25. Matematikai logika, bizonyítási módszerek

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "25. Matematikai logika, bizonyítási módszerek"

Átírás

1 5. Matematiai logia, bizoyítási módszere I. Elméleti összefoglaló Logiai művelete A matematiai logia állításoal foglalozi. Az állítás (vagy ijeletés) olya ijelető modat, amelyről egyértelműe eldöthető, hogy igaz (I) vagy hamis (H), ezt az állítás logiai értéée evezzü. Az állításoat általába lati agybetűel jelöljü, például A: Ma délutá moziba megye., illetve B: Holap irádulo. Egy vagy több állításból logiai művelete felhaszálásával újabb állításoat hozhatu létre. A művelet lehet egyváltozós (tagadás) vagy étváltozós (és, vagy, ha-aor, aor és csa aor). Egyváltozós logiai művelet: em (egáció, tagadás): az A állítás tagadása potosa aor igaz, ha A hamis. Jele: Kétváltozós logiai művelete: A. és (ojució): az A és B állítás potosa aor igaz, ha az A és a B állítás is igaz. Jele: A B. A özyelvbe a vagy ötőszót többféle jeletésbe haszálju attól függőe, hogy megegedjü-e midét feltétel együttes teljesülését vagy sem. Például a Holap vagy holaputá stradoli megye. állítást aor is igaza fogadju el, ha midét említett apo stradolo, viszot a Ma este 7 órára szíházba vagy moziba megye. állítás midét fele egyszerre em teljesülhet, ezért ez csa úgy lehet igaz, ha potosa az egyi része teljesül. (Ezt jelezhetjü a övetező megfogalmazással is: Ma este 7 órára vagy szíházba, vagy moziba megye. ) A ét eset megülöböztetésére a matematiába étféle vagy -ot haszálu: az előbbi példa esetébe megegedőt, az utóbbi esetébe izárót. Ha ezt a ülöbséget a özyelvbe is hagsúlyozi aarju, aor megtehetjü, hogy a megegedő vagy esetébe egy vagy ötőszót, a izáró vagy esetébe páros vagy-vagy ötőszót haszálu, de a mideapi élőbeszédbe eze jeletése em midig egyértelmű. megegedő vagy (diszjució), a özyelvbe vagy : az A vagy B állítás potosa aor igaz, ha az A és a B állítás özül legalább az egyi igaz. Jele: A B. Ha egy matematiai szövegbe vagy szerepel, azt általába megegedő vagy -ét szotu értelmezi. izáró vagy (ativalecia): az A izáró vagy B (a özyelvbe esetleg: vagy A, vagy B ) állítás potosa aor igaz, ha az A és a B állítás özül potosa az egyi igaz (tehát midettő em). Jele: AÅ B (esetleg AD B). ha-aor (impliáció): a ha A, aor B állítás potosa aor igaz, ha az A és a B állítás is igaz, illetve ha az A állítás hamis és a B állítás tetszőleges. (Máséppe: a ha A, aor B állítás potosa aor hamis, ha az A állítás igaz és a B állítás hamis.) Jele: A B (esetleg A B). aor és csa aor (evivalecia): a ha A, aor és csa aor B állítás potosa aor igaz, ha az A és a B állítás özül egyszerre vagy midettő igaz, vagy midettő hamis. (Más-

2 éppe: a ha A, aor és csa aor B állítás potosa aor igaz, ha A B és B A.) Jele: A B (esetleg A«B). A műveleteet logiai értétáblázat segítségével is defiiálhatju, amelybe felsorolju, hogy az alapállítás(o) egyes logiai értéeihez a művelet milye logiai értéet redel. Egy -változós művelet esetébe a logiai értétáblázata sora va, hisze mide változó étféle értéet vehet fel. A hosszabb, összetettebb ifejezéseet a gyaorlatba több lépésbe (oszlopba) szotu iértéeli, ahol a teljes ifejezés értééhez általába az utolsó oszlopba jutu el, eor az eredeti ifejezés értétáblázatáa a táblázat eze utolsó oszlopát teitjü. Az egyváltozós logiai művelet értétáblázata: A I H A H I A étváltozós logiai művelete értétáblázatai: A B A B A B AÅ B A B A B I I I I H I I I H H I I H H H I H I I I H H H H H H I I Az értétáblázat segítségével boyolultabb ifejezéseet is iértéelhetü, illetve egyszerűbb alara hozhatu. Például az evivalecia és az impliáció apcsolatát ifejezhetjü a övetezőéppe: A B= ( A B) ( B A). A egáció, a ojució és a diszjució özött feálla a De Morga-azoosságo: ( A B) = A B, illetve ( ) Tetszőleges A állításra feálla még a övetező azoosságo: ( A) = A, A A értée midig hamis, A A értée midig igaz. A halmazművelete és a logiai művelete apcsolata A B = A B. Teitsü az összes állítás halmazát mit alaphalmazt ( H ). Eor mide A állítás megfeleltethető a H halmaz azo H részhalmazáa, amelybe azo az állításo tartoza, amelye igazsága eseté az A A állítás igaz. (Például az A: A családuba legfeljebb gyere va. állítás eseté a övetező ijeletése mid elemei a H A részhalmaza: A családuba potosa gyere va., A családuba potosa gyere va., A családuba potosa ét fiúgyerme va és láygyerme icse. stb.)

3 Eze az alaphalmazo a orábba felsorolt logiai művelete a övetezőbe felsorolt halmazműveletee feleltethető meg (az ábráo szíezéssel jelezzü azoat a részhalmazoat, amelye eseté a művelet logiai értée igaz). A tagadás a omplemeterépzése: A -a megfelel a H A halmaz H-ra vett omplemetere ( H ). A Az és a metszetépzése: A B-e megfelel a H A és a H Ç H ). ( A B H B halmazo metszete A megegedő vagy az uióépzése: A B-e megfelel a H A és a H È H ). ( A B H B halmazo uiója 3

4 A izáró vagy a szimmetrius differeciáa: AÅ B -e megfelel a H A és a H B halmazo szimmetrius differeciája ( H AD H B, azaz a csa A-ba, illetve a csa B-be tartozó eleme uiója). Megjegyzés: Ha speciálisa az A állítás éppe azt modja, hogy egy x szám eleme egy P halmaza, a B állítás pedig azt modja, hogy ugyaazo x szám eleme egy Q halmaza, aor özvetleül is megapju az előzőebe ábrázolt omplemeter, metszet, uió és szimmetrius differecia halmazműveleteet (hisze például A B azt modja, hogy az x szám eleme a P és a Q halmazo metszetée). A femaradó ét logiai művelet özvetleül em feleltethető meg halmazműveletee, azoba jeletésüet a halmazelmélet fogalmaival (részhalmaz, egyelőség) is szemléltethetjü: H B hal- A ha-aor a tartalmazás megfelelője: A B eseté a H A halmaz részhalmaza a maza ( H A Í H B). Az aor és csa aor a ét halmaz egyelőségée megfelelője: A B eseté a H A és a H B halmazo megegyeze ( H A H B = ). 4

5 Szüséges és elégséges feltétel A ha-aor formába megfogalmazott A B állításo esetébe A-t feltétele (premissza), B-t övetezméye (olúzió) is evezzü. Defiíció: Ha A B, vagyis az A állítás teljesülése eseté biztosa teljesül a B is, aor azt modju, hogy az A állítás a B állítása elégséges feltétele. (Eor ugyais B igazságáa bizoyításához elég A-t igazoli.) Például: A: Az szám 6-ra végződi. és B: Az szám páros. Eor A B, hisze ha egy szám 6-ra végződi, aor biztosa páros. Viszot a B állítás úgy is lehet igaz, ha A em teljesül, hisze em csa a 6-ra végződő számo párosa. Tehát a 6-ra végződés egy szám párosságáa elégséges, de em szüséges feltétele. Defiíció: Ha A B, vagyis az A állítás teljesülése eseté biztosa teljesül a B is, aor azt modju, hogy a B állítás az A állítása szüséges feltétele. (Eor ugyais ha A igaz, aor szüségéppe B is, máséppe fogalmazva A em lehet igaz B teljesülése élül.) Például: A: Az ABCD égyszög égyzet. és B: Az ABCD égyszög mide szöge derészög.. Eor A B, hisze ha egy égyszög égyzet, aor mide szöge derészög (vagyis téglalap). Ahhoz, hogy egy égyszög égyzet legye, szüséges, hogy mide szöge derészög legye. Viszot abból még, hogy egy égyszög mide szöge derészög, em övetezi, hogy égyzet. Tehát az, hogy egy égyszög mide szöge derészög, szüséges, de em elégséges feltétele aa, hogy a égyszög égyzet legye. Bizoyításoba felhaszálhatju egy állítás hamisságáa igazolására egy szüséges feltétel hiáyát. Ha ugyais A B és B em teljesül, aor A sem teljesülhet, hisze így B-e igaza ellee leie, így elletmodásra jutá (lásd ésőbb az idiret bizoyítást). Például: A: Az szám égyzetszám. és B: Az szám 0-ra, -re, 4-re, 5-re, 6-ra vagy 9-re végződi. Eor A B, hisze a égyzetszámo utolsó számjegye csa 0,, 4, 5, 6 vagy 9 lehet (szüséges, de em elégséges feltétel). Ha tehát például egy szám 7-re végződi, aor biztosa em lehet égyzetszám (a szüséges feltétel em teljesül). Megjegyzés: Természetese, ha A elégséges feltétele B-e, aor B szüséges feltétele A-a. Így az eddigi példá meg is fordíthatóa, például az első esetbe: A 6-ra végződés egy szám párosságáa elégséges (de em szüséges) feltétele. Megfordítva: Egy szám párossága a szám 6-ra végződésée szüséges (de em elégséges) feltétele. Megjegyzés: Ha egy B állítása A elégséges, C pedig szüséges feltétele (azaz A B C), aor az előző oldala halmazelméleti jelöléseivel ezt a H A ÍHB Í HC módo szemléltethetjü. Például: A: Az szám ét 0-ra végződi., B: Az szám 0-szal osztható. és C: Az szám páros. 5

6 Defiíció: Ha A B és B A (vagyis A B), aor azt modju, hogy az A állítás a B állítása szüséges és elégséges feltétele. Például: A: Az x szám osztható 6-tal. és B: Az x szám páros és osztható 3-mal. Eor A B, tehát a 6-tal oszthatósága szüséges és elégséges feltétele a párosság és a 3-mal oszthatóság együttes teljesülése. Megjegyzés: Természetese, ha A szüséges és elégséges feltétele B-e, aor B is szüséges és elégséges feltétele A-a. Állításo tagadása Egy A állítás tagadását ( A ) a legegyszerűbbe a em tagadószóval fogalmazhatju meg. Például A: Ma hétfő va. eseté A: Ma em hétfő va., esetleg A: Nem igaz, hogy ma hétfő va. Elviebe ez a módszer boyolultabb állításora is alalmazható, például B: Ha esi az eső és ics álam eseryő, aor em megye i az utcára vagy esőabátot vesze. tagadása is megfogalmazható B : Nem igaz, hogy ha esi az eső és ics álam eseryő, aor em megye i az utcára vagy esőabátot vesze. formába. Ezt azoba yelvileg ehezebb értelmezi, így az egyes (étváltozós) logiai művelete tagadásait ülö-ülö is megadju, továbbá a feladatoba is erüljü a em igaz, hogy ifejezéssel törtéő tagadást. Két és -sel összeötött állítás tagadásaor az állításo tagadásait vagy -gyal ötjü össze: A B tagadása A B. Például: Vettem tejet és ölcsöértem a szomszéd bicilijét. tagadása Nem vettem tejet vagy em értem ölcsö a szomszéd bicilijét. Két vagy -gyal összeötött állítás tagadásaor az állításo tagadásait és -sel ötjü össze: A B tagadása A B. Például: Születésapomo elmegyü ciruszba vagy megézü egy filmet. tagadása Születésapomo em megyü el ciruszba és em ézü meg egy filmet. (esetleg Születésapomo se ciruszba em megyü el, se filmet em ézü. ) Két izáró vagy -gyal összeötött állítás tagadásaor az állításoat (vagy az állításo tagadásait) aor és csa aor -ral ötjü össze: AÅ B tagadása A B (ami ugyaazt jeleti, mit A B). Például: Idé vagy a tegerparto, vagy a hegye özött yaralu. tagadása Idé aor és csa aor yaralu a tegerparto, ha a hegye özött is. (esetleg Idé aor és csa aor em yaralu a tegerparto, ha a hegye özött sem. ) Két aor és csa aor -ral összeötött állítás tagadásaor az állításoat (vagy az állításo tagadásait) izáró vagy -gyal ötjü össze: A B tagadása AÅ B (ami ugyaazt jeleti, mit AÅ B). Például: Aor és csa aor vesze új autót, ha ötösöm lesz a lottó. tagadása Vagy új autót vesze, vagy ötösöm lesz a lottó. (esetleg: Vagy em vesze új autót, vagy em lesz ötösöm a lottó. ) Az eddigieből megfigyelhetjü, hogy az és vagy, illetve a izáró vagy aor és csa aor művelete egymás fordítottjai, tagadásor felcserélőde. Midez abból is igazolható, hogy A B és A B logiai értétáblázatába a ét oszlop éppe egymás elletettje, illetve A B és A B esetébe szitúgy. A mási esetbe AÅ B és A B értétáblázata szité egymás elletettje, de mivel A B és A B értétáblázata megegyezi (sőt, AÅ B és AÅ B értétáblázata is), ezért AÅ B -t tagadhatju A B és A B formába is (illetve A B-t 6

7 tagadhatju AÅ B és AÅ B formába is). Sőt, AÅ B-t tagadhatju AÅ B és AÅ B, illetve A B-t tagadhatju A B és A B formába is. Hátra va még a ha-aor -ral összeötött állításo tagadása, amely az előzőeél valamivel boyolultabb. Mivel A B potosa aor hamis, ha A igaz és B hamis, ezért A B tagadása potosa aor lesz igaz, ha A igaz és B hamis, vagyis A B igaz: Két ha-aor -ral összeötött állítás tagadásaor az első állítást és a másodi állítás tagadását és -sel ötjü össze: A B tagadása A B. Például: Ha hétfő va, aor (midig) elmegye a fogorvoshoz. tagadása (Va olya eset, hogy) hétfő va és em megye el a fogorvoshoz. Az A B típusú állításoat gyara em ha-aor formulával, haem a mide szóval fogalmazzu meg. Az előző példába szereplő Ha hétfő va, aor midig elmegye a fogorvoshoz. modatot úgy is modhatju, hogy Mide hétfő elmegye a fogorvoshoz.. Tagadását eor a va olya szóapcsolattal is megfogalmazhatju: Va olya hétfő, amior em megye el a fogorvoshoz. Haszálatosa a mide szóra a ", a va olya ifejezésre a $ jelölése is. Eor például az A: Hétfő va. és B: Elmegye a fogorvoshoz. állításo esetébe a Mide hétfő elmegye a fogorvoshoz. állítás leírható " A: B (esetleg " A B ) alaba, míg a Va olya hétfő, amior em megye el a fogorvoshoz. állítás leírható $ A: B (esetleg $ A B) alaba. Egy mide A-ra igaz B is alaú állítás (amely ugyaazt jeleti, mit A B) tagadása a va olya A, amelyre em igaz B állítás: " A: B (vagy " A B) tagadása $ A: B (vagy $ A B). Például: Mide ap taarítai ell. tagadása Va olya ap, amior em ell taarítai. Egy va olya A, amelyre igaz B is alaú állítás tagadása a mide A-ra em igaz B (vagy: egyi A-ra sem igaz B ) állítás: $ A: B (vagy $ A B) tagadása " A: B (vagy " A B). Például: Va olya ap, amior taarítai ell. tagadása Mide ap em ell taarítai., esetleg Egyi ap sem ell taarítai. Megjegyzés: A feti ét esetbe az A-val jelölt szövegrész (pl. ap ) szigorúa véve em állítás, hisze ics öálló logiai értée. Nyelvtailag mide ilye esetbe átfogalmazhatá a modatot úgy, hogy A is megfelelje az állítás defiíciójáa (pl. Ha ma egy tetszőleges ap va, aor taarítai ell. ), ettől azoba a továbbiaba elteitü. Megjegyzés: A va olya A, amelyre igaz B is alaú állítást elvileg tagadhatá ics olya A, amelyre igaz B is alaba is, ezt azoba hasolóa a em igaz, hogy ifejezéshez a feladatoba erüljü, tudatosa töreedve arra, hogy tagadásor a mide és a va olya ifejezése egymás párjai legyee. Állításo megfordítása Defiíció: Egy A B típusú állítás megfordításá a B A állítást (vagyis a feltétel és a övetezméy megcserélését) értjü. Például: A Pitagorasz-tétel megfogalmazható A B alaba. Legye A: A háromszög derészögű. és B: A háromszögbe a ét rövidebb oldalt a-val és b-vel, a leghosszabb oldalt c-vel jelölve teljesül az a b = c összefüggés. Eor a tétel így szól: Ha egy háromszög derészögű, aor a három- 7

8 szögbe a ét rövidebb oldalt a-val és b-vel, a leghosszabb oldalt c-vel jelölve teljesül az a b = c összefüggés. A Pitagorasz-tétel megfordítása ( B A): Ha egy háromszögbe a ét rövidebb oldalt a-val és b-vel, a leghosszabb oldalt c-vel jelölve teljesül az a b = c összefüggés, aor a háromszög derészögű. A Pitagorasz-tétel és a megfordítása is igaz állítás. Egy igaz állítás megfordítása em feltétleül igaz. Például a Ha egy szám osztható 0-zel, aor páros. állítás igaz, de megfordítása, a Ha egy szám páros, aor osztható 0-zel. állítás hamis. Ha egy A B típusú állítás és megfordítása is igaz, aor A B. Evivales öveteztetése Egyelete megoldásaor fotos, hogy lehetőleg mide lépésü evivales átalaítás legye. Például az A: x 4= 8 és a B: x = 9 állításo (amelye az egyeletmegoldásba egymás utá övetezhete) evivalese ( A B), így az A állítás helyett elegedő a B állítást vizsgálu, ez a végeredméye em változtat. (Két egyeletet aor modu evivalese, ha megoldáshalmazai megegyeze, vagyis bármely számra az vagy midét egyeletet teljesíti, vagy egyiet sem.) Előfordulhat, hogy em evivales átalaítást hajtu végre egy egyelete. Ha például A: x = 3 és B: x = 9, aor A B igaz, de B A em (és így A B sem). A ét állítás sorredjétől függőe étféle probléma lép fel az egyeletmegoldásba: Ha x = 3 -ból öveteztetü = ), aor hamis gyööt apu (hisze 3 ( x 9) ( x 3) 9 x = -re (amelye megoldásai x, 3 x ¹- ). Itt maga az ( x 3) ( x 9) = = impliáció helyes volt, azoba = = már em igaz, ezért aptu a helyes megoldás mellett helytelet is. Ez a módszer midig megadja a helyes megoldás(oa)t, de midig szüség va az elleőrzésre, amely izárja a hamis gyöö(e)t. Ilye lépése többe özött a égyzetre emelés és az isme- x 6 x 36 x = 6 x = 6x. retleel való szorzás, például ( = ) ( = ) és ( ) ( ) Ha x = 9 -ből öveteztetü x = 3 -re, aor bár jó megoldást apu, gyövesztés lép fel, ugyais az 3 x = 9 x= 3 impliáció sem x =- megoldást elveszítjü. Itt már maga az ( ) ( ) helyes (aa elleére, hogy 3 mide olya esetbe, amior x = jó megoldás), hisze ( x 9) ( x 3) x = 9, igaz, hogy x = 3 = = azt modja, hogy, ez viszot hamis állítás. (Logiai- lag éppe ayira hamis, mit ha x = 9 -ből x = 4 -re övetezteté.) Ez a módszer azért erüledő, mert gyövesztés eseté a ésőbbiebe em találju már meg a hiáyzó megoldás(oa)t. Ilye lépése többe özött a gyövoás és az ismeretleel való osztás. Elerülé- x = 9 x= 3 hibás lépés helyett a süre a gyövoásál abszolútértéet haszálu: az ( ) ( ) helyes öveteztetés ( x 9) ( x 3) = =, az ismeretleel való osztás helyett pedig 0-ra redezü: ( x 3 x ) ( x ) Bizoyítási módszere = = helyett az 3 x - x = 0 egyeletet alaítju szorzattá. Diret bizoyítás: a bizoyítás sorá igaz állításoból iidulva (például axiómából azaz bizoyítás élül elfogadott alaptételeből, defiícióból és már bizoyított tételeből), logiai öveteztetéseel jutu el a bizoyítadó állításig. A legtöbb matematiai tételt diret úto bizoyítju. 8

9 Például: Tétel: Egy páratla szám égyzete 4-gyel osztva maradéot ad. Bizoyítás: Legye egy páratla szám. Eor, = 4 4 = = Î ( ) = A, ahol A= 4 ( ) és A osztható 4-gyel 4-gyel osztva maradéot ad. Az impliáció műveletét haszálva, igaz állításoból igaz állításora öveteztetve eljutottu a bizoyítadó állításig. Idiret bizoyítás: a bizoyítadó állítás tagadásából iidulva (idiret feltevés), logiai öveteztetéseel elletmodásra jutu. (Ez az elletmodás lehet egy tetszőleges ismert igaz állítás hamissága vagy az idiret feltevés hamissága is.) Így a bizoyítadó állítás em lehet hamis, szüségéppe tehát igaz lesz. Például: Tétel: Végtele so prímszám va. Bizoyítás: Tegyü fel, hogy az állítás hamis, vagyis csa véges so prímszám va. Az öszszes prím a övetező: p, p,..., p, ahol Î. Ötlet: teitsü az N = p... p p számot. N em prím (mert agyobb p, p,..., p midegyiéél), és -él agyobb. N öszszetett szám. N-e va legalább egy p prímosztója. De N em osztható a p, p,..., p prímszámo egyiével sem (mert midegyiel osztva maradéot ad). p egy olya prím, amely ülöbözi p, p,..., p midegyiétől. Elletmodás, hisze feltevésü szerit az összes prím p, p,..., p. Legye A: Végtele so prímszám va. A bizoyításba az impliáció műveletét haszálva, a A feltételből iidulva a öveteztetése elletmodásra vezette (ha B: Az összes prímszám p, p,..., p., aor a B B állításhoz jutottu, amely biztosa hamis). Tehát A em lehet igaz, szüségéppe A igaz. Teljes idució: Végtele so állítást (pl. A, A,...) aaru egyszerre bebizoyítai, amelye valamilye változótól függe (általába az A állításba szerepel, például A : Az első pozitív egész ( ) szám összege ). Ezt ét lépésbe tesszü: először megmutatju, hogy az első állítás (általába A ) igaz, utáa pedig igazolju, hogy ha valamilye -ra az A állítás igaz (iduciós feltevés), aor a soro övetező A állítás is igaz. Vagyis A igazságából és az A A öveteztetés helyességéből az A A A3... impliáció-sorozattal az összes állítást beláttu. Megjegyzés: A teljes idució ahhoz hasolítható, amior végtele so, egymás melletti domiót aaru fellöi. Ee teljesüléséhez ét dolog szüséges: egyrészt meg ell löü az első domiót, másrészt tudu ell, hogy bármely domió eldőlése maga utá voja a övetező domió eldőlését is. Megjegyzés: Bizoyos feladatoba az iduciós feltevésél em csa azt tételezzü fel, hogy valamilye -ra az A állítás igaz, haem azt is, hogy az A, A,..., A állításo mid igaza (vagyis az első domió midegyie eldőlt már). Például: Tétel ( A ): Az első pozitív egész szám összege ( ). 9

10 Bizoyítás: Az állítás igaz = -re, ugyais A : Az első pozitív egész szám összege = igaz állítás. Tegyü fel most, hogy az A állítás igaz valamilye pozitív egész -ra, tehát ( )... = (ezt evezzü iduciós feltevése), majd (ee felhaszálásával) ( ) ( ) lássu be A -et, vagyis hogy... =. Az ( ) ( ) ( ) iduciós feltevés ( ) ( ) ( )... =... = ( ) = átalaítással az egyelőséglác ét végé megaptu a bizoyítadó A állítást, ezzel A -et beláttu. Tehát A igazságából és a lácreacióból adódi, hogy mide pozitív egész -re A is igaz. Satulya-elv: Ez a bizoyítási módszer azt a téyt haszálja i, hogy ha satulyába -él több tárgyat szétosztu, aor valamelyi satulyába legalább tárgy erül. Továbbá, ha satulyába - él több tárgyat szétosztu, aor valamelyi satulyába legalább tárgy erül. Például: Tétel: 3 egész szám özött biztos va 4 olya, amelyi ugyaolya jegyre végződi. Bizoyítás: Az utolsó számjegy = 0 -féle lehet, a satulya-elvet alalmazhatju = 3 -ra, így mivel 3> 3 0, ezért a 0 satulya valamelyiébe biztosa legalább 4 szám erül. (Ha mide satulyába csa legfeljebb 3-3 szám erüle, aor összese legfeljebb 3 0 = 30 számu lehete, ami elletmod aa, hogy 3 számu va. Az utolsó godolatba idiret bizoyítást haszáltu.) II. Kidolgozott feladato. Írju fel miél rövidebb formulával az ( A B) ( A B) ifejezést! I. Megoldás: Készítsü el a ifejezés logiai értétáblázatát! A táblázat oszlopaiba először az első zárójel, majd a másodi zárójel, végül az utolsó oszlopba e ét ifejezés és -sel összeapcsolásáa iértéelése látható (ez utóbbi megegyezi a teljes ifejezés értéével): A B A B A B ( A B) ( A B) I I I I I I H H I H H I I H H H H I I I A táblázatból iolvasható, hogy a ifejezés értée potosa aor igaz, ha A és B logiai értée megegyezi. Tehát a ifejezés rövidebb formulával A B alaba írható fel. Természetese más alao is megadható (például ( A B) ( A B) ), de az előbb megadott a legrövidebb. II. Megoldás: Értétáblázat élül is lerövidíthetjü a formulát. A ifejezés potosa aor igaz, ha A igazsága maga utá voja B igazságát, A hamissága pedig B hamisságát. (Ha A igaz, aor 0

11 az első zárójel miatt B-e is igaza ell leie, ha pedig A hamis, aor a másodi zárójel miatt B-e is hamisa ell leie.) Így a eresett rövidebb formula: A B.. Készítsü el a övetező ifejezése logiai értétáblázatát! a) ( A B) B b) ( A B) ( AÅ A) c) ( A B) ( B C) Megoldás: Az első ét ifejezés étváltozós, így táblázataiba 4 esetet ell vizsgáli a változó lehetséges értéeie megfelelőe. A harmadi ifejezés háromváltozós, így abba = 8 lehetséges esetet ell megvizsgálu (eyi sora lesz a táblázata). Midhárom esetbe először a zárójel(e)be álló ifejezés(ee)t értéeljü i, majd a özöttü lévő műveletet. a) A B A B ( ) A B B I I I I I H H I H I I I H H I H Megjegyzés: A táblázatból iolvasható, hogy A B= A B. b) A B A B A A Å ( A B) ( AÅ A) I I I I I I H H I H H I H I H H H H I H Megjegyzés: A táblázatból iolvasható, hogy AÅ A értée midig igaz, így a vizsgált ifejezés értée megegyezi A B értéével, hisze a midig igaz állítást I-vel jelölve tetszőleges C állítás eseté C I = C. c) A B C A B B C ( A B) ( B C) I I I I I I I I H I I I I H I H I H I H H H H I H I I I I I H I H I I I H H I I I I H H H I H H

12 3. Írju fel olya ifejezéseet, amelye logiai értétáblázata a övetező: A B a ifejezés értée I I I I H I H I H H H I I. Megoldás: Az egyi lehetőség, hogy felsorolju midazo eseteet, amior a ifejezés igaz, majd ezeet vagy -gyal apcsolju össze: ( A B) ( A B) ( A B). II. Megoldás: Az alapművelete özül a vagy értée három esetbe igaz, egyszer hamis. A vagy aor hamis, ha midét változója hamis. Ahhoz, hogy hamis A és igaz B eseté ét hamis ifejezést apcsolju össze, B helyett B -t ell teiteü, így ebbe az esetbe a lehetséges megoldás: A B. III. Megoldás: Az alapművelete özül az és értée három esetbe hamis, egy esetbe igaz. Ee tagadása három esetbe lesz igaz, egy esetbe hamis. Így a övetező ifejezés is jó meg- A B. oldás: ( ) IV. Megoldás: Az alapművelete özül a ha-aor értée három esetbe igaz, egyszer hamis. A ha-aor aor hamis, ha az első változója igaz, a másodi hamis. Így a övetező ifejezése is jó megoldáso: A B, illetve B A. Természetese számos további megoldást is előállíthatu. 4. Legye A: Az szám osztható 4-gyel. Adju meg az A állítás a) egy szüséges, de em elégséges feltételét! b) egy elégséges, de em szüséges feltételét! c) egy szüséges és elégséges feltételét! Megoldás: a) Jó megoldás mide olya állítás, amely övetezi A-ból, de amelyből em övetezi A. Ilyee például: Az szám osztható -vel., Az szám osztható 3-mal., és így tovább (a 4 összes valódi osztóját behelyettesíthetjü a modatba), vagy például Az szám osztható 4-gyel és 6-tal. (ez utóbbi valóba em elégséges, hisze például a -re is teljesül). b) Jó megoldás mide olya állítás, amelyből övetezi A, de amely em övetezi A-ból. Ilyee például: Az szám osztható 48-cal., Az szám osztható 400-zal., Az szám értée 7., és így tovább. c) Jó megoldás mide olya állítás, amely evivales A-val. Ilyee például: Az szám osztható 3-mal és 8-cal., Az szám felírható 4 alaba, ahol egész szám.. Sőt, valójába jó megoldás maga az A állítás is, hisze mide állítás evivales saját magával.

13 5. Botsu fel a övetező állításoat egyszerű ijeletésere, és írju fel logiai műveleteel az összetett ijeletéseet! Ezt övetőe fogalmazzu meg az állításo tagadását! a) Mide égyszöge va beírt öre. b) Va olya autó, amelyie lejárt a zöldártyája és ics érvéyes műszai vizsgája sem. c) Egyi laásba sics sem radiátor, sem ályha. d) Ha éhes vagyo, lemegye a büfébe. e) Mide isolába va olya osztály, ahol midei itűő. f) Aor és csa aor vesze fel reggel é szoyát, ha azap szíházba vagy az Operába megye. Megoldás: a) Az A: (A soszög egy) égyszög. és B: (A soszöge) va beírt öre. jelöléseel az állítás " A B alaba írható. Ee tagadása $ A: B, azaz: Va olya égyszög, amelye ics beírt öre. az állítás $ ( ) alaba írható. Ee tagadása ( ) b) Az A: autó, B: lejárt a zöldártyája és C: ics érvéyes műszai vizsgája jelöléseel A: B C " A B C, amely a De Morgaazoosság alapjá " A ( B C) alara hozható, azaz: Mide autóa em járt le a zöldártyája vagy va érvéyes műszai vizsgája. Nyelvileg szebbe hagzi a övetező (logiailag evivales) megfogalmazás: Mide autóa érvéyes a zöldártyája és a műszai vizsgája özül legalább az egyi. c) Az A: laás, B: va radiátor és C: va ályha jelöléseel, továbbá az egyi laásba sics = mide laásba ics átfogalmazással az állítás " A ( B C) alaba írható. Ee tagadása $ A: ( B C), átalaítva $ A: ( B C), azaz: Va olya laás, amelybe va radiátor vagy ályha. d) Az A: éhes vagyo és B: lemegye a büfébe jelöléseel az állítás A B alaba írható. Ee tagadása A B, azaz: (Va olya alalom, hogy) éhes vagyo és em megye le a büfébe. (Az eredeti állítást úgy is fogalmazhattu vola, hogy Mide alalommal, amior éhes vagyo, lemegye a büfébe. ) e) Az A: isola, B: osztály és C: itűő jelöléseel az állítás A ( B: C) írható. Ee tagadása A: ( B: C) utá A: B ( C) " $ " alaba $ $ ", ami a zárójeles ifejezés tagadásáa behelyettesítése $ " $ alara hozható, azaz: Va olya isola, ahol mide osztályba va olya, ai em itűő. (esetleg: Va olya isola, ahol mide osztályba va em itűő. ) f) Az A: (ma) reggel é szoyát vesze fel, B: (ma) szíházba megye és C: (ma) az Operába megye jelöléseel az állítás A ( B C) alaba írható. (A szíházba vagy az Operába megye logiailag megegedi, hogy aár midét helyre meje egymás utá, bár ez em valószíű.) Ee tagadása AÅ( B C), azaz: Vagy reggel é szoyát vesze fel, vagy azap 3

14 szíházba vagy az Operába megye. Ee a megoldása hátráya, hogy a formulába szereplő zárójel em látszi bee, így formailag csa a modatba szereplő vessző mutatja, hogy em három egyeértéű vagy áll a modatba. Élőszóba midez hagsúlyozással jelezhető (például a izáró vagy -hoz tartozó ét vagy -ot jobba megyomju, esetleg a vesszőél agyobb szüetet tartu), írásba talá szerecsésebb a övetező átfogalmazás: Vagy reggel é szoyát vesze fel, vagy azap elmegye szíházba, esetleg az Operába. De megfogalmazhatju a tagadást A ( B C) formába is, azaz: Aor és csa aor em vesze fel reggel é szoyát, ha azap szíházba vagy az Operába megye. 6. Fogalmazzu meg a övetező állítás megfordítását: Ha egy húrégyszöge va derészöge, aor téglalap. Igaz-e az állítás, illetve a megfordítása? Megoldás: Az állítás megfordítása: Ha egy húrégyszög téglalap, aor va derészöge. Fotos észreveü, hogy a húrégyszög ijeletés em része a feltétele, az mideéppe a modat elejé marad (mit a modat alaya). Formalizálva: az A: a húrégyszöge va derészöge és B: a húrégyszög téglalap jelöléseel az eredeti állítás A B, a megfordítása B A formába írható. Az eredeti állítás hamis (egy lehetséges ellepélda az a égyszög, amelye szögei az egyi örüljárás szerit: 90, 60, 90 és 0, ez a égyszög a húrégyszöge tételée megfordítása miatt húrégyszög, de em téglalap vagy általáosabb ellepélda egy olya égyszög, amelye egyi átlója a örülírt ör átmérője, a mási viszot em). Az állítás megfordítása igaz, hisze egy tetszőleges téglalapa va derészöge. 7. Az alábbi állításo özül háy lehet egyszerre igaz ugyaazo valós számra voatozóa? A: ³ 3 B: = 4 C: D: = E: = 6 3 = 4 F: lg( ) = lg( 6) I. Megoldás: Ábrázolju az állításo logiai apcsolatát, jelezve az egymásból övetező, illetve az evivales állításoat! A B és C állításo evivalese, továbbá D-ből övetezi B (és eor yilvá C is), de B-ből em övetezi D (az ellepélda =- 4 ). A D állítás evivales az = 4 állítással, amelyből övetezi E, a megfordítás viszot em (az ellepélda = 0 ). Eddig tehát az állításo apcsolatát a övetezőéppe szemléltethetjü: E D ( B C). 3 Az F egyeletbe a logaritmust elhagyva = 6-et apu, azoba a logaritmus értelmezési tartomáya miatt > 0, eor -el oszthatu, így az = 6 állítást apju, de > 0 miatt az egyelet egyedüli megoldása 4 E D F B C. =, amely evivales D-vel: ( ) ( ) Hátra va még az A állítás vizsgálata. Ez függetle B-től (és C-től), egyiből sem övetezi a mási (hisze B és C esetébe pozitív és egatív értéet is felvehet). Az A állítás szité függetle E-től, egyiből sem övetezi a mási. Végül D-ből (és F-ből) övetezi A, hisze = 4 teljesíti A-t, de fordított iráyba ics apcsolat az állításo özött. Így az állításo logiai apcsolata a övetező: ( ) ( ) E D F B C ß. A 4

15 A apcsolatoból leolvasható, hogy ha D (és F) igaz, aor mid a 6 állítás igaz. Ha D (és F) hamis, aor ¹ 4, így a többi állítás a övetezőéppe írható fel: A: ³ 3 (de ¹ 4 ); B: =- 4 ; C: =- 4 ; E: = 0. Ha A igaz, aor ez izárja a mási hármat, így igaz állítást apu. Ha A hamis, aor B és C, illetve E izárja egymást, így vagy E igaz ( igaz állítás), vagy B és C ( igaz állítás), vagy egyi sem (0 igaz állítás). Vagyis a megadott állításo özül egyszerre 0,, vagy 6 lehet igaz. II. Megoldás: Felsorolhatju az egyes állításo esetébe lehetséges értéeit: A: 3 ³ B: Î{ - 4; 4} C: Î{ - 4; 4} D: 4 = E: { 0; 4} Î F: = 4 A felsorolásból is övetezi az állításo előző megoldásba vázolt logiai apcsolata, illetve megadhatu orét értéeet, amelyere az állításo özül egyszerre 0,,, 3 vagy 6 lesz igaz: = 0 igaz állítás = 0 igaz állítás (A) = 0 igaz állítás (E) =- 4 igaz állítás (B és C) = 4 6 igaz állítás (az összes) Más lehetőség icse, hisze lehetséges értéei özül a B F állításohoz elegedő a - 4, 0, 4 értéeet ipróbáli, az A állításhoz pedig egy 3-ál isebb és egy 3-ál em isebb értéet. Vagyis a megadott állításo özül egyszerre 0,, vagy 6 lehet igaz. 8. Hol va a hiba az lg x = egyelet alábbi megoldásába? lg x = lg x = lg x = x = 0 = 0 Megoldás: Az egyelet megoldása biztosa em helyes, ugyais elleőrzéssel meggyőződhetü róla, hogy x =- 0 is jó megoldás. A hibát ott övettü el, hogy a lg x = lg x = átalaítás em evivales lépés. Írju fel az értelmezési tartomáyoat is, eor a övetezőt ap- lg x x 0 lg x= x> 0. Vagyis az átalaítás sorá szűült az ju: ( ) = > ( ) értelmezési tartomáy ( x ¹ 0 -ról x > 0 -ra), emiatt a öveteztetés iráya em fordítható meg, azaz gyövesztés esete áll fe. Az egyelet egy lehetséges helyes megoldása: lg x = x = 0 x, = 0. Megjegyzés: A feladat azt illusztrálja, hogy a logaritmus azoosságai em midig evivales átalaításo, az értelmezési tartomáy esetleges megváltozása miatt. 5

16 9. Bizoyítsu be a övetező állításoat: a) A 6 irracioális szám. b) 3... ( ) ( )( ) =, ahol Î. 3 c) 3 3 4, ahol Î. d) Bárhogy választu i az,, 3,, számo özül -et, biztosa lesz a iválasztott számo özött ét olya, amelye relatív príme (azaz legagyobb özös osztóju ). Megoldás: a) Idiret bizoyítást alalmazu. Tegyü fel, hogy a 6 em irracioális, azaz racioális szám (idiret feltevés), eor felírható p q alaba, ahol p és q pozitív egész számo. Eor a p 6 = midét oldalát égyzetre emelve, majd redezve a 6q = p összefüggést apju. A q jobb oldalo p egy égyzetszám, így prímtéyezős felbotásába mide prímtéyező páros itevő szerepel, például a is. (Egyébét p páros, de ezt em haszálju i.) A bal oldalo q is égyzetszám, így a itevője ebbe is páros (aár 0 is lehet, ha q páratla), viszot 6= 3 miatt eor a bal oldalo összességébe páratla lesz a itevője. Egy egyelet ét oldalá em lehet ülöböző paritású itevője, tehát elletmodásra jutottu, az idiret feltevés hamis volt, szüségéppe a bizoyítadó állítás igaz. 3 b) Teljes iduciót alalmazu. Az állítás igaz = -re, mert =. Tegyü fel, hogy az 3 állítás igaz valamilye -ra (iduciós feltevés), azaz valamely rögzített -ra teljesül az ( )( ) 3... ( ) = összefüggés. Ebből szereté bebizoyítai, hogy 3 ( )( )( ) 3 -re is teljesül az állítás, azaz 3... ( )( ) =. Mivel 3 a bal oldalo 3... ( )( ) = é 3... ( ) ù ë û ( )( ), ezért a szögletes zárójelbe álló ifejezést helyettesíthetjü az iduciós feltevés jobb oldalával, így: ( )( ) ( )( ) ( )( ) 3... ( )( ) = = ( 3 ), ami 3 3 éppe a bizoyítadó állítás. Tehát ha valamilye rögzített -ra igaz az állítás, aor -re is igaz, továbbá = -re igaz az állítás, így mide pozitív egész -re igaz. c) Teljes iduciót alalmazu. Az állítás igaz = -re, mert = =. Tegyü fel, hogy az állítás igaz valamilye rögzített -ra, azaz 3 3 4, majd lássu be, hogy eor -re is igaz, vagyis, hogy ( ) ( ) , azaz Alalmazzu a ( ) = = átalaítást, így ihasz- 6

17 álhatju az iduciós feltevést, tehát 3 ( 3 4 ) osztható lesz 3-mal. Mivel 3 4 is osztható 3-mal, így e ét ifejezés összege is osztható 3-mal, ami éppe a bizoyítadó állítás. Ezzel beláttu, hogy ha valamilye rögzített -ra igaz az állítás, aor -re is igaz, továbbá = -re igaz az állítás, így mide pozitív egész -re igaz = átalaítást is. Megjegyzés: Alalmazhattu vola a ( ) d) Satulya-elvet alalmazu. Vegyü satulyát, amelye midegyiébe ét-ét szomszédos egész számot teszü: az első satulyába az és a, a másodiba a 3 és a 4, és így tovább, végül az -edibe a - és a. Ha most az,, 3,, számo özül -et iválasztu, aor biztosa lesz ét olya szám a iválasztotta özül, amelye ugyaabba a satulyába vaa (mert satulyából -szer választottu), így ez a ét iválasztott szám szomszédos. A szomszédos egész számo pedig biztosa relatív príme, hisze ha lee valamilye -él agyobb d özös osztóju, aor ez a d osztója lee a ülöbségüe, -e is, ami lehetetle. (Az utolsó lépésbe idiret bizoyítást alalmaztu.) 0. Írju fel zárt formába az első pozitív öbszám összegét, ahol Î! Megoldás: A éplet megsejtéséhez írju fel az első éháy -re az potos értéét! = 3 = = = 3 3 = 9= 3 = ( ) = = 36= 6 = ( 3) = = = = ( ) ifejezés Megfigyelhetjü, hogy az eredméy midig égyzetszám, mégpedig az első pozitív egész szám ( ) összegée a égyzete. Mivel... =, ezért sejtésü a övetező: ( ) ù é =. ê ú ë û Sejtésüet teljes iducióval igazolju. Az állítás igaz = -re, mert 3 é ù =. Tegyü fel ê ë ú û ( ) é ù most, hogy az állítás igaz valamely rögzített -ra, azaz... = ê ú ë û ( )( ) ù, majd lás- é su be, hogy eor -re is igaz, vagyis... ( ) =. Mivel a bal ê ú ë û 3 3 oldalo ( ) = é... ù ê ú ( ) 3 ë û, ezért a szögletes zárójelre alalmazhatju az iduciós feltevést, vagyis a bizoyítadó állítás bal oldala így alaítható tovább: 7

18 ( ) ( ) ( ) ( ) 3... é ù ( ) ( ) æ ( ) ö = = = ( 4 4) = ê ú ç 4 ë û çè ø 4 4. Ezzel éppe a bizoyítadó állítást aptu. Tehát ha sejtésü igaz valamely rögzített -ra, aor -re is igaz, továbbá = -re igaz, így sejtésüet mide pozitív egész -re igazoltu. Vagyis az első pozitív öbszám összege. é ( ) ù ê ú ë û Megjegyzés: A bizoyítadó állítás megsejtése em volt yilvávaló, és so más esetbe sem az. A teljes idució legiább aor alalmazható, ha vagy már megsejtettü az eredméyt, vagy a feladat előre megadta számura azt.. Hol va a hiba a övetező bizoyításba? Állítás: 3 3 5, ahol Î Bizoyítás teljes iducióval: Az állítás = 0 eseté igaz, mert 3 5 = = 3, ami osztható 3-mal. Tegyü fel most, hogy az állítás igaz valamely rögzített -ra, majd lássu be, hogy eor -re is igaz, azaz: Alalmazzu a övetező átalaításoat: ( ) = =. Az iduciós feltevés miatt 3 5 osztható 3-mal (így ee -szerese is), míg 3 és 3 5 többszörösei 3-a, így eze is osztható 3-mal, s ezért a három tag összege is osztható 3-mal. Ezzel az állítást beláttu. Megoldás: A bizoyítás biztosa rossz, hisze az állítás hamis (csa = 0 -ra igaz). A hiba ott va, hogy 3 0 em feltétleül osztható 3-mal, hisze = 0 eseté 3 =. Emiatt = 0 -ról = - re em örölődi az állítás, s így a többi 0-ál agyobb -re sem. Megjegyzés: A bizoyítás többi lépése helyes, így ha valamely pozitív egész -re igaz lee az állítás, aor az összes -él agyobb egészre is igaz lee. De az állítás csa = 0 -ra igaz.. Adott az a =, a =, a 3 ( Î ) reurzív sorozat. Igazolju, hogy a soro- zat explicit alaja a = -! a a = 3a - a Megoldás: Teljes iduciót alalmazu. Mivel a reurzió másodredű (az -edi tag iszámításaor a ét megelőző tagot az -ediet és az -ediet haszálju), ezért az iduciós feltevést most a megelőző ét tagra ell majd ihaszálu, és emiatt az állítást is az első helyett az első ét ezdőértére ell elleőrizü. Az állítás igaz = -re és = -re, mert = - és =. Tegyü fel most, hogy - 3 az állítás már igaz -től valamely rögzített -ig mide egész számra, ahol Î (így speciálisa -ra és -re, tehát ét szomszédos tagra is), majd lássu be, hogy eor -re is 8

19 igaz, vagyis a = -. A sorozat reurzív megadása alapjá a a a = 3a - a, az i- duciós feltevés miatt pedig a = - és a = -, ezért igaz a övetező átalaítás: - - æ ö æ3 ( ) ( ) ö - a = = : ( ) ( ) ( ) (. Tovább alaítva ezt ) - çè ø çè ø - apju:, ami éppe a a = = = = ( ) ( - ) bizoyítadó állítás. Ezzel az állítást mide Î számra igazoltu. III. Ajálott feladato. Tudju, hogy mide olya hétfő, amior Micimacó mézet eszi, Zsebibaba Malacával játszi a réte. Ma Zsebibaba ics it a réte. Ehet-e ma mézet Micimacó, ha a) ma hétfő va? b) ma szerda va?. Ugyaazt jeleti-e az ( A B) Å( B A) és a ( ( A B) ) ( A B) ifejezése? 3. Véletleszerűe itöltöttü egy étváltozós (A-t és B-t tartalmazó) ifejezés logiai értétáblázatát. (Egyelő eséllyel választva a lehetséges itöltése özül.) Meora eséllyel lesz a felírt táblázat éppe a B ( A A) ifejezés logiai értétáblázata? 4. Teitsü a övetező állításoat ugyaazo pozitív egész számra voatozóa: A: Az összetett szám. C: Az száma va -él agyobb égyzetszám osztója. B: Az osztható 4-gyel. D: Az száma va ála isebb pozitív prímosztója. Mely állításo evivalese egymással, illetve melyiből övetezi valamelyi mási? 5. Fogalmazzu meg a övetező állításo tagadását! a) Mide barátoma va legalább ét testvére vagy legalább egy utyája. b) Egyi héte sics olya ap, amior égy órát taulo. c) Va olya tatárgy, amelyiből év végé írásba és szóba is vizsgázu. d) Ha a telefoomra ébrede fel, em féle a dolgozattól. e) Mide embere va olya öyve, amelyie mide sorát ívülről tudja. 6. Fogalmazzu meg a övetező állítás megfordítását: Ha egy égyzetszám 6-ra végződi, aor osztható 9-cel. Igaz-e az állítás, illetve a megfordítása? 9

20 7. Készítsü el a ( A B) ( B A) ifejezés logiai értétáblázatát, majd írju fel többféle logiai formulával a ifejezés tagadását! 8. Írju fel olya K, L és M ifejezéseet, amelye logiai értétáblázata a övetező: A B K L M I I H H I I H H H I H I I H H H H I I I 9. a) Adju meg egy elégséges, de em szüséges feltételét aa, hogy egy öbszám osztható legye 6-tal! b) Adju meg egy szüséges, de em elégséges feltételét aa, hogy egy égyszög téglalap legye! c) Adju meg egy szüséges és elégséges feltételét aa, hogy az ABCD égyszöge legye beírt öre! 0. Evivalese-e mide esetbe a övetező átalaításo? a) Egy egyelet midét oldalához hozzáadu x 3 -at. b) Egy egyelet midét oldalából levou x - -t. c) Egy egyelet midét oldalát égyzetre emeljü, majd midét oldalból gyööt vou. d) Egy egyelet midét oldaláa vesszü a 3-as alapú logaritmusát (feltéve, hogy midét oldal pozitív volt).. Milye apcsolat (szüséges feltétel, elégséges feltétel, szüséges és elégséges feltétel) áll fe a övetező ijeletéspáro ét tagja özött? a) A: Az a sorozat orlátos. és B: Az a sorozat overges. b) C: A b sorozat diverges. és D: A b sorozat em orlátos. c) E: Az f függvéy differeciálható. és F: Az f függvéy folytoos.. Egy szigete igazmodó és hazudóso éle. Az igazmodó midig igazat modaa, a hazudóso midig hazuda. Megérdeztü öt embert, ai ismerté egymást: Háy igazmodó va öztete? A válaszai:,, 3, 4, 5. Háy igazmodó lehetett az öt ember özött? 3. Peti macsája mide reggel dorombol, ha azap esi fog az eső. Ma reggel dorombol. Vigye-e eseryőt Peti? 0

21 4. Írju fel zárt formába az... 3 ifejezést, ahol Î! ( ) 5. Bizoyítsu be a övetező állításoat: a) , ahol Î. b) , ahol Î.!, ahol Î. c) 6. Igaz-e, hogy biztosa va ét olya ülöböző prímszám, amelyee azoos az utolsó 03 számjegye? 7. Legfeljebb háy részre oszthatja egyees a síot? 8. Hol va a hiba a övetező teljes iduciós bizoyításba? Állítás: A világ összes lova egyforma szíű. Bizoyítás teljes iducióval: megmutatju, hogy bármely ló szíe megegyezi, ahol Î. Az állítás = ló eseté yilvá igaz, hisze egy lóa egy szíe va. Tegyü fel most, hogy az állítás igaz valamely -ra (azaz bármely ló szíe egyforma), majd lássu be -re. Vegyü lovat. Tudju, hogy az,, 3,..., sorszámú lova és a, 3, 4,..., sorszámú lova is egyforma szíűe, hisze midettő egy-egy elemű halmaz. Mivel a ét halmaza va özös eleme, ezért szüségéppe mid a ló egyforma szíű. Ezzel az állítást beláttu. 9. Adott az a =, a = 3 a - ( Î ) reurzív sorozat. Írju fel a sorozat első éháy tagját, majd próbálju megsejtei a sorozat explicit alaját! Igazolju sejtésüet! 0. Tudju, hogy igaz a övetező három állítás:. Ha vesze almát és olcsó a tojás, észíte máglyaraást.. Ha em olcsó a tojás, aor em vesze almát és éhes marado. 3. Csa aor em marado éhes, ha észíte máglyaraást. Követezi-e ebből a három állításból, hogy ha em észíte máglyaraást, aor em vesze almát?

22 Az ajálott feladato megoldásai. Tudju, hogy mide olya hétfő, amior Micimacó mézet eszi, Zsebibaba Malacával játszi a réte. Ma Zsebibaba ics it a réte. Ehet-e ma mézet Micimacó, ha a) ma hétfő va? b) ma szerda va? Megoldás: A H: Hétfő va., M: Micimacó mézet eszi. és Z: Zsebibaba Malacával játszi a réte. jelöléseel a megadott feltétel "( H M) Z alaba írható. Ha Z em teljesül, aor H M sem teljesülhet, hisze így Z-e is teljesülie ellee, ami elletmodás. Tehát ha Zsebibaba ma ics it a réte, aor H M hamis, így H és M özül legalább az egyi hamis. Így ha ma hétfő va, aor Micimacó semmiéppe em ehet mézet. Ha ma szerda va, aor az is lehetséges, hogy Micimacó eszi mézet, de az is, hogy em (hisze H mideéppe hamis). Megjegyzés: A megoldásból az is iderült, hogy A B és B A evivalese (ezt a feti Z H M alaba haszáltu). példába ( H M) Z és ( ). Ugyaazt jeleti-e az ( A B) Å( B A) és a ( ( A B) ) ( A B) Megoldás: Készítsü el a ét ifejezés logiai értétáblázatát: A B A B B A ifejezése? ( A B) Å( B A) I I I I H I H H I I H I I H I H H I I H A B ( A B) ( ) ( ) A B ( A B) A B I I H I H I H H H I H I H H I H H I H H A ét értétáblázat utolsó oszlopai megegyeze, tehát a ét ifejezés ugyaazt jeleti (vagyis evivales). 3. Véletleszerűe itöltöttü egy étváltozós (A-t és B-t tartalmazó) ifejezés logiai értétáblázatát. (Egyelő eséllyel választva a lehetséges itöltése özül.) Meora eséllyel lesz a felírt táblázat éppe a B ( A A) ifejezés logiai értétáblázata? Megoldás: Egy étváltozós ifejezés logiai értétáblázata égy sorból áll, és midegyi sor értée étféle lehet (igaz vagy hamis). Így összese = 6 -féle lehetséges itöltés va,

23 eze midegyiét eséllyel választju. Tehát speciálisa a ( ) 6 B A A ifejezés táblázatát is eséllyel választju (függetleül attól, hogy ez melyi táblázat). 6 Bár em része a feladat megoldásáa, de megadju a ifejezés logiai értétáblázatát is: A B A A B ( A A) I I H H I H H I H I H H H H H I 4. Teitsü a övetező állításoat ugyaazo pozitív egész számra voatozóa: A: Az összetett szám. C: Az száma va -él agyobb égyzetszám osztója. B: Az osztható 4-gyel. D: Az száma va ála isebb pozitív prímosztója. Mely állításo evivalese egymással, illetve melyiből övetezi valamelyi mási? Megoldás: Az A és D állításo evivalese, továbbá B-ből övetezi C (de fordítva em), illetve C-ből (és így B-ből is) övetezi A és D (de fordítva em). Az állításo logiai apcsolata a övetező: B C ( A D). 5. Fogalmazzu meg a övetező állításo tagadását! a) Mide barátoma va legalább ét testvére vagy legalább egy utyája. b) Egyi héte sics olya ap, amior égy órát taulo. c) Va olya tatárgy, amelyiből év végé írásba és szóba is vizsgázu. d) Ha a telefoomra ébrede fel, em féle a dolgozattól. e) Mide embere va olya öyve, amelyie mide sorát ívülről tudja. Megoldás: a) Va olya barátom, aie ics se legalább ét testvére, se legalább egy utyája., esetleg Va olya barátom, aie legfeljebb egy testvére va, és ics utyája. b) Va olya hét, amior va olya ap, amior égy órát taulo. c) Mide tatárgyra igaz, hogy év végé em vizsgázu belőle írásba vagy em vizsgázu belőle szóba., esetleg Mide tatárgyra igaz, hogy év végé em vizsgázu belőle írásba is és szóba is. d) (Va olya, hogy) a telefoomra ébrede fel, és féle a dolgozattól. e) Va olya ember, aie mide öyvébe va olya sor, amit em tud ívülről. 3

24 6. Fogalmazzu meg a övetező állítás megfordítását: Ha egy égyzetszám 6-ra végződi, aor osztható 9-cel. Igaz-e az állítás, illetve a megfordítása? Megoldás: Az állítás megfordítása: Ha egy égyzetszám osztható 9-cel, aor 6-ra végződi. Sem az eredeti állítás em igaz (egy lehetséges ellepélda a 6), sem a megfordítása (egy lehetséges ellepélda a 9). 7. Készítsü el a ( A B) ( B A) ifejezés logiai értétáblázatát, majd írju fel többféle logiai formulával a ifejezés tagadását! Megoldás: A ifejezés logiai értétáblázata: A B A B B A ( A B) ( B A) I I H I H I H H I H H I I H H H H H I H A táblázatból iderül, hogy a ifejezés értée (A és B értéétől függetleül) midig hamis, így tagadása a midig igaz állítás. Ezt jelölhetjü I-vel is, de felírhatu olya, A-t és/vagy B-t tartalmazó formuláat is, amelye értée midig igaz, például: A A, AÅ A, B B, illetve ( A B) ( A B). 8. Írju fel olya K, L és M ifejezéseet, amelye logiai értétáblázata a övetező: A B K L M I I H H I I H H H I H I I H H H H I I I Megoldás: K értée (B-től függetleül) pot elletétes A értéével, így egy lehetséges megoldás K-ra: A A B B A B A B.. Néháy további lehetőség például: ( ), ( ) ( ) L értée csa aor igaz, ha A és B értée is hamis. Néháy lehetséges megoldás: A B, ( A B), ( A B), ( A B) ( A ( B B) ) Å. M értée csa aor hamis, ha A értée hamis, B értée igaz. Néháy lehetséges megoldás: B A, A B, A B, ( A B). 9. a) Adju meg egy elégséges, de em szüséges feltételét aa, hogy egy öbszám osztható legye 6-tal! b) Adju meg egy szüséges, de em elégséges feltételét aa, hogy egy égyszög téglalap legye! 4

25 c) Adju meg egy szüséges és elégséges feltételét aa, hogy az ABCD égyszöge legye beírt öre! Megoldás: 3 a) Néháy lehetséges megoldás: a öbszám osztható 8-cal, a öbszám a 6, a öbszám egy 8- cal osztható szám öbe. (Nem jó megoldás: a öbszám osztható 3-vel, ugyais a öbszám prímfelbotásába itevője biztosa 3-mal osztható, így eor itevője legalább 6, míg a 6-tal oszthatóság esetébe szité, tehát ez egy szüséges és elégséges feltétel lee.) b) Néháy lehetséges megoldás: a égyszög szemözti oldalai párhuzamosa, a égyszög szemözti oldalai egyelő, a égyszög átlói felezi egymást. (Eze egyie sem elégséges, ugyais teljesül mide olya paralelogrammára is, amely em téglalap.) c) Néháy lehetséges megoldás: az ABCD égyszög éritőégyszög, az ABCD ovex égyszög oldalaira teljesül az AB CD = AD BC összefüggés, az ABCD ovex égyszög belső szögfelezői egy poto mee át. 0. Evivalese-e mide esetbe a övetező átalaításo? a) Egy egyelet midét oldalához hozzáadu x 3 -at. b) Egy egyelet midét oldalából levou x - -t. c) Egy egyelet midét oldalát égyzetre emeljü, majd midét oldalból gyööt vou. d) Egy egyelet midét oldaláa vesszü a 3-as alapú logaritmusát (feltéve, hogy midét oldal pozitív volt). Megoldás: a) Ez a lépés midig evivales, hisze em változi az egyelet megoldásaia halmaza. b) Ez a lépés em midig evivales. A öveteztetés ugya logiailag lehet helyes, de em mide esetbe megfordítható. Elépzelhető ugyais, hogy bővül az egyelet értelmezési tartomáya ez még ömagába em feltétleül probléma, de ezáltal bővülhet a megoldáshalmaza is. Például a = x egyelete ics megoldása, míg a = x egyelete már va, x- x- de ez az eredeti egyelete em megoldása (hamis gyö). Az is elépzelhető, hogy a öveteztetés már logiailag sem helyes, ha úgy szűül az értelmezési tartomáy, hogy ezzel együtt a megoldáshalmaz is szűül. Például az x = 3 egyelete megoldása az x =, míg az x - = 3- egyelete már em (gyövesztés). Ugyaaor, ha sem az eredeti, x - x - sem az átalaítás utái egyelet értelmezési tartomáya em tartalmazza a -t, aor a lépés evivales, például az = vagy a x - 0 = 4 x- x- x- 4 x- x- egyelete esetébe. c) Ez a lépés em midig evivales. A égyzetre emelés logiailag helyes, de bővülhet a megoldáshalmaz (például az x = x = 4 lépés sorá), így itt hamis gyööt aphatu, míg a 5

26 gyövoás a megfelelő iötése élül logiailag sem helyes lépés (például az x = 4 x = lépés sorá), itt gyövesztés övetezhet be. A ét művelet együttese sem midig evivales, például az x =- x = 4 x = lépése helytelee. Ugyaaor, ha az eredeti egyelet midét oldaláról tudju, hogy emegatív, aor a ét lépés evivales átalaítás, ilyeor az eredeti egyeletet apju vissza (például x = 6 4x = 36 x = 6). d) Ez a lépés midig evivales, hisze a 3-as alapú logaritmusfüggvéy szigorú mootoitása miatt a= b aor és csa aor teljesül (pozitív a, b értéere), ha log3a= log3b. A pozitivitási feltétel élül már em lee evivales a lépés, hisze például a =- eseté a jobb oldalra em is tudá értelmezi a logaritmus műveletét.. Milye apcsolat (szüséges feltétel, elégséges feltétel, szüséges és elégséges feltétel) áll fe a övetező ijeletéspáro ét tagja özött? a) A: Az a sorozat orlátos. és B: Az a sorozat overges. b) C: A b sorozat diverges. és D: A b sorozat em orlátos. c) E: Az f függvéy differeciálható. és F: Az f függvéy folytoos. Megoldás: a) A overgeciából övetezi a orlátosság ( B A), de megfordítva em, például az ( ) a =- sorozat orlátos, de em overges. Így A szüséges (de em elégséges) feltétele B- e, illetve B elégséges (de em szüséges) feltétele A-a. b) A em orlátosságból övetezi a divergecia ( D C ( ) ), de megfordítva em, például a b =- sorozat diverges, de orlátos. Így C szüséges (de em elégséges) feltétele D-e, illetve D elégséges (de em szüséges) feltétele C-e. Megjegyzés: Mivel C= B és D = A, így B A = C D = D C az a) feladat alapjá. c) A differeciálhatóságból övetezi a folytoosság ( E F ), de megfordítva em, például az f ( x) = x függvéy x = 0 -ba folytoos, de em differeciálható. Így E elégséges (de em szüséges) feltétele F-e, illetve F szüséges (de em elégséges) feltétele E-e.. Egy szigete igazmodó és hazudóso éle. Az igazmodó midig igazat modaa, a hazudóso midig hazuda. Megérdeztü öt embert, ai ismerté egymást: Háy igazmodó va öztete? A válaszai:,, 3, 4, 5. Háy igazmodó lehetett az öt ember özött? Megoldás: Ha igazmodó va a szigete, aor ő mid az -e -et foga válaszoli a érdésre, a többie pedig -től ülöböző számot. Azt ell tehát megvizsgálu, hogy a válaszo özött háy olya (0 és 5 özötti) szám va, amely ugyaayiszor szerepel, mit ameyi az értée. Ez ét számra teljesül, a 0-ra és az -re. Tehát az öt ember özött 0 vagy igazmodó lehetett. (Eze valóba lehetségese is: az első esetbe midegyiü hazudott, a másodi esetbe pedig csa az modott igazat, ai -et válaszolt.) 6

25. Matematikai logika, bizonyítási módszerek

25. Matematikai logika, bizonyítási módszerek 5. Matematikai logika, bizoyítási módszerek I. Elméleti összefoglaló Logikai műveletek A matematikai logika állításokkal foglalkozik. Az állítás (vagy kijeletés) olya kijelető modat, amelyről egyértelműe

Részletesebben

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma?

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma? Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 5 Kombiáció 5 Feladat Az,, 3, 4 számo özül válasszu i ettőt (ét ülöbözőt és írju fel ezeet úgy, hogy em vagyu teitettel a iválasztott eleme sorredjére Meyi a lehetősége

Részletesebben

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.

Részletesebben

1. Komplex szám rendje

1. Komplex szám rendje 1. Komplex szám redje A hatváyo periódiusa ismétlőde. Tétel Legye 0 z C. Ha z egységgyö, aor hatváyai periódiusa ismétlőde. Ha z em egységgyö, aor bármely ét, egész itevőjű hatváya ülöböző. Tegyü föl,

Részletesebben

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA A ombiatoria véges elemszámú halmazoat vizsgál. A fő érdése: a halmaz elemeit háyféleéppe lehet sorbaredezi, iválasztai özülü éháyat vagy aár midet bizoyos feltétele mellett, stb. Ezért a ombiatoria alapját

Részletesebben

Számelméleti érdekességek dr. Kosztolányi József, Szeged

Számelméleti érdekességek dr. Kosztolányi József, Szeged Magas szitű matematiai tehetséggodozás Számelméleti érdeessége dr. Kosztoláyi József, Szeged A számelmélet bőveledi olya érdésebe, problémába, összefüggésebe, amelye elemi módszereel megözelíthető. Bizoyos

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel Orosz Gyula: Marov-láco 2. orsoláso visszatevéssel Néháy orét feladat segítségével vezetjü be a Marov-láco fogalmát és a hozzáju acsolódó megoldási módszereet, tiius eljárásoat. Ahol lehet, több megoldást

Részletesebben

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz FELADATOK a Bevezetés a matematiába I tárgyhoz a számítástechia taár főisolai és a programozó matematius szao számára 2004 ovember 4 FIGYELEM: a számtech szaosoa csa a övetező feladato ellee: 2,6,7,8,9-13,16-25,27,31-33

Részletesebben

Prímszámok a Fibonacci sorozatban

Prímszámok a Fibonacci sorozatban www.titokta.hu D é e s T a m á s matematikus-kriptográfus e-mail: tdeest@freemail.hu Prímszámok a Fiboacci sorozatba A továbbiakba Fiboacci sorozato az alapsorozatot (u,,,3,5,...), Fiboacci számo az alapsorozat

Részletesebben

90 Folytonos függvények. IV. Folytonos függvények

90 Folytonos függvények. IV. Folytonos függvények 9 Folytoos függvéye IV Folytoos függvéye Az előző fejezetbe adott f : D függvéy viseledését a D halmaz torlódási potjáa öryezetébe vizsgáltu Az pot em feltétleül tartozott a D halmazhoz ( D ) Ebbe a fejezetbe

Részletesebben

SZÁMHALMAZOK Halmazábrán ábrázolom a valós számok halmazát és részhalmazait (néhány példával). (C) pl. 1/4; 1/2. pl. 1;2;0;-1; N pl. 0. pl.

SZÁMHALMAZOK Halmazábrán ábrázolom a valós számok halmazát és részhalmazait (néhány példával). (C) pl. 1/4; 1/2. pl. 1;2;0;-1; N pl. 0. pl. 2. tétel Számhalmazo (a valós számo halmaza és részhalmazai), oszthatósággal apcsolatos problémá, számredszere. SZÁMHALMAZOK Halmazábrá ábrázolom a valós számo halmazát és részhalmazait (éháy példával).

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása.

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása. A Secretary problem. Optmáls választás megtalálása. A Szdbád problémáa va egy szté lasszusa tethető talá természetesebb vszot ehezebb változata. Ez a övetező Secretary problem -a evezett érdés: Egy állásra

Részletesebben

V. Oszthatóság a természetes számok halmazában

V. Oszthatóság a természetes számok halmazában V Oszthatóság a természetes számo halmazába V Általáos fogalma az oszthatósággal apcsolatba A maradéos osztás tétele Legye a és b ét természetes szám, b, és a>b Aor egyértelműe léteze q és r természetes

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk. Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz

Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz Radiális szivattyú járóeré fő méreteie meghatározása előírt - üzemi pothoz iret hajtás eseté szóa jövő asziromotor fordlatszámo % üzemi szlip feltételezésével: 90, 55, 970, 78 /mi Midegyi fordlatszámhoz

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007)

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) A Fibonacci-sorozat általános tagjára vontozó éplet máséppen is levezethető A 149 Feladatbeli eljárás alalmas az x n+1 ax n + bx, n 1 másodrendű állandó együtthatós lineáris reurzióal adott sorozato n-edi

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009 Olimpii ször, Dobos Sádor 008/009 008 szeptember 9 Eze szörö Cev és Meelosz tételt eleveítettü fel, több gyorló feldttl, éháy lehetséges áltláosítássl További feldto: = 6 (=,, ) Htározzu meg z összes oly

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása Numerius módszere. Nemlieáris egyelee özelíő megoldása Egyelemegoldás iervallumelezéssel A Baach-ipo-ierációs módszer A Newo-módszer és válozaai Álaláosío Newo-módszer Egyelemegoldás iervallumelezéssel

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele soro. Bevezetés és defiíció Bevezetését próbálju meg az + + 4 + + +... végtele összege értelmet adi. Mivel végtele soszor em tudu összeadi, emiatt csa az első tagot adju össze: legye s = + +

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordiáció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

XL. Felvidéki Magyar Matematikaverseny Oláh György Emlékverseny Galánta 2016 Megoldások 1. évfolyam. + x = x x 12

XL. Felvidéki Magyar Matematikaverseny Oláh György Emlékverseny Galánta 2016 Megoldások 1. évfolyam. + x = x x 12 XL. Felvidéi Magyar Matematiaverseny Oláh György Emléverseny Galánta 016 Megoldáso 1. évfolyam 1. Oldju meg az egész számo halmazán az egyenletet. x 005 11 + x 004 1 = x 11 005 + x 1 004 Az egyenlet mindét

Részletesebben

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek? Fazakas Tüde, 05 ovember Emelt szitű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tüde; dátum: 05 ovember I rész feladat a) Egymillió forit összegű jelzálogkölcsöt veszük fel évre 5%-os

Részletesebben

6. Bizonyítási módszerek

6. Bizonyítási módszerek 6. Bizonyítási módszere I. Feladato. Egy 00 00 -as táblázat minden mezőjébe beírju az,, 3 számo valamelyiét és iszámítju soronént is, oszloponént is, és a ét átlóban is az ott lévő 00-00 szám öszszegét.

Részletesebben

Járatszerkesztési feladatok

Járatszerkesztési feladatok Járatszeresztési feladato 1 Járatszeresztési feladato DR. BENKŐJÁNOS Agrártudomáyi Egyetem GödöllőMezőgazdasági Géptai Itézet A járat alatt a logisztiába általába a járműve meghatározott több állomást

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

Diszkrét matematika I. középszint Alapfogalmakhoz tartozó feladatok kidolgozása

Diszkrét matematika I. középszint Alapfogalmakhoz tartozó feladatok kidolgozása Diszrét matematia I. özépszint Alapfogalmahoz tartozó feladato idolgozása A doumentum a övetező címen elérhető alapfogalmahoz tartozó példafeladato lehetséges megoldásait tartalmazza: http://compalg.inf.elte.hu/~merai/edu/dm1/alapfogalma.pdf

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 5. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 5. EMELT SZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 05. május 5. EMELT SZINT I. ) Oldja meg a valós számok halmazá az alábbi egyeleteket! a) si x cos x (6 pot) b) x x x (7 pot) a) cos x si x helyettesítése. Nullára redezve: si x si

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Útvonalak száma, rekurzív számlálással

Útvonalak száma, rekurzív számlálással Útvoala száma, reurzív számlálással Tuzso Zoltá, Széelyudvarhely Napjaiba is gyara találozhatu olya feladatoal, ahol azt ell megszámolu, hogy adott potból, vagy potoból iidulva, adott feltétele mellett

Részletesebben

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? 7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

IV. A matematikai logika elemei

IV. A matematikai logika elemei 4 A matematikai logika elemei IV A matematikai logika elemei IV Gyakorlatok és feladatok (87 oldal) Készítsd el az alábbi kijeletések logikai értéktáblázatát: a) ( p) ; b) p q ; c) p q ; d) p ( p q) ;

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy

Részletesebben

Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok

Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok Kiegészítő részelőadás. Algebrai és transzcendens számo, nevezetes onstanso Dr. Kallós Gábor 04 05 A valós számo ategorizálása Eml. (óori felismerés): nem minden szám írható fel törtszámént (racionálisént)

Részletesebben

A természetes számok halmaza (N)

A természetes számok halmaza (N) A természetes számo halmaza (N) A természetes számoat étféleéppe vezethetjü be: ) A Peao-féle axiómaredszerrel ) Evivalecia osztályo segítségével ) A természetes számo axiomatius értelmezése. A Peao-axiómá

Részletesebben

A matematika nyelvéről bevezetés

A matematika nyelvéről bevezetés A matematika nyelvéről bevezetés Wettl Ferenc 2006. szeptember 19. Wettl Ferenc () A matematika nyelvéről bevezetés 2006. szeptember 19. 1 / 17 Tartalom 1 Matematika Kijelentő mondatok Matematikai kijelentések

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek

Részletesebben

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros!

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros! Számelmélet - oszthatóság definíciója - oszthatósági szabályok - maradékos osztás - prímek definíciója - összetett szám definíciója - legnagyobb közös osztó definíciója - legnagyobb közös osztó meghatározása

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

II. FEJEZET SZÁMLÁLÁSI FELADATOK, A KOMBINATORIKA ELEMEI

II. FEJEZET SZÁMLÁLÁSI FELADATOK, A KOMBINATORIKA ELEMEI 44 Számlálási feladato, a ombiatoria elemei II FEJEZET SZÁMLÁLÁSI FELADATOK, A KOMBINATORIKA ELEMEI II Gyaorlato és feladato (4 oldal) Háy darab legfeljebb hatjegyű természetes szám létezi? megoldás Mide,

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2009/2010-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2009/2010-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 009/00-es tanév első (iskolai) forduló haladók II.

Részletesebben

Matematikai logika. 3. fejezet. Logikai m veletek, kvantorok 3-1

Matematikai logika. 3. fejezet. Logikai m veletek, kvantorok 3-1 3. fejezet Matematikai logika Logikai m veletek, kvantorok D 3.1 A P és Q elemi ítéletekre vonatkozó logikai alapm veleteket (konjunkció ( ), diszjunkció ( ), implikáció ( ), ekvivalencia ( ), negáció

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

Legfontosabb bizonyítandó tételek

Legfontosabb bizonyítandó tételek Legfontosabb bizonyítandó tétele 1. A binomiális tétel Tetszőleges éttagú ifejezés (binom) bármely nem negatív itevőj ű hatványa polinommá alaítható a övetez ő módon: Az nem más, mint egy olyan n tényezős

Részletesebben

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok Valós számok 5 I Valós számok I Természetes, egész és racioális számok I Feladatok (8 oldal) Fogalmazz meg és bizoyíts be egy-egy oszthatósági kritériumot a -vel, -mal, 5-tel, 7-tel, 9-cel, -gyel való

Részletesebben

A matematika nyelvér l bevezetés

A matematika nyelvér l bevezetés A matematika nyelvér l bevezetés Wettl Ferenc 2012-09-06 Wettl Ferenc () A matematika nyelvér l bevezetés 2012-09-06 1 / 19 Tartalom 1 Matematika Matematikai kijelentések 2 Logikai m veletek Állítások

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

Oszthatósági problémák

Oszthatósági problémák Oszthatósági problémák Érdekes kérdés, hogy egy adott számot el lehet-e osztani egy másik számmal (maradék nélkül). Ezek eldöntésére a matematika tanulmányok során néhány speciális esetre látunk is példát,

Részletesebben

A fogótétel alkalmazása sorozatok határértékének kiszámolására

A fogótétel alkalmazása sorozatok határértékének kiszámolására A fogótétel alalmazása sorozato határértéée iszámolására Tuzso Zoltá, Széelyudvarhely Mide izoyal ics más olya matematiai tétel amelye olya so megevezése lee, mit az úgyevezett fogótétele, amelye gyaori

Részletesebben

Véges matematika 1. feladatsor megoldások

Véges matematika 1. feladatsor megoldások Véges matematika 1 feladatsor megoldások 1 Háy olya hosszúságú kockadobás-sorozat va, melybe a csak 1-es és 2-es va; Egymástól függetleül döthetük a külöböző dobások eredméyéről, így a taultak szerit a

Részletesebben

IV. Sorozatok. Sorozatok bevezetése

IV. Sorozatok. Sorozatok bevezetése Sorozatok Sorozatok bevezetése 8 Az,,, számjegyek és tegelyes tükörképeik együtt alkotják a sorozat tagjait A folytatás lehetséges például az ábrá látható módoko Megjegyzés: A Hogya folytatható típusú

Részletesebben

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula. Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 7 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

A gyors Fourier-transzformáció (FFT)

A gyors Fourier-transzformáció (FFT) A gyors Fourier-transzformáció (FFT) Egy analóg jel spetrumát az esete döntő többségében számítástechniai eszözöel határozzu meg. A jelet mintavételezzü és elvégezzü a mintasorozat diszrét Fouriertranszformációját.

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

ö ű é é é é é é ü é é é é ű é é ü é é é é é ó ó é Í é í é é é é ó ö é ö ö ö ó é é í é é é é Ő é é é ü ü é é é ö ö ö é ü é é í é ó ü é é ü é ó é ó ó é

ö ű é é é é é é ü é é é é ű é é ü é é é é é ó ó é Í é í é é é é ó ö é ö ö ö ó é é í é é é é Ő é é é ü ü é é é ö ö ö é ü é é í é ó ü é é ü é ó é ó ó é ö é ü ö ö Ö ú é ü ü é é é ó é é é é é ó é é Ö ö é é ó é é ó é é í é é ö ó ó ó ö ö ü é é ü é í ü é ö í é é é é é ü é ó é ü ö í í ó í ü Í é é é ü é é é ü é é ü ö ö ó ó é é í é é é é é é é Ö í ó é í ö é é

Részletesebben

Í Á ő é é é é é ő é ő é ő é Í Á Ú Á Á é ő é ő é é é é é ű é é é é é é é é Á é é é é é ú ú é é é é é é é ú é é é é é é é é é é é ő é é é é é é é é ű é

Í Á ő é é é é é ő é ő é ő é Í Á Ú Á Á é ő é ő é é é é é ű é é é é é é é é Á é é é é é ú ú é é é é é é é ú é é é é é é é é é é é ő é é é é é é é é ű é é é é Í Ó é é ü ő é é é ű ő ő ű é ő Í Ó ő ü é ő é ü é ő é é é é é é ú é ú Í Á é é é é é ű é é é é é é ú é ő é é é é ú é é é é é é é é é é é é é ő é é ő Í Á ő é é é é é ő é ő é ő é Í Á Ú Á Á é ő é ő é é

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I jún. 11.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I jún. 11. Matematia szigorlat, Mérnö informatius sza I. 007. jún. 11. Megoldóulcs 1. Adott az f(x) = (x ) függvény. (a) Végezzen teljes függvényvizsgálatot! D f = R \ {} 13 zérushely: x = y-tengelyen a metszet:

Részletesebben

A teveszabály és alkalmazásai

A teveszabály és alkalmazásai A teveszabály és alalmazásai Tuzso Zoltá, Széelyudvarhely Godolá-e valai, hogy a matematiáa lehete-e valami öze a tevéhez? Ha em aor a továbbiaba meggyzzü errl, mégpedig arról, hogy a matematiába ige is

Részletesebben

Oszthatóság. Oszthatóság definíciója (az egészek illetve a természetes számok halmazán):

Oszthatóság. Oszthatóság definíciója (az egészek illetve a természetes számok halmazán): Oszthatóság Oszthatóság definíciója (az egészek illetve a természetes számok halmazán): Azt mondjuk, hogy az a osztója b-nek (jel: a b), ha van olyan c egész, amelyre ac = b. A témakörben a betűk egész

Részletesebben