6. JELDIGITALIZÁLÁS ÉS JELREKONSTRUKCIÓ: KVANTÁLÁS, KÓDOLÁS 2

Átírás

1 Kvatálás, kódolás /8 6. JELDIGIALIZÁLÁS ÉS JELEKOSUKCIÓ: KVAÁLÁS, KÓDOLÁS 6.3. Dfferecáls, predktív kvatálás, kódolás A dfferecáls kvatálás alapelve A leárs predkcó A predkcós yereség elv határa A dffereca képző és rekostruáló leárs hálózatok A dffereca képzés és kvatálás észsávú, kódolás A részsávú kódolók felépítése, aalízse Az optmáls btallokácó raszformácós, kódolás A traszformácós kódolók felépítése, aalízse Az optmáls traszformácós kódolás: KL Szuboptmáls traszformácók Képjelek traszformácós kódolása 8 fle: KVA.doc verzó: 05. május

2 Kvatálás, kódolás /8 6. Jeldgtalzálás és jelrekostrukcó: kvatálás, kódolás 6.3. Dfferecáls, predktív kvatálás, kódolás A dfferecáls kvatálás alapelve δ δ Q csatora Q $ $ ahol $ a ek valamlye becslése, jóslása (predkcó). δ a külöbség (predkcós hba) jel, Q pedg ehhez a külöbség jelhez llesztett kvatáló, melyek jelzaj vszoya az előző potok szert optmalzált S Q jelzaj vszoy érték. A kvatált dfferecáls jel: δ δ ε ahol ε a kvatálás hba. Az eredő redszer jelzaj vszoyára írhatjuk: S ahol G p az u.. predkcós yereség, E { } { ε } E E q E q { } { } { { } } E δ G p S Q δ E ε { } { δ } E G E amely megmutatja, hogy a bejövő jel teljesítméyéhez képest mekkora a hbajel teljesítméye. S Q pedg a sémá Qval jelölt kvatáló jelzaj vszoya. Az eredméy tehát: S G S. azaz a dfferecáls kvatálás elvét alkalmazva a em dfferecáls kvatáláshoz képest a predkcós yereséggel megövelt jelzaj vszoy érhető el. p Q, fle: KVA.doc verzó: 05. május

3 Kvatálás, kódolás 3/ A leárs predkcó A predkcós yereség maxmalzálásához a δ $ dfferecáls jel teljesítméyét kell mmalzál. δ E ˆ A $ predkcó legye a forrás korább mtájáak valamlye függvéye: $ S (,..., ), ahol S egy ed fokú predkcó. A továbbakba leárs predkcóval foguk foglalkoz, a mkor S(,..., ) függvéy, azaz $ a a... a. $ Az a,,... együtthatókat az ed fokú predkcós együtthatókak evezzük. leárs Ekkor a leárs predkcó alapfeladata: határozzuk meg a predkcós együtthatók azo értékét, melyekél a dfferecáls jel teljesítméye mmáls: m E $ a,..., a. A továbbakba legye: a [ a,..., a ] és [,..., ] Ekkor a predkcós egyelet vektoros formába: $ a. A mmalzáladó kfejezés: E ˆ δ E a a Amből az változós kvadratkus alak: { a } E{ a a a} δ r ( 0) ( ) ( ) r r a... r ( ) r r a... r ( 0) r ( )... r ( ) ( ) r ( 0) r ( )... ( ) r ( )... r ( 0) a, ahol: ( ) { } r m E m az autokorrelácós függvéy, r ( ) ( ) r r... r ( ), és fle: KVA.doc verzó: 05. május

4 Kvatálás, kódolás 4/8 ( 0) ( )... ( ) ( ) ( 0) ( ) r r r r r r, r ( ) r ( )... r ( 0) am a folyamat ed redű autokorrelácós mátrxa (egybe oepltz mátrx). A mmum megkereséséhez a ormál egyeletet kell megolda. A megoldás: grad σ δ r a 0 a a r opt. megj: az verz autokorrelácós mátrxot Levso módszerrel számítják. A predkcós egyeletből látható, hogy a leárs predkcó egy hurokmetes FI szűrőt valósít meg, vagys (z) $ δ ahol a predkcót végző blokk ((z)): a a a a $ ( z) a z A predkcós yereség elv határa Az ed fokú predkcó optmáls együtthatóra kapott predkcós hba teljesítméyéek r ( 0) a r a a a opt r eredméyüket a δ képletébe vsszaírva kapjuk, hogy δ r 0 m ( ) r r fle: KVA.doc verzó: 05. május

5 Kvatálás, kódolás 5/8 és a predkcós yereség értéke: G r (0) r ylvávaló, hogy a predkcós yereség az fokszámak mooto em csökkeő függvéye, így létezk határértéke, melyre bebzoyítható, hogy r (0) r lm G, exp F / F F / G max, γ F / γ S ( f F F / l ( S ( f )) ) df df ahol a γ szám a stacoer forrás spektráls laposság mértéke, mely az S (f) teljesítméysűrűség spektrum mérta közepéek és számta közepéek a háyadosa. Eek belátásához tételezzük fel egy f F/ szélességű tervallumok felett S kostas értékű, lépcsős S(f) spektrumot, (vagy am ezzel ekvvales, az tegrálokat tégláyösszeggel közelítjük): exp l( S ) f exp l( S ) S F γ, S f S S F ezért γ. ehát G max és akkor, ha a forrás fehér zaj. A fehér zaj tehát em predkálható. Egy jel aál hatásosabba predkálható, mél egyelőtleebb a teljesítméysűrűség spektruma. Az s ylvávaló, hogy a ulla sávszélességű, azaz voalas spektrumú összetevő perodkus kompoest jelet, mely ulla predkcós hbával rekostruálható. Ez azt jelet, hogy a harmokus összetevők mtát em kell kvatál és átv a csatorá, a dekóderbe egy megfelelőe beállított kezdőértékekkel működő oszcllátor tökéletese rekostruálja őket. fle: KVA.doc verzó: 05. május

6 Kvatálás, kódolás 6/ A dffereca képző és rekostruáló leárs hálózatok A dfferecáls kódolásál a jelzaj vszoyak a predkcós yereséggel megövelt értékéek remélt realzálásához vzsgáljuk meg éháy dfferecaképző ötletet. Egyelőre tegyük fel, hogy ormál üzemmódú, agyo fom kvatálókat haszáluk, azaz most eltektük a emleárs kvatálás torzítástól, és a leárs modell kerete belül a kódolóbel dffereca képzés és a hozzátartozó dekódolóbel rekostrukcó éháy strukturáls lehetőségét vzsgáljuk meg. A vzsgált struktúrákba a traszferfüggvéyű dobozok alatt mdg a bemeet mták késleltetettjeek valamlye súlyozott összegét értjük (FI szűrők).. Előrecsatolt dfferecaképzés H( z) all zero koder (MA) all pole dekoder (A) Megjegyzések: együtthatóak optmáls értékét a jól smert leárs predkcó feladatáak 6...bel egyszerű megoldása adja. A kódoló hurokmetes hálózat, így feltétel élkül stabl. A dfferecáls jel hurko kívűl keletkezk. A rekurzív dekóder esetleges stabl pólusaál a bemeet dfferecáls jelek zérusa va (a kódoló matt), gy az esetleges stabl pólus em gerjesztődk. Mél agyobb predkcós yereséget érük el a kódolóba, azaz mél ksebb a dfferecáls jel teljesítméye, aál kább teljesítméyerősítőkét üzemel a dekóder.. Hátracsatolt dfferecaképző H( z) all zero decoder (MA) fle: KVA.doc verzó: 05. május

7 Kvatálás, kódolás 7/8 Megjegyzések: együtthatóak optmáls értékét egy agyo boyolult, emleárs optmalzálás feladat em smert megoldása adja. A rekurzív kódoló stabltását semm sem garatálja. A dfferecáls jel hurko belül keletkezk. 3. Hátracsatolt dffereca képzés leárs predktorral H( z) Ekvvales.gyel (A) dekóder Megjegyzések: Ha ugyaaz az egyszerű leárs predktor, mt az első esetbe, akkor a kódoló (és természetese a dekódoló s) ekvvales az. esettel, és így megörökl aak smert és stabl tulajdoságat. Ugyaakkor ez a kódoló rekurzív hálózat, a dfferecáls jel egy hurko belül keletkezk. 4. öbbfokozatú dffereca képzés ( H ( z) )( H ( )) z ( H ( z) )( H ( )) z H (z) H (z) H (z) H (z) Megjegyzések: Az egyes fokozatokra ugyaaz gaz, mt az. esetre. öbb fokozatú predkcó lehetővé tesz a külöböző típusú predkcók (például közel mtáko alapuló és távol mtáko alapuló) szétválasztását. fle: KVA.doc verzó: 05. május

8 Kvatálás, kódolás 8/8 5. öbb hurkú dffereca képzés H (z) H (z) Megjegyzések: A kódoló és így a dekódoló s ekvvales az előzővel A dfferecáls jelek hurkokba képződek, így ezekre ugyaaz gaz, mt a 3. esetre A dffereca képzés és kvatálás A továbbakba a dfferecáls jel kvatálását s fgyelembe vesszük, feltéve, hogy a dfferecáls jelhez llesztett kvatálókat alkalmazuk, és így a ormál üzemmódú kvatálókat leárs, addtív zajhelyettesítő képükkel vesszük fgyelembe. Ebbe az esetbe két bemeetű ( az x jel, és az e kvatálás hbajel, zaj) és egy kmeetű (az y rekostruált jel) leárs hálózatokat vzsgálhatuk, alkalmazva a szuperpozcó elvét.. Előrecsatolt leárs predktor E(z) X(z) Y(z) Az aalízs eredméye: Y(z) X(z) E(z) fle: KVA.doc verzó: 05. május

9 Kvatálás, kódolás 9/8 Megjegyzések: agy baj va: a rekostruált jelbe a kvatálás hba a dekóder teljesítméyerősítő jellegű traszferfüggvéyé keresztül, felerősítve jelek meg, így em realzálódk a predkcós yereség, értelmetle a dfferecáls kvatálás.. Hátracsatolt dfferecaképző X(z) E(z) Y(z) Az aalízs eredméye: Y(z) X(z) E(z) Megjegyzések: A kvatálás hba erősítés élkül kerül a rekostruált kmeetre, realzálható lee a predkcós yereség, ha a több, az előző potba leírt ehézség em álla fe továbbra s. 3. Leárs predktor vsszacsatolt változata E(z) X(z) Y(z) Az aalízs eredméye: Y(z) X(z) E(z) Örömtel felsmerés: Skerül realzál a predkcós yereséget a leárs predktor felhaszálásával stabl kódolóval, ha a kvatálót a dfferecaképző hurko belül helyezzük el. Ez a struktúra a dfferecáls, predktív kódolók alapstruktúrája. fle: KVA.doc verzó: 05. május

10 Kvatálás, kódolás 0/8 A többfokozatú predktív kódolókat több hurkú, dferecáls kódolókkal valósíthatjuk meg: Q H (z) H (z) H (z) H (z) fle: KVA.doc verzó: 05. május

11 Kvatálás, kódolás / észsávú, kódolás A részsávú kódolók felépítése, aalízse Az eddgek sorá az F órajelű, átlagteljesítméyű stacoer forrást az F órajellel működtetett btes llesztett (optmáls) kvatálóval kvatáltuk: Q Csatora Q η Az llesztett kvatálás eredméyekét a ormál működésű kvatálóba keletkező ε η zaj teljesítméyre írhatjuk, hogy ε c, ahol c eloszlás és kvatáló típus függő kostas, tehát jelzaj vszoy: S Q k, k/c. Az adott mőséghez (jelzaj vszoy) szükséges csatora sebesség: I Q F. (bt/sec). A részsávú kódolás eseté a agy F sebességű bemeetet az aalízs szűrőbak darab ksebb F,,,... sebességű,,... összetevőkre botja, melyek teljesítméye,,,.... részsávú összetevőket külökülö, F sebességgel működtetett btes llesztett kvatálókkal kvatáljuk. A részsávú összetevők kvatálóak kmeetet az MX multplexer szervez a dgtáls csatorá átvhető szmbólum sorozattá. A dekóder a DMX demultplexerrel kezdődk, a kssebességű részsávú összetevők mtát az verz kvatálók rekostruálják, majd az eredő agysebességű kmeetet a sztézs szűrőbak állítja elő. btes Q Q η Aalízs szűrőbak btes Q M X Csatora D M X Q η Sztézs szűrőbak η Q Q η fle: KVA.doc verzó: 05. május

12 Kvatálás, kódolás /8 A részsávú összetevők teljesítméyere feltesszük, hogy, ugyas át em lapolódó részsávokba eső spektrumú stacoer folyamatok korrelálatlaok, tehát összeg égyzetes várható értéke egyelő a égyzetek várható értékeek összegével. Hasolóképpe a részsávú kvatálás eredő zajteljesítméye egyelő a rész kvatálók zajteljesítméyek összegével: ε ε, ovábbá a részsávú összetevők llesztett kvatálásaál keletkező zajteljesítméyre írhatjuk, hogy ε c, ahol c ugyaaz a kostas, amt az referecául tektedő em részsávú llesztett kvatálóál bevezettük. A részsávú (SubBad) kódolás eredő jelzaj vszoya tehát ahol S G SB SB c k az egyszer llesztett kvatálóhoz képest elért részsávú yereség, am tehát a részsávú felbotás által létrejött teljesítméy eloszlástól és a kvatálók btszámaak kosztásától függ. k G SB S Q A szükséges csatora sebesség: I F (bt/sec). SB Ha egyeközű részsávú felbotást végzük, akkor F F/,,,... és ekkor az azoos csatora sebességhez (I SB I Q ) szükséges btkosztásra adódk: fle: KVA.doc verzó: 05. május

13 Kvatálás, kódolás 3/ Az optmáls btallokácó Ha a frekveca tegely felett egyeközű részsávú felbotás mellett dötük, akkor már adott a részsávú felbotás teljesítméy eloszlása és a részsávú kódolástól várható yereség már csak a kvatálók btszámaak kosztásától függ. A feladat tehát: adott,,,... teljesítméy eloszlású sávfelbotás és adott összbtszám mellet, keressük a kvatálók azo kosztását, melyél mmáls ez eredő kvatálás zaj teljesítméy:. m,,... azaz ε,sb feltéve, hogy m,,..., 0 öbbváltozós függvéy feltételes szélsőértékét keressük. A Lagrage multplkátoros módszer szert a feladatot vsszavezetjük az alább () változós, feltétel élkül szélsőérték keresésre: m,,... λ λ m,,... λ ϕ (,,... λ) A dfferecálható célfüggvéy szélsőértékére írhatjuk: grad φ(,..., λ)0, azaz ( ) λ l λ,,,... λ ahol l a természetes alapú logartmus. t kfejezve: l ld ld,,... λ Ezeket összegezve és l ld ld λ vsszahelyettesítve kapjuk: feltételt felhaszálva: l, melyből ld ld λ. Ezt be fle: KVA.doc verzó: 05. május

14 Kvatálás, kódolás 4/8 ld ld ld ld azaz ld,,,... Eredméyük szert, tehát az optmáls bt kosztás azt jelet, hogy az átlagos btszámál agyobb btszámot (azaz fomabb kvatálást) azo részsávok kvatálására osztuk k, melyek teljesítméye agyobb a részsávú felbotásál kapott teljesítméy eloszlás mérta közepéél, azaz >. A ks teljesítméyű részsávok az átlagál kevesebb btszámot kapak, azaz ezeket durvábba kvatáljuk. Az optmáls bt kosztásál az egyes részsávokba keletkező kvatálás zajra kapjuk: ε c c c ehát ε től függetle, a kvatálás zaj teljesítméyegyeletes eloszlású a részsávokba. A részsávú kódolással elérhető yereség: G SB S S SB Q ε,q ε, c c észsávú kódolással tehát, aál agyobb jelzaj vszoy érhető el, mél jobba eltér a részsávú összetevők teljesítméyeek mérta közepe a számta középtől, azaz mél egyelőtleebb a teljesítméy eloszlás. Az elérhető jelzaj vszoy javulásra kapott eredméyük léyegébe ugya az mt a dfferecálspredktív kódolókál megsmert határ. fle: KVA.doc verzó: 05. május

15 Kvatálás, kódolás 5/ raszformácós, kódolás A traszformácós kódolók felépítése, aalízse A kódoló: Q () η() Q S/ A MX Csatora Q Blokk képzés Sorospárhuzamos átalakítás, Framg Leárs raszformácó Kompoesekét kvatálás Dekódoló: Q Q η () () Csatora DMX B /S Q Iverz traszformácó árhuzamossoros átalakító ahol: () [,,... () ], η () A () és. fle: KVA.doc verzó: 05. május

16 Kvatálás, kódolás 6/ Az optmáls traszformácós kódolás: KL Olya traszformácós mátrxot keresük, amely a stacoer folyamat korrelált (), 0,,...() mtáak egyeletes eergaeloszlású vektorából egyeetlet állít elő. A stacoer forrás hosszú blokkjaak autokorrelácós mátrxa az alább (0) ()... ( ) E{ ( ) ( ) } (0)...,... mely egy oepltz mátrx, átlójába a kostas átlag teljesítméyel. A traszformált vektor autokorrelácó mátrxa: E { η( ) η ( ) } E{ A ( ) ( ) A } A A η Olya traszformácós mátrxot keresük, amely a stacoer folyamat korrelált (), 0,,...() mtáak egyeletes eergaeloszlású vektorából olya η() vektort állít elő, melyek kompoese korrelálatlaok, azaz az tételezzük fel) és mátrx dagoál mátrx (ulla várható értékű forrást η teljesítméyeek eloszlása a lehető legegyelőtleebb, azaz adott összeg mellett mmáls a szorzatuk, mert az optmáls btallokácó mellett ekkor realzálható a legagyobb yereség. A feladat megoldását a forrás xes sajátértéke alapjá kapjuk meg: Az autokorrelácós mátrxáak sajátvektora és mátrx d saját értéke és a hozzájuk tartozó v saját vektora defcója: v d v,,... am máskét s felírható: [ v, v,...v ] és D dag { d, d,... } V V D ahol V A poztív deft autokorrelácós mátrxra gaz, hogy sajátértéke poztív számok, sajátvektora ortogoálsak (és egyre ormáltak) t t v v j δ, j azaz V V I, azaz V ehát t V d η D V t V fle: KVA.doc verzó: 05. május

17 Kvatálás, kódolás 7/8 Az optmáls traszformácós kódolóba alkalmazadó traszformácós mátrx a stacoer forrás autokorrelácós mátrxa sajátvektoraból mt sorokból álló mátrx: t v t t v A V lletve B A V [ v, v,...v ]... t v Ezt a traszformácót KarhueLoeve traszformácóak evezzük Szuboptmáls traszformácók raszformácók: 4 potos DWH 4 potos DF 4 4 H j j F j j 4 potos DC 4 a b b a C a a b a b π cos 8 3π s 8 DCt haszálják gyakra, am vsszavezethető DF (FF)re. Az potos, valós DC traszformácó potos bemeetét kegészíthetjük potos valóspáros bemeetté a komplex potos FF számára, ekkor a kmeet potos valóspáros lesz, melyek potos része az potos valós DC traszformácó kmeete. fle: KVA.doc verzó: 05. május

18 Kvatálás, kódolás 8/ Képjelek traszformácós kódolása fle: KVA.doc verzó: 05. május