Matematika 4 gy Földtudomány és Környezettan BSc II/ Mincsovics Miklós Emil, Havasi Ágnes.Gyakorlat: Integrálszámítás NT-ekben (R n -ben: Másodfajú vonalintegrál A, alapfogalmak: másodfajú vonalintegrál kiszámítása definíció szerint, primitív függvény, Newton-Leibnitz szabály. Legyen f : R R, f(x, y = (y, x. a, Tekintsük az r : R R utat, r : y = x, x [, ]. Számítsuk ki r f értékét definíció szerint. b, Legyen a K : R R zárt görbe a következőképpen megadva K : x + y =, óramutató járásával megegyező irányban egy körbefutásnyi. Számítsuk ki K f értékét. c, Van-e f-nek primitív függvénye? Ha igen, akkor határozzuk meg.. Legyen f(x, y = (y, x. K : x + y =, óramutató járásával ellentétes irányban egy körbefutásnyi. a, Számítsuk ki K f értékét. b, Van-e f-nek primitív függvénye? c, Mi a helyzet, ha az út irányítását megfordítjuk? d, Meg tudnánk-e adni egy nemtriviális zárt görbét, amin a másodfajú vonalintegrál?. ("Ellenpélda" Legyen f(x, y = ( y x,. K : x + y =, óramutató járásával ellenkező x +y x +y irányban egy körbefutásnyi. Számítsuk ki K f értékét. B, gyakorló feladatok. Legyen f(x, y = (x + y, x y. Határozzuk meg f primitív függvényét!. Legyen f(x, y = (x, y. Legyen r a következő háromszögvonal: (, -ból indul, egyenes szakaszokon a (, és (, pontokon áthalad, majd visszatér az origóba. r f =?. Legyen f(x, y = (x + y, y + x. r : y = x, x [, ]. Számítsuk ki r f értékét. 4. Határozzuk meg az alábbi f : R R függvények primitív függvényét. a, f(x, y, z = (yz, xz, xy; b, f(x, y, z = (x yz, y xz, z xy; c, f(x, y, z = ( y + y z, x z + x y, xy z. 5. Legyen f(x, y = (x xy, y xy. r : y = x, x [, ]. r f =? 6. Legyen f(x, y = (x + y, x y. r : y = x, x [, ]. r f =? 7. (szorgalmi Legyen f(x, y = ( y, x xy+y x x xy+y. Határozzuk meg f primitív függvényét!
Megoldások A//a, Az r görbe paraméterezése: r(t = (t, t, t [, ], deriváltja r (t = (, T. ( f = f(r(t, r ( (t dt = t t dt = t dt =. K r A//b, A K görbe paraméterezése: K(t = (cos( t, sin( t = (cos t, sint, t [, π], deriváltja K (t = ( sint, cos t T. π ( ( sint π f = sint cos t dt = sin t cos t dt = cos t dt =. cos t π A//c, f differenciálható (léteznek a parciális deriváltjai és folytonosak egész R -en, továbbá y f = x f = (azaz f szimmetrikus, így létezik primitív függvénye. Tudjuk, hogy f primitív függvényére F = f, vagyis: x F = f, azaz x F = y F(x, y = xy + g(y, illetve y F = f, azaz y F = x F(x, y = xy + h(x. Ebből kapjuk, hogy F(x, y = xy + C, ahol C R tetszőleges konstans. Másik lehetőség a primitív függvény meghatározására, ha kiintegráljuk f-et egy (x, y-ba vezető úton (a kezdőpont tetszőleges, de nem lehet (x, y. Válasszuk az r út kezdőpontjának az origót. Az utunkat két részre bontjuk: először haladjunk az x- tengelyen (x, -ig, majd innen párhuzamosan az y-tengellyel egészen (x, y-ig. A két út paraméterezése a következő: r (t = (t,, t [, x], deriváltja r (t = (, T. r (t = (x, t, t [, y], deriváltja r (t = (, T. r f = f + f = r r x ( t ( y ( ( dt + t x Az összes primitív függvény ettől csak konstansban tér el. y dt = + x dt = [xt] y = xy. A//a, A K út paraméterezése a következő: K(t = (cos t, sint, t [, π], deriváltja pedig K (t = ( sint, cos t T. π ( ( sint π π f = sint cos t dt = sin t cos t dt = dt = π. cos t K A//b, Nincs, mert y f = x f =. A//c, Ellentétes irányítottságú úton a vonalintegrál a -szeresére változik, így π. A/, Mivel y f = y x = (x +y x f, így az az érzésünk lehet, hogy van primitív függvénye f-nek. Továbbá zárt görbén integrálunk, így -át kéne kapjunk. De K f = π ( sint cos t ( sint cos t dt = π sin t + cos t dt = π. A magyarázat az, hogy a K utat bele kéne tudjuk foglalni egy egyszeresen összefüggő tartományba, amely tartomány minden pontjában meg kell egyezzenek f keresztben vett parciális deriváltjai. Vegyük észre, hogy az origóban a parciális deriváltak nincsenek értelmezve (már f sem volt. Így az origót ki kéne vágni a tartományunkból, viszont ha azt akarjuk, hogy ugyanakkor K-t tartalmazza, akkor meg nem lesz egyszeresen összefüggő. B/, Hasonlóan járunk el, mint a A//c, feladatnál: x ( ( f = f + f = t t r r r x t dt + x x t dt = x y ( ( dt + x + t x t + xy y. dt =
Tehát f összes primitív függvénye: F(x, y = x y + xy + C, ahol C R tetszőleges konstans. Másképp: x F = f, azaz x F = x + y F(x, y = x + xy + g(y, illetve y F = f, azaz y F = x y F(x, y = xy y + h(x. Ahonnan már adódik F. B/, Az r út nem túl szép, így reménykedünk, hogy van f-nek primitív függvénye, mert akkor az integrál értéke csak az út kezdő- és végpontjától függ. f differenciálható egész R -en és y f = = x f, vagyis létezik primitív függvénye. Válasszunk egy kellemesebb ˆr utat: ˆr(t := (t, t, t [, ], deriváltja r (t = (, T. f = f = r ˆr ( t + t t + t ( B/5, r paraméterezése: r(t = (t, t, t [, ], deriváltja r (t = (, t T. r f = ( t t t 4 t ( t dt = dt =... = 5. t t + t 5 4t 4 dt = 4 5. B/6, Az r görbe két egyenesszakaszból áll, az r darab a (, pontból az (, pontba, a r darab az (, pontból a (, pontba fut. r paraméterezése: r (t = (t, t, t [, ], r (t = (,. r paraméterezése: r (t = (t, t, t [, ], r (t = (,. f = f + f = r r r ( t ( ( dt + t + ( t t ( t ( dt = Eredmények t dt + B/4/a, F(x, y, z = xyz + C, C R tetszőleges. 8 8t + t dt = + = 4. B/4/b, F(x, y, z = (x + y + z xyz + C, C R tetszőleges. B/4/c, F(x, y, z = xy z x y + x + C, C R tetszőleges. B/7, F(x, y = 8 arctg( 8x (y x + C. Útmutatások B/, r f =, mert f-nek létezik primitív függvénye (f differenciálható és yf = x f =.
.Gyakorlat: Integrálszámítás NT-ekben (R n -ben: Másodfajú vonalintegrál A, gyakorló feladatok. Határozzuk meg f(x, y = (x, y primitív függvényét.. Legyen f(x, y = (x + xy y, x xy y. Határozzuk meg f primitív függvényét!. Legyen f(x, y = (x +y, y x. Az T út pedig egy téglalap, melynek csúcsai a belyárás szerinti sorrendben (,, (,, (, 4, (, 4. T f =? 4. Legyen f(x, y, z = (y, z, x. S(t = (acos t, asint, bt, ahol t -tól π-ig nő. S f =? B, komolyabb feladatok. Legyen f : R R differenciálható függvény. Bizonyítsuk be, hogy f pontosan akkor szimmetrikus, ha rot f =.. Legyen g : R R tetszőleges differenciálható függvény. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x, y = (xg(x +y, yg(x +y függvény minden szakaszonként sima zárt útra vett másodfajú vonalintegrálja.. Legyen f(x, y = (e x +y x, e x +y y egy fizikai erőtér. Határozzuk meg a végzett munkát, ha az origóból az (, pontba jutunk el. (használjuk az előző feladatot 4. Legyen f : R R folytonos függvény. Bizonyítsuk be, hogy r f KM, ahol K az r szakaszonként sima út hossza és M = max r f + f. y x, (x +xy+y 5. Legyen f(x, y = (. Bevezetve az I (x +xy+y R := x +y =R f jelölést, mutassuk meg, hogy lim R I R =. (használjuk az előző feladatot 6. Mutassuk meg, hogy a gravitációs erőtér konzervatív! 4
Megoldások A/, (Az./A//c, illetve./b/ feladat mintájára.. megoldás: Olyan F : R R függvényt keresünk, amelyre x F(x, y = x F(x, y = x + h(y alakú, ahol h(y egy csak y-tól függő tag, illetve y F(x, y = y F(x, y = y + g(x alakú, ahol g(x egy csak x-től függő tag. A kettőt egybevetve f összes primitív függvénye: F(x, y = x + y. A megoldás vonalintegrállal: r (t = (t,, t [, x], r (t = (, T,, r (t = (x, t, t [, y], r (t = (, T. r f = f + r f = r x Ahonnan F(x, y = x + y + C. B/, Az f mátrix a következő: ( t ( f = y ( ( + x t x f y f z f x f y f z f x f y f z f, = + C, C R tetszőleges konstans. x y t dt + t dt = x + y. ahol f, f és f jelöli f koordináta-függvényeit. Az f mátrix szimmetrikussága azt jelenti, hogy a főátlóra szimmetrikusan elhelyezkedő elemek egyenlők, azaz x f = y f, x f = z f és y f = z f. Az f rotációja: rotf = i j k x y z f f f = ( yf z f, z f x f, x f y f. rotf nullával való egyenlősége azt jelenti, hogy y f = z f, z f = x f és x f = y f, ami megegyezik az f szimmetrikusságából előbb kapott feltételrendszerrel. B/, Az f folytonos függvény minden szakaszonként sima zárt útra vett másodfajú vonalintegrálja feltétel azt jelenti, hogy a vonalintegrál független az úttól, vagyis f-nek létezik primitív függvénye. Nekünk tehát azt kell belátni, hogy van primitív függvénye. f differenciálható, így f szimmetrikussága ezt már maga után vonja. Itt ez teljesül, hiszen y f = xg (x + y y = x f. B/, Mivel f a B/. feladat szerinti alakú (g = exp, így létezik primitív függvénye. Ezért a megadott pontokat összekötő akármilyen út mentén haladhatunk. Válasszuk az egyenesszakaszt: r(t = (t, t, t [, ], r (t = (, T. r f = ( e t t e t t ( dt = t e t = [ ] et = (e. B/4, Legyen r : [a, b] R szakaszonként sima út. Ennek ívhossza K = b a r (t dt. b f = f(r(t, r b b (t dt f(r(t, r (t dt f(r(t r (t dt r a a Itt a norma az euklideszi normát jelenti, és felhasználtuk, hogy egy függvény integrálja abszolút értékben kisebb vagy egyenlő, mint a függvény abszolút értékének az integrálja, valamint a CBSegyenlőtlenséget. A f(r(t = (f (r(t + (f (r(t tényezőt az r út menti abszolútértékben legnagyobb értékével becsüljük felülről. Ez már egy szám, így kivihetjük az integrál elé, így b f r a f(r(t r (t dt max f r + f b a a r (t dt = MK. 5
B/5, Az előző feladat alapján I R K R M R, ahol K R = Rπ, és M R a függvény euklideszi normájának a maximuma az R sugarú kör mentén. Ekkor az R sugarú kört alkotó (x, y = (R cos ϕ, R sinϕ pontokban y f(x, y = (x + xy + y 4 + x (x + xy + y 4 = R (R + R cos ϕ sinϕ 4 = R ( + cos ϕ sinϕ = ( R + sin ϕ R ( + = 4 R. Ebből I R K R M R 4 8π RRπ = R, ha R. Azaz I R -t abszolút értékben majoráltuk egy nullához tartó sorozattal lim R I R =. Eredmények A/, F(x, y = x + x y xy y + C, C R tetszőleges. A/, 8. Útmutatások A/4, S π f = π (asint, bt, acos t, ( asint, acos t, b T dt = a sin t + abt cos t + abcos t dt =... = a π. Az integrálás során használjuk fel, hogy sin t = cos t, illetve t cos t-t pedig integráljuk parciálisan. 6
.Gyakorlat: Többszörös integrálok: Kettős integrál, Polártranszformáció A, kettős integrál téglalap tartományon. Határozzuk meg az f(x, y = x + 4y függvény integrálját az egységnégyzeten. (mindkét sorrendben. Határozzuk meg c értékét úgy, hogy az f(x, y = c(x + y függvény egységnégyzetre vett integrálja legyen!. I := [, ln] [, ln]. I ex+4y dxdy =? 4. I := [, [,. I e x y dxdy =? B, kettős integrál normáltartományon. H := { (x, y : x, x y x }. H xy dxdy =? (kétféleképpen. Határozzuk meg a xy = a és x + y = 5 a görbék által közrefogott síkidom területét!. Határozzuk meg az egységsugarú körlap területét! (polártranszformáció nélkül C, integráltranszformáció polártranszformáció. Határozzuk meg az egységsugarú körlap területét!. T := { (x, y : x + y, x, y }. T xy x +y dxdy =?. T := { (x, y : x + y 4 }. T ln(x + y dxdy =? D, integrálási sorrend felcserélése, egyéb. Cseréljük fel az integrálás sorrendjét az alábbi integrálokban. a, b, c, x x x f(x, y dydx ; x f(x, y dydx ; y f(x, y dxdy.. Mutassuk meg, hogy x +y a x m y n dxdy =, ha m, n pozitív egészek közül valamelyik páratlan!. x +y 4 sgn (x + y dxdy =? 7
Megoldások A/, I = [, ] [, ]. Az integrálás sorrendje tetszőleges. Mindkét sorrendben kiszámítjuk. [ ] x f dxdy = x [ + 4y dx dy = + 4xy dy = + 4y dy = y + y I A másik sorrendben: f dxdy = I x + 4y dy dx = A/, I = [, ] [, ]. Az integrálás sorrendje tetszőleges. [ x f dxdy = c x + y dx dy = c + y x I Tehát c = 4. A/, f(x, y = g(xh(y alakú, így ln f dxdy = A/4, I I lim a ln x= [ x y + y ] [ x y= dx = x + dx = + x e x+4y dx dy = ( ln { a f dxdy = e x y dx dy = lim a {( a ( a } e x dx e y dy = lim a ] x= ] ] = 7. = 7. dy = c + y dy =... = 4 c. ( ln e x dx e 4y dy =... = 4. a {[ e x ] a B/, A tartomány x és y szerint is normáltartomány.. A tartományt x szerint normáltartománynak tekintve: ( x ] x f dxdy = xy dy dx = [x y dx = H x y=x. A tartományt y szerint normáltartománynak tekintve: ( y [ x f dxdy = xy dx dy = H y y ] y x=y } e x y dx dy = [ e y ] a } = lim a ( e a =. dy = x 4 x7 dx =... = 4. y y4 dy =... = 4. B/, A tartomány x szerint normáltartomány. Ennek x szerinti határai az xy = a és x + y = 5 a görbék metszéspontjainak x-koordinátái, vagyis az xy = a és x+y = 5 a egyenletekből álló rendszer megoldásai x-re: x = a, x = a. Az a > esetet tárgyaljuk. (A másik eset hasonlóan végezhető el. A tartomány területe az azonosan függvény integrálja a H = {(x, y : a a x a, x y x+ 5 a} tartományra. Tehát ( a x+ 5 a a 5 a T = dy dx = ( x + a dx = [ x a a a x + 5 ] a ax a lnx = a x ( 5 a 8 ln4. B/, Egy negyedkörlap területét határozzuk meg. N-nel jelöljük az egységkörlap pozitív síknegyedbe eső darabját. ( x T/4 = dxdy = dy dx = x dx. Az x = cos t helyettesítéssel integrálva T/4 = π N cos t sint dt = π sin t dt = π cos t dt =... = π 4. 8
C/, Polártranszformációt alkalmazva: T = K dxdy = π r dϕ dr = rπ dr = π. C/, Polártranszformációt alkalmazva az integrálandó kifejezés egyszerűsödik: xy = r cos ϕ sin ϕ = sinϕ, tehát x +y r (sin ϕ+cos ϕ T f dxdy = π sin ϕ r dϕ dr =... = 4. C/, D//a, D//b, D//c, T ln(x + y dxdy = π lnr r dϕ dr = π amit parciálisan integrálva (u = r, v = lnr szereposztással: = π[r lnr] π x x f(x, y dy dx = x r lnr dr, r [ ] ( r dr = π r lnr r = π 4 ln. y y x f(x, y dy dx = y f(x, y dx dy = f(x, y dx dy + y x 4 y y f(x, y dx dy. f(x, y dy dx. f(x, y dx dy. Eredmények D/,. D/4,. 9
4.Gyakorlat: Többszörös integrálok: Hármas integrál, Henger és gömbi koordinátákra való áttérés A, hármas integrál. Határozzuk meg az f(x, y, z = x + 4yz függvény integrálját az egységkockán.. T := {(x, y, z : x, y x, z x y}. T xy dxdydz =? (T rajzolva. T := {(x, y, z : x, y } x, z x y. T y dxdydz =? 4. Határozzuk meg a z = x y felület xy-sík feletti részének térfogatát! B, hármas integrál transzformációja henger és gömbi koordinátákra való áttérés. T := { (x, y, z : x + y, z } z. T dxdydz =? (hengerkoordináták alkalmazásával +x +y. Számítsuk ki az R sugarú, m magasságú henger térfogatát. xyz. Számítsuk ki az f(x, y, z = függvény integrálját az egységgömb. térnyolcadba eső x +y +z részén! (gömbi koordináták alkalmazásával 4. Számítsuk ki az R sugarú gömb térfogatát. 5. Határozzuk meg a x + y = R, x + y + z = a, x =, y = és z = felületek által közrefogott test térfogatát!
Megoldások A/, Az integrálás sorrendje tetszőleges. [ y + y z x + 4yz dx dy dz = ] y= dz = [ x + 4yzx + z dz =... = 4. ] x= dy dz = + 4yz dy dz = A/, x x y [xy x y xy xy dz dy dx = ] x y= dx = x xy( x y dy dx = x x + x x4 dx =... = 6. A/, x x y [y y x y4 y dz dy dx = ] x y= ( x + x 4 dx = dx = x [x x + x5 5 y( x y dy dx = x ( x x ( x dx = ] x= =... = 4 5. A/4, x x y x [y x y y ] x dz dy dx = y= x dx = 4 majd x-et sint-vel helyettesítve és felhasználva a cos t = B/, Hengerkoordinátákra áttérve: z + x + y dxdydz = T π x x x y dy dx = ( x dx, cos t+ azonosságot: 4 ( x dx = 4 π cos 4 t dt =... = π π. π [z ln( + r ] r= dϕ dz =... = π ln. B/, Hengerkoordinátákra áttérve: V = R π m B/, Gömbi koordinátákra áttérve: π π r dz dϕ dr = R π z + r r dr dϕ dz = mr dϕ dr = R r sin ω sin ϕ cos ϕ cos ω r r sin ω dr dϕ dω = ( ( ( π π [ r dr sin r 4 ω cos ω dω sinϕcos ϕ dϕ = 4 π [ r πmr dr = πm ] [ sin 4 ω 4 ] π r + rz dr dϕ dz = ] R [ 4 cos ϕ ] π = mr π. =.
B/4, Gömbi koordinátákra áttérve: π π R r sinω dr dϕ dω = π [ r π sin ω ] R dω = π R π sin ω dω =... = 4 R π.
5.Gyakorlat: Komplex számok, Komplex függvénytan: Folytonosság, Differenciálhatóság A, komplex számok. Hozzuk egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a, ( + i( i; b, ( + i ; c, i ; d, +i i.. Írjuk át a következő komplex számokat a másik két alakba! (algebrai/ trigonometrikus/ exponenciális a, i ; b, + i ; c, i ; d, ; e, cos π + i sin π ; f, cos π + i sin π ; g, sinα i cos α.. Hozzuk egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a, ( i ; b, (+i9 ; c, ; d, i ; e, ( i ; f, 5 i. 7 4. Adjunk formulát sinα és cos α-ra sinα, cos α segítségével. 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket a komplex számok körében. a, z + = ; b, z z + = ; c, z = i z ; d, z iz = ; e, z z + =. 6. Igazoljuk a következő azonosságokat. a, z = z ; b, z = z ; c, zz = zz = z ; d, z z = z z ; e, z z = z z. 7. Mutassuk meg, hogy a komplex számtest nem rendezhető (művelettartóan! B, folytonosság, differenciálhatóság. Mutassuk meg, hogy az f(z = z függvény folytonos.. Definíciót használva számítsuk ki f (z-t, ha a, f(z = z ; b, f(z = +z z.. Mutassuk meg, hogy az alábbi függvények nem differenciálhatóak! a, f(z = Rez ; b, f(z = z ; c, f(z = z. 4. Mutassuk meg, hogy az alábbi függvény folytonos, illetve állapítsuk meg, hogy létezik-e f (! { z f(z = z, ha z,, ha z =.
Megoldások A/,a ( + i( i = i = ( =. A/,b ( + i = + i + i = i. A/,c i = (i i = i = i i = i. A/,d +i i = (+i(+i ( i(+i = +i+i 4i = +i 5 = 5 + i 5. A/,a r = + ( =, tg ϕ = ϕ = π 4 i trigonometrikus alakja: (cos( π 4 + i sin( π 4, exponenciális alakja: e i π 4. A/,b r = + =, sinϕ = ϕ = π 6 + i = (cos π 6 + i sin π 6 = ei π 6. A/,c i = (cos π + i sin π = ei π. A/,d = (cos + i sin = e. A/,e cos π + i sin = ei π = + i. A/,f cos π + i sin π = eiπ = + i. A/,g sinα i cos α = cos(α π + i sin(α π. A/,a 5 i 5 A/,b (+i9 ( i 7 = (+i6 = [ (cos π [( i(+i] 7 4 +isin π 4 ]6 = ( 6 (cos 4π + i sin4π = 7 7 A/,c ±i A//d, i = ( cos π + i sin π = cos π ( +kπ π + i sin +kπ, k =, ( i = i. ( = cos + i sin = cos kπ A//e, A//f, 4π irányszögű komplex számok. + i sin ( kπ + i, ( i =, k =,, (ezek az egységnyi abszolút értékű,, π és 5 i = 5 cos( π 4 + i sin( π 4 = (cos π 4 +kπ 5 + i sin π 4 +kπ 5, k =,,,, 4. A/4, Írjuk fel a cos α + i sinα komplex szám köbét kétféleképpen:. (cos α + i sinα = cos α + i sinα;. (cos α + i sinα = cos α + cos αisin α + cos α(i sin α + (i sinα = cos α cos α sin α + i( cos α sin α sin α. A két egyenlőség jobb oldalán ugyanaz a komplex szám áll, tehát külön-külön a valós és a képzetes részük is megegyezik. Ebből cos α = cos α cos α sin α és sinα = cos α sinα sin α. A/5/a, z, = ±i. A/5/b, z, = ± 4 = ± i A/5/c, Írjuk fel a z komplex számot x + iy alakban, ahol x, y R. Ezzel az egyenlet (x y + ixy = i x + y. Az egyenlőség két oldalán álló komplex szám valós és képzetes része is meg kell, hogy egyezzen. Ebből az x y = és xy = x + y egyenleteket kapjuk. Az első egyenlet megoldása x = ±y. A másodikba behelyettesítve: I x = y esetén az x = x = x egyenletet kapjuk. Négyzetre emelve 4x 4 = x. Az x = megoldás (ekkor y =. Ha x, akkor oszthatunk x -tel, és így a x = egyenlethez jutunk, amelynek megoldása x = ± (y = ±. II x = y esetén a x = x egyenletet kapjuk. Ennek megoldása x = (y =. Összegezve, az egyenletnek három megoldása van: z =, z = + i, z = i. 4
A/5/d, z iz = (z i z = i. A/5/e, A Cardano-képlet a következőképpen adja meg a gyököket a z + pz + q = egyenlet esetén: z = q (q ( p + + + q (q ( p +. Ezt alkalmazva, tehát z = + + ( 7 + + ( 7 = + 4 + 4 értékét kell meghatároznunk. A továbbiakban használjuk fel, hogy = ± 4 = ( ±. Majd a köbgyökvonást háromféleképpen elvégezve kapjuk, hogy z =, 4, 5 a gyökök. A/6/a, Legyen z = x + iy. z = x + iy = x iy = x + iy = z. A/6/b, z = x iy = x + ( y = x + y = z. A/6/c, (x + iy(x iy = (x iy(x + iy = x + iyx ixy i y = x + y = z A/6/d, z = x + iy, z = x + iy z z = (x + iy (x + iy = x x y y + i(x y + x y = (x x y y + (x y + x y = x x + y y + x y + x y z z = x + x y + y = x x + y y + x y + x y A/6/e, z z = (x + iy (x + iy = x x y y + i(x y + x y = x x y y i(x y + x y z z = (x iy (x iy = x x y y i(x y + x y A/7, A valós számok rendezésének ismert tulajdonsága, hogy ha a és b, akkor ab. Megmutatjuk, hogy a valós számokon használatos rendezést nem tudjuk a komplex számtestre úgy kiterjeszteni, hogy ezzel a tulajdonsággal rendelkezzen. Tegyük fel először, hogy i. Ekkor a = b = i mellett ab = i =, ami ellentmondás. Másodszor tegyük fel, hogy i, azaz i. Ekkor a = i és b = i szereposztással ab = ( i = szintén ellentmondással. Azaz i és a közé nem tudunk semmilyen relációs jelet írni, így a komplex számokat nem tudjuk művelettartóan rendezni. 5
6.Gyakorlat: Cauchy-Riemann-féle differenciálegyenletek, Laplace-féle differenciálegyenlet, hatványsorok A, Cauchy-Riemann-féle differenciálegyenletek, Laplace-féle differenciálegyenlet. Differenciálható-e az f(x + iy = x i( y függvény?. Döntsük el, hogy a komplex számsík mely pontjaiban teljesülnek a Cauchy-Riemann-féle differenciálegyenletek az alábbi függvények esetén. a, f(z = z ; b, f(z = z z ; c, f(z = z ; d, f(x + iy = xy. Differenciálhatóak-e ezen pontokban az adott függvények?. Mutassuk meg, hogy a következő függvények harmonikusak, vagyis kielégítik a Laplace-féle differenciálegyenletet. a, f(x, y = x y ; b, f(x, y = e x cos y ; c, f(x, y = ln(x + y. 4. Legyen D egyszeresen összefüggő tartomány, f : D C differenciálható és Ref(z állandó D-n. Mutassuk meg, hogy f(z is állandó D-n. B, hatványsorok. Határozzuk meg a következő hatványsorok konvergenciasugarát! a, n= zn ; b, n= nzn ; c, n= zn n ; d, n= nn z n ; e, n= zn n ; n. Határozzuk meg az expz, sin z, cos z hatványsorainak konvergenciasugarát!. Határozzuk meg az expz, sin z, cos z függvények deriváltját! 4. Igazoljuk a következő azonosságokat! a, e iz = cos z+i sinz ; b, e iz = cos z i sinz ; c, cos z = (eiz +e iz ; d, sinz = i (eiz e iz ; e, ch iz = cosz ; f, sh iz = i sinz ; g, e z+t = e z e t ; h, e z = e x (cos y + i siny; i, e z = e x. 5. Igazoljuk, hogy az exp z függvény periodikus! Hová képezi a H = {(x, y : π < y π} halmazt az exp z függvény? Vezessük be a log z függvényt! 6
Megoldások A/, f olyan (x, y C pontokban lehet csak differenciálható, ahol fennállnak a Cauchy Riemann-egyenletek: x u = x = y v = ( y illetve y u = = x v =, ami csak akkor teljesül, ha y = x. u és v parciális deriváltjai az egész komplex számsíkon folytonosak (tehát u és v differenciálható, tehát f az y = x feltételnek eleget tevő pontokban differenciálható is. A//a, f(z = f(x + iy = (x iy = x y ixy u(x, y = x y, v(x, y = xy. Cauchy Riemann-egyenletek: x u = x = y v = x, ami akkor teljesül ha x = ; illetve y u = y = x v = y, ami akkor teljesül ha y =. u és v parciális deriváltjai az egész komplex számsíkon folytonosak (tehát u és v differenciálható, tehát f a z = -ban differenciálható. A//b, f(z = f(x + iy = (x + iy x + y = x x + y + iy x + y u(x, y = x x + y, v(x, y = y x + y. x + y + x x u(x, y = x +y, ha (x, y (, x x lim x x = lim x x = lim x x =, ha (x, y = (, x + y + y y v(x, y = x +y, ha (x, y (, y y lim y y = lim y y = lim y y =, ha (x, y = (, xy x y u(x, y = +y, ha (x, y (, +y lim y y =, ha (x, y = (, { xy x v(x, y = x +y, ha (x, y (,, ha (x, y = (,. A x u = y v egyenlet azon (x, y pontokban áll fenn, amelyekre x = y. A y u = x v egyenlet azon pontokban áll fenn, amelyekre x y =. A két egyenlet egyszerre csak a -ban áll fenn. u és v parciális deriváltjai az egész komplex számsíkon folytonosak (a -ban is! (tehát u és v differenciálható Az f függvény a z = pontban differenciálható. A//c, f(z = x+iy = x iy C\ {}. x +y = x y i u(x, y = x +y x +y x x +y, v(x, y = y x +y. f értelmezési tartománya x u(x, y = y x (x + y, yv(x, y = y x (x + y, yu(x, y = xy (x + y, xv(x, y = xy (x + y x u = y v és y u = x v teljesül az értelmezési tartomány minden pontjában, illetve folytonosak is itt f differenciálható is ezeken a helyeken. A//a, xx f =, yy f = xx f + yy f =. A//b, xx f = e x cos y, yy f = e x cos y xx f + yy f =. A//c, xx f = (x +y 4x (x +y, yy f = (x +y 4y (x +y xx f + yy f =. A/4, Feltevésünk szerint u(x, y =const. Ezért x u(x, y = és y u(x, y = (x, y D. Mivel f reguláris D-n, D minden pontjában fennállnak a Cauchy Riemann-egyenletek. Az első egyenletből y v =, amiből v(x, y = f(x következik. A második egyenletből x v =, következésképpen v(x, y = g(y alakú. v(x, y tehát csak olyan függvény lehet, amely sem x-től, sem y-tól nem függ, azaz v(x, y =const. Ha u és v konstans, akkor pedig f is konstans. Útmutatások A//d, A Cauchy-Riemann egyenletek az x- és y-tengelyeken állnak fenn. Viszont a pontban nem differenciálható a függvény. Ennek belátásához tekintsük a pontbeli differenciálhányadost és tartsunk különböző egyenesek mentén -hoz. A határérték függeni fog az egyenestől, így nem létezik, tehát ott nem differenciálható. 7
7.Gyakorlat:.Zh 8
8.Gyakorlat: Komplex vonalintegrál: Primitív függvény, Newton-Leibniz formula, Cauchy-féle integráltétel, Cauchy-féle integrálformula A, komplex vonalintegrál kiszámítása, primitív függvény, Newton-Leibniz formula. Számítsuk ki f(z vonalintegrálját az a és a b pontokat összekötő különböző utakon! Legyen a, f(z = z, a = i és b = i, egyenes illetve óramutató járásával ellentétes bejárású félkör az utak; b, f(z = z, a = és b = + i, egyenes illetve parabola az utak; c, f(z = z, a = i és b = i, egyenes illetve óramutató járásával azonos bejárású félkör az utak.. Számítsuk ki f(z vonalintegrálját az a és a b pontokat összekötő utakon a Newton-Leibniz formula segítségével! Legyen a, f(z = e z, a = és b = i, óramutató járásával ellentétes bejárású félkör az út; b, f(z = sinz, a = i és b = i. B, Cauchy-féle integráltétel, Cauchy-féle integrálformula. Legyen f(z = z, n N, a γ út pedig az origó középpontú egységsugarú kör óramutató járásával n ellentétes irányban bejárva. Számítsuk ki Cauchy-féle integrálformula nélkül γ f értékét, ha a, n > ; b, n =.. Legyen f(z = sin z z, a γ út pedig az origó középpontú egységsugarú kör óramutató járásával ellentétes irányban bejárva. Számítsuk ki Cauchy-féle integrálformula nélkül γ f értékét.. Oldjuk meg az előző két feladatot a Cauchy-féle integrálformula felhasználásával! 9
Megoldások A//a, Az f(z = z függvény reguláris az egész C-n, így a Cauchy-féle alaptétel értelmében minden zárt, szakaszonként sima görbe mentén a vonalintegrálja, így a feladatban szereplő görbe mentén is. A//b, Az f(z = z függvény sehol sem reguláris (lásd az 5/B/ feladatot, így nem tudjuk a Newton Leibnizformulát használni.. Az egyenesszakasz mentén vett vonalintegrál kiszámítása A szakasz paraméterezése: γ (t = t + it, t [, ]. γ f = f(γ (t γ (t dt = (t it( + i dt = t dt = [t ] =.. A parabola mentén vett vonalintegrál kiszámítása A görbe paraméterezése: γ (t = t + it, t [, ]. γ f = f(γ (t γ (t dt = (t it (+it dt = (t+it +t dt = (t+t dt+i t dt = [ t + t4 ] + i[t ] = + i. A//c, γ (t = + it, t [, ] γ f = t i dt = i γ (t = cos t + i sint, t [ π, π ] γ f = π π cos t + sin t ( sint + i cos t dt = π π (Másképpen: γ (t = e it, t [ π, π ], γ f = π π γ f = γ f + γ f = i. sint dt + i π π e it ie it dt = i[ i eit ] π π cos t dt = i. = i. A//a, f(z = e z reguláris C-n, egy primitív függvénye F(z = e z, így a Newton Leibniz-formulából: γ f = F(b F(a = e b e a = e i e = e i. A//b, f(z = sin z reguláris C-n, egy primitív függvénye F(z = cos z, így a Newton Leibniz-formulából: f = F(b F(a = cos i + cos( i =. γ B//a, (létezik primitív függénye B//b, γ(t = e it, t [, π], γ z dz = π ie it dt = iπ. e it B/, Felhasználjuk a következő tételt: Ha f a z pont kivételével reguláris egy D tartományon, γ olyan szakaszonként sima D-beli út, amelyre z B(γ, és lim z z f(z(z z =, akkor γ f =. Az f(z = sin z sin z z függvény a -ban nem reguláris, ugyanakkor lim z z z = lim z sinz =, ezért sin z z dz =. K( B/, /b. feladat: Legyen f az azonosan függvény, erre alkalmazzuk a Cauchy-formulát a z = pontban: f( = = f(ξ iπ K( ξ dξ = iπ K( ξ dξ K( ξdξ = iπ.. feladat: Alkalmazzuk a Cauchy-formulát a sin függvényre a z = pontban: sin( = = sin ξ iπ K( ξ dξ sin ξ K( ξ dξ =.
9.Gyakorlat: Komplex vonalintegrál: Cauchy-féle integrálformula és következményei, Komplex vonalintegrál alkalmazása A, Cauchy-féle integrálformula és következményei. Legyen a γ zárt görbe az K középpontú r sugarú óramutató járásával ellentétes bejárású kör. Számítsuk ki γ g értékét, ha a, g(z = z K, r = ; b, g(z = z z K, r = ; c, g(z = sin8 z z π, K =, r = ; d, g(z = ez z, K = 5, r =.. Legyen a γ zárt görbe a K középpontú r sugarú óramutató járásával ellentétes bejárású kör. Számítsuk ki γ g értékét, ha a, g(z = ez z, K =, r = ; b, g(z = z4 e πz, K = i, r = ; z + c, g(z =, +z (c K = 5, r = ; (c K = i, r = ; (c K = i, r = ; (c4 K =, r = ; e d, g(z = z z +z, (d K =, r = ; (d K =, r = ; (d K = 6, r =.. Legyen a γ zárt görbe a K középpontú r sugarú óramutató járásával ellentétes bejárású kör. Számítsuk ki γ g értékét, ha a, g(z = z (z K ; b, g(z = z (z K 6. B, komplex vonalintegrál alkalmazása. Határozzuk meg az alábbi improprius integrálokat! + a, dx; b, + sin x x sin x x dx.
.Gyakorlat: Függvénysorozatok A, egyenletes konvergencia. Vizsgáljuk meg, hogy egyenletesen konvergensek-e az alábbi függvénysorozatok a megadott intervallumon! a, f n (x = x n, (a a [, ] illetve (a [, ] intervallumon; b, f n (x = x n x n+ a [, ] intervallumon; c, f n (x = a (, intervallumon; d, f n (x = x+n sin nx n a (, intervallumon; e, f n (x = sin x n a (, intervallumon; f, f n (x = (+ x n n, (f tetszőleges véges intervallumon, illetve (f a (, intervallumon; g, h, a [, intervallumon; a [, ] intervallumon. ha x n, f n (x = ha n < x n +, ha n + < x. n x ha x n, f n (x = n ( n x ha n < x < n, ha n x.. Lehetséges-e, hogy szakadásos függvények egyenletesen konvergens sorozata folytonos függvényt állítson elő? B, műveletek függvénysorozatokkal. Mutassuk meg, hogy az f n (x = n arctgxn függvénysorozat egyenletesen konvergens a (, intervallumon, de ( lim f n(x ( lim f n n n(.. Mutassuk meg, hogy az f n (x = x + n sinn(x + π függvénysorozat egyenletesen konvergens a (, intervallumon, de ( lim f n(x n lim f n n(x.. Mutassuk meg, hogy az f n (x = nxe nx függvénysorozat konvergens a [, ] intervallumon, de ( lim f n (x dx lim f n(x dx. n n 4. Mutassuk meg, hogy az A//g,h példa függvénysorozataira sem cserélhető fel a lim és az! 5. Mutassuk meg, hogy az f n (x = nx( x n függvénysorozat nem egyenletesen konvergens a [, ] intervallumon, mégis teljesül, hogy ( lim f n (x dx = lim f n(x dx. n n
.Gyakorlat: Függvénysorok A, egyenletes konvergencia. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi függvénysorok egyenletesen konvergensek a megadott intervallumokon! a, a (, intervallumon; b, c, n= n= x +n ( n x+ n a (, intervallumon; x e nx a [, intervallumon. n=. Tegyük fel, hogy az f n (x sor abszolút és egyenletesen konvergens az (a, b intervallumon. n= Mutassuk meg, hogy ebből nem következik, hogy a f n (x sor egyenletesen konvergens! Használjuk ehhez a ( n ( xx n függvénysort a [, ] intervallumon! n= n=. Tegyük fel, hogy a n konvergens. Igazoljuk, hogy a n e nx függvénysor egyenletesen konvergens a [, intervallumon! B, műveletek függvénysorokkal. Mutassuk meg, hogy a n= sin nx n. Határozzuk meg, az alábbi határértéket! lim n= n= függvény folytonosan differenciálható az egész számegyenesen! x n= ( x n x n+.. Szabad-e tagonként differenciálni a arctg x függvénysort? n 4. Szabad-e tagonként integrálni a n= n= (x n+ x n függvénysort a [, ] intervallumon?
.Gyakorlat: Fourier-sorok 4
.Gyakorlat:.ZH 5