Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb I Sorozto oldl Def A pozitív egész számo hlmzá értelmezett számértéű függvéyeet sorozto evezzü Megjegyzés: Egyes tárgylási módob éyelmességi szempotból em N R függvéyeről, hem N R függvéyeről beszéle, zz sorozto z 0 elemmel ezdőde Megérdőjelezhető, hogy érdemes-e soroztot függvéyét értelmezi, hisze soroztoról mideibe él egy ituitív ép [ számo egymásutáj ], mi em feltétleül lesz precízebb feti defiíciótól Ez persze ízlés érdése 3 A sorozt em hlmz, ugyz szám többször is előfordulht bee, és léyeges, hogy háyszor és háydi helye Soroztor továbbib z ) jelölést fogju hszáli Természetese lehet b ), c ) stb is) I Sorozto megdás Törtéhet sorozt ú áltláos tgjá megdásávl Például: sorozt -edi tgj legye 3 ) Nem midig tudju zob ilye egyszerű formulávl megdi soroztot H például soroztu -edi tgj π tizedestört-ljából tizedesvessző utái első számjegyből épzett szám, or ez ugy egy jól meghtározott sorozt, zob elég örülméyes iszámíti pl 0000 tgját Megjegyzés: A sorozto megdásáál ugybb problémáb ütözü, mit hlmzo megdásáál H például soroztut övetezőéppe defiiálju: legye, h töéletes szám [ömgáál isebb osztói összege ömgávl egyelő], és legye 0, h em töéletes szám, or el tudju dötei [véges so idő elteltével] sorozt bármelyi eleméről, hogy 0 vgy, de például em tudju megmodi, hogy v-e oly pártl sorszámú eleme sorozt, melyre Az, hogy ezt feti soroztot sorozt teitjü-e vgy sem, megegyezés illetve szemlélet érdése Mi továbbib elfogdju, mit soroztot Törtéhet ú reurzív módo, mior sorozt elejé szereplő éháy tg számértéét megdju, mjd további elemeet orább szerepelt tgo segítségével htározzu meg
Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb pl,, 3 4; 3 4 3, h > 3 oldl 3 Megdhtu egy soroztot úgy is, hogy egy N -ál bővebb hlmzo értelmezett, dott f függvéy N -r vló leszűítését vesszü pl z f : R, x x 3 3 3 3 R függvéy z f ) I Korlátos és mooto sorozto Def: Az ) sorozt felülről orlátos, h létezi oly K szám, hogy mide -re sorozt egy felső orlátj]; lulról orlátos, h létezi oly szám, hogy mide -re [eor sorozt egy lsó orlátj] Az ) sorozt orlátos, h lulról és felülről orlátos K [eor K Megjegyzés: A feti defiícióvl evivles defiíció orlátosságr: z ) sorozt orlátos, h létezi oly N > 0 szám, hogy mide -re N Egyszerűe beláthtó, hogy N mx K, ) megfelelő, h feti defiíció teljesül, illetve l N és l N lsó illetve felső orláto Példá: Az sorozt orlátos, mert mide -re feáll Az 7 sorozt lulról orlátos, mert például 7 7 mide -re, de felülről em orlátos, mert h K rögzített szám, or K <, h > K 7 3 Az ) sorozt sem lulról, sem felülről em orlátos A feti egyszerű példá muttjá, hogy orlátos illetve cs lulról vgy cs felülről orlátos sorozto is léteze, sőt előfordul oly sorozt is, mely semelyi oldlról em orlátos A sorozto orlátosságávl pcsoltb meg ell említeü leggyobb lsó orlátot [ifimum], illetve legisebb felső orlátot [supremum] Def Az ) sorozt ifimum [leggyobb lsó orlátj] z szám, melyre teljesül: lsó orlát, zz mide -re
Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb 3 oldl -ál gyobb szám em lsó orlát, zz h >, or v sorozt -él isebb eleme [Ezzel egyeértéű megfoglmzás: h lsó orlát, or ] Jelölés: if Def Az ) sorozt supremum [legisebb felső orlátj] z K szám, melyre teljesül: K lsó orlát, zz mide -re K K-ál isebb szám em felső orlát, zz h K < K, or v sorozt K -él gyobb eleme [Ezzel egyeértéű megfoglmzás: h K felső orlát, or K K ] Jelölés: K sup Tétel: H z ) sorozt felülről orlátos, or létezi legisebb felső orlátj Tétel: H z ) sorozt lulról orlátos, or létezi leggyobb lsó orlátj A tétel pcsá szót ell ejteü Ctor-xiómáról A vlós számo redezett testét vló xiomtius felépítése sorá erül elő z rhimédészi xiómávl együtt Ctor-xióm Egymásb stulyázott, zárt itervllumo végtele soroztá v özös potj, zz h mide -re I zárt itervllum és I I I 3, or I I i em üres i Más felépítésbe természetese szerepelhete más xiómá Például zt is feltehetjü xiómét, hogy mide orlátos hlmz [sorozt] létezi supremum illetve z ifimum Def Az ) sorozt mooto övevő, h bármely N -r Def Az ) sorozt mooto csöeő, h bármely N -r H z egyelőtleségebe szigorú egyelőtleség áll [z egyelőséget em egedjü meg], or szigorú mooto övevő illetve szigorú mooto csöeő soroztról beszélü Az előző tuljdoságo vlmelyiével redelező soroztot mooto sorozto evezzü Megjegyzés: Újbb hszáltos elevezés, hogy mooto öveedő soroztot mooto
Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb 4 oldl emcsöeő, mooto csöeő soroztot mooto emövevő sorozto evezi; ezzel együtt mooto öveedő illetve mooto csöeő elevezés pedig szigorú mooto öveedő illetve szigorú mooto csöeő soroztor v fetrtv Ez z elevezés sorozt mootoitási tuljdoságit jobb muttj, de hgyomáyos elevezése jobb elterjedte, ezért itt továbbib defiíciób modott elevezéseet hszálju Példá: Az Az sorozt szigorú mooto csöeő, mert > mitt > teljesül sorozt szigorú mooto övevő, mert > egyelőtleség mitt < fet említett 3 Az sorozt yilvávló sem mooto övevő, sem mooto csöeő ) 4 Előfordulht, hogy egy sorozt cs vlmely tgjától lesz mooto Például z 4 4 sorozt első éháy eleme:, 0,, 4, Az 3 4 f x) x 4x 4 függvéy tuljdosági ismeretébe tudju, hogy z ) sorozt másodi tgjától ezdve szigorú mooto ő Az ilye típusú soroztot is mooto sorozto evezzü I3 Sorozto és művelete A ésőbbiebe sorozto özött ülöböző műveleteet fogu végezi, ezért defiiálju őet Def Az ) és b ) sorozto összegé zt c ) soroztot értjü, melyre Jelölése: c ) ) b ) b ) c b Def Az ) és b ) sorozto ülöbségé zt c ) soroztot értjü, melyre c b Jelölése: c ) ) b ) b ) Def Az ) és b ) sorozto szorztá zt c ) soroztot értjü, melyre c b Jelölése: c ) ) b ) b )
Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb Def Az ) és b ) sorozto háydosá, h mide -re b 0 5 oldl, zt c ) soroztot értjü, melyre ) c b Jelölése: c ) b ) b Def Az ) sorozt λ R vlós számml vló szorzt z c ) sorozt, melyre c λ Jelölése: c ) λ ) λ ) Def Az ) sorozt, melye mide eleme emegtív, λ-di htváy λ R ) z c ) sorozt, melyre λ c Jelölése: c ) ) λ ) λ Megjegyzés: A számo λ-di htváyát tetszőleges λ-r z eddigiebe em értelmeztü Ez sorozto tuljdoságit felhszálv lehetséges Mivel itt ezzel érdésörrel em fogllozu részletese, sorozto htváyozásáál már tetszőleges htváyitevőt veszü figyelembe Így természetese z ) sorozt elemeire megszorítást ell teü, mert λ-di htváyt tetszőleges λ-r cs pozitív htváylp eseté értelmezzü Példá: Az, b sorozto összege c sorozt Az, b sorozto ülöbsége c sorozt 3 Az, b sorozto szorzt c sorozt 4 Az 4 sorozt -szerese c sorozt I4 Nevezetes sorozto I4 Számti sorozt Def Számti sorozt evezzü z ) soroztot, h bármely tgj és z zt megelőző tgj ülöbsége álldó Ezt z álldót d-vel jelöljü, és számti sorozt differeciájá evezzü A számti sorozt defiíciój lpjá reurzív épzési szbály: d Az első tg segítségével is megdhtju z -edi elemet, reurziót ierülve: 0 ) d [Ez tuljdoság pl teljes iducióvl bizoyíthtó]
Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb 6 oldl A reurzió segítségével számti sorozt lábbi egyszerű tuljdosági rögtö látsz: ) h d > 0, or ) szigorú mooto övevő, lulról orlátos, felülről em orlátos b) h d < 0, or ) szigorú mooto csöeő, felülről orlátos, lulról em orlátos c) h d 0, or is beszélhetü számti soroztról Ez egyszerre mooto övevő és csöeő is, hisz sorozt mide tgj ugyz A számti sorozt gy jeletősége v soroztol vló megismeredésbe, hisz egyie legegyszerűbb sorozto, sőt z első számsorozt, mivel tuló megismerede [ ], szité ebbe tegóriáb trtozi A számti sorozt ezelhetősége ige jó, egyszerűe vele pcsoltos tétele és számításo, így llms bevezetésre és z első ismeredésre sorozto tuljdoságivl I4 A számti sorozt első tgjá összege A bizoyításr illetve z összeg felírásár dott legegyszerűbb módszer Guss evéhez fűződi Jelöljü z első tg összegét S -el Írju le z összeg tgjit, mjd írju le fordított sorredbe: S S Mivel számti sorozt tgjir, ezért ) d) ) d) feti ét ifejezést függőlegese tgoét összedv S ) ifejezést pju, ho S ) Az első tg összegét -gyel és d-vel is ifejezhetjü helyettesítve feti épletbe): Megjegyzés: Az S [ ) d] ) d S -re votozó formul teljes iducióvl is bizoyíthtó A bizoyítás ez módj zob evésbé mutt rá dolog léyegére - t A számti sorozt első tgj összegée éplete egyszerű gyorlti llmzáso bemuttásár d lehetőséget
Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb 7 oldl Péld: Egy útszsz jvításához homobáyából teherutóvl homoot szállít Az első ocsi homoot báyától 8000 m-re rjá le, és mide további homoupcot 5 m-re z előzőtől létesítee A 35 fordulóál milye messzire megy z utó, és 35 forduló megtétele özbe meor utt tett meg? Megoldás: Az utó áltl báyától upcoig megtett ut egy számti sorozt egymást övető elemei, melye első tgj 8000, differeciáj pedig 5 A 35 fordulób lerott upc távolság ee 35 35 eleme, zz 8000 4 35 8840 m Ahhoz, hogy z összese megtett távolságot megtudju, össze ell du sorozt első 35 elemét persze mide tgot étszer ell számolu, mert z utt z utó od-vissz tette meg) A megtett távolság tehát 8000 8840 S 35 589400 m A feti feldthoz hsoló ell megoldi pl páros számo, illetve egyéb számti sorozto összegzésére votozó feldtot H számti sorozt 3 egymást övető, tgját teitjü, or z lábbi összefüggés áll fe özöttü:, Azz özépső tg ét szélső számti özepe, ie ered számti sorozt elevezés I43 Mérti sorozt Def Mérti sorozt evezzü zt számsoroztot, melybe [ másoditól ezdve] bármelyi tg és z zt megelőző tg háydos álldó Ezt z álldó háydost q-vl jelöljü, és mérti sorozt háydosá vóciesée) evezzü A defiícióból övetezi mérti sorozt reurzív épzési szbály: tgo előjele zoos, q < 0 eseté tgo előjele változó] q [0 < q eseté Teljes iducióvl öye beláthtó, hogy mérti sorozt -edi tgját z q éplettel dhtju meg Megjegyzés: Ez defiíció izárj z 0 illetve q 0 eseteet Eor ugyis vgy 0, 0, 0,
Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb 8 oldl, vgy z, 0, 0, 0, típusú soroztot pá, zob éyelmi szempoto mitt ezeet em teitjü mérti sorozto Egyszerűe megmutthtó, hogy Nem modhtju zob [ számti sorozttl lóg módo], hogy mérti sorozt egy tgj z őt özrefogó eleme mérti özepe, hisz mérti sorozt egtív tgji is lehete, így feti ijeletésü em lee összhgb mérti özép defiíciójávl Helyesebb tehát cs pozitív tgú mérti soroztor szorítozi ebbe z esetbe Eor megállpíthtju, hogy pozitív számoból álló mérti sorozt bármely három egymást övető elemére igz, hogy ét szélső mérti özepe egyelő özépső tggl Megjegyzés: Természetese mérti soroztról beszélü bb z esetbe is, h q [Ez hsoló számti soroztál d 0 esethez] A mérti sorozto például mtosmt-számításál bu fel Péld: Vlmely év juár -é beteszü bb 0000 Ft-ot 5%-os mtos mtr, 5 évre Meyi péz lesz bb bszámláo z 5 év leteltével? Megoldás: 5 év elteltével bb 0000 0000 0000, 5 Ft-u lesz A övetező évbe 00 5 0000,5 0000,5) 00 0000,5 Ft-u lesz Egyszerűe beláthtó, hogy z -edi év elteltével bb levő, mtos mtol övelt pézösszeg elteltével 0000,5 5 03, 6 Ft-u lesz 0000,5 Ft Azz z 5 év A feti péld egyie legegyszerűbb problémá, de jól illusztrálj z dott témörbe mérti sorozto szerepét Boyolultbb bi számításob zob legtöbb esetbe em elég mérti sorozto hszált, szüség v mérti sorozto első tgjá összegére is
Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb I44 A mérti sorozt első tgjá összege 9 oldl Idézzü fel gimáziumi első osztályos tygból z b ifejezés szorzttá lítását! b b) b b b b 3 ) A mérti sorozt első tgjá összegzéseor z lábbi összeget ell iszámítu: S q q q q q q ) H zárójeles ifejezést összevetjü feti szorzttl, or láthtó, hogy ott q, b helyettesítéssel hsolót pu: q q ) q q q ) H q, or természetese leoszthtu:, zz S, h q, or pedig q -gyel q q q q ) q Nézzü egy példát ee llmzásár! S Péld: Asephd író szerit Sher hidu irálytól Sess, sjáté feltlálój jutlmul yi szem búzát ért, meyi stábl égyzeteire irhtó úgy, hogy z első mezőre, másodi mezőre, hrmdir 4, egyedire 8, zz mide mezőre étszer yi búzát tesze, mit z előzőre A irály legyitett, hogy ilye icsiy érést öyűszerrel tud teljesítei Számítsu i, hogy meyi búzát ért feltláló, h 6 szem búz b grmm! Megoldás: Az első mezőre, másodir, z -edire db búzszem erül A stáblá így összese 64 63 63 64 4 8 db búzszem v 4 Ez meyiség lé- yegébe 64 [érezhető, hogy ehhez épest z elhygolhtó icsi], mi Mivel 0 50 0 5 5 5 000, ezért ez b g ) g 000 g 0 g Ez 0, zz egybillió to 64 60 grmm 4
Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb I45 A Fibocci-sorozt 0 oldl Képzeljü mgu elé egy yúlfrmot A frmo mide yúl évete egyszer fil, de születése utá el ell telie egy éve, hogy filhsso Így tehát mide évbe yul szám yivl öveszi, meyi yúl már ét évvel zelőtt frmo volt H z -edi év végé yul számát -el jelöljü, or z előző év végé - yúl volt frmo, de özülü cs már egy éve frmo élő - yúl fil, zz - - [ - öveméy) A ezdőértée:, A feti reurzióvl eletező, és megdott ezdőértéeel redelező soroztot Fiboccisorozt evezzü A Fibocci-sorozthoz más meggodolássl is eljuthtu Képzeljü zt, hogy egy lépcső v előttü, és úgy ru felmei rjt, hogy egyszerre egy vgy ét lépcsőfoot lépü Az első lépcsőfor yilvávló cs egyféleéppe léphetü fel A másodir étféleéppe: rögtö másodir, vgy z elsőre és o másodir A továbbib számolás egyszerűsíthető: z - edi lépcsőfor z --edi vgy z --edi lépcsőforól léphetü H -el jelöljü z -edi for vló feljutási lehetősége számát, or yilvávló, hogy - - I46 A Fibocci-sorozt éháy egyszerű tuljdoság ) Számítsu i sorozt első tgjá összegét! Írju fel érdéses összeget, és lítsu át! Ebből z összefüggésből: 3 ) - ) ) - Nyilvávló, hogy h sorozt tgji összegét z -ediig rá iszámíti, or feti összegzésbe z eredeti összeget -ig ell elészítei, és eor z ifejezést pju ) )
Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb b) Számítsu i Fibocci-sorozt első tgj égyzetée összegét! oldl H, or Szorozzu -vl, és fejezzü i -t! - Ie pju, hogy mert ) 3 3 43 3 M H jobb- és bloldlt összedju, or bloldl összege ívát égyzetösszeget dj, jobboldlo pedig z egymást övető ifejezése tgji változó előjel mitt iese, ivéve z utolsó tgot: Jobb épességű diáoál [pl speciális mtemti tgozto vgy fultáció, szöri fogllozás eretébe] Fibocci-sorozt mélyebb tuljdoságiról is szót ejthetü Def Fibocci-szerű sorozto evezzü z oly ) soroztot, melyere 3 eseté - - Nyilvávló, hogy mide Fibocci-szerű soroztot z első ét eleme htároz meg, ezeet viszot tetszőleges értée válszthtju Az is yilvávló, hogy ét Fibocci-szerű sorozt összege illetve számml vló szorzt szité Fibocci-szerű Köye megmutthtó, hogy v oly mérti sorozt, mely Fibocci-szerű Legye ee vóciese q, első eleme Eor övetező összefüggése ell teljesülie: q q q - q q - Azz q z x x 0 egyelet gyöei özül erülhet i
Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb oldl q, ± 5 5 q, q 5, b 5 Ebből tehát 5 A fetiebe már megmutttu, hogy mide Fibocci-szerű soroztot z első ét eleme htároz meg Ebből övetezi, hogy h f ) Fibocci-szerű sorozt, or bb z esetbe, h z A, B számo ielégíti z f A Bb, f A Bb egyeleteet, f ) A ) B b ) Ez yilvávló, mert z A ) B b ) sorozt Fibocci-szerű orább modott értelmébe [Fibocci-szerű sorozto összege illetve számml vló szorzt is Fibocci-szerű], és z első ét eleme megegyezi f ) első ét elemével Megmutthtó z is, hogy z f A Bb, A B f b egyeletee midig egyértelmű megoldás v Ee övetezméye z lábbi tétel: Tétel: Mide Fibocci-szerű sorozt egyértelműe előáll A ) B b ) lb A Fibocci-szerű soroztol vló számolást megöyíti, h z eleme sorszámozását em - től, hem 0-tól ezdjü Eor feti egyeletredszer z f 0 A B, f A Bb lot ölti Korét Fibocci-sorozt esetébe sorszámozás módosítását úgy is megtehetjü, hogy hozzáveszü sorozthoz egy 0 elemet, és soroztot z 0, ezdőértéeel dju 0 meg A Fibocci-sorozt illetve Fibocci-szerű sorozto legegyszerűbb példái reurzióvl megdott sorozto, melye áltláos tgját cs issé örülméyese tudju meghtározi, zob reurzív formulát felhszálv érdees tuljdoságit tudju bebizoyíti illetve iderítei Jó péld rr, hogy hogy lehet egy soroztot ezeli élül, hogy z elemeie áltláos lját ismeré 0
Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb 3 oldl I5 Sorozto overgeciáj Def I Az számot z ) sorozt htárértéée evezzü, h mide ε > 0 számhoz tlálhtó oly N szám, hogy h N <, or < ε Szvl ez zt jeleti, hogy egy idő utá [zz N-él gyobb idexű tgor] sorozt elemei legfeljebb ε távolságr lesze -tól Mivel ε-r cs z iötésü, hogy pozitív, feti defiíció zt jeleti, hogy egy idő utá sorozt elemei tetszőlegese megözelíti -t Def II Az számot z ) sorozt htárértéée evezzü, h mide ε > 0 számhoz tlálhtó oly N szám, hogy N < eseté ε, ε) Köye láthtó, hogy z I és II defiíció evivlese Sőt, dhtó egy hrmdi defiíció is: Def III Az számot z ) sorozt htárértéée evezzü, h mide ε > 0 számr z < ε egyelőtleség véges so ivétellel teljesül, zz sorozt z ε, ε) itervllumo ívül cs véges so eleme v H z szám z ) sorozt htárértée, or zt modju, hogy z ) sorozt overges, és trt -hoz, h trt végtelebe Jelölése:,, vgy lim olvsd: limesz egyelő -vl, h trt végtelebe) Az N számot szoás üszöbszám vgy üszöbidexe evezi Példá: Az sorozt overges, és htárértée 0 Legye ε > 0 Eor eresü ell oly N-t, melyre N < eseté < ε Pl N megfelelő ε Az sorozt overges, és htárértée Ez yilvávló, mert tetszőleges ε > 0 számr 0 < ε mide eseté, tehát pl N megfelelő üszöbszám 3 Az sorozt em overges, ugyis bármilye számot, és bármilye ε > 0 számot veszü, em teljesül defiíció feltétele, em létezi üszöbszám Tegyü fel, hogy mégis lee
Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb 4 oldl Legye és ε > 0 rögzített, és tegyü fel, hogy h N <, or < ε > ε, or > ε Azob h Ez viszot elletmodásr vezet, mert mx ε, N ) > eseté > ε és < ε egyszerre áll fe, tehát em létezi üszöbszám, zz sorozt em overges A feti példá muttjá, hogy v overges, és em overges sorozto is Ez utóbbi típusú soroztot divergese evezzü A hrmdi defiíció egy érdést vet fel A defiícióból övetezi, hogy h z ) sorozt htárértée, or mide ε > 0 számr z ε, ε) itervllumb végtele so eleme esi z ) sorozt Miért em elég ez utóbbit imodi? Mert előfordulht, hogy ugy modott övetezméy teljesül, de emcs z itervllumo belül, hem rjt ívül is végtele so eleme v sorozt Péld:, h páros, h pártl Eor z ) sorozt ε, ε) illetve ε, ε) itervllumb végtele so eleme esi, így z egyes itervllumoo ívülre is végtele so eleme esi Def Az ) sorozt torlódási potjá evezzü z számot, h mide ε > 0 számr z ) sorozt z ε, ε) itervllumb végtele so eleme esi Nyilvávló, hogy h z szám htárértée z ) sorozt, or egybe torlódási potj is Fordítv em igz: bból, hogy z ) sorozt z szám torlódási potj, em övetezi, hogy ) htárértée z szám [ezt muttj feti péld is] Egy sorozt tetszőlegese so, ár végtele számú torlódási potj is lehet Megülöböztethetjü zot z eseteet overges soroztoál, mior sorozt úgy trt egy
Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb 5 oldl számhoz, hogy vlmely üszöbszámtól ezdve gyobb [isebb] ál Eor zt modju, hogy sorozt felülről [lulról] trt htárértééhez I5 Koverges sorozto tuljdosági Tétel: Mide overges sorozt orlátos A overges sorozto eze tuljdoságát rr tudju felhszáli, hogy h egy soroztról megállpíthtó, hogy em orlátos, or em is lehet overges Péld: Az sorozt em orlátos, így em is lehet overges Tétel: H z ) sorozt overges, or htárértée egyértelmű Ez tuljdoság zért fotos, mert elég cs egy htárértéet tlálu, zz egy oly számot, mely teljesíti defiíciót Tétel: [Redőr-elv] H dott három sorozt, ), b ), c ), melyre, c és b c vlmely üszöbidextől ezdve, or b ) is overges és htárértée Megjegyzés: Az elevezés bból hsoltból szármzi, hogy h ét redőr özrefog egy bűözőt, ét redőr z őrszobár trt és bűöző midig özöttü mrd, or ő is z őrszobár trt Ez tuljdoság or v gy segítségüre, mior egy soroztot már ismert htárértéű soroztol tudu lulról illetve felülről özrefogi, így vizsgált sorozt overgeciáj és htárértée megállpíthtó Péld: Koverges-e z Megoldás: sorozt?! Nyilvávló, hogy 0 < <! Ebből övetezi, hogy 0 < < A redőr-elv értelmébe, mivel!
Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb 6 oldl 0, 0 0, ezért! overges, és 0-hoz trt I6 Részsorozto; orlátosság, mootoitás és overgeci pcsolt, 3 Def Legye ) végtele sorozt Legye,, természetes számo egy végtele, szigorú mooto öveedő részsorozt Eor z,, soroztot z ) sorozt részsoroztá evezzü, 3 A defiíció más szvl zt jeleti, hogy részsorozt z sorozt, mely z eredeti sorozt vlmely [ár végtele so] tgji elhgyásávl, mrdé tgo sorredjée megtrtásávl eletezi Persze rr ügyelü ell, hogy z elhgyás utá is még végtele so tg mrdjo, de feti feltétel ezt grtálj Megjegyzés: A részsorozt foglmá segítségével új defiíciót dhtu torlódási potr: Def Az ) sorozt torlódási potj z szám, h v z ) sorozt oly részsorozt, melye htárértée Tétel: H z ) sorozt overges és htárértée, or bármely részsorozt overges és htárértée Megjegyzés: A tétel megfordítás is igz, zz h ) mide részsorozt overges, és htárértée, or ) is overges és htárértée A tétel jeletősége bb rejli, hogy h egy soroztról vlmilye módo meg tudju mutti, hogy overges, or elég egy tetszőleges részsoroztá htárértéét megdi, ezzel megdtu z egész sorozt htárértéét, vlmit h soroztu oly overges részsoroztor bothtó, melye htárértée megegyezi, or sorozt htárértéét is öye meg tudju htározi Péld: Legye z ) sorozt z lábbi sorozt:
Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb 7 oldl, h páros, h pártl Eor yilvávló, hogy páros idexű tgo b, pártl idexű tgo c részso- roztot htározzá meg Mivel b ) és c ) htárértée 0, így z ) sorozt is overges, és htárértée 0 Tétel: Korlátos, mooto sorozt overges Megjegyzés: A tétel legisebb felső orlát illetve leggyobb lsó orlát létezésée övetezméye A tétel lehetőséget d rr, hogy bizoyos sorozto overgeciájá érdését eldötsü, de legtöbb esetbe rr em d módot, hogy orét meg is htározzu z dott sorozt htárértéét Péld: Koverges-e z sorozt? 3 ) Megoldás: A sorozt yilvá szigorú mooto övő, mert > 0 Be ellee még láti, ) hogy sorozt orlátos is A mooto öveedés mitt ehhez elég beláti, hogy sorozt felülről orlátos Tudju, hogy teljesül eseté Eor tehát övetező felső becslést dhtju ) sorozt tgjir: 3 ) 3 ) ) ) 3 A sorozt tehát szigorú mooto övevő és orlátos, így overges Megjegyzés: A sorozt overgeciáját megállpítottu, de htárértéée iszámítás már ehé-
Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb 8 oldl zségebe ütözi Euler számított i először egyéb mtemtii módszereel, és pt π 6 eredméyt Tétel: Mide sorozt v mooto részsorozt A feti tétel illetve mooto, orlátos sorozto overgeciájár votozó tétel egyszerű övetezméye: Tétel: [Bolzo-Weierstrss tétel] Mide orlátos sorozt v overges részsorozt A tétel más szvl zt modj, hogy mide orlátos sorozt v torlódási potj Felvetődi z érdés, hogy csiálhtu-e oly htárérté illetve torlódási pot defiíciót, mely em cs orlátos soroztor llmzhtó I7 Tágbb értelembe vett htárérté A végtele mit htárérté) Teitsü z soroztot Korább már láttu, hogy em orlátos, és yilvávló, hogy szigorú mooto övő Az eddigi defiíciói szerit ics htárértée, mégis úgy érezzü, hogy trt vlhov, hogy trt végtelebe Def Az ) sorozt htárértée plusz végtele, h z ) sorozt mide htáro túl övő, zz mide K számhoz létezi oly N szám, hogy > N eseté > K Jelölés: lim Def Az ) sorozt htárértée míusz végtele, h z ) sorozt mide htáro túl csöeő, zz mide K számhoz létezi oly N szám, hogy > N eseté < K Jelölés: lim Megjegyzés: A jele szimbolius jeletése v fetiebe és továbbib, hisze ics oly szám, mely végtele gy A defiíció gyorltilg zt jeleti, hogy sorozt tgji özött tetszőlegese gy, illetve tetszőlegese icsi gy bszolút értéű egtív) tgo is v A szóhszáltb zt is modju, hogy z ) sorozt trt plusz végtelehez, vgy trt míusz vég-
Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb 9 oldl telehez A feti htárérté defiícióvl lóg módo defiiálhtju végtelet mit egy sorozt torlódási potját Def Az ) sorozt torlódási potj, h sorozt v plusz végtelehez trtó részsorozt, zz mide K-r sorozt v végtele so K-ál gyobb eleme Def Az ) sorozt torlódási potj, h sorozt v míusz végtelehez trtó részsorozt, zz mide K-r sorozt v végtele so K-ál isebb eleme Megjegyzés: Noh defiiáltu végtelet mit htárértéet, mégsem modju, hogy egy sorozt overges, h htárértée végtele Ilyeor zt modju, hogy sorozt diverges, de v htárértée, plusz vgy míusz végtele A overges jelzőt fetrtju véges htárértéel redelező sorozto számár Fogllju össze egy is tábláztb, hogy milye elevezései v sorozto overgeciájár illetve divergeciájár: ) htárértée z szám Koverges V htárértée ) htárértée ) htárértée Diverges Nics htárértée ) -e ics htárértée Péld: Htározzu meg z lábbi sorozt torlódási potjit: )! Megoldás: A sorozt -), és c - - b 4 4 részsoroztor bothtó A b ) sorozt htárértée, c ) sorozt htárértée 0 Így tehát sorozt torlódási potji 0 és A végtele mit htárérté bevezetésével orábbi tételei újrfoglmzhtó zz oly megfo-
Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb 0 oldl glmzást dhtu, mely érvéyes tágbb értelembe vett [végtele] htárértére illetve tágbb értelembe vett [végtele] torlódási potr is): Tétel: H z ) sorozt v htárértée, or htárérté egyértelmű Tétel: [Redőr-elv plusz végtelehez trtó soroztor] H z ) sorozt trt plusz végtelehez és vlmely üszöbidextől ezdve b, or b ) sorozt is trt plusz végtelehez Tétel: [Redőr-elv míusz végtelehez trtó soroztor] H z ) sorozt trt míusz végtelehez és vlmely üszöbidextől ezdve b, or b ) sorozt is trt míusz végtelehez Tétel: Mooto sorozt v htárértée Tétel: Mide sorozt v htárértéel redelező részsorozt Tétel: H z ) sorozt létezi htárértée, or mide részsoroztá is v htárértée, és ez megegyezi ) htárértéével Megjegyzés: Aárcs orább hsoló tételél, itt is igz tétel megfordítás: H z ) sorozt mide részsorozt overges, és eze htárértée megegyezi, or z ) sorozt is overges, és htárértée megegyezi részsorozto htárértéével Egyszerűe beláthtó, hogy sorozto overgeci- illetve htárérté és orlátossági tuljdoságit z lábbi em változttjá meg: A soroztot átredezzü, zz elemeie sorredjét megváltozttju Ez potosbb zt jeleti, hogy veszü egy ölcsööse egyértelmű megfeleltetést N elemei özött, és z átredezett sorozt z,, sorozt), 3 A sorozt bizoyos elemeit [ár végtele sot] véges soszor megismételjü 3 A sorozthoz véges so elemet hozzáveszü 4 A soroztból véges so elemet elhgyu
Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb oldl I8 Művelete és htárérté Korább már defiiáltu sorozto özti műveleteet, most ézzü, hogy milye tuljdosággl redeleze végeredméyét pott sorozto! I8 Sorozto számszorosá htárértée Tétel: H λ R és z ) sorozt overges és htárértée z szám, or λ ) is overges, és htárértée λ Tétel: H λ > 0, λ R és z ) sorozt htárértée, or λ ) sorozt htárértée is Tétel: H λ > 0, λ R és z ) sorozt htárértée, or λ ) sorozt htárértée is Tétel: H λ < 0, λ R és z ) sorozt htárértée, or λ ) sorozt htárértée Tétel: H λ < 0, λ R és z ) sorozt htárértée, or λ ) sorozt htárértée Tétel: H z ) sorozt ics htárértée és λ 0, λ R, or λ ) sorozt sics htárértée I8 Sorozto összegée htárértée Tétel: H z ) sorozt overges és htárértée, b ) sorozt overges és htárértée b, or z b ) sorozt is overges és htárértée b Tétel: H z ) sorozt lulról orlátos, és b ) sorozt trt plusz végtelehez, or z b ) sorozt is trt plusz végtelehez
Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb oldl Tétel: H z ) sorozt felülről orlátos, és b ) sorozt trt míusz végtelehez, or z b ) sorozt is trt míusz végtelehez H htárértéel redelező soroztor szorítozu, or z lábbi tábláztb fogllhtju össze z összegsorozt htárértéét: b b b b? b? A érdőjellel jelölt esetebe em modhtu semmit z összegsorozt htárértééről, mert eor több lehetőség is előfordulht Azz h, b, or lehet b Péld:, Eor b ) b) b b Péld:, Eor b c) R b b c, c Péld: c, b Eor b c c d) b ) -e ics htárértée Péld:, h pártl, h páros b, h pártl, h páros Eor b, h pártl, h páros Láthtó, hogy z b ) sorozt oszcillálv diverges, zz ics htárértée I83 Sorozto ülöbségée htárértée Az b ) soroztot megphtju z ) és b ) sorozto összegeét, így erre z esetre orább modott tétele érvéyese, b ) sorozt htárértéée figyelembevételével
Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb 3 oldl I84 Sorozto szorztá htárértée Tétel: H z ) és b ) sorozto overgese és htárértéü illetve b, or z b ) sorozt is overges és htárértée b Megjegyzés: A tétel egyszerű övetezméye, hogy h z ) sorozt overges, or N eseté ) sorozt is overges, és htárértée Tétel: H z ) sorozt vlmely tgjától ezdve mide tgj gyobb egy rögzített pozitív számál, vlmit b ) sorozt htárértée, or z b ) sorozt htárértée is Tétel: H z ) sorozt vlmely tgjától ezdve mide tgj gyobb egy rögzített pozitív számál, vlmit b ) sorozt htárértée, or z b ) sorozt htárértée is Hsoló tétel foglmzhtó meg, h z ) sorozt vlmely tgjától ezdve mide tgj isebb egy rögzített egtív számál Szité összefogllhtju egy tábláztb, hogy htárértéel redelező sorozto szorztá v-e htárértée, és h v, or meyi ez htárérté > 0 0 < 0 b b > 0 b 0 b b 0 0 0 0?? b b < 0 b 0 b b? b? A érdőjellel jelölt esetebe em modhtu semmit szorztsorozt htárértééről, mert eor több lehetőség is előfordulht Azz h pl, b 0, or lehet b Péld:, b Eor 0 b ) 0 b) Péld:, b b Eor b
Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb 4 oldl c) b Péld:, b Eor b d) b c, c R Péld: b e) ) c, b Eor b c c -e ics htárértée Péld:, b ) Eor ) zt ics htárértée, mert és z is torlódási potj b, mely soro- Hsoló megmutthtó, hogy feti lehetősége, b 0 esetbe is megvlósulht I85 Sorozto háydosá htárértée A sorozto háydosát rr z esetre defiiáltu, mior z osztó sorozt egyi eleme sem 0 Ezt ibővíthetjü oly módo, hogy h z ) sorozt elemei vlmely 0 -tól ezdve em 0-, or z ) és b ) sorozto háydos z c ) sorozt, melyre c és > 0 b Mivel sorozto véges so elemét elhgyv sorozto overgeci- illetve htárérté tuljdosági em változ, háydossoroztot teithetjü z 0 -di elemétől Tétel: H ) és b ) overges sorozto, htárértéü illetve b, továbbá b 0, or z b sorozt is overges és htárértée b Megjegyzés: A b b 0 feltételt trtlmzz zt feltételt is, hogy v oly 0, hogy > 0 eseté b 0 Tétel: H b ) pozitív tgú, orlátos sorozt és, or b Megjegyzés: A b ) soroztról elég yit feltei, hogy vlmely üszöbidextől ezdve pozitív tgji Hsoló tétel modhtó i bb z esetbe, h b ) sorozt egtív tgú, illetve h z ) so-
Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb 5 oldl rozt htárértée Tétel: H b ) sorozt em orlátos, és ) sorozt orlátos, or z b sorozt 0-hoz trt Ismét tábláztb fogllhtju htárértéel redelező sorozto háydossoroztá htárérté- illetve overgeci-tuljdoságit: b b > 0 0 < 0 b > 0 0 b b b 0????? b < 0 0 b b b 0 0 0?? b 0 0 0?? A érdőjele helyé itt is oly b sorozto áll, melye overgeciáj em eldöthető z ) és b ) sorozto htárértéée ismeretébe Mivel z b sorozt z ) és z b sorozto szorztét áll elő, orábbihoz hsoló mgdhtó oly ) és b ) sorozto, melyre z b sorozt más-más htárértéel redelezi, illetve előfordulht, hogy htárértée sics A b 0 esetbe ritius helyzet mitt lép fel, hogy z b sorozt htárértée em meghtározhtó b ) sorozt orét ismerete élül h egyáltlá v htárértée) Amior pedig z ) és b ) sorozto htárértée vgy, or z b illetve végtele htárértéű sorozto szorztá htárértée bizoytl sorozt htárértée 0, és 0
Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb 6 oldl I86 Sorozto htváyi tuljdoság A sorozto háydosához hsoló orábbi defiíciót ibővíthetjü Mivel sorozto htárértée em változi véges so tg elhgyásávl, ezért defiiálju sorozto htváyát orábbi defiíció szerit, de emcs oly soroztor, melye mide tgj emegtív, hem zor is, melye tgji egy üszöbidextől ezdve emegtív Tétel: H z ) sorozt overges, és htárértée z > 0 szám, or tetszőleges λ R eseté z λ ) sorozt is overges, és htárértée λ Tétel: H z ) sorozt trt plusz végtelebe, or tetszőleges λ > 0, λ R eseté z λ ) sorozt htárértée plusz végtele Tétel: H z ) sorozt trt plusz végtelebe, or tetszőleges λ < 0, λ R eseté z λ ) sorozt htárértée 0 Megjegyzés: A feti éháy tételhez hsoló tételeet lehet imodi orét htváyitevő eseté Eor em feltétleül ell megöveteli z dott sorozt elemeie emegtív voltát, ugyúgy, hogy számo htváyit is defiiálhtju orét htváyitevő eseté egtív számor is, meyibe ezt htváyitevő megegedi Itt z áltláos érvéyű tételeet modtu i, így éytelee voltu emegtív feltételt hozzávei tételehez I87 Néháy orét llmzás sorozto műveleti tuljdoságir Példá: 3 Mi htárértée z sorozt? Mivel b 3 sorozt htárértée 3, c sorozt htárértée, ezért z b sorozt c htárértée 0
Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb 7 oldl Mi htárértée z Mivel b si sorozt? si orlátos és c trt végtelehez, ezért b trt 0-hoz c 3 Mi htárértée p) c sorozt, hol p x) és q x) tetszőleges poliomo [ qx) q) esetleges gyöei helyé c értée legye pl 0; mivel ez véges so értéet jelet, orább modott értelmébe ez em befolyásolj sorozt htárértéét] Legye p x) -dfoú, q x) m- edfoú poliom A problémát három esetre ell botu: ) > m Eor - c - 0 H számlálót és evezőt leosztju m b b m- m m- b0 m -el, c - -m b m b -m- m- b m- m b 0 0 m m ifejezést pju Itt számláló -hez, -hoz illetve 0-hoz trtó sorozto összegéből áll [véges soból], így htárértée A evező egy bm - hez és m db 0-hoz trtó sorozt összege, ezért htárértée b m Így c ) htárértée b) m Az előzőhöz hsoló osszu le számlálót és evezőt m -el Eor számláló fetie szerit -hoz, evező bm -hez trt A tört értée tehát m -hez, főegyütthtó háydosához trt b c) < m Az m m -el vló leosztás utá fetiehez hsoló godoltmeettel megmutthtó, hogy evező b -hez, számláló 0-hoz trt, így c ) htárértée 0 Ebből éháy példából is láthtó, hogy tételei meyire megöyíti sorozto htárértéée iszámítását A legtöbb esetbe z isoli gyorltb oly típusú soroztol tlálozu, melye összeg, ülöbség, szorzt vgy háydos ljáb írhtó fel A feti tétele, vlmit
Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb 8 oldl redőr-elv oly eszözt jeletee htárérté-számításb, melye so esetbe sierrel llmzhtó A sorozto overgeciáj és művelete pcsoltát vizsgálv még egy hszos tételt modhtu i: Tétel: H z ) és b ) sorozto overgese, or htárértéü or és cs or egyezi meg, h z b ) sorozt 0-hoz trt Hsoló tétel modhtó i overges sorozto háydosár, h htárértéü em 0 Eor háydos-sorozt htárértée Korább már szó esett rról, hogy h egy sorozt overges, or mide részsorozt is overges, és eze htárértée megegyezi z eredeti sorozt htárértéével, zz h overgeciát beláttu, or elég cs bizoyos részsorozto htárértéét meghtározi E téye, vlmit sorozto özti művelete segítségével éháy sorozt htárértéét egyszerűe iszámíthtju Péld: Legye q, hol > 0 q Állpítsu meg, hogy z ) sorozt v-e htárértée, és h ige, dju meg htárértéét! Megoldás: ) q > Eor sorozt mooto csöeő, mert q > mitt q > q, ho )-edi gyö voás utá z q > q Másrészt sorozt lulról orlátos, mert q > -ből -edi gyö voásávl pju, hogy q > Tehát sorozt overges, htárértéét jelöljü -vl q q pcsolt feáll, ezért lim lim Másrészt Tudju, hogy sorozt ) részsoroztá htárértée megegyezi z ) sorozt htárérté- ével, de mivel z ) lim mitt és overges sorozto szorztár votozó tételt felhszálv lim ) ) lim lim Tehát, ho 0 re q >, ezért z 0 eset em jöhet szób, tehát sorozt htárértée, vgy Mivel mide - b) q < Eor fetiehez hsoló beláthtó, hogy z ) sorozt szigorú mooto ő és
Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb 9 oldl felülről orlátos, tehát overges, és htárértée c) q Eor sorozt yilvá overges és htárértée, mert sorozt mide tgj A példá megoldásáál felhszáltu zt tuljdoságot, hogy sorozto htárértéée és velü végzett műveletee pcsolt örölődi véges so sorozttl végzett műveletere is Meg ell említeü zob, hogy ez tuljdoság em igz bb z esetbe, h végtele so sorozttl dolgozu Vegyü például z lábbi soroztot:, ;, h, és 0, h < ;, h, és 0, h < Nyilvávló, hogy ez végtele so soroztot jelet, mide egyes sorozt htárértée 0, de h öszszedju őet, or z összegsorozt mide tgj lesz, zz htárértée Köye végiggodolhtó, hogy ilye módo ármilye soroztot elő tudu állíti, tehát orábbi tételeiel elletétese végtele so sorozt összegére, szorztár stb em tudu semmiféle övetezméyt imodi I9 Az e szám Az sorozt vizsgáltávl orábbi tételei együttes gyorlti llmzását mu- tthtju be Tétel: Az sorozt overges Bizoyítás: A overgeciához elég beláti, hogy z ) sorozt mooto öveedő és felülről orlátos A mooto öveedés számti és mérti özép özti egyelőtleség felhszálásávl mutthtó meg: H felírju z,,, számo [összese özepe özötti egyelőtleséget, or övetező ifejezést pju: drb szám] számti és mérti
Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb 30 oldl Ie ) -edi htváyr emeléssel pju ívát egyelőtleséget: Ezzel tehát mooto öveedést beláttu A orlátosság legegyszerűbbe b sorozt segítségével láthtó be Nyilvávló, hogy b mide -re feáll Elég megmutti, hogy b ) sorozt mooto csöeő, és eor b b mitt ) felülről, b mitt b ) lulról orlátos A b ) sorozt mooto csöeését mérti és hrmoius özép özti egyelőtleséggel láthtju be H felírju z,,, számo [összese hrmoius özepe özötti egyelőtleséget, or z lábbi ifejezést pju: drb szám] mérti és Ie ) -edi htváyr emelve pju: ) ) Láttu tehát, hogy z sorozt mooto övő és felülről orlátos, b sorozt mooto csöeő és lulról orlátos, tehát midét sorozt overges Mivel b sorozt trt 0-hoz mert z sorozt orlátos és trt 0-hoz), ezért htárértéü megegyezi Ezt htárértéet e-vel jelöljü A mtemtiáb z x e illetve log x [máséppe log x vgy l x ] függvéye szép e tuljdosági mitt ige jeletős szerepet játsz
Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb 3 oldl I0 A ör erülete és területe A ör erülete és területe már z áltláos isoli tygb is szerepel, de potos defiíciójár és iszámításár cs sorozto és htárérté foglmá ismeretébe erülhet sor Vegyü egy dott r sugrú ört Legye K b egy örbe írt ovex soszög, zz K b csúcsi legyee örvolo Eor háromszög-egyelőtleség mitt úgy érezzü, hogy h v öre erülete, or z gyobb, mit öré írt ovex soszög, zz legye K belsejébe legye Az elmodott szerit ör erülete K b erülete, tetszőleges beírt soszög eseté Legye K mide oldl éritője öre úgy, hogy ör K egy ör K erületéél isebb ell legye H tehát ör erületét defiiáli rju, oly számot ell eresü erület mérőszámá, mely isebb z összes K soszög, és gyobb z összes K b soszög erületéél Meg ell tehát mutti, hogy v ilye szám, és potos egy v Most egy lehetséges utt járu végig ör erületée megtlálásáig Vegyü örbe, illetve ör öré írt oldlú szbályos soszögeet H örbe írt oldlú szbályos soszög erületét -el, oldlá hosszát -el, ör öré írt oldlú szbályos soszög erületét K -el, oldlá hosszát A -el jelöljü, or z lábbi ábráról leolvshtó özöttü feálló övetező egyelőtlesége [ háromszög egyelőtleség mitt]: < K > K Az pedig yilvávló z ábr lpjá [h egymássl párhuzmos helyzetbe forgtju beírt illetve örülírt oldlú szbályos soszög oldlit], hogy < A, emitt < K
Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb 3 oldl H belátju, hogy K 0, h, or Ctor-xióm szerit potos egy oly szám v, mely mide -re K -él isebb és -él gyobb [eor [ ] zárt itervllumo egymásb stulyázott itervllumo, és mivel hosszu 0-hoz trt, potos egy özös elemü v] Mivel,K sorozt mooto és orlátos, ezért overges, hsoló K sorozthoz A K 0, h feltétel tehát egyeértéű lim lim K feltétellel, zz elég beláti, hogy lim K [mivel egyi sorozt htárértée sem 0] Felhszálv, hogy és lim K A, elég belátu, hogy A r H r -el jelöljü beírt örée sugrát, or r < r yilvávló feáll, másrészt > r z OX Y háromszögbe háromszög-egyelőtleség mitt [z előző ábr jelöléseit hszálv], és pju: r z OX Y és OX Y háromszöge hsolóság mitt Eze felhszálásávl A r r r > > > A r r Mivel 0, h, ezért, és így r A r Megjegyzés: Megmutthtó, hogy z így pott lim lim K htárérté ielégíti ör erületével szembe támsztott elvárásit Ee részletes bizoyításához számhlmzo ifimumá és supremumá áltláos megfoglmzás és z ezzel pcsoltos tétele szüségese, mi mi témához em pcsolód szoros A ör erületée defiíciójáb szorítozhttu vol cs szbályos -szöge erületére is, de dolog léyegét jobb muttj z áltláos megfoglmzás Az, hogy beírt soszöge és öréírt soszöge erülete özött v elválsztó érté, elég szemléletese látszi, és feti godoltmeettel em cs zt állpítottu meg, hogy potos egy elválsztó érté v, hem módszert is dtu iszámításár, mégpedig egy orét sorozt htárértéeét A hgsúly jele tárgylásub iább sorozto és sorozto htárértée mit új foglom teremtésére, meghtározásár illetve már meglevő foglm potosításár llms mtemtii eszöz szerepeltetésére esett
Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb 33 oldl I0 A ör erülete, pcsolt ör sugrávl H ét ülöböző, r és r sugrú örre írju fel soroztot, or örö hsolóság mitt yilvávló, hogy r, és mivel egyi sorozt htárértée sem 0, htárértéere is feáll r lim lim r, ho r lim r lim r A ör erületée és sugrá háydos tehát álldó H ezt z álldót π-vel jelöljü, or ör erületére πr ifejezést pju I0 A ör területe A ör területe ör erületéhez hsoló htározhtó meg: oly számot ell eresü, mely beírt ovex soszöge területéél gyobb, de öréírt ovex soszöge területéél isebb A fetieel lóg módo örbe írt illetve ör öré írt szbályos -szöge területée htárértée dj ör területét A ör erületée és területée pcsolt egyszerűe meghtározhtó Teitsü örbe írt illetve ör öré írt szbályos -szögeet A erülete, z oldl illetve soszögebe írt örö sugrár orább hszált jelöléseet megtrtv, vlmit soszöge területét fetiee megfelelőe t -el, T -el, illetve ör területét t-vel jelölve z lábbi összefüggése írhtó fel: Mivel ör területe: t < t <, T r r t, Ar T rπ, r r, K rπ ezért t r π, T r π t r π Megjegyzés: Az K r r r Pitgorsz-tétel és 0 felhszálásávl láthtó be A fetie értelmébe tehát A ör erületéhez és területéhez hsoló defiiálhtó örci erülete és területe, illetve örci erületée felhszálásávl örív hossz A örci erület- és területépletée háromszöge megfelelő épleteihez vló hsolóság éppe bból szármzi, hogy sorozttl [ háromszöge sorozt ] özelítjü meg, és ebből pju eresett értéeet
Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb 34 oldl A sorozto hszált mtemti számos területé jelei meg Alpvető szerepet játsz z irrcioális számo felépítéséél, vlmit z irrcioális számo és művelete pcsoltáál, pl z irrcioális itevőjű htváyo defiíciój e élül elépzelhetetle A végtele soro összegével pcsoltos problémát is sorozto és htárérté segítségével tisztázhttá A tizedes törte egzt defiícióját is soroztol tudju megdi