. Primitív függvéyekhtároztl itegrálok 7. Primitív függvéyek htároztl itegrálok.. A defiíciók egyszerű következméyei F. Htározz meg z lábbi függvéyek összes primitív függvéyét: f :, + ; b f :, ; c f :, π ; d f : R. si + F. Htározz meg z f : I R függvéy I potb eltűő primitív függvéyét, h f : cos R, : π 4 ; b f : R +, : 8. F. Keresse meg zt f függvéyt, melyre f R+, f4 ; b f >, f ; + c f R, f, f ; d f R +, f, f ; e f e + 5 si R, f, f ; f f si, R, f, f, f. F4. Igzolj, hogy sig függvéyek ics primitív függvéye. F5. Bizoyíts be, hogy h z I R itervllumo értelmezett f : I R függvéyek z F, F : I R primitív függvéyei, kkor c R, hogy F F c I.
8. Primitív függvéyekhtároztl itegrálok b Mutss meg, hogy z előző állításb z feltétel, hogy D f itervllum legye, léyeges: Adjo meg oly emüres H R yílt hlmzt, oly F, F : H R differeciálhtó függvéyeket, melyre F F teljesül mide H eseté, ugykkor F és F em kostsb külöbözek egymástól... Primitív függvéyek meghtározásár votkozó módszerek... Alpitegrálok F6. Számíts ki z lábbi htároztl itegrálokt z dott I itervllumoko: 6 8 + d, I : R; c d, I : R + ; b + d, I : R + ; + d d, I : R + ; f f e + 5 d, I :,.... Alpitegrálokr vezető típusok lkú itegrálok F7. Mutss meg, hogy h f : I R pozitív és differeciálhtó z I itervllumo, kkor f f d l f + c I. F8. Az előző feldt segítségével számíts ki z lábbi htároztl itegrálokt z dott I itervllumoko: d, I : R; + b d, I : R; 6 + 7 c tg d, I : π, π e ; d d, I : R; e + 5 d e, I :, ; l f d, I :, + ; l
.. Primitív függvéyek meghtározásár votkozómódszerek 9 f α f lkú itegrálok F9. Tegyük fel, hogy z f : I R függvéy pozitív és differeciálhtó z I itervllumo és α vlós szám. Mutss meg, hogy f α f d f α+ α + + c I. F. Az előző feldt eredméyéek felhszálásávl számíts ki z lábbi htároztl itegrálokt z dott I itervllumoko: +4 4 d, I : R; b 6 + 4 d, I : R + ; c e e d, I : R; d si cos d, I : R; l 5 rsh e d, I : R+ ; f + d, I : R+ ; 4 + 7 g + 7 + 5 d, I : 5, + ; 5 h 4 cos tg d, I :, π ; f + b d lkú itegrálok F. Legye I R egy itervllum és F : I R f : I R függvéyek egy primitív függvéye. Mutss meg, hogy ekkor bármely R \ {}, b R eseté F + b f + b d + c I. F. Az előző feldt eredméyéek felhszálásávl számíts ki z lábbi htároztl itegrálokt: d > ; b d < ;
. Primitív függvéyekhtároztl itegrálok c d R; d + d > ; e d < ; f d >. F. Számíts ki z lábbi htároztl itegrálokt: d d R; b + + + 6 d c R; + + d d 5 < < + 5. 4 + f g g d lkú itegrálok F4. Tegyük fel következőket: i g : I R függvéy deriválhtó z I itervllumo, ii J R egy itervllum és R g J, iii z f : J R függvéyek létezik primitív függvéye. Ekkor z f g g függvéyek is létezik primitív függvéye és f g g d F g + c J, R; hol F f egy primitív függvéye. Godolj meg, hogy ez z állítás speciális esetkét trtlmzz z F7., F9. és F. feldtok eredméyeit! F5. Az előző feldt segítségével számíts ki z lábbi htároztl itegrálokt z dott I itervllumoko: si d, I : R; sh b d, I : R + ; c 6 + si + d, I : R; d + l d, I : R+ ;
.. Primitív függvéyek meghtározásár votkozómódszerek e cos + tg d, I : π, π ; e tg f cos d, I : π, π.... Itegrálás ügyese F6. Az itegrdus lklms átlkítás utá számíts ki z lábbi htároztl itegrálokt megdott I itervllumoko: + d, I : R; b d, I :, + ; + c d, I : R; d + 4 + d, I : R; 4 e tg d, I : π, π ; f tg d, I : π, π ; g si d, I : R; h cos d, I : R; i si cos 7 d, I : R; j cos cos d, I : R; k si d, I :, π; cos 5 l + cos d, I : π, π; m d, I :, π; si o si cos d, I : R; p cos d, I : π, π ; si cos 4 d, I : R. q + tg tg d, I : π 4, π 4...4. Prciális itegrálás F7. A prciális itegrálás szbályát lklmzv számíts ki z lábbi htároztl itegrálokt megdott I itervllumoko:
. Primitív függvéyekhtároztl itegrálok e d, I : R; b si d, I : R; c e si d, I : R; d e ch d, I : R; e l d, I : R + ; f rctg d, I : R; g l d, I : R + ; h 5 e d, I : R. F8. Számíts ki z lábbi htároztl itegrálokt megdott I itervllumoko: cos + e + d, I : R; b d, I : R; c 4 + rcsi d, I :, ; d cosl d, I : R + ; e l d, I : R + ; f cos lsi d, I :, π; l g d, I : R+ ; h l d, I : R +. F9. Legye N, és tegyük fel, hogy z f, g :, b R függvéyek -szer deriválhtók és f, g folytoosk. Mutss meg, hogy fg fg f g + + f g. F. Igzolj, hogy tetszőleges,,... eseté si d cos si + cos d si cos + si d cos d.
.. Primitív függvéyek meghtározásár votkozómódszerek..5. Itegrálás helyettesítéssel F. Állíts elő helyettesítéses itegrálássl következő htároztl itegrálokt: d, ; b + d R; c d > ; d d < ; e + d R; f + 5 d R; g + b + c d, b, c R...6. Rcioális függvéyek itegrálás F. Számíts ki z lábbi htároztl itegrálokt megdott itervllumoko: d, > ; b d, < ; + + c d, I : R; d d, I : R; + + + + + 5 e d, I : R; f d, I : R; + + + 5 6 g d, I : R; h d, I : R; + 7 + F. Igzolj, hogy tetszőleges,,... eseté d + + + + + d. F4. Prciális törtekre botássl számíts ki következő htároztl itegrálokt megdott itervllumoko: d, I :, 4; 4 b d, I :, + ; c d, I :, ;
4. Primitív függvéyekhtároztl itegrálok 4 d 5 d, I :, 5 ; e + 4 d, I : R+ ; f + d, I :, + ; 4 8 g + d, I :, ; 4 8 h d, I :, + ; + i d, I : R; + 4..7. Rcioális függvéyek itegrálásár vezető helyettesítések F5. Alklms helyettesítéssel vezesse vissz z lábbi itegrálokt rcioális függvéyek itegráljár: + d > ; b d > ; + c + 4 d > ; / d d > ; + /7 + e d < ; f d < < ; g d > ; h d < ; i d < <. + F6. Alklms helyettesítéssel számíts ki z lábbi htároztl itegrálokt úgy, hogy visszvezeti rcioális függvéyek itegráljár: + si d < < π; cos
.. Primitív függvéyek meghtározásár votkozómódszerek 5 cos b d π < < π; + cos c + tg d < < π. F7. Oldj meg z előző feldtot ügyese is. Alklmzz következő zoosságokt: + si cos cos + si cos si + si cos ; cos b + cos + cos cos ; c + tg cos cos + si si + cos +. 5 cos + si A végeredméyeket hsolíts össze z előző feldtb kpott végeredméyekkel. F8. Számíts ki z lábbi htároztl itegrálokt: + si + cos d π < < π; b + si + cos d π < < π; c + 5 cos d < < π; d L-Sch 64. oldl 8. feldt. F9. Alklms helyettesítéssel számíts ki z lábbi htároztl itegrálokt úgy, hogy visszvezeti rcioális függvéyek itegráljár: 4 d > l ; e 4 b e d R; e + e + 4 c d R; e + 4e + Elemi függvéyek
6. A htározott itegrál. A htározott itegrál.. A htározott itegrál értelmezése F. Mutss meg, hogy Dirichlet-függvéy em Riem-itegrálhtó [, ] itervllumo. F. Adjo meg oly f : [, b] R függvéyt, melyik em Riem-itegrálhtó [, b]-, de f már Riem-itegrálhtó [, b]-. F. A defiíció lpjá számíts ki következő htározott itegrálokt: d, b d. F. Mutss meg, hogy z f : [, b] R korlátos függvéy kkor és csk kkor Riem-itegrálhtó kompkt [, b] itervllumo, és z itegrál értéke z I vlós szám, h z [, b] itervllumk v oly felosztássorozt, melyhez trtozó lsó- és felső közelítő összegek sorozt koverges, és midkettőek z I szám htárértéke. Jelekkel: { b h [, b]-ek τ felosztássorozt, melyre f R[, b] és f I F4. Az előző feldt állítását felhszálv igzolj, hogy b b b b e d e b e α d bα+ α+ α + < b; lim sf, τ lim Sf, τ I. + + < < b, α vlós szám; c d l b l < b. F5. Mutss meg, hogy h f kkor és csk kkor Riem-itegrálhtó kompkt [, b] itervllumo és z itegrál értéke I, h bármely mide htáro túl fiomodó τ felosztássorozt eseté lim s f, τ lim S f, τ I. + +
.. A htározott itegrál tuljdosági és kiszámítás 7 F6. Bizoyíts be, hogy + + + + l. F7. Láss be, hogy z, h R \ Q f : q, h p Q \ {}, p, q q, h Riem-függvéy Riem-itegrálhtó [, ]-e és f... A htározott itegrál tuljdosági és kiszámítás F8. Adjo meg oly Riem-itegrálhtó függvéyt, melyikek ics primitív függvéye. F9. Mutss meg, hogy h f folytoos z [, b] itervllumo és itt f, kkor b f f z [, b]-. F4. A Newto Leibiz-tétel felhszálásávl számíts ki z lábbi htározott itegrálokt: c e g 5 4 π 5 d 5 + 4 ; d + ; e si d; d + + ; b e d f h e l sil d; d + 4 + 5 ; l d; e d.
8. A htározott itegrál F4. Alklms megválsztott függvéyek htározott itegrálják felhszálásávl számíts ki z lábbi htárértékeket: lim + k + k ; b k 9 ; c d lim + lim + lim + k + + + + + + + + + + + ; + ; α + α + + α e lim α >. + α+ F4. Cuchy Buykovszkij Schwrz-egyelőtleség: Tetszőleges f, g R[, b] függvéyek eseté b b b fg d f d g d. F4. Számíts ki z I : d,,,... itegrálokt. Keresse I -re rekurziós formulát. F44. Bizoyíts be, hogy h f folytoos [, ] itervllumo, kkor f d f d. F45. Láss be, hogy m d m d m, N.
.. A htározott itegrál tuljdosági és kiszámítás 9 F46. Bizoyíts be, hogy Bm, : m d m!! m + +! m, N. F47. Igzolj, hogy h f : [, ] R egy folytoos függvéy, kkor fu u du u ft dt du. F48. Bizoyíts be z lábbi egyelőtleségeket: b c e π 8 + 6 d 4, e r si d π r e r, si + d, 7, d π π 4 si d 6. F49. Htározz meg z lábbi miimumokt: mi { c d : c R } ; b mi { π/ π/ si b d :.b R }. hol r > vlós szám, + 4 d 6 5, F5. Keresse meg zokt z < b vlós számokt, melyekre z b + d itegrál értéke mimális. F5. Igzolj, hogy f D[, ], f > eseté { mi } f c : c R f f.
. A htározott itegrál F5. Keresse meg következő htárértékeket: +h lim + t dt, h h b lim si t t dt. F5. Mutss meg, hogy z f : sit dt R függvéy deriválhtó, és számíts ki deriváltfüggvéyt. F54. Tegyük fel, hogy f : R R oly folytoos függvéy, melyre si π ft dt R teljesül. Meyi z f értéke 4 potb? F55. Bizoyíts be következő állításokt: H f mooto övekedő, kkor f d k f k f f N. b H f differeciálhtó és f korlátos [, ] itervllumo, kkor v oly -től függetle c > vlós szám, mellyel z f d k f c k egyelőtleség mide N számr teljesül. Síkidom terülte.. A htározott itegrál lklmzási A H korlátos f : [, b] R függvéy Riem-itegrálhtó z [, b] itervllumo és f [, b], kkor z f grfikoj ltti A : {, y R b, y f}
.. A htározott itegrál lklmzási síkidom területét így értelmezzük: ta : b f d. H f z [, b] itervllumo, kkor B : {, y R b, f y } síkidom területe: B Legye tb : b f d. ϕ t y ϕ t t [α, β], t [α, β] sim elemi Γ R görbe egy prméteres előállítás. Tegyük még fel zt is, hogy ϕ szigorú mooto övő és ϕ t t [α, β]. Ekkor C : {, y R ϕ t, y ϕ t, t [α, β]} síkidom területe: C Az tc r ϱϕ, β α ϕ tϕ t dt. α ϕ β polárkoordiátás lkb megdott görbe áltl meghtározott E : {, y R r cos ϕ, y r si ϕ; r ϱϕ, α ϕ β} szektorszerű trtomáy területe, h ϱ itegrálhtó: T E β α ϱ ϕ dϕ. F56. Számolj ki z y egyeletű egyees és z y + 6 egyeletű prbol áltl közrezárt síkidom területét.
. A htározott itegrál F57. Htározz meg z y 4 és z y 4 görbék áltl meghtározott síkidom területét. F58. Htározz meg z y 4 és z y görbék áltl meghtározott síkidom területét. F59. Számíts ki z lábbi síkbeli hlmzok területét: {, y R 4, y 4 4 }, b {, y R e, y l }, c {, y R + y,, b > }. b F6. Htározz meg z f ás g függvéyek grfikoj áltl htárolt síkrész területét: f : p >, p >, g : p R, p > ; b f : R, g : 4 R. F6. Szemléltesse z lábbi prméteres lkb megdott síkbeli görbéket: ϕ t : cos t t [, π, y ϕ t : si t t [, π sztrois; b ϕ t : cos t cos t t [, π, y ϕ t : si t si t t [, π krdiodid; Számíts ki görbék áltl meghtározott síkidomok területét. F6. Szemléltesse z lábbi polárkoordiátákb megdott síkbeli görbéket: r ϱϕ : cos ϕ ϕ [ π, π ] kör; b r ϱϕ : cos ϕ ϕ [ π 4, π 4 ] lemiszkát. Számíts ki görbék áltl meghtározott síkidomok területét. Síkbeli görbe ívhossz B Legye Γ R egy sim elemi görbe és ϕ ϕ, ϕ : [α, β] R Γ egy prméterezése. Ekkor Γ görbe rektifikálhtó, és Γ ívhossz: lγ β α [ϕ t ] + [ ϕ t ] dt.
.. A htározott itegrál lklmzási A Legye Γ z f : [, b] R folytoos differeciálhtó függvéy grfikoj. Ekkor Γ görbe rektifikálhtó, és ívhossz: lγ b + [ f t ] dt. C H ϱ : [α, β] R folytoos differeciálhtó, kkor z r ϱϕ α ϕ β polárkoordiátás lkb megdott Γ görbe rektifikálhtó és z ívhossz: lγ β α ϱ ϕ + [ ϱ ϕ ] dϕ. F6. Htározz meg z lábbi függvéyek grfikoják hosszát: f, b f / 5, c f l 8 4, d f 6 +. F64. Számíts ki z lábbi prméteres lkb megdott görbék ívhosszát: ϕ t : e t si t, y ϕ t : e t cos t t [, π/; b ϕ t : cos t, y ϕ t : si t t [, π/. F65. Htározz meg z lábbi polárkoordiátás lkb megdott görbék ívhosszát: Forgástest térfogt r ϱϕ : si ϕ ϕ [, π]; b r ϱϕ : ϕ [π/, π]. ϕ Legye f : [, b] R folytoos függvéy és tegyük fel, hogy f z [, b] itervllumo. Az f grfikoják z -tegely körüli forgtásávl dódó H : {, y, z R b, y + z f}
4. A htározott itegrál forgástest térfogt: V H : π b f d. F66. Htározz meg z f : [, b] R függvéy grfikoják z -tegely körüli megforgtásávl dódó forgástest térfogtát: f : [, ]; 4 Forgástest felszíe b f : si [, π]; c f : e [, ]. Legye f : [, b] R egy folytoos differeciálhtó függvéy és tegyük fel, hogy f z [, b] itervllumo. Az f grfikoják z -tegely körüli forgtásávl dódó H : {, y, z R b, y + z f} forgásfelület felszíe: F H : π b f + [ f ] d. F67. Htározz meg z f : [, b] R függvéy grfikoják z -tegely körüli megforgtásávl dódó forgástest felszíét: f : [, ]; b f : si [, π]; c f : [, 4]..4. Improprius itegrálok D. Tegyük fel, hogy z f függvéy Riem-itegrálhtó tetszőleges, b R itervllum lehet és b lehet + is mide kompkt [α, β], b részitervllumá, és legye c, b egy tetszőleges, de rögzített pot. Az f függvéyt improprius itegrálhtók evezzük z, b itervllumo
.4. Improprius itegrálok 5 vgy zt modjuk, hogy f improprius itegrálj koverges, b-, h létezek és végesek z lábbi htárértékek: lim t + c t f d és lim s b s és f improprius itegráljá ezek összegét értjük: b f d : lim t + c t f d + lim s b c f d, s c f d. T. H f improprius itegrálhtó z, b itervllumo, kkor z improprius itegrálják z értéke függetle defiíciójáb szereplő c, b pot megválsztásától. T. Tegyük fel, hogy korlátos f függvéy Riem-itegrálhtó kompkt [, b] R itervllumo. Ekkor f improprius is itegrálhtó, b- és eze z itervllumo z improprius itegrálj megegyezik z f függvéy [, b]- vett Riem-itegráljávl. F68. Vizsgálj meg z lábbi improprius itegrálok kovergeciáját. H koverges, kkor htározz meg z értékét: c e + + d α R, b α d α R, d α + d, f d α R, α + d, d. F69. Dötse el, hogy z lábbi improprius itegrálok közül melyek kovergesek. A kovergesek eseté számolj ki z itegrál értékét. c e e d, l, d, l d, b d f e d, l d, l p d p R.
6. A htározott itegrál T. Az összehsolító kritérium: Legye, b R hol lehet és lehet b +, és tegyük fel, hogy f is és g is Riem-itegrálhtó, b-ek mide kompkt részitervllumá, továbbá f g, b. H z b g d improprius itegrál koverges, kkor z b f d improprius itegrál is koverges mjoráskritérium. H z b f d improprius itegrál diverges, kkor z b g d improprius itegrál is diverges mioráskritérium. F7. Dötse el, hogy z lábbi improprius itegrálok kovergesek-e: c e + e d + + 4 +, b cos + d, D. Akkor modjuk, hogy z f d improprius itegrál bszolút koverges, h z T4. H z is. b b d, d b f + + d + + + 5, + d, 5 + d. f d improprius itegrál koverges. f d improprius itegrál bszolút koverges, kkor koverges F7. Mutss meg, hogy z lábbi improprius itegrálok kovergesek: cos d, F7. Bizoyíts be, hogy + si b d koverges, b + + si d. si d diverges.
.4. Improprius itegrálok 7 T5. Tegyük fel, hogy z f : [, + R + függvéy folytoos, mooto csökkeő. Mutss meg, hogy f számsor koverges vgy diverges szerit, hogy z + f d improprius itegrál koverges vgy diverges. A tétel érvéybe mrd bb z esetbe is, mikor f feti tuljdoságokkl [k, + itervllumo k N redelkezik. Ebbe z esetbe + f, illetve f d helyébe + f, illetve f d értedő. k F7. Az előző tétel felhszálásávl vizsgálj meg kovergeci szempotjából z lábbi számsorokt: α R; b α l. k F74. Mutss meg, hogy z + e d improprius itegrál koverges. Később mjd meg fogjuk mutti zt, hogy + e d π. F75. Bizoyíts be, hogy mide > vlós számr z + t e t dt improprius itegrál koverges. A Γ : + függvéyt gmmfüggvéyek evezzük. t e t dt R + b Igzolj, hogy i Γ + Γ R +, ii h,,,..., kkor Γ +!.
8. A htározott itegrál.5. Kiegészítések differeciálszámításhoz és z itegrálszámításhoz F76. A biomiális sor. Tetszőleges α R eseté z α αα α k + : k,,,... k k! biomiális együtthtókkl képzett k α k k htváysor ezt evezzük biomiális sork mide < eseté koverges, és z összegfüggvéye z + α, függvéy: + k α k + α,. k F77. A Wllis-formul: lim + 4 + π. F78. A Stirlig-formul: lim +! e π, zz! közelítésére z lábbi formul érvéyes:!, π h +. e F79. Mutss meg, hogy π irrcioális szám.
II. rész Megoldások 9
. Primitív függvéyekhtároztl itegrálok. Primitív függvéyek htároztl itegrálok.. A defiíciók egyszerű következméyei M. d l + c, + ; b d l + c, ; c si d ctg + c; d d rctg + c. + M. cos d si + c és si π + c c ; 4 cos d si. 4 π b d + c. M. f d f + c és f4 4 + c + c c, zz f. b f + d f l + + c és f + l + + c + c c, zz f l + +. c f d f + c és f + c c és f + + d f + + c és f 6 + + c c és f 6 +.
. Primitív függvéyekhtároztl itegrálok d f d f + c és f + c c és f + + d f l + + c és f l + + c c és f l +. e f e + 5 si e + 5 si d f e 5 cos + c és f e 5 cos + c c 4 és f e 5 cos + 4 e 5 cos + 4 d f e 5 si + 4 + c és f e 5 si + 4 + c c és f e 5 si + 4. f f si si d f cos + c és f cos + c c és f cos + cos d f si + c és f si + c c és f si + si + d f + cos + + c és f + cos + + c c és f + cos +... Primitív függvéyek meghtározásár votkozó módszerek... Alpitegrálok M6. 6 8 + d 4 + + c, b + d + 4 + c, 4 c d 7 8 d 5 8 5 + c, 8
.. Primitív függvéyek meghtározásár votkozómódszerek + d d + + d 5 + 4 + + c, 5 f f e + 5 d d+5 d +5 rcsi +c.... Alpitegrálokr vezető típusok lkú itegrálok M7. Az f függvéy egy primitív függvéye l f, mert l f f. Mivel f f f f itervllumo értelmezett, ezért mide primitív függvéye l f-től egy kostsb külöbözik. M8. + d + d l + + c, b 6 + 7 d 6 6 + 7 d l 6 + 7, si si c tg d cos d d lcos + c, cos e d e + 5 d e e + 5 d le + 5 + c, d e l d l l + c, l d f l d l l + c. l f α f lkú itegrálok M9. M7-hez hsoló. M. + 4 4 d 6 b 6 + 4 d 8 c e e d, 6 + 4 4 + 4 5 + c, 6 5 8 6 + 4 d 6 + 4 8 e e d e 4 + c, 4 + c,
4. Primitív függvéyekhtároztl itegrálok d si cos d si cos d si4 + c, 4 l 5 e d l5 d l6 + c, 6 rsh f + d, rsh rsh d + + c rsh + c, 4 + 7 g + 7 + 5 d 4 + 7 + 7 + 5 5 5 4 d h 4 4 4 + 7 + 5 + c, cos tg d f + b d lkú itegrálok M. M7-hez hsoló. M. d b d c + d rctg + c, d d rth + + cos tg d + c d 4 4 + c, + d d tg + c. + c, +c 4 4 +c, d + d
.. Primitív függvéyek meghtározásár votkozómódszerek 5 e d d rcsi +c, f M. d d + 5 5 5 rctg 5 + d 5 + c, 5 d b + + 6 4 [ + 4 ] + c d d + + 8 [ + 8 ] + d 4 + 5 [ 5 ] f g g d lkú itegrálok d rch + c. 6 + d [ 5 ] + + 4 + 6 d + 5 d d rctg + + c, + + 8 d d + + 4 d d rsh 8 + + c, + 5 d d rcsi 5 + c. M4. M7-hez hsoló. M5. si d si cos d + c,
6. Primitív függvéyekhtároztl itegrálok sh b d sh d ch + c, c 6 + si + d cos + + c, d + l d d rctgl + c, + l e d rshtg + c, cos + tg f e tg cos d cos etg d e tg + c.... Itegrálás ügyese M6. + d + d d rctg+c, + + + 4 + 7 b d d + 7 d d + 7 d + 7 l + c, c 4 + d 4 4 + 4 + 4 4 rctg + c, d + d [ + ] + d + + d + d + 4 d + d + 7 7 + 4 4 + c, si si e tg d cos d d l cos + c, cos si f tg cos d cos d d cos cos d tg + c, cos cos g si d d d d si +c, 4
.. Primitív függvéyek meghtározásár votkozómódszerek 7 h cos d cos cos d cos si d cos d cos si d si si + c, siα + β + siα β i si α cos β zoosság lpjá si + si 4 si cos 7 d d si si4 d si d si 4 d cos cos 4 + c, 4 cosα + β + cosα β j most cos α cos β zoosságot lklmzzuk: cos cos d [cos + + cos ] d 5 si 5 6 + si 6 + c, k si d si cos d cos + si si cos d si cos d si { cos cos si, h π d 4 si cos, h π π ; { 4 si + cos, h π 4 z f : cos si +, h π π 4 függvéy egy primitív függvéy. cos 5 l + cos d cos 5 cos + si + cos si d cos 5 cos d cos cos d 5 cos d 5 tg + c, m si d si cos d d cos tg d ltg + c. si cos cos
8. Primitív függvéyekhtároztl itegrálok..4. Prciális itegrálás M7. e d f f, g e g e e e e d 4 e + c. b si d f f, g si g cos + cos d f f, g cos g cos + [ si ] si d cos + 9 si + cos + c. 9 c e si d cos si f e f e, g si g cos e cos + e cos d f e f e, g cos g si e cos + e si e si d; redezés utá kpjuk, hogy e si d e cos + e si + c. d e ch d prciális itegrálássl is meghtározhtó, de egyszerűbb következő: e ch d e5 e + c; e e + e e 5 d + e d
.. Primitív függvéyek meghtározásár votkozómódszerek 9 e l d l d g, g ; f l, f l d l + c; f rctg d rctg d g, g, f rctg, f + rctg + d rctg 8 6 + 9 d rctg l + 6 9 + c; g l d g, g ; f l, f l d l 9 + c; h 5 e d e d g e, g e ; f, f e d e e d e + c. M8. cos + e + d f e +, f e + ; g si + cos +, g e+ si + e + si + d f e +, f e + ; g cos + si +, g + si + e [ e + cos + e + cos + d ] + si + e + 4 e+ cos + 9 e + cos + d, 4
4. Primitív függvéyekhtároztl itegrálok redezés utá zt kpjuk, hogy cos + e + d e+ si + + e + cos + + c; b + 4 4, c rcsi d rcsi d g, g ; f rcsi, f rcsi d rcsi + d rcsi + + c; d cosl d cosl d g cosl, g sil ; f, f sil sil d sil + sil d g sil, g cosl ; f, f sil + cosl cosl d cosl d sil + cosl + c; e l d l d l d l +c F 7/e; f cos lsi d g cos, g si ; f lsi, f cos si si lsi si cos d si lsi cos d si si lsi si + c; g l d l d l + c;
.. Primitív függvéyek meghtározásár votkozómódszerek 4 h l d ; l l d l l d g, g f l, f l g, g l l d l l + 4 + c...5. Itegrálás helyettesítéssel M. Az elkövetkező feldtok megoldásához z lábbi összefüggés yújt segítséget: f d fgtg t dt tg Itt f egy I itervllumo dott pl. folytoos függvéy, g : J I pedig egy szigorú mooto övekedő vgy csökkeő differeciálhtó függvéy J itervllumo. Ilyekor zt modjuk, hogy z gt helyettesítést lklmzzuk. Figyeljük mjd g helyettesítő függvéy szigorú mootoitásák z elleőrzésére! Most z si t : gt helyettesítést lklmzzuk. Mivel, ezért, h g-t π, π itervllumo tekitjük, kkor itt g szigorú mooto övekedő, ezért feti képlet lklmzhtó: d si t cos t dt cos t trcsi trcsi t rcsi si t 4 + c rci sircsi cosrcsi + c trcsi b Itt z + c sh t : gt t R; g, g t ch t t R helyetesítést lklmzzuk:
4. Primitív függvéyekhtároztl itegrálok ch + d + sh t ch t dt t ch t dt trsh trsh ch t + dt sh t trsh 4 + t ch t sh t +c + t trsh +c trsh ch rsh + rsh + c + + rsh + c; c Az d > itegrál kiszámításához lklmzz z ch t : gt t > helyettesítést. f Alklmzhtjuk z sh : gt t R helyettesítést. A feldtot megoldhtjuk z 5 4 [ + + + ] zoosság felhszálásávl is...6. Rcioális függvéyek itegrálás M. d l + c, h, +, b d l + c, h,, + c + + d + + + d l + + + c, + + d + + d + + + d + + l + + + + + d l + + + + [ + ] + d l + + + rctg + + c, e + + d + + d 4 [ ] d 4 4 + + [ rctg + ] + c, + 5 f + 5 d + + 5 d [ d + + 5 + 5 d] [l + 5 +
.. Primitív függvéyek meghtározásár votkozómódszerek 4 + + 9 d] [l + 5 + 4 + 4 9 [ 9 ] + d] l + 5 + 9 + rct[ 9 9 ] + c, 6 + g + 7 d + 7 d [ + 7 d + + + 6 d] [l +7 + 6 [ 6 ] + d M.... l + 7 + 6 rct[ 6 ] + c. M4. Az itegrdus felbotás kis próbálkozássl is meghtározhtó:... 4... 4, 4 de biztos módszert is lklmzhtjuk: z 4 A + B A 4 + B 4 4 A + B 4A + B 4 lpjá A + B, 4A + B dódik, miből A, B következik. Ezért 4 d d + 4 d l + l4 + c, h < < 4. e Az itegrdus így bothtó fel:... + 4 +... + 4 4. + 4
44. Primitív függvéyekhtároztl itegrálok Ezt felbotást biztos módszerükkel így htározhtjuk meg: z + 4 A + B + C + 4 A + 4 + B + C + 4 A + B + C + 4A + 4 lpjá A + B, C, 4A, zz A, B. Ezért 4 4 + 4 d 4 d 8 + 4 d 4 l 8 l + 4 + c, h >. h Az itegrdus felbotás: 4 8 + A + A + B + C + + B + C +. Közös evezőre hozás, mjd számlálób változó együtthtóik összehsolítás utá egy 6 ismeretlees egyeletredszert kpuk z A i, B i, C i ismeretleekre. A szób forgó felbotást zob így is meghtározhtjuk: [ ] 4 8 + 4 + + 4 + + + 4 + + + + + + 4 + + + + + + + + 4 +. Az egyes tgok primitív függvéyei ie már szokásos módo htározhtók meg.
.. Primitív függvéyek meghtározásár votkozómódszerek 45 i Először evezőt kell felboti tovább már em bothtó vlós téyezők szorztár. A felbotásb elsőfokú téyezők yilvá em leszek z + 4 egyeletek ui. ics vlós gyöke, ezért + 4 összeget két másodfokú téyező szorztár kell felbotuk. Ezt émi ügyeskedéssel így tehetjük meg: Így + 4 + + 4 + miből szokásos módszerrel dódik. Ezért + d 4 + + +. + A + B 4 + + C + D + +, A, B, C, D + + d + + + + d + + + + d + d 4 l + + + d+ + 4 l + + + + + d 4 l + + + + + + d + + + + d 4 l + + + + rctg + rctg + + c.
46. Primitív függvéyekhtároztl itegrálok M5. b..7. Rcioális függvéyek itegrálásár vezető helyettesítések d + + 6 d t : 6 ; t 6 : gt t > ; g t 6t 5 t >, g t t + t 6t5 dt 6 t 6 + t dt t 6 t + 6 dt t + t 6 t t + dt 6 t + t 6 6 t 6 t + 6t 6 l + t + c t 6 6 6 + 6 l + 6 + c; c + 4 d 4 + 4 d t : 4 ; t 4 : gt t > ; g t 4t t > ; g t t + t 4t dt + t 4 t dt 4 t + t 4 4 t + t dt t 4 t t dt 4 t + t 4 4 t 4 t t + dt 4 t 4 t 4 lt + + c t 4 4 4 4 l 4 + + c g Tudjuk, hogy t helyettesítés rcioális törtfüggvéy itegrálásár vezet. H >, kkor yilvá < t <, mi zt jeleti, hogy z t : gt t,
.. Primitív függvéyek meghtározásár votkozómódszerek 47 helyettesítő függvéyt lklmzzuk. Mivel g t 6t t > t,, ezért g szigorú mooto övekedő, így htároztl itegrálokr votkozó második helyettesítési szbályuk vlób lklmzhtó: t d 6t t t dt t. Mivel t ezért 6t t t dt t + 4 t t dt + + dt t + l t + t 4 t dt + t + t + c, t d + l + + c >.
48. A htározott itegrál M..... A htározott itegrál.. A htározott itegrál értelmezése M. Legye f, h [, b] Q és f, h [, b] Q. M. A feldt részébe tekitse z [, ] itervllum egyeletes felosztásit. A b részbe mide N eseté vegye z [, ] itervllumk zt felosztását, melyet z i i,,,..., potok htározk meg. b megoldás: Legye f : [, ], q :, és tekitsük z [, ] itervllum τ : { i : q i i,,..., } felosztását. Az ehhez trtozó lsó közelítő összeg: sf, τ q q i f i i i i q i q i, q i q i q i Hsoló τ felosztáshoz trtozó felső közelítő összeg: Sf, τ q i f i i i i i h +. q i q i q i i q q, h +. Mivel lim sf, τ I f I f lim Sf, τ + +, ezért I f I f. Az f függvéy tehát itegrálhtó z [, ] itervllumo, és f.
.. A htározott itegrál értelmezése 49 M. H f R[, b] és b f I, kkor I f I f I, ezért mide N számhoz létezik [, b]-ek oly τ felosztás, melyre I sf, τ I f I f Sf, τ I +. A τ felosztássoroztr tehát lim sf, τ lim Sf, τ I teljesül. + + H [, b]-ek v oly τ felosztássorozt, melyre teljesül, kkor z I lim sf, τ lim Sf, τ I + + lim sf, τ I f I f lim Sf, τ I + + egyelőtleségekből következik, hogy I f I f I, zz f Riemitegrálhtó z [, b] itervllumo és b f I. M4. A feldt részébe tekitse z [, b] itervllum egyeletes felosztásit. A b és c részbe mide N eseté vegye z [, b] itervllumk zt felosztását, melyet z b i i,,,..., potok htározk meg. c megoldás: Legye f : [, b], q : b, és tekitsük z [, b] itervllum τ : { i : q i i,,..., } felosztását. Az ehhez trtozó lsó közelítő összeg: sf, τ f i i i i i q i q i. q i q b A sorozt htárértékéek meghtározásához vegyük észre, hogy b b, és eek htárértéke g : b R epoeciális függvéy potbeli deriváltjávl hozhtó kpcsoltb. Mivel g D{} és g l b, ezért lim sf, τ lim g l + + b b l b.
5. A htározott itegrál M5.... A τ felosztáshoz trtozó felső közelítő összeg: Sf, τ f i i i i i q i q i q b q i. Mivel h : b R függvéy deriválhtó, és h l b, ezért lim Sf, τ lim b / lim h l b + + b + /. Azt kptuk tehát, hogy z [, b] itervllumk v oly felosztássorozt, - melyhez trtozó lsó- és felső közelítő összegek sorozt ugyhhoz számhoz trt. Alklmzzuk most z előző feldt állítását. M6. A sor Leibiz-típusú sor, tehát koverges. Itt hgsúly z összeg meghtározásá v. Ehhez tekitse következő cseles átlkításokt: + 4 + + + + + + 4 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Ez utóbbi z R+ függvéyek z [, ] itervllum egyelő részre vló felosztásávl vett lsó közelítő összege. Az F4. feldt c része lpjá ez függvéy itegrálhtó, és d l. Az előző feldt állítását felhszálv kpjuk bizoyítdó egyelőséget. M7. Mivel mide itervllumb v irrcioális szám és így oly, hol f értéke, ezért [, ] itervllum tetszőleges τ felosztás eseté sf, τ, tehát I f sup{sf, τ τ F[, b]}. Azt kell megmutti, hogy is igz. I f zt jeleti, hogy I f if{sf, τ τ F[, b]} ε > -hoz τ F[, ] : Sf, τ < ε..
.. A htározott itegrál tuljdosági és kiszámítás 5 Adott ε > számhoz egy ilye τ felosztást következőképpe dhtuk meg. Vegyük egy oly N számot, melyre < ε teljesül. Vegyük észre, hogy függvéy -él gyobb értéket -él kevesebb helye veszi fel. Ugyis, h f, kkor p és q kell, hogy legye, márpedig q mide q -hez -él kevesebb p v, melyre < p < és p, q. q Ezért tekitsük [, ]-ek z egyelő részre vló τ felosztását. Mutss meg, hogy Sf, τ <... A htározott itegrál tuljdosági és kiszámítás M8.... M9.... M4. d 5 + 4 5 d rcsi + c, 9 d [ rcsi ] 5 5 + 4 rcsi rcsi π. b sil d cosl + c, e sil d cos. g Először z itegrdus primitív függvéyeit htározzuk meg. Alklmzzuk t +, 5, t 4 helyettesítést, zz tekitsük z t : gt t 4 helyettesítő függvéyt. A g függvéy szigorú mooto övekedő z [, 4] itervllumo, deriválhtó és g t t t [, 4], ezért htároztl itegrálokr votkozó második helyettesítési szbályt lklmzhtjuk: d + + t + t t dt. t +
5. A htározott itegrál Mivel ezért t + t t dt t t + t dt [ A t + B t + t dt + 4 5 5 ] dt t t t + dt t + dt 5 lt + 4 lt + + C, 5 d + + d 5 l + + 4 5 l + + + C. A Newto Leibiz-tétel lpjá tehát 5 d + + d [l + + 4 l + + ] 5 5 h Először z itegrdus primitív függvéyeit htározzuk meg. Most t e, l, t helyettesítéssel próbálkozuk, zz vesszük z l + t : gt t l. 5 helyettesítő függvéyt. A g függvéy deriválhtó és g t t t [, ], g +t tehát szigorú mooto övekedő. A htároztl itegrálokr votkozó második helyettesítési szbály tehát lklmzhtó: e t d t + t dt dt t e + t t e t rctg t t e rctg e + C. e A Newto Leibiz-tétel lpjá tehát l e d [ e rctg ] l e π.
.. A htározott itegrál tuljdosági és kiszámítás 5 M4. megoldás: Mivel + + + + + + + + +, + + + ezért ezt z összeget felfoghtjuk úgy is, mit z f : + > függvéyek [, ] itervllum egyeletes felosztásához trtozó közelítő összege. Sőt ez f mooto csökkeése mitt egy lsó közelítő összeg. Az f függvéy folytoos, tehát itegrálhtó, és + d. Az F5. feldt állítását felhszálv kpjuk, hogy kérdezett sorozt htárértéke. e megoldás: Mivel ezért : α + α + + α α+ i α, lim α d + + α. Megjegyzés. Ez z eredméy zt jeleti, hogy mide ε > vlós számhoz létezik oly N ide, hogy mide természetes számr feállk z ε α+ α + α + α + + α + ε α+ α + egyelőtleségek. Ngy -ekre tehát z α + α + + α összeg z α+ α+ számml jól közelíthető. Ezt úgy is ki szoktuk fejezi, hogy α + α + + α szimptotikus egyelő α+ α+ -gyel, h +, és ezt rövide így szokás jelöli: α + α + + α α + α+ i +.
54. A htározott itegrál Vgy zt modjuk, hogy z α + α + + α összeg α+ gyságredű. Figyelje meg, hogy h α, vgy, kkor szób forgó összegeket zárt lkb is fel tudjuk íri, és ebből kphtuk iformációt rról, hogy z összeg gy -ekre mekkor. Más α-kr pl. α zárt lk vgy ics vgy pedig eheze dhtó meg. A feldtb muttott egyszerű eszközökkel tehát mide α > vlós szám eseté zárt lk ismerete élkül kptuk iformációt z összeg gy -ekre vló viselkedéséről. M4. H b f b g, kkor z fg f + g [, b] egyelőtleségből b b fg d fg d [ b f d+ következik, tehát ekkor igz z állítás. b ] g d Tegyük fel, hogy b f és b g közül leglább z egyik -tól külöböző, például b f >. Mide λ vlós prméter eseté z F : λf + g függvéy itegrálhtó [, b]-, és z itegrálj emegtív, zz b b λf + g λ f + λ b fg + b g λ R. A jobb oldl λ-k egy másodfokú poliomj, és ez poliom mide λ R eseté emegtív, mi csk úgy lehetséges, h diszkrimiás, zz b b b fg 4 f g, miből már következik z állítás. M4. I d. H, kkor I I + d I I + [ ] d d d I I,
.. A htározott itegrál tuljdosági és kiszámítás 55 zz Ezért I I + I,,.... +,,.... M44. Végezze el z t gt t [, ] helyettesítést. M45.... M46. Prciális itegrálv zt kpjuk, hogy [ m+ m + Ezért Bm, ] Bm, + m + Bm +, m +! m + m + m d m+ d Bm +,. m + m + m + Bm +, m + m+!m! d m + +!. M47. Itegráljo prciális. M48. d + 6 d 4. b Mivel si [, π ], ezért π π e r si d π d er si π e r π d π r [ ] e r π π π r e r. c Az itegrálszámítás középértéktétele szerit létezik oly ξ [, ], mellyel si d si ξ + + d si ξ[ rctg ] π 4 si ξ π si <, 7. 4
56. A htározott itegrál d A Cuchy Buykovszkij-Schwrz-egyelőtleség lpjá 6 + 4 d + 4 d d 5. e Legye f : si, π. Mivel f cos tg, π és tg mide, π potb tg függvéy ui. kove, π/- e és grfikoják z éritője potb z y egyees, ezért f mooto csökkeő, π/-e, ezért 8 f π π π 4 π π 4 si M5. Az itegrdus folytoos, ezért z F : d f π π 4 π 4 + t dt R 6. itegrálfüggvéye mide R potb differeciálhtó és F + R, következésképpe F lim h F + h F h h lim h h +h + t dt. M55. b Jelölje M z f egy felső korlátját: f M [, ]. Legye egy rögzített természetes szám, és tekitsük [, ] itervllum k k,,,..., osztópotokkl vett egyeletes felosztását. Ekkor ezért : f d k k k [ k f d f k k k f f k ] d k k k k k f d, f d k k k k k f f k f k d d.
.. A htározott itegrál lklmzási 57 Alklmzzuk most z f függvéyre [ k, k ] itervllumo Lgrge-féle középértéktételt: v oly ξ [ k, k ], melyre Az f korlátosság mitt k k f f k f ξ k. k f f d M k k Ezért M M egyelőtleség mide N eseté teljesül. k t dt M... A htározott itegrál lklmzási.4. Improprius itegrálok.5. Kiegészítések differeciálszámításhoz és z itegrálszámításhoz M76. H α emegtív egész szám, kkor tgok bizoyos idetől kezdve -vl egyelők, így sor koverges. H α em ilye, kkor egyik együtthtó sem, ezért D Alembert-féle háydoskritérium és α α k α k + k + k lpjá α k+ α k k+ k α α k k α kk+ α k k +, h k +, ezért sor vlób koverges mide, eseté. Jelöljük f-fel sor összegét: f : + k α k,. k
58. A htározott itegrál Megmuttjuk, hogy f hsoló deriválási szbály érvéyes, mit z + α < függvéyre. Erre függvéyre ugyis + α α + α, zz + + α α + α teljesül mide, potb. Ehhez hsoló feáll z + f αf, egyelőség. Ez htváysor deriválásár votkozó állítás és felhszálásávl így igzolhtó: + α + α + f + k k k k k k k + [ α α ] k + + k k α k + k k + k + α k + k k k α k αf. k k Ebből most már z f + α egyelőség köye bizoyíthtó. Legye ugyis g : f,. + α A g függvéy deriválhtó és mitt g f + α fα + α + α + f αf + α, ezért g álldó, -e. Az potb g, ezért vlób feáll z f + α, egyelőség. M77. Az állítást z I : π si d,,,... itegrálok kiszámításá keresztül látjuk be. Világos, hogy I π d π és I π si d [ ] π cos.
.5. Kiegészítések differeciálszámításhoz és z itegrálszámításhoz 59 h >, kkor prciális itegrálv zt kpjuk, hogy I miből dódik. π cos si d I [ si ] π I cos π π cos si cos d si si d I I, I I,,... I I I π, I + + I I. Mivel mide természetes számr si + si + si, π/, ezért zz I + I + I N, + + π + π. Ebből + + π 4 + π M78. Az lpötlet z, hogy z l d itegrált, zz z l függvéy [, ] itervllumo vett grfikoj ltti területet beírt trpézok területéek összegével közelítjük. A szób forgó itegrál köye meghtározhtó: l d [ l ] l + l l e +l e l e e.
6. A htározott itegrál Tekitsük most z l kokáv! függvéy grfikojáb beírt zo töröttvolt, melyek szögpotji görbe,,..., bszcisszákhoz trtozó potji. Az e töröttvol ltti síkidom területe egy háromszögek és trpézk területéből tevődik össze, és z értéke: l + l + l + + l + l l + l + + l l l!, ezért területek külöbsége: : l e! e e l l > N. e! zért pozitív, mert z l függvéy kokáv z egész R + -o. A geometrii trtlomból yilvávló, hogy sorozt mooto övekedő. Egy szellemes geometrii megfotolásból z is következik, hogy sorozt felülről korlátos és l mide N eseté. Ezért sorozt koverges. Az ep függvéy szigorú mooto övekedő, ezért z e e e! sorozt is koverges, és htárértéke pozitív. A sorozt reciprok, tehát z! : N e sorozt is koverges. Feldtuk htárértékéek kiszámolás. Ehhez két észrevételt érdemes megjegyezi: egyrészt zt, hogy < lim lim, mi z és lim lim yilvávló következméye. A másik észrevétel z, hogy Wllis-formulávl hozhtó kpcsoltb: [! ] [ 4 6 ] [! ] e e!! 4 6 + +.
.5. Kiegészítések differeciálszámításhoz és z itegrálszámításhoz 6 A Wllis-formul lpjá ezért lim + lim + 4 6 lim lim + 4 6 π +,! e lim + + π π, mi zt jeleti, hogy lim +! e π. M79. Elég igzoli zt, hogy π irrcioális. Ezt idirekt módo látjuk be. H π rcioális lee, kkor létezéek oly p, q N számok, melyre π p q teljesüle. Vegyük most egy oly N számot, melyre ilye v, miért?, és tekitsük z πp <! f :! R függvéyt. Az iderekt feltételt felhszálv prciális itegrálássl mutss meg, hogy A : πp f si π d egy egész szám. Ez viszot elletmodás, mert < A πp! d πp! <.