Érintő, trapéz, Simpson formulák és hibabecsléseik Összetett formulák (szabályok) l i. integrál közelítésére felírt c f. kvadratúra formula pontos f n

Hasonló dokumentumok
Függvénygörbe alatti terület a határozott integrál

Az érintőformula A Simpson formula Gauss-kvadratúrák Hiba utólagos becslése. Numerikus analízis

Numerikus módszerek 2.

16. Nemlineáris egyenletek megoldása I.

S ( ) függvényre. . Az 1), 3) feltételekbõl a feltételek száma : ( l + 1) n ( l 1)


Közelítő és szimbolikus számítások haladóknak. 9. előadás Numerikus integrálás, Gauss-kvadratúra

Matematika A1 vizsga elméleti kérdések

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

Lineáris egyenletrendszerek. Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

A Gauss elimináció M [ ]...

2. NUMERIKUS INTEGRÁLÁS

Házi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése

A + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C )

A Riemann-integrál intervallumon I.

Matematika A1a - Analízis elméleti kérdései

Függvények december 6. Határozza meg a következő határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. Megoldás: lim. 2. Feladat: lim.

Numerikus integrálás

A valós számok halmaza

2. ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET

Lineáris egyenletrendszerek

FELADATOK MÉRÉSELMÉLET tárgykörben. 1. Egy műszer osztálypontossága 2.5, a végkitérése 300 V. Mekkora a mérés abszolút hibája?

Gyakorló feladatok II.

Függvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim.

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!

Arányosság. törtszámot az a és a b szám arányának, egyszer en aránynak nevezzük.

Differenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer

( ) ( ) Motiváció: A derivált közelítésére gyakran használjuk a differencia hányadost: ( ) ( ) ( ) + +

7. Határozott integrál

Háromszög n egyenlő területű szakaszra osztása, számítással és szerkesztéssel. Bevezetés

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7.

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05

3-4.elıadás: Optimális választás; A fogyasztó kereslete

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l n 6n + 8

Házi feladatok megoldása. Automaták analízise, szintézise és minimalizálása. Házi feladatok megoldása. Házi feladatok megoldása

A primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be,

II. ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET

Házi feladatok megoldása. Veremautomaták. Házi feladatok megoldása. Házi feladatok megoldása. Formális nyelvek, 12. gyakorlat

Matematika I. 9. előadás

Takács M., Sorok elmélete és numerikus módszerek. Kedves Olvasó!

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika DETERMINÁNSOK. Bércesné Novák Ágnes 1

f (ξ i ) (x i x i 1 )

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés

Kényszereknek alávetett rendszerek

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

Formális nyelvek I/2.

2. Gauss elimináció. 2.1 Oldjuk meg Gauss-Jordan eliminációval a következő egyenletrendszert:

Numerikus integrálás. Szakdolgozat. Írta: Pásztor Nikolett Matematika BSc - matematikai elemz szakirány

1. Fejezet A sorozat fogalmának intuitív megközelítése

Improprius integrálás

NUMERIKUS MÓDSZEREK XII. GYAKORLAT. 12a Numerikus Integrálás: Simpson+Trapéz formulák. Alapötletek:

Exponenciális, logaritmikus függvények

2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok

IZOTÓPHÍGÍTÁSOS ANALÍZIS

1. Hibaszámítás Hibaforrások A gépi számok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

Improprius integrálás

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

Radioaktív nyomjelzés analitikai kémiai alkalmazásai

Alkalmazott matematika

2014. november Dr. Vincze Szilvia

Sűrűségmérés. 1. Szilárd test sűrűségének mérése

Ipari matematika 2. gyakorlófeladatok

TERMOELEKTROMOS HŰTŐELEMEK VIZSGÁLATA

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Lineáris programozás

n m dimenziós mátrix: egy n sorból és m oszlopból álló számtáblázat. n dimenziós (oszlop)vektor egy n sorból és 1 oszlopból álló mátrix.

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása

Analízis. Glashütter Andrea

Numerikus integrálás április 20.

ANALÍZIS III. TÉTELEK ÉS DEFINÍCIÓK

l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek

9. HAMILTON-FÉLE MECHANIKA

Laplace-transzformáció. Vajda István február 26.

Szoldatics József, Dunakeszi

A felhasznált térfogalmak: lineáris tér (vektortér), normált tér, Banach tér, euklideszi-tér, Hilbert tér. legjobban közelítõ elem, azaz v u

Környezetfüggetlen nyelvek

Andai Attila: november 13.

VII. Lineáris terek, lineáris algebra

( x) XI. fejezet. Határozott integrál, terület és térfogat számítás. Elméleti áttekintés. A határozott integrál definícióját ld. a jegyzetben.

2014/2015-ös tanév II. féléves tematika

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.

Numerikus integrálás április 18.

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

Matematika A2a - Vektorfüggvények elméleti kérdései

Hadronzápor hatáskeresztmetszetek nagy pontosságú számítása

I. HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS

N - edik gyökvonás. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

2010/2011 es tanév II. féléves tematika

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Minta feladatsor I. rész

A valós számok halmaza

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 11. évfolyam

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

Átírás:

Gykorlt (4 ápr 9) Nuerkus tegrálás Elélet: Iterpoláós típusú kvdrtúr orulák Newto-Cotes típusú kvdrtúr orulák Értő, trpéz, Spso orulák és heslések Összetett orulák (szályok) Legye :, IR, korlátos és w, IR kszáításához közelítsük hol,,,, : súlyüggvéy Az -et l külööző lppotok és Ekkor w w tegrál P terpoláós polojávl, Pw l z l w Lgrge-lppolo Deíó Az w típusúk evezzük, h tegrál közelítésére elírt lw,,, kvdrtúr orulát terpoláós Tétel A kvdrtúr orul potos -re lw,,, Látjuk, hogy kvdrtúr orulát z,, értékek htározzák eg Ezek válsztásától üggőe z lá típusú kvdrtúr orulákkl ogllkozuk, Newto-Cotes típusú kvdrtúr orulák: A w súlyüggvéy Az,,,, lppotok z tervllu ekvdszts osztópotj, zz h,,, hol h Nyíltk evezzük kvdrtúr orulát, h és e szerepel z osztópotok közt Jelölés: Ny(), h részre osztjuk z tervlluot Ekkor lppotj v Zártk evezzük kvdrtúr orulát, h és osztópot Jelölés: Z(), h részre osztjuk z tervlluot Ekkor lppotj v

Guss típusú kvdrtúr orulák: Az,,,, értékeket úgy djuk eg, hogy lehető leggs okszáú polookr potos legye orul Csesev típusú kvdrtúr orulák: Az,,, lppotokt úgy djuk eg, hogy kértékeléséhez keveseet kell száoluk,,, -re Így orul Newto-Cotes típusú orulák Értő orul ( Ny() ) Az tervlluot két részre osztjuk Mvel yílt orul, így egy lppotj lesz és l -et kosts terpoláós polojávl közelítjük kosts Lgrge-lppolo Tehát z értő orul d Tétel Legye C, és jelölje R E R l d d, hol z értő orul háját Ekkor, hol, 4 Trpéz orul ( Z() ) Az tervlluot egy részre osztjuk Mvel zárt orul, így két lppotj lesz, z tervllu két végpotj és Az üggvéyt z elsőokú terpoláós polojávl közelítjük l d d és Tehát trpéz orul l d d d : T Megjegyzés H eegtív üggvéy, kkor et képlet z, tervllu és z, üggvéyértékek áltl eghtározott trpéz területe

Tétel Legye C, és jelölje R T R trpéz orul háját Ekkor, hol, Spso orul ( Z() ) Az tervlluot két részre osztjuk Mvel zárt orul, így háro lppotj lesz, z tervllu két végpotj és elezőpot:, ásodokú terpoláós polojávl közelítjük l d 6 Tehát Spso orul 4 l d 6 l d 6 és 4 : S 6 Tétel Legye C, és jelölje R S R Az üggvéyt z Spso orul háját Ekkor, hol, 9! 4! Összetett orulák ( szályok ) Az tervlluot egyelő részekre osztjuk és de résztervlluo egy-egy kvdrtúr orulát lklzuk, Trpéz szály Az, tervlluot egyelő részre osztjuk és de résztervlluo egy-egy trpéz orulát lklzuk Az lppotok,,, Tehát trpéz szály : T

Horuláj: T, hol, Spso szály, Az tervlluot egyelő részre osztjuk ( páros), z lppotok,,, Mde, k k résztervlluo egy-egy Spso orulát lklzuk Tehát Spso szály 4 k k : S k k Horuláj: S, hol 4 8, Feldt: ) Írjuk Mtl üggvéyt (trpez éve) trpéz orulár uto [s] = trpez(v,,,) : préterezés ) Készítsük el z összetett trpéz orul progrját Feldt: ) Írjuk Mtl üggvéyt (spso éve) Spso orulár uto [s] = spso(v,,,) : préterezés ) Készítsük el z összetett Spso orul progrját Próáljuk k következő tegrálokr: ) d ) l d ) s( ) d d) os( ) d Tétel: H korlátos H korlátos, -, kkor d T T T, -, kkor d S S S

Jvított trpéz összetett orul: T T T 4 O ~ Jvított Spso összetett orul: S S S Feldt: Száítsuk k z összetett orulákkl z ~ 6 d l 4, h 6, Oh -es közelítés -os közelítés tegrált potossággl Háy részre kell oszt hozzá z tervlluot? (Próálkozzuk egírt progrokkl és et tételől kpott hesléssel) 4 Feldt: Száítsuk k z Itegrál közelítését M j vele? Pl elég [,] tervlluo tegrál -es tervlluo potosság eléréséhez, ért? Besüljük z tegrál értékét d Besüljük [ ; ] tervlluo vett tegrált d d d d ; d potossággl: l Ezutá erdó véges tervlluo értelezett tegrált potossággl közelítjük, így keresett tegrál potosságú közelítését kpjuk eg Ez ódszer tö proprus tegrál száításár s lklzhtó A Mtl tegrálközelítő üggvéye: trpz(,y) : trpéz szályt lklzz z,y- egdott értékekre qud(u,,) : dptív Spso szály, qud(u,,,tol) : tol- egdott potosságú közelítést d 6 potossággl közelít Feldt: Közelítsük egdott tegrálokt Mtl trpz és qud utsításávl ) d, ) d l =lspe(,,); y=^; trpz(,y) =lspe(,,); y=^;

trpz(,y) ort log =@() ^ qud(,,) qud(,,,) =@() / qud(,,) qud(,,,) log()