köődnek a gólinenziáshoz, mivel a mérkőzések kimeneele alapján szerenénk ez felülvizsgálni. Így például nem használuk fel a korábbi mérkőzéseken szerze gólok a számá, vagy azok különbségé. Az álalunk válaszo fakorok így az alábbiak: x 1 = Hazai/ Vendég fakor (mégpedig HP/HM VP/VM alakban, ahol a HP a hazai csapa ohoni környezeben szerze ponjainak a száma, a HM pedig az ohon jászo meccseinek a száma az idényben. Ugyan így a VP vendégcsapa, vendégkén szerze ponjainak a száma, a VM pedig az jelöli, hogy ez hány mérkőzésen érék el.) x 2 = InSa index alapján való rangsorérékek különbsége HI-VI. x 3 = Forma muaó Az elmúl 5 mérkőzésen szerze ponok különbsége HP5-VP5 alakban, ahol a HP5 jelöli a hazaiak a VP5 pedig a vendégek álal szerze ponoka. x 4 = Nemzeközi, illeve hazai kupa szereplés. I 0 éréke kap egy csapa, ha nem szerepel akuálisan kupában (így csak bajnokságban érdekel), 1-e kap, ha az FA Kupábanban szerepel, 2-, ha az UEFA Európa-ligában, illeve 3-a, ha az UEFA Bajnokok Ligájában. Amennyiben egy csapa az FA Kupában és valamelyik nemzeközi kupasorozaban is rész vesz, azok összegé kapja érékül. Ez köveően pedig a HL-VL éréke vesszük figyelembe. Ezen fakorok az InSa indexe leszámíva könnyen hozzáférheőek a mérkőzéseke megelőzően, de ennek helyeesíésére is számos elérheő alernaíva kínálkozik. Természeesen sok más fakor is alkalmazhanánk, például a mérkőzés kezdő jáékosainak InSa indexe, illeve amennyiben nem a gólinenziás becslésére, 28

30 hanem csak előrejelzésre alkalmazzuk, akkor bármelyik szerze gólokkal kapcsolaos saiszika. Azonban a jelen dolgozaban ezek haásával nem foglalkozunk. Suppor Vecor Machine módszer: Az SVM egy machine learning ípusú módszer, melynek lényege, hogy bizonyos visszaérő minák felismerésére alkalmas. Emelle regressziós becslésekre és lineáris operáorok inverzének meghaározására is használják. Nagy előnye más hasonló módszerekkel szemben, hogy jól érelmezheő geomeriai inerpreációja is léezik, illeve, hogy minden eseben képes globális minimumo alálni. Emelle képes nagy mennyiségű ada feldolgozására is, úgy, hogy sebessége nem marad el a neurális hálókhoz képes sem. Az alap probléma, aminek a megoldásá keressük, az alábbi f függvény meghaározása: f: x {±1}. I lényeges, hogy megfelelő mennyiségű fakoron és méreű adahalmazon kereszül próbáljuk meg megadni ez a függvény. A szakirodalom erre a ké ulajdonságra úgy hivakozik, min a modell kapaciása. Ha a kapaciás kicsi, akkor összeeebb függvények meghaározása kevésbé haékony, míg nagy kapaciás eseén overfiing léphe fel, melynek kövekezében ne kapunk jó álalános megoldás. A neurális hálók eseén az overfiing elkerülésére korai megállás módszer szokak alkalmazni, azonban az SVM overfiing-je korláos a kis minákra vonakozó saiszikai éelek alapján (Tsakonas e. al. [2002]). Lineáris függvények meghaározása eseén az SVM alapja egy felüle keresése, amely alapján keéválaszjuk a fakorok érékei a kimeneelek alapján. Az elválaszó felüle és a csoporokhoz arozó ponok ávolságá maximalizálja az implemenáció. Ennek a szegélynek a maximalizálása egy konvex kvadraikus probléma. Kiegészíésképp a módszerbe egy ovábbi paraméer is be van épíve, amely leheővé eszi, hogy egyes kilógó ponoka rosszul soroljunk be, annak érdekében, hogy álalános eseben jobb eredmény kapjunk. 29

31 Az inpu adaoka ezuán az alábbi módon, egy a jellemzők álal meghaározo érre ranszformálva: φ: x F, az eredeileg lineáris problémá nem-lineárissá alakíhajuk. Ez implici módon hajjuk végre, nekünk ugyanis a jellemzők erében kell meghaároznunk ké együes mérkőzésének pozíciójá, annak érdekében, hogy eldönheő legyen, hogy az ado mérkőzés milyen kimeneelű lesz. Ez az alábbi skalárszorza fogja megadni: φ(x 1 ) φ(x n ) F. Erre a kövekező jelölés vezejük be: K(x 1,.., x n ) = φ(x 1 ) φ(x n ), ahol a K-ra a ovábbiakban kernel függvénykén fogunk hivakozni. Ebben az eseben nem kell ismernünk a φ függvényünke, az implicien használjuk. Ez a kernel függvény megadja az is, hogy az ado jellemzők közül melyek jelenenek ényleges haás az elválaszásban. Ennek a megfelelő megválaszása nagyban elősegíhei a módszer haékonyságá. 3. ábra Az SVM algorimusa szerin a bemenei adaainka a K(x 1,.., x n ) kernel függvény segíségével úgy képezzük le, hogy a leképzés köveően az adaok jól szeparálhaóak legyenek. A szeparációban ermészeesen megengede a marginális hiba, ami jelen eseben a zöld sáv reprezenál. Ez uán az egyenesünke visszaképezve az eredei érbe, megkapjuk a szeparáló felüleünke. 30

32 SVM algorimus: Ado S = {(x 1, y 1 ),, (x N, y N )}, ahol minden x i = (x i1, x i2,, x in ) R n -beli vekor, mely egy ado mérkőzés paraméerei aralmazza, illeve y i { 1,1} pedig az ado meccs kimeneele. Ez az S lesz az a anuló adahalmaz, amely alapján a célunk meghaározni a kövekező: f(x) = w φ(x) + b, ahol w = (w 1, w 2,, w n ) and b az elválaszó hipersík paraméerei, a φ pedig a korábban implicie definiál R n -ből R m -be való leképzés. A módszer formalizálása az alábbi kvadraikus probléma megoldásá adja (Tsakonas [2003]): Alap probléma: Minimalizálni: feléve, hogy: w w N i=1, 2 + C ξ i y i (w φ(x) + b) 1 ξ i, ξ i 0, i = 1,2,, N, ahol a C a poziív büneésfüggvény a félreoszályozás eseére. Ennek a problémának a w megoldásá pedig az alábbi egyenle adja: N w = i=1 y i φ(x i ), a i ahol a = (a 1, a 2,, a N ) a megoldása a kövekező duális problémának. Duális probléma: Minimalizálni: 1 2 at N Da + i=1 a i, N feléve, hogy: i=1 a i y i = 0, 0 a i C, i = 1,2,, N, ahol D egy N N-es márix, és az alábbi alapján áll elő: D ij = y i y j φ(x i )φ(x j ). 31

33 Felhasználva az alapprobléma w -re vonakozó egyenleé és a f(x) = w φ(x) + b-, kapjuk az Alap probléma megoldásá: N i=1 y i φ(x i ) + b. a i Ebben az eseben azok a ponok, amelyre a i 0, vagy rossz besorolás kapak, vagy a minimális ávolságnál közelebb helyezkednek el a hipersíkhoz. Ezeke nevezzük Suppor Vecoroknak, SV-knek. Ezek öbbnyire a anuló adahalmaz kis részé adják. Megjegyzés: Beláhaó, hogy a Duális probléma komplexiása N 2 -es, ezálal függelen aól, hogy hány dimenziós ere alkonak a fakorok. Ezálal a módszer akár végelen fakorra is kierjeszheő, azonban a gyakorlaban a számíási igény mia muakoznak korláok a probléma megoldhaóságára, a anuló adahalmaz méreének növekedésével. SVM implemenálása: A felhasznál anuló adacsopor a Premier League es szezonjának első 34 fordulója, a eszhalmaz pedig a maradék 4 forduló vol. Ezen felül a eszhalmazba beilleszeem még a vizsgál idei Arsenal Crysal Palace mérkőzés is, erre is megjósolva a meccs elő a kimeneel. A modell illeszéséhez az R kernlab programcsomagjá alkalmazam. Ez a program csomag aralmaz egy ksvm névre hallgaó funkció, melynek segíségével a anuló adaokra és kimeneelekre könnyen illeszhejük az SVM modellünke. A anuló adaáblánk aralmaza a mérkőzésekre vonakozó {1;-1} kimeneeleke, valamin az x i, i = 1,..,4 válozóinka, melyek alapján a kimeneel szerenénk meghaározni. A konkréan alkalmazo módszer nu-regresszió vol, melynek nu paraméere haározza meg a felső hibahaár a anulóadaokra vonakozava. A kernel függvénynek pedig a Laplace-kernel válaszoam. A anuló adaokra ez ada a legjobb eredményeke a felhasznál kernel-függvények közül. Az illesze modell azán alkalmazam a anulóadaokra. A predic függvény segíségével meghaározhaó az, hogy a modell alapján a bemenő paraméerekkel 32

34 mekkora az esélye annak, hogy a mérkőzés kimeneele hazai győzelem legyen. Ebből a kimeneel ermészeesen úgy adam meg, hogy minden eseben ahol a kapo valószínűség 0,5 fölé ese (szigorúan), abban az eseben a várhaó kimeneel a hazai győzelem. Leheséges finomíása lehene a modellnek, ha a valós kimeneeleknek megfelelően három valószínűségi inervallumo ekinenénk, és a 0,5 környezeébe eső eredményeke dönelennek ekinenénk, azonban ezzel részleesebben ebben a dolgozaban nem foglalkozam. Az eredmények a anulóhalmazra kiűnőek, a mérkőzések 98,5%-nál is öbbe alál el a módszer. A eszadaokra alkalmazva is jónak űnnek a becslések, a mérkőzések 62,5% alála el a módszer. Emelle a példamérkőzésünkre (Arsenal Crysal Palace) is az az eredmény jósola, hogy a hazai csapa nem fog nyerni P(y AvsCP = 1) = 37,2%, ami helyálló. Ez érdekes abból a szemponból, hogy ha csak például az InSa rangsorolásuka figyelnénk, akkor az Arsenal-ól hazai pályán elvárnánk, hogy nyerjen. Ez alapján, az eredmény alapján, mégis az javasolnám erre az ado mérkőzésre, hogy közelísük a gólinenziásoka egymáshoz. Megj.: Természeesen érdemes lenne i is figyelembe vennünk a dönelen és vendég győzelemmel végződő mérkőzések különválaszásá, ha a valósághoz jobban közelíő modell szerenénk alkalmazni. Azonban ez az apró áalakíás is sok olyan megfonolás igényel, amelyekre e dolgozaon belül nem érnék ki. Az újrakalibrálásra a kövekező módszer alkalmazom majd. Első sorban a hazai csapa gólinenziásá módosíanám, még pedig ha a SVM kimeneele szerin a hazai csapa győzelme várhaó, de a gólinenziásbeli különbség nem haladja meg az 1 gól, akkor megemelem a eljes mérkőzésre vonakozó gólinenziásá 0,5 góllal. Ellenben, ha az előrejelzés szerin nem nyer a hazai csapa, de a gólinenziásbeli különbség 1-nél nagyobb, akkor csökkeneném ugyan ezzel az érékkel, ha ez megeheő úgy, hogy a gólinenziás sehol se legyen negaív (ilyenre azonban a jelenleg felhasznál adaok közö nem alálam példá). Formalizálva: 33

35 90 Ha a becsül y i = 1 és μ 1 () μ 2 () d < 1 akkor μ 0 1 () = μ 1 () + 0,5, T ahol μ 1 () jelöli az újrakalibrál gólinenziás, a T pedig a mérkőzés eljes hosszá percekben (ál. 90) 90 Ha y i = 1, de μ 1 () μ 2 () d > 1, akkor pedig μ 0 1 () = μ 1 () + 0,5. T A példamérkőzésünkre ehá y i = 1, ez alapján pedig: μ 1 () = 0, , az Arsenal (hazai csapa) becsül gólinenziása, illeve μ 2 = μ 2 () = 0, , a Cryal Palace-é (vendég csapa). Implici és hisorikus inenziás: A korábbi kuaásokban megfigyel implici inenziás alapján javasol exponenciális növekedés a P mérék ala nem űnik jó elképzelésnek. Ez jóval kevésbé meredek, ebben valóban lineáris jellegű rend figyelheő meg, míg implici eseben inkább exponenciális növekedés feléelezek Divos e. al. [2015]. Ennek ké kézen fekvő oka lehe. Az implici inenziás ugyanis, a piacon megfigyelheő fogadási áraka vee alapul. Ebbe azonban valószínűleg belejászik az is, hogy mérkőzés vége felé a fogadások inenziása nő, ami megemeli az odds-oka. Ez a haás pedig a gólinenziásban, min paraméerben fog megjelenni. Erre ehá piaci fakorok is hanak, nem csak maguk a mérkőzés eseményei, ovábbá mivel a piacon megfigyelheő árakhoz igazodnak, valószínűleg jobban el is alálják azoka. A másik pedig ermészeesen a mérékcsere haása. A valós mérék alai gólinenziás, min megfigyel ulajdonságo, csak a mérék csere uán hasonlíhanánk össze az implici inenziás érékével. 34

36 Leheséges álalánosíások A legkézenfekvőbb ovábbviele a dolgoza álal árgyal émának ermészeesen azon Q mérék meghaározása, amelyre áérve már árazhanánk a fogadásainka. Álalánosan, ha ekinünk egy N {F }-mérheő (Ω, F, P)-n Poisson-folyama függelen növekményekkel, illeve egy Z nemnegaív {F }-méreő folyamao, akkor: kielégíi a L() = exp { ln Z(s ) dn(s) 0 Z(s) 1ds} 0 L() = 1 + (Z(s ) 1)L(s )d(n(s) s) 0 egyenlee, és P-lokális maringál. Ha E[L()] = 1 és definiáljuk a dq = L(T)dP ulajdonságú Q méréke F -n, akkor N() Z(s)ds 0 Q-lokális maringál lesz. Érdemes lehe ovábbá megfonolni az, hogy a mérkőzésen örén események is módosíhaják a gólinenziás éréké. Például egy csere is a csapa frissíésével és akikai módosíásokkal megnövelhei, illeve az edző elvárása szerin meg is kell, hogy növelje a csapa gólinenziásá. Ez leheséges lenne ovább finomíani azzal, hogy mikor milyen erősségű, vagy milyen formában lévő jáékosok cserélnek egymással helye a pályán. Rengeeg oldal foglalkozik manapság a jáékosok meccsenkéni érékelésével és álalánosan a képességeik megíélésével. Például az InSa.com korábban emlíe indexe is léezik nem csak csapaok, de jáékosok érékelésére is. Egy nagyon jó képességű gólerős csaár sérülés kövekezében való lecserélése csökkenhei a csapaa gólinenziásá, míg ha a védelem egyik bizos ponjá kell lehozni a pályáról hasonló okok mia, akkor az az ellenfél gólinenziásának növekedésével járha. Ugyan ez akár a gólinenziás becslésének azon részébe is beépíhejük ahol a mérkőzés kimeneelére adunk előzees becslés (eseünkben ez az SVM örénő előrejelzés vol). A meghirdee kezdő 11 jáékos érékelése is beveheő a mérkőzés kimeneelé meghaározó faorok közé. 35

37 Természeesen a legerősebb vonzaal a gólok járnak. Míg az oddsoka ermészeesen láványosan és azonnali jelleggel módosíják, ezzel beépülve az árba, de pszichológiai haásuk a csapaok eljesíményére is lényeges. Hogy lenne érdemes ezek haásá modellezni? A feléelezés, ami alkalmazhaunk az, hogy minden gólesemény, ami nem növeli a ké csapa közöi különbsége 2-nél nagyobbra, az az elszenvedő fél gólinenziásá növeli meg nagyban. Míg ha a gólkülönbség háromra emelkedik, akkor mind a ké csapa nagy valószínűséggel már eldőlnek nyilváníja magában a mérkőzés, így mindkeejük paraméere csökken. E szerin egy szochaszikus ugrófolyamao kapunk a gólinenziás paraméerének érékére, melynek ugráseloszlásá önmaga hajja meg. További leheőség lehe még az, hogy a pénzügyi piacon jól árazhaó ermékeknek megpróbáljuk a megfelelői megalkoni a sporfogadás kereein belül is. Rengeeg derivaíva (egzoikus opciók, swapok sb.) árazására jól beve módszereke alkalmazunk a pénzügyi piacokon. Miér ne lehene akár ezeknek egy alernaívájá összerakni sporfogadások kereein belül is, amennyiben arra van megfelelő alapermékünk, fedezésünk? A pénzügyi piacokon is rengeeg olyan ermék kerül bevezeésre, amelye nem felélenül előre ismer piaci igények hívnak élere, de bevezeésük uán a keresle növekedése velük szemben haékonnyá eszi piacuka, kereskedésük álalánossá válik. Mind az odds, mind a spread ípusú fogadások eseén rengeeg leheőség adódik arra, hogy lérehozzunk ilyeneke a pénzügyi piacokon széles körben kereskede ermékek alapján. A nevéből adódóan is rengeeg spread jellegű pénzpiaci ermék áöleheő a sporfogadások kereein belülre. 36

38 Leheséges álalánosíások A legkézenfekvőbb ovábbviele a dolgoza álal árgyal émának ermészeesen azon Q mérék meghaározása, amelyre áérve már árazhanánk a fogadásainka. Álalánosan, ha ekinünk egy N {F }-mérheő (Ω, F, P)-n Poisson-folyama függelen növekményekkel, akkor ha ekinünk egy Z nemnegaív {F }-méreő folyamao, akkor: kielégíi a L() = exp { ln Z(s ) dn(s) 0 Z(s) 1ds} 0 L() = 1 + (Z(s ) 1)L(s )d(n(s) s) 0 egyenlee, és P-lokális maringál. Ha E[L()] = 1 és definiáljuk a dq = L(T)dP ulajdonságú Q méréke F -n, akkor N() Z(s)ds 0 [2001]). Q-lokális maringál lesz (Kurz Érdemes lehe ovábbá megfonolni az, hogy más, a mérkőzésen örén események is módosíhaják a gólinenziás éréké. Például egy csere is a csapa frissíésével és akikai módosíásokkal megnövelhei, illeve az edző elvárása szerin meg is kell, hogy növelje a csapa gólinenziásá. Ez leheséges lenne ovább finomíani azzal, hogy mikor milyen erősségű, vagy milyen formában lévő jáékosok cserélnek egymással helye a pályán. Rengeeg oldal foglalkozik manapság a jáékosok meccsenkéni érékelésével és álalánosan a képességeik megíélésével. Például az InSa.com korábban emlíe indexe is léezik nem csak csapaok, de jáékosok érékelésére is. Egy nagyon jó képességű gólerős csaár sérülés kövekezében való lecserélése csökkenhei a csapaa gólinenziásá, míg ha a védelem egyik bizos ponjá kell lehozni a pályáról hasonló okok mia, akkor az az ellenfél gólinenziásának növekedésével járha. Ugyan ez akár a gólinenziás becslésének azon részébe is beépíhejük ahol a mérkőzés kimeneelére adunk előzees becslés (eseünkben ez az SVM örénő előrejelzés vol). A meghirdee kezdő 11 jáékos érékelése is beveheő a 37

39 mérkőzés kimeneelé meghaározó faorok közé. Modellezhenénk ez olyan függvények megadásával, melyek az ilyen események haásá közvelenül a gólinenziás válozására képeznék le. Természeesen a legerősebb vonzaal a gólok járnak. Míg az oddsoka láványosan és azonnali jelleggel módosíják, ezek beépülnek az árba, de pszichológiai haásuk a csapaok eljesíményére is lényeges. Hogy lenne érdemes ezek haásá modellezni? A feléelezés, ami alkalmazhaunk az, hogy minden gólesemény, ami nem növeli a ké csapa közöi különbsége 2-nél nagyobbra, az az elszenvedő fél gólinenziásá növeli meg nagyban. Míg ha a gólkülönbség háromra emelkedik, akkor mind a ké csapa nagy valószínűséggel már eldőlnek nyilváníja magában a mérkőzés, így mindkeejük paraméere csökken. E szerin egy szochaszikus ugrófolyamao kapunk a gólinenziás paraméerének érékére, melynek ugráseloszlásá önmaga hajja meg. További leheőség lehe még az, hogy a pénzügyi piacon jól árazhaó ermékeknek megpróbáljuk a megfelelői megalkoni a sporfogadás kereein belül is. Rengeeg derivaíva (egzoikus opciók, swapok sb.) árazására jól beve módszereke alkalmazunk a pénzügyi piacokon. Miér ne lehene akár ezeknek egy alernaívájá összerakni sporfogadások kereein belül is, amennyiben arra van megfelelő alapermékünk, fedezésünk? A pénzügyi piacokon is rengeeg olyan ermék kerül bevezeésre, amelye nem felélenül előre ismer piaci igények hívnak élere, de bevezeésük uán a keresle növekedése velük szemben haékonnyá eszi piacuka, kereskedésük álalánossá válik. Mind az odds, mind a spread ípusú fogadások eseén rengeeg leheőség adódik arra, hogy lérehozzunk ilyeneke a pénzügyi piacokon széles körben kereskede ermékek alapján. A nevéből adódóan is, rengeeg spread jellegű pénzpiaci ermék áüleheő a sporfogadások kereein belülre. 38