Egyenl otlens egek Boros Zolt an

Átírás

1 Egyelőtleségek Boros Zoltá

2 Debrecei Egyetem Természettudomáyi és Techológiai Kar Matematikai Itézet Köszöetyilváítás: A jegyzet a témakör szakirodalmára, eze belül részbe a szerző kutatási eredméyeire és taasztalataira éül. A kutatás a TÁMOP 4..4.A/ azoosító számú Nemzeti Kiválóság Program Hazai hallgatói, illetve kutatói személyi támogatást biztosító redszer kidolgozása és működtetése országos rogram című kiemelt rojekt keretébe zajlott. A rojekt az Euróai Uió támogatásával, az Euróai Szociális Ala társfiaszírozásával valósul meg. Ezúto szereték köszöetet modai Vértessy Balázs matematika BSc szakos hallgatóak, akiek a 03. február május időszakba e tárgyból tartott előadásaimo készített órai jegyzetei agymértékbe elősegítették eek a géelt jegyzetek az elkészítését. Debrece, 04. október 6. Boros Zoltá

3 Tartalomjegyzék Bevezetés 4. Kovex függvéyek 5.. A kovexitás ekvivales alakjai Kovex függvéyek regularitása Differeciálható függvéyek kovexitása Jese-kovex, Wright-kovex függvéyek Valós additív függvéyek A Hadamard egyelőtleség Közéértékek.. Közeekkel kacsolatos fogalmak, éldák Kváziaritmetikai közeek fogalma, összehasolítása Kvázi-aritmetikai közeek homogeitása Hatváyközeek és összehasolításuk Nevezetes egyelőtleségek Elemi szimmetrikus oliomokból kézett közeek összehasolítása. 36 Irodalom 40 3

4 Bevezetés Egyelőtleség alatt a matematikai szakirodalomba és szóhaszálatba általába em egyszerűe az egyelőség tagadását, haem két meyiség szigorúa véve: valós szám, vagy általáosabba, valamilye relációval ellátott halmaz elemei között feálló meghatározott iráyú összehasolítást értük. Taulmáyaik sorá jellemzőe a számtai és mértai közé összehasolításával találkozuk leghamarabb, eek általáos esetét Cauchy vizsgálta. Az ő vizsgálatai motiválóa hatottak számos további evezetes egyelőtleség felismerésére. A témakörhöz kacsolódó sok érdekes feladat és állítás található Pólya György és Szegő Gábor sok kiadást megért, észerű [5] feladatgyűjteméyébe. Az egyelőtleségek témaköre G. H. Hardy, J. E. Littlewood és Pólya György Iequalities című [] köyvéek yolva évvel ezelőtti megjeleésekor vált a matematiká belüli öálló szakterületté. Ebbe a szerzők szisztematikusa feltárják az ismert evezetes egyelőtleségek egymással és a valós függvéyek kovexitási tulajdoságaival való összefüggéseit. A kovex függvéyek vizsgálata eze túlmeőe öálló kutatási területté is vált, az érdeklődő olvasóak ajálhatjuk éldául A. W. Roberts és D. E. Varberg [6] köyvét. Ez a jegyzet egy a jegyzet címével azoos evű féléves kurzus taayagához készült, matematika BSc szakos alkalmazott matematikus vagy matematikus szakiráyba tauló hallgatók számára. A jegyzet célja, hogy a tatárgy tematikáját követve bemutassa a valós itervallumo értelmezett kovex függvéyek külöféle karakterizációit és regularitási tulajdoságait, valamit ezek alkalmazását a kváziaritmetikai közeek összehasolítására, ami számos, hatváyközeekre voatkozó evezetes egyelőtleséget tartalmaz seciális esetkét. A kovexitási fogalmak összevetésekor hivatkozuk kell az additív függvéyek elméletére, amit rövide tárgyaluk; a homogé kváziaritmetikai közeek meghatározásakor edig bizoyos Levi-Civitá tíusú függvéyegyeletek folytoos, szigorúa mooto megoldásait határozzuk meg. Tárgyaluk további evezetes egyelőtleségeket is éldául a Hölder- és a Mikowskiegyelőtleséget, valamit ezek alkalmazásakét a hatváyközeek hatváyközeeire voatkozó Igham Jesse-egyelőtleséget. A témakör tárgyalásakor támaszkoduk kell a valós aalízis legalavetőbb fogalmaira és összefüggéseire. Ezekek az olvasó számos egyetemi jegyzet mellett éldául Walter Rudi [7] taköyvébe is utáaézhet. 4

5 . fejezet Kovex függvéyek.. A kovexitás ekvivales alakjai A továbbiakba N a természetes számok azaz a ozitív egész számok halmazát, Z az egész számok halmazát, Q a racioális számok halmazát, R a valós számok halmazát jelöli. Legye I tetszőleges itervallum I R.... Defiíció. Azt modjuk, hogy f : I R kovex, ha x, y I : t [0, ] : K f[ tx + ty] tfx + tfy; illetve f szigorúa kovex, ha x, y I, x y és t ]0, [: K szig f[ tx + ty] < tfx + tfy. f kokáv, illetve szigorúa kokáv, ha ugyaeze feltételek mellett fordított egyelőtleségek [ ill. >] tesz eleget. { 0 ha 0 x <,... Példák.. fx = ha x =. Házi feladat: f : [0, ] R kovex-e, kokáv-e? { 0, ha x < 0,. fx =, ha 0 x. Házi feladat: f : [, ] R kovex-e, kokáv-e? 3. fx = x x R. Házi feladat: f : R R kovex-e, kokáv-e, szigorúa kovex/kokáv-e? 5

6 FEJEZET. KONVEX FÜGGVÉNYEK 6 4. fx = x x R. Házi feladat: f : R R kovex-e, kokáv-e, szigorúa kovex/kokáv-e?..3. Lemma. Legye A, B R, 0 < <, C = A + B. Ekkor A B A C C B. Bizoyítás. A B A B A A + B = C, illetve A B A B C = A + B B...4. Megjegyzés. f : I R kovex x, y I, x < y és t ]0, [ eseté K teljesül...5. TÉTEL. [a kovexitás ekvivales alakjai]: Legye I R itervallum és f : I R, valamit I 3 = {x, y, z I3 x < y < z}. Ekkor a következő feltételek ekvivalesek: K f kovex, azaz x, z I, x < z és t ]0, [ : f[ tx + tz] tfx + tfz; K Bármely N eseté x, x,..., x I : t, t,..., t [0, ] : eseté K3 x, y, z I 3 : f t j x j x y z fx fy fz 0; t j fx j ; t j = K4 x, y, z I 3 : fy fx y x K5 x, y, z I 3 : fz fx z x K6 x, y, z I 3 : fy fx y x fz fx ; z x fz fy ; z y fz fy. z y Bizoyítás. x, y, z I 3 eseté fz fx z x = és z y z x + y x z x fz fy + fy fx z x = z y z x fz fy z y =, ezért a lemma szerit K4 K6 K5. + y x fy fx z x y x

7 FEJEZET. KONVEX FÜGGVÉNYEK 7 K3 x, y, z I 3 : azaz K6. yfz zfy xfz + zfx + xfy yfx 0 yfz xfz yfy + xfy zfy yfy zfx + yfx y x[fz fy] z y[fy fx] fz fy z y fy fx y x K3 x, y, z I 3 : 0 z yfx z xfy + y xfz K3 x, y, z I 3 : fy z y z x fx + y x z x fz. K3 K: legye x, z I, x < z, t ]0, [, valamit y = tx+tz. Ekkor x < y < z és y = x + tz x miatt t = y x z x ezért y x és t = = z x y x z x z x f tx + tz = fy z y z x fx + y x fz = tfx + tfz. z x = z y z x, K K3 : Legye x, y, z I 3 y x z y és t =. Ekkor 0 < t <, t = és z x z x ezért tx + tz = z yx z x y xz + z x zx yx + yz xz = z x = yz x z x = y, fy = f [ tx + tz] tfx + tfz = z y z x fx + y x z x fz. K K =, x = x, x = z, t = t, t = t választással. K K szeriti teljes idukcióval: = eseté x = x, z = x, t = t választással következik. Ha valamely -re a K-beli egyelőtleség teljesül, valamit + x, x,..., x, x + I, t, t,..., t, t + [0, ], t j =, akkor t + = eseté f + + t j x j = fx + = t j fx j, t + eseté edig t j t + = t + t j = t + t + =,

8 FEJEZET. KONVEX FÜGGVÉNYEK 8 ezért f + t j x j = f t + t j x j +t + x + t + }{{} x t j t + f x j + t + fx + t + t + t j + fx j + t + fx + = t j fx j. t +.. Kovex függvéyek regularitása Ezetúl I R yílt itervallum.... Házi Feladat. Legye { fx = Kovex-e az f :]0, 4[ R függvéy? 0, ha 0 < x 3, 0 + x, ha 3 < x < 4. fx fx 0... Defiíció. Legye f : I R és x 0 I. Ha létezik az lim x x 0 + x x 0 határérték, azt f +x 0 módo jelöljük és az f függvéy x 0 -beli jobboldali deriváltjáak evezzük. Ha f +x 0 létezik és f +x 0 R azaz véges, akkor azt modjuk, hogy fx fx 0 f jobbról differeciálható x 0 -ba. Hasolóa, f x 0 = lim az f x x 0 x x 0 függvéy baloldali deriváltja x 0 -ba ha létezik, és f balról differeciálható x 0 -ba, ha f x 0 R..3. Állítás. Ha f : I R jobbról/balról differeciálható az x 0 I otba, akkor f jobbról/balról folytoos x 0 -ba. Bizoyítás. lim fx x x 0 + = lim fx fx fx 0 = lim x x 0 + fx 0 x x 0 + x x 0 + x x 0 = f +x fx 0 = fx 0.,,Emlékeztető : f folytoos x 0 -ba f balról folytoos x 0 -ba és f jobbról folytoos x 0 -ba.

9 FEJEZET. KONVEX FÜGGVÉNYEK Következméy. Ha f balról és jobbról differeciálható x 0 -ba, akkor f folytoos x 0 -ba. {..5. Állítás. f differeciálható x 0 -ba f balról differeciálható x0 -ba, és f f jobbról differeciálható x 0 -ba x 0 = f +x 0. Bizoyítás. A határérték megfelelő tulajdoságából következik..6. Megjegyzés. Az előbbiekbe tárgyalt összefüggéseket az I yílt itervallum egy x 0 otjába a következő ábrá szemléltethetjük: f balról és jobbról differeciálható x 0 -ba = f differeciálható x 0 -ba f balról és jobbról folytoos x 0 -ba f folytoos x 0 -ba..7. Defiíció. Tetszőleges f : I R függvéy és x I eseté a fx = {λ R y I : fy fx + λy x} számhalmazt az f függvéy x otbeli szubdiffereciáljáak, fx elemeit edig az f függvéy x otbeli szubgradieseiek evezzük...8. TÉTEL. Ha f : I R kovex, akkor f balról és jobbról differeciálható [mide otba], x I : fx, továbbá tetszőleges x, y I, x < y eseté f x f +x f y f +y.. ft fx Bizoyítás. Legye ϕ x t = t x K4 K6 miatt tetszőleges x, y, v, s, w, u, I, t I \ {x} x I. Ekkor v < s < x < w < u < y eseté ϕ x v ϕ x s ϕ x w ϕ x u ϕ y u.. Emiatt ϕ x : I \ {x} R mooto övekvő, így létezik f x = lim xt = su{ ϕ x t : t ], x[ I} t x f +x = lim xt = if{ ϕ x t : t ]x, + [ I}, t x+ ezek valós számok [mert ϕ x w felső korlátja az első, ϕ x s edig alsó korlátja a második halmazak], továbbá f x f +x, ugyais f x ϕ x w f x f +x. Hasolóa, ϕ x w ϕ y u miatt ϕ x w f y f +x f y.

10 FEJEZET. KONVEX FÜGGVÉNYEK 0 Legye most λ [f x, f +x]. Ekkor tetszőleges s, w I, s < x < w eseté fs fx s x = ϕ x s f x λ f +x ϕ x w = fw fx w x. Az első egyelőtleséget az s x < 0 számmal végigszorozva fs fx λs x azaz fs fx + λs x ; a második egyelőtleséget edig a w x > 0 számmal végigszorozva λw x fw fx azaz fx + λw x fw adódik. Mivel fx = fx + λx x, beláttuk, hogy λ fx...9. Következméy. Ha f : I R kovex, akkor az f folytoos...0. Következméy. Ha f : I R kovex, akkor P I megszámlálható számosságú halmaz úgy, hogy x I \ P otba f differeciálható. Bizoyítás. A tétel szerit f : I R és f + : I R mooto övekvő, továbbá, ha éldául f folytoos az x I otba, akkor f x f +x lim y x+ f y = f x, azaz f x = f +x. Másrészről egy mooto függvéy szakadási helyeiek a halmaza megszámlálható.... Következméy. Ha f : I R kovex, akkor H I Lebesgue szerit ullmértékű halmaz, úgy hogy x I \H : f és f + differeciálható x-be és f x = f +x. Bizoyítás. Lebesgue differeciálhatósági tétele szerit bármely mooto függvéy,,majdem mideütt differeciálható, tehát létezek U és U Lebesgue szerit ullmértékű halmazok úgy, hogy f differeciálható I \ U otjaiba és f + differeciálható I \ U otjaiba. H = U U is ullmértékű és x I \ H eseté létezik f x, f +x valamit f = f + = f egy sűrű halmazo, ami x-et is tartalmazza, tehát f x = f +x.... Házi Feladat. Adjuk meg olya f : I R kovex függvéyt, amely végtele sok otba em differeciálható!..3. TÉTEL. Tetszőleges f : I R eseté a következő feltételek ekvivalesek: K f kovex; K7 x I : fx.

11 FEJEZET. KONVEX FÜGGVÉNYEK Bizoyítás. K = K7: Az előző tételbe szereelt. K7 = K: Belátjuk, hogy K7 = K6 [ K]. Legye x, y, z I 3 és legye λ fy. Ekkor fx fy + λx y, azaz λy x fy fx, illetve fz fy + λz y, azaz fz fy λz y, így fy fx fz fy λ. y x z y.3. Differeciálható függvéyek kovexitása Ebbe a részbe léyegébe csak átismételjük midazt, amit a kétszer differeciálható függvéyek vizsgálatakor a kovexitással kacsolatba a Differeciál- és itegrálszámítás tárgy keretébe korábba taultuk és gyakoroltuk. Mivel a gyakorlatba a második derivált előjeléek vizsgálatával a legegyszerűbb elleőrizi adott függvéyek kovexitását, feltétleül idokolt az alkalmazható összefüggések áttekitése. Továbbra is feltesszük, hogy I R yílt itervallum..3.. Házi Feladat. Bizoyítsuk be, hogy ha ϕ : I R mooto övekvő, x 0 I és akkor Φ : I R kovex! Φx = x x 0 ϕ x I,.3.. TÉTEL. Tegyük fel, hogy f : I R differeciálható. Ekkor a következő feltételek ekvivalesek: K f kovex; K8 f : I R mooto övekvő. Bizoyítás. K = K8: Előzőleg beláttuk, hogy f : I R mooto övekvő és a feltevés szerit f = f. K8 = K: Belátjuk, hogy K8 = K6 [ = K]. Legye x, y, z I úgy, hogy x < y < z. A Lagrage-féle közéérték-tétel szerit u ]x, y[ és w ]y, z[ úgy, hogy fy fx = f u f y f fz fy w =. y x z y.3.3. Házi Feladat. Fogalmazzuk meg és igazoljuk a K K6 tulajdoságok megfelelőit és ekvivaleciájukat a szigorú kovexitás esetére!

12 FEJEZET. KONVEX FÜGGVÉNYEK.3.4. TÉTEL. Tegyük fel, hogy f : I R differeciálható! Ekkor a következő feltételek ekvivalesek: SK f szigorúa kovex; SM f szigorúa mooto övekvő. Bizoyítás.,,Hasoló az előzőhöz TÉTEL. Tegyük fel, hogy f : I R kétszer differeciálható. Ekkor a következő feltételek ekvivalesek: K f kovex; K9 x I: f x 0. Bizoyítás. Az.3.. tételből és a differeciálható függvéyek mootoitásáak deriválttal való ismert jellemzéséből következik.3.6. TÉTEL. Tegyük fel, hogy f : I R kétszer differeciálható. Ekkor a következő feltételek ekvivalesek: SK f szigorúa kovex; SP x I: f x 0 és a, b I, a < b eseté c ]a, b[: f c > Példa. fx = x = f x = x = f x = > 0 x R = f szigorúa kovex Megjegyzés. Az eredméyek egyszerűe átfogalmazhatók kokáv függvéyekre..4. Jese-kovex, Wright-kovex függvéyek I R yílt itervallum..4.. Defiíció. Azt modjuk, hogy az f : I R függvéy Jese-kovex, ha x, y I : x + y fx + fy J-K f..4.. Defiíció. Azt modjuk, hogy az f : I R függvéy Wright-kovex, ha x, y I : t [0, ] : W-K f[tx + ty] + f[ tx + ty] fx + fy TÉTEL. f : I R eseté

13 FEJEZET. KONVEX FÜGGVÉNYEK 3 i f Jese-kovex x I : h > 0 : x h, x + h I eseté fx fx h fx + h fx. ii f Wright-kovex x, y I : h > 0 : x < y és y + h I eseté fx + h fx fy + h fy. iii f kovex K6 : x, y, z I : x < y < z : fy fx y x fz fy z y. Sőt, f kovex u, x, y, z I : u < mi{x, y}, max{x, y} < z : fx fu x u fz fy z y. Bizoyítás. iii már ismert, a többi hasoló de egyszerűbb. Például i fx fx h fx + h fx fx fx h+fx+h ; illetve } { z = tx + ty y = z + h ii h = [tx + ty] x t = z x = z x. y x z+h x.4.4. Állítás. f kovex = f Wright-kovex = f Jese kovex. Bizoyítás. Az f[ tx + ty] tfx + tfy és f[tx + ty] tfx + tfy egyelőtleségek megfelelő oldalaiak összeadásával igazolható, hogy mide kovex függvéy Wright-kovex. Ha edig a W-K egyelőtleségek a t = helyettesítéshez tartozó seciális esetét tekitjük, abból azoal midkét oldalt -vel osztva adódik J-K TÉTEL. Ha f : I R Jese-kovex, N és x, x,..., x I, akkor x + x x f fx + fx fx..3

14 FEJEZET. KONVEX FÜGGVÉNYEK 4 Bizoyítás. = : fx fx azoosság; = :.3 azoos J-K-val. I. léés: k szeriti teljes idukcióval belátjuk, hogy.3 igaz = k k N eseté. Beláttuk, hogy k = azaz = eseté.3 teljesül. Ha k > és = k eseté.3 igaz, akkor = k eseté x + x x x + x x f = f k + x k x k [ k x +x +...+x k + x k x ] k = f k k [ ] x + x x f k x + f k x k k k [ fx + fx fx k + fx ] fx k k k k = fx + fx fx k + fx fx k k k II. léés: Tetszőleges N, 3 eseté legye k N úgy, hogy k < k, továbbá < j k eseté legye y j = x +x +...+x = x. Ekkor x +x +... x +y y k = x+ k x = k x = k x + x x ezért fx = x + x x x + x... + x + y y f = f k k fx + fx fx + fy fy k azaz így azaz = [ fx + fx fx + k fx k k fx fx + fx fx k ], + k fx, fx fx + fx fx, fx fx + fx... + fx.,

15 FEJEZET. KONVEX FÜGGVÉNYEK TÉTEL. Ha f : I R Jese-kovex, x, y I és r [0, ] Q, akkor f[ rx + ry] rfx + rfy. Bizoyítás. Legye k N 0 és N úgy, hogy r = k. Nyilvá ekkor 0 k. Legye x = x =... = x k = x és x k+ =... = x = y. Ekkor [ f [ rx + ry] = f k x + k ] y kx ky {}}{{}}{ kx + ky = f = f x + x x k + x k x fx + fx fx k + fx k fx = k fx + k fy = rfx + rfy. = kfx + kfy.4.7. Házi Feladat.. Igazoljuk, hogy ha f : I R Jese-kovex, N, x, x,..., x I, r, r,..., r Q [0, ] és r j =, akkor f r j x j r j fx j.. Igazoljuk, hogy ha I, I itervallumok, g : I I Jese-kovex és f : I R mooto övekvő, kovex, akkor f g Jese-kovex!.4.8. TÉTEL. Ha f : I R folytoos, akkor az alábbi feltételek ekvivalesek: K f kovex; W-K f Wright-kovex; J-K f Jese-kovex. Bizoyítás. Beláttuk, hogy K = W-K = J-K [folytoosság élkül is]. J-K = K: Legye x, y I és t [0, ]. Ekkor r : N Q [0, ] úgy, hogy t = lim r. A.4.6. tétel szerit N : ezért f [ r x + r y] r fx + r fy, [ tx + ty] = lim f [ r x + r y] lim [ r fx + r fy] = tfx + tfy.

16 FEJEZET. KONVEX FÜGGVÉNYEK 6.5. Valós additív függvéyek Az előző részbe beláttuk, hogy mide folytoos Wright-kovex függvéy illetve mide folytoos Jese-kovex függvéy szükségkée kovex is. Arra a kérdésre, hogy létezek-e egyáltalá em folytoos Wright-kovex függvéyek vagy em folytoos Jese-kovex függvéyek, legcélszerűbb az additív függvéyekre voatkozó megfelelő kérdés vizsgálata utá választ keresi. A két kérdés kacsolatát részletese tárgyalja éldául Marek Kuczma [3] moográfiája, illetve új megvilágításba helyezi a szerző Páles Zsolttal közöse írt [] dolgozata..5.. Defiíció. Azt modjuk, hogy f : R R additív, ha x, y R :.5.. TÉTEL. Ha f : R R additív, akkor A fx + y = fx + fy..4 x R : r Q : frx = rfx..5 Bizoyítás. I. léés: A-ba x = y = 0 = f0 = f0 + f0 azaz f0 = 0. II. léés: Teljes idukcióval igazoljuk, hogy x R : N : fx = fx. Ez = eseté yilvávaló, és ha -re igaz, akkor f [ + x] = fx + x = fx + fx = fx + fx = + fx. III. léés: fx + f x = fx + x = f0 = 0, ezért f x = fx Ha N, akkor f x = fx = fx. Tehát m Z : x R. fmx = mfx x R. IV. léés: Ha x R, m Z és N, akkor ezért m f x = f m x = fmx = mfx, m f x = m fx Következméy. Ha f : R R additív és folytoos, akkor lieáris, azaz c R : x R : fx = cx.

17 FEJEZET. KONVEX FÜGGVÉNYEK 7 Bizoyítás. Legye x R tetszőleges. Ekkor r : N Q úgy, hogy x = lim r éldául: r = [x] = x < r x, a éldába [x] az x valós szám alsó egész részét jelöli. Tehát fx = f lim r = lim fr = lim r f = f lim r = fx [c = f] TÉTEL. Ha f : R R additív és em lieáris, akkor sűrű R -be. f = {x, fx : x R} [f gráfja ] Bizoyítás. Legye t R úgy, hogy ft tf. Ekkor {, f, t, ft} lieárisa függetle elemű halmaz R -be, ezért ez R egy bázisa. Tehát tetszőleges x, y R eseté létezik α, β R úgy, hogy azaz x, y = α, f + βt, ft = α + βt, αf + βft, x = α + βt y = αf + βft. Legye α, β : N Q úgy, hogy α = lim α, β = lim β. Ekkor x, y = α + βt, αf + βft = lim α + lim β t, lim α f + lim β ft = lim α + β t, α f + β ft = lim α + β t, fα + β t, ahol α + β t, fα + β t f N Következméy. Ha f : R R additív és x 0 R : δ > 0 : f alulról vagy felülről korlátos az ]x 0 δ, x 0 + δ[ itervallumo, akkor f lieáris Megjegyzés. f : R R additív f : R R Q-lieáris TÉTEL. [Hamel, 905]: Létezik f : R R additív függvéy, amely em lieáris.

18 FEJEZET. KONVEX FÜGGVÉNYEK 8 Útmutatás a bizoyításhoz. R vektortér Q felett. Tetszőleges vektortérbe a Zor-lemma szerit va maximális lieárisa függetle részhalmaz, azaz bázis. Sőt, az is igaz, hogy ha B 0 az adott vektortér egy lieárisa függetle részhalmaza, akkor B bázis úgy, hogy B 0 B. Tehát, ha H 0 egy Q felett lieárisa függetle részhalmaza R-ek l. H 0 = {, }, akkor H R bázisa R-ek Q felett [amit Hammel bázisak evezük] úgy, hogy H 0 H. Ez azt jeleti, hogy x R :!ϱ x : H Q úgy, hogy ϱ x h = 0 véges sok h H kivételével és x = h H ϱ x h h. Legye ϕ 0 : H 0 R tetszőleges l. ϕ 0 = ϕ 0 = és ϕ : H R a ϕ 0 tetszőleges kiterjesztése, valamit fx = h H ϱ x h ϕh x R. Ekkor f : R R lieáris Q felett és f H = ϕ = f H0 = ϕ 0. Továbbá ϕ 0 feti megválasztása eseté f = = f, tehát f em lieáris Házi Feladat.. Legye A : R R additív, g : R R kovex l.: gx = x, I R itervallum, és f x = gax x I, f x = gx + Ax x I. a. Igazoljuk, hogy f : I R Jese-kovex, f : I R Wright-kovex. b.* Mutassuk meg, hogy ha gx = x x R; I = R és A : R R em lieáris additív függvéy, akkor f em lehet,,f alakú, azaz g : R R kovex és à : R R additív függvéy úgy, hogy gax = gx + Ãx x R TÉTEL. *[Che Tat Ng, 986]: Legye I R yílt itervallum. Ekkor f : I R Wright-kovex g : I R kovex és A : R R additív úgy, hogy x I : fx = gx + Ax. A tétel bizoyítását itt em tárgyaljuk, mivel sok előismeretet igéyel l. Berstei Doetsch-tétel és de Bruij tétele a folytoos differeciáról. Az eredeti bizoyítás megtalálható Che Tat Ng [4] cikkébe.

19 FEJEZET. KONVEX FÜGGVÉNYEK 9.6. A Hadamard egyelőtleség.6.. TÉTEL. [Hadamard egyelőtleség, 893]: Ha a, b R, a < b, f : [a, b] R folytoos és kovex, akkor Bizoyítás. eseté a + b gx = f a + b f b a b a fxdx fa + fb.6 Legye m f a+b és M = fb fa, valamit mide x [a, b] b a + m x a + b és hx = fa + fb + M x a + b. Ekkor m választása miatt fx gx x [a, b], másrészt x [a, b] : azaz fx fa Mx a, így fx fa x a fx fa + Mx a = fa + M = fa + M b a + M fb fa = fa + + M fa + fb = + M azaz gx fx hx. Továbbá b a x a + b dx = ezért a + b b af = b a b a x a + b x a + b xdx a + b M [ x a + b x a + b b = b a b a gxdx b a fxdx a = hx [ x dx = = 0, b a + a + b ] b a ] a a + b b a fa + fb hxdx = b a, amiből H következik..6.. Házi Feladat. Igazoljuk, hogy a tétel az f függvéy folytoosságára voatkozó feltevés élkül is értelmes és érvéyes!

20 FEJEZET. KONVEX FÜGGVÉNYEK 0 A tétel megfordítása is igaz a következő értelembe:.6.3. TÉTEL. Ha I R yílt itervallum, f : I R folytoos és H a, b I, a < b eseté vagy b a b a fxdx fa + fb H a, b I, a < b eseté akkor f kovex. a + b f b a b a fxdx, Útmutatás a bizoyításhoz. a, b I : t [0, ] úgy, hogy Idirekt tegyük fel, hogy f em kovex. Ekkor NK f[ ta + tb] > tfa + tfb. Ekkor feltehető, hogy a < b és t 0 ]0, [ úgy, hogy t = t 0 eseté NK teljesül. Ekkor, mivel midkét oldal folytoos függvéye t-ek, δ > 0 :]t 0 δ, t 0 + δ[ ]0, [ és t ]t 0 δ, t 0 + δ[ : NK. Legye most α = su{t [0, t 0 [ : NK em teljesül } és β = if{t ]t 0, ] : NK em teljesül } vegyük észre, hogy itt su helyett max illetve if helyett mi írható. Ekkor 0 α < t 0 < β. Legye most ã = αa + αb és b = βa + βb. Ekkor a helyett ã-ot, b helyett b-ot tekitve, em kevés számolással választható a, b I, a < b úgy, hogy t ]0, [ : NK teljesül. Legye ϕt = f ta + tb tfa tfb t [0, ]. Ekkor ϕ0 = ϕ = 0, továbbá t ]0, [ : ϕt > 0, így 0 < 0 ϕtdt = = 0 b a f[ ta + tb]dt fa b a fsds 0 fa + fb tdt fb elletétbe H-gyel. Ha t 0 [0, ] a ϕ maximum helye, akkor 0 < t 0 <, továbbá h = mi{t 0, t 0 }, α = t 0 h, β = t 0 + h, A = αa + αb, B = βa + βb. Ekkor h ϕt 0 = h 0 ϕt 0 du > =... = h B A h 0 B A [ϕt 0 u + ϕt 0 + u] du = fsds h[ t 0 fa + t 0 fb],, t0 +h t 0 h 0 ϕ = tdt β α ϕ

21 FEJEZET. KONVEX FÜGGVÉNYEK vagyis f[ t 0 a + t 0 b] t 0 fa t 0 fb > B fsds t 0 fa t 0 fb B A A és t 0 a + t 0 b = [ t 0 ha + t 0 hb] + [ t 0 + ha + t 0 + hb] = A + B tehát elletétbe H-vel. A + B f > B fsds B A A

22 . fejezet Közéértékek.. Közeekkel kacsolatos fogalmak, éldák A továbbiakba I R itervallum.... Defiíció. Legye N. Az M : I I lekéezést -változós közéek evezzük, ha x, x,..., x I : Az M közé mi{x, x,..., x } Mx, x,..., x max{x, x,..., x }.. szigorú, ha mi{x, x,..., x } < max{x, x,..., x } eseté.-be midehol < teljesül; folytoos, ha M folytoos; szimmetrikus, ha Mx σ, x σ,..., x σ = Mx, x,..., x mide σ ermutáció eseté; eltolás-ivariás, ha l. I = R és t R : x, x,..., x R : Mx + t, x + t,..., x + t = Mx, x,..., x + t.. ozitív homogé, ha I {R, [0, + [, ]0, + [, ], 0], ], 0[} és t > 0 : x, x,..., x I : Mtx, tx,..., tx = tmx, x,..., x Példák. [feladatok]: Az alábbi lekéezésekről lássuk be, hogy közeek és vizsgáljuk, hogy milye további tulajdoságok teljesülek rájuk a defiícióba felsoroltak közül!.

23 FEJEZET. KÖZÉPÉRTÉKEK 3 a Ax, x,..., x = x +x +...+x x, x,..., x R [számtai közé] ; b Gx, x,..., x = x x... x [a mértai közé]; c Hx, y = xy x, y ]0, + [ [ hamoikus közé] x+y mi legye Hx, x,..., x?; d R \ {0}; M x,..., x = x e Ex, x,..., x = l e x +e x +...+e x Mi a közös a feti lekéezésekbe?. mi; max +x +...+x x, x,..., x [0, + [ vagy ]0; + [ x, x,..., x ]0, + [; x, x,..., x R. 3. Az alábbiakba L j x, x = x, j =,, 3, 4 illetve x y eseté; a L x, y = x+ xy+y x, y ]0, + [; 4 b L x, y = 3 x 3 +x y+xy +y 3 c* L 3 x, y = l e x e y x y x, y R; 4 x, y R; d* L 4 x, y = x y l x l y x, y ]0, + [. Mi a közös a feti lekéezésekbe? 4.** a Gii- közeek: q,, q R ; x G,q x, x,..., x = + x x x q + x q x q q x, x,..., x ]0, + [. b lim q G,q x, x,..., x =? 5. Adjuk éldát em folytoos közére!..3. TÉTEL. Ha az M : R R közé szimmetrikus, eltolás-ivariás és homogé, akkor c [0, ] : Mx, y = c mi{x, y} + c max{x, y} x, y R..4 Továbbá, ha M ezeke túl még áratla is, azaz M x, y = Mx, y x, y R,.5 akkor Mx, y = x + y x, y R.

24 FEJEZET. KÖZÉPÉRTÉKEK 4 Bizoyítás. Legye fx = Mx, 0 x R. Ekkor a szimmetria miatt M0, x = fx x R, továbbá fx a 0 és az x közé esik x R, valamit. = Mx, y = Mx y + y, 0 + y = Mx y, 0 + y = fx y + y x, y R..6 Seciálisa f u = M u, 0 = M0 u, u u = M0, u u = fu u u R..7 A homogeitás miatt t > 0 : ft = Mt, 0 = Mt, t 0 = tm, 0 = t f azaz ahol c = f [0, ], illetve ft = ct t > 0,.8 f t = M t, 0 = Mt, t 0 = tm, 0 = d t t > 0,.9 ahol d = M, 0 [, 0], továbbá.7 miatt ebből t = eseté d = c. Tehát d t = f t = ft t = ct t = c t t > 0, Mx, y = fx y + y = ezért.4 teljesül. Ha M áratla, akkor cx y + y = cy + cx, ha x > y, y = cy + c y, ha x = y, c y x + y = cx + cy, ha x < y. c = d = f = M, 0 = M, 0 = f = c, azaz c =, tehát c =... Kváziaritmetikai közeek fogalma, összehasolítása... Defiíció. Legye I R yílt itervallum, ϕ : I R folytoos, szigorúa mooto; N, Γ = {,,..., [0, ] : j = },,,..., Γ, valamit A ϕ [;,,..., ] x, x,..., x = ϕ j ϕx j x,..., x I

25 FEJEZET. KÖZÉPÉRTÉKEK 5 [ A [] ϕ = A ϕ ;,,..., ] azaz A [] ϕ x,..., x = ϕ ϕx + ϕx ϕx illetve ϕx + ϕy A ϕ = A [] ϕ, azaz A ϕ x, y = ϕ x, x,..., x I, x, y I. Ekkor az A ϕ [;,,..., ] lekéezést a,,..., súlyokhoz és a ϕ függvéyekhez tartozó -változós súlyozott kváziaritmetikai közéek evezzük. Seciálisa A ϕ [] a ϕ függvéy által geerált -változós [szimmetrikus] kváziaritmetikai közé, illetve A ϕ a ϕ függvéy által geerált [ változós] kváziaritmetikai közé.... Megjegyzések.. Köye elleőrizhető, hogy A ϕ [;,,..., ] folytoos közé.. A ϕ [;,..., ] szigorú j > 0 j =,...,. 3. A ϕ [;,..., ] szimmetrikus = =... = =...3. TÉTEL. [kváziaritmetikai közeek összehasolítása]: Legye I R yílt itervallum és ϕ, ψ : I R folytoos, szigorú mooto. Ekkor a következő feltételek ekvivalesek: A N :,,..., Γ : x, x,..., x I : A ψ [;,..., ]x,..., x A ϕ [;,..., ]x,..., x ; B x, y I : A ψ x, y A ϕ x, y; C [ϕ övekvő és f = ϕ ψ kovex ] vagy [ϕ csökkeő és f = ϕ ψ kokáv ]. Bizoyítás. A = B : =, = = választással. B = C: A feltevés szerit x, y I : ψx + ψy ψ Ha ϕ övekedő, akkor ψx + ψy ϕ ψ ϕ ϕx + ϕy. ϕx + ϕy ; legye most u, w ψi tetszőleges; ekkor x, y I : u = ψx és w = ψy, így x = ψ u és y = ψ w, továbbá az előző egyelőtleségből ϕ ψ u + w ϕ ψ u + ϕ ψ w,

26 FEJEZET. KÖZÉPÉRTÉKEK 6 tehát f = ϕ ψ Jese-kovex. Másrészről f folytoos mert ϕ és ψ is folytoos, tehát kovex. Ha ϕ csökkeő, akkor a godolatmeet hasoló, de az egyelőtleséget ϕ megfordítja. C = A: l. az első esetbe f kovex = N, :,,..., Γ : u, u,..., u I : ϕ ψ j u Most x,..., x I eseté u j = ψx j ϕ -be helyettesítve ψ j ψx j j ϕ ψ u j. j =,..., választással, midkét oldalt ϕ j ϕx j...4. Példa. ϕx = e x, ψx = x x R eseté ψ y = y y R és így ϕ ψ x = e x, ezért ϕ ψ x = e x > 0 x R = ϕ ψ kovex és ϕ szigorúa mooto övekvő [ϕ x = e x > 0], ezért :,..., Γ : x,..., x R : A ψ [;,..., ]x,..., x A ϕ [;,..., ]x,..., x azaz [ ] j x j l j e x j...5. Lemma. Tegyük fel, hogy I 0 R yílt itervallum, és f : I 0 R folytoos, szigorú mooto, amelyre x, y I 0 : t [0, ] : f tx + ty = tfx + tfy..0 Ekkor a R \ {0} és b R : x I 0 : fx = ax + b. Bizoyítás..0 = f kovex és kokáv, ezért x, y, z I 3 0 : fy fx y x = fz fx z x = fz fy, z y tehát a R \ {0} : x, y I 0 : x y eseté fy fx y x x I 0 : f x = a. = a = f differeciálható és..6. Következméy. A tétel jelöléseivel: A ϕ = A ψ ϕ ψ kovex és kokáv a R \ {0}, b R : u ψi : ϕ ψ u = a u+b a R\{0}, b R : x I : ϕx = a ψx+b.

27 FEJEZET. KÖZÉPÉRTÉKEK 7.3. Kvázi-aritmetikai közeek homogeitása.3.. Defiíció. Ha I R yílt itervallum, legye CMI = {ϕ : I R ϕ folytoos és szigorúa mooto }. Továbbá, ϕ, ψ CMI eseté azt modjuk, hogy ϕ és ψ ekvivales [jel.: ϕ ψ vagy ϕx ψx, x I], ha létezik a R \ {0} és b R úgy, hogy x I : ϕx = aψx + b..3.. Megjegyzés. Az előző részbe beláttuk, hogy ϕ ψ A ϕ = A ψ. Emiatt ekvivalecia-reláció CMI TÉTEL. Legye ϕ CMR. Az A ϕ kvázi-aritmetikai közé akkor és csak akkor eltolás-ivariás, ha ϕx x, x R, tehát A ϕ x, y = x+y, vagy ]0, [\{} : ϕx x, x R, tehát x + y A ϕ x, y = log x, y R. Bizoyítás. [ =] Köye elleőrizhető, hogy x, y, t R : illetve > 0, eseté x + t + y + t = x + y + t, log x+t + y+t x t + y t x + y = log = log x + y = log + log t x + y = log + t. t = [ = ] Legye ϕ t x = ϕx + t t R. Ekkor ϕx + t + ϕy + t A ϕ x + t, y + t t = ϕ miatt A ϕ eltolás ivariás t = ϕ t ϕt x + ϕ t y t R : A ϕt = A ϕ t R : ϕ t ϕ t R : at R \ {0}, bt R : x R : ϕx + t = atϕx + bt.. A továbbiakba megoldjuk az. függvéyegyeletet az ismeretle ϕ CMR, a : R R \ {0}, b : R R függvéyekre. Legye most t = 0 : ϕx = a0ϕx + b0 azaz 0 = a0 ϕx + b0 x R.

28 FEJEZET. KÖZÉPÉRTÉKEK 8 ϕ CMR miatt ϕx végtele sok értéket felvesz, ezért a0 =. Emiatt b0 = 0. Most válasszuk az x = 0 esetet: ezért.-. = azaz l.: at = ϕt = atϕ0 + bt t R,. ϕx + t ϕt = at[ϕx ϕ0], ϕx + t ϕt ϕx ϕ0 ezért a : R R \ {0} folytoos így jeltartó!. Végül t R, x R \ {0},.3 bt = ϕx + t atϕx = bt = ϕt at ϕ0 t R miatt b : R R is folytoos. Emiatt itegrálhatjuk az. egyeletet: t t 0 ϕx+sds = Másrészről tehát ϕx = t x+t t 0 [asϕx+bs]ds = ϕx t t 0 ϕx + sds = x+t 0 ϕudu t t 0 bsds t t 0 asds t x+t t 0 asds+ x+t 0 ϕudu, t t 0 bsds t 0, t, x R. x R t 0, t R, t 0 < t..4 Mivel ψ : z z 0 ϕ z R differeciálható és ψ = ϕ, valamit x+t x+t 0 ϕ = ψx + t ψx + t 0,.4 jobboldala folytoosa differeciálható, tehát a bal oldala, azaz ϕ is. De akkor.4 miatt ϕ C R is teljesül. Az. egyeletet deriválva x szerit: ϕ x + t = atϕ x t, x R..5 Ha ϕ 0 = 0, akkor.5 miatt ϕ t = at ϕ 0 = 0 lee, ami em megegedett. Tehát ϕ 0 0. Másrészről.5 = t R, azaz ϕ kostas ϕ 0 ax + t = ϕ x + t = atϕ x = at ax ϕ 0, azaz ax + t = atax t, x R..6

29 FEJEZET. KÖZÉPÉRTÉKEK 9 Seciálisa x R : x ax = a + x x = a 0 és ax 0, tehát a : R ]0, + [. Legye gx = lax x R. Ekkor.6 = gx+t = lax+t = l[atax] = lat+lax = gt+gx t, x R, azaz g additív és folytoos, ezért c R : gx = cx x R, így ax = e gx = e cx x R. Tehát ϕ x + t = e ct ϕ x x R..7 Legye most fx = ϕ xe cx x R, ekkor fx + t = ϕ x + te cx+t = e ct ϕ x e cx e ct = ϕ xe cx = fx x, t R vagyis ϕ x = fxe cx = = ft = f0, K {}}{ f0 e cx = K e cx. I. eset: c = 0 = ϕ x = K = ϕx = Kx + B x x R. II. eset: c 0 = ϕx = jelöléssel kajuk az állítást. L {}}{ K e cx + B = L e cx + B e cx c x R, így = e c.3.4. Jelölés. R + =]0, + [ TÉTEL. Legye ϕ CMR +. A ϕ akkor és csak akkor ozitív homogé, ha ϕ l, vagy R \ {0} : ϕx x x R + ; azaz A ϕ x, y = x + y xy vagy A ϕ x, y = x, y R +. Bizoyítás. [ = ] Legye ϕ t x = ϕtx x R + t R +. Vegyük észre, hogy A ϕ homogé t, x, y R + : ta ϕ x, y = A ϕ tx, ty azaz A ϕ x, y = t A ϕtx, ty = ϕtx + ϕty t ϕ = = ϕ ϕt x + ϕ t y t = A ϕt x, y t > 0 : ϕ t ϕ t > 0 : at R \ {0}, bt R : x > 0 : ϕtx = atϕx + bt..8

30 FEJEZET. KÖZÉPÉRTÉKEK 30 Legye ψy = ϕe y y R. Ekkor ψ = ϕ ex : R R folytoos, szigorúa mooto. Továbbá s, y R : ψy + s = ϕe y+s = ϕe s e y = ae s ϕe y + be s = ãs ψy + bs,.9 ahol ãs R \ {0}, bs R. Így az előző tétel bizoyítása alajá két eset lehet: I. eset: K R \ {0}, B R : ψy = K y + B y R, azaz ϕx = ψl x = K l x + B l x x R + ; ekkor lx + ly A ϕ x, y = ex = ex lxy = = ex l[xy ] = xy x, y R +. II. eset:, L R \ {0}, B R : ψy = Le y + B y R, azaz ϕx = ψl x = Le l x + B = L x + B x x R + ; ekkor [ =] Nyilvávaló. x + y A ϕ x, y = x, y R Hatváyközeek és összehasolításuk.4.. Jelölés. ism.: R + =]0, + [, R + = [0, + [, Γ = {λ, λ,..., λ R + : λ j = }..4.. Jelölés. R, N, λ j R +, x j R + j =,,..., eseté legye M [λ, λ,..., λ ] x, x,..., x = λ jx j, ha R \ {0}, xλ j j, ha = 0. λ, λ,..., λ Γ eseté az M [λ, λ,..., λ ] lekézést súlyozott hatváy-közéek evezzük. Seciálisa [ M x, x,..., x = M,,..., ] x, x,..., x

31 FEJEZET. KÖZÉPÉRTÉKEK 3 x + x +..., x =, ha R \ {0}, x x... x, ha = 0 az -változós hatváyközé illetve > 0 eseté S x, x,..., x = M [,,..., ] x, x..., x = x + x x az úgyevezett korrigált hatváy-összeg Állítás. A feti jelölésekkel rögzített x, x,..., x R + eseté a λ, λ,..., λ Γ = lim M [λ, λ,..., λ ]x, x,..., x = M 0 [λ, λ,..., λ ]x, x..., x ; 0 b lim + M x, x,..., x = max{x, x,..., x }; c lim M x, x,..., x = mi{x, x,..., x }. Bizoyítás. a Legye f = l λ jx j R. Ekkor f differeciálható és f = λ j x j l x j λ jx R. j Vegyük észre, hogy f0 = l λ j = l = 0, így lim l [M [λ, λ,..., λ ]x, x,..., x ] = lim l 0 0 = lim 0 l λ j x j = λ j lx j λ = j = lim 0 f f0 f = lim 0 0 λ j lx j = l Ebből az ex függvéy folytoosság miatt kajuk az állítást. x λ j j. λ j x j = f 0 = = b lim M x, x,..., x = lim = lim + x j =x k x j x k xj x k x j = x k = x k, ahol x k = max{x, x,..., x }.

32 FEJEZET. KÖZÉPÉRTÉKEK 3 c Következik a b-ből M x, x,..., x = M x, x,..., x miatt TÉTEL. Ha < q < < +, akkor λ, λ,..., λ Γ : x, x,..., y R + : M q [λ, λ,..., λ ]x, x,..., x M [λ, λ,..., λ ]x, x,..., x. Bizoyítás. M [λ,..., λ ]x,..., x = A ϕ [; λ,..., λ ]x,..., x, ahol ϕt = { t, ha R \ {0}, lt, ha = 0 t R +. A kváziaritmetikai közeek összehasolítására voatkozó tétel szerit elegedő beláti, hogy ha ϕ övekvő, akkor ϕ ϕ q kovex, illetve, ha ϕ csökkeő, akkor ϕ ϕ q kokáv. Vegyük észre, hogy tetszőleges r R\{0}, f r t = t r eseté f r kétszer differeciálható, így f r : f rt = rt r, f r t = rr t r t R +, szigorúa kovex rr > 0 r < 0 vagy r >. szigorúa kokáv rr < 0 0 < r <. A továbbiakba megkülöböztetük éháy esetet. I. eset: q < < 0 = ϕ csökkeő, ϕ ϕ q t = t q = t q = f q t t > 0 és 0 < q < = ϕ ϕ q = f q II. eset: q < = 0 = ϕ = l övekvő, szigorúa kokáv. ϕ ϕ q t = l t q = q lt t R +, így

33 FEJEZET. KÖZÉPÉRTÉKEK 33 ϕ ϕ q t = q t, >0 ϕ ϕ t = q t {}}{ = q t > 0 t R + = ϕ r ϕ q szigorúa kovex. III. eset: q < 0 < = ϕ övekvő és ϕ ϕ = f q és q < 0 = ϕ ϕ = f q szigorúa kovex. IV. eset: 0 = q < = ϕ övekvő és ϕ ϕ t = e t = r t = ϕ ϕ q t = e t, ϕ ϕ q t = e t > 0 t R + = ϕ ϕ q szigorúa kovex. V. eset: 0 < q < = ϕ övekvő és ϕ ϕ q = f q és q > = ϕ ϕ q = f q szigorúa kovex Megjegyzés.. A szigorú kovexitás / kokávitás miatt a bebizoyított egyelőtleségbe egyelő súlyok eseté egyelőség csak x = x =... = x teljesülésekor áll fe.. Seciálisa H = M, G = M 0, A = M, N = M miatt H G A N súlyozott közeekre is Megjegyzés. [homogeitás:] 0, α,..., α ; x,..., x, t, λ R + = [ λα j tx j ] = λ t α j x j TÉTEL. [egyelőtleség hatváy-összegekre:] Ha, q R, 0 < < q, valamit N és x, x,..., x R +, akkor x q j q és egyelőség csak = eseté áll fe. x j,.0

34 FEJEZET. KÖZÉPÉRTÉKEK 34 Bizoyítás. Legye Ekkor y j = x j i= x i y j =, j =,...,. ezért 0 < y j j =,...,, és egyelőség = eseté áll fe. Ebből 0 < y j < j =,...,, ha [illetve = eseté y = ]. Mivel 0 < t < eseté t szigorúa mooto csökkeő, eseté y q j < y j j =,...,, így y q j < y j =, ezért y q j q <. Ezt a i= x i számmal végigszorozva adódik Nevezetes egyelőtleségek.5.. TÉTEL. [Hölder-egyelőtleség]: Legye, q ], + [ úgy, hogy + =, q valamit N és α j, x j, y j R + j =,,...,. Ekkor α j x j y j α j x j α j y q j q.. Bizoyítás. Legye A = α j x j és B = α j y q j. Ekkor = x j y q q j α j A B = [ α j M 0, ] x j q A, yq j B α j x j A + q yq j = B A α j x j + q B ezt A B q -al szorozva kajuk az. egyelőtleséget. [ α j M, ] x j q A, yq j B α j y q j = + q =,

35 FEJEZET. KÖZÉPÉRTÉKEK TÉTEL. [Mikowski-egyelőtleség]: Legye R,, m N, α j R + j =,,...,, valamit x ij R + i =,,..., m; j =,,...,. Ekkor m α j x ij i= m α j x ij i= [ahol 0 = 0].. Bizoyítás. q =. Ekkor m α j x ij = i= [ = eseté yilvá = a két oldal. A továbbiakba >.] Legye α j m k= m x kj x ij = i= m k= α j x kj α j m x ij i= = m k= α j x kj α j m i= Hölder {}}{ x ij m α j x kj k= α j q {}}{ m x ij i= q {}}{ m = α j x kj k= [ m α j i= ] x ij Ezt a második téyezővel osztva kajuk a. egyelőtleséget TÉTEL. [Igham Jesse-egyelőtleség]: Ha m, N,, q R, < q és x ij R + i =,,..., m; j =,,...,, akkor M q M x, x,..., x, M x, x,..., x,..., M x m, x m,..., x mm M M q x, x,..., x m, M q x, x,..., x m,..., M q x, x,..., x m..3 Bizoyítás. m m i= [Csak 0 < < q eseté.] Tehát igazoladó: x ij q q m m i= x q ij q.

36 FEJEZET. KÖZÉPÉRTÉKEK 36 Legye ϱ = q > és A ij = x ij, ekkor = [ m i= = ϱ ] A ij m m m i= ϱ m A ϱ ij ϱ m i= {}}{ ϱ Mikowski = x q ij ϱ m ϱ = m ϱ m Aϱ ij i= m i= m q ϱx q ij m i= x q ij q. Midkét oldal -edik hatváyát véve adódik a bizoyítadó egyelőtleség..6. Elemi szimmetrikus oliomokból kézett közeek összehasolítása.6.. Megjegyzés. [az A N egyelőtleségről]: Korábba beláttuk, hogy ha N és x, x,..., x R +, akkor x + x x x = M x, x,..., x M x,..., x = x, és egyelőség csak x = x =... = x eseté teljesül. A megállaítás x, x,..., x [0, [ eseté is igaz. Ugyais ϕx = x x R szigorúa kovex, ezért tetszőleges x, x,..., x R eseté x + x x x + x x = ϕ ϕx + ϕx ϕx = x + x x és,,= csak x = x =... = x eseté áll fe. Ha x, x,..., x [0, [, akkor ebből adódik. x + x x x + x x

37 FEJEZET. KÖZÉPÉRTÉKEK Defiíció. N eseté az változós elemi szimmetrikus oliomok az E k x, x,..., x = x i x i... x ik x, x..., x R k =,,..., i <i <...<i k módo defiiált függvéyek Megjegyzés. [Viéte-formula]: Ha α, α,..., α R és x = x α x α... x α x R, akkor x = x + k E k α, α,..., α x k. k=.6.4. Lemma. Ha α α... α és x az előző megjegyzésbe bevezetett oliom, akkor egyrészt x = x + k ke k α, α,..., α x k k= x R, másrészt β j [α j, α j+ ] j =,..., úgy, hogy x = x β x β... x β így = x + k E k β, β,..., β x k k= x R, ke k α, α,..., α = E k β, β,..., β k =,...,. Bizoyítás. Ha α j < α j+, akkor α j = α j+ = 0 = β j ]α j, α j+ [ : β j = 0 = x = x β j qx. Ha l. α j < α j = α j+ =... = α j+l < α j+l+ vagy j = vagy j + l =, akkor x = x α j l+ qx miatt x = l + x α j l qx + x α j l+ q x = x α j l [l + qx + x α j q x] = x α j l Qx, ahol Q is oliom, ha q oliom.

38 FEJEZET. KÖZÉPÉRTÉKEK TÉTEL. Tetszőleges N, x, x,..., x [0, [ eseté legye S k x, x,..., x = k ke k x, x,..., x k =,,...,. Ekkor S k : [0, [ [0, [ közé k =,,..., és S x, x,..., x S x, x,..., x... S x, x,..., x [azaz S k x,..., x S l x,..., x, ha k < l ]. Továbbá, ha x, x,..., x R +, akkor k {,,..., } : Bizoyítás. S k x,..., x = S k+ x,..., x = x = x =... = x. 0. léés: Feltehető, hogy x x... x, ekkor x = k x k k S k x,..., x k k k x k k = x = S k közé k =,...,.. léés: S x,..., x S x,..., x igazolása: S x,..., x S x,..., x x + x x E x,..., x x + x x E x,..., x x + x x E x,..., x E x,..., x x + x x }{{ x } x E x,...,x x + x x x + x +... x x + x x x + x x M x,... x M x,... x.. léés: S x,..., x S x,..., x igazolása: S x,..., x = x... x j x j+... x x... x j x j+... x = x x... x

39 FEJEZET. KÖZÉPÉRTÉKEK 39 = x x... x = S x,..., x = S x,..., x S x,..., x 3. léés: [ szeriti teljes idukció] = és = 3 eseté már midet igazoltuk. Most tegyük fel, hogy > 3 és argumetumra igaz a bizoyítadó egyelőtleségsor. Igazoladó k E k x,..., x k+ E k+ x,..., x k =,...,. k k+ A lemma szerit y, y,..., y [0, [ ahol y j [x j, x j+ ] j =,..., úgy, hogy E k x,..., x = k E ky,..., y k =,...,, ezért k {,..., } eseté a bizoyítadó egyelőtleség alakja : azaz k k k E ky,..., y k+ k k k+ E k y,..., y k+ k + E k+y,..., y k+ E k+ y,..., x, ami az idukciós felevés miatt teljesül. k = eseté a. léésbe igazoltuk az egyelőtleséget.

40 Irodalomjegyzék [] Zoltá Boros, Zsolt Páles: Q-subdifferetial of Jese-covex fuctios, J. Math. Aal. Al , [] G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Pólya: Iequalities, Cambridge Uiversity Press, 934. [3] Marek Kuczma: A Itroductio to the Theory of Fuctioal Equatios ad Iequalities Cauchy s Equatio ad Jese s Iequality, st ed.: Państwowe Wydawictwo Naukowe, Warszawa Kraków Katowice, 985; d ed.: Birkhäuser, Basel Bosto Berli, 009. [4] Che Tat Ng: Fuctios geeratig Schur-covex sums, Geeral Iequalities 5 Oberwolfach, 986, ; Iterat. Schriftereihe Numer. Math. 80, Birkhäuser, Basel, 987. [5] Pólya György, Szegő Gábor: Feladatok és tételek az aalízis köréből I., Taköyvkiadó, 980. [6] A. W. Roberts ad D. E. Varberg, Covex fuctios, Academic Press, New York Lodo, 973. [7] Walter Rudi: A matematikai aalízis alajai, Műszaki Köyvkiadó, Budaest,