25. Matematikai logika, bizonyítási módszerek

Átírás

1 5. Matematiai logia, bizoyítási módszere I. Elméleti összefoglaló Logiai művelete A matematiai logia állításoal foglalozi. Az állítás (vagy ijeletés) olya ijelető modat, amelyről egyértelműe eldöthető, hogy igaz (I) vagy hamis (H), ezt az állítás logiai értéée evezzü. Az állításoat általába lati agybetűel jelöljü, például A: Ma délutá moziba megye., illetve B: Holap irádulo. Egy vagy több állításból logiai művelete felhaszálásával újabb állításoat hozhatu létre. A művelet lehet egyváltozós (tagadás) vagy étváltozós (és, vagy, ha-aor, aor és csa aor). Egyváltozós logiai művelet: em (egáció, tagadás): az A állítás tagadása potosa aor igaz, ha A hamis. Jele: Kétváltozós logiai művelete: A. és (ojució): az A és B állítás potosa aor igaz, ha az A és a B állítás is igaz. Jele: A B. A özyelvbe a vagy ötőszót többféle jeletésbe haszálju attól függőe, hogy megegedjü-e midét feltétel együttes teljesülését vagy sem. Például a Holap vagy holaputá stradoli megye. állítást aor is igaza fogadju el, ha midét említett apo stradolo, viszot a Ma este 7 órára szíházba vagy moziba megye. állítás midét fele egyszerre em teljesülhet, ezért ez csa úgy lehet igaz, ha potosa az egyi része teljesül. (Ezt jelezhetjü a övetező megfogalmazással is: Ma este 7 órára vagy szíházba, vagy moziba megye. ) A ét eset megülöböztetésére a matematiába étféle vagy -ot haszálu: az előbbi példa esetébe megegedőt, az utóbbi esetébe izárót. Ha ezt a ülöbséget a özyelvbe is hagsúlyozi aarju, aor megtehetjü, hogy a megegedő vagy esetébe egy vagy ötőszót, a izáró vagy esetébe páros vagy-vagy ötőszót haszálu, de a mideapi élőbeszédbe eze jeletése em midig egyértelmű. megegedő vagy (diszjució), a özyelvbe vagy : az A vagy B állítás potosa aor igaz, ha az A és a B állítás özül legalább az egyi igaz. Jele: A B. Ha egy matematiai szövegbe vagy szerepel, azt általába megegedő vagy -ét szotu értelmezi. izáró vagy (ativalecia): az A izáró vagy B (a özyelvbe esetleg: vagy A, vagy B ) állítás potosa aor igaz, ha az A és a B állítás özül potosa az egyi igaz (tehát midettő em). Jele: AÅ B (esetleg AD B). ha-aor (impliáció): a ha A, aor B állítás potosa aor igaz, ha az A és a B állítás is igaz, illetve ha az A állítás hamis és a B állítás tetszőleges. (Máséppe: a ha A, aor B állítás potosa aor hamis, ha az A állítás igaz és a B állítás hamis.) Jele: A B (esetleg A B). aor és csa aor (evivalecia): a ha A, aor és csa aor B állítás potosa aor igaz, ha az A és a B állítás özül egyszerre vagy midettő igaz, vagy midettő hamis. (Más-

2 éppe: a ha A, aor és csa aor B állítás potosa aor igaz, ha A B és B A.) Jele: A B (esetleg A«B). A műveleteet logiai értétáblázat segítségével is defiiálhatju, amelybe felsorolju, hogy az alapállítás(o) egyes logiai értéeihez a művelet milye logiai értéet redel. Egy -változós művelet esetébe a logiai értétáblázata sora va, hisze mide változó étféle értéet vehet fel. A hosszabb, összetettebb ifejezéseet a gyaorlatba több lépésbe (oszlopba) szotu iértéeli, ahol a teljes ifejezés értééhez általába az utolsó oszlopba jutu el, eor az eredeti ifejezés értétáblázatáa a táblázat eze utolsó oszlopát teitjü. Az egyváltozós logiai művelet értétáblázata: A I H A H I A étváltozós logiai művelete értétáblázatai: A B A B A B AÅ B A B A B I I I I H I I I H H I I H H H I H I I I H H H H H H I I Az értétáblázat segítségével boyolultabb ifejezéseet is iértéelhetü, illetve egyszerűbb alara hozhatu. Például az evivalecia és az impliáció apcsolatát ifejezhetjü a övetezőéppe: A B= ( A B) ( B A). A egáció, a ojució és a diszjució özött feálla a De Morga-azoosságo: ( A B) = A B, illetve ( ) Tetszőleges A állításra feálla még a övetező azoosságo: ( A) = A, A A értée midig hamis, A A értée midig igaz. A halmazművelete és a logiai művelete apcsolata A B = A B. Teitsü az összes állítás halmazát mit alaphalmazt ( H ). Eor mide A állítás megfeleltethető a H halmaz azo H részhalmazáa, amelybe azo az állításo tartoza, amelye igazsága eseté az A A állítás igaz. (Például az A: A családuba legfeljebb gyere va. állítás eseté a övetező ijeletése mid elemei a H A részhalmaza: A családuba potosa gyere va., A családuba potosa gyere va., A családuba potosa ét fiúgyerme va és láygyerme icse. stb.)

3 Eze az alaphalmazo a orábba felsorolt logiai művelete a övetezőbe felsorolt halmazműveletee feleltethető meg (az ábráo szíezéssel jelezzü azoat a részhalmazoat, amelye eseté a művelet logiai értée igaz). A tagadás a omplemeterépzése: A -a megfelel a H A halmaz H-ra vett omplemetere ( H ). A Az és a metszetépzése: A B-e megfelel a H A és a H Ç H ). ( A B H B halmazo metszete A megegedő vagy az uióépzése: A B-e megfelel a H A és a H È H ). ( A B H B halmazo uiója 3

4 A izáró vagy a szimmetrius differeciáa: AÅ B -e megfelel a H A és a H B halmazo szimmetrius differeciája ( H AD H B, azaz a csa A-ba, illetve a csa B-be tartozó eleme uiója). Megjegyzés: Ha speciálisa az A állítás éppe azt modja, hogy egy x szám eleme egy P halmaza, a B állítás pedig azt modja, hogy ugyaazo x szám eleme egy Q halmaza, aor özvetleül is megapju az előzőebe ábrázolt omplemeter, metszet, uió és szimmetrius differecia halmazműveleteet (hisze például A B azt modja, hogy az x szám eleme a P és a Q halmazo metszetée). A femaradó ét logiai művelet özvetleül em feleltethető meg halmazműveletee, azoba jeletésüet a halmazelmélet fogalmaival (részhalmaz, egyelőség) is szemléltethetjü: H B hal- A ha-aor a tartalmazás megfelelője: A B eseté a H A halmaz részhalmaza a maza ( H A Í H B). Az aor és csa aor a ét halmaz egyelőségée megfelelője: A B eseté a H A és a H B halmazo megegyeze ( H A H B = ). 4

5 Szüséges és elégséges feltétel A ha-aor formába megfogalmazott A B állításo esetébe A-t feltétele (premissza), B-t övetezméye (olúzió) is evezzü. Defiíció: Ha A B, vagyis az A állítás teljesülése eseté biztosa teljesül a B is, aor azt modju, hogy az A állítás a B állítása elégséges feltétele. (Eor ugyais B igazságáa bizoyításához elég A-t igazoli.) Például: A: Az szám 6-ra végződi. és B: Az szám páros. Eor A B, hisze ha egy szám 6-ra végződi, aor biztosa páros. Viszot a B állítás úgy is lehet igaz, ha A em teljesül, hisze em csa a 6-ra végződő számo párosa. Tehát a 6-ra végződés egy szám párosságáa elégséges, de em szüséges feltétele. Defiíció: Ha A B, vagyis az A állítás teljesülése eseté biztosa teljesül a B is, aor azt modju, hogy a B állítás az A állítása szüséges feltétele. (Eor ugyais ha A igaz, aor szüségéppe B is, máséppe fogalmazva A em lehet igaz B teljesülése élül.) Például: A: Az ABCD égyszög égyzet. és B: Az ABCD égyszög mide szöge derészög.. Eor A B, hisze ha egy égyszög égyzet, aor mide szöge derészög (vagyis téglalap). Ahhoz, hogy egy égyszög égyzet legye, szüséges, hogy mide szöge derészög legye. Viszot abból még, hogy egy égyszög mide szöge derészög, em övetezi, hogy égyzet. Tehát az, hogy egy égyszög mide szöge derészög, szüséges, de em elégséges feltétele aa, hogy a égyszög égyzet legye. Bizoyításoba felhaszálhatju egy állítás hamisságáa igazolására egy szüséges feltétel hiáyát. Ha ugyais A B és B em teljesül, aor A sem teljesülhet, hisze így B-e igaza ellee leie, így elletmodásra jutá (lásd ésőbb az idiret bizoyítást). Például: A: Az szám égyzetszám. és B: Az szám 0-ra, -re, 4-re, 5-re, 6-ra vagy 9-re végződi. Eor A B, hisze a égyzetszámo utolsó számjegye csa 0,, 4, 5, 6 vagy 9 lehet (szüséges, de em elégséges feltétel). Ha tehát például egy szám 7-re végződi, aor biztosa em lehet égyzetszám (a szüséges feltétel em teljesül). Megjegyzés: Természetese, ha A elégséges feltétele B-e, aor B szüséges feltétele A-a. Így az eddigi példá meg is fordíthatóa, például az első esetbe: A 6-ra végződés egy szám párosságáa elégséges (de em szüséges) feltétele. Megfordítva: Egy szám párossága a szám 6-ra végződésée szüséges (de em elégséges) feltétele. Megjegyzés: Ha egy B állítása A elégséges, C pedig szüséges feltétele (azaz A B C), aor az előző oldala halmazelméleti jelöléseivel ezt a H A ÍHB Í HC módo szemléltethetjü. Például: A: Az szám ét 0-ra végződi., B: Az szám 0-szal osztható. és C: Az szám páros. 5

6 Defiíció: Ha A B és B A (vagyis A B), aor azt modju, hogy az A állítás a B állítása szüséges és elégséges feltétele. Például: A: Az x szám osztható 6-tal. és B: Az x szám páros és osztható 3-mal. Eor A B, tehát a 6-tal oszthatósága szüséges és elégséges feltétele a párosság és a 3-mal oszthatóság együttes teljesülése. Megjegyzés: Természetese, ha A szüséges és elégséges feltétele B-e, aor B is szüséges és elégséges feltétele A-a. Állításo tagadása Egy A állítás tagadását ( A ) a legegyszerűbbe a em tagadószóval fogalmazhatju meg. Például A: Ma hétfő va. eseté A: Ma em hétfő va., esetleg A: Nem igaz, hogy ma hétfő va. Elviebe ez a módszer boyolultabb állításora is alalmazható, például B: Ha esi az eső és ics álam eseryő, aor em megye i az utcára vagy esőabátot vesze. tagadása is megfogalmazható B : Nem igaz, hogy ha esi az eső és ics álam eseryő, aor em megye i az utcára vagy esőabátot vesze. formába. Ezt azoba yelvileg ehezebb értelmezi, így az egyes (étváltozós) logiai művelete tagadásait ülö-ülö is megadju, továbbá a feladatoba is erüljü a em igaz, hogy ifejezéssel törtéő tagadást. Két és -sel összeötött állítás tagadásaor az állításo tagadásait vagy -gyal ötjü össze: A B tagadása A B. Például: Vettem tejet és ölcsöértem a szomszéd bicilijét. tagadása Nem vettem tejet vagy em értem ölcsö a szomszéd bicilijét. Két vagy -gyal összeötött állítás tagadásaor az állításo tagadásait és -sel ötjü össze: A B tagadása A B. Például: Születésapomo elmegyü ciruszba vagy megézü egy filmet. tagadása Születésapomo em megyü el ciruszba és em ézü meg egy filmet. (esetleg Születésapomo se ciruszba em megyü el, se filmet em ézü. ) Két izáró vagy -gyal összeötött állítás tagadásaor az állításoat (vagy az állításo tagadásait) aor és csa aor -ral ötjü össze: AÅ B tagadása A B (ami ugyaazt jeleti, mit A B). Például: Idé vagy a tegerparto, vagy a hegye özött yaralu. tagadása Idé aor és csa aor yaralu a tegerparto, ha a hegye özött is. (esetleg Idé aor és csa aor em yaralu a tegerparto, ha a hegye özött sem. ) Két aor és csa aor -ral összeötött állítás tagadásaor az állításoat (vagy az állításo tagadásait) izáró vagy -gyal ötjü össze: A B tagadása AÅ B (ami ugyaazt jeleti, mit AÅ B). Például: Aor és csa aor vesze új autót, ha ötösöm lesz a lottó. tagadása Vagy új autót vesze, vagy ötösöm lesz a lottó. (esetleg: Vagy em vesze új autót, vagy em lesz ötösöm a lottó. ) Az eddigieből megfigyelhetjü, hogy az és vagy, illetve a izáró vagy aor és csa aor művelete egymás fordítottjai, tagadásor felcserélőde. Midez abból is igazolható, hogy A B és A B logiai értétáblázatába a ét oszlop éppe egymás elletettje, illetve A B és A B esetébe szitúgy. A mási esetbe AÅ B és A B értétáblázata szité egymás elletettje, de mivel A B és A B értétáblázata megegyezi (sőt, AÅ B és AÅ B értétáblázata is), ezért AÅ B -t tagadhatju A B és A B formába is (illetve A B-t 6

7 tagadhatju AÅ B és AÅ B formába is). Sőt, AÅ B-t tagadhatju AÅ B és AÅ B, illetve A B-t tagadhatju A B és A B formába is. Hátra va még a ha-aor -ral összeötött állításo tagadása, amely az előzőeél valamivel boyolultabb. Mivel A B potosa aor hamis, ha A igaz és B hamis, ezért A B tagadása potosa aor lesz igaz, ha A igaz és B hamis, vagyis A B igaz: Két ha-aor -ral összeötött állítás tagadásaor az első állítást és a másodi állítás tagadását és -sel ötjü össze: A B tagadása A B. Például: Ha hétfő va, aor (midig) elmegye a fogorvoshoz. tagadása (Va olya eset, hogy) hétfő va és em megye el a fogorvoshoz. Az A B típusú állításoat gyara em ha-aor formulával, haem a mide szóval fogalmazzu meg. Az előző példába szereplő Ha hétfő va, aor midig elmegye a fogorvoshoz. modatot úgy is modhatju, hogy Mide hétfő elmegye a fogorvoshoz.. Tagadását eor a va olya szóapcsolattal is megfogalmazhatju: Va olya hétfő, amior em megye el a fogorvoshoz. Haszálatosa a mide szóra a ", a va olya ifejezésre a $ jelölése is. Eor például az A: Hétfő va. és B: Elmegye a fogorvoshoz. állításo esetébe a Mide hétfő elmegye a fogorvoshoz. állítás leírható " A: B (esetleg " A B ) alaba, míg a Va olya hétfő, amior em megye el a fogorvoshoz. állítás leírható $ A: B (esetleg $ A B) alaba. Egy mide A-ra igaz B is alaú állítás (amely ugyaazt jeleti, mit A B) tagadása a va olya A, amelyre em igaz B állítás: " A: B (vagy " A B) tagadása $ A: B (vagy $ A B). Például: Mide ap taarítai ell. tagadása Va olya ap, amior em ell taarítai. Egy va olya A, amelyre igaz B is alaú állítás tagadása a mide A-ra em igaz B (vagy: egyi A-ra sem igaz B ) állítás: $ A: B (vagy $ A B) tagadása " A: B (vagy " A B). Például: Va olya ap, amior taarítai ell. tagadása Mide ap em ell taarítai., esetleg Egyi ap sem ell taarítai. Megjegyzés: A feti ét esetbe az A-val jelölt szövegrész (pl. ap ) szigorúa véve em állítás, hisze ics öálló logiai értée. Nyelvtailag mide ilye esetbe átfogalmazhatá a modatot úgy, hogy A is megfelelje az állítás defiíciójáa (pl. Ha ma egy tetszőleges ap va, aor taarítai ell. ), ettől azoba a továbbiaba elteitü. Megjegyzés: A va olya A, amelyre igaz B is alaú állítást elvileg tagadhatá ics olya A, amelyre igaz B is alaba is, ezt azoba hasolóa a em igaz, hogy ifejezéshez a feladatoba erüljü, tudatosa töreedve arra, hogy tagadásor a mide és a va olya ifejezése egymás párjai legyee. Állításo megfordítása Defiíció: Egy A B típusú állítás megfordításá a B A állítást (vagyis a feltétel és a övetezméy megcserélését) értjü. Például: A Pitagorasz-tétel megfogalmazható A B alaba. Legye A: A háromszög derészögű. és B: A háromszögbe a ét rövidebb oldalt a-val és b-vel, a leghosszabb oldalt c-vel jelölve teljesül az a b = c összefüggés. Eor a tétel így szól: Ha egy háromszög derészögű, aor a három- 7

8 szögbe a ét rövidebb oldalt a-val és b-vel, a leghosszabb oldalt c-vel jelölve teljesül az a b = c összefüggés. A Pitagorasz-tétel megfordítása ( B A): Ha egy háromszögbe a ét rövidebb oldalt a-val és b-vel, a leghosszabb oldalt c-vel jelölve teljesül az a b = c összefüggés, aor a háromszög derészögű. A Pitagorasz-tétel és a megfordítása is igaz állítás. Egy igaz állítás megfordítása em feltétleül igaz. Például a Ha egy szám osztható 0-zel, aor páros. állítás igaz, de megfordítása, a Ha egy szám páros, aor osztható 0-zel. állítás hamis. Ha egy A B típusú állítás és megfordítása is igaz, aor A B. Evivales öveteztetése Egyelete megoldásaor fotos, hogy lehetőleg mide lépésü evivales átalaítás legye. Például az A: x 4= 8 és a B: x = 9 állításo (amelye az egyeletmegoldásba egymás utá övetezhete) evivalese ( A B), így az A állítás helyett elegedő a B állítást vizsgálu, ez a végeredméye em változtat. (Két egyeletet aor modu evivalese, ha megoldáshalmazai megegyeze, vagyis bármely számra az vagy midét egyeletet teljesíti, vagy egyiet sem.) Előfordulhat, hogy em evivales átalaítást hajtu végre egy egyelete. Ha például A: x = 3 és B: x = 9, aor A B igaz, de B A em (és így A B sem). A ét állítás sorredjétől függőe étféle probléma lép fel az egyeletmegoldásba: Ha x = 3 -ból öveteztetü = ), aor hamis gyööt apu (hisze 3 ( x 9) ( x 3) 9 x = -re (amelye megoldásai x, 3 x ¹- ). Itt maga az ( x 3) ( x 9) = = impliáció helyes volt, azoba = = már em igaz, ezért aptu a helyes megoldás mellett helytelet is. Ez a módszer midig megadja a helyes megoldás(oa)t, de midig szüség va az elleőrzésre, amely izárja a hamis gyöö(e)t. Ilye lépése többe özött a égyzetre emelés és az isme- x 6 x 36 x = 6 x = 6x. retleel való szorzás, például ( = ) ( = ) és ( ) ( ) Ha x = 9 -ből öveteztetü x = 3 -re, aor bár jó megoldást apu, gyövesztés lép fel, ugyais az 3 x = 9 x= 3 impliáció sem x =- megoldást elveszítjü. Itt már maga az ( ) ( ) helyes (aa elleére, hogy 3 mide olya esetbe, amior x = jó megoldás), hisze ( x 9) ( x 3) x = 9, igaz, hogy x = 3 = = azt modja, hogy, ez viszot hamis állítás. (Logiai- lag éppe ayira hamis, mit ha x = 9 -ből x = 4 -re övetezteté.) Ez a módszer azért erüledő, mert gyövesztés eseté a ésőbbiebe em találju már meg a hiáyzó megoldás(oa)t. Ilye lépése többe özött a gyövoás és az ismeretleel való osztás. Elerülé- x = 9 x= 3 hibás lépés helyett a süre a gyövoásál abszolútértéet haszálu: az ( ) ( ) helyes öveteztetés ( x 9) ( x 3) = =, az ismeretleel való osztás helyett pedig 0-ra redezü: ( x 3 x ) ( x ) Bizoyítási módszere = = helyett az 3 x - x = 0 egyeletet alaítju szorzattá. Diret bizoyítás: a bizoyítás sorá igaz állításoból iidulva (például axiómából azaz bizoyítás élül elfogadott alaptételeből, defiícióból és már bizoyított tételeből), logiai öveteztetéseel jutu el a bizoyítadó állításig. A legtöbb matematiai tételt diret úto bizoyítju. 8

9 Például: Tétel: Egy páratla szám égyzete 4-gyel osztva maradéot ad. Bizoyítás: Legye egy páratla szám. Eor, = 4 4 = = Î ( ) = A, ahol A= 4 ( ) és A osztható 4-gyel 4-gyel osztva maradéot ad. Az impliáció műveletét haszálva, igaz állításoból igaz állításora öveteztetve eljutottu a bizoyítadó állításig. Idiret bizoyítás: a bizoyítadó állítás tagadásából iidulva (idiret feltevés), logiai öveteztetéseel elletmodásra jutu. (Ez az elletmodás lehet egy tetszőleges ismert igaz állítás hamissága vagy az idiret feltevés hamissága is.) Így a bizoyítadó állítás em lehet hamis, szüségéppe tehát igaz lesz. Például: Tétel: Végtele so prímszám va. Bizoyítás: Tegyü fel, hogy az állítás hamis, vagyis csa véges so prímszám va. Az öszszes prím a övetező: p, p,..., p, ahol Î. Ötlet: teitsü az N = p... p p számot. N em prím (mert agyobb p, p,..., p midegyiéél), és -él agyobb. N öszszetett szám. N-e va legalább egy p prímosztója. De N em osztható a p, p,..., p prímszámo egyiével sem (mert midegyiel osztva maradéot ad). p egy olya prím, amely ülöbözi p, p,..., p midegyiétől. Elletmodás, hisze feltevésü szerit az összes prím p, p,..., p. Legye A: Végtele so prímszám va. A bizoyításba az impliáció műveletét haszálva, a A feltételből iidulva a öveteztetése elletmodásra vezette (ha B: Az összes prímszám p, p,..., p., aor a B B állításhoz jutottu, amely biztosa hamis). Tehát A em lehet igaz, szüségéppe A igaz. Teljes idució: Végtele so állítást (pl. A, A,...) aaru egyszerre bebizoyítai, amelye valamilye változótól függe (általába az A állításba szerepel, például A : Az első pozitív egész ( ) szám összege ). Ezt ét lépésbe tesszü: először megmutatju, hogy az első állítás (általába A ) igaz, utáa pedig igazolju, hogy ha valamilye -ra az A állítás igaz (iduciós feltevés), aor a soro övetező A állítás is igaz. Vagyis A igazságából és az A A öveteztetés helyességéből az A A A3... impliáció-sorozattal az összes állítást beláttu. Megjegyzés: A teljes idució ahhoz hasolítható, amior végtele so, egymás melletti domiót aaru fellöi. Ee teljesüléséhez ét dolog szüséges: egyrészt meg ell löü az első domiót, másrészt tudu ell, hogy bármely domió eldőlése maga utá voja a övetező domió eldőlését is. Megjegyzés: Bizoyos feladatoba az iduciós feltevésél em csa azt tételezzü fel, hogy valamilye -ra az A állítás igaz, haem azt is, hogy az A, A,..., A állításo mid igaza (vagyis az első domió midegyie eldőlt már). Például: Tétel ( A ): Az első pozitív egész szám összege ( ). 9

10 Bizoyítás: Az állítás igaz = -re, ugyais A : Az első pozitív egész szám összege = igaz állítás. Tegyü fel most, hogy az A állítás igaz valamilye pozitív egész -ra, tehát ( )... = (ezt evezzü iduciós feltevése), majd (ee felhaszálásával) ( ) ( ) lássu be A -et, vagyis hogy... =. Az ( ) ( ) ( ) iduciós feltevés ( ) ( ) ( )... =... = ( ) = átalaítással az egyelőséglác ét végé megaptu a bizoyítadó A állítást, ezzel A -et beláttu. Tehát A igazságából és a lácreacióból adódi, hogy mide pozitív egész -re A is igaz. Satulya-elv: Ez a bizoyítási módszer azt a téyt haszálja i, hogy ha satulyába -él több tárgyat szétosztu, aor valamelyi satulyába legalább tárgy erül. Továbbá, ha satulyába - él több tárgyat szétosztu, aor valamelyi satulyába legalább tárgy erül. Például: Tétel: 3 egész szám özött biztos va 4 olya, amelyi ugyaolya jegyre végződi. Bizoyítás: Az utolsó számjegy = 0 -féle lehet, a satulya-elvet alalmazhatju = 3 -ra, így mivel 3> 3 0, ezért a 0 satulya valamelyiébe biztosa legalább 4 szám erül. (Ha mide satulyába csa legfeljebb 3-3 szám erüle, aor összese legfeljebb 3 0 = 30 számu lehete, ami elletmod aa, hogy 3 számu va. Az utolsó godolatba idiret bizoyítást haszáltu.) II. Kidolgozott feladato. Írju fel miél rövidebb formulával az ( A B) ( A B) ifejezést! I. Megoldás: Készítsü el a ifejezés logiai értétáblázatát! A táblázat oszlopaiba először az első zárójel, majd a másodi zárójel, végül az utolsó oszlopba e ét ifejezés és -sel összeapcsolásáa iértéelése látható (ez utóbbi megegyezi a teljes ifejezés értéével): A B A B A B ( A B) ( A B) I I I I I I H H I H H I I H H H H I I I A táblázatból iolvasható, hogy a ifejezés értée potosa aor igaz, ha A és B logiai értée megegyezi. Tehát a ifejezés rövidebb formulával A B alaba írható fel. Természetese más alao is megadható (például ( A B) ( A B) ), de az előbb megadott a legrövidebb. II. Megoldás: Értétáblázat élül is lerövidíthetjü a formulát. A ifejezés potosa aor igaz, ha A igazsága maga utá voja B igazságát, A hamissága pedig B hamisságát. (Ha A igaz, aor 0

11 az első zárójel miatt B-e is igaza ell leie, ha pedig A hamis, aor a másodi zárójel miatt B-e is hamisa ell leie.) Így a eresett rövidebb formula: A B.. Készítsü el a övetező ifejezése logiai értétáblázatát! a) ( A B) B b) ( A B) ( AÅ A) c) ( A B) ( B C) Megoldás: Az első ét ifejezés étváltozós, így táblázataiba 4 esetet ell vizsgáli a változó lehetséges értéeie megfelelőe. A harmadi ifejezés háromváltozós, így abba = 8 lehetséges esetet ell megvizsgálu (eyi sora lesz a táblázata). Midhárom esetbe először a zárójel(e)be álló ifejezés(ee)t értéeljü i, majd a özöttü lévő műveletet. a) A B A B ( ) A B B I I I I I H H I H I I I H H I H Megjegyzés: A táblázatból iolvasható, hogy A B= A B. b) A B A B A A Å ( A B) ( AÅ A) I I I I I I H H I H H I H I H H H H I H Megjegyzés: A táblázatból iolvasható, hogy AÅ A értée midig igaz, így a vizsgált ifejezés értée megegyezi A B értéével, hisze a midig igaz állítást I-vel jelölve tetszőleges C állítás eseté C I = C. c) A B C A B B C ( A B) ( B C) I I I I I I I I H I I I I H I H I H I H H H H I H I I I I I H I H I I I H H I I I I H H H I H H

12 3. Írju fel olya ifejezéseet, amelye logiai értétáblázata a övetező: A B a ifejezés értée I I I I H I H I H H H I I. Megoldás: Az egyi lehetőség, hogy felsorolju midazo eseteet, amior a ifejezés igaz, majd ezeet vagy -gyal apcsolju össze: ( A B) ( A B) ( A B). II. Megoldás: Az alapművelete özül a vagy értée három esetbe igaz, egyszer hamis. A vagy aor hamis, ha midét változója hamis. Ahhoz, hogy hamis A és igaz B eseté ét hamis ifejezést apcsolju össze, B helyett B -t ell teiteü, így ebbe az esetbe a lehetséges megoldás: A B. III. Megoldás: Az alapművelete özül az és értée három esetbe hamis, egy esetbe igaz. Ee tagadása három esetbe lesz igaz, egy esetbe hamis. Így a övetező ifejezés is jó meg- A B. oldás: ( ) IV. Megoldás: Az alapművelete özül a ha-aor értée három esetbe igaz, egyszer hamis. A ha-aor aor hamis, ha az első változója igaz, a másodi hamis. Így a övetező ifejezése is jó megoldáso: A B, illetve B A. Természetese számos további megoldást is előállíthatu. 4. Legye A: Az szám osztható 4-gyel. Adju meg az A állítás a) egy szüséges, de em elégséges feltételét! b) egy elégséges, de em szüséges feltételét! c) egy szüséges és elégséges feltételét! Megoldás: a) Jó megoldás mide olya állítás, amely övetezi A-ból, de amelyből em övetezi A. Ilyee például: Az szám osztható -vel., Az szám osztható 3-mal., és így tovább (a 4 összes valódi osztóját behelyettesíthetjü a modatba), vagy például Az szám osztható 4-gyel és 6-tal. (ez utóbbi valóba em elégséges, hisze például a -re is teljesül). b) Jó megoldás mide olya állítás, amelyből övetezi A, de amely em övetezi A-ból. Ilyee például: Az szám osztható 48-cal., Az szám osztható 400-zal., Az szám értée 7., és így tovább. c) Jó megoldás mide olya állítás, amely evivales A-val. Ilyee például: Az szám osztható 3-mal és 8-cal., Az szám felírható 4 alaba, ahol egész szám.. Sőt, valójába jó megoldás maga az A állítás is, hisze mide állítás evivales saját magával.

13 5. Botsu fel a övetező állításoat egyszerű ijeletésere, és írju fel logiai műveleteel az összetett ijeletéseet! Ezt övetőe fogalmazzu meg az állításo tagadását! a) Mide égyszöge va beírt öre. b) Va olya autó, amelyie lejárt a zöldártyája és ics érvéyes műszai vizsgája sem. c) Egyi laásba sics sem radiátor, sem ályha. d) Ha éhes vagyo, lemegye a büfébe. e) Mide isolába va olya osztály, ahol midei itűő. f) Aor és csa aor vesze fel reggel é szoyát, ha azap szíházba vagy az Operába megye. Megoldás: a) Az A: (A soszög egy) égyszög. és B: (A soszöge) va beírt öre. jelöléseel az állítás " A B alaba írható. Ee tagadása $ A: B, azaz: Va olya égyszög, amelye ics beírt öre. az állítás $ ( ) alaba írható. Ee tagadása ( ) b) Az A: autó, B: lejárt a zöldártyája és C: ics érvéyes műszai vizsgája jelöléseel A: B C " A B C, amely a De Morgaazoosság alapjá " A ( B C) alara hozható, azaz: Mide autóa em járt le a zöldártyája vagy va érvéyes műszai vizsgája. Nyelvileg szebbe hagzi a övetező (logiailag evivales) megfogalmazás: Mide autóa érvéyes a zöldártyája és a műszai vizsgája özül legalább az egyi. c) Az A: laás, B: va radiátor és C: va ályha jelöléseel, továbbá az egyi laásba sics = mide laásba ics átfogalmazással az állítás " A ( B C) alaba írható. Ee tagadása $ A: ( B C), átalaítva $ A: ( B C), azaz: Va olya laás, amelybe va radiátor vagy ályha. d) Az A: éhes vagyo és B: lemegye a büfébe jelöléseel az állítás A B alaba írható. Ee tagadása A B, azaz: (Va olya alalom, hogy) éhes vagyo és em megye le a büfébe. (Az eredeti állítást úgy is fogalmazhattu vola, hogy Mide alalommal, amior éhes vagyo, lemegye a büfébe. ) e) Az A: isola, B: osztály és C: itűő jelöléseel az állítás A ( B: C) írható. Ee tagadása A: ( B: C) utá A: B ( C) " $ " alaba $ $ ", ami a zárójeles ifejezés tagadásáa behelyettesítése $ " $ alara hozható, azaz: Va olya isola, ahol mide osztályba va olya, ai em itűő. (esetleg: Va olya isola, ahol mide osztályba va em itűő. ) f) Az A: (ma) reggel é szoyát vesze fel, B: (ma) szíházba megye és C: (ma) az Operába megye jelöléseel az állítás A ( B C) alaba írható. (A szíházba vagy az Operába megye logiailag megegedi, hogy aár midét helyre meje egymás utá, bár ez em valószíű.) Ee tagadása AÅ( B C), azaz: Vagy reggel é szoyát vesze fel, vagy azap 3

14 szíházba vagy az Operába megye. Ee a megoldása hátráya, hogy a formulába szereplő zárójel em látszi bee, így formailag csa a modatba szereplő vessző mutatja, hogy em három egyeértéű vagy áll a modatba. Élőszóba midez hagsúlyozással jelezhető (például a izáró vagy -hoz tartozó ét vagy -ot jobba megyomju, esetleg a vesszőél agyobb szüetet tartu), írásba talá szerecsésebb a övetező átfogalmazás: Vagy reggel é szoyát vesze fel, vagy azap elmegye szíházba, esetleg az Operába. De megfogalmazhatju a tagadást A ( B C) formába is, azaz: Aor és csa aor em vesze fel reggel é szoyát, ha azap szíházba vagy az Operába megye. 6. Fogalmazzu meg a övetező állítás megfordítását: Ha egy húrégyszöge va derészöge, aor téglalap. Igaz-e az állítás, illetve a megfordítása? Megoldás: Az állítás megfordítása: Ha egy húrégyszög téglalap, aor va derészöge. Fotos észreveü, hogy a húrégyszög ijeletés em része a feltétele, az mideéppe a modat elejé marad (mit a modat alaya). Formalizálva: az A: a húrégyszöge va derészöge és B: a húrégyszög téglalap jelöléseel az eredeti állítás A B, a megfordítása B A formába írható. Az eredeti állítás hamis (egy lehetséges ellepélda az a égyszög, amelye szögei az egyi örüljárás szerit: 90, 60, 90 és 0, ez a égyszög a húrégyszöge tételée megfordítása miatt húrégyszög, de em téglalap vagy általáosabb ellepélda egy olya égyszög, amelye egyi átlója a örülírt ör átmérője, a mási viszot em). Az állítás megfordítása igaz, hisze egy tetszőleges téglalapa va derészöge. 7. Az alábbi állításo özül háy lehet egyszerre igaz ugyaazo valós számra voatozóa? A: ³ 3 B: = 4 C: D: = E: = 6 3 = 4 F: lg( ) = lg( 6) I. Megoldás: Ábrázolju az állításo logiai apcsolatát, jelezve az egymásból övetező, illetve az evivales állításoat! A B és C állításo evivalese, továbbá D-ből övetezi B (és eor yilvá C is), de B-ből em övetezi D (az ellepélda =- 4 ). A D állítás evivales az = 4 állítással, amelyből övetezi E, a megfordítás viszot em (az ellepélda = 0 ). Eddig tehát az állításo apcsolatát a övetezőéppe szemléltethetjü: E D ( B C). 3 Az F egyeletbe a logaritmust elhagyva = 6-et apu, azoba a logaritmus értelmezési tartomáya miatt > 0, eor -el oszthatu, így az = 6 állítást apju, de > 0 miatt az egyelet egyedüli megoldása 4 E D F B C. =, amely evivales D-vel: ( ) ( ) Hátra va még az A állítás vizsgálata. Ez függetle B-től (és C-től), egyiből sem övetezi a mási (hisze B és C esetébe pozitív és egatív értéet is felvehet). Az A állítás szité függetle E-től, egyiből sem övetezi a mási. Végül D-ből (és F-ből) övetezi A, hisze = 4 teljesíti A-t, de fordított iráyba ics apcsolat az állításo özött. Így az állításo logiai apcsolata a övetező: ( ) ( ) E D F B C ß. A 4

15 A apcsolatoból leolvasható, hogy ha D (és F) igaz, aor mid a 6 állítás igaz. Ha D (és F) hamis, aor ¹ 4, így a többi állítás a övetezőéppe írható fel: A: ³ 3 (de ¹ 4 ); B: =- 4 ; C: =- 4 ; E: = 0. Ha A igaz, aor ez izárja a mási hármat, így igaz állítást apu. Ha A hamis, aor B és C, illetve E izárja egymást, így vagy E igaz ( igaz állítás), vagy B és C ( igaz állítás), vagy egyi sem (0 igaz állítás). Vagyis a megadott állításo özül egyszerre 0,, vagy 6 lehet igaz. II. Megoldás: Felsorolhatju az egyes állításo esetébe lehetséges értéeit: A: 3 ³ B: Î{ - 4; 4} C: Î{ - 4; 4} D: 4 = E: { 0; 4} Î F: = 4 A felsorolásból is övetezi az állításo előző megoldásba vázolt logiai apcsolata, illetve megadhatu orét értéeet, amelyere az állításo özül egyszerre 0,,, 3 vagy 6 lesz igaz: = 0 igaz állítás = 0 igaz állítás (A) = 0 igaz állítás (E) =- 4 igaz állítás (B és C) = 4 6 igaz állítás (az összes) Más lehetőség icse, hisze lehetséges értéei özül a B F állításohoz elegedő a - 4, 0, 4 értéeet ipróbáli, az A állításhoz pedig egy 3-ál isebb és egy 3-ál em isebb értéet. Vagyis a megadott állításo özül egyszerre 0,, vagy 6 lehet igaz. 8. Hol va a hiba az lg x = egyelet alábbi megoldásába? lg x = lg x = lg x = x = 0 = 0 Megoldás: Az egyelet megoldása biztosa em helyes, ugyais elleőrzéssel meggyőződhetü róla, hogy x =- 0 is jó megoldás. A hibát ott övettü el, hogy a lg x = lg x = átalaítás em evivales lépés. Írju fel az értelmezési tartomáyoat is, eor a övetezőt ap- lg x x 0 lg x= x> 0. Vagyis az átalaítás sorá szűült az ju: ( ) = > ( ) értelmezési tartomáy ( x ¹ 0 -ról x > 0 -ra), emiatt a öveteztetés iráya em fordítható meg, azaz gyövesztés esete áll fe. Az egyelet egy lehetséges helyes megoldása: lg x = x = 0 x, = 0. Megjegyzés: A feladat azt illusztrálja, hogy a logaritmus azoosságai em midig evivales átalaításo, az értelmezési tartomáy esetleges megváltozása miatt. 5

16 9. Bizoyítsu be a övetező állításoat: a) A 6 irracioális szám. b) 3... ( ) ( )( ) =, ahol Î. 3 c) 3 3 4, ahol Î. d) Bárhogy választu i az,, 3,, számo özül -et, biztosa lesz a iválasztott számo özött ét olya, amelye relatív príme (azaz legagyobb özös osztóju ). Megoldás: a) Idiret bizoyítást alalmazu. Tegyü fel, hogy a 6 em irracioális, azaz racioális szám (idiret feltevés), eor felírható p q alaba, ahol p és q pozitív egész számo. Eor a p 6 = midét oldalát égyzetre emelve, majd redezve a 6q = p összefüggést apju. A q jobb oldalo p egy égyzetszám, így prímtéyezős felbotásába mide prímtéyező páros itevő szerepel, például a is. (Egyébét p páros, de ezt em haszálju i.) A bal oldalo q is égyzetszám, így a itevője ebbe is páros (aár 0 is lehet, ha q páratla), viszot 6= 3 miatt eor a bal oldalo összességébe páratla lesz a itevője. Egy egyelet ét oldalá em lehet ülöböző paritású itevője, tehát elletmodásra jutottu, az idiret feltevés hamis volt, szüségéppe a bizoyítadó állítás igaz. 3 b) Teljes iduciót alalmazu. Az állítás igaz = -re, mert =. Tegyü fel, hogy az 3 állítás igaz valamilye -ra (iduciós feltevés), azaz valamely rögzített -ra teljesül az ( )( ) 3... ( ) = összefüggés. Ebből szereté bebizoyítai, hogy 3 ( )( )( ) 3 -re is teljesül az állítás, azaz 3... ( )( ) =. Mivel 3 a bal oldalo 3... ( )( ) = é 3... ( ) ù ë û ( )( ), ezért a szögletes zárójelbe álló ifejezést helyettesíthetjü az iduciós feltevés jobb oldalával, így: ( )( ) ( )( ) ( )( ) 3... ( )( ) = = ( 3 ), ami 3 3 éppe a bizoyítadó állítás. Tehát ha valamilye rögzített -ra igaz az állítás, aor -re is igaz, továbbá = -re igaz az állítás, így mide pozitív egész -re igaz. c) Teljes iduciót alalmazu. Az állítás igaz = -re, mert = =. Tegyü fel, hogy az állítás igaz valamilye rögzített -ra, azaz 3 3 4, majd lássu be, hogy eor -re is igaz, vagyis, hogy ( ) ( ) , azaz Alalmazzu a ( ) = = átalaítást, így ihasz- 6

17 álhatju az iduciós feltevést, tehát 3 ( 3 4 ) osztható lesz 3-mal. Mivel 3 4 is osztható 3-mal, így e ét ifejezés összege is osztható 3-mal, ami éppe a bizoyítadó állítás. Ezzel beláttu, hogy ha valamilye rögzített -ra igaz az állítás, aor -re is igaz, továbbá = -re igaz az állítás, így mide pozitív egész -re igaz = átalaítást is. Megjegyzés: Alalmazhattu vola a ( ) d) Satulya-elvet alalmazu. Vegyü satulyát, amelye midegyiébe ét-ét szomszédos egész számot teszü: az első satulyába az és a, a másodiba a 3 és a 4, és így tovább, végül az -edibe a - és a. Ha most az,, 3,, számo özül -et iválasztu, aor biztosa lesz ét olya szám a iválasztotta özül, amelye ugyaabba a satulyába vaa (mert satulyából -szer választottu), így ez a ét iválasztott szám szomszédos. A szomszédos egész számo pedig biztosa relatív príme, hisze ha lee valamilye -él agyobb d özös osztóju, aor ez a d osztója lee a ülöbségüe, -e is, ami lehetetle. (Az utolsó lépésbe idiret bizoyítást alalmaztu.) 0. Írju fel zárt formába az első pozitív öbszám összegét, ahol Î! Megoldás: A éplet megsejtéséhez írju fel az első éháy -re az potos értéét! = 3 = = = 3 3 = 9= 3 = ( ) = = 36= 6 = ( 3) = = = = ( ) ifejezés Megfigyelhetjü, hogy az eredméy midig égyzetszám, mégpedig az első pozitív egész szám ( ) összegée a égyzete. Mivel... =, ezért sejtésü a övetező: ( ) ù é =. ê ú ë û Sejtésüet teljes iducióval igazolju. Az állítás igaz = -re, mert 3 é ù =. Tegyü fel ê ë ú û ( ) é ù most, hogy az állítás igaz valamely rögzített -ra, azaz... = ê ú ë û ( )( ) ù, majd lás- é su be, hogy eor -re is igaz, vagyis... ( ) =. Mivel a bal ê ú ë û 3 3 oldalo ( ) = é... ù ê ú ( ) 3 ë û, ezért a szögletes zárójelre alalmazhatju az iduciós feltevést, vagyis a bizoyítadó állítás bal oldala így alaítható tovább: 7

18 ( ) ( ) ( ) ( ) 3... é ù ( ) ( ) æ ( ) ö = = = ( 4 4) = ê ú ç 4 ë û çè ø 4 4. Ezzel éppe a bizoyítadó állítást aptu. Tehát ha sejtésü igaz valamely rögzített -ra, aor -re is igaz, továbbá = -re igaz, így sejtésüet mide pozitív egész -re igazoltu. Vagyis az első pozitív öbszám összege. é ( ) ù ê ú ë û Megjegyzés: A bizoyítadó állítás megsejtése em volt yilvávaló, és so más esetbe sem az. A teljes idució legiább aor alalmazható, ha vagy már megsejtettü az eredméyt, vagy a feladat előre megadta számura azt.. Hol va a hiba a övetező bizoyításba? Állítás: 3 3 5, ahol Î Bizoyítás teljes iducióval: Az állítás = 0 eseté igaz, mert 3 5 = = 3, ami osztható 3-mal. Tegyü fel most, hogy az állítás igaz valamely rögzített -ra, majd lássu be, hogy eor -re is igaz, azaz: Alalmazzu a övetező átalaításoat: ( ) = =. Az iduciós feltevés miatt 3 5 osztható 3-mal (így ee -szerese is), míg 3 és 3 5 többszörösei 3-a, így eze is osztható 3-mal, s ezért a három tag összege is osztható 3-mal. Ezzel az állítást beláttu. Megoldás: A bizoyítás biztosa rossz, hisze az állítás hamis (csa = 0 -ra igaz). A hiba ott va, hogy 3 0 em feltétleül osztható 3-mal, hisze = 0 eseté 3 =. Emiatt = 0 -ról = - re em örölődi az állítás, s így a többi 0-ál agyobb -re sem. Megjegyzés: A bizoyítás többi lépése helyes, így ha valamely pozitív egész -re igaz lee az állítás, aor az összes -él agyobb egészre is igaz lee. De az állítás csa = 0 -ra igaz.. Adott az a =, a =, a 3 ( Î ) reurzív sorozat. Igazolju, hogy a soro- zat explicit alaja a = -! a a = 3a - a Megoldás: Teljes iduciót alalmazu. Mivel a reurzió másodredű (az -edi tag iszámításaor a ét megelőző tagot az -ediet és az -ediet haszálju), ezért az iduciós feltevést most a megelőző ét tagra ell majd ihaszálu, és emiatt az állítást is az első helyett az első ét ezdőértére ell elleőrizü. Az állítás igaz = -re és = -re, mert = - és =. Tegyü fel most, hogy - 3 az állítás már igaz -től valamely rögzített -ig mide egész számra, ahol Î (így speciálisa -ra és -re, tehát ét szomszédos tagra is), majd lássu be, hogy eor -re is 8

19 igaz, vagyis a = -. A sorozat reurzív megadása alapjá a a a = 3a - a, az i- duciós feltevés miatt pedig a = - és a = -, ezért igaz a övetező átalaítás: - - æ ö æ3 ( ) ( ) ö - a = = : ( ) ( ) ( ) (. Tovább alaítva ezt ) - çè ø çè ø - apju:, ami éppe a a = = = = ( ) ( - ) bizoyítadó állítás. Ezzel az állítást mide Î számra igazoltu. III. Ajálott feladato. Tudju, hogy mide olya hétfő, amior Micimacó mézet eszi, Zsebibaba Malacával játszi a réte. Ma Zsebibaba ics it a réte. Ehet-e ma mézet Micimacó, ha a) ma hétfő va? b) ma szerda va?. Ugyaazt jeleti-e az ( A B) Å( B A) és a ( ( A B) ) ( A B) ifejezése? 3. Véletleszerűe itöltöttü egy étváltozós (A-t és B-t tartalmazó) ifejezés logiai értétáblázatát. (Egyelő eséllyel választva a lehetséges itöltése özül.) Meora eséllyel lesz a felírt táblázat éppe a B ( A A) ifejezés logiai értétáblázata? 4. Teitsü a övetező állításoat ugyaazo pozitív egész számra voatozóa: A: Az összetett szám. C: Az száma va -él agyobb égyzetszám osztója. B: Az osztható 4-gyel. D: Az száma va ála isebb pozitív prímosztója. Mely állításo evivalese egymással, illetve melyiből övetezi valamelyi mási? 5. Fogalmazzu meg a övetező állításo tagadását! a) Mide barátoma va legalább ét testvére vagy legalább egy utyája. b) Egyi héte sics olya ap, amior égy órát taulo. c) Va olya tatárgy, amelyiből év végé írásba és szóba is vizsgázu. d) Ha a telefoomra ébrede fel, em féle a dolgozattól. e) Mide embere va olya öyve, amelyie mide sorát ívülről tudja. 6. Fogalmazzu meg a övetező állítás megfordítását: Ha egy égyzetszám 6-ra végződi, aor osztható 9-cel. Igaz-e az állítás, illetve a megfordítása? 9

20 7. Készítsü el a ( A B) ( B A) ifejezés logiai értétáblázatát, majd írju fel többféle logiai formulával a ifejezés tagadását! 8. Írju fel olya K, L és M ifejezéseet, amelye logiai értétáblázata a övetező: A B K L M I I H H I I H H H I H I I H H H H I I I 9. a) Adju meg egy elégséges, de em szüséges feltételét aa, hogy egy öbszám osztható legye 6-tal! b) Adju meg egy szüséges, de em elégséges feltételét aa, hogy egy égyszög téglalap legye! c) Adju meg egy szüséges és elégséges feltételét aa, hogy az ABCD égyszöge legye beírt öre! 0. Evivalese-e mide esetbe a övetező átalaításo? a) Egy egyelet midét oldalához hozzáadu x 3 -at. b) Egy egyelet midét oldalából levou x - -t. c) Egy egyelet midét oldalát égyzetre emeljü, majd midét oldalból gyööt vou. d) Egy egyelet midét oldaláa vesszü a 3-as alapú logaritmusát (feltéve, hogy midét oldal pozitív volt).. Milye apcsolat (szüséges feltétel, elégséges feltétel, szüséges és elégséges feltétel) áll fe a övetező ijeletéspáro ét tagja özött? a) A: Az a sorozat orlátos. és B: Az a sorozat overges. b) C: A b sorozat diverges. és D: A b sorozat em orlátos. c) E: Az f függvéy differeciálható. és F: Az f függvéy folytoos.. Egy szigete igazmodó és hazudóso éle. Az igazmodó midig igazat modaa, a hazudóso midig hazuda. Megérdeztü öt embert, ai ismerté egymást: Háy igazmodó va öztete? A válaszai:,, 3, 4, 5. Háy igazmodó lehetett az öt ember özött? 3. Peti macsája mide reggel dorombol, ha azap esi fog az eső. Ma reggel dorombol. Vigye-e eseryőt Peti? 0

21 4. Írju fel zárt formába az... 3 ifejezést, ahol Î! ( ) 5. Bizoyítsu be a övetező állításoat: a) , ahol Î. b) , ahol Î.!, ahol Î. c) 6. Igaz-e, hogy biztosa va ét olya ülöböző prímszám, amelyee azoos az utolsó 03 számjegye? 7. Legfeljebb háy részre oszthatja egyees a síot? 8. Hol va a hiba a övetező teljes iduciós bizoyításba? Állítás: A világ összes lova egyforma szíű. Bizoyítás teljes iducióval: megmutatju, hogy bármely ló szíe megegyezi, ahol Î. Az állítás = ló eseté yilvá igaz, hisze egy lóa egy szíe va. Tegyü fel most, hogy az állítás igaz valamely -ra (azaz bármely ló szíe egyforma), majd lássu be -re. Vegyü lovat. Tudju, hogy az,, 3,..., sorszámú lova és a, 3, 4,..., sorszámú lova is egyforma szíűe, hisze midettő egy-egy elemű halmaz. Mivel a ét halmaza va özös eleme, ezért szüségéppe mid a ló egyforma szíű. Ezzel az állítást beláttu. 9. Adott az a =, a = 3 a - ( Î ) reurzív sorozat. Írju fel a sorozat első éháy tagját, majd próbálju megsejtei a sorozat explicit alaját! Igazolju sejtésüet! 0. Tudju, hogy igaz a övetező három állítás:. Ha vesze almát és olcsó a tojás, észíte máglyaraást.. Ha em olcsó a tojás, aor em vesze almát és éhes marado. 3. Csa aor em marado éhes, ha észíte máglyaraást. Követezi-e ebből a három állításból, hogy ha em észíte máglyaraást, aor em vesze almát?

22 Az ajálott feladato megoldásai. Tudju, hogy mide olya hétfő, amior Micimacó mézet eszi, Zsebibaba Malacával játszi a réte. Ma Zsebibaba ics it a réte. Ehet-e ma mézet Micimacó, ha a) ma hétfő va? b) ma szerda va? Megoldás: A H: Hétfő va., M: Micimacó mézet eszi. és Z: Zsebibaba Malacával játszi a réte. jelöléseel a megadott feltétel "( H M) Z alaba írható. Ha Z em teljesül, aor H M sem teljesülhet, hisze így Z-e is teljesülie ellee, ami elletmodás. Tehát ha Zsebibaba ma ics it a réte, aor H M hamis, így H és M özül legalább az egyi hamis. Így ha ma hétfő va, aor Micimacó semmiéppe em ehet mézet. Ha ma szerda va, aor az is lehetséges, hogy Micimacó eszi mézet, de az is, hogy em (hisze H mideéppe hamis). Megjegyzés: A megoldásból az is iderült, hogy A B és B A evivalese (ezt a feti Z H M alaba haszáltu). példába ( H M) Z és ( ). Ugyaazt jeleti-e az ( A B) Å( B A) és a ( ( A B) ) ( A B) Megoldás: Készítsü el a ét ifejezés logiai értétáblázatát: A B A B B A ifejezése? ( A B) Å( B A) I I I I H I H H I I H I I H I H H I I H A B ( A B) ( ) ( ) A B ( A B) A B I I H I H I H H H I H I H H I H H I H H A ét értétáblázat utolsó oszlopai megegyeze, tehát a ét ifejezés ugyaazt jeleti (vagyis evivales). 3. Véletleszerűe itöltöttü egy étváltozós (A-t és B-t tartalmazó) ifejezés logiai értétáblázatát. (Egyelő eséllyel választva a lehetséges itöltése özül.) Meora eséllyel lesz a felírt táblázat éppe a B ( A A) ifejezés logiai értétáblázata? Megoldás: Egy étváltozós ifejezés logiai értétáblázata égy sorból áll, és midegyi sor értée étféle lehet (igaz vagy hamis). Így összese = 6 -féle lehetséges itöltés va,

23 eze midegyiét eséllyel választju. Tehát speciálisa a ( ) 6 B A A ifejezés táblázatát is eséllyel választju (függetleül attól, hogy ez melyi táblázat). 6 Bár em része a feladat megoldásáa, de megadju a ifejezés logiai értétáblázatát is: A B A A B ( A A) I I H H I H H I H I H H H H H I 4. Teitsü a övetező állításoat ugyaazo pozitív egész számra voatozóa: A: Az összetett szám. C: Az száma va -él agyobb égyzetszám osztója. B: Az osztható 4-gyel. D: Az száma va ála isebb pozitív prímosztója. Mely állításo evivalese egymással, illetve melyiből övetezi valamelyi mási? Megoldás: Az A és D állításo evivalese, továbbá B-ből övetezi C (de fordítva em), illetve C-ből (és így B-ből is) övetezi A és D (de fordítva em). Az állításo logiai apcsolata a övetező: B C ( A D). 5. Fogalmazzu meg a övetező állításo tagadását! a) Mide barátoma va legalább ét testvére vagy legalább egy utyája. b) Egyi héte sics olya ap, amior égy órát taulo. c) Va olya tatárgy, amelyiből év végé írásba és szóba is vizsgázu. d) Ha a telefoomra ébrede fel, em féle a dolgozattól. e) Mide embere va olya öyve, amelyie mide sorát ívülről tudja. Megoldás: a) Va olya barátom, aie ics se legalább ét testvére, se legalább egy utyája., esetleg Va olya barátom, aie legfeljebb egy testvére va, és ics utyája. b) Va olya hét, amior va olya ap, amior égy órát taulo. c) Mide tatárgyra igaz, hogy év végé em vizsgázu belőle írásba vagy em vizsgázu belőle szóba., esetleg Mide tatárgyra igaz, hogy év végé em vizsgázu belőle írásba is és szóba is. d) (Va olya, hogy) a telefoomra ébrede fel, és féle a dolgozattól. e) Va olya ember, aie mide öyvébe va olya sor, amit em tud ívülről. 3

24 6. Fogalmazzu meg a övetező állítás megfordítását: Ha egy égyzetszám 6-ra végződi, aor osztható 9-cel. Igaz-e az állítás, illetve a megfordítása? Megoldás: Az állítás megfordítása: Ha egy égyzetszám osztható 9-cel, aor 6-ra végződi. Sem az eredeti állítás em igaz (egy lehetséges ellepélda a 6), sem a megfordítása (egy lehetséges ellepélda a 9). 7. Készítsü el a ( A B) ( B A) ifejezés logiai értétáblázatát, majd írju fel többféle logiai formulával a ifejezés tagadását! Megoldás: A ifejezés logiai értétáblázata: A B A B B A ( A B) ( B A) I I H I H I H H I H H I I H H H H H I H A táblázatból iderül, hogy a ifejezés értée (A és B értéétől függetleül) midig hamis, így tagadása a midig igaz állítás. Ezt jelölhetjü I-vel is, de felírhatu olya, A-t és/vagy B-t tartalmazó formuláat is, amelye értée midig igaz, például: A A, AÅ A, B B, illetve ( A B) ( A B). 8. Írju fel olya K, L és M ifejezéseet, amelye logiai értétáblázata a övetező: A B K L M I I H H I I H H H I H I I H H H H I I I Megoldás: K értée (B-től függetleül) pot elletétes A értéével, így egy lehetséges megoldás K-ra: A A B B A B A B.. Néháy további lehetőség például: ( ), ( ) ( ) L értée csa aor igaz, ha A és B értée is hamis. Néháy lehetséges megoldás: A B, ( A B), ( A B), ( A B) ( A ( B B) ) Å. M értée csa aor hamis, ha A értée hamis, B értée igaz. Néháy lehetséges megoldás: B A, A B, A B, ( A B). 9. a) Adju meg egy elégséges, de em szüséges feltételét aa, hogy egy öbszám osztható legye 6-tal! b) Adju meg egy szüséges, de em elégséges feltételét aa, hogy egy égyszög téglalap legye! 4

25 c) Adju meg egy szüséges és elégséges feltételét aa, hogy az ABCD égyszöge legye beírt öre! Megoldás: 3 a) Néháy lehetséges megoldás: a öbszám osztható 8-cal, a öbszám a 6, a öbszám egy 8- cal osztható szám öbe. (Nem jó megoldás: a öbszám osztható 3-vel, ugyais a öbszám prímfelbotásába itevője biztosa 3-mal osztható, így eor itevője legalább 6, míg a 6-tal oszthatóság esetébe szité, tehát ez egy szüséges és elégséges feltétel lee.) b) Néháy lehetséges megoldás: a égyszög szemözti oldalai párhuzamosa, a égyszög szemözti oldalai egyelő, a égyszög átlói felezi egymást. (Eze egyie sem elégséges, ugyais teljesül mide olya paralelogrammára is, amely em téglalap.) c) Néháy lehetséges megoldás: az ABCD égyszög éritőégyszög, az ABCD ovex égyszög oldalaira teljesül az AB CD = AD BC összefüggés, az ABCD ovex égyszög belső szögfelezői egy poto mee át. 0. Evivalese-e mide esetbe a övetező átalaításo? a) Egy egyelet midét oldalához hozzáadu x 3 -at. b) Egy egyelet midét oldalából levou x - -t. c) Egy egyelet midét oldalát égyzetre emeljü, majd midét oldalból gyööt vou. d) Egy egyelet midét oldaláa vesszü a 3-as alapú logaritmusát (feltéve, hogy midét oldal pozitív volt). Megoldás: a) Ez a lépés midig evivales, hisze em változi az egyelet megoldásaia halmaza. b) Ez a lépés em midig evivales. A öveteztetés ugya logiailag lehet helyes, de em mide esetbe megfordítható. Elépzelhető ugyais, hogy bővül az egyelet értelmezési tartomáya ez még ömagába em feltétleül probléma, de ezáltal bővülhet a megoldáshalmaza is. Például a = x egyelete ics megoldása, míg a = x egyelete már va, x- x- de ez az eredeti egyelete em megoldása (hamis gyö). Az is elépzelhető, hogy a öveteztetés már logiailag sem helyes, ha úgy szűül az értelmezési tartomáy, hogy ezzel együtt a megoldáshalmaz is szűül. Például az x = 3 egyelete megoldása az x =, míg az x - = 3- egyelete már em (gyövesztés). Ugyaaor, ha sem az eredeti, x - x - sem az átalaítás utái egyelet értelmezési tartomáya em tartalmazza a -t, aor a lépés evivales, például az = vagy a x - 0 = 4 x- x- x- 4 x- x- egyelete esetébe. c) Ez a lépés em midig evivales. A égyzetre emelés logiailag helyes, de bővülhet a megoldáshalmaz (például az x = x = 4 lépés sorá), így itt hamis gyööt aphatu, míg a 5

26 gyövoás a megfelelő iötése élül logiailag sem helyes lépés (például az x = 4 x = lépés sorá), itt gyövesztés övetezhet be. A ét művelet együttese sem midig evivales, például az x =- x = 4 x = lépése helytelee. Ugyaaor, ha az eredeti egyelet midét oldaláról tudju, hogy emegatív, aor a ét lépés evivales átalaítás, ilyeor az eredeti egyeletet apju vissza (például x = 6 4x = 36 x = 6). d) Ez a lépés midig evivales, hisze a 3-as alapú logaritmusfüggvéy szigorú mootoitása miatt a= b aor és csa aor teljesül (pozitív a, b értéere), ha log3a= log3b. A pozitivitási feltétel élül már em lee evivales a lépés, hisze például a =- eseté a jobb oldalra em is tudá értelmezi a logaritmus műveletét.. Milye apcsolat (szüséges feltétel, elégséges feltétel, szüséges és elégséges feltétel) áll fe a övetező ijeletéspáro ét tagja özött? a) A: Az a sorozat orlátos. és B: Az a sorozat overges. b) C: A b sorozat diverges. és D: A b sorozat em orlátos. c) E: Az f függvéy differeciálható. és F: Az f függvéy folytoos. Megoldás: a) A overgeciából övetezi a orlátosság ( B A), de megfordítva em, például az ( ) a =- sorozat orlátos, de em overges. Így A szüséges (de em elégséges) feltétele B- e, illetve B elégséges (de em szüséges) feltétele A-a. b) A em orlátosságból övetezi a divergecia ( D C ( ) ), de megfordítva em, például a b =- sorozat diverges, de orlátos. Így C szüséges (de em elégséges) feltétele D-e, illetve D elégséges (de em szüséges) feltétele C-e. Megjegyzés: Mivel C= B és D = A, így B A = C D = D C az a) feladat alapjá. c) A differeciálhatóságból övetezi a folytoosság ( E F ), de megfordítva em, például az f ( x) = x függvéy x = 0 -ba folytoos, de em differeciálható. Így E elégséges (de em szüséges) feltétele F-e, illetve F szüséges (de em elégséges) feltétele E-e.. Egy szigete igazmodó és hazudóso éle. Az igazmodó midig igazat modaa, a hazudóso midig hazuda. Megérdeztü öt embert, ai ismerté egymást: Háy igazmodó va öztete? A válaszai:,, 3, 4, 5. Háy igazmodó lehetett az öt ember özött? Megoldás: Ha igazmodó va a szigete, aor ő mid az -e -et foga válaszoli a érdésre, a többie pedig -től ülöböző számot. Azt ell tehát megvizsgálu, hogy a válaszo özött háy olya (0 és 5 özötti) szám va, amely ugyaayiszor szerepel, mit ameyi az értée. Ez ét számra teljesül, a 0-ra és az -re. Tehát az öt ember özött 0 vagy igazmodó lehetett. (Eze valóba lehetségese is: az első esetbe midegyiü hazudott, a másodi esetbe pedig csa az modott igazat, ai -et válaszolt.) 6