SZAKDOLGOZAT KOLOMPÁR GYULA 2004

Átírás

1 SZAKDOLGOZAT KOLOMPÁR GYULA 4

2 MÁSODRENDŰ HIPERFELÜLETEK Kozules : Készítette : Dr. Ngy Péter Kolompár Gyul tszévezető mtemt szvzsg egyetem doces II.évfolym

3 TARTALOMJEGYZÉK Bevezetés..Másodredű hperfelülete áltláos egyelete..az egyelet bl oldlá módosulás eltolás htásár Az egyelet bl oldlá változás z ortoormált bázz változás htásár 6 4..Másodredű hperfelülete cetrum 9 5..Másodredű hperfelülete ous lj euldesz térbe. 6..Másodredű felülete osztályozás euldesz térbe Aff trszformácó 8..Másodredű hperfelülete ff osztályozás Másodredű hperfelülete metszése egyeessel. Aszmptótus ráyo. 9..Kojugált ráyo. 33..Kúpszelete és Ddel-gömbje. 36 Ellpszs. 38 Hperbol.. 4 Prbol. 4..Kúpszelet-törtéelem.. 43 Ajálott rodlom. 5

4 Bevezetés Ez dolgozt rr töresz, hogy másodredű felülete elméletét egyértelmű és vlágos formáb ötse. A tárgylás túlmutt z egyetem ygo, ezért teljesség géye élül próbáltm összeszed zot z elemeet, melye áltl em oly járts olvsó s jó tudjo tájéozód. Az géyesebbe s érdeesebb épet pht tetetbe, hogy vzsgálódás áltláosbb formáb, z -dmezós térbe törté. Az..-b megsmeredhetü másodredű hperfelülete áltláos ljávl. A.-3.. felülete mozgásvl foglloz. A 4.. zt vzsgálj, hogy felület mor cetráls és mor em. Az 5.. felülete egyeletée ous lr trszformálásávl előészít másodredű felülete euldesz térbe törtéő osztályozását (6..). A 7..-b tárgylt ff trszformácó pedg, másodredű felülete ff osztályozását észít elő (8..). A b tárgylt ojugált és szmptotus ráyo vzsgált zért s érdees, mert eze áltl gyo jó jellemezhető tárgylt felülete. Ő áltlu s elvégezhető egy más osztályozás, de bevezetés elejé utltm rr, hogy célom ább z áltláos bemuttás, mtsem gyo részletebe vló elmélyedés. Például, ezért em tértem z elfjuló esete teljes tárgylásár, vgy ét, ll. háromdmezós tér egyetem ygb szereplő megfelelőre. Bár z áltláos formából ezere lehet öveteztet. Az érdelődő olvsó z jálott rodlomból több érdees dolgot megtudht ebből z elméletből. Középsoláb tygét másodredű felülete szerepele. Őet ább pothlmzét vezet be, úpszeleteel vló moderebb defálás ább egészítő ygét szerepelhet (..). A ör és z ellpszs ltus tárgylás vszot ötelező tyg ( bár z utóbb dőbe z ellpszs s egészítő yg mősül).

5 Fotos trtottm zt s, hogy - özépsol megfotolásból s -, úpszelete törtéelméről s szólj, mert gyo so mtemtus s fogllozott ezzel. A legfotosbbt Kúpszelet-törtéelem fejezetbe (. ) gyeeztem összegyűjte. Végül edves ötelességeme érzem, hogy öszöetet modj Dr. Ngy Péter tszévezető egyetem docese, hszos tácsvl, észrevételevel hozzásegített bb, hogy ez dolgozt lye formáb elészülhesse. Köszöetem és tszteletemet fejezem zért s, mert ezzel témválsztássl gyb hozzásegített mtemt látóöröm szélesítéséhez, segített bb s, hogy özelebb erülje projetív geometr és leárs lgebr orosz szrodlomhoz pcsolódó vlágához. Slgótrjá, 4.áprls 5. Kolompár Gyul mtemt szvzsg II. évfolym

6 .. Másodredű hperfelülete áltláos egyelete. Legye dv egy vlós -dmezós ff tér és z ff oordát-redszerbe egy O pot e,,e bázssl. A másodredű hperfelület M potját geometr helye evezzü, hol OM helyvetor elégít z () egyeletet : (, ) b( ) c, () hol (, ) - vdrtus form, b () - leárs form, c - álldó. Az (, ) és b() formáról feltehető, hogy megfelelő bázsválsztássl vrás.. H feltesszü, hogy OM e e, or z () egyelet oordátás felírását pju :,, - z M pot oordátá, b c () (, ) = - z () vgy () egyelet főtgj, b ( ) b - elsőfoú tgo, c- z egyelet szbd tgj. 3. Előfordulht, hogy vlós térbe () lú egyeletet egyetle pot sem elégít, mégs z lye egyeleteet evezzü másodredű hperfelülete. A épzetes felületeet s de fogju sorol. Például z y z épzetes gömb, hol,y,.z z euldesz tér Descrtes-féle derészögű oordát-redszer tegelye. Érthető, hogy ebbe z értelembe geometr trtlmt em dhtu, de z lye eseteet fgyelembe vesszü, mert z egyelete elméletét lgebr eszözöel éyelmes ezel, és z egységes termológá mtt sem zárhtju. Sőt, mech és fz területee s széles örbe llmzhtó vzsgáltor. 4. Be lehet bzoyít, hogy omple ff térbe mde () egyelet meghtároz egy em üres pothlmzt. Azob m vlós térbe godolodu és omple számoról csupá éháy előfordulásáb fogu beszél (h z egyees és hperfelület metszéspotj omple szám).

7 5. A hperfelület áltláos egyeletét ( )( ) tggl lehet megd. Ez szám vlmey -él ge gy. Ezért ehézese bzoyul özvetleül vzsgál tetszőleges oordát redszerbe felírt hperfelületeet egyeletü lpjá. Ezért ább ésőbb () egyelet egy specáls ljár, ous egyeletére hvtozu.

8 .. Az egyelet bl oldlá módosulás eltolás htásár. A másodredű hperfelület bl oldlát jelöljü F szmbólumml, és vzsgálju, hogy futó oordátá hogy függe vzsgált F-től. F(,, b c Allmzzu z ~ helyettesítést, hol : - eredet oordátá, ~ - új oordátá, - új ezdőpotú oordátá z eredet oordát-redszerbe. Megfelelőe csoportosítv z első és másodfoú tgot és felhszálv vdrtus form mátrá szmmetrus voltát ( ), or z lbb egyeletet pju : F(,, ~ ~ ( ( ~ )( ~ b ) ( ) b ( ~ ) c b c) H z F függvéyt megszoott lb írju fel z új oordátál, or : F ~ ~ ~ ~ b ~ c ~ (I) ~ b ( b ) (II) ~ c b c) (III). Láthtó, hogy c ~ z egyelet bl oldlá fejezéseét áll elő z új oordát ezdőpotol. : ~,, c F( Fgyelmet érdemel (II) formul : ~ b (,, F ) ) Itt z új oordát ezdőpotú F fügvéy szert dfferecálháydos szerepel.

9 3. Az (I)-(III) formát írju át mátros formáb. A... c b b b b B.... Az (I) mátros formáj : A A ~ (I) Az F függvéyt lye módo éyelmesebb felír vdrtus formáb. A cél érdeébe vezessü be egy egészítő oordátát és. Továbbá b,, és, c. Aor z ~ formulát övetező lb lehet felír :. ~ ~ ~ ~ ~. ~ ~ () Az utolsó egyeletből : ~. Hogy homogé oordátár álltu át, így oordát trszformácó s homogé ( szbd tgo élül). Így. () egyelet bl oldl s homogé és B mátr vdrtus formáját ptu.,, F Az () trszformácó z eredet oordátá változását fejez, és ezt * P mátr írj le.... * P Eredméyét zt pju, hogy hperfelület B mátrá B ~ épét ~ PBP * B ()

10 írj le, mely átfogj z (I)-(III) formulát. A () formul lpjá egy fotos tételt lehet mod. Tétel : Eltolásál B mátr determás és rgj em változ. ~ ~ DetB DetB RgB RgB * Bzoyítás : Közvetleül láthtó, hogy DetP DetP, ezért tétel () formulából övetez. Megjegyzés : Am z A mátrot llet, or ezdőpoto áthelyezéséél ő mg s vrás, és or megőrz z összes elemét.

11 3.. Az egyelet bl oldlá változás z ortoormált bázz változás htásár. A öyebb ezelhetőség végett euldesz tér ortoormált bázsáb végezzü el vzsgáltt. Átállu egy ortoormált bázsról másr : e e l l e e l e l e Az ortogoáls mátrot I Ij lb írhtó. A trszformácó utá poto oordátát z lább formul htározz meg : l l l l () Eor z ortogoáls mátr : I * l l l l Az () formul homogé (em trtlmz szbd tgot), így ezdőpot oordátá megőrz helyüet.. Az.. () egyelet bl oldlát z () formul új oordátávl így írhtju : F( c,, ) b ) Mvel homogetás öveteztébe z () formuláb z egyelete függetlee : Ie mátros lot s fel tudju ír : c, c és ) A IAI *.

12 * Mvel I ortogoáls, ezért trszpoáltj megegyez verzével : I I, ezért A IAI Tétel : H egy ortoormált bázsról átállu egy másr, or z egyelet bl oldlá A mátrá determás, rgj és z A mátr p(λ) rtersztus polomj vrás. Megjegyzés : H p(λ) polomot z lább lb felírju : p( ) = ( ) p p ( ) p or láthtó, hogy p,,, p p vrás és or v z új ortoormált bázsr vló áttérésél megőrz z A mátr elsöredű morj főösszegét. másodredű morj főösszegét,stb. Ebből övetez: RgA RgA p p p p, DetA DetA 3. A B mátr trszformácós törvéye lpjá vezessü be b,, c, jelölést, or :, F, hol.ezzel feltételel z () formulát egészítve : () A () trszformácó mátrát így írhtju fel : * I l l.. l l..

13 Nem ehéz belát, hogy : * I I Vlójáb, () összefüggésből ez trváls övetez A F vdrtus form B mátrá trszformálás utá eresett formul : * B IBI vgy A (3) formulából övetez egy fotos tétel. B IBI (3) Tétel : H egy ortoormált bázsról másr térü át, or B mátr determás és rj em változ. DetB DetB RgB RgB 4. A.. () formulából,... és beezdéseből övetez. Áltláos megállpíthtju, hogy oordát-trszfomácó htásár : eltolásál és hogy egy ortoormált bázsról átállu egy új ortoormált bázsr (mozgásoál), or DetB, DetA, RgB, RgA és A mátr p () rtersztus polomj vrás.

14 4.. Másodredű hperfelülete cetrum. A másodredű hperfelület cetrumá z ff tér oly potját értjü, melyhez vszoyítv hperfelület összes potj pároét szmmetrus helyezed el. Így, mor cetrumról beszélü, or szmmetr özéppotot értjü. A B D C E E C D B A.ábr Sjos, vlós térbe ez meghtározás erejét veszt zob z esetebe, mor hperfelület egyeletét egyetle pot sem elégít. Azob ezebe z esetebe lgebr meggodolás végett célszerű cetrumról beszél Például, z y z egyelete épzetes térbe v megoldás. Ezért előyös másodredű hperfelülete cetrumá meghtározását lye eljárássl meghtároz.. Nézzü z lább egyeletet c () H,, ) poto z () hperfelülete feszee, or,, ) poto s z ( ( () hperfelülete feszee. Követezéséppe, h eze poto elégít z () egyeletet, or z () hperfelület szmmetrözépotj ezdőpot (orgó). A másodredű hperfelület cetrum oly pot, hogy ő oordát ezdet potot jelöl és egyelete () lú. Tehát, z lye felülete özéppotos szmmetrus oordát ezdőpotr (cetrumr) és,, ) épe,, ). ( ( A továbbb lgebr eszözöel fogju meghtároz cetrumot.

15 3. Legye dott z áltláos másodfoú egyelet b c Most zt tsztázzu, hogy ez z egyelet mlye feltétele mellett lesz cetráls. ~ Helyezzü át oordátát O(,, ) ezdőpotb, or övetező egyeletet pju ~ ~ ~ ~ ~ b ~ c O (,, ) oordát or és cs or lesz cetrum, h ~ b =,, () A () egyeletet..ii. lpjá így írhtó (ez cetrum meghtározás rtérum) : b Részletesebbe felírv z egyeletredszert : b b (3) A (3) egyeletredszer mátrát jelöljü A-vl. H DetA, or (3) egyeletredszere egyetle megoldás v. Eor hperfelület egyetle cetrumml redelez. Eze cetráls hperfelülete. H DetA, or (3) egyeletredszere vgy cs megoldás és or cs cetrum (prbol), vgy zoosság és or végtele so cetrum v (örheger, párhuzmos sípár). 4. Amor cetrumot vzsgálu, érdemes már z első lépésbe z egyeletet úgy egyszerűsíte, hogy ezdőoordát mg cetrum legye. 5. Vezessü be ét szmbólumot =DetA Δ=DetB A cetráls felülete rtérum z, hogy.

16 5.. Másodredű hperfelülete ous lj euldesz térbe. A másodredű hperfelülete osztályozását z egyeletü ous ljvl öyebbe végezhetjü el... Prtusbb számolás, h felület cetráls. Tehát, már z első lépésbe érdemes oordát ezdőpotot eltol cetrumb. 3. A hperfelületet cs z ortoormált bázsávl vzsgálju z euldesz térbe. Legye dott z áltláos F (,, ) egyelet. Együttese vzsgálju vdrtus form A mátrához trtoző ödjugált trszformácót. Aor z A mátr rtersztus polomjá gyöe vlós és dott ortoormált bázsb sjátértée. e e ( e, = ) sjátvetoro és (λ, = ) Térjü rá erre bázsr, mely egyelőre ezdet oordátát őrz. Aor z eredet tgjvl megdott vdrtus lot ous formáb így lehet megd : ( ) ( ), or hperfelülete egyeletée bl oldl így egyszerűsöd : F ( ) ( ) b b Az elsőfoú tgo együtthtó megváltozt, ezért ő s vesszős ll jellemezhető. A szbd tgo változtlul mrd. 4. Továbbb lehetséges esetete vzsgálju. ) A rtersztus polm gyöe ullától ülöbözőe :,, c Végezzü el z lább teljes égyzetre emelést : b b ( ) b Ezutá ezdő oordátát helyezzü z lább formul szert :

17 b ~ Ee öveteztébe z elsőfoú tgo eltűe és felület z új ezdő oordátál már cetráls. ~ ~ H, () hol H c ( b ) Az () egyelet már ous. ),,, ; r r r - vdrtus form eredet tgjg rgj, r ; Eor helyzet ssé boyolult, és hogy elerüljü ezt, z eredet tgo formájá áltláos trszformácójá meghtározásához tovább számításor v szüség.mdee előtt eressü megz összes őet úgy lehet válszt., hogy ő egy több bázsvetort ésőbb htározzu meg.,,r sjátvetorot. Mt smeretes, e e ortoormált redszert épezzee. A,, r Most ézzü duló oordátávl z eredet egyeletet : b c A leárs tgo egyértelműe meghtátározzá b b b,, b vetort., A b vetor ét lotór felosztju, z egy z ortogoáls z lább leárs lezárthoz : e e leárs lezártb fesz, más,, r b e rer p. Feltételezzü, hogy : ( b, e ),, r ( b, er ), p b e r Az így ostruált p vetor ortogoáls z L(e,,e ) ltérbe. r H p, or e -t p vetor szert ráyítju. Aor p e

18 e egységét felfogv, úgy lehet ráyít, hogy p vgy p lesz. e,, r e vetorot úgy fogju fel, hogy ő együtt orább létrehozott vetorol ortoormált redszert épezzee : e, e er, er,, e, e A mrdéb z e r,, e vetoro válsztás öéyes. H p=, or z legye ortoormált.,, er e vetorot tetszés szert vesszü fel, cs z e, e redszer Megjegyezzü, hogy ebbe z esetbe s megmrd z egyelet de cs p eseté. Így p e b e rer e () A másodfoú, elsőfoú és ulldfoú tgo z új bázsr vló áttérésél utomtus trszformálód. Az eredet tgo z új bázsb övetező épet muttjá : ( ) r ( r ). Az elsőfoú tgo csoportját slárs szorzt lb lehet felír Az () egyelet öveteztébe b ( b, ). ( b, ) ( e rer e, ) r r, úgy hogy ortoormált bázsb bármely vetor bázsvetorol vló slárs szorzt egyelő megfelelő oordátávl : (e, ). Ily módo z új bázsr vló áttérésél pju : F ( ) r ( r ) r r c Továbbá felosztju teljes égyzeteet (=,,r) : ( ) Ezutá áthelyezzü ezdőpotot (cs z,,r számol jelölt oordát tegelye ráyáb)

19 r r r r r r ~, ~ ~, ~ Ezutá z egyelet övetező lot vesz fel : H r r ~ ~ ~ H μ=, or H r r ~ ~, (*) mely ous lú. H μ, or : ~ ~ H H. Végezzü el oordátá ezdőpotjá áthelyezését z ~ tegely ráy szert H mértébe. Hogy e ehezítsü meg felírást, oordátá jelölését em változttju meg. Ez z egyelet így fog éz : ~ ~ ~ r r. (**) Ez z egyelet s ous. Semmlye más eset fetett áttettee ívül más em lehetséges. Eze lpjá öye elvégezhető másodredű hperfelülete osztályozás.

20 6.. Másodredű felülete osztályozás euldesz térbe. Az egyelete egyszerűsítése lpjá hperfelülete osztályt éyelmesebb vzsgál. I) δ=det A. Ez zt jelet, hogy egyetle sem egyelő ullávl. Aor ous egyelet : H (I) Itt s továbbb felírju jeleleg oordátát, mde egészítő megjegyzés élül. II) δ=deta=,, r=rga=-. Eor megfelelő ous egyelet : (II) (ő z 5..(**) egyeletből övetez r eseté) I ) δ=,.(hogy δ=, or r<). Ebbe z osztályb erül 5..(*) lú ous egyelete : hol, r II ) δ=,, r< - r r H, (I ) Itt tlálhtó z 5..(**) lú ous egyelete r< - esetél., (II ) r r hol, r. Az említett osztályo z összes lehetséges esetet merít.az (I) és (II) lú egyelete z lpeseteet, z (I ) és (II ) lú egyelete z lp eseteet smétl, de cs z lcsoybb dmezójú ltérb.

21 . Az lpeseteél. z A és B mátro így írhtju fel : I.eset : A... B.... H II.eset : A.. B... Defícó : A másodredű hperfelület em elfjuló, h B mátr em elfjuló, vgys : DetB Szemmel láthtó, hogy H esetbe lesz z (I) és (II) egyelet el em fjuló. 3. Egyetértésbe 3..4.potjávl, δ=deta, DetB, r=rga, RgB és z A mátr p ( ) rtersztus polomj z ortoormált oordát redszer osztályáb vrás. Az összes lye fejezés hperfelület egyeletée bl oldlá tlálhtó megdott bármely ortoormált oordátár. Azoívül smerjü bármely oordátáb z egyelet cetrumát. Ezért, mor áttérü ous egyeletre, or lehet meghtároz zt, hogy hperfelület cetráls vgy sem, elfjuló vgy sem, meg lehet eres z összes cetrumot és lehet számít z A mátr rtersztus polomjá összes j gyöét. A.potból meg lehet meghtároz z (I) típusú hperfelületél H-t : Eél és e : H H.

22 z (II) típusú hperfelületél μ-t: Az potos 3...pot megjegyzésébe felírt p() rtersztus polom p lj esetébe. Ezért () p Az egyeletbe gyöjel ltt fejezés poztív, meybe létez és μ téylegese orább számításo áltl megállpított. 4. A em elfjuló hperfelülete (I) esetébe RgA=, RgB=+ () A () elsö egyeletéből és Kroeer-Kpell tételéből öveteztetü rr, hogy eze özéppotos. Nézzü részletesebbe. 5. H és H zoos előjelűe, or z (I) hperfelületet (-) dmezós ellpszod evezzü. Az egyelete : (3) z ellpszod féltegelyée potj ( >).Nem ehéz belát, hogy z ellpszod elhelyezhető egy prleleppedob, úgy hogy, =,,. Péld : =3 eseté :.ábr 3 3.ábr

23 = eseté : 3.ábr A -dmezós ellpszod = eseté ellpszs (3.ábr), = eseté potpár (4.ábr). 3.ábr - 4.ábr Az ellpszodot >3 eseté szemléletese s ehéz ábrázol. A.,3.,4.ábrából jól olvshtó, hogy méretée övelésével -dmezós ellpszod lj s boyolód. H R, or (3) ellpszodot R sugrú (-) dmezójú gömbe evezzü. 6. H zoos előjelűe és H elleező előjelű, or z (I) hperfelület épzetes ellpszod evezzü. A vlós térbe e csee potj. 7. H ülöböző előjelűe és H, or z (I) hperfelület hperbolod evezzü. b b (4) Az (4) hperbolod vlós féltegelyee, b b épzetes féltegelyee potj (, b ). A hperbolod egyeletée bl oldl szgtúrától függőe ülöböző geometr lztot épeze. Az ltus geometr özépsol tárgylásáb felület formát felület ülöböző síol vló metszetével (úpszelete) defáljá (6., 7.ábr,. ). Azob, m s oly eljárást llmzu, mor be tudju mutt,hogy jelee meg hperbolodo ülöböző lj A gyor eseteet vzsgálju, és ezt z lcsoybb terjesztésű térbe smert objetumol ezdjü.

24 egyelet = eseté, hperbolát htároz meg (5.ábr) : b ) =3 eseté, ét lehetséges eset v : ) étöpeyű hperbolod : A (4) b b 4 (5) b) egyöpeyű hperbolod : b 3 3) =4 eseté, három esetet ell megvzsgál : ) Kétöpeyű hperbolod b b 3 b 4 3 (6) soló, mt hperboláál és z (5) hprbolobál, ét ülöálló tgból áll, és z és lterebe helyezede el. Őt =cost ( ) hpersí ellpszodb metsz, féltegelye -vel megyúl. A mrdé hpersío (6) hperbolodot (5) lú étöpeyű hperbolodb metsz. 3 =cost (=,3,4) 6.ábr

25 b) Most z egyelet legye b 3 b 4 Ő hperbolod új lját dj meg, hogy mde =cost hpersíból vgy hperbolodot (egyöpeyűt vgy étöpeyűt), vgy úpot metsz. Itt tud ll, hogy tpus metszete, zo hperbolodo. A úpo cs z, esebe jelee meg és őet mt em elfjuló hperbolodot lehet vzsgál. A három dmezós térbe cs lóg felület, mgsbb terjesztésű térbe ább tpus eset. c) Egyöpeyű hperboloddl lóg : 3 3 b 4. Az 4 =cost hpersí étdmezós ellpszodb metsz, féltegelye 4 -gyel megyúl. A megmrdó =cost hípersío hperbolodb (egyöpeyű vgy étöpeyű) metszee, hol úpo esetbe elfjul. A égy dmezós térbe hperbolodot szemléletese ehéz ábrázol, Alcsoybb terjesztéső terebe felület hpersíol vló metszését vszot jó lehet érzéeltet (.,6.,7.ábr). 3 7.ábr

26 Áltláb lye lehetősége v : ), = étöpöyegű hperbolod, ét ülöálló tgból áll, z,, ltérbe fesz. Az =cost hpersí őt (-) dmezós ellpszodb metsz, több =cost (=,,) hpersí pedg étöpeyű hperbolodb. b ) 4, z (5) egyelet bl oldlá tgjb ettőél evesebb poztív, ll. egtív szám em lehet. Az lye hperbolod z hperbolodot metsz (esetleg em elfjuló úpot). =cost hpersíból lcsoybb dmezójú c ) 3, =- hperbolod. Az összes =cost hpersí őt (-) dmezós ellpszodb metsz, több úpb. Fgyelmet érdemel z téy, hogy mde -dmezós =cost (=,..,-) hpersí pedg hperbolodb vgy c,, c ( c =cost) lú sí (4) hperbolodot (-)-dmezós ellpszodb metsz,és z (-)- dmezós c,, c ( ellpszodb metsz. c =cost) lú sí (4) hperbolodot (--) - dmezós Be lehet lát, hogy (4) hperbolodo, cs oly r-dmezós ellpszodo épződe, melyre r m(, ) és mgsbb dmezójú ellpszod cs. Ez z =,3 esetél z -6.ábrá összevetéséből láthtó. Az áltláos esetet most em vzsgálju. H, térbe z dott euldesz metrá ívül más vdrtus metrát vezetü be változó előjelű vdrtus formávl, or gömb szerepét hperbolod tölt be. Ezzel pcsoltb érdees megjegyezés, hogy étöpeyű hperbolodo 4-dmezós térbe fotos szerepet játsz reltvtás elméletbe. 8. A (II) lú ous egyeleteel megdott felülete em elfjult és őet prbolod evezzü. A prbolodo em redeleze cetrumml, ugys z A lpmátr rgj -, B bővített mátr rgj. Ez pedg Kroeer-Kpell tételée elletmod ( A és B mátróról részletese.potb).

27 9. Most z elfjuló felületeet vzsgálju, tehát mor DetB. Kéyelmesebb őet feloszt három csoportr. ) Először vegyü z (I) esetet és H=. Aor RgA=RgB=, hperfelület cetráls és eor z egyelet :. (7) Azt tudju, hogy úpo egyelete z lye másodfoú homogé egyelete.h z összes zoos előjelű, or épzetes úpról beszélü (egyetle vlós potj v, csúcs /cetrum/- vlós csúcsú épzetes úp).h z ülöböző előjelűe, or vlós úpról beszélü bb z értelembe, hogy cetrumá ívül s v vlós potj. A (7) egyelet bl oldlá változttásávl, -ár oordátá átszámozásávl, vgy z előjele megváltozttásávl-, el lehet ér, hogy,, és egtív tgo e lépjé túl poztív tgot. Aor (7) egyelet z lább egyelethez vezet : b b, (8) hol,. Az cost hpersí (8) úpot, h =-,or (-)-dmezós ellpszodb, h <-, or hperbolodb metsz ( z utóbb cs 4 eseté lehetséges). Nem ehéz belát, hogy (8) úp mdzo egyeeseből áll, melye z orgó és felület potj átmeő, cost hpersíl metsződe. ) Nézzü z (I ) egyeletet. Legye E * - r-dmezós e,,er bázssl feszített ltér. Ebbe z ltérbe z (I ) egyelet meghtároz egy (I) típusú hperfelületet, melyet jelöljü S-sel. Bármlye dmezó esetébe z (I ) egyelet meghtároz egy oly hperfelületet, melyet hegere evezü. Nézzü ezt részletesebbe. Jelölje z E * ltér ortogoáls egészítését E * ** ( E L( e r,, e )).Vegyü z E ** -ből egy tetszőleges vetort és tolju z (I ) 3 8.ábr E ** E *

28 hperfelületet z vetorr. Aor zo poto változ meg oordátáj, melye em mee be z (I ) egyeletbe, zz,,. Ezért, zo poto, r melyeet bármely lye elmozdításor jöe létre, szté elégít z (I ) egyeletet. Így z E * ltérbe megpju (I ) hperfelületet lját úgy, hogy z S hperfelületet párhuzmos eltolju z összes lehetséges ráyb. Ez ostrucó mgsbb dmezós áltláosítás, hogy E 3 -b z y hegert z tegely meté, ör párhuzmos eltolás eredméyeét pju (8.ábr) Az (I ) hegere lotó betölt z (-r)-dmezós sí szerepét, E ** -gl párhuzmos. Mde (I ) hegere végtele so cetrum v. Nem ehéz belát, hogy z összes lye cetrum megegyez z E ** ltérrel. 3.) A (II ) egyelete áltl meghtározott hperfelületet prbolus hegere evezzü. Itt E * jeletse z e,, e r, e vetoro áltl feszített (r+)-dmezós lteret, E ** pedg z ortogoáls terjesztését. Az E * ltérbe (II ) egyelet prbolodot htároz meg és hsoló z előzőhöz, jelöljü ezt S-sel. A (II ) hperfelületet pju, h z S prbolodot párhuzmos eltolju z E ** ltér összes lehetséges vetorár. A prbolus hegere cs cetrum.

29 7.. Aff trszformácó. Az ff térbe bevezetü egy ff oordát-redszert és egy tetszőleges M,, ) potjá épe legye M (,, ), h teljesül : ( e e e b e b () Tegyü fel, hogy z -es mátr A em elfjuló, és DetA. Az lye j trszformácót ff trszformácó evezü. Az ff trszformácó ölcsööse egyértelmű, mert mátr em elfjuló. Köye beláthtó, hogy h ét () lú formul egy együtthtób ülöböz, or z dott ff oordát redszerbe z ff trszformácó s ülöböz.. Az ff trszformácó osztály meghtározás függetle oordát-redszer megválsztásától. Ebbe tetetbe, h átállu más ff oordátár, or z M pot eredet oordátá M épe z elsőfoú formul új oordátájáb fejeződ és ez egyértelmű megfordíthtó. Ezért, mor átállu más ff oordátár, z () lot z egyértelmű megfordíthtó osztályob mrd. 3. Legye dott egy geometr lzt z ff potérbe és z egyelete: F()=, () hol z szmbólum futópot oordátá Legye dott egy ff trszformácó, melyet szmbolus így jelölü : ( ) (3) Keressü lzt behelyettesítjü ()-be : épée egyeletét. A (3)-ból ( ), és ezt mely lzt mde potját elégít. F( ( )), (4) A térbe oordát-redszer em változttju így éyelmes jelölés végett z szmbólumot megtrtju (és em z -t, hogy (4)-be).

30 Végül megállpíthtó, hogy egyelete: F( ( )) 4. Az ff trszformácó z lgebr egyelete foszámát megtrtjá, éspedg, h z M pot oordátá elégít -d foú egyeletet, or z M pot s elégít z ugylye foszámú egyelet. Megjegyzés : Az hogy z () formul elsőfoú, z egyelet egyetle tgjá sem lehet sem övel, sem csöete foszámát. Követezméy: Aff trszformácó hpersíot hpersíb vsz át. 5. Tétel: Aff trszformácóál mde sí dmezój megegyez épsíjá dmezójávl. Bzoyítás: Legye П egy - rgú leárs redszerrel megdott -dmezós sí, mely - egyeletet trtlmz. Írju ezt redszert mátros formáb : hol, S - (-) típusú mátr, S=s, s- mátr szbd tgj oszlop. Az () ff trszformácót szté írju fel mátros formáb : Felhszálv.potot, áttérü hol ~ s SA A b b szbd tgo új oszlop. épée mátros egyeletére : SA ~ s, (5) Az oordátát tetve z (5) redszer szté - egyeletet trtlmz. A mátr em elfjuló, így Ez z mt be ellett bzoyít. RgSA RgS

31 6. Aff trszformácóál hpersío megtrtjá párhuzmosságut. Ugys, h ét hpersí em metsz egymást, or z ő épüe sem lehet metszéspotj, mvel trszformácó ölcsööse egyértelmű (bjetív). 7. Áltláosságb s gz z állítás. Az ff trszformácó hpersío párhuzmosságát bármely dmezób megtrtjá. 8. Tétel: Az -dmezós térbe z ff trszformácó egyértelműe meghtározhtó, h z dott tetszőleges, áltláos elhelyezedésű, redezett M,,, M M potredszerbe v lye áltláos helyzetű. tetszőleges N,,, N N lóg redszer. Bzoyítás: Vegyü térbe z ff oordát-redszert. legye M ezdőpot M M M M,, pedg bázsvetoro. (Eze vetoro függetlee, meybe M,,, M M áltláos elhelyezedésű). A eresett ff trszformácó dj ezee oordátá z () formuláját, hol szbd tgo oszlop z N pot oordátából áll, z együtthtó oszlopáb pedg = N oordátából áll. N A öveteztébe teljesül DetA, hogy z N j poto áltláos helyzetűe. Így eresett trszformácó egyértelműe léteze. 9. Nézzü ét trszformácót.. Leárs trszformácó ~. ~ (6). Párhuzmos eltolás ~ b. ~ b A párhuzmos eltolásál z összes pot egydejűleg mozdul el b,,b -be. Mde () trszformácó, (6) és (7) trszformácó szuperpozícój és fordítv. Ezért mde ff trszformácó (6) leárs trszformácó (tt feltételezzü, hogy em elfjuló) és (7)eltolás szuperpozícój. (7)

32 . Az ff trszformácó csoportot lot, ugys: ) ff trszformácó verze s ff trszformácó; b) ét ff trszformácó szorzt s ff trszformácó; ez ylvávló z. pot lpjá.. Φ és Φ lztot z ff térbe ff szempotból vvlese, h z egy másb vhető trszformácóvl Így, hogy z ff trszformácó csoportot lot, or gz z lább : ) H Φ evvles Φ -vel, orr Φ evvles Φ -vel (szmmetrus) ) H Φ evvles Φ -vel, Φ evvles Φ -vel, or Φ evvles Φ -vel (trztív) 3) Mde lzt ömgávl s evvles (refleív). Péld : A étdmezós euldesz térbe ör ff épe ellpszs, háromdmezós euldesz térbe gömb ff épe ellpszod. Megjegyzés : A tér bármely egyform dmezójú sí ff szempotból evvles.

33 8.. Másodredű hperfelülete ff osztályozás. Megállpíthtju, hogy ff térbe z összes másodredű hperfelületet osztályb sorolhtju, úgy hogy mde egyes osztályb elhelyezedő felülete ff szempotból evvlese. Az osztályo lye módo vló felosztását evezzü másodredű hperfelülete ff osztályozásá.. Vegyü egy tetszőleges másodredű hperfelületet, melyet ous lb fogu megd. Algebrlg ez zt jelet, hogy z egyelet bl oldlát átlítju 7..() egyelet formár. H ezeet formulát megvzsgálju em mt oordáttrszformácós formulát, hem mt ff trszformácó, or pott ous egyelet dj zt hperfelületet, mely dulóvl ff vvles. H őt egészítjü még egy ff trszformácóvl, or ő oordát tegelye ráyáb összeyomód és or ous egyelet ullától ülöböző együtthtót + vgy - lb lehet ír. Külöbőzőe ell trt zot z egyeleteet, melyeet em szbd átvezet egymásb --gyel vló szorzássl és oordátá számozásá megváltozttásávl. Ezért 6.. (I) és (I ) esetébe, mor H : H : 6.. (II) és (II ) esetébe r r () r () r r (3) r A vdrtus lor votozó Sylvester-féle tehetetleség törvéy értelmébe z (), (), (3) ülöböző lb megdott hperfelülete egymásb em vhető Az ly módo pju másodredű hperfelülete ff szempotból evvles osztályt, melyeből mde egyese v sját lj z (), (), (3) egyelet özül.

34 . Legye dott 9.. Másodredű hperfelülete metszése egyeessel. Aszmptótus ráyo b c () hperfelület és egy tetszőleges (,, ) oordátájú M pot. Az M poto át l { l,, l } vetoro ráyáb felveszü egy egyeest. Keressü z egyees és z () hperfelület metszéspotját. Aor z M pot oordátár felírhtó z lább egyelet : l () Az () és () egyelete segítségével lehet megtlál lehetséges metszéspotot. Ezért () egyeletet helyettesítsü z () egyeletbe : l l ( l b l ) F(,, ) (3) Most már cs (3) egyelet vzsgált szüséges.. H, l l, or (3) egyelet másodfoú (vdrtus). Ebbe z esetbe vgy ét vlós, vgy ét omple ojugált, vgy többszörös metszéspot létez, z utóbb esetbe egyees. Péld : Az euldesz sío z y öre és z egyeese cs vlós metszéspotj. Egyszerű számítás dj (, 3) megoldásot. =- y ábr

35 Hogy el tudju épzel ezeet potot, z y ört étdmezós omple sío vzsgálju. Vegyü égydmezós vlós tér étdmezós omple sí modelljét, or : u, y v (4) Ezt behelyettesítve ör egyeletébe és vlós és omple fejezéseet elülöítjü, pju : u v u v (5) Az (5) redszer muttj, hogy (4) étdmezós omple sío vzsgált y ör =- η v u.ábr változót ( u, v,, ) jelöl égydmezós térbe, és láthtó, hogy hperbolodb és úpb metsz. Az egyees térbel ( u, v,, ) vel jelölt változó étdmezós lj : u=, (6) Vzsgálju most égydmezós tér háromdmezós lterét. A (6) sí egészébe fesz bee, z (5) ör pedg ezzel z ltérrel z lább lb metsz : u v v (7)??? u v, (őt vlós euldesz sío látju) és hperbol u, v

36 A (6) sí és (7) redszer (.ábr) péld szert u, v, 3) megoldásot djá. 3. H, l l, (8) or (3) vgy elsőfoú egyelet, vgy elletmodásos, vgy zoosság. A másod esetbe z modju, hogy z egyeese hperfelülettel étszeres metszéspotj v végtlebe.. A hrmd esetbe z egyees teljes egészébe fesz hperfelülete. 3.ábr Az dott hperfelület lye egyeeset evezzü szmptótá, és z szmptot ráyot (8) feltétellel dott l l,, vetoro djá. l Az egy poto áthldó szmptotus egyeese úpot htároz meg (.ábr). A (8)-ból és ()-ből pju z M csúcsú szmptotus úpo egyeletét. ( )( ) A cetráls egyeletből övetez, hogy h M hperfelület cetrum, z l vetor pedg szmptotus ráy, or (3) egyelet z lább lú : F(,, )., H, F (,, ), or z egyeese egyetle véges potb sem tláloz. Ilye egyeeseet evez szmotótá, úpot pedg szmptotus

37 Példét említhető háromdmezós térbe hperbolodo szmptotus úpj (.ábr) és esetbe hperbol szmptótá (5.ábr). O O.ábr

38 .. Kojugált ráyo. Tegyü fel, hogy l vetor em szmptotus ráy. Aor bármely egyees, z l vetor ráyl megegyezőe felvéve, hperfelületet ét potb z M és M potob metsz. Legye z M z M és M poto áltl meghtározott húr felezőpotj. H M, M vlós poto, or z M özéppotját özépsoláb már megsmert M M osztópot oordátájét lehet meghtároz. H M, M omple ojugált poto, or z M M poto M özéppotját úgy ell értelmez, mt oordát végpoto számt özepe. Az M ebbe z esetbe s vlós. Nézzü z összes oly egyeest, mely párhuzmos z l vetorrl és özéppotj z M M húrr lleszede. Tétel :Eze özéppoto geometr helye hpersíot lot. Bzoyítás : M M l, M M l, () hol. H M és M vlós poto, or ylvávló, hogy. H M és M omple ojugált poto, or z () egyeleteből lehet felír oordátá egyelőségét. Ezeből öye belát, hogy ebbe z esetbe s. Ebből : () Térjü vssz 9..(3) egyeletéhez. Így hogy z egyees em szmptotus ráy, z smeretle égyzetes együtthtó ullától ülöbözőe. A Véte-formulából és ()-ből övetez, hogy : l b l (3) Ahhoz, hogy z egyelet összes özéppotját megpju, - bármely M özéppor-, hhoz z ő (,, ) oordátát ell vzsgál. Aor (3)-ból : l b l (4)

39 Tegyü fel, hogy Aor (4) összefüggés így írhtó : N l, D N b l N D (5) Köyű belát, hogy z N számo özött v ullától ülöböző. Ebbe z esetbe elfogdhtó, hogy,, eseté : N l (6) A (6) egyeletet l -vel megszorozv és elvégezve megfelelő összedásot : l l,. Az (5) hpersíot, z dott hperfelület l ojugált ráy áltl meghtározott dgoáls hpersíjá evezzü 3. N,, N számo z N { N,, N } oordátát jelet. H oordátá térbe ortoormált, or z N vetor ortogoáls z (5) dgoáls hpersír, tehát ő z (5) ormálvetor. Az összefüggés lpjá láthtó, hogy z N l (,, ) N=Al leárs trszformácó z l vetort N vetorb vsz át. l N=Al 3.ábr

40 Tudju, hogy hperfelülete egyeletee ous lb vló átlításál z A trszformácó sjátvetort úgy ell ráyít, hogy oordát tegelye ráyáb mutss. Így már öye érthető, hogy z ráyo geometr bevezetése előyös z egyszerűsített hperfelülete egyeletee tárgylásor. Az egyszerűség edvéért zot sjátráyot vzsgálju, melye em szmptotus. Aor e ojugált dgoáls hpersí létez és merőleges ee ráyár. Ezért ő z dott hpersí szmmetr síj. Ie, leglább zob z esetebe, mor cetráls hperfület em elfjuló, vlágos, hogy megdv őt ous ljáb, elfogdju, hogy oordátsío ortogoáls redszert lot, és ő szmmetrsío.

41 .. Kúpszelete és Ddel-gömbje Egy egyees örúpot csúcsár em lleszedő síl elmetszve ülöböző görbéet pu símetszetét szert, hogy sí úp tegelyével meor szöget zár be. H bezárt szög megegyez úp félyílásszögével (zz sí egy lotóvl párhuzmos), or prbol, h sebb, mt félyílásszög (zz ét lotóvl párhuzmos sí), or hperbol, h gyobb, mt félyílásszög (zz mde lotót metsz), or ellpszs, h sí tegelyre merőleges, or ör lesz símetszet. A úpszeleteel gyo so mtemtus fogllozott; legfotosbbt Kúpszelettörtéelem című oldlo gyeeztü összegyűjte. A most megevezett görbéet zob ább poto mért helyeét, pothlmzét trtju számo. A prbol zo poto mért helye síb, m egy dott egyeestől és egy dott (z egyeesre em lleszedő) pottól egyelő távolságr v. Az ellpszs zo poto mért helye síb, melye ét dott pottól mért távolságá összege álldó, mely álldó gyobb z dott poto távolságáál. A hperbol zo poto mért helye síb, melye ét dott pottól mért

42 távolságá ülöbsége álldó, mely álldó sebb z dott poto távolságáál. A görbé étféle defícójá egyeértéűségét, másszóvl z zoos elevezés jogszerűségét bzoyít ell. A legegyszerűbb eljárást erre bzoyítás sorá felhszált értőgömbö "feltlálójáról", Ddelről Ddel-gömbös bzoyítás s evez. Az dolgoztl célj, ee mél plsztusbb bemuttás.

43 Ellpszs Legye P símetszet egy tetszőleges potj. Illesszü úpb oly gömböet, m ért úpot és metszősíot s. A G gömb úp plástját örbe, síot F potb ért. A G gömb úpot örbe, metszősíot F potb ért. P-ből húzzu gömböhöz értőszszot! Teljesül ráju, hogy PP =PF és PP =PF. Ugyor PP és PP egy, özös lotó v, z áltlu lotott lotódrbot és htároljá. A símetszete bármely potjáról legye s szó, gömböhöz rjzolt értőszszo együtt plásto mdg ét ör özött helyezede el, gyságu így álldó. Másrészről z értés tuljdoság mtt síbel értőszszo hosszá összege, PF +PF PP +PP s álldó gyságú. Ezzel ptu ét dott potot: F -t és F -t, melyetől mért távolságösszege P-e mdg ugyor. Defícó szert símetszetü egy ellpszs. Az ellpszs egy más, szté "pothlmzos" defícójához s eljuthtu. Messe ugys ör síj metszősíot d egyeesbe. P-ből merőlegest állítv d-re, D tlppotot pju. P távolság z első ör síjától PP * szsz hossz. Az így eletezett PP * P háromszög derészögű, P-él levő szöge úp félyílásszöge, tehát mde ellpszspotból szeresztett háromszögre ugy or. Eze derészögű háromszöge hsoló. Másrészről d-re állított merőlegese - bármely ellpszspotból

44 dítv - metszősíb v és párhuzmos. Most DPP * háromszögeet vzsgálv, h P befutj z ellpszs potjt, derészögűe és párhuzmosállású szöge mtt hsoló egymáshoz. Tehát és, hol ostso megfelelő bezárt szöge cosus. Eor szögetől függő álldó. Vzsgáltu eredméye, hogy z ellpszs potjr teljesül, hogy egy dott pottól (fóusz) és egy dott egyeestől (dretr) mért távolságu háydos álldó, m ostrucó mtt -él sebb poztív szám.

45 Hperbol Legye P símetszet egy tetszőleges potj. Illesszü úpb oly gömböet, m ért úpot és metszősíot s. A G gömb úp plástját örbe, síot F potb ért. A G gömb úpot örbe, metszősíot F potb ért. P-ből húzzu gömböhöz értőszszot! Teljesül ráju, hogy PP =PF és PP =PF. Ugyor PP és PP egy, özös lotó v. A PP PP - ívül lotódrbját és örö htároljá. A símetszete bármely potjáról legye s szó, gömböhöz rjzolt értőszszo ülöbsége plásto mdg ét ör özött helyezed el, gyság így álldó. Másrészről z értés tuljdoság mtt síbel értőszszo hosszá ülöbsége, PF -PF = PP +PP s álldó gyságú. Ezzel ptu ét dott potot: F -t és F -t, melyetől mért távolságülöbsége P-e mdg ugyor. Defícó szert símetszetü egy hperbol. A hperbol egy más, szté "pothlmzos" defícójához s eljuthtu úp metszésével. Messe ugys ör síj metszősíot d egyeesbe. P-ből merőlegest állítv d-re, D tlppotot pju, z első ör síjár állítv P * potot yerjü. Az így eletezett PP * P háromszög derészögű, P-él levő szöge úp félyílásszöge, tehát mde hperbolpotból szeresztett háromszögre ugy or. Eze derészögű háromszöge hsoló. Másrészről d-re állított merőlegese - bármely hperbolpotból dítv - metszősíb v és párhuzmos. Most DPP * háromszögeet vzsgálv, h P befutj z ellpszs potjt, derészögűe és párhuzmosállású szöge mtt

46 hsoló egymáshoz. Tehát és, hol ostso megfelelő bezárt szöge cosus. Eor szögetől függő álldó. Vzsgáltu eredméye, hogy hperbol potjr teljesül, hogy egy dott pottól (fóusz) és egy dott egyeestől (dretr) mért távolságu háydos álldó, m ostrucó mtt - él gyobb.

47 Prbol Legye P símetszet egy tetszőleges potj. Illesszü úpb egy oly értőgömböt G, m egyúttl síot s ért. A úpot örbe, síot F potb ért G. P-ből Ddel-gömbhöz húzott értőszszo PF és PP, m egyelő hosszúságú. A metszősí és síj d egyeesbe metsz egymást. P-ből merőlegest állítv d-re és síjár pju D és P* tlppotot. PD metszősíb v és párhuzmos zzl z lotóvl, mvel sí s párhuzmos. Így DPP* szög váltószög P*PP szöggel, m mde esetbe félyílásszög. Ezért pott PPP* derészögű háromszög egybevágó PP*D derészögű háromszöggel (egy oldlu özös és rjt fevő szöge egyelőe). Tehát z átfogó egyelő hosszú: DP=PP, másrészről PP=PF. Összefogllv elmodhtó, hogy símetszet potj egy dott pottól (fóusz) és egy dott egyeestől (dretr/vezéregyees) egyelő távolságr v, símetszet ezért egy prbol.

48 .. Kúpszelet-törtéelem A úpszelete b. 35 éves törtéelmébe so smert évvel tlálozhtu. Rólu (s) olvshtu övetezőbe. Mehmosz (.e. 35 örül) A híres mtemtus, Eudoosz (.e. 4?-347?) volt mestere. Testvére, Deosztrtosz ör égyszögesítésével öröítette meg evét. Mehmosz egy más híres problémávl fogllozott: ocettőzéssel. Másodállásb Ngy Sádor egy evelője volt. Prolosz szert Mehmosz jeletőse továbbfejlesztette geometrát, muá zob em mrdt fe, így,,cs úpszelete felfedezését tudhtju övée. A forgásúpot yílásszögü lpjá három csoportr osztott: tompszögű, derészögű és hegyesszögű úpor. Mdegyet oly síl metszette, m merőleges vlmely lotór. Így yerte sorb hperbol, prbol, ellpszs símetszeteet. Ezee evét s úpo utá hegyesszögű, derészögű és tompszögű úp símetszetée evezte. Ee három úpszelete éháy tuljdoságát, sőt szümptómáját, zz,,egyeletét s meghtározt. Euledesz (.e. 365?-3?) A gy redszerező mtemtus természetese fogllozott úpszeleteel, öyvet s írt témáb, m zob elveszett. Alpvető művébe, Sztohe II. ötetébe geometr lgebrávl foglloz. Számur ez zért fotos, mert oly feldtol foglloz, melye ésőbb fotos szerepet fog játsz úpszelete elevezésébe. Szürusz Arhmédész (.e. 87-) Több művébe s foglloz úpszeleteel, met ugyúgy szármztt, mt Mehmosz. Az Erthoszteészhez írt levele, Módszer fotos mtemt eredméyet trtlmzz. Számur legfotosbb fejezete ee A prbol vdrtúrájáról szóló, mbe egy prbolszelet területét számolj Arhmédész. A tulmáy több szempotból s fgyelemre méltó. Egyrészt Eudoosz,,merítéses módszerét llmzz

49 lehető legfombb és legprecízebb módo, másrészről végeredméy megsejtéséhez (modht személyre szbott: heursztus megoldásához) egy fz szbályt llmz, mt mtemtus precíze be s bzoyít. Arhmédész szert egy prbolszelet területe megegyez beleírt háromszög területée 4/3-szorosávl. A oodoról és szferodoról (A forgásprbolodoról és forgásellpszodoról) című művébe Módszerbe megsmert módszerrel eze teste térfogtát és felszíét, lletve símetszete területet számolj. Arb fordításból smerjü A szbályos hétszög szeresztése öyvecséjét. Ném számolás utá pt DE=ET=z, EC=TH=y, CG= szszot, hogy ATB területe megegyez CFG területével. A hsoló háromszögeet és terület-egyelőséget fgyelembe véve (y+z)z=-t z összefüggés. Az,y,z oldlú háromszöget megszeresztve KDG öré írt örée () DK húrj dj -b írhtó szbályos hétszög egy oldlát. Arhmédész em fűz több ommetárt dologhoz, zob feltételezhető, hogy például y+z= jelöléssel, zz ABCD egy oldlú égyzet, z-t behelyettesítve pju, hogy (+y)y=(-y) és (-y)=. Derészögű oordát-redszerbe ábrázolv egy hperbolát és egy prbolát pu, melye metszéspotj özül z I. síegyedbe eső P metszéspot oordátá djá és y

50 értéeet. Másrészről z s bebzoyíthtó, hogy szeresztés sorá téyleg örbe írhtó szbályos hétszög oldlát yertü. Perge Apolloosz (.e. 6-9) Aledráb, mjd Pergébe dolgozv lott meg yolcötetes úpszeleteről szóló öyvét, Kóát. Tárgylásá új módj, hogy syümptómát mde esetbe specáls, ojugált átmérőpárr írt fel (z értő z, z átmérő z y tegely), m szóhszálttl ferdeszögű oordát-redszerbe, másrészről md prbolát, md z ellpszst, md hperbolát zoos eljárássl vzsgált. Az első égy ötet görögül, övetező három rbul mrdt rá. A VIII. ötetet 7- be Ppposz hvtozásr támszodv Edmud Hlley gol mtemt-törtéész reostruált. Az I., II., III. és IV. öyv úpszelete mt egyetle ferde örúp ülöböző símetszetevel, úpszelete szümptómávl, ojugált átmérővel, értőel, szmptotávl, pólussl és polárssl lletve foáls tuljdoságol foglloz. Az V. úpszelete értőről és evolútáról szól. A úpszelete egybevágóságávl és hsolóságávl VI. ötet foglloz, míg VII.-t ojugált átmérőre szát. A legutolsó rész léyegébe szeresztés feldtot trtlmz. Mvel Apolloosz egyetle ferde örúpot hszált, ezért orább Mehmosztól szármzó bevett elevezése em volt helyévló. Ezért ereset vlm özös, de mégs megülöböztető tuljdoságot. Korább említettem, hogy Apolloosz mdhárom úpszeletet zoos módo vzsgált, így juthtott el övetező feltüőe hsoló szümptómához (m jelöléseel): P: y = p hol. Apolloosz z ellpszs egyeletét így foglmzt meg: Illesszü p távolsághoz területű tégllpot úgy, hogy háyozzé távolság mellől egy területű tégllp! Köye beláthtó, hogy (z egyszerűség edvéért) ous helyzetbe levő ellpszs c bszcsszájú potj ordátá

51 lpjá c b + y = b zz Tehát z ellpszs fóuszá átmeő, stegellyel párhuzmos húr hossz pot p. A megfoglmzott feldtot Apolloosz meg s oldott. Aledr Ppposz (IV.sz.) Szügógé (Gyűjteméy) című muájáb összegyűjtötte gy elődö eredméyet, ugyor őmg s egészítette zot, vgy új megoldást dott problémár. Mvel Apolloosztól s összeszedet so mdet, bzoyár fogllozott úpszeleteel s, másrészről gyo fotos szerepet játszott z ógörög mtemet megőrzésébe z utóor számár. Grrd Desrgues (593-66) Lyo születésű építész- és hdmérö volt. 66 és 65 özött Párzsb mtemtávl és fzávl fogllozott, s 935-be párzs Adém tgjává válsztottá. 939-be jelet meg Brullo projet d`ue ttete u évéemes des recotres d`u coe vec u pl (Jvsolt ísérlettervezet rr votozó, hogy mét ell eljár, mor egy úp egy síl tláloz) című öyve. Az egyees végtele távol potjá és sí végtele távol egyeesée bevezetésével megállpított, hogy zoos szmptotájú hperbolá végtele távol potjb tláloz. Először örre gzolt, mjd áltláos s modt tételét: H egy úpszeletbe húrégyszöget rjzolu, oldlegyeeset egy ötödel elmetszü, m úpszeletből s metsz ét potot, or z így pott ht pot volúcót épez.

52 Potosbb z ábr jelölése szert PS, QR, UV potpáro volúcót d. (Egy egyeesre lleszedő AA, BB, CC potpáro volúcót lot, h egy egyeese levő O potr OA*OA=OB*OB=OC*OC.) Perre de Fermt (6-665) A híres,,mtemtus jogász volt, szbddejébe foglozott mtemtávl. Ismeretet z óor görög műve olvsásávl lpozt meg, Apolloosz: Ple loc elveszett rt reostruálásávl s fogllozott Ppposz utlás lpjá. Írást em publált, de Ad locus plos et soldos sgoges (Bevezetés síbel és térbel mért helye elméletébe) (636) smert volt levelezőtárs örébe. Az Oresme-féle prlel oordátredszer segítségével muttt, hogy z elsőfoú étsmeretlees egyelet grfoj egyees, másodfoúé pedg úpszelet. Apolloosz godoltmeetét övetve levezette ör, z ellpszs, hperbol és prbol egyeletét. (A szümptómát már egyelete evezte.) Egy dott másodfoú étsmeretlees egyeletről ügyes trszformácól megereste, mlye típusú úpszelet egyelete. Például egyeletet z y=+y és +y+y = és helyettesítéssel zz lr hozt, m már jól zoosíthtó orább megsmert szümptómávl.

53 Joh Wlls (66-73) A descrtes- ltus geometr módszerével új módo tárgylt úpszelete özös egyeletét felírt lb, hol y =p+ Blse Pscl (63-66) Desrgues leles títváy ez frc mtemtus, 6 évese írt Essy pour les coques (Tulmáy úpszeleteről), m csupá ht oldls, de gyo so gyhtású dolog v belefogllv, például ról elevezett Pscl-tétel s. A tétel modj, hogy egy özöséges úpszeletbe írt htszög átellees oldlpárj egymást egy egyees három potjáb metsz. Phlppe de Lhre (64-78) A Collége de Frce mtemt- és építészprofesszor volt. 679-be jelet meg Nouveu des sectos coques (A úpszelete új elmélete) című művét, mt Colberte dedált, és mbe Desrgues fejezéset hszált. Gullume Frços Atoe Mrqus de L Hosptl (66-74) Töyvet írt Kúpszeleteről és dfferecálásuról.,,cdet Clrut (76-73) Ales Clud Clrut frc mtemtus és csllgász öccse, hmlőbe, 6 évese huyt el. Hlál előtt egy évvel jelet meg Trté de qudrtures crculres et hperbolques (Körö és hperbolá vdrtúráj) című öyve. Chrles Jule Brcho ( ) Sévres-be született tüzértszt, mjd tár. éves oráb modt, tételét, m Pscl tételée "duáls". E szert egy úpszelet öré írhtó értőhtszög átellees végpotjt összeötő átló egy potb metsz egymást.

54 Germl Perre Ddel ( ) Belgumb élő frc mérö volt. Tőle szármz z bzoyítás, mely szert forgásúp símetszeteét előálló úpszelete megfelele z ú. pothlmzos meghtározás. A bzoyítás sorá úpb írt gömböet hszál, met tszteletére ról evezte el. Jcob Steer ( ) A svájc Steer títój Pestlozz (746-87) volt. Később együtt s dolgozt mester tézetébe, mjd z egyetem tulmáyo befejezése utá (Hedelberg) Berlbe.Fő muáj A geometr lzto összefüggésée redszeres fejtése. A projetív geometr egy gy úttörőjeét örre votozó Fermt-tétel áltláosításét megfoglmzt és gzolt ról elevezett tételét. E szert mde úpszelet oly, projetív vszoyb álló ét sugársor megfelelő egyeesee metszéspotjét tethető, mely sugársoro trtó mgu s úpszelet potj. Ee bzoyítás sorá tette zt megállpítást s, hogy mde úpszelet eletezhet öre egy megfelelő sír vló cetráls vetítésével. Boly Jáos (8-86) Az egy leggyobb és leghíresebb mgyr mtemtus sem hgyhtó sorból. Bár Boly hírevét hperbolus geometr leírásávl szerezte (Apped, 83), tt hperbol egy llmzás mtt szerepel. Boly z óor szöghrmdolás érdésére dott egy válszt. Köztudott euldesz értelembe em szereszthető meg egy tetszőleges szögből hrmd. Egy hperbol élű volzóvl zob már ge. A híres mtemtus ehhez egy derészögű hperbolát hszált.

55 Helyezzü hperbolát egy oordát-redszerbe úgy, hogy z szmptotá essee egybe tegelyeel. A hrmdol ívát szög csúcs z orgó, egy szögszár z - tegely poztív ág legye. Eor más szögszár hperbolát P potb metsz. A P özéppottl és OP=r sugárrl ört szeresztü, m ( síegyedbe eső) hperbolágt D-be és E-be metsz. Legye T DE örvol zo potj, mre PT párhuzmos z bszcsszávl. Eor DPT= eresett hrmdszög. H P(;b), or D( ;y ) oordátár gz, hogy y -b= hperbol egyelete mtt. Ugyor felírhtó =+rcos-ét és y =b-rcosβ -ét. Ezzel y -b=(+rcosβ)(b-rcosβ)-b= y -b=(+rcosβ)(b-rcosβ)-b= zz r(bcosβ-sβ)-4rsβcosβ=. Egyszerűsítve bcosβ-sβ=rsβ -t pju. Felhszálv b=rsα és z =rcosα összefüggéseet, z r-rel vló egyszerűsítés utá egyeletü s αcosβ-cos α sβ=sβ lot ölt. Ez em más, mt s(α-β)=s β. α-β és β hegyesszöge, tehát α-β=β, zz 3β=α Tomp és homorú szög hrmdolás vsszvezethető egészítőszöge segítségével fet leírt hegyesszög-hrmdolásr.

56 Ajálott rodlom Н.В.ЕФИМОВ-Э.Р.РОЗЕНДОРН : ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ИЗДАТЕЛЬСТВО <НАУКА> ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА, 97. Hjós György : Bevezetés geometráb TANKÖNYVKIADÓ BUDAPEST, 984. Béltey Károly : Altus geometr és leárs lgebr TANKÖNYVKIADÓ BUDAPEST, 986. Pusás Csb - Szbó Imre - Tllos Péter : Leárs Algebr BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM JEGYZET BUDAPEST, 998. KöMl-Kós Rt : Kúpszelete és Ddel-gömbje