Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek Kedves Olvsó! A Sorok elmélete és umerikus módszerek mérökhllgtókk című köyv elsősorb Szbdki Műszki Szkőiskol hllgtóik készült, hrmdik élévbe okttott Numerikus mtemtik tárgy okttói és hllgtói segédletekét. Ebből dódik köyv szerkezete is. Az első rész soroztokkl kpcsoltos lpoglmkt ismétli át, rámuttv rr, hogy olyttásb bevezetésre kerülő számsorok tuljdosági soroztok tuljdoságir vezethetők vissz. Az első rész további ejezetei üggvéysorokról szólk. Először üggvéysorok áltláos tuljdoságiról lesz szó, mjd htváysorok és Furiér sorok tuljdoságit tglljuk. A második részbe oly közelítő számítási módszerek leírási szerepelek, melyekkel hllgtók más tárgyk temtikáják kpcsá tlálkozhtk. A közelítő számítások és zok hibái, mjd trszcedes egyeletek közelítő megoldás, z iterpoláció, közelítő itegrálás és diereciálegyeletek közelítő megoldás kerül leírásr. Az lpvető elméleti leírásokt, (és időkét gyo egyszerű bizoyításokt) mide ejezetbe egyszerű példák követik. A Budpesti Műszki Főiskol (BMF) és Szbdki Műszki Szkőiskol sokéves együttműködéséek köszöhetőe szerzőek lklm yílt BMF lbortóriumib MATLAB mtemtiki progrmcsomgot lklmzi, így köyvbe tlálhtó ábrák émelyike, vlmit számítások egy része progrmcsomg segítségével készült el. A köyv z Apáczy Közlpítváy áltl Szbdki Műszki Szkőiskolák yújtott, Szbdki P Rom közreműködésével megvlósított 76-7 számú támogtásák köszöhetőe jelehetett meg. A szerző Szbdk, 8.
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek Számsorok. Függvéysorok...5. Ismétlés (soroztok)...5.. Ismétlés. A vlós számok R hlmz...5.. Számsoroztok. Ismétlés...6. Számsor..... Sormrdék..... Koverges sorok tuljdosági..... A sor kovergeciáják szükséges eltétele.....4 A sorok kovergeciáják szükséges és elégséges eltétele ( Cuchy kritérium lpjá)...4..5 Sorok korlátosság...5..6 Pozitív tgú sorok kovergeciáj...6..7 Pozitív tgú számsorok kovergeci-kritériumi ( kovergeci elégséges eltételei)...7..8 Változó előjelű sorok...5. A üggvéysor...8.. Függvéysorok egyeletes kovergeciáj...9.. Htváysorok....4 Tylor sor...7.5 Fourier sor...4.5. Ortogoális üggvéyek és üggvéy sorok...4.5. A Fourier sor trigoometrikus lkj...4.5. Fourier sorok tuljdosági...48.5.4 Példák: Fourier sorok...5 Közelítő számítások...5. Hibszámítás...5. Iterpoláció...58. Algebri és trszcedes egyeletek megoldás...6.4 Ruge Kutt módszer...75.4. A Ruge Kutt módszer eltételredszere...76 Irodlomjegyzék...8
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek 4
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek Számsorok. Függvéysorok. Ismétlés (soroztok).. Ismétlés. A vlós számok R hlmz Legye, b R, és < b. Az R hlmz ( b) { < < b, R} evezzük., részhlmzát yitott itervllumk Az R hlmz [ b] { b, R} evezzük. Az R hlmz ( b] { < b, R} itervllum., részhlmzát zárt itervllumk, részhlmz blról yitott, jobbról zárt Megdhtuk további részhlmzokt is, például következőképpe: (, ) { <, R}, [ ) {, R},, stb. A pot köryezete vlós számhlmzb Az vlós szám > ε (epszilo) köryezete z ( ε ε ), itervllum. Mide vlós számk számtl ε köryezete létezik, z dott ε > vlós számtól üggőe. Az vlós szám ε köryezete trtlmzz z vlós számot. Az (, b) vlós számk létezik ( b ) (, b), köryezete. H b, (, b R), kkor létezek oly I ( ε, ε ) és I ( b δ, b δ ) itervllumok, melyekre I I. / A vlós szám bszolút értéke h h h > < 5
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek A szám bszolút értékére votkozó szbályok ( R) h < h > < b b > b < < b Az b kiejezés számértéke egyelő z és b számok illetve számegyeese hozzájuk trtozó potok távolságák mérőszámávl. A következő szbályok érvéyesek: ) b b b) b b c) b b d) b b.. Számsoroztok. Ismétlés H természetes számok hlmzához ( N ) hozzáredeljük redre z {,,...,,...} számhlmz elemeit, számsoroztot kpuk, melyet { } jelölük. Véges sok elemből álló,..., módo, számsoroztot végesek, végtele sok elemből álló,,...,,... soroztot végtele soroztk evezzük. A sorozt áltláos tgj. Az { } soroztot következőképpe dhtjuk meg:, - áltláos tgjávl, például: ( ) - egymást követő elemeiek megdásávl, például:,,,... - rekurzív ormulávl:,,. Két sorozt kkor egyelő, h megelelő elemik egyelők. 6
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek sorozt elemeire igz, hogy >, ( N idere) kkor sorozt szigorú mooto övekvő, h kkor mooto övekvő. H H z { } <, ( N idere) kkor sorozt szigorú mooto csökkeő, h kkor mooto csökkeő. A T pot sorozt torlódási potj, h T pot köryezetébe sorozt végtele sok eleme helyezkedik el. A számsoroztok kovergeciáj Az { } soroztk létezik htárértéke, és htárértéke h ( ε > )( N )( > ) ε. Midezt lim vgy módo jelöljük. ε ε < A deiícióból következik, hogy z htárérték ε köryezeté kívül soroztk csk véges sok eleme helyezkedik el. H z { } soroztk létezik lim, < htárértéke, kkor koverges soroztk evezzük, egyébkét sorozt diverges. H lim ±, kkor zt modjuk, hogy sorozt htározott diverges, mit például z { } {,4,9,6,... } sorozt, hisze lim. A ( ) { } \ {,,,... } sorozt diverges, de em htározott diverges, hisze htárértéke em ±. H sorozt koverges, kkor htárértéke egyértelmű. A koverges soroztk egyetle torlódási potj v, és z em más, mit sorozt htárértéke. A htárérték tehát egybe torlódási pot is, ugykkor em mide torlódási pot lehet htárérték. Például {,,,... } soroztk két torlódási potj v, z és -, és diverges, hisze midkét torlódási potr A deiíciót így olvssuk: bármely pozitív ε számhoz létezik oly ε -tól üggő ε küszöbide, melytől sorozt mide tgj z htárérték ε köryezetlbe v. 7
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek igz, hogy köryezeté kívül soroztk további végtele sok eleme v, és sorozt kovergeciáják eltételei em teljesülek. H soroztból elhgyjuk k véges vgy végtele sok elemét, emrdt végtele sok elemből álló soroztot részsoroztk evezzük. Péld. Az ( ) soroztot szétválszthtjuk és részsoroztokr. A számsoroztok korlátosság A k számot z { } sorozt lsó korlátják evezzük, h ( N )( k). A K számot z { } sorozt első korlátják evezzük, h ( N )( K ). H létezik z dott tuljdoságú k illetve K szám, kkor zt modjuk, hogy sorozt lulról, illetve elülről korlátos. H sorozt lulról és elülről is korlátos, kkor korlátos. Mide koverges sorozt korlátos, de ez ordítv em igz: zz korlátosság ömgáb em elegedő eltétele kovergeciák. Igzk viszot következő állítások: - mide elülről korlátos, mooto övekvő sorozt koverges, és - mide lulról korlátos, mooto csökkeő sorozt koverges. A soroztok kovergeciáják megállpításkor gykr hivtkozuk rr, hogy h soroztot lulról egy htározott diverges sorozt korlátozz, kkor mg is diverges lesz. Fotos tehát kimodi következőket: - h ( K R)( N )( > ) K K K > diverges, zz ; - h ( k R)( N )( > ) k k k < diverges, zz., kkor sorozt htározott, kkor sorozt htározott 8
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek Az ismert htárértékű soroztok kovergeciáj lpjá további soroztok kovergeciájár vgy divergeciájár következtethetük: - h > ; - h k R k ; - h < ; - h c > c. Soroztok kovergeciáják szükséges és elégséges eltétele (Cuchy kritérium) Az { } sorozt kkor és csk kkor koverges h eáll, hogy bármely ε > számr létezik oly ε küszöbide, melytől kezdődőe bármely p N (természetes) számr igz, hogy p < ε, zz: ( ε > )( )( > )( p N ), ε. ε ε p < Az kkor és csk kkor zt jeleti, hogy - h sorozt koverges, kkor igz eltétel (zz eltétel szükséges eltétele kovergeciák), és zt is hogy - h eltétel igz, kkor sorozt koverges (zz eltétel elégséges eltétele kovergeciák). A Cuchy kritérium gykorltb zt jeleti, hogy htárérték bármely köryezetébe bármely két soroztelem közötti távolság egy küszöbidetől kezdődőe ε -tól kisebb, zz z elemek távolság egyre kisebb. Cuchy, Augusti Louis (789-857.). Frci mtemtikus, ki gyszámú jeletős gykorlti problém mtemtiki modelljét dt meg. 9
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek. Számsor Legye dott z { } számsorozt. Az...... számkiejezést végtele számsork evezzük. Áltláos tgj (összeddój). Az... k véges sok elem (tg) összege, tehát véges sor. A k sorösszeg is véges szám. A végtele sok összeddóból álló sor összege em midig véges szám. Az S sorösszeg meghtározásához bevezetjük részösszeg oglmát. Az sor első összeddójából álló S i i véges sort z sor részösszegéek evezzük. A részösszegek soroztot lkotk, z { S } soroztot. Felírhtjuk tehát, hogy: S S S S... Beláthtó, hogy végetle sor em más, mit z S részösszeg, zz hogy teljes sorösszeg S S lim S em más mit részösszegek sorozták Figyeljük sor és sorozt oglmák külöbségére!
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek htárértéke. Az { } S sorozt kovergeciáj tehát egyeértékű z sorösszeg létezésével (modhtjuk zt is, hogy z sor kovergeciájávl). Az sor koverges, h z összeg véges szám, zz h részösszegek sorozt koverges, tehát h lim S S létezik és em ±. H sor em koverges, kkor divergesek evezzük. \ Péld. Az ( ) S i S S S h h sor diverges, mert k ( pártl) k( páros) Az { S } soroztk tehát két torlódási potj v, ezért em koverges. Péld. Az 4 9 6... sor diverges, mert diverges részösszegeiek sorozt: S S 4 5 S 4 9 4 Beláthtó, hogy lim S
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek Péld. Az q q... q... lkú sort mérti sork evezzük. Áltláos tgj: S q q q... q A végtele sor összege: S q q q lim q... q... vgy... q q. A részösszegek sorozt: ( q q... q )... lim S q. q h q > (ez zt jeleti,hogy sor diverges), h q (ez zt jeleti,hogy sor diverges), h q < (ez zt jeleti,hogy sor koverges). Péld.... ( ) 4 ( )... S... 4 ( )... 4, hol A B ( ).... Ebből: ( ) lim S lim... Sormrdék Az sor mrdék: R S S.... A koverges sorok mrdékik sorozt ullához trt: R.
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek A sorok mrdékár midig első becslést duk, zz zt djuk meg, hogy R < K, hol K sormrdék első korlátj... Koverges sorok tuljdosági A sorok kovergeciáják meghtározás részösszegek sorozták kovergeciáják meghtározásár vezethető vissz. H sor véges sok összeddóját elhgyjuk, kkor sor kovergeciáj em változik, zz h z eredeti sor koverges volt, kkor kpott sor is z, és h z eredeti sor diverges volt, kkor kpott sor is diverges mrd. H z kkor: S és b T sorok kovergesek, (és sorösszegük redre S és T), - z sor, melyek tgji két sor tgjik összegéből szármztthtó, ugycsk koverges, és sorösszege: ( b ) S T - z sor, melyek tgji koverges sor tgjik dott c számú ; többszörösei, ugycsk koverges, és sorösszege: c c S... A sor kovergeciáják szükséges eltétele A sor kovergeciáják szükséges eltétele, hogy áltláos tgj (zz összeddóik sorozt) ullához trtso, zz: S S < h. Az állítás bizoyítás gyo egyszerű. H sor koverges, zz S, kkor
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek ( S S ) S S lim lim (h sor koverges külöbség htárértéke egyelő kisebbítedő és kivodó htárértékéek külöbségével) lim S lim S S S Ezzel bizoyítást elvégeztük. Figyeljük meg: eltétel szükséges, de em elégséges, zz h sor koverges, kkor z áltláos tg ullához trt, de ez z állítás ordítv em midig igz. H ugyis z áltláos tg ullához trt, z em jeleti mide esetbe zt, hogy sor koverges! Péld. A eti állítást hrmoikus sor:...... példájá muttjuk mjd meg, mégpedig több kritérium lpjá...4 A sorok kovergeciáják szükséges és elégséges eltétele ( Cuchy kritérium lpjá) Az...... sor, mely részösszegeiek sorozt{ S } kkor és csk kkor koverges, h ( ε > )( )( > )( p N ),... ε ε ε p <. Az dott eltételből tehát következik sor kovergeciáj, kovergeciából pedig következik eltétel. A eltétel zt jeleti, hogy bármely megdott, ullához közeli ε pozitív számr tlálhtó oly ε küszöbide, melytől kezdődőe sor kárháy tgják összege ε -tól kisebb lesz. 4
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek A kritérium szoros kpcsoltb áll soroztok kovergeciájár votkozó szükséges és elégséges Cuchy kritériumml, hisze sor kovergeciáj részösszegek sorozták kovergeciájávl egyeértékű. Legye { } S z...... sor részösszegeiek sorozt. A soroztok kovergeciájár votkozó szükséges és elégséges Cuchy kritérium lpjá: ( ε > )( )( > )( p N ), S S ε ε ε p <, mi zt jeleti, hogy S p S... p < ε, eltételbe dott ε, ε és p értékekre. Péld. Az...... hrmoikus sor áltláos tgj ullához trt:, h. A sor mégsem koverges, mert Cuchy kritérium eltételei lpjá elírhtjuk: S p S...... p p. A sor tgji pozitívk, eltétel pedig mide p-re igz, igz tehát p esetébe is. A eti kiejezésbe ezt behelyettesítve:...... p vgyis tetszőleges számú tg összege em lesz tetszőlegese kis szám, hem lulról (leglább) z korlátozz. Cuchy kritérium eltételeiek tehát sor em tesz eleget, és tekitettel rr, hogy ez szükséges és elégséges eltétele kovergeciák, kovergeci sem áll e...5 Sorok korlátosság Az sor korlátos, h részösszegeiek sorozt, zz { } S korlátos. 5
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek H z sor koverges, kkor korlátos. Megjegyzés. A eti állítás ordítottj em midig igz, zz korlátos sor em midig koverges. Példkét újr ( )... sort említhetjük, hisze, h k S, tehát h k S, tehát { } S korlátos, de lim S em létezik, tehát ( )... sor em koverges...6 Pozitív tgú sorok kovergeciáj H z sor tgji em egtívk (pozitívk vgy esetleg v közöttük értékűek), zz,( N ), kkor sorr zt modjuk, hogy pozitív tgú. Mide korább leírt, sorokr áltláb votkozó állítás pozitív tgú sorokr is igz, de eze elül további állításokt is bizoyíthtuk, h tudjuk, hogy sor tgjir igz, hogy. A pozitív tgú sorozt korlátos. sor kkor és csk kkor koverges, h részösszegeiek Az állítás bizoyítás egyszerű, hisze h sor tgji pozitívk, kkor részösszegek { S } sorozt mooto övekvő, és soroztokr votkozó megelelő tétel lpjá h korlátos is, kkor koverges. Rövide: ({ } S, zz mooto övekszik, h ) ( { } S korlátos, ( S < K < )) ( lim S S létezik, zz sor koverges). A sorok kovergeciáják kivizsgálásár gykorltisbb kritériumokt lklmzuk, melyekek bizoyítás z eddig elsorolt állításoko lpul. 6
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek..7 Pozitív tgú számsorok kovergeci-kritériumi ( kovergeci elégséges eltételei)..7. Mjorás és miorás kritérium Legyeek dottk z u u u... u... u és v v v... v... v pozitív tgú sorok, és legye részösszegeikek sorozt redre: S u u... u Iés T v v... v. Legye továbbá u i < v i, mide i,, idere. Mjorás kritérium: H v sor kovergál, kkor z u sor is kovergál. Ez zt jeleti, hogy h gyobb sor kovergál, kkor v első korlátj ( T T T K ), és K egybe kisebb sor első korlátj is, hisze < u < tehát S T ( K ), i v i <. A részösszegek sorozt mooto övekvő, mert sor < pozitív összeddókból áll, továbbá elülről korlátos, tehát midkét sor koverges. Miorás kritérium. H z u sor diverges, kkor v sor is diverges. Ez zt jeleti, hogy h kisebb sor divergál, kkor gyobb sor is divergál...7. Gyökkritérium Legye u pozitív tgú sor, és legye <q< vlós szám. H bizoyíthtó, hogy: - létezik oly q melyre sor mide u tgják -dik gyöke z q küszöbideétől kezdődőe kisebb, mit q, (és ezáltl kisebb mit ), vgy 7
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek - h lim u q < mit ), (zz z u sorozt legkisebb első korlátj kisebb kkor z u sor koverges. Az állítást következőképpe bizoyíthtjuk: Korábbi példából tudjuk, hogy z q mérti sor, melyek q szorzój kisebb mit, koverges ( vizsgált esetbe legye q >, hisze pozitív tgú sorokt vizsgáluk). Egyébkét mérti sor diverges. A gyökkritérium eltételei szerit: q u q q u u q u u q q q q u q q q q q... q q q u q ( q q...)... q q q q q q... Az egymást követő tgok összegét tehát egy mérti sorrl hsolítjuk össze. A mérti sor elülről htárolj z u sort, és kkor koverges, h q <, így mjorás kritérium lpjá h q <, kkor kisebb u sor is kovergál. Hsoló eljárássl megvizsgálhtjuk z u q kpcsoltból eredőe, hogy mi törtéik h q>. Az összehsolító mérti sor most lulról htárolj mjd z u sort, és lévé q>, mérti sor diverges. Eek következméyeképpe tőle gyobb u sor is diverges miorás kritérium lpjá. 8
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek H q, bizoyítási eljárás em értékelhető, ezért más kritériumot kell lklmzi. Foglljuk tehát össze gyökkritérium léyegét: < sor koverges lim u q olymodjuk más kritériumhoz. > sor divergál..7. D Alembert 4 háydos kritérium Legye u pozitív tgú sor, és legye <q< vlós szám. H bizoyíthtó, hogy: - létezik oly q melyre sor mide u dik és u dik tgják háydos z q küszöbideétől kezdődőe kisebb, mit q, (és ezáltl kisebb mit ), vgy u - h lim q < (zz z u mit ), kkor z u sor koverges. Az állítást így bizoyíthtjuk: u q u q q u q... u u u q q u u u q u q q q q q q q... u q q u sorozt legkisebb első korlátj kisebb u ( q q...) u q q q Az egymást követő tgok összegét z u sorb tehát egy mérti sorrl elülről htároljuk, és mértei sor kkor koverges, h q <, így mjorás kritérium 4 D Alembert, Je Le Rod (76-78) rcuski mtemtičr iizičr. 9
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek lpjá h q <, kkor tőle kisebb u sor is kovergál. Hsoló eljárássl megvizsgálhtjuk z u q kpcsoltból eredőe, hogy mi törtéik h q>. Az u összehsolító mérti sor most lulról htárolj mjd z u sort, és lévé q>, mérti sor diverges. Eek következméyeképpe tőle gyobb u sor is diverges miorás kritérium lpjá. H q, bizoyítási eljárás em értékelhető, ezért más kritériumot kell lklmzi. Foglljuk tehát össze gyökkritérium léyegét: < sor koverges u lim q olymodjuk más kritériumhoz. u > sor divergál..7.4 Bólyi Frks 5 - Rbe 6 kritérium A kritérium elsősorb kkor hszos, h gyökkritérium és háydos kritérium lklmzáskor em jártuk eredméyel (mert q volt). A kritérium potosbb becslést d sor tgjik viszoyávl kpcsoltb. Legye u pozitív tgú sor, és legye <q< vlós szám. H bizoyíthtó, hogy: 5 Bólyi Frks, 775. ebruár 9-é született Bolyá. Új eljárássl htározt meg éháy egyelet közelítő gyökét, s kovergecikritériumot állított el később Rbe-ről elevezett pozitív tgú végtele sorokr. Mrosvásárhelye huyt el 856. ovember -á. 6 Joseph Ludwig Rbe (8-859), svájci mtemtikus
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek - létezik oly q melyre sor bármely két egymást követő tgjár, z R küszöbidetől kezdődőe u R u, és R >, vgy u - h lim R > u korlátj gyobb mit ), kkor z u sor koverges. (zz z u sorozt leggyobb lsó u u H kritérium eltételei mellett zt kpjuk, hogy lim R <, kkor z u u sor diverges. H R, bizoyítási eljárás em értékelhető, ezért más kritériumot kell lklmzi...7.5 Chuchy itegrálkritérium H z lim ( ) d improprius itegrál kovergál, kkor kovergál ( ) is. H z lim ( ) d improprius itegrál divergál, kkor divergál ( ) b Az ( ) sor sor is. d htározott itegrál eredméye, deiíció szerit, egyelő k területek mérőszámávl, melyet z () üggvéy grikoj htárol z [,b] itervllum elett. Az ( ) lim d improprius itegrálr is ez votkozik. H közelítő számítási módszerrel számíták kérdéses területet, kkor k mérőszámát közelítőe kiszámíthták oly tégllpok területeiek z összegével, melyekek z O tegelye ekvő lpj (és csúcsok z egész
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek számokt jelülő potokb ekszeek), mgsság pedig () (hogy zt z ábr is muttj), zz ( ) d lim ( ) lim. i H lim ( ) ( ) ( ) sort úgy értelmezzük, mit z ( ) i i i áltláos tgú sort, kkor egyértelmű, hogy ( ) kovergeciáj és z ( ) kovergeciáj egyeértékű. lim d improprius itegrál () 4 Példák. Vizsgáljuk ki z itegrálkritérium segítségével sor kovergeciáját α ( α R ). Az sor α α áltláos tgják z ( ) α üggvéy eleltethető meg. A kovergeciát következő (improprius) itegrál kovergeciáják segítségével állpíthtjuk meg: α α α ( ) α d d ( ) α α α megelelő improprius itegrált elírv: α α, illetve
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek lim lim α α α ( ) d lim ( ) α diverges, h koverges, h α, α >.. Koverges-e sor? Első lépéskét midig vizsgáljuk ki, eleget tesz-e sor kovergeci szükséges eltételéek (zz ullához trt-e z áltláos tgok sorozt), mert h em teljesül ez eltétel, kkor sor biztos em koverges, és további vizsgáltoktól eltekithetük. lim lim lim kovergál, diverges. ( ) / ( ) / lim, sor tehát em. H sor áltláos tgj egy kiejezés -dik htváy, mideképpe próbálkozzuk gyökkritériumml, mert áltláb eredméyhez vezet. Koverges-e sor? A sor áltláos tgjik sorozt ullához trt: lim lim, tehát kovergeci szükséges eltételéek sor eleget tesz. Lássuk, eleget tesz vlmelyik elegedő eltételek is, például gyökkritériumk: lim lim lim lim <, Az sor tehát koverges.
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek 4. H sor áltláos tgj rcioális törtkiejezés, kkor leggykrbb háydos-kritérium vezet eredméyhez. ( ) ( ) Koverges-e z sor?.! A sor áltláos tgjik sorozt ullához trt: lim lim ( ) ( )( )( ) lim ( )! ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 5 )... lim ( ) 5... 5... tehát kovergeci szükséges eltételéek sor eleget tesz. Lássuk, eleget tesz vlmelyik elegedő eltételek is, például háydos-kritériumk: lim lim lim Az ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! ( ) (! ) ( )! ( )! lim ( ) ( )! lim <. lim sor tehát koverges. ( ) (! ) ( )! ( ) (! ) (! )( ) 5. H sor kovergeciáják vizsgáltkor em vezet eredméyre háydos- vgy gyökkritérium, kkor próbálkozzuk Rbe kritériumml. Tegyük ezt ( )! ( )( ) ( )... sor esetébe is, hol >, R. A sor áltláos tgjik sorozt ullához trt. (Bizoyíts ezt z olvsó öálló!) Próbálkozzuk háydos- vgy gyökkritériumml! A számított htárérték, tehát két kritérium em dott válszt kovergeci kérdésére. Alklmzzuk tehát Rbe kritériumot: 4
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek 5 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )...!...! lim lim ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim lim......!! lim Ebből következik, hogy: - h lim >, kkor sor koverges, - h lim <, kkor sor diverges, - h lim, kkor más kritériumot kell lklmzuk...8 Változó előjelű sorok Legye z áltláos tgj vlós szám: R. Előordul, hogy sor áltláos tgjik előjele változik. Péld:. A következő sor tgjik előjele változó, (de em váltkozik):... si... 4... si... 4 si 4 si si si si 5.9589 - -.7568.4.99.845. Írjuk el váltkozó előjelű hrmoikus sort! ( ) ( )...... 4
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek Bizoyítottuk, hogy pozitív tgokból álló sor diverges, ugykkor váltkozú előjelű sor szomszédos tgji gyjából semlegesítik egymást. Vjo ez vezethet váltkozó előjelű sor kovergeciájához? A válzst Leibiz-kritérium 7 dj meg. Legye z b ( ) b b b b b... váltkozó előjelű (lteráló) sor, hol 4 >, és melyet elírhtuk lkb is. ( )... 4 H z lábbi három eltétel midegyike teljesül:.,. váltkozó előjelű sorozt,. z sorozt mooto csökkeő, kkor sor koverges. A üggvéysorok mrdékák becslése szempotjából otos Leibiz kritérium egyik következméye, mely szerit h váltkozó előjelű sor koverges és sorösszeg A, kkor sorösszeg és z -ed redű részösszeg közötti külöbség kisebb sor következő tgjától: M A A SM M. Az oly sort, melyél tgok bszolút értékeiből meglkotott sor koverges, bszolút koverges sork evezzük. 7 Gottried Wilhelm Leibiz (646. július.76. ovember 4.), émet mtemtikus 6
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek H váltkozó előjelű sor bszolút koverges, kkor mg is koverges, hisze eleget tesz Leibicz eltételekek: tgjik bszolút értékéből lkotott sorozt mooto csökkeő, áltláos tgj ullához trt, és tgji váltkozó előjelűek. A ordított állítás em igz, hisze em mide koverges, váltkozó előjelű sor koverges: H sor bszolút koverges koverges megelelő váltkozó előjelű sor is. H sor koverges, bból em következik sor bszolút kovergeciáj. Péld erre hrmoikus sor:..., 4 melyről bizoyítottuk, hogy diverges. A váltkozó előjelű hrmoikus sor: ( )... 4 viszot koverges, mert z áltláos tgjiból lkotott sorozt ullához trt, tgok bszolút értékéből lkotott,,,,...,,,,... sorozt 4 4 mooto csökkeő. A váltkozó előjelű hrmoikus sor tehát koverges Leibiz kritérium lpjá, de e bszolút koverges, mert z bszolút (pozitív) tgokból álló sorról korább bizoyítottuk, hogy diverges. 7
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek. A üggvéysor Legye dott z { ( ) } sorozt ( N), mely külöböző, -től üggő üggvéyek sorozt. Ilye például z { } { e, e, e,...} { } {,,,...} üggvéysorozt. e, vgy z H z változó helyére üggvéyek értelmezési trtomáyából vló értéket helyettesítük, kkor egy számsoroztot kpuk, melyek tuljdoságit hsolóképpe vizsgálhtjuk, mit számsoroztokét. H elírjuk egy végtele üggvéysorozt elemeiek összegét, kkor üggvéysort kpuk, melyet ( ) ( ) ( ) ( )... módo jelölük. H z i ( ) üggvéytgokb üggvéyek értelmezési trtomáyából vló értéket helyettesítjük, kkor ( ) ( ) ( ) ( )... számsort kpjuk, és tuljdoságit hsolóképpe vizsgálhtjuk, mit számsorokét. H z ( ) ( ) ( )... ( ) számsor koverges, kkor z potot z üggvéysor kovergeci-potják evezzük. A üggvéysor összes kovergeci-potjik hlmzát kovergeci-trtomáyk, z így deiiált kovergeciát pedig potokéti kovergeciák evezzük. 8
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek Péld. Legye ( ) 4... Adott -re sor em más, mit egy mérti sor, melyek szorzój, és kkor koverges, mit tudjuk, h <. Az sork tehát mide oly pot kovergeci-potj, mely (,) itervllumból vló, kovergecitrtomáy tehát D(,). H z ( ) üggvéysorr kovergeci-trtomáy egy potjáb igz, hogy z ( ) sor koverges, kkor zt modjuk, hogy ( ) bszolút koverges. (Az bszolút kovergeciából itt is következeik kovergeci, természetese potokéti)... Függvéysorok egyeletes kovergeciáj Ugycsk z ( )... üggvéysor példájából láthtjuk, hogy üggvéysor összegét z változótól üggetleül is meghtározhtjuk, hisze ebbe példáb: 4 ( )..., mit mide más mérti sor esetébe is, természetese h < <. Megállpíthtjuk, hogy létezik oly ( ) 4 üggvéy,melyek értékei kovergeci-potokb egyelők z... üggvéysor, illetve sorösszeg értékeivel, és kovergeci-trtomáy potjib z 4 9
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek s ( ) i ( ) ( ) s. i részösszegek sorozt z ( ) értékekhez trt, vgyis Modhtjuk zt is, hogy ebbe trtomáyb üggvéysork ( ) htárüggvéye (zz htárértéke ). H számsorok értelmezéséből iduluk ki, kkor áltláosságb zt modhtjuk, hogy h egy ( ) ( ) ( ) ( )... üggvéysor D kovergeci- trtomáyáb trtozó potokr üggvéysor s ( ) i( ) ( ) ( )... ( ) i és z ( ) értékek elé trt, kkor részösszegeiek sorozt koverges, üggvéysor potokét kovergál. z ( ) ( ) ( ) ( )... z ( ) üggvéyhez kovergeci-trtomáyo belül, másrészt h. teljesül z eltétel, mely szerit bármely ε kicsi számr létezik oly ε küszöbide, melytől kezdődőe ( ) s ( ) < ε, ( D), üggvéysor egyeletese kkor z ( ) ( ) ( ) ( )... kovergál z ( ) üggvéyhez. Hogy egyszerűsítsük jelölést, ilyekor írhtjuk zt is, hogy ( ) ( ). Az ( ) s ( ) < ε eltételt tovább vizsgálv, következőket állpíthtjuk meg:
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek - h egyre kisebb ε értéket vizsgáluk, és egyre gyobb lesz küszöbide ( ε ) kkor ( ) s ( ) < ε ( ) ( ) < ε, és z potb számított ( ) illeszkedek z ( ) üggvéy grikojár. üggvéysor-értékek gykorltilg - h eek következtébe igyelme kívül hgyjuk z ( ) és ( ) közötti elhygolhtó külöbséget, kkor ( ) s( ) i( ) i( ) i( ) R( ) < ε i i i R ( ) zz sormrdék is elhygolhtó kicsi (ullához közelít)., Megjegyzés. A üggvéysor egyeletes kovergeciájából következik potokéti kovergeci kovergeci-trtomáyb, de z állítás ordítottj em mide esetbe igz. H ugyis kovergeci-trtomáy potjib üggvéysor (potokét) kovergál, z még em jeleti zt, hogy ezek potok illeszkedek egy oly üggvéyre, melyhez üggvéysor egyeletese kovergál. Az egyeletes kovergeci kivizsgálás deiíció lpjá törtéhet, vgy lklmzhtó Weierstrss 8 -éle elégséges eltétel. A eltétel szerit, h z bszolút üggvéysort elülről behtárolhtjuk egy koverges umerikus sorrl, kkor üggvéysor egyeletese koverges. H tehát z ( ) üggvéysorhoz létezik oly koverges b umerikus sor, melyre ( ) < b, (,,,... ) mide -re D kovergeci- 8 Krl Theodor Wilhelm Weierstrss (85. október. - 897. ebruár 9.) émet mtemtikus, moder üggvéyelmélet egyik meglpozój.
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek trtomáyból, kkor z ( ) D trtomáyb. si( ) Péld. A üggvéysor egyeletese és bszolút koverges sor egyeletese koverges, mert tgjik bszolút értéke elülről behtárolhtó egy koverges umerikus sor tgjivl: si ( ) <, és sor koverges. Az egyeletese koverges üggvéysorok két otos tuljdoságából vezethetők le műszki lklmzásokb gykr szereplő Tylor és Fouriér üggvéysorok. Ezek tuljdoságok tgokéti diereciálhtóság és itegrálhtóság. H z ( ) üggvéysor egyeletese koverges D [, b] és z ( ) üggvéyhez kovergál, kkor trtomáyb, b b b ( ) d ( ) d ( ) d, zz sor tgji tgokét itegrálv és összegezve is z ( ) eredméyezik. b d itegrált H ( ) ( ) z D, D [, b] trtomáyb, zz : - z ( ) potokét kovergál z ( ) értékekhez, továbbá
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek - z ( ) g( ) kovergeci D trtomáyb egyeletes kovergeci (zz z eredeti ( ) üggvéysor tgji tgokét deriválhtó és z így kpott üggvéysor egyeletese kovergál g ( ) üggvéyhez), kkor z ( ) üggvéy is deriválhtó, és igz z ( ) g( ) egyelőség. Ez utóbbi egyelőség zt jeleti, hogy z dott eltételek mellett, h ( ) ( ), kkor ( ) ( ) deriválv és összegezve htárüggvéy deriváltját kpjuk., zz üggvéysor tgjit tgokét.. Htváysorok A üggvéysorok otos osztályát képezik z ( ) ( ) lkú sorok, melyeket z pot körüli htváysork evezük ( R vlós együtthtó). A htváysor kovergeciáják megállpításár z potb hszálhtjuk bármely umerikus sorokr votkozó kovergeci-kritériumot. Vizsgáljuk bszolút kovergeciát, hisze h ezt bizoyítottuk, kovergeci is eáll. Vizsgáljuk meg például háydos-kritériumml, mely helyettesítési értékekre lesz htváysorból yert umerikus sor koverges. A eltétel lpjá: lim ( ) ( ) < kell legye. Ebből következik, hogy:
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim lim < lim < <. lim Jelöljük z lim kiejezést R-rel, hisze h elrjzoljuk zokk z változókk z itervllumot, melyekre kovergeci eltételei teljesülek, kkor levezetés lpjá láthtjuk, hogy < R < R < < R R < < R, zz R lim tekithető kovergeci sugrák (mit hogy zt z ábr is muttj). X -R X X R X -R X X R H gyök-kritériumml számoluk, kkor eltétel lpjá: ( ) lim < kell legye. Ebből következik, hogy: ( ) lim ( ) lim lim < lim < <, lim 4
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek és kovergeci sugr: R lim. A kovergeci-trtomáy tehát z köryezetéek tekithető. pot ( R R), yitott, szimmetrikus Bizoyíthtó, hogy htváysorok kovergeci-trtomáyb egyeletese kovergesek. Az egyeletes kovergeciár votkozó tételek lpjá szükségük lehet zárt kovergeci-trtomáyr, ezért gykr külö megvizsgáljuk yitott köryezet R, R végpotjib kovergeciát, hogy kiderüljö, biztosíthtó-e z egyeletes kovergeci z [ R R], zárt itervllumb is. H végpotokb kovergeci em bizoyíthtó, kkor is eáll z egyeletes kovergeci mide [ b] ( R R), itervllumr., H R, kkor kovergeci csk egyetle potb (z potb) igz. H R, kkor kovergeci teljes vlós számhlmzo igz. Péld.. Htározzuk meg következő sor kovergeci-trtomáyát! ( ) ( ). A megoldás: lim ( ) < lim ( ) lim < < < 5 < < < < < <, kovergeci 5 sugr, yitott kovergeci-trtomáy,. 5
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek 6 Vizsgáljuk ki kovergeciát végpotokb! ( ) ( ) A sor áltláos tgják bszolút értéke (így tg sem) trt ullához: ( ), e lim lim lim lim ezért h sor diverges. Hsolóképpe bizoyíthtó divergeci trtomáy másik végpotjáb, 5 -b. Ezért z egyeletes kovergeci csk z 5, itervllum zárt részhlmzá igz.. Htározzuk meg következő sor kovergeci-trtomáyák sugrát. A példáb, zz sort pot köryezetébe vizsgáljuk. lim < lim < lim < < lim < R
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek 7.4 Tylor sor 9 Az ( ) ( ) htváysor poliom üggvéyek is tekithető, és mit ilye kárháyszor deriválhtó. A kovergeci-trtomáyá belül egyeletese koverges, vgyis létezik oly ( ) üggvéy, melyre ( ) ( ) ( ). Midezt igyelembe véve megállpíthtjuk, hogy htváysor kovergecitrtomáy egy zárt D részitervllumáb eleget tesz z egyeletese koverges sor tgokéti deriválásár votkozó tétel eltételeiek, tehát h D : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4... ( ) ( ) ( ) ( )... 4 Helyettesítsük következőképpe: : ( ). Az ( ) ( ) ( )... 4 összegbe továbbr is eállk tgokéti deriválhtóság eltételei, és h létezek z ( ) üggvéyek mgsbb redű deriváltji, kkor: 9 Tylor, Brook, (685 7) Agol mtemtikus, mukásságát z lízisbe ejtette ki. 75-be írt mukájáb szerepelek ról elevezett Tylor-sorok.
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek ( ( ) ( ) 4 ( )...) ( ( ) ) ( ) 4 ( ) ( )... Helyettesítsük következőképpe: : ( ) ( ). A következő lépésbe: ( ( ) 4 ( )...) ( ( ) ) ( ) ( ) 4..., és h, ( ) ( ) ( ).! Az egymást követő lépésekbe megigyelhető következő szbály ( helyessége idukcióvl bizoyíthtó): ( ) ( )!,,,,,... Kiszámítottuk tehát z dott eltételek mellett ( ) ( ) htváysor együtthtóit, és elmodhtjuk, hogy h D, kkor ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )... ( )...!!! z ( ) üggvéyt tehát sorb ejtettük ( ) htváyi szerit (vgy, 8
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek köryezetébe), ( ) htváysort Tylor sork evezzük. derivált-üggvéyei segítségével. Az ilye lkú H sorb ejtést csk z -dik htváyig végezzük, kkor ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( )... ( ) R 444444444444!! 444444444444! T ( ) ( ) T ( ) R ( ) ( ) hol z R ( ) sormrdékot z potb korábbikb umerikus sorok mrdékár dott becslés lpjá így számíthtjuk: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! R. H, kkor Tylor sor ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )!!...!... lkú, és Mcluri sor eve. Péld. A leggykrbb lklmzott Mcluri sort z ( ) sorbejtésével kpjuk. Tudjuk, hogy. Lássuk z együtthtókt: ( ) e ( ) ( e ) e e üggvéy Coli Mcluri (698. ebruár 746. júius 4.), skót mtemtikus 9
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek ( ) ( e ) e! ( ) ( ) ( ) ( ) e e! e ()! ( ) ( ) ( ) ( )!... e......!!!!... Rjzoljuk el T ( ), T ( ) (Mcluri) poliomokt!! közelítő Tylor!! Megigyelhetjük, hogy kiejtés potják szűkebb köryezetébe (itt z potb) közelítő Tylor poliomok jobb símulk z eredeti ( ) e üggvéyhez, mit kiejtési pottól távolbb eső potokb. Azt is megigyelhetjük, hogy mgsbb htváyokú Tylor poliomok jobb közelítik z ( ) e üggvéyt, mi érthető is, hisze htváy (illetve ) övekedésével csökke sormrdék, zz z ( ) T ( ) e T R ( ) külöbség egyre kisebb lesz. 4
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek 4
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek.5 Fourier sor A Fourier sor műszki lklmzásokb gykr előorduló, szkdásos vgy lépcsős periodikus üggvéyeket közelíti egy olytoos ugycsk periodikus üggvéyel. A periodikus tuljdoságot Fourier sor két típusú, egymástól lieáris üggetle, összeddó-sorozt biztosítj: sziuszos és kosziuszos tgok sorozt. Ezek lieáris kombiációjávl leírhtók más periodikus üggvéyek. Hsoló jeleséggel tlálkozuk vektorterek esetébe, hol két lieáris üggetle (áltláb merőleges, ortogoális i r és r j ) vektor lieáris kombiációjávl djuk r r r meg kétdimeziós vektortér összes többi vektorát: v i bj. A vektorokt tehát lieáris üggetle vektorok ( tér bázisvektori) és zok (skláris) együtthtói htározzák meg. H periodikus üggvéyek terét vizsgáljuk, kkor várhtó meghtározhtók zok eltételek, melyek mellett egy periodikus üggvéyt elírhtuk sziusz és kosziusz bázis-üggvéyek lieáris kombiációjkét. A bázisüggvéyek tuljdoságit z ortogoális üggvéyek elmélete írj le..5. Ortogoális üggvéyek és üggvéy sorok A legismertebb ortogoális üggvéy redszer z u. trigoometrikus redszer:, cos, si, cos, si, cos, si,...,cos, si,... A periódus lpitervllum bármely hosszúságú itervllum lehet, például (-,) vgy (, ), tekitettel üggvéyek hosszúságú periódusár. Ortogoálisk evezzük üggvéy-redszert kkor, h tetszés szeriti két elemét összeszorozv és ezt szorzt üggvéyt egy hosszúságú itervllumo itegrálv ullát kpuk eredméyül. Legye üggvéyredszer két eleme: Je Bptiste Joseph Fourier (768 8), rci mtemtikus és izikus. 4
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek ϕ ϕ d ϕ ϕ d ϕ ϕ d, m m ϕ és ϕ m m h m Az ortogolitás (merőlegesség) lógiát mutt merőleges vektorok skláris szorztávl. A két em ull vektor szorzt kkor és csk kkor ull, h zok merőlegesek. H ϕ ortogoális redszer, kkor elemeiek vlmely kosts együtthtós lieáris kombiációját ortogoális sork evezzük. C ϕ ϕ... C m Az egyszerű trigoometrikus redszer zob em ormált (mi vektorokál z egységyi hosszúságot jeleti), mert: d, cos d si d, A megelelő ormált redszer:,,... cos si cos si cos si cos si,,,,,,,...,,....5. A Fourier sor trigoometrikus lkj Fourier bizoyított, hogy mide (t) (t ± T) periodikus üggvéy előállíthtó T-hez trtozó T rekveci (vgy z ω körrekveci) úgyevezett lp- T hrmoikus, egész-számú többszöröseiek lieáris kombiációjkét (szuperpozíciójkét). Az ilye módo törtéő üggvéy-előállítást Fourier sork evezzük. ( t) b siωt b cosω t k cos ωt si ωt b cos ωt... si ωt... ( cos kω t b si kωt ). k k 4
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek Hogy kpcsolódik midez hhoz, mit eddig üggvéysorokról megtultuk? H eltételezzük, hogy eti egyelőségbe sor és z ( ) üggvéy eleget tesz sor tgokéti itegrálásához kpcsolódó tétel eltételeiek, kkor bizoyos itegrálásokkl eljuthtuk eti szuperpozíciós kiejtés együtthtóihoz. Az dott üggvéyre eltételek következők: H z ( cos k b si k). k ( ) k koverges [, b] [, ] k k k üggvéysor egyeletese D trtomáyb (mi most szükséges eltételkét egy periódus hosszúságú), és z ( ) üggvéyhez kovergál, zz ( ) ( cos k b k) k k k si kkor ( ) d k( ) d d k( ) k k d, zz sor tgji tgokét itegrálv és összegezve is z ( ) eredméyezik. d itegrált Tegyük el, hogy eltételek teljesülek, és olytssuk számítást: ( ) d k ( ) ( k cos k bk si k) d d ( k cos k bk si k) k d k k d cos kd b k k si kd k d A eti kiejezésbe: 44
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek ( ) d cos k cos kd k k ( si k si k( )) (mert si k mide k egész számr). cos k si kd k k ( kosziusz üggvéy párosság mitt) k ( cos k cos k( )) ( cos k cos k( )) Ebből következik, hogy ( ) d d k cos kd bk si kd k ( ) d Számítsuk ki olyttásb z k és b k együtthtókt! Szorozzuk meg z ( ) ( cos k b k) k k k si egyelőséget ( cos ) -szel! ( ) cos cos ( cos k cos b si k ) k k k cos és, tekitettel rr, hogy tgokéti itegrálás eltételi még midig eállk, itegráljuk z egyelet midkét oldlát teljes perióduso!, 45
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek ( ) cos d cos d k cos k cos d bk si k cos d k Az előző levezetésbe láttuk, hogy cos d ` Trigoometrikus egyelőségek lpjá: cos k cos ( cos( k ) cos( k ) ) ( cos( k ) cos( k ) ) cos cos( ) cos ( k ) cos( k ) h h k k si k cos ( si( k ) si( k ) ) ( si( k ) si( k ) ) si si( ) si ( k ) si( k ) h h k k Legye kp, k-q, és p,q Z, zz egész szám. Helyettesítés utá, z itegráláskor cos ( k ) cos p, cos ( k ) cos q cos ( ), si ( k ), si ( k ), si ( ),, üggvéyek itegrálj, éppúgy, mit z előző lépésbe, ullávl lesz egyelő teljes periódus elett. Csk z tg lesz éremlegese tárgylhtó k ( cos( k ) cos( k ) ) d bk ( si( k ) si( k ) ) k d összegbe, hol k. Azz, h például z 5. együtthtót keressük, kkor cos5szel szorzuk, és helyettesítés utá csk z 5. együtthtó melletti kiejezés kerül itegrálásr. Az összes többi összeddó üggvéy itegrálj ull lesz. 46
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek Tehát: ( ) cos d ( cos cos ) d b ( si ) cos d 44 4 ( ) cos d d b ( ) d si d 4 4 4 4 d ( ) cos d H z ( ) ( cos k b k) k k k si egyelőséget ( si ) -szel szorozzuk, kkor hsoló eljárássl zt kpjuk, hogy: b ( ) si d Foglljuk tehát össze: h z ( ) üggvéy periódusos, itegrálhtó teljes periódus elett, kkor létezik oly hozzá egyeletese kovergáló ( ) ( cos k b k) k k k si üggvéysor, melybe z együtthtók redre: ( ) d, k ( ) cos k d, b k ( ) si k d. 47
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek.5. Fourier sorok tuljdosági. Az együtthtókt meghtározhtjuk bármely [, t ] itegrálássl.. ) H z ( ) üggvéy páros (zz ( ) ( ) t itervllumo törtéő ), kkor ics szükség pártl kompoesre (hrmokusr), hogy üggvéyt sorb ejtsük. Ez zt jeleti, hogy páros ( ) üggvéy sorb ejtésébe csk páros kompoesek, zz kosziusz-kompoesek szerepelek: k ( ) ( k k) cos, mert ( ) si k d b k számítássl is elleőrizhetjük. együtthtó ull, b. Midezt k b) H z ( ) üggvéy pártl (zz ( ) ( ) ), kkor ics szükség páros kompoesre (hrmokusr), hogy üggvéyt sorb ejtsük. Ez zt jeleti, hogy pártl ( ) üggvéy sorb ejtésébe csk pártl kompoesek, zz sziusz-kompoesek szerepelek: k ( ) ( b k k) si, mert z ( ) cos k d k együtthtó ull,. k. H z ( ) üggvéy peridusos, de periódus em, kkor elvégezhetük változó egy oly trszormációt (átlkítást), mely utá kpott üggvéy z új trszormált változóvl már eleget tesz z eredeti Fourier sorb vló ejtés eltételeiek. A következőképpe járuk el: Legye z ( ) üggvéy periódusos, periódus hossz legye l, zz ( k l) ( ). 48
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek Vezessük be egy új változót: t, (z eredeti -re votkozó periódust l leosztottuk periódus hosszávl, l-lel, hogy egységyit kpjuk, mjd beszoroztuk -vel, hogy z újo bevezetett t változór votkozó periódus már eltételhez szükséges legye.) A sorb ejtés továbbr is z ( ) k k k cos bk si l l k egyelőség lpjá törtéik, de z együtthtók mgukb hordozzák változótrszormációt: l l l ( ) d b k k l l l l l l k l ( ) cos d k l ( ) si d. 4. Megigyelhetjük, hogy ( ) ( k k bk si k) ( k cos k bk si k) R( ) k k cos, zz z ( ) üggvéy közelítő elírásához elhszálhtuk véges sok összeddót is, de h csk z -dik tgig írjuk el z összeget, kkor számoluk kell z R ( ) sormrdékkl. Mideképpe megigyelhető itt is, mit Tylor sorál, hogy h több összeddóvl írjuk el üggvéy Fourier sorát, z jobb simul z eredeti üggvéyhez. ( ) ( k cos k bk si k) k 49
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek.5.4 Példák: Fourier sorok.péld, páros üggvéyre. Legye ( ) egy, z Oy tegelyre szimmetrikus impulzus üggvéy (zz páros): h < < < < h ± h ( ). h Rjzoljuk el üggvéyt! ( ) Az ( ) páros mert z ( ) ( ) együtthtóját kell kiszámíti:, így csk páros kosziusz kompoesek ( ) d d d d d Ebből: ( ) k ( ) cos d cos d cos d [ si ] h k, páros h k, pártl cos cos5 cos7 5 7 ( ) cos... 5
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek.péld, pártl üggvéyre. Legye: h ( ) h < <, és legye () ( ± k ). ( ) 4 Mivel üggvéy pártl, Fourier sor sziuszos tgokból og álli. Ezért: b ( ) si d si d 444 4 si d si d si d Az itegrálásál lklmzzuk prciális itegrálás szbályát. u si d dv cos du d v cos cos si d d 5
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek. cos b cos () si d si d d si [ ] Az itegrálásál lklmztuk prciális itegrálás szbályát. Azt írhtjuk tehát, hogy: si si si 4 si5 ( ) si... 4 5 k si k k Rjzoljuk el külöböző számú összeddóvl elírt Fourier sorokt és üggvéyt. 5
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek Közelítő számítások. Hibszámítás A gykorlti életbe gykr em tudjuk számításokb szereplő számok potos értékét elíri. Eek ok lehet például mérőműszerük előlátott pottlság, hol eleve dott, hogy mért dt milye hibszázlékkl vehető igyelembe. Egy másik lehetséges ok, hogy számítógépbe számértékek tárolásár csk véges regiszter-kpcitás áll redelkezésükre, így ull köryezetébe levő számokt és gy bszolút értékű pozitív vgy egtív számokt még lebegőpotos ábrázolási módb sem tárolhtjuk. A számítógépek számokt véges potossággl, áltláb lebegőpotos lkb tárolják. A véges potosság zt jeleti, hogy z ritmetiki műveletek eredméyekét kpott érték em egyezik meg művelet egzkt értelembe vett eredméyével, hem csk megközelíti zt. H egy számot közelítő értékével. -szel ábrázoluk, kkor eek z ábrázolásk z bszolút hibáj ( potos és közelítő érték eltérése) Az bszolút hib potos érték ismeretéek hiáyáb gykr csk becsülhető. Ilyekor midig első becslést duk (zz pesszimist módo lehető leggyobb hibát eltételezzük). Gykr modjuk, hogy z szám hibhtár, zz ± Az bszolút hib em jellemzi teljes mértékbe potos és közelítő érték közötti eltérést, hisze és 99, vlmit és 999999 között is z eltérés, mégis gyobb hibát érzékelük és 99 közötti eltérésbe. Ezért hib és potos (vgy közelítő érték) háydosávl megdhtjuk hib gyságredjét. Az közelítő érték reltív hibáj 5
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek δ Megjegyzés: H potos érték em áll redelkezésükre, kkor reltív hib kiszámíthtó δ képlettel is. Értékes és biztos számjegyek. A kerekítés hibáj A számítógépek vlós számokt véges potossággl, áltláb lebegőpotos lkb tárolják. A véges potosság zt jeleti, hogy z ritmetiki műveletek eredméyekét kpott érték em egyezik meg művelet potos eredméyével, hem csk megközelíti zt. H egy számítógép tízes számredszert hszálj, és számokt 8 tizedes jegy potossággl tárolj, kkor z / művelet eredméye. lesz, mi több mit * -9 -el tér el vlódi értéktől. Áltláb, h számot p-dik tizedes jegyére kerekítjük, kkor közelítő (kerekített) számérték és potos érték közötti külöbség legeljebb ele z utolsó meghgyott számjegy helyi értékéek, zz p.5. Péld. Legye például,6666...,, 67. Az utolsó meghgyott 6 számjegy helyi értéke.,6666...,67,5.5.. péld. Kerekítsük z, 999 számot két tizedes potosságr! A közelítő érték,,,999,,<,5 <.5. Az utolsó két számjegyet em hgyhtjuk el, hisze ezzel utluk rr, hogy milye potossággl ábrázoltuk z, 999 számot. Egy tízes számredszerbe elírt szám értékes jegyeiek evezzük zokt számjegyeket, melyek em ull értékűek, vlmit zokt ull számjegyeket, Emlékeztető: kerekítési szbályokt még z áltláos iskoláb megismertük. 54
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek melyek értékes jegyek között vk. Értékes z ull számjegy is, mely számb számjegysorozt végé szám potosságát ( biztos számjegyet) hivtott ábrázoli. Alpértelmezés szerit egy számérték utolsó kiírt számjegye szigiikás számjegy, zz biztos számjegy. Aritmetiki műveletek és üggvéyek hibáj (hibhtári) Az elemi ritmetiki műveleteket igyelembe véve megállpíthtó, hogy közelítő számok összegéek bszolút hibáj em hldj meg számok bszolút hibáik összegét, zz ( i ), i és közelítő számok külöbségéek bszolút hibáj em hldj meg két szám bszolút hibáik összegét, zz ( \ ). További elemi ritmetiki műveleteket vizsgálv, zt tpsztljuk, hogy közelítő számok szorzták reltív hibáj em hldj meg számok reltív hibáik összegét, két szám háydosák reltív hibáj em hldj meg számok reltív hibáik összegét, vlmit egy szám m-edik htváyák reltív hibáj szám reltív hibáj z m-edike. Az egyszerű lgebri üggvéyek közelítő hibhtárir közelítő változóértékek esetébe eti szbályok lpjá dhtuk becslést. Példáko muttuk be éháy egyszerű módszert. Péld. Legye dott z (, ) lgebri üggvéy, és legyeek dottk z és változóértékek közelítő értékei hibhtárikkl:,,5,,74, 5, zz, 5, ± ±,5 δ,44 <, tehát hibhtár százd, zz %., Hszálhtjuk következő jelölést is:..5.5..5.5. Hsolóképpe: 55
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek,5 δ,8 <, tehát hibhtár százd, zz %,,74.74.5.745.74.5.75. Lássuk, hogy beolyásolják változók hibhtári üggvéyérték hibhtárit! H potos értékkel számoluk:...74 (, ). 588 Megjegyzés: Tekitettel változók hibhtárir, elegedő égy tizedessel számoluk, hisze megdott változóértékek potosságától gyobb potosságot em érhetük el. H üggvéy első hibhtárát számítjuk, kkor változók pozitív értékére és üggvéy lkjár vló tekitettel kkor kpjuk leggyobb értéket, h számlálób változók lehető leggyobb, evezőbe pedig változók lehető legkisebb értékét helyettesítjük:.5.5.75 ( ) ( ),. 598 H üggvéy lsó hibhtárát számítjuk, kkor kpjuk üggvéy lehető legkisebb értékét, h számlálób változók lehető legkisebb, evezőbe pedig változók lehető leggyobb értékét helyettesítjük: ( ).5 (, ).589..5.745 A üggvéy bszolút hibáják tekithetjük üggvéy potos értéke és z lsó, illetve első hibhtár közötti eltérés közül gyobbt: m ( ) ( ) m (, ) (, ), (, ) (, ), (.588.589,.588.598 ) m(.44,.45). 45 (, ).45 <.5.5, 56
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek zz üggvéyértéket is két tizedes potosságúk tekithetjük, mit hogy változóértékek is zok voltk. A kerekítést erre tizedesre végezhetjük, és számolhtuk zzl, hogy üggvéy közelítő értéke.59. A reltív hib: (, ) (, ).45 δ (, ).76 <., tehát mrd %..588 Péld. Legye dott z ( ) log ( ) üggvéy. ) Mekkorák hibhtári z. ±, 5 itervllumo? b) Hogy számíthtó ki üggvéy értéke változó ismert bszolút hibáják segítségével z, potb? Megoldás: ) A üggvéy mooto övekvő, ezért z változóértékek áltl megdott itervllumo lehető legkisebb értéke z.,5. 995 potb lesz: ( ) log (,995 ), 9964, A lehető leggyobb értéke: ( ) log (,5 ), 6. A potos értéke: ( ) log ( ),. Abszolút hibáj: m ( ) ( ) m ( ) ( ), ( ) ( ) (..9964,..6 ). 6 Reltív hibáj:.6 ρ.8.. b) H üggvéy Tylor sorb törtéő ejtését vesszük igyelembe z pot köryezetébe, kkor 57
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek ( ) ( ) zz ( ) ( ) ( ) zz! ( ) ( ) R ( ) ( ) ( )( ) Számítsuk deriváltkt: ( ) ( ) l ( ) l ( ) ( ) l l 6 ( ) l ) ( ) l A szükséges helyettesítési értékek: ( ) ( ) log ( ) ( ) () ( ) ().. ( ) ( ).7 l l 6.67 l 4 l (.) ( ) ( )..7. 7 A hib kisebb z első elhgyott tgál, zz ( ) ( ) ( ) ( ).67 R ( ) < R <..8 <.5!! Az eredméyt két tizedes potossággl elogdhtjuk, (.). 7.. Iterpoláció Mérjük le egy üggvéyértéket t,..., t t időpilltokb. Eek lpjá, meyibe üggvéy mért időpotok közti időbe em viselkedik vártl módo, következtethetük mérések közötti időszkokb köztes üggvéyértékekre. Az iterpolációs módszer oly közelítő (umerikus) módszer, mely egy közelítő (áltláb poliom) üggvéy és z ismert () üggvéyértékek segítségével z ismert mérési potok közelébe kiszámítj z ismeretle üggvéyértékeket. 58
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek Legyeek dottk z,,,... R változóértékekre z ( ), ( ), ( ), ( ) R üggvéyértékek. Az ( i, ( i )), ( i,,...) potokt z iterpoláció potjik evezzük. Oly poliomot keresük, mely áthld z iterpoláció potji. Bizoyíthtó, hogy h z iterpoláció potji külöbözek, kkor létezik ilye -ed redű P ( ) poliom, melyre ( i ) ( i ) yi P. A Lgrge 4 -éle iterpolációs poliom tetszőleges potközökkel megdott,...,, változóértékekre és hozzájuk trtozó ( ) ( ) üggvéyértékekre L ( ) ( i) i k i k k i k, ( ), ( ) lkú, és kielégíti z L ( ) ( ) eltételt ( i,,...). Bármely [, ] potr bizoyíthtó ( ) ( ) ( ) ( ) i i L, és hibbecslés: ( )( ) ( ) (! )... L R <, hol ( ) ( ξ ) ( ) ( ξ) üggvéy ()-ed redű deriváltják lehető leggyobb értéke z [, ] itervllumo úgy, hogy {,,,... } ξ. Beláthtó, hogy h több megdott iterpolációs potuk v, kkor hib kisebb., Természetese Lgrge-éle poliomot kkor hszáljuk, h z () üggvéy litikus lkját em ismerjük, most mégis lássuk egy oly példát, hol üggvéy is ismert, hogy Lgrge poliom és üggvéy egymáshoz vló viszoyát bemutssuk. Péld. Legye dott z ( ) üggvéy (,), (,), (44,) iterpolációs potokb. Ábrázoljuk potokt, potokhoz redelhető L ( ) 4 Lgrge, Joseph-Luis, gró, eredeti olsz evé Giuseppe Luigi Lgrgi (szül. 76. juár 5., Torio megh. 8. április., Párizs). Olsz születésű rci mtemtikus. 59
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek másodredű poliomot és z ( ) üggvéyt. Számítsuk ki ezutá z ( ) poliom segítségével potos értékkel! Foglljuk tábláztb z iterpolációs potokt! i i ( i )y i 44 9 közelítő értékét. Hsolítsuk össze közelítő értéket Írjuk el z iterpolációs potoko áthldó L ( ) másodredű poliomot: L L ( ) ( i) i ( ) k i k i k ( )( ) ( )( ) ( )( 44) ( )( 44) ( )( 44) ( )( 44) - 66 77 66 k 66 6 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( 44) ( )( 44) ( )( 44) ( ) Az L ( ) poliom és z ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( 44 )( 44 ) ( )( ) 44 üggvéy gráj em csk z iterpolációs potokb esik egybe, hem hogy zt z ábr is muttj, z [,44] potokb is szite edi egymást. 6
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek.5 (,()).5 sqrt() és L().5 (,()) (9,sqrt(9)) (,()) 9.5 9 9 4 5 ( 9) 98 L, 9. 987, zz hibbecslés:. L ( 9) 9.98.987.4 <.5.5 tehát kpott közelítő eredméy három tizedes potossággl elogdhtó: 9.98., Péld. Adjuk meg egy üggvéyt égy iterpolációs potb. A égy pot lehetővé teszi számukr, hogy hrmdokú közelítő iterpolációs poliomot írjuk el. Adjuk meg poliom együtthtóit, és mutssuk meg, hogy lehet MATLAB csomgb iterpolációs poliomot megdi! i i ( i )y i 4 5 L ( ) ( i) i k i k i k k 6
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek 6 ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) 5 5 5 5 5 5 5 4 5 5 ( ) 69 8 L - 4 5 6-8 -6-4 - 4 6 L A MATLAB csomg z yp iterp(,,p,'módszer') prccsl számítj ki z () üggvéy értékét z p potb (zz yp(p)) iterpolciós öggvéy segítségével. Az iterpolációs potok z (,) potpárok ( változóértékek sorozt, üggvéyértékek sorozt, és ezeket prcsot megelőzőe MATLAB szbályok lpjá meg kell duk).. Algebri és trszcedes egyeletek megoldás
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek Azt z egyeletet, mely... lkú ( Q, N ), lgebri egyeletek evezzük. Mide oly ( ) egyeletet, mely em lgebri, trszcedes egyeletek evezük ( ( ) vlós üggvéy). Az... lkú egyeletek poliomokr votkozó szbályok lpjá kereshetjük megoldásit, és zok, ugycsk poliomok ide votkozó tuljdosági lpjá, vgy létezek, vgy em. Az ( ) trszcedes egyeletek megoldásár áltláb ics ilye egységese értelmezhető szbály. Vk oly egyeletek, hol z egyeletbe szereplő üggvéy iverzéek, ekvivles átlkításák vgy vizsgálták lpjá megoldhtó z egyelet, zz meghtározhtó z ( ) zérushelye, de ez em szbályszerű. A si e G( ), vgy z l F( ) egyeletek esetébe például ez em lehetséges. Nics oly litikus módszer, mellyel üggvéy értelmezési trtomáyából kiválszthtjuk zt z G ( ) vgy F ( ) potot, melyre. Létezek zob oly közelítő módszerek, melyekkel itertív eljárássl, grikus, vgy más módo eljutuk z potig. A grikus megoldási módok áltláb z egyeletekbe szereplő üggvéyek grikojik geometrii tuljdoságitól üggeek. A trszcedes egyeletek megoldásák loklizálás geometri értelmezés H z ( ) egyeletbe z ( ) üggvéyről megállpítjuk, hogy olytoos egy [, b] itervllumb, és ( ) ( b) <, kkor üggvéy z [, b] itervllumo belül előjelet vált, és szükségszerűe átmetszi z O tegelyt, zz lesz oly [, b] pot, melyre ( ). 6
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek Hogy vázolhtuk el egy összetett trszcedes üggvéyt? Áltláb ez boyolult eldt, de gykr tesszük meg zt, hogy z ( ) ekvivles 5 ( ) G( ) ábrázoljuk, hisze h ( ) F ( ) G( ) kkor egyelettel F egyeletbe szereplő F() illetve G() üggvéyeket ( ) ( ) G( ) F, zz hol z ( ) egyeletek megoldás v, ott z F() és G() üggvéyek értéke egyelő (grikojik metszik egymást). Vázltot hszálv is köye elkülöíthető egy oly [, b] itervllum, melyre igz, hogy [, b] ( ), és ( ) ( b) <. Bármelyik közelítő megoldó módszert is lklmzzuk z ( ) egyelet megoldásár, első lépéskét zérushely loklizálás mideképpe jálott., Péld. Loklizáljuk z e egyelet zérushelyét vgy zérushelyeit. Az ( ) e üggvéy olytoos és értelmezett R változóértékre, tehát h elkülöítük egy oly [, b] itervllumot, melyre igz, hogy ( ) ( b) <, kkor létezik oly [, b], melyre ( ) lesz. Válsszuk szét bloldli ( ) e üggvéyt két köye ábrázolhtó üggvéyre: e e, és vázoljuk el z F ( ) e és ( ) G üggvéyt. 5 Az ekvivleci itt is zt jeleti, mit áltláb z egyeletek esetébe: két egyelet kkor ekvivles, h megoldáshlmzuk egyelő. 64
Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek Az ábrá jól láthtó, hogy z z pot, melyre ( ) F ( ) ( ) G [.5,] itervllumb tlálhtó. Elleőrizzük z (.5) ( ) <, eltételt, vgyis zt, hogy [.5,] itervllum két végpotjáb külöböző előjelű-e üggvéy. (.5).85, ( ).78 (.5) ( ) <. Az () üggvéy [.5,] itervllumb olytoos, z itervllum végpotjib külöböző előjelű, tehát létezik zérushelye z [.5,] itervllumb. A következő lépésbe keressük oly módszert, mellyel ezt z zérushelyet potosbb behtároljuk, vgy kellő potossággl meghtározzuk. Most megtehetjük elleőrzésképpe, hisze mtemtiki progrmcsomggl ez egyszerű, hogy megrjzoljuk z ( ) e üggvéyt is. Láthtó, hogy zérushelye ott lesz, hol z F és G üggvéyek metszik egymást, zz hol ( ) G( ) F. 65