ábra: Ábra Bodó Bea, Somonné Szabó Klára Matematika. közgazdászoknak
III. modul: Többváltozós üggvének 5. lecke: Többváltozós üggvének, parciális deriválás Tanulási cél: Megismerkedni a többváltozós üggvének ogalmával, különös tekintettel a kétváltozós üggvénekre, kétváltozós üggvének értelmezési tartománának meghatározása, parciális deriválás. Motivációs példa Eg üzem kétéle terméket állít elő. A két termék havi előállítási költségét a ( ) C Q, Q = Q 3Q Q + 5Q 0Q 8Q + 50, Q, Q 0 és Q, Q költségüggvén adja, ahol Q az egik, Q a másik termék menniségét jelenti tonnában, a költség pedig millió orintban értendő. Milen költséggel kell számolni, ha az egik termék 000 tonna, a másik pedig 500? Hogan változna a költség, ha a Q -gel jelölt termék menniségét eg egséggel növelnénk? Általában hogan változik a költségüggvén, ha csak az egik termék menniségét változtatjuk? Elméleti összeoglaló Eddig olan üggvénekkel oglalkoztunk, amelek értelmezési tartomána és értékkészlete a valós számok halmazának részhalmaza. A közgazdaságtanban számos jelenség leírásához több változó egüttes vizsgálatára van szükség. Azokat a üggvéneket, ameleknek több egmástól üggetlen változójuk van, többváltozós üggvéneknek nevezzük. deiníció rész Deiníció: Az : normál rész n üggvént n -változós valós értékű üggvénnek nevezzük. Az üggvén az értelmezési tartomán minden ( ) pontjához eg ( ) valós számot rendel.,,... n Kétváltozós üggvéneknek az :, (, ) (, ),,... n típusú üggvéneket nevezzük. Az (, ) kétváltozós üggvén geometriai interpretációját a háromdimenziós Descartes koordinátarendszerben úg kapjuk, hog az síkban az (, ) koordinátájú pontokhoz az (, ) üggvén által hozzárendelt értéket mérjük el merőlegesen.
ng} {á:5_.p A kétváltozós üggvén graikonja a térben leggakrabban eg elületet alkot. Nézzünk néhán kétváltozós üggvént. (, ) = + _.png} {á:5 (, ) = + 9 3
5_3.png} {á: (, ) = 3 + 4 4 5_4.png} {á: A kétváltozós üggvéneket a hozzárendelési utasítás megadásával deiniáljuk. Az értelmezési tartomán az síknak az a legbővebb részhalmaza, amelre a hozzárendelési utasítás értelmes. Az értelmezési tartománt legcélszerűbb graikusan megadni. Kidolgozott eladatok. eladat: Tekintsük a következő, kétváltozós üggvént: (, ) = + 4
Számítsa ki az (, ), (, ) és ( 3,3) helettesítési értékeket! Megoldás: Kezdjük (, ) kiszámolásával. Ez a jelölés azt jelenti, hog = és = értékeket kell behelettesíteni a megelelő változók helére: (,) = + = + 4 = 5 (,) esetén nagon hasonló a helzet, de a ordított sorrend miatt ez most azt jelenti, hog az = és = behelettesítéseket kell elvégezni: (,) = + = 4 + = 4 ( 3,3) esetén pedig mindkét változó helére hármat kell írni: (3,3) = 3 3 3+ 3 = 7 3+ 6 = 30. eladat: Tekintsük a következő Számítsa ki az (,,3) helettesítési értékeket! Megoldás: Az (,,3) 3, háromváltozós üggvént: (,, z) = z +. jelölés azt jelenti, hog =, = és z = 3 értékeket kell behelettesíteni a megelelő változók helére: (,,3) = 3+ = 7 3. eladat: Határozza meg az ( ) tartománát!, = + kétváltozós üggvén értelmezési Megoldás: Eg kétváltozós üggvén értelmezési tartomána az sík vag annak valamel részhalmaza lehet. Tehát azt kell vizsgálnunk, hog milen (, ) pontok esetén van értelmezve (, ) üggvén. Mivel négzetgököt csak nemnegatív számból vonhatunk, íg az értelmezési tartomán minden pontjára teljesülnie kell, hog: + 0 Ezt az egenlőtlenséget rendezzük -ra: + Az = + eg olan egenes egenletét jelenti, ami az -tengelt az pontban metszi, és az -tengelt a ( 0,5) pontban. Az egenes a teljes síkot két élsíkra osztja. Az egik élsíkban olan pontok találhatóak, amelekre +, míg a másikban +. Eg tetszőleges érték 5
behelettesítésével kiválaszthatjuk a megelelő élsíkot. Az értelmezési tartomán pontjait az alábbi ábra szemlélteti. 4. eladat: Határozza meg az (, ) e ln ( ) tartománát! {á:5_5.png} = + kétváltozós üggvén értelmezési Megoldás: Mivel ln argumentumában csak pozitív szám állhat, ezért azt kell vizsgálnunk, hog milen (, ) pontok esetén teljesül: 0 egenlőtlenség. Azaz rendezve -ra: {á:5_6.png} Vizsgáljuk meg most a gökös kiejezést. Mivel négzetgök alatt csak nemnegatív szám szerepelhet, íg a kiejezés olan (, ) pontokban van értelmezve, amelekre 6
0 kell, hog teljesüljön. Vegük észre, hog rendezve -re Ahhoz, hog (, ) {á:5_7.png} értelmezve legen, az előbbi két eltételnek egszerre kell teljesülnie, tehát csak azok a pontok tartoznak bele az (, ) egszerre teljesül. Ezt szemlélteti az alábbi ábra: értelmezési tartománába, amelekre mindkét eltétel {á:5_8.png} 5. eladat: Határozza meg az (, ) tartománát! = lg( + 5) + kétváltozós üggvén értelmezési Megoldás: Nézzük először a logaritmusos kiejezést. Mivel lg argumentumában csak pozitív szám állhat, íg a kiejezés olan (, ) pontokban van értelmezve, amelekre 7
+ 5 0 kell, hog teljesüljön. Vegük észre, hog az + = 5 egenlőség eg origó középpontú, 5 sugarú körvonal pontjaira teljesül. Az + 5 egenlőtlenséget pedig azon pontok teljesítik az síkban, amelek 5-nél nagobb távolságra vannak az origótól, azaz az origó középpontú, 5 sugarú körön kívül helezkednek el. {á:5_9.png} Mivel négzetgökös kiejezés a nevezőben található, íg az értelmezési tartomán minden pontjára teljesülnie kell, hog: + 0 Ezt az egenlőtlenséget rendezzük -ra: Az = eg olan egenes egenletét jelenti, ami áthalad az origón. Az egenes a teljes síkot két élsíkra osztja. Eg tetszőleges érték behelettesítésével kiválaszthatjuk a megelelő élsíkot. 8
Ahhoz, hog (, ) {á:5_0.png} értelmezve legen, az előbbi két eltételnek egszerre kell teljesülnie, tehát csak azok a pontok tartoznak bele az (, ) egszerre teljesül. Ezt szemlélteti az alábbi ábra: értelmezési tartománába, amelekre mindkét eltétel {á:5_.png} 6. eladat: Határozza meg az ( ) értelmezési tartománát!, = 4 + + kétváltozós üggvén Megoldás: Vizsgáljuk meg először a nemnegatív szám szerepelhet, íg a keresett (, ) pontokra: 4 kiejezést. Mivel négzetgök alatt csak 4 0 teljesül. Ezt -ra rendezve + 4 9
Először ábrázoljuk az = + 4 egenletű parabolát. Ekkor a parabola két élsíkra osztja az síkot. Eg tetszőleges érték behelettesítésével kiválaszthatjuk a megelelő élsíkot. Az egenlőtlenségnek eleget tevő pontok halmaza az alábbi ábrán látható. {á:5_.png} A másik gökös kiejezésnél a négzetgök alatt szintén csak nemnegatív szám szerepelhet, íg a keresett (, ) pontokra: + 0 teljesül. Ezt -ra rendezve Az = eg olan egenes egenletét jelenti, ami az -tengelt az pontban metszi, és az -tengelt a ( ) pontban. Az egenes a teljes síkot két élsíkra osztja. Eg tetszőleges érték behelettesítésével kiválaszthatjuk a megelelő élsíkot. {á:5_3.png} 0
Az értelmezési tartomán pontjait az alábbi ábra szemlélteti. 7. eladat: Határozza meg az (, ) 4 ln ( ) értelmezési tartománát! {á:5_4.png} = + + + kétváltozós üggvén Megoldás: Vizsgáljuk meg először a gökös kiejezést. Mivel négzetgök alatt csak nemnegatív szám szerepelhet, íg a keresett (, ) pontokra: + 4 0 kell, hog teljesüljön. Vegük észre, hog az + = egenlőség eg origó középpontú, sugarú körvonal pontjaira teljesül. Az + egenlőtlenséget pedig azon pontok teljesítik az síkban, amelek vag -nél nagobb távolságra vannak az origótól, azaz az origó középpontú, sugarú körön vag azon kívül helezkednek el.
{á:5_5.png} Mivel ln argumentumában csak pozitív szám állhat, íg a második kiejezés olan (, ) pontokban van értelmezve, amelekre + 0 -ra rendezve: Ábrázoljuk az = egenletű parabolát. Ekkor a parabola két élsíkra osztja az síkot. Az egenlőtlenségnek eleget tevő pontok halmaza az alábbi ábrán látható. Ahhoz, hog az (, ) {á:5_6.png} üggvén értelmezve legen, az előbbi két eltételnek egszerre kell teljesülnie, tehát csak azok a pontok tartoznak bele az (, ) értelmezési tartománába, amelekre mindkét eltétel egszerre teljesül. A halmazok nelvén megogalmazva, (, ) értelmezési tartománát a két eltételhez tartozó halmaz metszete adja. Ezt szemlélteti az alábbi ábra:
{á:5_7.png} teszt rész Ellenőrző kérdések. Tekintsük a következő (, ) = ln, kétváltozós üggvént: Számítsa ki az (,) helettesítési értékeket! 0 nem létezik. Tekintsük a következő (,, z) = z + 3, háromváltozós üggvént: Számítsa ki az (,, ) helettesítési értékeket! 3
3. Határozza meg az (, ) ln ( 6) = kétváltozós üggvén értelmezési tartománát! {á:53a.png} {á:53b.png} {á:53c.png} 4
{á:53d.png} 3 4. Határozza meg az (, ) lg ( ) tartománát! = + kétváltozós üggvén értelmezési {á:54a.png} {á:54b.png} 5
{á:54c.png} {á:54d.png} 5. Határozza meg az (, ) tartománát! = lg(6 ) 4+ + kétváltozós üggvén értelmezési {á:55a.png} 6
{á:55b.png} {á:55c.png} {á:55d.png} 7
6. Határozza meg az ( ) tartománát!, = + 9 + + kétváltozós üggvén értelmezési {á:56a.png} {á:56b.png} {á:56c.png} 8
{á:56d.png}, = ln + 36 + + kétváltozós üggvén 7. Határozza meg az ( ) ( ) értelmezési tartománát! {á:57a.png} {á:57b.png} 9
{á:57c.png} {á:57d.png} normál rész Elméleti összeoglaló Az egváltozós üggvéneknél megismert összegre, szorzatra, hánadosra és összetett üggvénre vonatkozó deriválási szabálok a parciális deriválásnál is érvénesek. Amikor valamelik változó szerint parciálisan deriválunk, akkor az egváltozós üggvének deriválásakor megtanult szabálokat kell alkalmazni úg, hog azokat a változókat, amelek szerint nem deriválunk konstansnak kell tekinteni. Kétváltozós üggvének parciális deriválásakor ez azt jelenti, hog az szerinti parciális deriválás során -t, az szerinti parciális deriválás során pedig -et konstansként kezeljük. Az (, ) üggvént az változó szerint deriválva kapjuk az, ) -nal vag szerinti elsőrendű parciális deriváltnak nevezett kétváltozós üggvént. ( -nal jelölt és az 0
Az (, ) üggvént az változó szerint deriválva pedig kapjuk az (, ) -nal vag és az szerinti elsőrendű parciális deriváltnak nevezett kétváltozós üggvént. -nal jelölt Ezeket a üggvéneket szokás az (, ) üggvén elsőrendű parciális deriváltjainak nevezni. Az elsőrendű parciális deriváltakat újra deriválva, kapjuk a másodrendű parciális deriváltakat. Az (, ) = üggvénből deriválással két új, szintén kétváltozós üggvént kapunk. Az változó szerint deriválva kapjuk az (, ) -nal vag szerinti tiszta másodrendű parciális deriváltnak nevezni. -nal jelölt üggvént, amit szokás Az szerinti elsőrendű parciális deriváltat változó szerint újra deriválva kapjuk üggvén veges másodrendű parciális deriváltját, amit szokás (, ) -nal vag Hasonlóan az (, ) = üggvénből is két új kétváltozós üggvént kapunk. -nal jelölni. Az változó szerint deriválva kapjuk az (, ) -nal vag parciális deriváltat. -nal jelölt veges másodrendű Az változó szerint deriválva pedig kapjuk az (, ) -nal vag másodrendű parciális deriváltat. -nal jelölt szerinti tiszta Kétszer oltonosan deriválható üggvének esetén a veges másodrendű parciális deriváltak üggetlenek a deriválás sorrendjétől, vagis (, ) (, ) eltétlenül igaz, tehát például abból, hog (, ) (, ) (, ) kétszer oltonosan deriválható. Kidolgozott eladatok 8. eladat: Vegük az alábbi kétváltozós üggvént: =. Viszont a megordítása nem =, még nem következik, hog :, (, ) = 3 + Számítsa ki (, ) és (, ) értékeit! Majd képezze az összes másodrendű parciális deriváltat!
Megoldás: A eladat megoldásához először el kell végeznünk a parciális deriválást az adott változók szerint, majd következik a behelettesítés. Parciális deriválásnál csak azt a változót tekintjük változónak, ami szerint éppen deriválunk. A másik változó pedig rögzített konstansként viselkedik. (, ) = = 3 +. hiszen deriváltja és deriváltja pedig. Majd elvégezve a behelettesítést: = + = 3 (, ) 3 (, ) kiszámítása nagon hasonlóan történik: most szerint deriválunk, és -et tekintjük konstansnak: (, ) = = 3 + 0 Elvégezve a behelettesítést: = = (,) 3 Az elsőrendű parciális deriváltakat újra deriválva, kapjuk a másodrendű parciális deriváltakat. Az (, ) = = 3 + üggvénből két új üggvént kapunk. Az változó szerint deriválva: Az változó szerint deriválva: (, ) = = (, ) = = 3 Az (, ) = = 3 üggvénből szintén két új üggvént kapunk. Az változó szerint deriválva: Az változó szerint deriválva: (, ) 3 = = (, ) = = 6 Vegük észre, hog (, ) (, ) =. 9. eladat: Számítsa ki az alábbi kétváltozós üggvén elsőrendű parciális derivált üggvéneit!
:, (, ) = e Megoldás: Kezdjük az szerinti deriválással. Ekkor, és íg e is konstansnak tekintendő. (, ) = = e = e Most szerinti deriválva lesz konstans: (, ) = = e = e 0. eladat: Számítsa ki az alábbi kétváltozós üggvén elsőrendű parciális derivált üggvéneit! 3 ( ) :, (, ) = 3 Megoldás: Ez a üggvén eg összetett üggvén. A külső üggvén eg harmadokú üggvén a 3 belső üggvén pedig. Először deriváljuk a külső üggvént a belső üggvén szerint, majd utána a belső üggvént kell deriválni a megelelő változó szerint. Kezdjük az szerinti deriválással. (, ) 3 6 = = = (, ) kiszámítása: 3 3 ( ) ( ) külső der. külső der. belső der. az változó szerint 3 3 (, ) = = 3( ) ( 3 ) = 3( ) ( 3 ) belső der. az változó szerint. eladat: Számítsa ki az alábbi kétváltozós üggvén elsőrendű parciális derivált üggvéneit! 4 :, (, ) = Megoldás: Ez ismét eg összetett üggvén, íg a megoldás menete úg zajlik, mint az előző eladatban: először deriválni kell a külső üggvént a belső üggvén szerint (jelen esetben a négzetgök üggvént), majd utána a belső üggvént kell deriválni a megelelő változó szerint. A négzetgök üggvént érdemes hatván alakban elírni: ( ) (, ) = = 4 4 Ezután a külső üggvént már, mint hatvánüggvént lehet deriválni: 3
( ) 4 (, ) = = ( ) = = külső der. külső der. belső der. az változó szerint belső der. az vátozó szerint 4 4 ( ) 3 3 4 3 ( 4 ) ( ) (, ) = = ( 4 ) = = 4 4. eladat: Számítsa ki az alábbi kétváltozós üggvén elsőrendű parciális derivált üggvéneit! 4 :, (, ) = sin( ) Megoldás: Kezdjük az szerinti deriválással. 4 5 (, ) = = cos( ) = cos( ) (, ) kiszámításánál eg szorzatot kell deriválni. A szorzat egik ténezője üggvén. 3 4 3 4 (, ) = = 4 sin( ) + cos( ) = 4 sin( ) + cos( ) sin( ) összetett 3. eladat: Ha 3 :, (, ) = 3 sin, határozza meg üggvén másodrendű parciális derivált üggvéneit! Megoldás: A szokott módon állítsuk elő az elsőrendű parciális deriváltakat. (, ) = 9 sin 9 sin = = 3 (, ) = = 3 cos A kapott üggvéneket külön-külön deriváljuk újra mindkét változó szerint. (, ) = = 8 sin = 8sin (, ) = = 9 cos 3 3 (, ) = = 3 ( sin ) = 3 sin 4
(, ) = = 9 cos teszt rész Ellenőrző kérdések 8. Vegük az alábbi kétváltozós üggvént: 4 3 :, (, ) = + Számítsa ki (,3) értékét! 8 7 99 84 9. Vegük az alábbi kétváltozós üggvént: 4 3 :, (, ) = + Számítsa ki (, ) értékét! 3 4 5 6 0. Vegük az alábbi kétváltozós üggvént: 4 3 :, (, ) = + Határozza meg a másodrendű derivált üggvént! = 3 = 3 + 5
= 3 = 3 +. Vegük az alábbi kétváltozós üggvént: 4 3 :, (, ) = + Határozza meg az (, ) másodrendű derivált üggvént! (, ) 3 = + (, ) 3 = + (, ) = (, ) = 3 3. Vegük az alábbi kétváltozós üggvént: 3 6 4 :, (, ) = e Határozza meg az (, ) elsőrendű derivált üggvént! (, ) = e 3 6 4 (, ) = 6 e 3 6 4 (, ) = 3 e 6 4 e 3 6 4 (, ) = (6 4) 3. Vegük az alábbi kétváltozós üggvént: 3 ( ) 7 :, (, ) = 4 + 5 Határozza meg az (, ) elsőrendű derivált üggvént! 3 (, ) = ( 8 + 5 ) (, ) 8 5 = + ( ) 7 3 ( ) (, ) = 7 4 + 5 (8 + 5) 7 6 6
6 3 (, ) 7 4 + 5 (8 + 5) 3 = ( ) 4. Vegük az alábbi kétváltozós üggvént: 5 3 :, (, ) = 3 + Határozza meg az (, ) elsőrendű derivált üggvént! 5 3 5 (, ) = ( 3 + ) ( + 3 ) 5 3 5 (, ) = ( 3 + ) ( + 3 ) (, ) = 3 + 3 5 ( ) 4 5 (, ) = + 3 5 ( ) 4 5 4 4 5. Vegük az alábbi kétváltozós üggvént: :, (, ) = sin( + ) Határozza meg az (, ) elsőrendű derivált üggvént! (, ) = cos( + ) (, ) = sin ( + ) + cos( + ) (, ) = cos( + ) (, ) = cos( + ) 6. Vegük az alábbi kétváltozós üggvént: :, (, ) = sin( ) Határozza meg az = cos( ) = cos ( ) elsőrendű derivált üggvént! 7
= + sin ( ) cos ( ) = + sin ( ) cos ( ) 8
6. lecke: Gradiens vektor, iránmenti deriválás Tanulási cél: Az iránmenti derivált kiszámolása és a gradiens vektor előállítása. Motivációs példa Eg üzem kétéle terméket állít elő. A két termék havi előállítási költségét a ( ) C Q, Q = Q 3Q Q + 5Q 0Q 8Q + 50, Q, Q 0 és Q, Q költségüggvén adja, ahol Q az egik, Q pedig a másik termék menniségét jelenti tonnában, a költség pedig millió orintban értendő. Tegük el, hog a Q -gel jelölt termékből q, a Q termékből pedig q tonnát gártanak. Hogan változik a költségüggvén, ha a Q és Q termék menniségét valamel u = ( u, u) irán mentén megváltoztatjuk? Hogan kellene változtatni a termékek menniségén, hog a költség a lehetséges legnagobb mértékben csökkenjen? Ahog az előző leckében, itt is a változás mértékét szeretnénk mérni. Kétváltozós üggvénnek két üggetlen változója különböző módon is változhat. Ebben a leckében arra adunk választ, hog ezek egüttes hatását hogan lehet számolni. Elméleti összeoglaló Az iránmenti derivált eg adott pontból kiindulva a üggvén változását méri eg adott irán mentén. Segítségével azt tudjuk vizsgálni, hog eg adott pontból kiindulva melik az az irán, amel mentén a üggvén értékei a leggorsabban változnak. Az iránmenti derivált a gradiens vektor iránában a legnagobb. A gradiens vektor tehát eg adott pontban a üggvén legnagobb növekedésének iránába mutat. Ellentett vektora pedig a legnagobb csökkenés iránát adja meg. Az ábrán az (, ) = + üggvén és a ( ), ponthoz tartozó gradiens vektor látható. 9
{á:6_.png} Az ábrán az (, ) = + üggvén és a ( ),0 ponthoz tartozó gradiens vektor látható. Legen : üggvén (, ) gradiense az a grad (, ) -nal vag (, ) (, ) = grad (, ) =, Legen az pontban dierenciálható, ekkor (, ) {á:6_.png} pontjához tartozó -nal jelölt vektor, amelre teljesül, hog : üggvén dierenciálható, az értelmezési tartomán (, ) pontjában és annak valamel körnezetében. Ekkor az üggvén u = ( u, u) iránú iránmenti deriváltja az (, ) pontban: u u u u ( =, ) (, ), u = + u u 30
Kidolgozott eladatok. eladat: Határozza meg az a (,) pontban! :, (, ) = + + kétváltozós üggvén gradiensét Megoldás: Első lépésként ki kell számolnunk a parciális deriváltakat, utána pedig be kell helettesítenünk a megadott pont koordinátáit. Az szerinti parciális derivált: (, ) = = + Az szerinti parciális derivált: (, ) = = + Íg tehát a üggvén gradiense az (, ) pontban: (, ) = grad (, ) =, = +, + ( ) Mivel mi a gradiens (,) pontban elvett értékére vagunk kíváncsiak, íg határozzuk meg a parciális deriváltak helettesítési értékeit: ( ) (, ) = grad (, ) = ( ) +, + = (0,3). eladat: Határozza meg az pontban! :, (, ) = sin(3 ) üggvén gradiensét a (,) Megoldás: Ez a üggvén eg összetett üggvén. A külső üggvén a szinusz üggvén a belső üggvén pedig 3. Először deriváljuk a külső üggvént a belső üggvén szerint, majd utána a belső üggvént kell deriválni a megelelő változó szerint. Kezdjük az szerinti parciális deriválttal: (, ) cos(3 ) 3 = = Az szerinti parciális derivált: (, ) = = cos(3 ) 6 Íg tehát a üggvén gradiense az (, ) pontban: 3
(, ) = grad (, ) =, = cos(3 ) 3,cos(3 ) 6 ( ) Mivel mi a gradiens (,) pontban elvett értékére vagunk kíváncsiak, íg határozzuk meg a parciális deriváltak helettesítési értékeit: ( ) (,) = grad (,) = cos(3 ) 3 ;cos(3 ) 6 = (,88;,5) Megjegzés: Ügeljünk arra, hog a cos6 számolásánál a szög, mivel eg valós szám, radiánban értendő. ( cos6 cos6 ) 3. eladat: Határozza meg az :, (, ) = ln( + ) kétváltozós üggvén gradiensét a (3, ) pontban! Megoldás: Első lépésként ki kell számolnunk a parciális deriváltakat, utána pedig be kell helettesítenünk a megadott pont koordinátáit. Az szerinti parciális derivált: = ln( + ) + = ln( + ) + + + És az szerinti parciális derivált: = = + + Íg tehát (, ) = grad (, ) =, = ln( + ) +, + + A gradiens ( 3, ) pontban elvett értéke: 3 3 (3, ) = grad (3, ) = ln(3 ) +, = (3,3) 3 3 4. eladat: Határozza meg az a (, 3) pontban! :, (, ) = + kétváltozós üggvén gradiensét Megoldás: Nilvánvaló, hog (, ) = + = ( + ) 3
Elsőször számoljuk ki a parciális deriváltakat, utána pedig behelettesítjük a megadott pont koordinátáit. Az szerinti parciális derivált: ( = ) + = + És az szerinti parciális derivált: = ( + ) + ( + ) = + + + Íg tehát (, ) = grad (, ) =, =, + + + + A gradiens (, 3) pontban elvett értéke: ( 3) ( 3) 9 (, 3) = grad (, 3) =, ( 3) + ( 3) + = 8, ( 3) ( 3) + + 5. eladat: Határozza meg az gradiensét a (0,) pontban! :, (, ) = + kétváltozós üggvén Megoldás: Elsőször számoljuk ki a parciális deriváltakat, ügelve arra, hog eg törtet deriválunk. Az szerinti parciális derivált: ( ) ( + ) ( ) ( ) + 4 + = = + És az szerinti parciális derivált: ( + ) 3 4 ( ) ( + ) = = + Íg tehát 33
( + 3 ) 4 ( ) ( ) (, ) = grad (, ) =, =, + + A gradiens ( 0, ) pontban elvett értéke: ( 0 + 3 ) ( 0 + ) ( 0 + ) 4 0 (0,) = grad (0,) =, =,0 ( ) 6. eladat: Határozza meg az iránú iránmenti deriváltját az (, ) pontban! :, (, ) = kétváltozós üggvén u = (,) Megoldás: Először számoljuk ki az iránvektor hosszát. u = + = 5 Számoljuk ki az szerinti parciális deriváltat: (, ) = = Az szerinti parciális derivált: (, ) = = 4 u = iránú iránmenti derivált az (, ) Íg az (,) u u + = + = + u u 5 5 5 8 pontban: (, ) = ( 4 ) u 7. eladat: Határozza meg az iránú iránmenti deriváltját az (, ) pontban! :, (, ) = kétváltozós üggvén u = (, ) Megoldás: Az előbbi eredmént elhasználva az u = (, ) iránú iránmenti derivált az (, ) pontban: 8 u (, ) = ( ) + ( 4( ) ) = 5 5 5. 8. eladat: Határozza meg az :, (, ) = ( ) iránú iránmenti deriváltját az (, ) pontban! 3 kétváltozós üggvén u = (,) 34
Megoldás: Először számoljuk ki az iránvektor hosszát. ( ) u = + = (, ) = ( ) = 3 6 Számoljuk ki az szerinti parciális deriváltat: (, ) 6 = = 5 Az szerinti parciális derivált: 6 (, ) = = u = iránú iránmenti derivált az (, ) Íg az (,) pontban: u u u (, ) = + = 6 + u u Íg az (,) 5 6 u = iránú iránmenti derivált az (, ) 8 ( ) + ( ) = 5 6 u (, ) = 6 pontban: 9. eladat: Határozza meg az :, (, ) = e e iránú iránmenti deriváltját a (0,0) pontban! kétváltozós üggvén u = ( 5,) Megoldás: Számoljuk ki az iránvektor hosszát. ( ) u = 5 + = 9 A parciális deriváltak: (, ) = = e e (, ) = = e e Tehát az ( 5,) u = iránú iránmenti derivált az (, ) pontban: 35
u u 5 u (, ) = + = ( e e ) + ( e e ) u u 9 9 Az u = ( 5,) iránú iránmenti derivált a ( 0,0 ) pontban: 5 7 ( 0 0 0 ) ( 0 0 0 u (0,0) = e e + e e ) = 9 9 9 :, (, ) = + 3 0. eladat: Határozza meg az ( ) 4 iránú iránmenti deriváltját az (,) pontban! kétváltozós üggvén u = (3, ) Megoldás: Számoljuk ki az iránvektor hosszát. ( ) u = + = 3 0 A parciális deriváltak: (, ) = = 4 + 3 + 3 ( ) 3 = ( ) 3 3 (, ) = = 4 ( + 3 ) = 4( + 3 ) Tehát az (3, ) 3 3 u = iránú iránmenti derivált az (, ) pontban: (, ) u u 3 3 u = + = ( + 3) + 4 ( + 3) Az (3, ) u u u = iránú iránmenti derivált a (,) u 3 0 0 pontban: 3 3 3 56 (,) = ( + 3( ) ) + 4 ( + 3( ) ) = 0 0 0. eladat: Határozza meg az :, (, ) = + iránú iránmenti deriváltját a (,) pontban! kétváltozós üggvén u = (,) Megoldás: Számoljuk ki az iránvektor hosszát. ( ) u = + = A parciális deriváltak: 36
( ) ( ) ( ) ( ) (, ) + = = = + + (, ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = = = + + Tehát az (,) u = iránú iránmenti derivált az (, ) ( ) ( ) pontban: u u u (, ) = + = + u u + + Az u = (,) iránú iránmenti derivált a (, ) pontban: u (,) = teszt rész 6 + = = 9 3 ( + ) ( + ) Ellenőrző kérdések. Határozza meg az (, ) pontban! 3 :, (, ) = + kétváltozós üggvén gradiensét a (,8) (,7) ( 4,7 ) ( 4,8 ). Határozza meg az pontban! :, (, ) = e + kétváltozós üggvén gradiensét a (, ) (, ) ( 0,0 ) (,0) 37
(,) 3. Határozza meg az (, ) pontban! :, (, ) = ( ) 3 4 kétváltozós üggvén gradiensét a ( 44,8) ( 44, 8) ( 44, 8) ( 44,8 ) 4. Határozza meg az pontban! :, (, ) = + kétváltozós üggvén gradiensét a (0,) (,0 ) ( 0, ) (, ) ( 0,0 ) 5. Határozza meg az 3 :, (, ) = 3 4 iránmenti deriváltját az (, ) pontban! üggvén u = (4, 3) iránú 3 + 6 4 u (, ) = 5 3 + 6 4 u (, ) = 5 3 48 + 8 u (, ) = 5 3 48 8 + u (, ) = 5 38
6. Határozza meg az 3 :, (, ) = 3 4 iránmenti deriváltját a (,) pontban! üggvén u = (4, 3) iránú 56 5 306 5 4 5 74 5 7. Határozza meg az deriváltját a (, ) pontban! :, (, ) = ( ) 4 3 üggvén u = (, ) iránú iránmenti 8 5 8 5 4 5 3 8. Határozza meg az e e iránmenti deriváltját a (0,0) pontban! :, (, ) = + üggvén u = (, ) iránú 5 5 5 39
5 :, (, ) = + 5 9. Határozza meg az ( ) 3 iránmenti deriváltját az (, ) pontban! üggvén u = (, 3) iránú 3 7 3 7 3 3 40
7. lecke: Lokális szélsőérték meghatározása Tanulási cél: A kétváltozós üggvének lokális szélsőértékének meghatározása. Motivációs példa Eg üzem kétéle terméket állít elő. A két termék havi előállítási költségét a ( ) C Q, Q = Q 3Q Q + 5Q 0Q 8Q + 50, Q, Q 0 és Q, Q költségüggvén adja, ahol Q az egik, Q a másik termék menniségét jelenti tonnában, a költség pedig millió orintban értendő. Milen termékösszetételnél lesz a költség minimális? Ebben a leckében módszert adunk annak eldöntésére, hog eg kétváltozós üggvének van-e szélsőértéke és ha van milen típusú. Elméleti összeoglaló Vegünk eg (, ) kétváltozós üggvént, amel kétszer oltonosan deriválható. deiníció rész Deiníció: Az (, ) üggvén értelmezési tartománának azon pontjait, ahol mindkét parciális derivált nulla az (, ) üggvén stacionárius pontjainak nevezzük. Deiníció: Az (, ) üggvénnek az (, ) (, ) pontban lokális maimuma van, ha létezik az 0 0 0 pontnak olan körnezete, melben az 0 0 0 Deiníció: Az (, ) üggvénnek az (, ) (, ) 0 0 0 pontnak olan körnezete, melben az 0 0 0 normál rész (, ) a legnagobb érték. pontban lokális minimuma van, ha létezik az (, ) a legkisebb érték. Tétel: Ha eg kétváltozós üggvén az értelmezési tartománának valamel (, ) pontjában mindkét változója szerint parciálisan dierenciálható és az adott pontban a üggvénnek lokális szélsőértéke van, akkor (, ) 0 0 0 = és (, ) 0 0 0 pontja. Tehát eg kétváltozós üggvénnek eg (, ) =, azaz (, ) 0 0 0 0 0 0 pont eg stacionárius pontban csak akkor lehet lokális szélsőértéke, ha a pont eg stacionárius pontja. De sajnos a parciális deriváltak zérus volta nem elegendő eltétel a szélsőérték létezésére. 4
Tétel: Eg kétváltozós üggvénnek az (, ) (, ) 0 0 pontban akkor van lokális szélsőértéke, ha az 0 0 pont eg stacionárius pontja és teljesül, hog ( 0, 0) ( 0, 0) D( 0, 0) = 0 (, ) (, ) 0 0 0 0 azaz ( ) D, = (, ) (, ) + (, ) (, ) 0. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ha D (, ) 0, akkor az üggvénnek az (, ) 0 0 üggvénnek az (, ) Ha ( ) 0 0 0 0 pontban nincs lokális szélsőértéke. Az 0 0 pontban neregpontja van. D, = 0, akkor további vizsgálatok szükségesek annak eldöntésére, hog van-e szélsőérték az (, ) pontban vag nincs. 0 0 A lokális szélsőérték jellegét (maimum vag minimum) az (, ) előjele alapján állapíthatjuk meg. Ha (, ) 0 akkor az üggvénnek lokális minimuma van, ha ( ) 0 0 üggvénnek lokális maimuma van. Foglaljuk össze a lokális szélsőérték vizsgálatának lépéseit.. lépés: az elsőrendű parciális deriváltak megadása.. lépés: megkeresni a stacionárius pontot vag pontokat 3. lépés: előállítani a másodrendű parciális deriváltakat. 4. lépés: elírni a D(, ) üggvént 0 0 5. lépés: stacionárius pont vag pontok vizsgálata 6. lépés: a szélsőértékhelhez tartozó helettesítési érték meghatározása Kidolgozott eladatok. eladat: Határozza meg az másodrendű parciális deriváltjait!, 0 akkor az 0 0 : : (, ) = e sin(3 ) kétváltozós üggvén Megoldás: A eladat megoldásához először meg kell határozni az elsőrendű parciális deriváltakat az adott változók szerint. Parciális deriválásnál csak azt a változót tekintjük változónak, ami szerint éppen deriválunk. A másik változó pedig rögzített konstansként viselkedik. Nézzük az szerinti elsőrendű parciális deriváltat. Most az változót konstansnak tekintjük, íg sin(3 ) -t is. (, ) = = e sin(3 ) = e sin 3 ( ). 4
(, ) kiszámítása nagon hasonlóan történik, csak most szerint deriválunk, és -et tekintjük konstansnak, íg e -t is. ( ) (, ) = = e cos(3) 3 = 3e cos 3 Az elsőrendű parciális deriváltakat újra deriválva, kapjuk a másodrendű parciális deriváltakat. Az (, ) ( ) = = e sin 3 üggvénből két új üggvént kapunk. sin 3 4 sin 3 Az változó szerint deriválva: (, ) = = e ( ) = e ( ) Az változó szerint deriválva: (, ) = = e cos ( 3) 3 = 6e cos ( 3) Az (, ) = 3e cos( 3) = üggvénből szintén két új üggvént kapunk. Az változó szerint deriválva: (, ) = = 3e cos ( 3) = 6e cos ( 3) (, ) = 3 sin 3 3 = 9e sin 3 Az változó szerint deriválva: = e ( ) Vegük észre, hog (, ) (, ) =. ( ) ( ). eladat: Határozza meg az lokális szélsőértékeit! :, (, ) = + + 4 + 6 kétváltozós üggvén Megoldás: A üggvén értelmezési tartomána az egész sík, azaz D =. Első lépésként meg kell keresnünk a stacionárius pontokat, vagis azokat a heleket, ahol szélsőértéke lehet a üggvénnek. Ezeket az (, ) 0 = (, ) = 0 egenletekből kaphatjuk meg. Az elsőrendű parciális deriváltak: 43
(, ) 4 = = + (, ) = = + 8 Az alábbi egenletrendszert megoldva + 4= 0 + 8 = 0 kapjuk a 0, 0 = = megoldást. Tehát csupán eg stacionárius pont van a ( ) 0,0. Annak eldöntésére, hog a ( 0,0 ) pont lokális szélsőértékhel-e, a üggvén másodrendű parciális deriváltjaira lesz szükség. (, ) 4 = = (, ) = = (, ) = = (, ) = = 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D 0,0 = 0,0 0,0 + 0,0 0,0 = 48 = 8 Mivel D ( 0, 0) = 8 0, ezért az origó lokális szélsőérték. A lokális szélsőérték jellegét (maimum vag minimum) az ( 0,0) előjele alapján állapíthatjuk meg. Mivel ( ) üggvénnek a ( 0,0 ) pontban lokális minimuma van. 0,0 = 4 0, ezért a Mivel nincsen több szélsőértékhele a üggvénnek, íg abszolút minimum hel is egben. A üggvén értéke az origóban: (0,0) = 6 3. eladat: Határozza meg az szélsőértékeit! 3 :, (, ) = kétváltozós üggvén lokális Megoldás: A üggvén értelmezési tartomána az egész sík, azaz D =. 44
Az elsőrendű parciális deriváltak: (, ) 3 = = (, ) = = A eladat megoldását a stacionárius pontok megkeresésével oltatjuk. = 3 0 = 0 Ezt az egenletrendszert kell megoldanunk. Fejezzük ki valamelik változót az egik egenletből, és helettesítsük be a másikba: = = = 3 (3 ) 0 ( 6 ) 0 Eg szorzat akkor nulla, ha valamelik ténezője nulla, íg két megoldást kapunk: = 0 = 6 Ebből két stacionárius pontot kapunk: = 0 = 0 = = 6 A stacionárius pontok ( ) 0,0 és, 6. Most meg kell vizsgálnunk, hog ezek a stacionárius pontok valóban szélsőértékhelek-e. Ehhez szükségünk lesz a másodrendű parciális deriváltakra. (, ) 6 = = (, ) = = (, ) = = 45
(, ) = = Vizsgáljuk meg először a (0,0) pontot: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D 0,0 = 0,0 0,0 + 0,0 0,0 = 0 = Mivel D ( 0,0) = 0, ezért a (0,0) pont nem lokális szélsőértékhel. Most vizsgáljuk meg a, 6 pontot: D, =,, +,, = ( ) ( ) = 6 6 6 6 6 Mivel D, 6 vag minimum) az = 0, ezért ez a pont lokális szélsőérték. A lokális szélsőérték jellegét (maimum, 6 előjele alapján állapíthatjuk meg. üggvénnek a, pontban lokális maimuma van. 6, = 0, ezért a 6 Ebben a pontban a üggvén értéke:, 6 = 43 4. eladat: Határozza meg az szélsőértékeit! :, (, ) = + + kétváltozós üggvén lokális Megoldás: A eladat megoldását kezdjük az értelmezési tartomán megadásával. A üggvén nincs értelmezve az osztás miatt olan pontokban, ahol = 0 vag = 0. Tehát az értelmezési tartomán az sík, kivéve a koordinátatengeleket. Az elsőrendű parciális deriváltak: (, ) = = (, ) = = A stacionárius pontokat megadó egenletek: 46
= 0 = 0 Fejezzük ki például az első egenletből -t: = 3 Ezt írjuk be a második egenletbe: 6 = 5 0 = 0 3 3 Rendezve kapjuk, hog 8 = = Ha = = = = 3 = = = = 3 Tehát két stacionárius pontot találtunk: (,) és (, ). Mivel mind a kettő eleme az értelmezési tartománnak, íg tovább oltathatjuk a vizsgálódást. A másodrendű parciális deriváltak: (, ) 4 = = + 3 (, ) = = (, ) = = 4 (, ) = = + 3 47
Vizsgáljuk meg az (,) pontot. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D, =,, +,, = 66 = 3 Mivel D (,) = 3 0, ezért az (,) pont lokális szélsőértékhel. A lokális szélsőérték jellegét (maimum vag minimum) az (,) előjele alapján állapíthatjuk meg. ( ) üggvénnek az (, ) pontban lokális minimuma van. A üggvén értéke ( ) Vizsgáljuk meg a (, ) pontot. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), = 6 0, ezért a, = 4. D, =,, +,, = 66 = 3 Mivel D (, ) = 3 0, ezért a (, ) pont lokális szélsőérték hel. Mivel (, ) 6 0 ezért a üggvénnek a (, ) pontban lokális minimuma van. A üggvén értéke ebben a pontban (, ) = 4. 5. eladat: Határozza meg az =, :, (, ) = 4 e e 4 4 kétváltozós üggvén lokális szélsőértékeit! Megoldás: A üggvén értelmezési tartomána az egész sík, azaz D =. Az elsőrendű parciális deriváltak: (, ) = = 8e 8 (, ) = = 4 e 4e 3 4 Most is kaptunk eg egenletrendszert: 3 8e 8 = 0 4 4 e 4e = 0 Alakítsuk szorzattá az első egenletet. 3 8 e 8 = 8 ( e ) = 0 Eg szorzat akkor nulla, ha valamelik ténezője nulla. 48
Ha az = 0, akkor ezt a második egenletbe behelettesítve kapjuk, hog = 4 4e 0 Ez azonban nem teljesülhet semmilen -ra, íg biztosan nem lehet 0. Nézzük a másik esetet, ha e = 0 e = Behelettesítve a második egenlet a következő alakot kapjuk: 4 4 4 4 4( ) = 0 = = Ha = = e = e = 0 = e = e = = Tehát két stacionárius pontot találtunk: (,0 ) és (,0 ). 0 A másodrendű parciális deriváltak: (, ) = = 8e 4 (, ) 8 = = e (, ) 8 = = e (, ) = = 4 e 6e Nézzük a (,0 ) pontot: 4 ( ) ( ) D(, 0) = (, 0) (, 0) + (, 0) (, 0) = 6 8 8 = 8 Mivel D (, 0) = 8 0, ezért az (,0) pont eg lokális szélsőértékhel. Mivel ( ) ezért a üggvénnek az (, 0 ) pontban lokális maimuma van. A üggvén értéke ( ) Hasonlóan vizsgáljuk meg az (,0) pontot:, 0 = 6 0,,0 =. 49
( ) ( ) ( ) ( ) D(, 0) = (, 0) (, 0) + (, 0) (, 0) = 6 8 8 = 8 Mivel D(, 0) = 8 0, ezért a (,0) pont is lokális szélsőértékhel. Mivel (, 0) = 6 0, ezért a üggvénnek a (,0 ) értéke szintén (,0 ) =. pontban is lokális maimuma van. A üggvén teszt rész Ellenőrző kérdések. Határozza meg az másodrendű parciális deriváltjait! 3 = kétváltozós üggvén (, ), (, ) : : (, ) e +, = e + e,, = 6 e + e 3 + 3 + + 3 + ( ) ( ), = e + 4 e,, = 6 e + e 3 + 3 + + 3 + ( ) ( ), = e + e,, = 3 e + e 3 + 3 + + 3 + ( ) ( ), = e + e,, = 6 e + e 3 + 3 + + 3 + ( ) ( ). Határozza meg az másodrendű parciális deriváltjait! ( ) ( ) = kétváltozós üggvén (, ), (, ) : : (, ) e, = e,, = e + e ( ) ( ) + + +, = e,, = e + e ( ) ( ) + + +, = e,, = e + e ( ) ( ) + + +, = e,, = e + e + + + 3. Határozza meg az stacionárius pontjait! : : (, ) = + + 5 3 + kétváltozós üggvén nincs stacionárius pontja 7, 3 3 50
7, 3 3 7, 3 3 4. Az pontja : : (, ) = + + 5 3 + kétváltozós üggvén stacionárius 7, 3 3. Döntse el, hog ez a pont lokális szélsőérték-e és ha igen, milen jellegű! nem lokális szélsőérték lokális minimum lokális maimum inleiós pont 5. Határozza meg az pontjait! 3 3 : : (, ) = 3 + kétváltozós üggvén stacionárius ( 0,0 ) (, ) ( 0,0 ),(, ) nincs stacionárius pontja 6. Tudjuk, hog az 3 3 : : (, ) = 3 + kétváltozós üggvén stacionárius pontjai ( 0,0) és (, ). Döntse el, hog ezek a pontok lokális szélsőértékek-e és ha igen, milen jellegűek! ( 0, 0 ) lokális maimum, (, ) lokális minimum ( 0, 0 ) nem szélsőérték, (, ) lokális minimum ( 0, 0 ) lokális minimum, (, ) lokális maimum ( 0, 0 ) lokális maimum, (, ) nem szélsőérték 5
7. Az : : (, ) = + + 3 üggvénnek nincs lokális szélsőértéke lokális maimuma van lokális minimuma van két lokális szélsőértéke van 8. Az : : (, ) = + + 3 + kétváltozós üggvénnek nincs stacionárius pontja nincs lokális szélsőértéke lokális minimuma van lokális maimuma van 5
8. lecke: Integrálás téglalaptartomán elett Tanulási cél: A kétszeres integrálok kiszámolásának begakorlása. Elméleti összeoglaló deiníció rész Deiníció: Legen ab ; és a következő halmazt értjük: ( ) cd ; két intervallum. Az a; b c; d T = [ a; b c; d] = : a b, c d normál rész ;. téglalapon A téglalap tehát a koordinátatengelekkel párhuzamos téglalapot jelent. Ha megvan a téglalap ogalma, akkor deiniálni tudjuk eg üggvén téglalap tartománon vett határozott integrálját, amit szokás kettős integrálnak nevezni. Az egszerűség kedvéért oltonos üggvénekkel ogunk oglalkozni. Tétel: Legen (, ) eg oltonos üggvén a T = ( ) téglalaptartománon, akkor az (, ) b d ; : a, c. kettős integrálja a T tartomán elett visszavezethető egváltozós üggvének határozott integráljának kiszámítására és ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) d b b d T, d d =, d d =, d d c a a c A tétel azt mondja ki, hog téglalap tartománon eg üggvén integrálja úg határozható meg, ha az üggvént először csak üggvéneként tekintjük ( konstans) és -t integráljuk szerint a hozzátartozó határok között. Majd a kapott üggvént integráljuk szerint. A tétel azt is kimondja, hog az integrálás sorrendje elcserélhető. Kidolgozott eladatok. eladat: Számolja ki az alábbi kettős integrált! ( + + ) ( ) d d 0 Megoldás: A elírt integrálokban a zárójelen belüli integrált belső, a zárójelen kívülit pedig külső integrálnak hívjuk. A számolása során mindig a belső integrált határozzuk meg előbb. Jelen esetben az szerinti integrállal kell kezdeni. Az szerinti integrálásnál -t konstansnak vesszük, és a határokat pedig helére írjuk be. 53
0 0 5 ( + + ) d = + + = + + + 0 + 0 = + 0 Majd következik a második integrál, ahol az változó szerint integrálunk. 5 5 5 5 ( ) + d = + = + ( ) + = 9. eladat: Számítsa ki a következő kettős integrált! ( ( ) ) 3 0 d d Megoldás: Először is érdemes elbontani a zárójelet az integrandusban, mert ebben az alakban nehézkes lenne integrálni: 3 3 ( ( ) ) = ( ( ) ) 3 3 d d d d 0 0 Végezzük el a belső integrálást szerint. Most az változót konstansnak tekintjük, és a határokat pedig helére írjuk be. 0 4 4 4 3 3 3 3 3 0 0 3 ( ) d = = ( ) = 4 4 4 4 0 Most következik az szerinti integrálás. ( ) ( ) 3 3 4 3 4 4 4 d = = 3 3 ( ) = 7 3. eladat: Számolja ki az alábbi üggvén kettős integrálját a (, ) : 0 ;0 tartománon! (, ) = Megoldás: Használjuk el, hog a kettős integrálás téglalaptartománon kétéleképpen is elírható: ( d) d = ( ) ( ) ( ) d d. 0 0 0 0 Végezzük el a számolást mindkét alakkal.. megoldás: 0 ( ( ) 0 ) d d Jelen esetben az szerinti integrállal kell kezdeni: 54
0 0 ( ) d = = =. 0 Az szerinti integrálásnál -t konstansnak tekintettük, és a határokat pedig csak helére írtuk be. Majd következik a második integrál: 0 d = = 0 =. 4 4 0 Végezzük el a számolást a másik sorrendben is!. megoldás: ( ) 0 ( ) d d = d = d = d = = 0 = 0 0 0 0 0 0 0 Ez is ugan azt a végeredmént adja, ahog vártuk. 3. megoldás: Ha téglalap alakú tartománon az integrandus szorzat, vagis ( ) g( ) alakú, akkor alkalmazható a következő integrálási szabál: ( ) b d b d ( ) g( ) d d = g( ) d ( ) d a c a c Alkalmazzuk a tételt erre az esetre és számoljuk ki az integrált harmadszor is: ( d) d ( d) ( d ) 0 0 0 0 ( ) = = = = 0 0 4. eladat: Számolja ki az alábbi üggvén kettős integrálját a (, ) : 0; tartománon! (, ) = 3 Megoldás: Mivel a határok iek, a tartomán téglalap alakú. Ezért ( ( 3 ) ) = ( ( 3 ) ) 0 0 d d d d Végezzük el a számolást a következő alakban: ( ) 0 0 3 ( 3 ) d d = = d 55
3 9 ( 4 6) = = d d 0 0 0 9 9 = 0 4 + = 3 5. eladat: Számolja ki az alábbi üggvén kettős integrálját a (, ) : 0 ln 3;0 ln 4 tartománon! (, ) = e Megoldás: Mivel a határok iek, a tartomán téglalap alakú. Ezért ( ) = ( 0 ) ln 4 ln3 ln3 ln 4 e d d e d d 0 0 0 Végezzük el a számolást a következő alakban: ( ) ln3 ln 4 ln3 ln 4 ln 4 ln3 0 e d d = e = d e e d 0 0 0 0 0 ln3 ln3 ln3 e = e e = e e = 3 = 9e, ezért Mivel ( ) ln 4 ln 4 9 ln 4 ln 4 e e d = 4e d = 4 e = 4 e = 0 0 0 0 ( ) 4 e + 4e = 4 e + 4 = 4 + 4 = 3 4 ln 4 0 ln 4 6. eladat: Számolja ki az alábbi üggvén kettős integrálját a (, ) : 0 ; tartománon! ( ) 4 (, ) = + 3 Megoldás: Mivel a határok iek, a tartomán téglalap alakú. Ezért 4 4 ( ( + 3 ) ) = ( ( + 3 ) ) d d d d 0 0 Végezzük el a számolást a következő alakban: 56
( ( 3 ) ) 5 5 ( + ) 4 3 + d d = d = ( 3 ) = 5 + 0 d 0 0 43 ( + 3) ( 0 + 3) d ( + 3) d 0 0 = 0 0 = 5 5 5 5 ( 3) 6 6 6 6 + 43 3 = ( 3) 4, 4 0 3 6 0 6 + = 80 60 0 7. eladat: Számolja ki az alábbi üggvén kettős integrálját a tartománon! (, ) : 0 ;0 (, ) = cos( ) Megoldás: Ezt a kettős integrált ismét kétéleképpen lehet elírni kétszeres integrálként, hiszen most is téglalap alakú tartománon integrálunk. Vag ( ) 0 0 vag 0 0 cos( ) d d, cos dd ( ) alakban írhatjuk el ezt a kettős integrált. Azonban kis vizsgálódás után észrevehetjük, hog a két sorrendben nem azonos nehézségű integrálokat kell elvégezni. A második elírás esetén az szerinti integrál elvégzése nagon nehéz és hosszadalmas lenne, míg az első elírási módban az szerinti integrál gond nélkül elvégezhető. Szélsőséges esetben elképzelhető, hog eg kétszeres integrálnak nem létezik zárt alakban megadható primitív üggvéne az integrálás adott sorrendje mellett, de a sorrendet elcserélve az integrálás elvégezhető. Induljuk ki emiatt az első elírásból: ( cos( ) ) sin( ) sin( ) 0 0 0 0 0 d d = d = d = 0 0 ( sin ( ) i ( )) d = sin ( ) hiszen sin( 0) = 0. s n 0 d, 0 57
sin ( ) = cos( ) cos cos( 0 ) 0 = + = hiszen cos = 0 teszt rész Ellenőrző kérdések 0. Számolja ki az alábbi kettős integrált! ( + ) ( ) d d 0 4 5 8 3 30 7 9 4. Számolja ki az alábbi kettős integrált! ( ( ) ) 5 d d 6,5 37,48 456,94 645, 3. Számolja ki az alábbi kettős integrált! ( ( + ) ) 3 d d 4 58
68 3 7 4 7 4. Számolja ki az tartománon! (, ) 3 = üggvén kettős integrálját a (, ) : 0 ; 3 7 4 7 3 9 5 9 5. Számolja ki az (, ) 4 (, ) : 0 ; = üggvén kettős integrálját a tartománon! 4 0 3 4 8 6. Számolja ki az (, ) (, ) : 0 ln ;0 ln 3 3 = e üggvén kettős integrálját a tartománon! ln5 ln 59
5 3e 7 6 (, ) = üggvén kettős integrálját a 7. Számolja ki az ( ) 5 (, ) : 0 3; 0 3487,3 53,8 647,5 78,57 tartománon! 8. Számolja ki az (, ) = sin( ) üggvén kettős integrálját a (, ) : 0 ;0 3,45,4 0,3 0,64 tartománon! 60
Modulzáró ellenőrző kérdések. Határozza meg az (, ) + 9 = kétváltozós üggvén értelmezési tartománát! + {á:m3a.png} {á:m3b.png} 6
{á:m3c.png} {á:m3d.png} pont. Vegük az alábbi kétváltozós üggvént: 3 4 :, (, ) = 4 + Határozza meg az elsőrendű parciális derivált üggvéneket! 3 3, = 6 4,, = + 3 ( ) ( ) 3 3 3 3 3 (, ) = ( 6 4 ), (, ) = ( + ) 6
3 3 4 3 4 4 (, ) ( 4 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 = + 6 4 +,, = 4 + 3 4 + 3 3 4 3 4 (, ) ( 4 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 = + 6 4,, = 4 + 3 + pont 3. Vegük az alábbi kétváltozós üggvént: :, (, ) = sin( + ) Határozza meg az elsőrendű parciális derivált üggvéneket! = + + + = + sin( ) cos( ), cos( ) = + = + 4 cos( ), cos( ) = + + + = + sin( ) 4 cos( ), cos( ) = + = + 4 cos( ), cos( ) pont 4. Határozza meg az pontban! 3 :, (, ) = + kétváltozós üggvén gradiensét a (,) 8 4 grad (,) =, 9 9 grad (,) = (,0 ) grad (,) =, 5 grad (,) = ( 3,0) pont 63
5. Határozza meg az pontban! 4 :, (, ) = e + kétváltozós üggvén gradiensét a (, ) 4 grad (,) = ( e,0) grad (, ) = (, ) grad (, ) = ( 3, 4) 8 grad (,) = ( e, ) 6. Határozza meg az :, (, ) = ( + ) 3 pont kétváltozós üggvén u = (, ) iránú iránmenti deriváltját az (,) pontban! 6 u (,) = 06 u (,) = 6 u (,) = 8 84 u (,) = 8 pont 7. Határozza meg az : : (, ) ln ( ) (, ), (, ) másodrendű parciális deriváltjait! ( ) ( ) = + kétváltozós üggvén 8, =, (, ) = + + (, ), (, ) ( ) ( ) 8 = = + 4 + 4 +, =,, = + + 4 8 ( ) ( ) ( ) 64
4, =, (, ) = + + ( ) ( ) ( ) pont 8. Határozza meg az stacionárius pontjait! : : (, ) = + 3 kétváltozós üggvén 0,0,,0,, ( ) ( ) 0,0,, ( ) ( 0,0 ),(,) ( 0,0 ),(,0 ),(,) pont 9. Az : : (, ) = + 3 kétváltozós üggvén stacionárius pontja ( 0,0 ). Döntse el, hog ez a pont lokális szélsőérték-e és ha igen, milen jellegű! inleiós pont nem lokális szélsőérték lokális minimum lokális maimum pont 0. Az : : (, ) = + 3 kétváltozós üggvén stacionárius pontja,. Döntse el, hog ez a pont lokális szélsőérték-e és ha igen, milen jellegű! pont nem lokális szélsőérték lokális minimum lokális maimum inleiós pont pont 65
. Számolja ki az alábbi kettős integrált! 3 ( (3 4) ) 5 3 d d 453,4 347.6 85,7 57,8 pont (, ) = 4 5 üggvén kettős integrálját a. Számolja ki az ( ) 3 (, ) : ; 4 4 475 3 784 657 tartománon! 34 789 pont 66