Fourier sorok FO Trigoometrikus Fourier sorok
FO Trigoometrikus redszer Defiíció: trigoometrikus redszer Az {, cos x, si x, cos x, si x, cos 3x, si 3x, } függvéyekből álló (végtele sok függvéyt tartalmazó) függvéyredszert trigoometrikus redszerek evezzük.
FO 3 A műszaki tudomáyok és a fizika bizoyos területei fotos kérdés, hogy adott, szerit periodikus f függvéyt elő lehet-e állítai a trigoometrikus redszerbeli függvéyek lieáris kombiációjakét, azaz vaak-e olya számok, hogy a, a, a, és b, b, b 3, a a cos(x) b si(x) a cos(x) b si( x)...
FO 4 A trigoometrikus redszer első öt eleme x x cos x x si x x cos x x si x
Fourier együtthatók FO 5 Defiíció: Fourier együtthatók Az f:[a,b] R Riema itegrálható függvéy (trigoometrikus) Fourier együtthatói: a f (x)cos( x)dx,,,,... b f (x)si( x)dx,,,3,...
FO 6 Defiíció: Fourier sor Ha a trigoometrikus redszer elemeit redre megszorozzuk egy szerit periodikus, itegrálható f függvéy a, a, a,, b, b, b 3, Fourier együtthatóival, akkor az f függvéy Fourier sorát kapjuk: a a cos(x) b si(x) a cos(x) b si( x)...
FO 7 vagy tömörebbe: a ( a cos( x) b si( x ) ) Egy függvéy Fourier sora függvéysor. Fotos kérdés, hogy milye kapcsolat va egy függvéy és a Fourier soráak összegfüggvéye között?
FO 8 Tétel Differeciálható függvéy egyelő a Fourier soráak összegfüggvéyével. Megjegyzés Azok a függvéyek, amelyek eseté a Fourier sorfejtés igazá érdekes, általába em midehol folytoosak, így em midehol differeciálhatóak. Példa
FO 9 Tétel: Fourier sor potokéti kovergeciája Ha egy szerit periodikus f függvéy egy x helye balról és jobbról differeciálható (ebből következik, hogy az x -ba f-ek létezik az f(x -) bal és az f(x ) jobb oldali határértéke), akkor az f Fourier sora x -ba az f (x ) f (x ) értékhez kovergál.
FO Következméy Ha az előző tétel feltételei mellett f még folytoos is x - ba, akkor az f(x ) f(x -) f(x ) egyelőségek miatt f Fourier sora x -ba f(x )-hoz kovergál.
Példa: FO Meghatározzuk az f függvéy Fourier sorát! f (x) x,, ha ha x x ], [
FO Az a, a, a, együtthatók meghatározása a f (x)dx x dx a f (x) cosx dx x cosxdx Mivel f páratla függvéy, köye belátható, hogy: a a a
FO 3 A b, b, b 3, együtthatók meghatározása b f (x) si x dx x si x dx b f (x) si x dx x Belátható, hogy: si x dx b f (x) si xdx x si xdx,,,...
FO 4 Az f függvéy Fourier sora tehát si( x) si x si x si 3x 3... A korábbi tételeik szerit ez a függvéysor a folytoossági helyeke előállítja az f függvéyt, a szakadási helyeke pedig a bal és a jobb oldali határértékek számtai közepét adja.
FO 5 f (x) si( x) si x si x si 3x 3... A 3., az 5. és a 7. részletösszeg:,,3,,5,,7
FO 6 Megjegyzés: Páratla függvéy Fourier sorába csak sziuszos tagok szerepelek, mivel a a a Páros függvéy Fourier sorába (az a / kostas tag mellett) csak kosziuszos tagok szerepelek, mivel b b b 3
FO 7 Tétel: Parseval formula Ha az a, a, a,, ill. a b, b, b 3, számok az f szerit periodikus, Riema itegrálható függvéy Fourier együtthatói, akkor feáll a következő egyelőség, melyet (trigoometrikus) Parseval formuláak evezük: f a ( ) a b Parseval formulával bizoyos számsorok összege meghatározható.
FO 8 Fourier sorok Példa: [ ], x ha, x x ha, (x) f x) si( f (x) a,,, b /,,, ( ) b a a dx x 6 dx x 3 6