A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely más értékkel és a közelítés hibájára (potosságára a függvéy deriváltjából yerük valami iformációt (Lokálisa a függvéy ívét a hozzá tartozó húrral helyettesítjük A feladat természetétől függőe ez a közelítés lehet, hogy célravezető de lehet, hogy em Próbáljuk f ( megvizsgáli, hogy a alakú, határozatla esethez vezető határérték kiszámításáál mi törtéik ha az f és g értékeit a Lagrage vagy Cauchy tétel segítségével g( közelítjük Ha f, g folytoosak és deriválhatók az egy kis köryezetébe, és f ( g (, akkor a Lagrage tétel alapjá létezik olya c, amelyre:, f ( f ( f ( ( ( f c f c g ( g ( g ( ( c ( c Mivel a jobb oldalo levő kifejezésbe eseté c, modhatjuk, hogy ha létezek a f ( l és ( l határértékek és l, akkor f ( l Ha a Cauchy tételt haszáljuk a tört becslésére, em kell a két deriváltak külö-külö létezze a határértéke, elégséges a tört határértékéek létezése Így a g ( l következő tételhez jutuk: Tétel (A l Hospital tétel határozatlaság eseté Legye f, g :[ a, b] (a, b, a < b két valós függvéy és [, a b] Ha az f és g függvéy folytoos -ba, az f és g függvéy deriválható a [, b]\ { } V a halmazo (ahol V V (, f ( g( és 4 ( az egy köryezetébe, f ( 5 létezik a határérték, ( f ( f ( f ( akkor létezik a határérték is és g( g( ( Bizoyítás A Cauchy tételt alkalmazzuk az [ ε, + ε] itervallumo, ahol ε -t úgy választjuk meg, hogy az előbbi itervallum bee legye a feltételekbe szereplő köryezetek midegyikébe f ( f ( ( ( f c f ( c g( g( ( ( c ( c
4 A határozatla esetek kiküszöbölése Mivel eseté c, az előbbi egyelőség jobb oldalá levő kifejezés f ( határértéke eseté Így a bal oldalak is va határértéke és ez is ( f ( egyelő -al ( Előfordul, hogy a határértékbe megjeleő függvéyek em értelmezettek az potba, vagy a határértékük em egyelő a behelyettesítési értékükkel Ebbe az esetbe is haszálhatjuk az előbbi godolatmeetet, mert kicserélhetjük a behelyettesítési értéket Erre az esetre voatkozik a következő tétel: Tétel (A l Hospital tétel határozatla eset eseté Legye f, g :[ a, b] ( a, b, a < b két valós függvéy és [, a b] Ha az f és g függvéy deriválható a [, b]\ { }, g( és ( V V ( f ( V a halmazo (ahol g em ulla, ha az egy köryezetébe levő -tól külöböző pot, f ( 4 létezik a határérték, ( f ( f ( f ( akkor létezik a határérték is és g( g( (,, Bizoyítás Tekitjük az f( és g f (, ( g (, függvéyeket Ezekre alkalmazható az előbbi tétel, tehát a következtetés is igaz Megjegyzés Az előbbi tételek esetébe az potba a függvéyek em kellett deriválhatók legyeek Ha a függvéyek az -ba is deriválhatók, akkor az f ( g( egyelőségek alapjá f ( f ( f ( g ( g ( g( f ( és így eseté a jobb oldal határértéke ( ( eseté, tehát a bal ( f ( oldalak is va határértéke és egyelő -val Érvéyes tehát a következő tétel: ( Tétel (Cauchy Ha I egy itervallum, I és f, g : I két függvéy a következő tulajdoságokkal:
A határozatla esetek kiküszöbölése 4 f ( g( f és g deriválható az -ba és (, akkor létezik -ak olya V köryezete, amelybe g (, V \ { } és f ( f ( g ( ( Világos, hogy va olya eset, amikor mid a két tétel alkalmazható és va olya, amikor csak az egyik (sőt olya is, amikor egyik sem Példák Számítsuk ki -et! l Tekitjük az f, g :,, f ( és g( l, függvéyeket Ezek a függvéyek folytoosak is és deriválhatók is az értelmezési tartomáyuko, f ( f ( g( és, tehát a l Hospital ( tétel (vagy a Cauchy tétel értelmébe l Megjegyzés Ebbe az esetbe a határérték a l Hospital szabály élkül is kiszámítható a következő átalakítások segítségével: t ( + ( + l l t l( t + e Számítsuk ki -et! si Tekitjük az f, g :,, f ( e és g( si függvéyeket Ezek a függvéyek folytoosak és deriválhatók az értelmezési tartomáyuko, ( e f ( továbbá f ( g( és f ( cos ( A g e l Hospital szabály (vagy a Cauchy tétel alapjá si Megjegyzés A vizsgált határérték egyszerűe visszavezethető alaphatárértékekre: e e si si e + e Számítsuk ki -et! cos Megoldás Tekitjük az f, g :(,, ( f e + e és g( cos függvéyeket Ezek a függvéyek folytoosak és deriválhatók az értelmezési f ( e e tartomáyuko és Mivel ez a határérték is ( si alakú
4 A határozatla esetek kiküszöbölése határozatla eset, megismételjük a godolatmeetet Az f és deriválhatók az ( f ( f ( e + e értelmezési tartomáyo, és ( co ( ( s, e e e + e tehát li m és így si cos Megjegyzés Ezt a határértéket is köye kiszámíthatjuk az elemi határértékek e + e ( e segítségével: e cos e si e si si 4 Számítsuk ki a határértéket! Megoldás Az fg, :(,, f ( si és g( függvéyek folytoosak és deriválhatók az értelmezési tartomáyuko és si si f ( cos g ( 6 6 A l Hospital szabály alapjá (itt em alkalmazható a Cauchy tétel si 6 5 Az + si,, sorozat eseté számítsuk ki a, Kiszámítjuk a kért határérték égyzetét a következő átalakítások segítségével: A Cesaro-Stolz kritérium alapjá elégséges a + + + + határértéket kiszámítai Eek a kiszámításához a egyelőség alapjá elégséges az si f( függvéy határértékét kiszámítai -ba si 4 si si si si si 6 si si + határértéket Megoldás A sorozat szigorúa csökkeő és pozitív tagú, tehát koverges Ha a rekurzióba határértékre térük, az l sil egyelőséghez jutuk (ahol l az ( sorozat határértéke, tehát az ( sorozat koverges és határértéke
A határozatla esetek kiküszöbölése 4 Ebből következik, hogy 6 Számítsuk ki a f ( g ( e, és g( c os, \ határértéket, ha f, g :,, f ( tg, \ Megoldás Az f és a g függvéy em folytoos és em is deriválható az pot egyetle köryezetébe sem, de midkét függvéy folytoos és deriválható az potba és f ( g( valamit f ( és g ( Ebből f ( f ( következik, hogy a Cauchy tétel alkalmazható és g ( ( cos 7 Számítsd ki a határértéket cos Megoldás Mivel az f : \ { }, f ( cos függvéy deriváltja f ( cos si és cos si f (, ahol g( cos, ( si f ( az tört határértéke em létezik -ba Emiatt a l Hospital szabály em ( alkalmazható a határérték kiszámítására Az elemi határértékek segítségével viszot: f ( cos g ( cos Megjegyzés Az előbbi példákból látható, hogy a tételek feltételeit érdemes elleőrizi, mert ellekező esetbe hibás eredméyhez juthatuk, vagy hibás godolatmeet alapjá jutuk a helyes eredméyhez (esetleg em a megfelelő tételt alkalmazzuk Az előbbi példákból az is látszik, hogy érdemes az elemi módszereket midig összekombiáli a l Hospital szabállyal, a számolások egyszerűsítése céljából A l Hospital szabály emcsak a alakú határozatla esetek kiküszöbölésére haszálható, hisz mide határozatla eset ilye alakba írható A alakú esetekre voatkozik a következő tétel Tétel (l Hospital Ha a, b, a < b, (, a b és az f, g :( a, b függvéyek teljesítik a következő feltételeket: f és g deriválható függvéyek (, (, a b
44 A határozatla esetek kiküszöbölése g (, f ( 4 létezik a határérték, ( f ( f ( f ( akkor létezik a határérték is és g( g( ( f ( Bizoyítás Jelöljük a határértéket l -el Mivel g( és a ( a (, ezért g( és g( szigorúa mooto Legye (, (, a b és egy tetszőleges sorozat Cauchy tétel alapjá létezik c a, + ( úgy, hogy f ( f ( f + ( c g( g( + g ( c A a egyelőségből következik, hogy c a és így a feltétel alapjá f ( c létezik a határérték és egyelő l -el Ebből következik, hogy ( c ( ( f f + f ( l és így a Cézaro-Stolz tétel alapjá l Sikerült g( g( g( tehát igazoli, hogy f ( f ( g( ( Megjegyzés A l Hospital szabály akkor is alkalmazható, ha em valós szám, haem ± A továbbiakba l Hospital szabály (tétel éve fogjuk emlegeti l Példák Számítsuk ki a határértéket! Megoldás Az f :(,, f ( l és g :(,, g( függvéyekre f ( g( és ezek a függvéyek deriválhatók, tehát ( teljesülek a l Hospital szabály feltételei f, ezért létezik a ( l l határérték és l Megjegyzés Hasoló meggodolások alapjá, ha a > és a l, ha P egy valós együtthatójú poliom P ( Számítsuk ki a határértéket e
A határozatla esetek kiküszöbölése 45 Megoldás Az f ( deriválhatók és e Számítsuk ki a és g( e függvéyek az halmazo folytoosak és f (, tehát a l Hospital szabály alapjá ( e e Megoldás Az f ( halmazá és f ( ( határértéket és g ismételt alkalmazása alapjá, tehát ( e függvéyek deriválhatók a valós számok (az előbbi példa vagy a l Hospital szabály e e P ( Megjegyzés Belátható, hogy, ha P [ X ] e 7 A határozatla eset Ha a, b, a < b, ( a b f, g :( a, b deriválhatók, f ( és g( akkor a, f alakra redukálható, mivelg( : ( g( határozatla eset ( alakú f ( f ( g(, ahol f ( a a g( g( Hasoló átalakítást végezhetük így is: g( f ( g(, ekkor a -re vezethetjük vissza f ( Példák Számítsuk ki tg -et! vagy Megoldás Ez a határérték alakú, tehát a következő átalakítást vegezzük: ( ( si, ctg ( ctg tehát tg ( Számítsuk ki tg l si -et! > Megoldás Ez a határérték is alakú határozatla eset
46 A határozatla esetek kiküszöbölése cos l si ( l si ( tg l si és si, ctg > > ( ctg > > ctg si tehát tg l si > ( 7 A határozatla eset Ha a határérték [ f ( g( ] alakú, ahol f ( és li m (, a a a akkor feltételezhetjük, hogy f ( és g(, ezért írhatjuk, hogy f ( g( f ( f ( g( g( f ( vagy f ( g( f ( g( Így a ( f ( g( f ( g( a a f ( g( határérték alakú a határozatla esetté alakul A második esetbe a ( f ( g( határérték g kiszámítása előtt a ( f ( függvéy határértékét kell kiszámítai Ez alakú határozatla eset Példák Számítsuk ki a l határértéket! l Megoldás Ez alakú határozatlaság ez l ( l alakú lesz és erre alkalmazzuk a l Hospital szabályt: l l l, l l + + l + vagyis l Számítsuk ki a e határértéket! > Megoldás Ez is alakú határozatla eset e e, ahol li m e és ezért e > > Ha a, b, a < b és f, g :( a, b, ahol f ( > mide (, a b 74 A,, határozatla esetek eseté és f ( g ( vagy f ( és g ( vagy
A határozatla esetek kiküszöbölése 47 f ( és g ( g, akkor a [ ( ] ( f kiszámításáál a,, határozatla esetek jeleek meg Mide esetbe a esetre redukálódik, ha az [ ( ] g ( g ( l f f e ( egyelőséget haszáljuk fel Potosabba, ha létezik g ( l f a Példák ( tg Számítsuk ki -et! > [ ] ( akkor létezik f ( g alakú határozatla eset si > > si Számítsuk ki a l határértéket! > ( g ( l és [ f ( a ] g f ( e l Megoldás Ez alakú határozatla eset li m( tg l, és ez ctg Megoldás Ez > > tg >, tehát e e > alakú határozatla eset l( l l l > > l > l l > l e e > Következik, hogy Számítsuk ki a ( si határértéket! tg Megoldás Ez alakú határozatla eset tg l l si si tg l si ( tg e ctg, tehát li m si Gyakorlatok Számítsd ki az alábbi határértékeket (l Hospital-szabály: si tg tg a a a b c li m ( a > si tg cos( si cos l d li m e f ( ε > l + 4 + ε ctg g (a >, > h li m + a e ( e + ( e cos i j si
48 A határozatla esetek kiküszöbölése l( sia k li m l l + l ( si b >, a, b > cos m si + si e si cos cos ( + e cos cos o a, a > p si > + + q si Vizsgáld meg, hogy a következő példákra alkalmazható-e a l Hospital szabály: si a e ( cos + si + e si b si + e ( cos + si si + + si cos c d + si ( si cos si + e Számítsd ki a következő határértékeket: ε a [ l l( ] b li m l ( ε > c li m < > 4 > d li m e ( tg tg f li m l g ctg h tg a e + e li m si i + a + j e, k + l l e e + m ( a 4 Bizoyítsd be, hogy ha az f : függvéy végteleszer deriválható, akkor a ( f ( f ( ( ( ( f ( P ( f + + + + (!!! f ( P ( poliomra (A P poliomot evezzük az f függvéyhez ( az potba redelt -ed redű Taylor féle poliomak 5 Bizoyítsd be, hogy ha az f : végteleszer deriválható függvéyre a ( P ( sorozat koverges, akkor a határértéke f ( Írd fel a következő függvéyek -ed redű Taylor poliomját: a f ( e b f ( si c f ( cos a d f ( ( +, a e f ( l( + >
A határozatla esetek kiküszöbölése 49 Érettségire és felvételire előkészítő feladatok Bizoyítsd be, hogy az f :(,, f ( ( + függvéy szigorúa csökkeő (Felvételi, 976 + e Adottak az f, g :, f (, g ( e + függvéyek + e Alkalmazható-e a Lagrage tétel a h :, h ( ( g f( függvéyre? Ha ige, számítsd ki a c értékét! (Felvételi, 99 m,, + + Az f :,, f ( függvéy eseté jelöljük p + 4 + 4, (, S -sel az m,,p azo értékeiek összegét, amelyekre f teljesíti a Rolle tétel feltételeit és C -vel az így kapott közbeeső c értékek összegét Számítsd ki az S és az A értékét! (Felvételi, 99 f, 4 Számítsd ki az : \{,} f ( és f ( f ( e függvéy deriváltját, majd a határértékeket Bizoyítsd be, hogy az f ( egyeletek va egy -él agyobb gyöke (Érettségi javaslat 5 Bizoyítsd be, hogy az f :(,, f ( cos függvéyre teljesül az f ( + f ( > egyelőtleség, ha > (Érettségi javaslat 6 Bizoyítsd be, hogy ha,,, párokét külöböző valós számok és P( ( ( (, akkor + + + P ( P ( P (