Boros Endre. Rutgers University. XXXII. MOK Június 14.
|
|
|
- Sára Biróné
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Diszkrét Momentum Problémák Boros Endre Rutgers University XXXII. MOK Június 14.
2 Prékopa András ( ) emlékére
3 Valószínűségi korlátok (Boole 1854, 1868 (1850)) E 1 = (A B C) (A B C) (A B C) P rob(e 1 ) = 1 3 E 2 = (A B) (A B) P rob(e 2 ) = 1 2 E 3 = (A B) C P rob(e 3 ) = 5 6 E 4 = (A B) (A C) (B C) P rob(e 4 ) =? Milyen nagy (kicsi) lehet P rob(e 4 )?
4 Valószínűségi korlátok (Boole 1854, 1868 (1850)) E 1 = (A B C) (A B C) (A B C) P rob(e 1 ) = 1 3 E 2 = (A B) (A B) P rob(e 2 ) = 1 2 E 3 = (A B) C P rob(e 3 ) = 5 6 E 4 = (A B) (A C) (B C) P rob(e 4 ) =? Lehetséges ez? Milyen nagy (kicsi) lehet P rob(e 4 )?
5 Valószínűségi korlátok (Boole 1854, 1868 (1850)) E 1 = (A B C) (A B C) (A B C) P rob(e 1 ) = 1 3 E 2 = (A B) (A B) P rob(e 2 ) = 1 2 E 3 = (A B) C P rob(e 3 ) = 5 6 E 4 = (A B) (A C) (B C) P rob(e 4 ) =? Milyen nagy (kicsi) lehet P rob(e 4 )?
6 Valószínűségi korlátok (Boole 1854, 1868 (1850)) E 1 = (A B C) (A B C) (A B C) P rob(e 1 ) = 1 3 E 2 = (A B) (A B) P rob(e 2 ) = 1 2 E 3 = (A B) C P rob(e 3 ) = 5 6 E 4 = (A B) (A C) (B C) P rob(e 4 ) =? Milyen nagy (kicsi) lehet P rob(e 4 )?
7 Egy fontos speciális eset Események: A i Ω, i V = {1, 2,..., n} Adottak: p I = P rob ( i I A i) I V, I m, (p = 1) Probléma: Talaljunk alsó és felő korlátokat ezen n esemény uniójának a valószínűségére: ( ) LB (p I I V, I m) P rob A i UB (p I I V, I m) i V
8 Egy fontos speciális eset Események: A i Ω, i V = {1, 2,..., n} Adottak: p I = P rob ( i I A i) I V, I m, (p = 1) Probléma: Talaljunk alsó és felő korlátokat ezen n esemény uniójának a valószínűségére: ( ) LB (p I I V, I m) P rob A i UB (p I I V, I m) i V
9 Egy fontos speciális eset Események: A i Ω, i V = {1, 2,..., n} Adottak: p I = P rob ( i I A i) I V, I m, (p = 1) Probléma: Talaljunk alsó és felő korlátokat ezen n esemény uniójának a valószínűségére: ( ) LB (p I I V, I m) P rob A i UB (p I I V, I m) i V
10 LP model (Hailperin, 1965) Események: A i Ω, i V = {1, 2,..., n} Adottak: p I = P rob ( i I A i) I V, I m, (p = 1) ( ) Változók: x J = P rob A i A i J V i J i J Ezzel a jelöléssel a céfüggvény és a feltételek így írhatók: ( ) P rob A i = i V =J V x J és p I = V J I x J I V, I m
11 LP model (Hailperin, 1965) Események: A i Ω, i V = {1, 2,..., n} Adottak: p I = P rob ( i I A i) I V, I m, (p = 1) ( ) Változók: x J = P rob A i A i J V i J i J Ezzel a jelöléssel a céfüggvény és a feltételek így írhatók: ( ) P rob A i = i V =J V x J és p I = V J I x J I V, I m
12 LP model (Hailperin, 1965) LBm = min x J és UBm = max =J V =J V x J x J = p I V J I x J 0 I V, I m J V Megoldhatóság: NP-nehéz. (Georgakopoulos, Kavvadias és Papadimitriou 1988) Oszlop generálás: NP-nehéz (már m = 2-re is). (Jaumard, Hansen és Poggi de Aragão 1991)
13 LP model (Hailperin, 1965) LBm = min x J és UBm = max =J V =J V x J x J = p I V J I x J 0 I V, I m J V Megoldhatóság: NP-nehéz. (Georgakopoulos, Kavvadias és Papadimitriou 1988) Oszlop generálás: NP-nehéz (már m = 2-re is). (Jaumard, Hansen és Poggi de Aragão 1991)
14 LP model (Hailperin, 1965) LBm = min x J és UBm = max =J V =J V x J x J = p I V J I x J 0 I V, I m J V Megoldhatóság: NP-nehéz. (Georgakopoulos, Kavvadias és Papadimitriou 1988) Oszlop generálás: NP-nehéz (már m = 2-re is). (Jaumard, Hansen és Poggi de Aragão 1991)
15 Binomiális Momentum Probléma (Prékopa 1988) S k = I V I =k p I a k-dik binomiális momentuma az n eseménynek. Ha ξ jelöli az előforduló események számát, akkor [ (ξ ) ] S k = Exp. k
16 Binomiális Momentum Probléma (Prékopa 1988) S k = I V I =k p I a k-dik binomiális momentuma az n eseménynek. Ha ξ jelöli az előforduló események számát, akkor [ (ξ ) ] S k = Exp. k
17 Binomiális Momentum Probléma (Prékopa 1988) { LB m min{1, ŨBm} } = { min max } n y j j=1 n ( j y j = S k k) j=1 k = 1,..., m y j 0 j = 1,..., n Theorem 1 (Prékopa (1988)) Egy m elemű részhalmaz I {1, 2,..., n} egy duálisan megengedett bázist definiál akkor és csak akkor ha a struktúrája a követkeő: m even m odd min {i, i + 1,..., t, t + 1} {i, i + 1,..., t, t + 1, n} max {1, i, i + 1,..., t, t + 1, n} {1, i, i + 1,..., t, t + 1}
18 Binomiális Momentum Probléma (Prékopa 1988) { LB m min{1, ŨBm} } = { min max } n y j j=1 n ( j y j = S k k) j=1 k = 1,..., m y j 0 j = 1,..., n Theorem 1 (Prékopa (1988)) Egy m elemű részhalmaz I {1, 2,..., n} egy duálisan megengedett bázist definiál akkor és csak akkor ha a struktúrája a követkeő: m even m odd min {i, i + 1,..., t, t + 1} {i, i + 1,..., t, t + 1, n} max {1, i, i + 1,..., t, t + 1, n} {1, i, i + 1,..., t, t + 1}
19 Binomiális momentumokon alapuló korlátok S 1 S 2 + S 2s LB 2s and ŨB 2s+1 S 1 S S 2s+1 (Bonferroni 1937) LB 2 = 2 i+1 S 1 2 i(i+1) S 2, i = 1 + 2S2 S 1 (Dawson és Sankoff 1967; Kwerel 1975; Galambos 1977) ŨB 2 = S 1 2 n S 2 (Kwerel 1975; Sathe, Pradhan és Shah 1980; Platz 1985)
20 Binomiális momentumokon alapuló korlátok S 1 S 2 + S 2s LB 2s and ŨB 2s+1 S 1 S S 2s+1 (Bonferroni 1937) LB 2 = 2 i+1 S 1 2 i(i+1) S 2, i = 1 + 2S2 S 1 (Dawson és Sankoff 1967; Kwerel 1975; Galambos 1977) ŨB 2 = S 1 2 n S 2 (Kwerel 1975; Sathe, Pradhan és Shah 1980; Platz 1985)
21 Binomiális momentumokon alapuló korlátok S 1 S 2 + S 2s LB 2s and ŨB 2s+1 S 1 S S 2s+1 (Bonferroni 1937) LB 2 = 2 i+1 S 1 2 i(i+1) S 2, i = 1 + 2S2 S 1 (Dawson és Sankoff 1967; Kwerel 1975; Galambos 1977) ŨB 2 = S 1 2 n S 2 (Kwerel 1975; Sathe, Pradhan és Shah 1980; Platz 1985)
22 Binomiális momentumokon alapuló korlátok LB 3 = i+2n 1 (i+1)n S 1 2(2i+n 2) i(i+1)n S i(i+1)n S 3, ŨB 3 = S 1 2(2i 1) i(i+1) S i(i+1) S 3, where i = 1 + 2(n 2)S2 6S3 (n 1)S 1 2S 2, where i = 1 + 3S3 S 2 (Kwerel 1975; B és Prékopa 1989) ŨB 4 = S 1 2((i 1)(i 2)+(2i 1)n) i(i+1)n S 2 + 6(2i+n 4) i(i+1)n S 3 24 i(i+1)n S 4, where i = 1 + 2(n 2)S2+3(n 5)S3 12S4 (n 2)S 2 3S 3 (B és Prékopa 1989)
23 Binomiális momentumokon alapuló korlátok LB 3 = i+2n 1 (i+1)n S 1 2(2i+n 2) i(i+1)n S i(i+1)n S 3, ŨB 3 = S 1 2(2i 1) i(i+1) S i(i+1) S 3, where i = 1 + 2(n 2)S2 6S3 (n 1)S 1 2S 2, where i = 1 + 3S3 S 2 (Kwerel 1975; B és Prékopa 1989) ŨB 4 = S 1 2((i 1)(i 2)+(2i 1)n) i(i+1)n S 2 + 6(2i+n 4) i(i+1)n S 3 24 i(i+1)n S 4, where i = 1 + 2(n 2)S2+3(n 5)S3 12S4 (n 2)S 2 3S 3 (B és Prékopa 1989)
24 Binomiális momentumokon alapuló korlátok LB 3 = i+2n 1 (i+1)n S 1 2(2i+n 2) i(i+1)n S i(i+1)n S 3, ŨB 3 = S 1 2(2i 1) i(i+1) S i(i+1) S 3, where i = 1 + 2(n 2)S2 6S3 (n 1)S 1 2S 2, where i = 1 + 3S3 S 2 (Kwerel 1975; B és Prékopa 1989) ŨB 4 = S 1 2((i 1)(i 2)+(2i 1)n) i(i+1)n S 2 + 6(2i+n 4) i(i+1)n S 3 24 i(i+1)n S 4, where i = 1 + 2(n 2)S2+3(n 5)S3 12S4 (n 2)S 2 3S 3 (B és Prékopa 1989)
25 Erősebb korlátok LB m=2 LB 2(GK) = n α i p i, ahol p i = P (A i ), p i,j = P (A i A j ) és i=1 α j p i,j = (1 α i )p i for i = 1,..., n. (Gallot 1966; Kounias 1968) j i LB 2 LB 2(dC) = LB 2 LB 2 (KAT ) = LB 2, where θ i = i V p 2 i p i + j i p LB 2, (de Caen 1997) i,j ( ) θ i p 2 i (2 θ i V i )p i + (1 θ i )p 2 i j i p + i,j (1 θ i )p i + j i p i,j j i p i,j j i p i,j (Kuai, Alajai és Takahara 2000) p i p i
26 Erősebb korlátok LB m=2 LB 2(GK) = n α i p i, ahol p i = P (A i ), p i,j = P (A i A j ) és i=1 α j p i,j = (1 α i )p i for i = 1,..., n. (Gallot 1966; Kounias 1968) j i LB 2 LB 2(dC) = LB 2 LB 2 (KAT ) = LB 2, where θ i = i V p 2 i p i + j i p LB 2, (de Caen 1997) i,j ( ) θ i p 2 i (2 θ i V i )p i + (1 θ i )p 2 i j i p + i,j (1 θ i )p i + j i p i,j j i p i,j j i p i,j (Kuai, Alajai és Takahara 2000) p i p i
27 Erősebb korlátok LB m=2 LB 2(GK) = n α i p i, ahol p i = P (A i ), p i,j = P (A i A j ) és i=1 α j p i,j = (1 α i )p i for i = 1,..., n. (Gallot 1966; Kounias 1968) j i LB 2 LB 2(dC) = LB 2 LB 2 (KAT ) = LB 2, where θ i = i V p 2 i p i + j i p LB 2, (de Caen 1997) i,j ( ) θ i p 2 i (2 θ i V i )p i + (1 θ i )p 2 i j i p + i,j (1 θ i )p i + j i p i,j j i p i,j j i p i,j (Kuai, Alajai és Takahara 2000) p i p i
28 Erősebb korlátok UB 2 UB 2 (Ko) = S 1 i k p i,k (k adott) (Kounias 1968) UB 2 UB 2 (HW ) = S 1 UB 3 UB 3 (BP ) = S 1 (i,j) T p i,j ŨB 2, ahol T egy feszítő fa (Hunter 1976; Worsley 1982) a legjobb feszítő fa polinom időben meghatározható (i,j) E p i,j + (i,j,k) C p {i,j,k} ŨB 3, ahol (E, C) egy cseresznye fa (Bukszár és Prékopa 2001) a legjobb cseresznye fa meghatározása NP-nehéz (Scozzari és Tardella, 2017)
29 Erősebb korlátok UB 2 UB 2 (Ko) = S 1 i k p i,k (k adott) (Kounias 1968) UB 2 UB 2 (HW ) = S 1 UB 3 UB 3 (BP ) = S 1 (i,j) T p i,j ŨB 2, ahol T egy feszítő fa (Hunter 1976; Worsley 1982) a legjobb feszítő fa polinom időben meghatározható (i,j) E p i,j + (i,j,k) C p {i,j,k} ŨB 3, ahol (E, C) egy cseresznye fa (Bukszár és Prékopa 2001) a legjobb cseresznye fa meghatározása NP-nehéz (Scozzari és Tardella, 2017)
30 Erősebb korlátok UB 2 UB 2 (Ko) = S 1 i k p i,k (k adott) (Kounias 1968) UB 2 UB 2 (HW ) = S 1 UB 3 UB 3 (BP ) = S 1 (i,j) T p i,j ŨB 2, ahol T egy feszítő fa (Hunter 1976; Worsley 1982) a legjobb feszítő fa polinom időben meghatározható (i,j) E p i,j + (i,j,k) C p {i,j,k} ŨB 3, ahol (E, C) egy cseresznye fa (Bukszár és Prékopa 2001) a legjobb cseresznye fa meghatározása NP-nehéz (Scozzari és Tardella, 2017)
31 Részleges aggregáció (Prékopa és Gao, 2005) Legyen S ik = 1 k I V, I =k i I p I. Tekintsük a következő részlegesen aggregált LP-t: { } { } LBm (P G) min = = y UB m (P G) max ij i V j V j V ( ) j y ij = S ik i V, és k = 1,..., m. k Theorem 2 (Prékopa és Gao, 2005) LB 2 (P G) = LB 2 (KAT ) és UB 2 (P G) = UB 2 (KW ) = ŨB 2.
32 Részleges aggregáció (Prékopa és Gao, 2005) Legyen S ik = 1 k I V, I =k i I p I. Tekintsük a következő részlegesen aggregált LP-t: { } { } LBm (P G) min = = y UB m (P G) max ij i V j V j V ( ) j y ij = S ik i V, és k = 1,..., m. k Theorem 2 (Prékopa és Gao, 2005) LB 2 (P G) = LB 2 (KAT ) és UB 2 (P G) = UB 2 (KW ) = ŨB 2.
33 Részleges aggregáció (Prékopa és Gao, 2005) Legyen S ik = 1 k I V, I =k i I p I. Tekintsük a következő részlegesen aggregált LP-t: { } { } LBm (P G) min = = y UB m (P G) max ij i V j V j V ( ) j y ij = S ik i V, és k = 1,..., m. k Theorem 2 (Prékopa és Gao, 2005) LB 2 (P G) = LB 2 (KAT ) és UB 2 (P G) = UB 2 (KW ) = ŨB 2.
34 A duális feladat megszorítása A primális relaxaciójához a duális megszorításával is eljuthatunk. Bizonyos megszorítások a duális feladatot megkönnyítik. Tekintsuk a követkeő lineáris programot LP (F), ahol F egy konvex halmaz: { LBm (F) UB m (F) } = { max min } I S y I = I V 1 I m { p I y I } 1 S V, S y F Legyen M = n + ( n 2) + ( n m), és definiáljuk F N = {y R M y I 0 1 < I m} { F D = y R M y I = z I z i ahol i 1,..., zm i R n i V i I }
35 A duális feladat megszorítása A primális relaxaciójához a duális megszorításával is eljuthatunk. Bizonyos megszorítások a duális feladatot megkönnyítik. Tekintsuk a követkeő lineáris programot LP (F), ahol F egy konvex halmaz: { LBm (F) UB m (F) } = { max min } I S y I = I V 1 I m { p I y I } 1 S V, S y F Legyen M = n + ( n 2) + ( n m), és definiáljuk F N = {y R M y I 0 1 < I m} { F D = y R M y I = z I z i ahol i 1,..., zm i R n i V i I }
36 A duális feladat megszorítása A primális relaxaciójához a duális megszorításával is eljuthatunk. Bizonyos megszorítások a duális feladatot megkönnyítik. Tekintsuk a követkeő lineáris programot LP (F), ahol F egy konvex halmaz: { LBm (F) UB m (F) } = { max min } I S y I = I V 1 I m { p I y I } 1 S V, S y F Legyen M = n + ( n 2) + ( n m), és definiáljuk F N = {y R M y I 0 1 < I m} { F D = y R M y I = z I z i ahol i 1,..., zm i R n i V i I }
37 A duális feladat megszorítása A primális relaxaciójához a duális megszorításával is eljuthatunk. Bizonyos megszorítások a duális feladatot megkönnyítik. Tekintsuk a követkeő lineáris programot LP (F), ahol F egy konvex halmaz: { LBm (F) UB m (F) } = { max min } I S y I = I V 1 I m { p I y I } 1 S V, S y F Legyen M = n + ( n 2) + ( n m), és definiáljuk F N = {y R M y I 0 1 < I m} { F D = y R M y I = z I z i ahol i 1,..., zm i R n i V i I }
38 A duális feladat megszorítása Theorem 3 (B, Scozzari, Tardella, és Veneziani, 2015) Az LP (F N ) és LP (F D ) problémák polinomiális időben megoldhatók, és az ebből eredő korlátok legalább olyan jók, mint bármely más jelenleg ismert polinom időben kiszámítható korlát. Például a következő relációk teljesülnek: UB 2 (F N ) = UB 2 (HW ) UB 2 (F D ) = UB 2 (K0), UB m (F D ) UB m (P G), és LB m (F D ) LB m (P G).
39 LP (F N ) felső korlát max P rob( n i=1 A i) P rob(a i ) = p i i = 1,..., n P rob( i I A i) p I I V, I m Ennek a feladatnak az optimuma egybeesik az LP (F N ) felső korláttal. Polinomiális időben meghatározható.
40 LP (F N ) felső korlát max P rob( n i=1 A i) P rob(a i ) = p i i = 1,..., n P rob( i I A i) p I I V, I m Ennek a feladatnak az optimuma egybeesik az LP (F N ) felső korláttal. Polinomiális időben meghatározható.
41 LP (F N ) felső korlát max P rob( n i=1 A i) P rob(a i ) = p i i = 1,..., n P rob( i I A i) p I I V, I m Ennek a feladatnak az optimuma egybeesik az LP (F N ) felső korláttal. Polinomiális időben meghatározható.
42 LP (F N ) felső korlát az m = 2 esetben min i V p i w 1 i + i,j V p i,j w 2 i,j wi 1 + wi,j 2 1 S V, S i S i,j S w 2 i,j 0 i, j V Theorem 4 (B, Scozzari, Tardella, és Veneziani, 2015) A megengedett megoldások poliéderének csúcsai pontosan a következő (w 1, w 2 ) vektor párok: ahol T egy feszítő fa. Érdekes, nem intuitív tény: w 1 = (1,..., 1) és w 2 = χ(t ) Az eredeti, nem megszorított, duális feladat optimumában a w 2 vektornak lehetnek pozitív komponensei!
43 LP (F N ) felső korlát az m = 2 esetben min i V p i w 1 i + i,j V p i,j w 2 i,j wi 1 + wi,j 2 1 S V, S i S i,j S w 2 i,j 0 i, j V Theorem 4 (B, Scozzari, Tardella, és Veneziani, 2015) A megengedett megoldások poliéderének csúcsai pontosan a következő (w 1, w 2 ) vektor párok: ahol T egy feszítő fa. Érdekes, nem intuitív tény: w 1 = (1,..., 1) és w 2 = χ(t ) Az eredeti, nem megszorított, duális feladat optimumában a w 2 vektornak lehetnek pozitív komponensei!
44 LP (F N ) felső korlát az m = 2 esetben min i V p i w 1 i + i,j V p i,j w 2 i,j wi 1 + wi,j 2 1 S V, S i S i,j S w 2 i,j 0 i, j V Theorem 4 (B, Scozzari, Tardella, és Veneziani, 2015) A megengedett megoldások poliéderének csúcsai pontosan a következő (w 1, w 2 ) vektor párok: ahol T egy feszítő fa. Érdekes, nem intuitív tény: w 1 = (1,..., 1) és w 2 = χ(t ) Az eredeti, nem megszorított, duális feladat optimumában a w 2 vektornak lehetnek pozitív komponensei!
45 Köszönöm szépen a figyelmüket!
Mádi-Nagy Gergely * A feladat pontos leírása. Tekintsünk darab tetszõleges eseményt, jelöljük ezeket a következõképpen: ,...,
Mádi-Nagy Gergely * AZ ESEMÉNYEK UNIÓJÁNAK VALÓSZÍNÛSÉGE BECSLÉS A TÖBBVÁLTOZÓS DISZKRÉT MOMENTUM PROBLÉMA SEGÍTSÉGÉVEL Az események uniója valószínûsége becslésére szolgáló elsõ fontos eredmények a Boole-
Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 13.
Algoritmuselmélet NP-teljes problémák Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 13. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet
Diszkrét, egészértékű és 0/1 LP feladatok
Diszkrét, egészértékű és 0/1 LP feladatok In English Integer Programming - IP Zero/One (boolean) programming 2007.03.12 Dr. Bajalinov Erik, NyF MII 1 Diszkrét és egészértékű változókat tartalmazó feladatok
Matematika alapjai; Feladatok
Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \
út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.
1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost
Opkut deníciók és tételek
Opkut deníciók és tételek Készítette: Bán József Deníciók 1. Deníció (Lineáris programozási feladat). Keressük meg adott lineáris, R n értelmezési tartományú függvény, az ún. célfüggvény széls értékét
A lineáris programozás alapjai
A lineáris programozás alapjai A konvex analízis alapjai: konvexitás, konvex kombináció, hipersíkok, félterek, extrém pontok, Poliéderek, a Minkowski-Weyl tétel (a poliéderek reprezentációs tétele) Lineáris
Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet
Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Ha hibát elírást találsz kérlek jelezd: sellei_m@hotmail.com A fríss/javított változat elérhet : people.inf.elte.hu/semsaai/modalg/ 2.ZH Számonkérés: 3.EA-tól(DE-ek)
Operációkutatás. Vaik Zsuzsanna. ajánlott jegyzet: Szilágyi Péter: Operációkutatás
Operációkutatás Vaik Zsuzsanna Vaik.Zsuzsanna@ymmfk.szie.hu ajánlott jegyzet: Szilágyi Péter: Operációkutatás Operációkutatás Követelmények: Aláírás feltétele: foglalkozásokon való részvétel + a félév
Az optimális megoldást adó algoritmusok
Az optimális megoldást adó algoritmusok shop ütemezés esetén Ebben a fejezetben olyan modellekkel foglalkozunk, amelyekben a munkák több műveletből állnak. Speciálisan shop ütemezési problémákat vizsgálunk.
11. Előadás. 11. előadás Bevezetés a lineáris programozásba
11. Előadás Gondolkodnivalók Sajátérték, Kvadratikus alak 1. Gondolkodnivaló Adjuk meg, hogy az alábbi A mátrixnak mely α értékekre lesz sajátértéke a 5. Ezen α-ák esetén határozzuk meg a 5 sajátértékhez
Bonyolultságelmélet. Monday 26 th September, 2016, 18:28
Bonyolultságelmélet Monday 26 th September, 2016, 18:28 A kurzus teljesítési követelményei 2 Gyakorlat Három kisdolgozat 6 6 pontért kb. a 4., 7. és 10. gyakorlaton Egy nagydolgozat 28 pontért utolsó héten
Készítette: Fegyverneki Sándor
VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y
Korlátozás és szétválasztás módszere Holló Csaba 2
Korlátozás és szétválasztás módszere Holló Csaba 2 A módszert Imreh Balázs, Imreh Csanád: Kombinatorikus optimalizálás Novadat, Győr, 25 egyetemi tankönyve alapján, kisebb változtatásokkal fogjuk bemutatni.
1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
Totális Unimodularitás és LP dualitás. Tapolcai János
Totális Unimodularitás és LP dualitás Tapolcai János tapolcai@tmit.bme.hu 1 Optimalizálási feladat kezelése NP-nehéz Hatékony megoldás vélhetően nem létezik Jó esetben hatékony algoritmussal közelíteni
SZAKDOLGOZAT. Merev körű gráfok alkalmazása a numerikus analízisben és a valószínűségi becslésekben. Szabó Péter
SZAKDOLGOZAT Merev körű gráfok alkalmazása a numerikus analízisben és a valószínűségi becslésekben Szabó Péter Témavezető: Hujter Mihály egyetemi docens BME Matematika Intézet, Differenciálegyenletek Tanszék
[Biomatematika 2] Orvosi biometria
![[Biomatematika 2] Orvosi biometria](/thumbs/47/23623719.jpg "[Biomatematika 2] Orvosi biometria")
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.
Algoritmuselmélet. Függvények nagyságrendje, elágazás és korlátozás, dinamikus programozás. Katona Gyula Y.
Algoritmuselmélet Függvények nagyságrendje, elágazás és korlátozás, dinamikus programozás Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
Algoritmusok Tervezése. 6. Előadás Algoritmusok 101 Dr. Bécsi Tamás
Algoritmusok Tervezése 6. Előadás Algoritmusok 101 Dr. Bécsi Tamás Mi az algoritmus? Lépések sorozata egy feladat elvégzéséhez (legáltalánosabban) Informálisan algoritmusnak nevezünk bármilyen jól definiált
Szemidenit optimalizálás és az S-lemma
Szemidenit optimalizálás és az S-lemma Pólik Imre SAS Institute, USA BME Optimalizálás szeminárium 2011. október 6. Outline 1 Egyenl tlenségrendszerek megoldhatósága 2 Az S-lemma 3 Szemidenit kapcsolatok
Bonyolultságelmélet. Monday 26 th September, 2016, 18:27. Bonyolultságelmélet
Monday 26 th September, 2016, 18:27 A kurzus teljesítési követelményei Gyakorlat Három kisdolgozat 6 6 pontért kb. a 4., 7. és 10. gyakorlaton Egy nagydolgozat 28 pontért utolsó héten előadáson Pontszám:
Dualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 7. Előadás Árazási interpretáció Tekintsük újra az erőforrás allokációs problémát (vonat
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához Izsák Ferenc 2007. szeptember 17. Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 1 Vázlat Bevezetés: a vizsgált egyenlet,
A lineáris programozás alapfeladata Standard alak Az LP feladat megoldása Az LP megoldása: a szimplex algoritmus 2018/
Operációkutatás I. 2018/2019-2. Szegedi Tudományegyetem Informatika Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 2. Előadás LP alapfeladat A lineáris programozás (LP) alapfeladata standard formában Max c
Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1
Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában
A lineáris programozás alapfeladata Standard alak Az LP feladat megoldása Az LP megoldása: a szimplex algoritmus 2017/
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatika Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 2. Előadás LP alapfeladat A lineáris programozás (LP) alapfeladata standard formában Max c
Az ellipszoid algoritmus
Az ellipszoid algoritmus Csizmadia Zsolt Eötvös Loránd Tudományegyetem Bevezető Az ellipszoid módszert a nemlineáris porgramozásra Shor [1970,0977] illetve Yudin és Nemirovskiî [1976] feljlesztették ki.
Modern irányzatok a bonyolultságelméletben: éles korlátok és dichotómia tételek
Modern irányzatok a bonyolultságelméletben: éles korlátok és dichotómia tételek Marx Dániel Paraméteres Algoritmusok és Bonyolultság Kutatócsoport Informatikai Kutatólaboratórium SZTAKI 05. június 5. Kombinatorikus
A szimplex algoritmus
A szimplex algoritmus Ismétlés: reprezentációs tétel, az optimális megoldás és az extrém pontok kapcsolata Alapfogalmak: bázisok, bázismegoldások, megengedett bázismegoldások, degenerált bázismegoldás
Áttekintés LP és geometria Többcélú LP LP és egy dinamikus modell 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 6. Előadás Áttekintés Kezdjük újra a klasszikus erőforrás allokációs problémával (katonák,
Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 11. Előadás. Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Szarvák Gábor november 29.
Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 11. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Szarvák Gábor 2010. november 29. 1. Gráfok metszési száma z előadás a metszési szám nevű gráfparaméterről szól. Ez
1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
Általános algoritmustervezési módszerek
Általános algoritmustervezési módszerek Ebben a részben arra mutatunk példát, hogy miként használhatóak olyan általános algoritmustervezési módszerek mint a dinamikus programozás és a korlátozás és szétválasztás
Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
Mesterséges Intelligencia I. (I602, IB602)
Dr. Jelasity Márk Mesterséges Intelligencia I. (I602, IB602) harmadik (2008. szeptember 15-i) előadásának jegyzete Készítette: Papp Tamás PATLACT.SZE KPM V. HEURISZTIKUS FÜGGVÉNYEK ELŐÁLLÍTÁSA Nagyon fontos
Kiegészítő részelőadás 1. Az algoritmusok hatékonyságának mérése
Kiegészítő részelőadás 1. Az algoritmusok hatékonyságának mérése Dr. Kallós Gábor 2014 2015 1 Az Ordó jelölés Azt mondjuk, hogy az f(n) függvény eleme az Ordó(g(n)) halmaznak, ha van olyan c konstans (c
Diszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis. 2011. november 9.
CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis Becslések, határeloszlás tételek Székely Balázs 2011. november 9. CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis 1 CHT és NSZT 2 Hoeffding-egyenlőtlenség Alkalmazása: Beengedés
Az állítást nem bizonyítjuk, de a létezést a Paley-féle konstrukció mutatja: legyen H a
. Blokkrendszerek Definíció. Egy (H, H), H H halmazrendszer t (v, k, λ)-blokkrendszer, ha H = v, B H : B = k, és H minden t elemű részhalmazát H-nak pontosan λ eleme tartalmazza. H elemeit blokkoknak nevezzük.
9. Előadás. (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték április / 35
9. Előadás (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték 2019. április 24. 1 / 35 Portfólió-analízis Tegyük fel, hogy egy bank 4 különböző eszközbe fektet be (réz, búza, arany és kakaó). Az ügyfeleinek ezen
Algoritmuselmélet. Függvények nagyságrendje, elágazás és korlátozás, dinamikus programozás. Katona Gyula Y.
Algoritmuselmélet Függvények nagyságrendje, elágazás és korlátozás, dinamikus programozás Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
Fuzzy halmazok jellemzői
A Fuzzy rendszerek, számítási intelligencia gyakorló feladatok megoldása Fuzzy halmazok jellemzői A fuzzy halmaz tartója az alaphalmaz azon elemeket tartalmazó részhalmaza, melyek tagsági értéke 0-nál
= e i1 e ik e j 1. tenzorok. A k = l = 0 speciális esetben e az R egységeleme. A. e q 1...q s. = e j 1...j l q 1...q s
3. TENZORANALÍZIS Legyen V egy n-dimenziós vektortér, V a duális tere, T (k,l) V = V V V V a (k, l)-típusú tenzorok tere. Megállapodás szerint T (0,0) V = R (általában az alaptest). Ha e 1,..., e n V egy
Fluktuáló terű transzverz Ising-lánc dinamikája
2016. szeptember 8. Phys. Rev. B 93, 134305 Modell H(t) = 1 2 L 1 σi x σi+1 x h(t) 2 i=1 h(t)-fluktuáló mágneses tér. Hogyan terjednek jelek a zajos rendszerben? L σi z, i=1 Zajok típusai 1 fehér zaj 2
Gazdasági matematika II. tanmenet
Gazdasági matematika II. tanmenet Mádi-Nagy Gergely A hivatkozásokban az alábbi tankönyvekre utalunk: T: Tóth Irén (szerk.): Operációkutatás I., Nemzeti Tankönyvkiadó 1987. Cs: Csernyák László (szerk.):
0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
MA1143v A. csoport Név: december 4. Gyak.vez:. Gyak. kódja: Neptun kód:.
MAv A. csoport Név:... Tekintsük az alábbi mátriot! A 7 a Invertálható-e az A mátri? Ha igen akkor bázistranszformációval határozza meg az inverzét! Ellenőrizze számításait! b Milyen egyéb mátritulajdonságokra
Algoritmusok bonyolultsága
Algoritmusok bonyolultsága 11. előadás http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/komplex.htm () 1 / 1 NP-telesség Egy L nyelv NP-teles, ha L NP és minden L NP-re L L. Egy Π döntési feladat NP-teles, ha Π NP és
2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia
2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia Mind a hétköznapi, mind a tudományos életben gyakran előfordul, hogy bizonyos halmazok elemei között kapcsolat figyelhető meg. A kapcsolat fogalmának matematikai
Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 12.
Algoritmuselmélet NP-teljes problémák Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 12. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet
Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
LNM folytonos Az interpoláció Lagrange interpoláció. Lineáris algebra numerikus módszerei
Legkisebb négyzetek módszere, folytonos eset Folytonos eset Legyen f C[a, b]és h(x) = a 1 φ 1 (x) + a 2 φ 2 (x) +... + a n φ n (x). Ekkor tehát az n 2 F (a 1,..., a n ) = f a i φ i = = b a i=1 f (x) 2
Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás
Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre
Lineáris algebra. (közgazdászoknak) T C T = ( 1 ) ; , D T D =
Lineáris algebra (közgazdászoknak) 10A103 FELADATOK A GYAKORLATRA (1.) 2018/2019. tavaszi félév Mátrixok 1.1. Feladat. Legyen A = 1 2 1, B = 1 2 3 1 2 1 1, C = ( 1 2 0 ), D = 1 3 1 1 2 1 ( ) 10/2 0.6 1
A fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet kimeneteleinek
VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok
VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják
Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.
HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak
Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
Optimalizálás alapfeladata Legmeredekebb lejtő Lagrange függvény Log-barrier módszer Büntetőfüggvény módszer 2017/
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 9. Előadás Az optimalizálás alapfeladata Keressük f függvény maximumát ahol f : R n R és
Mesterséges Intelligencia. Csató Lehel. Csató Lehel. Matematika-Informatika Tanszék Babeş Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár 2010/2011 1/363
1/363 Matematika-Informatika Tanszék Babeş Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár 2010/2011 Az Előadások Témái 288/363 Bevezető: mi a mesterséges intelligencia... Tudás reprezentáció Gráfkeresési stratégiák
1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1
![1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1](/thumbs/88/116339870.jpg "1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1")
numerikus analízis ii 34 Ezért [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet = r (m 1) n = r m + n 1 19 B - SPLINEOK VOLT: Ω n véges felosztás S n (Ω n ) véges dimenziós altér A bázis az úgynevezett egyoldalú
10. Előadás P[M E ] = H
![10. Előadás P[M E ] = H](/thumbs/62/47161470.jpg "10. Előadás P[M E ] = H")
HALMAZRENDSZEREK 10. Előadás Matematika MSc hallgatók számára Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Hajnal Péter 2010. április 20. Halmazrendszerek színezése Egy halmazrendszer csúcshalmazának színezése jó
1. Milyen parciális törtekre bontaná az alábbi racionális törtfüggvényt:
Matematika (Lineáris algebra és többváltozós függvények), NGB_MA002_2, 1. zárthelyi 2016. 10. 19., 2A-csoport 1. Milyen parciális törtekre bontaná az alábbi racionális törtfüggvényt: x 2x 2 4x + 1 (x 2
Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek
Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,
Diszkrét matematika I. gyakorlat
Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség
Lineáris algebra numerikus módszerei
Hermite interpoláció Tegyük fel, hogy az x 0, x 1,..., x k [a, b] különböző alappontok (k n), továbbá m 0, m 1,..., m k N multiplicitások úgy, hogy Legyenek adottak k m i = n + 1. i=0 f (j) (x i ) = y
5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás
5. házi feladat 1.feladat A csúcsok: A = (0, 1, 1) T, B = (0, 1, 1) T, C = (1, 0, 0) T, D = ( 1, 0, 0) T AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: 1 0 0 T AB = 0 1 0, elotlási rész:(i T AB )A = (0, 0, )
Dr. Karácsony Zsolt. Miskolci Egyetem november
Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika Dr. Karácsony Zsolt Miskolci Egyetem, Alkalmazott Matematikai Tanszék 2013-2014 tanév 1. félév Miskolci Egyetem 2013. november 11-18 - 25. Dr. Karácsony
Lineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és
Numerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk
Jegyzet. az Operációkutatás II cím tantárgyhoz. Utolsó frissítés: május 20. Király Tamás el adásai alapján készítette Papp Olga
Jegyzet az Operációkutatás II cím tantárgyhoz Király Tamás el adásai alapján készítette Papp Olga Utolsó frissítés: 2011. május 20. Tartalomjegyzék 1. TU mátrixok: kerekítés és színezés 3 1.1. Emlékeztet......................................
Min. , ha =, , ha = 0 egyébként. Forrás és cél csp-ra vonatkozó kényszerek Köztes csp-ra vonatozó, folyammegmaradási kényszer
Hálózatok tervezése VITMM215 Maliosz Markosz 2012 12.10.1.10.15. Módszerek, algoritmusok a hálózattervezésben és a forgalom menedzsmentben Hálózattervezés = hálózati kapacitások létesítése a forgalomnak
Algoritmusok bonyolultsága
Algoritmusok bonyolultsága 5. előadás http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/komplex.htm 1 / 27 Gazdaságos faváz Kruskal-algoritmus Joseph Kruskal (1928 2010) Legyen V = {v 1, v 2,..., v n }, E = {e 1, e 2,...,
Adaptív dinamikus szegmentálás idősorok indexeléséhez
Adaptív dinamikus szegmentálás idősorok indexeléséhez IPM-08irAREAE kurzus cikkfeldolgozás Balassi Márton 1 Englert Péter 1 Tömösy Péter 1 1 Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013. november
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport Definiálja az alábbi fogalmakat!. Egy eseménynek egy másik eseményre vonatkozó feltételes valószínűsége. ( pont) Az A esemény feltételes valószínűsége
Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.
Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető
Jármőtervezés és vizsgálat I. VALÓSZÍNŐSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPFOGALMAK Dr. Márialigeti János
BUDAPESTI MŐSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI KAR JÁRMŐELEMEK ÉS HAJTÁSOK TANSZÉK Jármőtervezés és vizsgálat I. VALÓSZÍNŐSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPFOGALMAK Dr. Márialigeti János Budapest 2008
Differenciaegyenletek
Differenciaegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2009/10 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 2009/10 tanév, I. félév 1 / 11
Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.
1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:
1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre
Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G)
Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G) 2014. január 14. 1. Gyakorlat 1.1. Feladat. Adott K testre rendre K[x] és K(x) jelöli a K feletti polinomok és racionális törtfüggvények halmazát. Mutassuk meg, hogy
Boros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
Algoritmusok bonyolultsága
Algoritmusok bonyolultsága 9. előadás http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/komplex.htm 1 / 18 Közelítő algoritmusok ládapakolás (bin packing) Adott n tárgy (s i tömeggel) és végtelen sok 1 kapacitású láda
Infobionika ROBOTIKA. X. Előadás. Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében
Infobionika ROBOTIKA X. Előadás Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében Tartalom Direkt kinematikai probléma Denavit-Hartenberg konvenció
Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1
Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,
Mat. A2 3. gyakorlat 2016/17, második félév
Mat. A2 3. gyakorlat 2016/17, második félév 1. Hány megoldása lehet az alábbi lineáris egyenletrendszereknek a valós számok körében, ha a -ok tetszőleges (nem feltétlenül egyenlő) számokat jelölnek? 0
1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben.
Szak: Műszaki menedzser I. Dátum: 006. június. MEGOLDÓKULCS Tárgy: Matematika szigorlat Idő: 0 perc Neptun kód: Előadó: Berta Gábor szig 06 06 0 Pontszám: /00p. Oldja meg a z (5 + j (8 + j + = (+5j (7
3. előadás. Programozás-elmélet. A változó fogalma Kiterjesztések A feladat kiterjesztése A program kiterjesztése Kiterjesztési tételek Példa
A változó fogalma Definíció Legyen A = A 1 A 2... A n állapottér. A pr Ai projekciós függvényeket változóknak nevezzük: : A A i pr Ai (a) = a i ( a = (a 1, a 2,..., a n ) A). A változók jelölése: v i =
Algoritmuselmélet. Bonyolultságelmélet. Katona Gyula Y.
Algoritmuselmélet Bonyolultságelmélet Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 12. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet
Diszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 3. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014.
Analízis. 1. fejezet Normált-, Banach- és Hilbert-terek. 1. Definíció. (K n,, ) vektortér, ha X, Y, Z K n és a, b K esetén
1. fejezet Analízis 1.1. Normált-, Banach- és Hilbert-terek. Zártés teljes ortonormált rendszer. Fourier-sor. Riesz-Fischer tétel Hilbert-térben. Szeparábilis Hilbert terek izomorfiája. 1.1.1. Normált-,
definiálunk. Legyen egy konfiguráció, ahol és. A következő három esetet különböztetjük meg. 1. Ha, akkor 2. Ha, akkor, ahol, ha, és egyébként.
Számításelmélet Kiszámítási problémának nevezünk egy olyan, a matematika nyelvén megfogalmazott kérdést, amire számítógéppel szeretnénk megadni a választ. (A matematika nyelvén precízen megfogalmazott
GROVER-algoritmus. Sinkovicz Péter. ELTE, MSc II dec.15.
ELTE, MSc II. 2011.dec.15. Áttekintés Feladat Algoritmus Kvantum keresési algoritmus áttekintése Input: N = 2 n elemű tömb, Ψ 1 = 0 1 kezdőállapot, f x0 (x) orákulum függvény. Output: x 0 keresett elem
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
ADATBÁZISOK ELMÉLETE 5. ELŐADÁS 3/22. Az F formula: ahol A, B attribútumok, c érték (konstans), θ {<, >, =,,, } Példa:
Adatbázisok elmélete 5. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu http://www.cs.bme.hu/ kiskat 2005 ADATBÁZISOK ELMÉLETE
Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós